运动中重叠部分的面积问题

2022-2023学年小学三年级思维拓展举一反三精编讲义专题09 重叠问题知识精讲专题简析：三（1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗读比赛的12位同学每人发一份纪念品，当中队长玲玲将28份纪念品发下去时，却多出5份，这是怎么回事？对了，因为有5位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了5份。

数学中，我们将这样的问题称为重叠问题。

解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。

解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。

典例分析【典例分析01】六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。

小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗是第10面。

这行彩旗共多少面？【思路引导】根据题意，画出下图：8面10面面从图上可以看出，从前数起红旗是第8面，从后数起是第10面，这样红旗就数了两次，重复了一次，所以这行彩旗共有8＋10－1=17面。

【典例分析02】同学们排队做操，每行人数同样多。

小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。

做操的同学共有多少个？【思路引导】根据题意，画出下图：由图可看出：小明的位置从左数第4个，右数第3个，说明横行有4＋3－1=6个人；从前数第5个，从后数第6个，说明竖行有5＋6－1=10人，所以做操的同学共有：6×10=60人。

【典例分析03】 把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。

如果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米？【思路引导】把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长度就是重叠部分，重叠的部分是16厘米，所以这两块木板的总长度是120＋16=136厘米，每块木板的长度是136÷2=68厘米。

