重叠面积及动点问题

与重叠部分面积有关的动点问题作业设计
资源镇初中侯仲球
1、如图，抛物线y =a (x -h )2+k 经过点A （0，1），且顶点坐标为B （1，2），它的对称轴与x 轴交于点C .
（1）求此抛物线的解析式.
（2）在第一象限内的抛物线上求点P ，使得⊿ACP 是以AC
为底的等腰三角形，请求出此时点P 的坐标.
（3）上述点是否是第一象限内此抛物线上与AC 距离最远的点，若是，请说明理由；若不是，请求出第一象限内此
抛物线上与AC 距离最远的点的坐标.
2、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象经过点（1，0），（5，0），（3，﹣4）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）当y ＞﹣3，写出x 的取值范围；
（3）A 、B 为直线y=﹣2x ﹣6上两动点，且距离为2，点C 为二次函数图象上的动点，当点C 运动到何处时△ABC 的面积最小？求出此时点
C 的坐标及△ABC 面积的最小值．
3.如图，过A （8，0）、B （0
，x y 3=交于点C ．平行于y 轴的
直线l 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右平移，到C 点时停止；l 分别交线段BC 、OC 于点D 、E ，以DE 为边向左侧作等边△DEF ，设△DEF 与△BCO 重叠部分的面积为S （平方单位），直线l 的运动时间为t （秒）．
（1）直接写出C 点坐标和t 的取值范围；
（2）求S 与t 的函数关系式；
（3）设直线l 与x 轴交于点P ，是否存在这样的点P ，使得以P 、O 、F 为顶点的三角形
为等腰三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
备用图1。

重叠法的经典例题一、例题在一个长方形中，长为8厘米，宽为6厘米，有两个半径为1厘米的圆重叠放在长方形内（圆与长方形的边相切），求阴影部分（两个圆重叠部分以外的区域）的面积。

二、题目解析1. 首先计算长方形的面积- 根据长方形面积公式S = a× b（其中a为长，b为宽），已知长方形长a = 8厘米，宽b = 6厘米，所以长方形面积S_长方形=8×6 = 48平方厘米。

2. 然后计算两个圆的面积- 根据圆的面积公式S=π r^2（其中r为半径），已知圆半径r = 1厘米，一个圆的面积S_圆=π×1^2=π平方厘米。

- 那么两个圆的面积S_两个圆=2π平方厘米，取π = 3.14，则S_两个圆=2×3.14 = 6.28平方厘米。

3. 接着计算两个圆重叠部分的面积- 两个半径为1厘米的圆重叠部分是一个类似橄榄形的图形。

我们可以先算出两个扇形（圆心角为90^∘，因为圆与长方形边相切）的面积之和，再减去中间正方形的面积。

- 一个扇形的面积是圆面积的(1)/(4)，所以一个扇形面积S_扇形=(1)/(4)×π×1^2=(π)/(4)平方厘米。

- 两个扇形面积S_两个扇形=(π)/(2)平方厘米，取π = 3.14，则S_两个扇形=1.57平方厘米。

- 中间正方形的面积S_正方形=1×1 = 1平方厘米。

- 所以两圆重叠部分面积S_重叠=1.57 - 1=0.57平方厘米。

4. 最后计算阴影部分面积- 阴影部分面积S_阴影=S_长方形-S_两个圆+S_重叠- 把S_长方形=48平方厘米，S_两个圆=6.28平方厘米，S_重叠=0.57平方厘米代入可得：- S_阴影=48 - 6.28+0.57 = 42.29平方厘米。