2020年中考二轮专题复习：一次函数综合题（与面积有关）1．如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣，0）的两条直线分别交y轴于B，C两点，∠ABO＝30°，OB＝3OC．（1）证明：AC⊥AB；（2）将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD，求直线BD的函数解析式；（3）在（2）的条件下，设直线BD交x轴于点E，嘉淇认为△ADE的面积与△AOB的面积相同，请判断嘉淇的观点是否正确．2．如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，点P（1，a）为坐标系中的一个动点．（1）请直接写出直线l的表达式；（2）求出△ABC的面积；（3）当△ABC与△ABP面积相等时，求实数a的值．3．如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC 的长是方程x2﹣6x+8＝0的两个根，且OC＞BC．（1）求直线BD的解析式；（2）求△OFH的面积；（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．4．一次函数y＝kx+b的图象与x轴的负半轴相交于点A，与y轴的正半轴相交于点B，且sin∠ABO＝．△OAB的外接圆的圆心M的横坐标为﹣3．（1）求一次函数的解析式；（2）求图中阴影部分的面积．5．如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线y＝2x+6交x轴于点B，交y轴于点A，且AO＝BC．（1）求直线AC的解析式；（2）如图2，点P在线段AC上，连接PB交OA于点D，设点P的横坐标为t，△ABP 的面积为S，求S与t之间的函数解析式；（3）如图3，在（2）的条件下，过点A作∠CAO的平分线交DP于点E，点L在BP的延长线上，连接CE、CL，若∠ABP＝2∠ACE，CL＝AC，求DL的长．6．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝kx+4交x轴、y轴分别于点A、点B，且△ABO的面积为8．（1）如图2，求k的值；（2）如图3，点P是第一象限直线AB上的一个动点，连接PO，将线段OP绕点O顺时针旋转90°至线段OC，设点P的横坐标为t，点C的横坐标为m，求m与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点B作直线BM⊥OP，交x轴于点M，垂足为点N，点K在线段MB的延长线上，连接PK，且PK+KB＝OP，∠PMB＝2∠KPB，连接MC，求四边形BOCM的面积．7．如图，直线y＝kx+b与x轴，y轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（﹣2，0），且2OA ＝OB．（1）求直线AB解析式；（2）如图，将△AOB向右平移6个单位长度，得到△A1O1B1，求线段OB1的长；（3）求（2）中△AOB扫过的面积．8．如图：一次函数y＝﹣x+3的图象与坐标轴交于A、B两点，点P是函数y＝﹣x+3（0＜x＜4）图象上任意一点，过点P作PM⊥y轴于点M，连接OP．（1）当AP为何值时，△OPM的面积最大？并求出最大值；（2）当△BOP为等腰三角形时，试确定点P的坐标．9．如图，直角坐标系xOy中，A（0，5），直线x＝﹣5与x轴交于点D，直线y＝﹣x﹣与x轴及直线x＝﹣5分别交于点C，E，点B，E关于x轴对称，连接AB．（1）求点C，E的坐标及直线AB的解析式；（2）设面积的和S＝S△CDE+S四边形ABDO，求S的值；（3）在求（2）中S时，嘉琪有个想法：“将△CDE沿x轴翻折到△CDB的位置，而△CDB与四边形ABDO拼接后可看成△AOC，这样求S便转化为直接求△AOC的面积不更快捷吗？”但大家经反复演算，发现S△AOC≠S，请通过计算解释他的想法错在哪里．10．如图，矩形AOCB的顶点A、C分别位于x轴和y轴的正半轴上，线段OA、OC的长度满足方程|x﹣15|+＝0（OA＞OC），直线y＝kx+b分别与x轴、y轴交于M、N两点，将△BCN沿直线BN折叠，点C恰好落在直线MN上的点D处，且tan∠CBD＝（1）求点B的坐标；（2）求直线BN的解析式；（3）将直线BN以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，求直线BN扫过矩形AOCB 的面积S关于运动的时间t（0＜t≤13）的函数关系式．11．直线y＝x﹣6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点E从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BO向O点移动（不考虑点E与B、O两点重合的情况），过点E作EF ∥AB，交x轴于点F，将四边形ABEF沿直线EF折叠后，与点A对应的点记作点C，与点B对应的点记作点D，得到四边形CDEF，设点E的运动时间为t秒．（1）画出当t＝2时，四边形ABEF沿直线EF折叠后的四边形CDEF（不写画法）；（2）在点E运动过程中，CD交x轴于点G，交y轴于点H，试探究t为何值时，△CGF 的面积为；（3）设四边形CDEF落在第一象限内的图形面积为S，求S关于t的函数解析式，并求出S的最大值．12．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A（6，0），B．点C（0，t）是线段OB 上一点，作直线AC．（1）若BC＝2，求直线AC的函数解析式；（2）当1≤t≤4时，求△ABC面积的取值范围；（3）若AC平分∠OAB，记△ABC的周长为m，△AOC的周长为n，求m﹣n的值．13．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOC的直角边OA在y轴正半轴上，且顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为（1，2），直线y＝﹣x+b过点C，与x轴交于点B，与y轴交于点D．（1）B点的坐标为，D点的坐标为；（2）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度，沿O→A→C的路线向点C运动，同时动点Q从点B出发，以相同速度沿BO的方向向点O运动，过点Q作QH⊥x轴，交线段BC或线段CO于点H．当点P到达点C时，点P和点Q都停止运动，在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒：①设△CPH的面积为S，求S关于t的函数关系式；②是否存在以Q、P、H为顶点的三角形的面积与S相等？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．14．阅读下列两则材料，回答问题：材料一：定义直线y＝kx+b（kb≠0）与直线y＝bx+k（kb≠0）互为“对称直线”．例如，直线y＝x+2与直线y＝2x+1互为“对称直线”；直线y＝kx+b中，k称为斜率，若A（x1，y1），B（x2，y2）为直线y＝kx+b上任意两点（x1≠x2），则斜率k＝材料二：对于平面直角坐标系中的任意两点（x1，y1），B（x2，y2），定义一种新的运算：L（A，B）＝x1x2+y1y2，例如：A（﹣3，1）、B（2，4），（A，B）＝﹣3×2+1×4＝﹣2（1）若点A（﹣3，1）、B（2，4）在直线y＝kx+b上，则k＝；直线y＝2x+3上的一点P（x，y）又是它的“对称直线”上的点，求点P的坐标．（2）对于直线y＝kx+b上的任意一点M（m，n），都有点N（2m，6n﹣34）在y＝kx+b 的“对称直线”上：横坐标互不相同的三个点C，D，E满足L（C，D）＝L（D，E），且D点的坐标为（2，2），过点D作DF∥y轴，交直线CE于点F，若DF＝6，请求出直线CE、直线y＝kx+b与x轴围成的三角形的面积．15．问题探究（1）如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，请你过点A作一条直线AD，其中点D为BC上一点，使直线AD平分△ABC的面积；（2）如图②，点P为▱ABCD外一点，AB＝6，BC＝12，∠B＝45°，请过点P作一条直线l，使其平分▱ABCD的面积，并求出▱ABCD的面积；问题解决（3）如图③，在平面直角坐标系中，四边形OABC是李爷爷家一块土地的示意图，其中OA∥BC，点P处有一个休息站点（占地面积忽略不计），李爷爷打算过点P修一条笔直的小路l（路的宽度不计），使直线l将四边形OABC分成面积相等的两部分，分别用来种植不同的农作物．已知点A（8，8）、B（6，12）、P（3，6）．你认为直线1是否存在？若存在，求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由．16．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝k1x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，且OB ＝OA，直线l2：y＝k2x+b经过点C（，1），与x轴、y轴、直线AB分别交于点E、F、D三点．（1）求直线l1的解析式；（2）如图1，连接CB，当CD⊥AB时，求点D的坐标和△BCD的面积；（3）如图2，当点D在直线AB上运动时，在坐标轴上是否存在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点．动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动，点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN．设运动时间为t秒．（1）当t＝秒时，点Q的坐标是；（2）在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式；（3）若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值．18．如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（3，0），B（0，4），C（﹣3，0）．动点M，N 同时从A点出发，M沿A→C，N沿折线A→B→C，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动的时间记为t秒．连接MN．（1）求直线BC的解析式；（2）移动过程中，将△AMN沿直线MN翻折，点A恰好落在BC边上点D处，求此时t 值及点D的坐标；（3）当点M，N移动时，记△ABC在直线MN右侧部分的面积为S，求S关于时间t的函数关系式．19．如图直线y＝kx+k交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且AB＝2（1）求k的值；（2）点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AB运动，过点P作直线AB的垂线交x轴于点Q，连接OP，设△PQO的面积为S，点P运动时间为t，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当P在AB的延长线上，若OQ+AB＝（BQ﹣OP），求此时直线PQ的解析式．20．如图，等腰梯形OBCD中，DC∥OB，OD＝CB，∠DOB＝∠CBO，BD⊥OD，在平面直角坐标系中，等腰梯形OBCD的下底OB在x轴正半轴上，O为坐标原点，点B的坐标为（a，0），C、D两点落在第一象限，且BD＝2a．点P以每秒1个单位长度的速度在对角线BD上由点B向点D运动（点P不与点B、点D重合），过点P作PE⊥BD，交下底OB于点E，交腰BC（或上底CD）于点F．（1）线段BC的长是（用含a的代数式表示）；（2）已知直线PE经过点C时，直线PE的解析式为y＝2x﹣，求a的值，并直接写出点B、C、D的坐标；（3）在（2）的条件下，设动点P运动时间为t（秒），在点P运动过程中，请直接写出△BEF为等腰三角形时t的值（或取值范围），并直接写出等腰△BEF面积的最大值．参考答案1．解：（1）证明：∵A（﹣，0），则OA＝，∵∠ABO＝30°，∴OB＝＝3，∵OB＝3OC，∴OC＝1，∴点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（0，﹣1），∴tan∠ACB＝＝，∴∠ACB＝60°，∴∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠BAC＝90°，即AC⊥AB．（2）∵△ABD是由△ABC折叠得到的，∴∠ADB＝∠ACB＝60°，∠ABD＝∠ABC＝30°，∴∠DBC＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴BD＝BC＝4，如图1，过点D作DF⊥BC于F，则BF＝2，DF＝2，∴点D的坐标为（﹣2，1），设直线BD的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），将点B，D的坐标代入得：，解得：，∴直线BD的函数解析式为y＝x+3．（3）如图2，∵点E是直线BD与x轴的交点，∴令y＝x+3＝0，解得x＝﹣3，故OE＝3，而AO＝，∴AE＝EO﹣AO＝3﹣＝2，∴S△AED＝AE•y D＝×2×1＝，∵S△AOB＝AO•OB＝××3＝，∴S△AED≠S△AOB，∴嘉淇的观点错误．2．解：（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线l的表达式为：；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2＝OA2+OB2＝32+22＝13∵△ABC为等腰直角三角形，∴S△ABC＝AB2＝；（3）连接BP，PO，P A，则：①若点P在第一象限时，如图1：∵S△ABO＝3，S△APO＝a，S△BOP＝1，∴S△ABP＝S△BOP+S△APO﹣S△ABO＝，即，解得；②若点P在第四象限时，如图2：∵S△ABO＝3，S△APO＝﹣a，S△BOP＝1，∴S△ABP＝S△AOB+S△APO﹣S△BOP＝，即，解得a＝﹣3；故：当△ABC与△ABP面积相等时，实数a的值为或﹣3．3．解：（1）解方程x2﹣6x+8＝0可得x＝2或x＝4，∵BC、OC的长是方程x2﹣6x+8＝0的两个根，且OC＞BC，∴BC＝2，OC＝4，∴B（﹣2，4），∵△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，∴OD＝OC＝4，DE＝BC＝2，∴D（4，0），设直线BD解析式为y＝kx+b，把B、D坐标代入可得，解得，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+；（2）由（1）可知E（4，2），设直线OE解析式为y＝mx，把E点坐标代入可求得m＝，∴直线OE解析式为y＝x，令﹣x+＝x，解得x＝，∴H点到y轴的距离为，又由（1）可得F（0，），∴OF＝，∴S△OFH＝××＝；（3）∵以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形，∴△DFM为直角三角形，①当∠MFD＝90°时，则M只能在x轴上，连接FN交MD于点G，如图1，由（2）可知OF＝，OD＝4，则有△MOF∽△FOD，∴＝，即＝，解得OM＝，∴M（﹣，0），且D（4，0），∴G（，0），设N点坐标为（x，y），则＝，＝0，解得x＝，y＝﹣，此时N点坐标为（，﹣）；②当∠MDF＝90°时，则M只能在y轴上，连接DN交MF于点G，如图2，则有△FOD∽△DOM，∴＝，即＝，解得OM＝6，∴M（0，﹣6），且F（0，），∴MG＝MF＝，则OG＝OM﹣MG＝6﹣＝，∴G（0，﹣），设N点坐标为（x，y），则＝0，＝﹣，解得x＝﹣4，y＝﹣，此时N（﹣4，﹣）；③当∠FMD＝90°时，则可知M点为O点，如图3，∵四边形MFND为矩形，∴NF＝OD＝4，ND＝OF＝，可求得N（4，）；综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，﹣）或（﹣4，﹣）或（4，）．4．解：（1）作MN⊥BO，由垂径定理得：点N为OB的中点，∴MN＝OA，∵MN＝3，∴OA＝6，即A（﹣6，0），∵sin∠ABO＝，OA＝6，∴OB＝，即B（0，），设y＝kx+b，将A、B代入得：，（2）NB＝OB＝，MN＝3，tan∠BMN＝＝，则∠BMN＝30°，∴∠ABO＝60°，∴∠AMO＝120°∴阴影部分面积为．5．解：（1）由题可求A（0，6），B（﹣3，0），∴AO＝6，BO＝3，∵AO＝BC，∴BC＝6，∴CO＝BC﹣BO＝3，∴C（3，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点C与A代入，可得，∴，∴y＝﹣2x+6；（2）过点P作PM⊥x轴交于点M，∵点P的横坐标为t，∴P（t，﹣2t+6），∴PM＝﹣2t+6，∴S△PBC＝BC•PM＝×6×（﹣2t+6）＝﹣6t+18，S△ABC＝BC•AO＝18，∴S＝S△ABC﹣S△PBC＝6t；（3）过点B作BF平分∠ABD，且BF＝CE，连接AF ∵∠ABD＝2∠ACE，∴∠ABF＝∠ACE∵BO＝CO，AO⊥BC，∴AB＝AC，∴△ABF≌△ACE（SAS），∴AF＝AE，∠BAF＝∠CAE，∵AE平分∠OAC，∴∠OAE＝∠CAE，∵∠BAO＝∠CAO，∴∠BAF＝∠F AO，过点F作FG⊥AB于点G，FK⊥AD于点K，FH⊥BD于点H，∵AF平分∠BAD，∴FG＝FK，∵BF平分∠ABD，∴FG＝FH，∴FH＝FK，∴DF平分∠ADB，∴∠BDF＝∠ADF，∵AF＝AE，∠F AD＝∠EAD，AD＝AD，∴△AFD≌△AED（SAS），∴∠ADF＝∠ADE，∴∠ADF＝∠ADE＝∠BDF＝60°，∴∠CDP＝∠CDO＝60°，过点C作CN⊥BP于点N，∵CO⊥AO，∴CN＝CO＝3，∵CA＝CL，∴△AOC≌△LNC（HL），∴NL＝AO＝6，∵tan∠NDC＝，∴＝，∴DN＝，∴DL＝6+．6．解：（1）把x＝0代入y＝kx+4，y＝4，∴OB＝4，∵△ABO的面积为8，∴＝8，∴AO＝4，∴A（﹣4，0），把x＝﹣4，y＝0代入y＝kx+4，∴k＝1；（2）把x＝t代入y＝x+4，∴P（t，t+4），如图1，过点P作PD⊥x轴，垂直为D过点C作CE⊥x轴，垂直为E；∴∠PDO＝∠CEO＝90°，∴∠POD＝∠OPD＝90°，∵线段OP绕点O顺时针旋转90°至线段OC，∴∠POC＝90°，OP＝OC，∴∠POD+∠EOC＝90°，∴∠OPD＝∠EOC，∴△OPD≌△OCE，∴OE＝PD，m＝t+4；（3）如图2，过点O作直线TO⊥AB，交直线BM于点Q，垂足为点T，连接QP，由（1）知，AO＝BO＝4，∴∠BOA＝90°，∴△ABO为直角三角形，∴∠ABO＝∠BAO＝45°，∠BOT＝90°﹣∠ABO＝45°＝∠ABO，∴BT＝TO，∵∠BTO＝90°，∴∠TPO+∠TOP＝90°，∵OP⊥BM，∴∠BNO＝90°，∴∠BQT＝∠TPO，∴△QTB≌△PTO，∴QT＝TP，PO＝BQ，∴∠PQT＝∠QPT，∵OP＝PK+KB，∴QB＝KP+KB，QK＝KP，∴∠KQP＝∠KPQ，∴∠PQT﹣∠KQP＝∠QPT﹣∠KPQ，∠TQB＝∠TPK，∴∠KPB＝∠BPN，设∠KPB＝x°，∴∠BPN＝x°，∵∠PMB＝2∠KPB，∴∠PMB＝2x°，∠POM＝∠P AO+∠APO＝45°+x°，∠NMO＝90°﹣∠POM＝45°﹣x°，∴∠PMO＝∠PMB+∠NMO＝45°+x°＝∠POM，∴PO＝PM，过点P作PD⊥x轴，垂直为点D，∴OM＝2OD＝2t，∴∠OPD＝90°﹣∠POD＝45°﹣x°＝∠BMO，∴tan∠OPD＝tan∠BMO，∴，，∴t＝4或t＝﹣2（舍），∴OM＝8，由（2）知：m＝t+4＝8＝OM，∴CM∥y轴，∵∠PNM＝∠POC＝90°，∴BM∥OC，∴四边形BOCM是平行四边形，∴四边形BOCM的面BO×OM＝4×8＝32；7．解：（1）∵点A的坐标为（﹣2，0），∴OA＝2，∵OB＝2OA＝4，∴B（0，4），把A（﹣2，0）和B（0，4）代入y＝kx+b中得：，解得：，∴直线AB解析式为：y＝2x+4；（2）∵∠AOB＝90°，∴∠AO1B1＝90°，由平移得：OO1＝6，O1B1＝OB＝4，由勾股定理得：OB1＝＝2，即线段OB1的长是2；（3）△AOB扫过的面积＝+4×6＝28．8．解：（1）令点P的坐标为P（x0，y0）∵PM⊥y轴∴S△OPM＝OM•PM＝将代入得S△OPM＝＝﹣（x﹣2）2+∴当x0＝2时，△OPM的面积，有最大值S max＝，即：PM＝2，∴PM∥OB，∴即∵直线AB分别交两坐标轴于点A、B，∴A（0，3），B（4，0），∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝5，∴AP＝；（2）①在△BOP中，当BO＝BP时BP＝BO＝4，AP＝1∵PM∥OB，∴∴，将代入代入中，得∴P（，）；②在△BOP中，当OP＝BP时，如图，过点P作PN⊥OB于点N∵OP＝BP，∴ON＝将ON＝2代入中得，NP＝∴点P的坐标为P（2，），即：点P的坐标为（，）或（2，）．9．解：（1）在直线y＝﹣x﹣中，令y＝0，则有0＝﹣x﹣，∴x＝﹣13，∴C（﹣13，0），令x＝﹣5，则有y＝﹣×（﹣5）﹣＝﹣3，∴E（﹣5，﹣3），∵点B，E关于x轴对称，∴B（﹣5，3），∵A（0，5），∴设直线AB的解析式为y＝kx+5，∴﹣5k+5＝3，∴k＝，∴直线AB的解析式为y＝x+5；（2）由（1）知，E（﹣5，﹣3），∴DE＝3，∵C（﹣13，0），∴CD＝﹣5﹣（﹣13）＝8，∴S△CDE＝CD×DE＝12，由题意知，OA＝5，OD＝5，BD＝3，∴S四边形ABDO＝（BD+OA）×OD＝20，∴S＝S△CDE+S四边形ABDO＝12+20＝32，（3）由（2）知，S＝32，在△AOC中，OA＝5，OC＝13，∴S△AOC＝OA×OC＝＝32.5，∴S≠S△AOC，理由：由（1）知，直线AB的解析式为y＝x+5，令y＝0，则0＝x+5，∴x＝﹣≠﹣13，∴点C不在直线AB上，即：点A，B，C不在同一条直线上，∴S△AOC≠S．10．解：（1）∵|x﹣15|+＝0，∴x＝15，y＝13，∴OA＝BC＝15，AB＝OC＝13，∴B（15，13）；（2）如图1，过D作EF⊥OA于点E，交CB于点F，由折叠的性质可知BD＝BC＝15，∠BDN＝∠BCN＝90°，∵tan∠CBD＝，∴＝，且BF2+DF2＝BD2＝152，解得BF＝12，DF＝9，∴CF＝OE＝15﹣12＝3，DE＝EF﹣DF＝13﹣9＝4，∵∠CND+∠CBD＝360°﹣90°﹣90°＝180°，且∠ONM+∠CND＝180°，∴∠ONM＝∠CBD，∴＝，∵DE∥ON，∴＝＝，且OE＝3，∴＝，解得OM＝6，∴ON＝8，即N（0，8），把N、B的坐标代入y＝kx+b可得，解得，∴直线BN的解析式为y＝x+8；（3）设直线BN平移后交y轴于点N′，交AB于点B′，当点N′在x轴上方，即0＜t≤8时，如图2，由题意可知四边形BNN′B′为平行四边形，且NN′＝t，∴S＝NN′•OA＝15t；当点N′在y轴负半轴上，即8＜t≤13时，设直线B′N′交x轴于点G，如图3，∵NN′＝t，∴可设直线B′N′解析式为y＝x+8﹣t，令y＝0，可得x＝3t﹣24，∴OG＝3t﹣24，∵ON＝8，NN′＝t，∴ON′＝t﹣8，∴S＝S四边形BNN′B′﹣S△OGN′＝15t﹣（t﹣8）（3t﹣24）＝﹣t2+39t﹣96；综上可知S与t的函数关系式为S＝．11．解：（1）如图1：（2）如图2：，由折叠的性质，得∠C＝∠A＝∠COA＝45°，AF＝BE＝CF＝t，S△CFG＝CF•FG＝t2＝，解得t＝，t＝﹣（不符合题意，舍）；（3）分两种情况讨论：①当0＜t≤3时，如图2：四边形DCFE落在第一象限内的图形是△DFG，∴S＝t2，∵S＝t2，在t＞0时，S随t增大而增大，∴t＝3时，S最大＝；②当3＜t＜6时，如图3：，四边形DCFE落在第一象限内的图形是四边形CHOF，∴S四边形CHOF＝S△CGF﹣S△HGO，∴S＝t2﹣2（2t﹣6）2＝﹣t2+12t﹣18＝﹣（t﹣4）2+6，∵a＝﹣＜0，∴S有最大值，∴当t＝4时，S最大＝6，综上所述，当t＝4时，S最大值为6．12．解：（1）将A（6，0）代入y＝﹣x+b，得：0＝﹣×6+b，解得：b＝8，∴点B的坐标为（0，8）．∵BC＝2，点C在线段OB上，∴点C的坐标为（0，6）．设直线AC的函数解析式为y＝mx+n（m≠0），将点A（6，0），C（0，6）代入y＝mx+n，得：，解得：，∴直线AC的函数解析式为y＝﹣x+6；（2）∵点C的坐标为（0，t），∴OC＝t，BC＝OB﹣OC＝8﹣t，∴S△ABC＝OA•BC＝×6×（8﹣t）＝﹣3t+24．∵1≤t≤4，∴12≤﹣3t+24≤21，∴△ABC面积的取值范围是12≤S△ABC≤21；（3）在Rt△AOB中，OA＝6，OB＝8，∴AB＝＝10．过点C作CD⊥AB于点D，如图所示．∵AC平分∠OAB，∴CD＝CO＝t．∵∠CBD＝∠ABO，∠CDB＝∠AOB＝90°，∴△BCD～△BAO，∴＝，即＝，解得：t＝3，∴BC＝5，∴m＝AB+BC+AC＝15+AC，n＝AC+OC+OA＝AC+9，∴m﹣n＝（15+AC）﹣（AC+9）＝6．