中考复习-求重叠部分面积1、将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A30），点B（0，1），点O（0，0）．过边OA上的动点M（点M不与点O，A重合）作MN⊥AB于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A′．设OM =m，折叠后的△A′MN与四边形OMNB重叠部分的面积为S．（Ⅰ）如图①，当点A′与顶点B重合时，求点M的坐标；（Ⅱ）试用含m的式子表示S；2、如图，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC于点D，点P在边AB上运动，过点P作PE∥BC△重叠部分与边AC交于点E，连结ED，以PE、ED为邻边作□PEDF，设□PEDF与ABC图形的面积为y，线段AP的长为(06)<<．x x（1）求线段PE的长（用含x的代数式表示）；（2）当四边形PEDF为菱形时，求x的值；（3）直接写出y与x之间的函数关系式；3、如图（1），在矩形ABCD中，AB=6，3，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，如图（2）以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t 秒（t＞0）．（1）如图（3），当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；（2）如图（4），当等边△EFG的顶点G恰好落在CD边上时，求运动时间t的值；（3）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请求出S与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量的取值范围．4．如图1，在□ABCD中，AH⊥DC，垂足为H，AB=4，AD=7，AH=．现有两个动点E，F同时从点A出发，分别以每秒1个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿射线AC方向匀速运动，在点E，F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG与△ABC在射线AC的同侧，点G在射线AB上，当点E运动到点C时，E，F两点同时停止运动，设运动时间为t 秒．（1）试求出当点G与点B重合时t的值；（2）在整个运动过程中，设等边△EFG与△ABC重叠部分的面积为S，请求出S与t之间的函数表达式，并写出相应的自变量t的取值范围；（四边形解答4）5．如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，点O是对角线AC的中点，连结BO．动点P，Q 从点B同时出发，点P沿B→C→B以2cm/s的速度运动到终点B．点Q沿B→A以1cm/s的速度运动到终点A．以BP、BQ为边作矩形BPMQ（点M不与点A重合）．设矩形BPMQ与△OBC 重叠部分图形的面积为y（cm2），点P的运动时间为x（s）．（1）当点M在AC上时，求x的值；（2）直接写出点O在矩形BPMQ内部时x的取值范围；（3）当矩形BPMQ与△OBC重叠部分的图形是四边形时，求y与x之间的函数关系式．（4）直接写出直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3的两部分时x的值．（四边形解答5）6、如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点O为对角线BD的中点，点P从点A出发，沿折线AD－DO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．（1）求点N落在BD上时t的值；（2）直接写出点O在正方形PQMN内部时t的取值范围；（3）当点P在折线AD－DO上运动时，①求S与t之间的函数关系式；②直接写出DN平分△BCD面积时t的值．（四边形解答5）7、如图1，矩形ABCD中，AB=2，BC=6，点P、Q分别是线段AD和线段BC上的动点，满足∠PQB=60°．（1）填空：①∠ACB= 度；②PQ= ．（2）设线段BC的中点为N，PQ与线段AC相交于点M，若△CMN为直角三角形，请直接写出满足条件的AP的长度．（3）设AP=x，△PBQ与△ABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和自变量x 的取值范围．8、已知，在矩形ABCD中，E为BC边上一点，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F为线段BE上一点，EF=7，连接AF．如图①，现有一张硬质纸片△GMN，∠NGM=90°，NG=6，MG=8，斜边MN与边BC在同一直线上，点N与点E重合，点G在线段DE上．如图②，△GMN从图①的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，同时，点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接PQ．当点N到达终点B时，△GMN和点P同时停止运动．设运动时间为t秒，解答下列问题：（1）在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值．（2）在整个运动过程中，是否存在点P，使△APQ是等腰三角形．若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．（3）在整个运动过程中，设△GMN与△AEF重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．（四边形解答5）。