13．解：（1）∵直线y＝﹣x+b过点C（1，2）∴﹣1+b＝2∴b＝3，即直线为y＝﹣x+3当y＝0时，﹣x+3＝0，得x＝3；当x＝0时，y＝3∴B（3，0），D（0，3）故答案为：（3，0）；（0，3）．（2）①∵Rt△AOC中，∠OAC＝90°，C（1，2）∴A（0，2），OA＝2，AC＝1∵OB＝OD＝3，∠BOD＝90°∴OA+AC＝OB＝3，∠OBD＝45°∴0≤t＜3，且t≠2i）当0≤t＜2时，点P在线段OA上，点H在线段BC上，如图1∴OP＝BQ＝t∴AP＝OA﹣OP＝2﹣t，OQ＝OB﹣BQ＝3﹣t∵HQ⊥x轴于点Q∴∠BQH＝90°∴△BQH是等腰直角三角形∴HQ＝BQ＝t∴HQ∥OP且HQ＝OP∴四边形OPHQ是平行四边形∴PH∥x轴，PH＝OQ＝3﹣t∴S＝S△CPH＝PH•AP＝（3﹣t）（2﹣t）＝t2﹣t+3ii）当2＜t＜3时，点P在线段AC上，点H在线段OC上，如图2∴CP＝OA+AC﹣t＝3﹣t，x H＝OQ＝3﹣t∵直线OC解析式为：y＝2x∴QH＝y H＝2（3﹣t）＝6﹣2t∴点H到CP的距离h＝2﹣（6﹣2t）＝2t﹣4∴S＝S△CPH＝CP•h＝（3﹣t）（2t﹣4）＝﹣t2+5t﹣6综上所述，S关于t的函数关系式为S＝②存在以Q、P、H为顶点的三角形的面积与S相等．i）当0≤t＜2时，如图3∵S△CPH＝S△QPH，两三角形有公共底边为PH∴点C和点Q到PH距离相等，即AP＝OP∴t＝2﹣t∴t＝1ii）当2＜t≤2.5时，如图4，延长QH交AC于点E∴AE＝OQ＝3﹣t，AP＝t﹣2，QH＝6﹣2t∴PE＝AE﹣AP＝（3﹣t）﹣（t﹣2）＝5﹣2t∴S△QPH＝QH•PE＝（6﹣2t）（5﹣2t）＝2t2﹣11t+15∵S△CPH＝S△QPH∴﹣t2+5t﹣6＝2t2﹣11t+15解得：t1＝3（舍去），t2＝iii）当2.5＜t＜3时，如图5，延长QH交AC于点E∴PE＝AP﹣AE＝（t﹣2）﹣（3﹣t）＝2t﹣5∴S△QPH＝QH•PE＝（6﹣2t）（2t﹣5）＝﹣2t2+11t﹣15∴﹣t2+5t﹣6＝﹣2t2+11t﹣15解得：t1＝t2＝3（舍去）综上所述，t＝1或时，以Q、P、H为顶点的三角形的面积与S相等．14．解：（1）把A（﹣3，1）、B（2，4）分别代入y＝kx+b，得．解得．∵直线y＝2x+3上的一点P（x，y）又是它的“对称直线”上的点，∴点P（x，y）是直线y＝2x+3与直线y＝3x+2的交点．∴．解得．∴P（1，5）故答案是：；（2）∵点M（m，n）是直线y＝kx+b上的任意一点，∴km+b＝n①，∵点N（2m，6n﹣34）在y＝kx+b的“对称直线”上，即N（2m，6n﹣34）在直线y＝bx+k上∴2bm+k＝6n﹣34②，将①代入②得，2bm+k＝6km+6b﹣34，整理得：（2b﹣6k）m＝6b﹣k﹣34，∵对于任意一点M（m，n）等式均成立，∴，解得，∴y＝2x+6．∴B（﹣3，0）．设点C，E的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1≠x2），∵L（C，D）＝L（D，E），且D点的坐标为（2，2），∴2x1+2y1＝2x2+2y2，即x1+y1＝x2+y2，由材料一可知：直线CE的斜率为k CE＝﹣1，故设直线CE的解析式为：y＝﹣x+d（c≠0）∵DF＝6，DF∥y轴，∴F（2，﹣4）．∴﹣2+d＝﹣4．则d＝﹣2．故直线CE的解析式是：y＝﹣x﹣2．易得A（﹣2，0）．由得到：，即G（﹣，）．∴S△ABG＝AB•|y G|＝×1×＝；同理，当直线C′E′的解析式为：y＝﹣x+10时，B′（12，0），G′（，），此时S△AB′F＝AB′•|y G|＝×13×＝；综上所述，直线CE、直线y＝kx+b与x轴围成的三角形的面积是或．15．解：（1）如图1，点D为BC的中点，作直线AD，直线AD则平分△ABC的面积；（2）如图2，连接AC、BD，AC与BD交于点O，则点O为平行四边形ABCD的对称中心，作直线OP，直线OP即为所求；如图3，过A作AE⊥BC于E，∵∠ABC＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE＝＝＝3，∵BC＝12，∴▱ABCD的面积＝BC•AE＝12×3＝36；（3）∵A（8，8），∴直线OA的解析式为：y＝x，过点B作BD⊥x轴于点D，交AO于E，连接OB，则E（6，6），∵B（6，12），点P（3，6），∴点P为线段OB的中点．∵OA∥BC，BE∥OC，∴四边形OEBC是平行四边形．∴点P是平行四边形OEBC的对称中心，∴过点P的直线平分平行四边形OEBC．∴过点P的直线PF只要平分△BEA的面积即可．设直线PF的表达式为y＝kx+b，且过点P（3，6），∴3k+b＝6，即b＝6﹣3k，∴y＝kx+6﹣3k．设直线AB的表达式为y＝mx+n，且过点B（6，12），A（8，8），则，解得：，∴直线AB的函数表达式为y＝﹣2x+24．∴，解得：x＝，∴F的横坐标为，把x＝6代入y＝kx+6﹣3k得y＝3k+6，∴G（6，3k+6）同理得直线AP的解析式为y＝x+，当x＝6时，y＝，∴＜3k+6＜12，解得＜k＜2，∵S△BFG＝BG•（F x﹣6）＝（12﹣3k﹣6）（﹣6）＝（8﹣6）（12﹣6），解得k＝或k＝4（舍去），∴直线l的表达式为y＝x+4．16．解：（1）y＝k1x+6，当x＝0时，y＝6，∴OB＝6，∵OB＝OA，∴OA＝2，∴A（﹣2，0），把A（﹣2，0）代入：y＝k1x+6中得：﹣2k1+6＝0，k1＝，∴直线l1的解析式为：y＝x+6；（2）如图1，过C作CH⊥x轴于H，∵C（，1），∴OH＝，CH＝1，Rt△ABO中，AB＝＝4，∴AB＝2OA，∴∠OBA＝30°，∠OAB＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ADE＝90°，∴∠AED＝30°，∴EH＝，∴OE＝OH+EH＝2，∴E（2，0），把E（2，0）和C（，1）代入y＝k2x+b中得：，解得：，∴直线l2：y＝﹣x+2，∴F（0，2）即BF＝6﹣2＝4，则，解得，∴D（﹣，3），∴S△BCD＝BF（x C﹣x D）＝＝4；（3）分四种情况：①当Q在y轴的正半轴上时，如图2，过D作DM⊥y轴于M，过C作CN⊥y轴于N，∵△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形，∴∠CQD＝90°，CQ＝DQ，∴∠DMQ＝∠CNQ＝90°，∴∠MDQ＝∠CQN，∴△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（0，﹣m+1），∴OQ＝QN+ON＝OM+QM，即﹣m+1＝m+6+，m＝＝1﹣2，∴Q（0，2）；②当Q在x轴的负半轴上时，如图3，过D作DM⊥x轴于M，过C作CN⊥x轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝1，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（m+1，0），∴OQ＝QN﹣ON＝OM﹣QM，即m+6﹣＝﹣m﹣1，m＝5﹣4，∴Q（6﹣4，0）；③当Q在x轴的负半轴上时，如图4，过D作DM⊥x轴于M，过C作CN⊥x轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝1，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（m﹣1，0），∴OQ＝QN﹣ON＝OM+QM，即﹣m﹣6﹣＝﹣m+1，m＝﹣4﹣5，④当Q在y轴的负半轴上时，如图5，过D作DM⊥y轴于M，过C作CN⊥y轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（0，m+1），∴OQ＝QN﹣ON＝OM+QM，即﹣m﹣6+＝﹣m﹣1，m＝﹣2﹣1，∴Q（0，﹣2）；综上，存在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形，点Q的坐标是（0，±2）或（6﹣4，0）或（﹣4﹣6，0）．17．解：（1）令y＝0，∴﹣x+4＝0，∴x＝6，∴A（6，0），当t＝秒时，AP＝3×＝1，∴OP＝OA﹣AP＝5，∴P（5，0），故答案为（4，0）；（2）当点Q在原点O时，OA＝6，∴AP＝OA＝3，∴t＝3÷3＝1，①当0＜t≤1时，如图1，令x＝0，∴y＝4，∴B（0，4），∴OB＝4，∵A（6，0），∴OA＝6，在Rt△AOB中，tan∠OAB＝＝，由运动知，AP＝3t，∴P（6﹣3t，0），∴Q（6﹣6t，0），∴PQ＝AP＝3t，∵四边形PQMN是正方形，∴MN∥OA，PN＝PQ＝3t，在Rt△APD中，tan∠OAB＝＝＝，∴PD＝2t，∴DN＝t，∵MN∥OA∴∠DCN＝∠OAB，∴tan∠DCN＝＝＝，∴CN＝t，∴S＝S正方形PQMN﹣S△CDN＝（3t）2﹣t×t＝t2；②当1＜t≤时，如图2，同①的方法得，DN＝t，CN＝t，∴S＝S矩形OENP﹣S△CDN＝3t×（6﹣3t）﹣t×t＝﹣t2+18t；③当＜t≤2时，如图3，S＝S梯形OBDP＝（2t+4）（6﹣3t）＝﹣3t2+12；（3）如图4，由运动知，P（6﹣3t，0），Q（6﹣6t，0），∴M（6﹣6t，3t），∵T是正方形PQMN的对角线交点，∴T（6﹣t，t），∴点T是直线y＝﹣x+2上的一段线段，（﹣3≤x＜6），∵A（6，0）∴点N是直线AG：y＝﹣x+6上的一段线段，（0≤x≤6），∴G（0，6），∴OG＝6，∵A（6，0），∴AG＝6，在Rt△AOG中，OA＝6＝OG，∴∠OAG＝45°，∵PN⊥x轴，∴∠APN＝90°，∴∠ANP＝45°，∴∠TNA＝90°，即：TN⊥AG，∵T正方形PQMN的对角线的交点，∴TN＝TP，∴OT+TP＝OT+TN，∴点O，T，N在同一条直线上（点Q与点O重合时），且ON⊥AG时，OT+TN最小，即：OT+TN最小，∵S△OAG＝OA×OG＝AG×ON，∴ON＝＝3．即：OT+PT的最小值为3．18．解：（1）设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线BC的解析式为y＝x+4．（2）如图，连接AD交MN于点O′．由题意：四边形AMDN是菱形，M（3﹣t，0），N（3﹣t，t），∴O′（3﹣t，t），D（3﹣t，t），∵点D在BC上，∴t＝×（3﹣t）+4，解得t＝．∴t＝s时，点A恰好落在BC边上点D处，此时D（﹣，）．（3）如图2中，当0＜t≤5时，△ABC在直线MN右侧部分是△AMN，S＝•t•t＝t2．如图3中，当5＜t≤6时，△ABC在直线MN右侧部分是四边形ABNM．S＝×6×4﹣×（6﹣t）•[4﹣（t﹣5）]＝﹣t2+t﹣12．19．解：（1）对于直线y＝kx+k，令y＝0，可得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∴OA＝1，∵AB＝2，∴OB＝＝，∴k＝．（2）如图，∵tan∠BAO＝＝，∴∠BAO＝60°，∵PQ⊥AB，∴∠APQ＝90°，∴∠AQP＝30°，∴AQ＝2AP＝2t，当0＜t＜时，S＝•OQ•P y＝（1﹣2t）•t＝﹣t2+t．当t＞时，S＝OQ•P y＝（2t﹣1）•t＝t2﹣t．（3）∵OQ+AB＝（BQ﹣OP），∴2t﹣1+2＝（﹣），∴2t+1＝•，∴4t2+4t+1＝7t2﹣7t+7，∴3t2﹣11t+6＝0，解得t＝3或（舍弃），∴P（，），Q（5，0），设直线PQ的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+．20．解：（1）如图1中，∵BD⊥OD，∴∠BDO＝90°，∵BD＝2a，AB＝a，∴OD＝＝a，∵四边形ODCB是等腰梯形，∴BD＝OD＝a．故答案为a．（2）如图2中，作DM⊥OB于M，CN⊥OB于N．∵∠DOB＝∠CBO，BC＝a，∴sin∠CBO＝sin∠DOB＝＝a＝，∴CN＝a，BN＝＝a，∴ON＝OB﹣BN＝a，∴C（a，a），∵直线y＝2x﹣经过点C，∴a＝a﹣，∴a＝1．∴B（，0），C（，），D（，）．（3）如图3﹣1中，当点F在线段BC上时，∵EF⊥BD，OD⊥BD，∴EF∥OD，∴∠FEB＝∠DOB，∵∠DOB＝∠CBO，∴FEB＝∠FBE，∴FE＝FB，∴△FEB是等腰三角形，如图2中，当直线EF经过点C时，E（，0），此时EB＝，∴PB＝EB•cos∠EBP＝•＝，共线图形可知当0＜t≤时，△BFE是等腰三角形．如图3﹣2中，当点F在线段CD上，EF＝BE时，1＝t，∴t＝．如图3﹣3中，当点F在线段CD上，BF＝BE时，易证：PE＝PF，∴t＝，∴t＝1，综上所述，t的值为0＜t≤或或1时，△BEF是等腰三角形．当t＝1时，△BEF的面积最大，最大值＝××＝．。

专题10 动点产生的面积关系教学重难点1.体会点的运动过程，能从点的运动过程中抓住一些不变的量；2.能从点的运动过程中建立自变量与面积的关系式；3.让学生学会求一些基本图形的面积；4.体会压轴题的解题方法和思路。

【备注】：1.此部分知识点梳理，根据第1个图先让学生初步体会到压轴题中求图形面积的种类，可以看看每一类图形学生都是怎么求解的；2再根据第2个图引导学生总结求三角形面积的一般方法。

时间5分钟左右完成。

压轴题中求图形面积类型：三角形面积的一般求解方法：【备注】：1.以下每题教法建议，请老师根据学生实际情况参考；2.在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读题时引导学生发现一些题目中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量等等），使学生在复杂的背景下自己发现、领悟题目的意思；3.可以根据各题的“参考教法”引导学生逐步解题，并采用讲练结合；注意边讲解边让学生计算，加强师生之间的互动性，让学生参与到例题的分析中来；4.例题讲解，可以根据“参考教法”中的问题引导学生分析题目，边讲边让学生书写，每个问题后面有答案提示；5.引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类比式引导等等；6.部分例题可以先让学生自己试一试，之后再结合学生做的情况讲评；7.每个题目的讲解时间根据实际情况处理，建议每题7分钟，选讲例题在时间足够的情况下讲解。

例1（2020静安区建承中学一模）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知二次函数2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且a ≠0）的图像经过点A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0），联结AB 、AC ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点D 是线段AC 上的一点，联结BD ，如果:3:2ABD BCD S S ∆∆=，求tan∠DBC 的值； （3）如果点E 在该二次函数图像的对称轴上，当AC 平分∠BAE 时，求点E 的坐标．【整体分析】（1）直接利用待定系数法，把A 、B 、C 三点代入解析式，即可得到答案； （2）过点D 作DH ∠BC 于H ，在∠ABC 中，设AC 边上的高为h ，利用面积的比得到32AD DC =，然后求出DH 和BH ，即可得到答案；（3）延长AE 至x 轴，与x 轴交于点F ，先证明△OAB∠∠OFA ，求出点F 的坐标，然后求出直线AF 的方程，即可求出点E 的坐标. 【详解】解：（1）将A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0）代入20y ax bx c a =++≠（）得，03,0934,300a b a b c =+-⎧⎪=+-⎨⎪-=++⎩解得143a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴此抛物线的表达式是：243y x x =-+-．（2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，在∠ABC中，设AC边上的高为h，则11:():():3:222ABD BCDS S AD h DC h AD DC∆∆=⋅⋅==，又∠DH//y轴，∴25 CH DC DHOC AC OA===．∵OA=OC=3，则∠ACO=45°，∴△CDH为等腰直角三角形，∴26355 CH DH==⨯=．∴64255 BH BC CH=-=-=．∴tan∠DBC=32 DHBH=.（3）延长AE至x轴，与x轴交于点F，∠OA=OC=3，∴∠OAC=∠OCA=45°，∠∠OAB=∠OAC-∠BAC=45°-∠BAC，∠OFA=∠OCA-∠FAC=45°-∠FAC，∠∠BAC=∠FAC，∴∠OAB=∠OFA ． ∴△OAB∠∠OFA ， ∴13OB OA OA OF ==． ∴OF=9，即F （9，0）；设直线AF 的解析式为y=kx+b （k≠0），可得093k b b =+⎧⎨-=⎩ ，解得133k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AF 的解析式为：133y x =-， 将x=2代入直线AF 的解析式得：73y =-，∴E （2，73-）. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质，以及正确作出辅助线构造相似三角形.例2..已知9023ABC AB BC AD BC P ∠===°，，，∥，为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足PQ AD PC AB =（如图所示）。

2023-2024学年江苏省苏州市昆山市、太仓市、常熟市、张家港市八年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.地铁是一种现代化的大众交通工具，它为我们提供便捷、快速和安全的出行方式，在如图所示城市地铁图标中，是轴对称图形的是( )A. B. C. D.2.一次函数的图象不经过的象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.比大且比小的整数是( )A. 4B. 3C. 2D. 14.如图，两个三角形全等，则的度数是( )A. B. C. D.5.已知关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是( )A. B. 且C. D. 且6.如图，折线为y关于x的函数图象，下列关于该函数说法正确的是( )A. 点在该函数图象上B. 当时，y随x的增大而增大C. 该函数有最大值3D. 当时，函数值总大于07.为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树960棵.由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的倍，结果提前4天完成任务.原计划每天种树多少棵？设原计划每天种树x 棵，根据题意可列出的方程是( )A.B.C.D.8.在平面直角坐标系中，点A 坐标为，点B 坐标为，则A ，B 之间距离的最小值为( )A.B.C. D.二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