动点求重叠面积问题如图，已知抛物线4212++-=x x y 交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． （1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式；（2）设),(y x P （0>x ）是直线x y =上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作正方形PEQF ．若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值．OABP EQFxy （第15题）OABxy（第15题 备用）PEQF M N解：（1）令0=y ，得04212=++-x x ，即0822=--x x ，解得21-=x ，42=x ，所以)0,4(A ．令0=x ，得4=y ，所以)4,0(B ．设AB 为b kx y +=，则⎩⎨⎧==+404b b k ，解得⎩⎨⎧=-=41b k ，所以直线AB 的解析式为4+-=x y ．（2）当点),(x x P 在直线AB 上时，4+-=x x ，解得2=x ，当点)2,2(x x Q 在直线AB 上时，422+-=xx ，解得4=x 所以，若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，则42≤≤x ．（3）当点)2,(xx E 在直线AB 上时，（此时点F 也在直线AB 上）42+-=x x ，解得38=x ． ①当382<≤x 时，直线AB 分别与PE 、PF 有交点，设交点分别为C 、D ，此时，42)4(-=+--=x x x PC ，又PC PD =，所以22)2(221-==∆x PC S PCD ，从而，22)2(241--=x x S 88472-+-=x x78)716(472+--=x ．因为387162<≤，所以当716=x 时，78max =S ．②当438≤≤x 时，直线AB 分别与QE 、QF 有交点，设交点分别为M 、N ，此时，42)42(+-=-+-=x xx QN ，又QN QM =，所以22)4(2121-==∆x QN S QMN ，即2)4(21-=x S ．其中当38=x 时，98max =S ．综合①②得，当716=x 时，78max =S ．2、(2014浙江杭州)菱形A B C D的对角线A C，B D相交于点O，，B D＝4，动点P在线段B D上从点B向点D运动，P F⊥A B于点P F，四边形P F B G关于B D对称．四边形Q E D H与四边形P F B G关于A C对称，设菱形A BC D被这两个四边形盖住部分的面积为S1，未盖住部分的面积为S2，B P＝x．(1)用含x代数式分别表示S1，S2；(2)若S1＝S2，求x．解：（1）①当点P在BO上时，如图1所示．∵四边形ABCD是菱形，AC=4，BD=4，∴AC⊥BD，BO=BD=2，AO=AC=2，且S菱形ABCD=BD•AC=8．∴tan∠ABO==．∴∠ABO=60°．在Rt△BFP中，∵∠BFP=90°，∠FBP=60°，BP=x，∴sin∠FBP===sin60°=．∴FP=x．∴BF=．∵四边形PFBG关于BD对称，四边形QEDH与四边形PEBG关于AC对称，∴S△BFP=S△BGP=S△DEQ=S△DHQ．∴S1=4S△BFP=4××x•=．∴S2=8﹣．②当点P在OD上时，如图2所示．∵AB=4，BF=，∴AF=AB﹣BF=4﹣．在Rt△AFM中，∵∠AFM=90°，∠FAM=30°，AF=4﹣．∴tan∠FAM==tan30°=．∴FM=（4﹣）．∴S△AFM=AF•FM=（4﹣）•（4﹣）=（4﹣）2．∵四边形PFBG关于BD对称，四边形QEDH与四边形PEBG关于AC对称，∴S△AFM=S△AEM=S△CHN=S△CGN．∴S2=4S△AFM=4×（4﹣）2=（x﹣8）2．∴S1=8﹣S2=8﹣（x﹣8）2．综上所述：当点P在BO上时，S1=，S2=8﹣；当点P在OD上时，S1=8﹣（x﹣8）2，S2=（x﹣8）2．（2）①当点P在BO上时，0＜x≤2．∵S1=S2，S1+S2=8，∴S1=4．∴S1==4．解得：x1=2，x2=﹣2．∵2＞2，﹣2＜0，∴当点P在BO上时，S1=S2的情况不存在．②当点P在OD上时，2＜x≤4．∵S1=S2，S1+S2=8，∴S2=4．∴S2=（x﹣8）2=4．解得：x1=8+2，x2=8﹣2．∵8+2＞4，2＜8﹣2＜4，∴x=8﹣2．综上所述：若S1=S2，则x的值为8﹣2．3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm．D、E分别为边AB、BC的中点，连接DE．点P从点A出发，沿折线AD﹣DE﹣EB运动，到点B停止．点P在线段AD上以cm/s 的速度运动，在折线DE﹣EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ 为边作正方形PQMN，使点M在线段AQ上．设点P的运动时间为t（s）．（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为cm（用含t的代数式表示）．（2）当点N落在AB边上时，求t的值．（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S （cm2），求S与t的函数关系式．（4）连接CD，当点N与点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s的速度沿M﹣N﹣M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H 停止往返运动；当点P在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中点处，直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围．答案解：（1）t-2）∵在Rt△ABC中，AC=8cm，BC=4cm，∴AB=√（AC^2+BC^2)=√8^2+4^2=4√5，D为AB中点，∴AD=2√5，∴点P在AD段的运动时间为2√5/√5=2s．当点P在线段DE上运动时，DP段的运动时间为（t-2）s，∵DE段运动速度为1cm/s，∴DP=（t-2）cm．（2）当点N落在AB边上时，有两种情况，一是点N与点D重合时，此时DP=2=EC，即t-2=2，∴t=4，二是点P在线段EB上运动时，点N也能落在AB上，此时△BPN相似于△BCA AC=8cm，∵DE=1/2AC AC=8∴点P在DE段的运动时间为4s，∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4．∵PN∥AC，∴PN：PB=AC：BC=2，∴PN=2PB=16-2t∴即，解得，∴当点N落在AB边上时，t=4或；（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况，如下图所示：当2<t<4时，正方形PQMN与△ABC重叠分为五边形S=正方形面积-△NDF此时当时，正方形PQMN与△ABC重叠部分为五边形此时综上；（4）当或t=5或时，点D落在线段CD的中点。

1．有一根直尺的短边长2㎝，长边长8㎝，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm..如图12，将直尺的短边DE 放置与直角三角形纸板的斜边AB 重合，且点D 与点A 重合.将直尺沿AB 方向平移(如图13)，设平移的长度为xcm(0≤x ≤10)，直尺和三角形纸板的重叠部分(图中阴影部分)的面积为S ㎝2.(1)当x=0时(如图12)，S=_____________；当x = 10时，S =______________. (2) 当0＜x ≤4时(如图13)，求S 关于x 的函数关系式；(3)当4＜x ＜10时，求S 关于x 的函数关系式，并求出S 的最大值(同学可在图14、图15中画草图).2.如图，直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AD ＝10cm ，BC ＝8cm ，CD ＝32cm 。

动点P 、Q 同时从点A 出发，其中P 以2cm/s 的速度，沿A →D 方向的路线运动；Q 以1cm/s 的速度，沿A →B 方向的路线运动。

当P 到达终点D 时，整个运动随之结束，设运动时间为t 秒。

(1)在点P 、Q 运动过程中，请你判断PQ 与腰AB 的位置关系，并说明理由： (2)若点A 关于点Q 的对称点为E 。

设△PQE 与梯形ABCD 重叠的部分面积为S 。

①求S 与t 的函数关系式；②探究S 是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值及此时的t 值；若不存在，请说明理由。

A (图14)B(图15)A A A3.已知直角梯形纸片OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，32)，C(0，32)，点T 在线段OA 上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A 落在射线AB 上(记为点A ′)，折痕经过点T ，折痕TP 与射线AB 交于点P ，设点T 的横坐标为t ，折叠后重叠部分(图中阴影部分)的面积为S ；（1）求∠OAB 的度数，并求当点A ′在线段AB 上时，S 关于t 的函数关系式； （2）当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t 的取值范围；（3）S 存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t 的值；若不存在，说明理由。