9.若，则______.10.在平面直角坐标系中，关于y 轴对称点的坐标是______.11.若关于x 的函数是正比例函数，则m 的值是______.12.已知的平方根是，的立方根为2，则代数式的值为______.13.在平面直角坐标系中，把点向下平移5个单位得到点，则代数式的值为______.14.如图，在中，，，于点D ，且，则AC 的长为______.15.如图，将一块含角的直角三角板放在平面直角坐标系中，顶点A ，B分别在x 轴、y 轴上，斜边BC 与x 轴交于点已知，点A坐标为，点B 的坐标为，则点D 的坐标为______.16.如图，，，BC的垂直平分线交CA的延长线于点E，交AB于点F，交BC于点若，，的平分线交DE于点M，则AM的长度为______.三、解答题：本题共11小题，共82分。

2012初三数学专题讲座（1）动点问题姓名：1、如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH（HF∥DE，∠HDE=90°）的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH∶AC=2∶3（1）延长HF交AB于G，求△AHG的面积.（2）操作：固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个单位的速度沿CB方向向右移动，直到点D与点B 重合时停止，设运动的时间为t秒，运动后的直角梯形为DEFH′（如右图）.探究1：在运动中，四边形C DH′H能否为正方形？若能，请求出此时t的值；若不能，请说明理由. 探究2：在运动过程中，△ABC与直角梯形DEFH′重叠部分的面积为y，求y与t的函数关系.解：（1）∵AH∶AC=2∶3，AC=6 ∴AH=23AC=23³6=4又∵HF∥DE，∴HG∥CB，∴△AHG∽△ACB∴AHAC =HGBC，即46=8HG，∴HG=163∴S△AHG=12AH²HG=12³4³163=323（2）①能为正方形∵HH′∥CD，HC∥H′D，∴四边形CDH′H为平行四边形又∠C=90°，∴四边形CDH′H为矩形又CH=AC-AH=6-4=2 ∴当CD=CH=2时，四边形CDH′H为正方形 此时可得t=2秒时，四边形CDH′H为正方形②（Ⅰ）∵∠DEF=∠ABC，∴EF∥AB∴当t=4秒时，直角梯形的腰EF与BA重合.当0≤t≤4时，重叠部分的面积为直角梯形DEFH′的面积.过F作FM⊥DE于M，FMME =tan∠DEF=tan∠ABC=ACBC=68=34∴ME=43FM=43³2=83，HF=DM=DE-ME=4-83=43∴直角梯形DEFH′的面积为12（4+43）³2=163∴y=163（Ⅱ）∵当4＜t≤513时，重叠部分的面积为四边形CBGH的面积-矩形CDH′H的面积.而S边形CBGH=S△ABC-S△AHG=12³8³6-323=403S矩形CDH′H =2t ∴y=403-2t（Ⅲ）当513＜t≤8时，如图，设H′D交AB于P. BD=8-t又PD DB=tan ∠ABC =34 ∴PD =34DB =34（8-t ）∴重叠部分的面积y =S △PDB =12PD ²DB =12²34（8-t ）（8-t ）=38（8-t ）2=38t 2-6t +24 ∴重叠部分面积y 与t 的函数关系式：y=316（0≤t ≤4） 403-2t （4＜t ≤513） 38t 2-6t +24（513＜t ≤8）2、如图，直线l 的解析式为4y x =-+，它与x 轴、y 轴分别相交于A B 、两点．平行于直线l 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与x 轴、y 轴分别相交于M N 、两点，设运动时间为t 秒（04t <≤）．（1）求A B 、两点的坐标； （2）用含t 的代数式表示MON △的面积1S ； （3）以MN 为对角线作矩形OMPN ，记MPN △和OAB △重合部分的面积为2S ， ①当2t <≤4时，试探究2S 与t 之间的函数关系式；②在直线m 的运动过程中，当t 为何值时，2S 为OAB △面积的516？25．（1）当0x =时，4y =；当0y =时，4x =．(40)04A B ∴，，（，）；（2）1OM OA MN AB ON OB ∴== ∥，，211122OM ON t S OM ON t ∴==∴==，·； （3）①当24t <≤时，易知点P 在OAB △的外面，则点P 的坐标为()t t ，,F 点的坐标满足4x t y t =⎧⎨=-+⎩，，即(4)F t t -，，同理(4)E t t -，，则24PF PE t t t ==-=-(4-) 所以2MPN PEF OMN PEF S S S S S =-=-△△△△2221111324248822222t PE PF t t t t t =-=---=-+-·()() ②当02t <≤时，2221151544221622S t t ==⨯⨯⨯=，，解得1202t t =<=>，，两个都不合题意，舍去；当24t <≤时，22358822S t t =-+-=，解得34733t t ==，， 综上得，当73t =或3t =时，2S 为OAB △的面积的516．3、如图， 直线l 与x 轴、y 轴分别交于点) 0,8 ( M ，点) 6,0 ( N ．点P 从点N 出发，以每秒1个单位长度的速度沿N →O 方向运动，点Ｑ从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿O →M 的方向运动．已知点ＱP 、同时出发，当点Ｑ到达点M 时，ＱP 、两点同时停止运动， 设运动时间为t 秒． （1）设四边形．．．MNPQ 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出t 的取值范围．（2）当t 为何值时，ＱP 与l 平行？4、已知直线3+=kx y （k ＜0）分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，线段OA 上有一动点P 由原点O 向点A 运动，速度为每秒1个单位长度，过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，设运动时间为t 秒．（1）当1-=k 时，线段OA 上另有一动点Q 由点A 向点O 运动，它与点P 以相同速度同时出发，当点P 到达点A 时两点同时停止运动（如图1）． ① 直接写出t ＝1秒时C 、Q 两点的坐标；② 若以Q 、C 、A 为顶点的三角形与△AOB 相似，求t 的值． （2）当43-=k 时，设以C 为顶点的抛物线n m x y ++=2)(与直线AB 的另一交点为D （如图2）， ① 求CD 的长；② 设△COD 的OC 边上的高为h ，当t 为何值时，h 的值最大？4、【答案】（1）①C （1，2），Q （2，0）．②由题意得：P (t ，0)，C (t ，－ｔ＋3)，Q (3－t ，0)， 分两种情形讨论：情形一：当△AQC ∽△AOB 时，∠AQC=∠AOB ＝90°，∴CQ ⊥OA ， ∵CP ⊥OA ，∴点P 与点Q 重合，OQ =OP ，即3－t =t ，∴t=1.5．情形二：当△ACQ ∽△AOB 时，∠ACQ=∠AOB ＝90°，∵O Ａ=O Ｂ＝3，∴△AOB 是等腰直角三角形，∴△ACQ（第4题图2）（第4题图1）是等腰直角三角形，∵CQ ⊥OA ，∴AQ=2CP ，即t =2（－t ＋3），∴t=2．∴满足条件的t 的值是1.5秒或2秒．(2) ①由题意得：C (t ，－34t ＋3)，∴以C 为顶点的抛物线解析式是23()34y x t t =--+，由233()3344x t t x --+=-+，解得x 1=t ，x 2=t 34-；过点D 作DE ⊥CP 于点E ，则∠DEC=∠AOB ＝90°，DE ∥OA ，∴∠EDC=∠OAB ，∴△DEC ∽△AOB ，∴DE CDAO BA=， ∵AO =4，AB =5，DE =t －（ｔ－34）=34．∴CD =35154416DE BA AO ⨯⨯==．②∵CD =1516，CD 边上的高=341255⨯=．∴S △COD =11512921658⨯⨯=．∴S △COD 为定值；要使OC 边上的高h 的值最大，只要OC 最短． 因为当OC ⊥AB 时OC 最短，此时OC 的长为125，∠BCO ＝90°，∵∠AOB ＝90°，∴∠COP ＝90°－∠BOC ＝∠OBA ，又∵CP ⊥OA ，∴Rt △PCO ∽Rt △OAB ，∴OP OC BO BA =，OP =123365525OC BO BA ⨯⨯==，即t =3625，∴当t 为3625秒时，h 的值最大． 5、如图，抛物线2517144y x x =-++与y 轴交于点A ，过点A 的直线与抛物线交于另一点B ，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C （3，0）.（1）求直线AB 的函数关系式；（2）动点P 在线段OC 上，从原点O 出发以每钞一个单位的速度向C 移动，过点P 作⊥x 轴，交直线AB 于点M ，抛物线于点N ，设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）设（2）的条件下（不考虑点P 与点O ，点G 重合的情况），连接CM ，BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平等四边形？问对于所求的t 的值，平行四边形BCMN 是否为菱形？说明理由.5、【解】（1）把x=0代入2517144y x x =-++，得1y = 把x=3代入2517144y x x =-++，得52y =， ∴A 、B 两点的坐标分别（0，1）、（3，52）设直线AB 的解析式为y kx b =+，代入A 、B 的坐标，得1532b k b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得112b k =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以，112y x =+（2）把x=t 分别代入到112y x =+和2517144y x x =-++ 分别得到点M 、N 的纵坐标为112t +和2517144t t -++ ∴MN=2517144t t -++-（112t +）=251544t t -+ 即251544s t t =-+ ∵点P 在线段OC 上移动， ∴0≤t ≤3.(3)在四边形BCMN 中，∵BC ∥MN∴当BC=MN 时，四边形BCMN 即为平行四边形 由25155442t t -+=，得121,2t t == 即当12t =或时，四边形BCMN 为平行四边形 当1t =时，PC=2，PM=32，PN=4，由勾股定理求得CM=BN=52, 此时BC=CM=MN=BN ，平行四边形BCMN 为菱形； 当2t =时，PC=1，PM=2，由勾股定理求得此时BC ≠CM ，平行四边形BCMN 不是菱形； 所以，当1t =时，平行四边形BCMN 为菱形． 6、在直角坐标系xoy 中，已知点P 是反比例函数）＞0(32x xy =图象上一个动点，以P 为圆心的圆始终与y 轴相切，设切点为A ．（1）如图1，⊙P 运动到与x 轴相切，设切点为K ，试判断四边形OKP A 的形状，并说明理由． （2）如图2，⊙P 运动到与x 轴相交，设交点为B ，C ．当四边形ABCP 是菱形时： ①求出点A ，B ，C 的坐标．②在过A ，B ，C 三点的抛物线上是否存在点M ，使△MBP 的面积是菱形ABCP 面积的21．若存在，试求出所有满足条件的M 点的坐标，若不存在，试说明理由．6、【答案】解：（1）∵⊙P 分别与两坐标轴相切， ∴ P A ⊥OA ，PK ⊥OK ． ∴∠P AO =∠OKP =90°． 又∵∠AOK =90°，∴ ∠P AO =∠OKP =∠AOK =90°． ∴四边形OKP A 是矩形． 又∵OA =OK ，∴四边形OKP A 是正方形．（2）①连接PB ，设点P 的横坐标为x ，则其纵坐标为x32． 过点P 作PG ⊥BC 于G ． ∵四边形ABCP 为菱形， ∴BC =P A =PB =PC ．∴△PBC 为等边三角形．在Rt △PBG 中，∠PBG =60°，PB =P A =x ，[来源:学科网]PG =x32．sin ∠PBG =PB PG，即2x x=． 解之得：x =±2（负值舍去）．∴ PGP A =B C=2． 易知四边形OGP A 是矩形，P A =OG =2，BG =CG =1， ∴OB =OG －BG =1，OC =OG +GC =3．∴ A （0，B （1，0） C （3，0）．设二次函数解析式为：y =ax 2+bx +c ．据题意得：0930a b c a b c c ⎧++=⎪++=⎨⎪=⎩APy =K O图1O AP 2y =B C图2GM解之得：a=3， b=3-， c∴二次函数关系式为：233y x x =- ②：设直线BP 的解析式为：y =ux +v ，据题意得：2u v u v +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解之得：uv=- ∴直线BP的解析式为：y =-． 过点A 作直线AM ∥PB ，则可得直线AM的解析式为：y =解方程组：233y y x x ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩得：110x y =⎧⎪⎨=⎪⎩；227x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 过点C 作直线CM ∥PB ，则可设直线CM的解析式为：y t =+． ∴0=t ．∴t =- ∴直线CM的解析式为：y =-．解方程组：233y y x x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩得：1130x y =⎧⎨=⎩ ；224x y =⎧⎪⎨=⎪⎩． 综上可知，满足条件的M 的坐标有四个，分别为：（0，（3，0），（4，（7，． 7、如图，抛物线y ＝12x 2＋bx －2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A (－1，0)．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；（3）点M (m ，0)是x 轴上的一个动点，当MC ＋MD 的值最小时，求m 的值．7、解：（1）把点A (－1，0)的坐标代入抛物线的解析式y ＝12x 2＋bx －2，整理后解得32b =-，所以抛物线的解析式为 213222y x x =--． 顶点D 325,28⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）∵AB =5，AC 2=OA 2＋OC 2=5，BC 2=OC 2＋OB 2=20， ∴AC 2＋BC 2=AB 2．∴△ABC 是直角三角形． （3）作出点C 关于x 轴的对称点C′，则C′ (0，2)，OC′=2．连接C′D 交x 轴于点M ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC ＋MD 的值最小． 设抛物线的对称轴交x 轴于点E ． △C′OM ∽△DEM ． ∴OM OC EM ED '=．∴232528m m =-．∴m =2441． 8、如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，3）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ， 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ∆的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ∆的最大面积.8、【答案】（1）解：设抛物线为2(4)1y a x =--.∵抛物线经过点A （0，3），∴23(04)1a =--.∴14a =. ∴抛物线为2211(4)12344y x x x =--=-+. (2) 答：l 与⊙C 相交.证明：当21(4)104x --=时，12x =，26x =. ∴B 为（2，0），C 为（6，0）.∴AB ==设⊙C 与BD 相切于点E ，连接CE ，则90BEC AOB ∠=︒=∠.∵90ABD ∠=︒，∴90CBE ABO ∠=︒-∠.又∵90BAO ABO ∠=︒-∠，∴BAO CBE ∠=∠.∴AOB ∆∽BEC ∆. ∴CE BCOB AB =.∴2CE =.∴2CE =>.x(第8题)∵抛物线的对称轴l 为4x =，∴C 点到l 的距离为2. ∴抛物线的对称轴l 与⊙C 相交.(3) 解：如图，过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点Q . 可求出AC 的解析式为132y x =-+ 设P 点的坐标为（m ，21234m m -+），则Q 点的坐标为（m ，132m -+）. ∴2211133(23)2442PQ m m m m m =-+--+=-+.∵22113327()6(3)24244PAC PAQ PCQ S S S m m m ∆∆∆=+=⨯-+⨯=--+,∴当3m =时，PAC ∆的面积最大为274.此时，P 点的坐标为（3，34-）.x(第8题)。

2021 年中考数学一轮复习《与相似三角形相关综合压轴题》培优提升专项训练1.现有两块等腰直角形三角板，如图，把其中一块三角板A′B′C′的一个锐角顶点B'放在另一块三角板ABC 斜边AB 的中点处，并使三角板A′B′C′绕着点B′旋转．（1）当两块三角板相对位置如图①，即AC 与A′B′交于点D，BC 与B′C′交于点E 时，求证：△AB′D∽△BEB′：（2）当两块三角板相对位置如图②，即AC 边的延长线与A′B′交于点D，BC 与B′C′交于点E 时，△AB′D 与△BEB′还相似吗？（直接给出结论．不需证明）（3）在图②中，连结DE，试探究△AB′D 与△B′ED 是否相似，并说明理由或给出证明．（4）在图①中，若△ABC 改为角C 等于150°的等腰三角形，那么△A′B′C′只要满足∠A′B′C′＝°时，仍有△AB′D∽△BEB′．2.已知Rt△ABC 中，AC＝BC＝2．一直角的顶点P 在AB 上滑动，直角的两边分别交线段AC，BC 于E．F 两点（1）如图1，当＝且PE⊥AC 时，求证：＝；（2）如图2，当＝1 时（1）的结论是否仍然成立？为什么？（3）在（2）的条件下，将直角∠EPF 绕点P 旋转，设∠BPF＝α（0°＜α＜90°）．连结EF，当△CEF 的周长等于2+ 时，请直接写出α的度数．3.如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，动点P 从A 点出发，沿AC 向点C移动，速度为每秒2 个单位长度，同时，动点Q 从C 点出发，沿CB 向点B 移动，速度为每秒1 个单位长度，当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t 秒．（1）当t＝2.5 秒时，求△CPQ 的面积；（2）求△CPQ 的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P、Q 移动的过程中，当t 为何值时，△CPQ 是等腰三角形？4.如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC：BC＝4：3，点P 从点A 出发沿AB方向向点B 运动，速度为1cm/s，同时点Q 从点B 出发沿B→C→A 方向向点A 运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．（1）求AC、BC 的长；（2）当点Q 在BC 上运动时，若△PBQ 与△ABC 相似，求时间t 的值；（3）当点Q 在CA 上运动，使PQ⊥AB 时，△PBQ 与△ABC 是否相似，请说明理由．5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点B 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，8），sin∠CAB＝，E 是线段AB 上的一个动点（与点A、点B 不重合），过点E 作EF∥AC 交BC 于点F，连接CE．（1）求AC 和OA 的长；（2）设AE 的长为m，△CEF 的面积为S，求S 与m 之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下试说明S 是否存在最大值？若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．6.如图1，等腰△ABC 中，AC＝BC，DE∥AB，AD＝DE＝EB＝5，AB＝11．一个动点P从点A 出发，以每秒1 个单位长度的速度沿折线AD﹣DE﹣EC 方向运动，当点P 到达点C 时，运动结束，过点P 作PQ⊥AB 于点Q，以PQ 为斜边向右作等腰直角三角形PMQ，设点P 的运动时间为t 秒（t＞0）．（1）当t＝时，点M 落在线段BD 上；当t＝时，点P 到达点C；（2）在整个运动过程中，设△PMQ 与△ABD 重叠部分的面积为S，请直接写出S 与t的函数关系式和相应的自变量t 的取值范围；（3）如图2，当点P 在线段DE 上运动时，线段PQ 与对角线BD 交于点F，作点P 关于BD 的对称点G，连接FG、GQ，得到△FGQ．是否存在这样的t，使△FGQ 是等腰三角形？若存在，求出对应的t 的值；若不存在，请说明理由．7.如图，已知在等腰Rt△ABC 中，∠C＝90°，斜边AB＝2，若将△ABC 翻折，折痕EF分别交边AC、边BC 于点E 和点F（点E 不与A 点重合，点F 不与B 点重合），且点C 落在AB 边上，记作点D．过点D 作DK⊥AB，交射线AC 于点K，设AD＝x，y＝cot∠CFE，（1）求证：△DEK∽△DFB；（2）求y 关于x 的函数解析式并写出定义域；（3）联结CD，当＝时，求x 的值．8.等边△ABC 的边长为2，P 是BC 边上的任一点（与B、C 不重合），连接AP，以AP 为边向两侧作等边△APD 和等边△APE，分别与边AB、AC 交于点M、N（如图1）．（1）求证：AM＝AN；（2）设BP＝x．①若BM＝，求x 的值；②记四边形ADPE 与△ABC 重叠部分的面积为S，求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；③如图2，当x 取何值时，∠BAD＝15°？9.已知：如图①，△ABC 中，AI、BI 分别平分∠BAC、∠ABC．CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，交BI 延长线于E，联结CI．（1）设∠BAC＝2α．如果用α表示∠BIC 和∠E，那么∠BIC＝，∠E＝；（2）如果AB＝1，且△ABC 与△ICE 相似时，求线段AC 的长；（3）如图②，延长AI 交EC 延长线于F，如果∠α＝30°，sin∠F＝，设BC＝m，试用m 的代数式表示BE．10.如图，已知△ABC 是等边三角形，AB＝4，D 是AC 边上一动点（不与A、C 点重合），EF 垂直平分BD，分别交AB、BC 于点E、F，设CD＝x，AE＝y．（1）求证：△AED∽△CDF；（2）求y 关于x 的函数解析式．并写出定义域；（3）过点D 作DH⊥AB，垂足为点H，当EH＝1 时，求线段CD 的长．11．（1）问题如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，∠DPC＝∠A＝∠B＝90°，求证：AD•BC＝AP•BP．（2）探究如图2，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当∠DPC＝∠A＝∠B＝θ 时，上述结论是否依然成立？说明理由．（3）应用请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD 中，AB＝6，AD＝BD＝5，点P 以每秒1 个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB 向点B 运动，且满足∠DPC＝∠A，设点P 的运动时间为t（秒），当以D 为圆心，以DC 为半径的圆与AB 相切时，求t 的值．12.已知△ABC 中，∠ABC＝90°，点M 为BC 上一点，点E、N 在AC 上，且EB＝EM，NM＝NC，（1）求证：∠EMN＝∠BEC；（2）探究：AE、EN、CN 之间的数量关系，并给出证明；（3）如图2，过点B 作BH∥EM 交NM 的延长线于H，当＝n 时，求的值．13．（1）操作发现：如图①，D 是等边△ABC 边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连接DC，以DC 为边在BC 上方作等边△DCF，连接AF．直接写出线段AF 与BD 之间的数量关系．（2）类比猜想：如图②，当△ABC 为以BC 为斜边的等腰直角三角形，D 是△ABC 边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连接DC，以DC 为斜边在BC 上方作等腰直角△FDC，连接AF．请直接写出它们的数量关系．（3）深入探究：Ⅰ．如图③，当△ABC 为以BC 为底边的等腰三角形，D 是△ABC 边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连接DC，以DC 为底边在BC 上方作等腰△FDC，∠BC A＝∠DCF，且∠BAC＝α，连接AF．线段AF 与BD 之间的有什么数量关系？证明你发现的结论；Ⅱ．如图④，当△ABC 为任意三角形，D 是△ABC 边BA 上一动点（点D 与点 B 不重合），连接DC，以DC 为边在BC 上方作△FDC∽△ABC，且＝k，连接AF．线段AF 与BD 之间的有什么数量关系？直接写出你发现的结论．14.已知矩形ABCD 的一条边AD＝8cm，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处，已知折痕与边BC 交于点O，连结AP、OP、OA．（1）如图1，若点P 恰好是CD 边的中点，①判断△ADP 与△APO 是否相似，并说明理由；②求边AB 的长；（2）如图2，若△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，动点G 从点D 出发以每秒1cm 的速度沿DP 向终点P 运动，同时动点H 从点P 出发以每秒2cm 的速度沿PA 向终点A 运动，运动的时间为t（0＜t＜5），①求边AB 的长；②问是否存在某一时刻t，使四边形ADGH 的面积S 有最小值？若存在，求出S 的最小值；若不存在，请说明理由．15.在△ABC 中，∠ACB＝90°，BE 是AC 边上的中线．（1）如图1，点D 在BC 边上，＝，AD 与BE 相交于点P，则的值为；（2）如图2，点D 在BC 的延长线上，BE 的延长线与AD 交于点P，DC：BC：AC＝1：2：3．①求的值；②若CD＝2，则BP＝．16.如图所示，E 是正方形ABCD 的边AB 上的动点，正方形的边长为4，EF⊥DE 交BC于点F．（1）求证：△ADE∽△BEF；（2）AE＝x，BF＝y．当x 取什么值时，y 有最大值？并求出这个最大值；（3）已知D、C、F、E 四点在同一个圆上，连接CE、DF，若sin∠CEF＝，求此圆直径．答案1．证明：（1）由等腰直角三角形的性质可知：∠A＝∠B＝∠A′B′C′＝45°，∵∠BB′D＝∠ADB′+∠A，∠BB′D＝∠A′B′C′+∠EB′B，∴∠ADB′＝∠BB′D﹣∠A＝∠BB′D﹣45°，∠EB′B＝∠BB′D﹣∠A′B′C′＝∠BB′D﹣45°．∴∠ADB′＝∠EB′B．又∵∠A＝∠B，∴△AB′D∽△BEB′．（2）相似．如图：理由：由等腰直角三角形的性质可知：∠A＝∠B＝∠A′B′C′＝45°，∵∠BB′D＝∠ADB′+∠A，∠BB′D＝∠A′B′C′+∠EB′B，∴∠ADB′＝∠BB′D﹣∠A＝∠BB′D﹣45°，∠EB′B＝∠BB′D﹣∠A′B′C′＝∠BB′D﹣45°．∴∠ADB′＝∠EB′B．又∵∠A＝∠B，∴△AB′D∽△BEB′．（3）由（2）可知∴△AB′D∽△BEB′，∴，又∵BB′＝AB′，∴，又∵∠A＝∠A′B′C′＝45°．∴△AB′D∽△B′ED．（4）当∠A′B′C′＝15°时，△AB′D∽△BEB′．理由：∵∠C＝150°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝15°．∵∠BB′D＝∠ADB′+∠A，∠BB′D＝∠A′B′C′+∠EB′B，∴∠ADB′＝∠BB′D﹣∠A＝∠BB′D﹣15°，∠EB′B＝∠BB′D﹣∠A′B′C′＝∠BB′D﹣15°．∴∠ADB′＝∠EB′B．又∵∠A＝∠B，∴△AB′D∽△BEB′．2．解：（1）如图1，∵PE⊥AC，∴∠AEP＝∠PEC＝90°．又∵∠EPF＝∠ACB＝90°，∴四边形PECF 为矩形，∴∠PFC＝90°，∴∠PFB＝90°，∴∠AEP＝∠PFB．∵AC＝BC，∠C＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∴∠FPB＝∠B＝45°，△AEP∽△PFB，∴PF＝BF，＝，∴＝＝；（2）（1）的结论不成立，理由如下：连接PC，如图2．∵＝1，∴点P 是AB 的中点．又∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴CP＝AP＝AB．∠ACP＝∠BCP＝∠ACB＝45°，CP⊥AB，∴∠APE+∠CPE＝90°．∵∠CPF+∠CPE＝90°，∴∠APE＝∠CPF．在△APE 和△CPF 中，，∴△APE≌△CPF，∴AE＝CF，PE＝PF．故（1）中的结论＝不成立；（3）当△CEF 的周长等于2+ 时，α的度数为75°或15°．提示：在（2）的条件下，可得AE＝CF（已证），∴EC+CF＝EC+AE＝AC＝2．∵EC+CF+EF＝2+ ，∴EF＝．设CF＝x，则有CE＝2﹣x，在Rt△CEF 中，根据勾股定理可得x2+（2﹣x）2＝（）2，整理得：3x2﹣6x+2＝0，解得：x1＝，x2＝．①若CF＝，如图3，过点P 作PH⊥BC 于H，易得PH＝HB＝CH＝1，FH＝1﹣＝，在Rt△PHF 中，tan∠FPH＝＝，∴∠FPH＝30°，∴α＝∠FPB＝30+45°＝75°；②若CF＝，如图4，过点P 作PG⊥AC 于G，同理可得：∠APE＝75°，∴α＝∠FPB＝180°﹣∠APE﹣∠EPF＝15°．3.解：（1）如图1，过点P，作PD⊥BC 于D．在Rt△ABC 中，AB＝6 米，BC＝8 米，由勾股定理得：AC＝10 米由题意得：AP＝2t，则CQ＝t，则PC＝10﹣2t∵t＝2.5 秒时，AP＝2×2.5＝5 米，QC＝2.5 米∴PD＝AB＝3 米．∴S＝QC•PD＝3.75 平方米；（2）如图1 过点Q，作QE⊥PC 于点E，∵∠C＝∠C，∠QEC＝∠ABC，∴Rt△QEC∽Rt△ABC．∴．解得：QE＝，∴S＝PC•QE＝（10﹣2t）•＝﹣t2+3t（0＜t＜5）（3）①当PC＝QC 时，PC＝10﹣2t，QC＝t，即10﹣2t＝t，解得t＝秒；②当PQ＝CQ 时，如图1，过点Q 作QE⊥AC，则CE＝＝5﹣t，CQ＝t，由（2）可知△CEQ∽△CBA，故，即，解得t＝秒；③当PC＝PQ 时，如图2，过点P 作PE⊥BC．∵PQ＝PC，PE⊥QC，∴EC＝．∴CE＝．∵PE⊥QC，∴∠PEC＝90°．∴∠PEC＝∠ABC．∵∠C＝∠C，∠PEC＝∠ABC，∴△PCE∽△ACB．∴，即＝，解得t＝秒．4.解：（1）设AC＝4x，BC＝3x，在Rt△ABC 中，AC2+BC2＝AB2，即：（4x）2+（3x）2＝102，解得：x＝2，∴AC＝8cm，BC＝6cm；（2）若△PBQ 与△ABC 相似，由已知条件得：AP＝t，BQ＝2t，∴PB＝10﹣t，①如图1，∠PQB＝∠C＝90°，∴，即，解得：t＝；②如图2，∠QPB＝∠C＝90°，∴，即，解得：t＝＞3．综上所述：当t＝时，△PBQ 与△ABC 相似；（3）如图3，当点Q 在CA 上运动，使PQ⊥AB 时，以点B、P、Q 为顶点的三角形与△ABC 不相似．理由如下：∵AP＝x，∴AQ＝14﹣2x，∵PQ⊥AB，∴△APQ∽△ACB，∴＝，即：，解得：x＝，PQ＝，∴PB＝10﹣x＝，∴＝＝≠，∴当点Q 在CA 上运动，使PQ⊥AB 时，以点B、P、Q 为顶点的三角形与△ABC 不相似．5．解：（1）∵点B 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，8），∴OB＝2，OC＝8，在Rt△AOC 中，sin∠CAB＝＝，∴．∴AC＝10，∴．（2）依题意，AE＝m，则BE＝8﹣m，∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC．∴＝．即＝，∴EF＝，过点F 作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝，∴＝，∴FG＝×＝8﹣m，∴S＝S△BCE﹣S△BFE＝＝﹣m2+4m，自变量m 的取值范围是0＜m＜8．（3）S 存在最大值．∵S＝﹣m2+4m＝，且﹣＜0，∴当m＝4 时，S 有最大值，S 最大值＝8，∵m＝4，∴点E 的坐标为（﹣2，0），∴△BCE 为等腰三角形．6．解：（1）如图1 中，作DT⊥AB 于T，EN⊥AB 于N，CH⊥AB 于H，MK⊥PQ 于K，则四边形DENT 是矩形，由△DTA≌△ENB，可得DE＝NT＝PQ＝5，AT＝BN＝3，∵AD＝EB＝5，∴DT＝EN＝4，当点M 在BD 上时，∵PK＝KQ，KM∥AB，∴DM＝MB，易知KM＝PK＝KQ＝2，DP＝2，∴t＝7 秒时，点M 在BD 上，∵EN∥CH，∴△ENB∽△CHB，∴＝，∴＝，∴BC＝，EC＝，∴点P 到达点C 时间为：5+5+ ＝秒．故答案为7 秒，秒．（2）①如图2 中，作DT⊥AB 于T，当0＜t≤5 时，重叠部分是△PQM，∵sin A＝＝，∴PQ＝t，∴S＝S△PQM＝•t•t＝t2．②如图3 中，当5＜t≤7 时，重叠部分是四边形QMHK．取BD 的中点M′，作M′P′∥PM 交DE 于P′∵KQ∥DT，∴＝，∴＝，∴KQ＝，PK＝4﹣＝，∵P′M′∥PH，∴＝，∴＝，∴DH＝（t﹣5），∵DK＝，∴HK＝DH﹣DK＝（t﹣5），∴S＝S△PMQ﹣S△PKH＝4﹣××＝﹣t2+t+．③如图4 中，当7＜t≤10 时，重叠部分是△QHK．GK，M′G′分别是△QHK、△Q′H′M′的高．由△QHK∽△Q′H′M′，得到，＝，∴＝，∴GK＝，∴S＝××＝t2﹣t+．④如图5 中，10＜t≤时，重叠部分是△QKH．由△QHK∽△Q′H′M′，得＝，可得GK＝{5﹣，∴S＝•HQ•GK＝•{5﹣2＝﹣t+ ．综上所述，S＝．（3）存在．①如图6 中，当FG＝FQ 时，∵PF＝FG＝FQ＝2，∴DP＝4，∴t＝5+4＝9．②如图7 中，当GF＝GQ 时，作GK⊥PQ，DN⊥AB 于N．由△DAN∽△GFK，得＝，∴＝，∴FK＝（t﹣5），∵GF＝GQ，GK⊥FQ，∴FQ＝2FK＝，∵PF+FQ＝4，∴（t﹣5）+ （t﹣5）＝4，∴t＝．③如图8 中，当QF＝QG 时，作QK⊥GF 于K．DN⊥AB 于N．由△ADN∽△FQK，得到＝，∴＝，∴FQ＝（t﹣5），∵PF+FQ＝4，∴（t﹣5）+ （t﹣5）＝4，∴t＝，综上所述，当△FGQ 是等腰三角形时，t 的值为9s 或s 或s．7．（1）证明：如图1，由折叠可得：∠EDF＝∠C＝90°，∠DFE＝∠CFE．∵△ABC 是等腰直角三角形，∠C＝90°，∴∠A＝∠B＝45°．∵DK⊥AB，∴∠ADK＝∠BDK＝90°，∴∠AKD＝45°，∠EDF＝∠KDB＝90°，∴∠EKD＝∠FBD，∠EDK＝∠FDB，∴△DEK∽△DFB；（2）解：∵∠A＝∠AKD＝45°，∴DK＝DA＝x．∵AB＝2，∴DB＝2﹣x．∵△DFB∽△DEK，∴＝，∴y＝cot∠CFE＝cot∠DFE＝＝＝．当点F 在点B 处时，DB＝BC＝AB•sin A＝2×＝，AD＝AB﹣BD＝2﹣；当点E 在点A 处时，AD＝AC＝AB•cos A＝2×＝；∴该函数的解析式为y＝，定义域为2﹣＜x＜；（3）取线段EF 的中点O，连接OC、OD，∵∠ECF＝∠EDF＝90°，∴OC＝OD＝EF．设EF 与CD 交点为H，根据轴对称的性质可得EF⊥CD，且CH＝DH＝CD．∵＝，∴sin∠HOC＝＝，∴∠HOC＝60°①若点K 在线段AC 上，如图2，∵CO＝EF＝OF，∴∠OCF＝∠OFC＝∠HOC＝30°，∴y＝cot30°＝，∴＝，解得：x＝﹣1；②若点K 在线段AC 的延长线上，如图3，∵OC＝OF，∠FOC＝60°，∴△OFC 是等边三角形，∴∠OFC＝60°，∴y＝cot60°＝，∴＝，解得：x＝3﹣；综上所述：x 的值为﹣1 或3﹣．8．（1）证明：∵△ABC、△APD 和△APE 是等边三角形，∴AD＝AP，∠DAP＝∠BAC＝60°，∠ADM＝∠APN＝60°，∴∠DAM＝∠PAN．在△ADM 和△APN 中，，∴△ADM≌△APN（ASA），∴AM＝AN．（2）解：①∵△ABC、△ADP 是等边三角形，∴∠B＝∠C＝∠DAP＝∠BAC＝60°，∴∠DAM＝∠PAC，∵∠ADM＝∠B，∠DMA＝∠BMP，∴180°﹣∠ADM﹣∠DMA＝180°﹣∠B﹣∠BMP，∴∠DAM＝∠BPM ，∴∠BPM＝∠NAP，∴△BPM∽△CAP，∴，∵BM＝，AC＝2，CP＝2﹣x，∴4x2﹣8x+3＝0，解得x1＝，x2＝．②∵四边形AMPN 的面积即为四边形ADPE 与△ABC 重叠部分的面积，△ADM≌△APN，∴S△ADM＝S△APN，∴S 四边形AMPN＝S△APM+S△APN＝S△AMP+S△ADM＝S△ADP．过点P 作PS⊥AB，垂足为S，在Rt△BPS 中，∵∠B＝60°，BP＝x，∴PS＝BP sin60°＝x，BS＝BP cos60°＝x，∵AB＝2，∴AS＝AB﹣BS＝2﹣x，∴AP2＝AS2+PS2＝（x）2+（2﹣x）2＝x2﹣2x+4（0＜x＜2）；∴S＝PA2＝x2﹣x+（0＜x＜2）．③连接PG，设DE 交AP 于点O．若∠BAD＝15°，∵∠DAP＝60°．∴∠PAG＝45°．∵△APD 和△APE 都是等边三角形．∴AD＝DP＝AP＝PE＝EA．∴四边形ADPE 是菱形．∴DO 垂直平分AP．∴AG＝GP．∴∠APG＝∠PAG＝45°．∴∠PAG＝90°．设BG＝t，在Rt△BPG 中，∠B＝60°．∴BP＝2t，PG＝t．∴AG＝PG＝t．∴t+t＝2．解得t＝﹣1．∴BP＝2t＝2 ﹣2．故，当x＝2﹣2 时，∠BAD＝15°．9．解：（1）在△BCE 中有：∠E＝180°﹣∠BCE﹣∠CBE，又∵AI、BI 分别平分∠BAC、∠ABC．∴CI 是∠ACB 的平分线，∵CE 是∠ACD 的平分线，∴∠ECI 是平角∠BCD 的一半，∴∠ECI＝90°，∴∠E＝90°﹣∠BCI﹣∠CBI，在△ABC 中，∠BAC＝（180°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝90°﹣∠BCI﹣∠CBE＝α，即∠E＝α．在三角形BIC 中，由外角性质得到：∠BIC＝90°+α，综上所述，∠BIC＝90°+α，∠E＝α．故填：90°+α，α；（2）由题意易证得△ICE 是直角三角形，且∠E＝α．当△ABC∽△ICE 时，可得△ABC 是直角三角形，有下列三种情况：①当∠ABC＝90° 时，∵∠BAC＝2α，∠E＝α；∴只能∠E＝∠BCA，可得∠BAC＝2∠BCA．∴∠BAC＝60°，∠BCA＝30°．∴AC＝2 AB．∵AB＝1，∴AC＝2．②当∠BCA＝90° 时，∵∠BAC＝2α，∠E＝α；∴只能∠E＝∠ABC，可得∠BAC＝2∠ABC．∴∠BAC＝60°，∠ABC＝30°．∴AB＝2 AC．∵AB＝1，∴AC＝．③当∠BAC＝90° 时，∵∠BAC＝2α，∠E＝α；∴∠E＝∠BAI＝∠CAI＝45°．∴△ABC 是等腰直角三角形．即AC＝AB．∵AB＝1，∴AC＝1．∴综上所述，当△ABC∽△ICE 时，线段AC 的长为1 或2 或．（3）∵∠E＝∠CAI，由三角形内角和可得∠AIE＝∠ACE．∴∠AIB＝∠ACF．又∵∠BAI＝∠CAI，∴∠ABI＝∠F．又∵BI 平分∠ABC，∴∠ABI＝∠F＝∠EBC．又∵∠E 是公共角，∴△EBC∽△EFI．在Rt△ICF 中，sin∠F＝，设IC＝3k，那么CF＝4k，IF＝5k．在Rt△ICE 中，∠E＝30°，设IC＝3k，那么CE＝3k，IE ＝6k．∵△EBC∽△EFI．∴＝＝．又∵BC＝m，∴BE＝m．10．解：（1）证明：如图1，∵EF 垂直平分BD，∴EB＝ED，FB＝FD．在△BEF 和△DEF 中，，∴△BEF≌△DEF（SSS），∴∠EBF＝∠EDF．∵△ABC 是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，∴∠EDF＝60°，∴∠ADE+∠FDC＝180°﹣60°＝120°．又∵∠AED+∠ADE＝180°﹣60°＝120°，∴∠AED＝∠FDC，∴△AED∽△CDF；（2）∵△ABC 是等边三角形，∴AC＝BC＝AB＝4．∵CD＝x，AE＝y，∴AD＝4﹣x，ED＝EB＝4﹣y．∵△AED∽△CDF，∴＝＝，∴＝＝，∴DF＝，CF＝．∵DF+CF＝BF+CF＝BC＝4，∴+＝4，整理得：y＝（0＜x＜4）；（3）如图2，①H 在线段AE 上时，在Rt△AHD 中，∵AH＝AE﹣EH＝y﹣1，AD＝4﹣x，∠A＝60°，∴cos A＝＝＝，∴y＝3﹣x，∴＝3﹣x，整理得：x2﹣14x+24＝0，解得：x1＝2，x2＝12，∵0＜x＜4，∴x＝2，②当H 在线段BE 上时，同理可求得x＝9﹣即CD 的长为2 或9﹣．11．解：（1）如图1，∵∠DPC＝∠A＝∠B＝90°，∴∠ADP+∠APD＝90°，∠BPC+∠APD＝90°，∴∠ADP＝∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴＝，∴AD•BC＝AP•BP；（2）结论AD•BC＝AP•BP 仍然成立．理由：如图2，∵∠BPD＝∠DPC+∠BPC，∠BPD＝∠A+∠ADP，∴∠DPC+∠BPC＝∠A+∠ADP．∵∠DPC＝∠A＝∠B＝θ，∴∠BPC＝∠ADP，∴△ADP∽△BPC，∴＝，∴AD•BC＝AP•BP；（3）如图3，过点D 作DE⊥AB 于点E．∵AD＝BD＝5，AB＝6，∴AE＝BE＝3．由勾股定理可得DE＝4．∵以点D 为圆心，DC 为半径的圆与AB 相切，∴DC＝DE＝4，∴BC＝5﹣4＝1．∴∠A＝∠B，∴∠DPC＝∠A＝∠B．由（1）、（2）的经验可知AD•BC＝AP•BP，∴5×1＝t（6﹣t），解得：t1＝1，t2＝5，∴t 的值为1 秒或5秒．12．解：（1）∵EB＝EM，NM＝NC，∴∠EBM＝∠EMB，∠NMC＝∠NCM，∴∠EMB+∠NCM+∠EMN＝180°，∵∠EBM+∠NCM+∠BEC＝180°，∴∠EMN＝∠BEC；（2）如图1，作DE⊥BC，NF⊥BC 分别交BC 于D，F，作GM⊥BC，交AC 于点G，∵EB＝EM，∠ABC＝90°，∴BD＝MD，∴DE 为梯形ABMG 的中位线，∴AE＝EG，同理可得CN＝NG，∴EG+GN＝AE+CN，即EN＝AE+CN；（3）如图2，作GM⊥BC，交AC 于点G，作NF∥EM，∴＝＝n，∵AE＝EG，CN＝NG，∴＝n，即NG＝CN＝nEG，∵NF∥EM，∴＝，即＝，∴CF＝MC，∴MF＝MC﹣MC＝MC，∵BH∥EM，NF∥EM，∴BH∥NF，∴＝，∵＝n，即BM＝CM，∴＝＝．13.解：（1）∵等边△ABC，等边△DCF，∴FC＝DC，AC＝BC，∠FCA+∠ACD＝∠BCD+∠ACD＝60°，∴∠FCA＝∠DCB，在△FCA 和△DCB 中，，∴△FCA≌△DCB，∴BD＝AF；（2）∵（1）∵△ABC 是等腰直角三角形，△DCF 是等腰直角三角形，∴＝，＝，∴＝，∠FCA+∠ACD＝∠BCD+∠ACD＝45°，∴∠FCA＝∠DCB，∴△FCA∽△DCB，∴＝；（3）Ⅰ．∵△ABC 为以BC 为底边的等腰三角形，△FDC 为以DC 为底边的等腰三角形，∠BCA＝∠DCF，∴△ABC∽△FDC，∴＝，∠ACF＝∠BCD，∴△BCD∽△ACF，∴＝，如图③，作AP⊥BC，＝＝2sin∠BAC＝2sin α，∴＝2sinα；Ⅱ、∵△FDC∽△ABC，∴，∠FCA+∠ACD＝∠BCD+∠ACD，∴∠FCA＝∠DCB，∴△FCA∽△DCB，∴＝＝k．14.解：（1）①∵点P 恰好是CD 边的中点，设DP＝PC＝y，则DC＝AB＝AP＝2y，在Rt△ADP 中，AD2+DP2＝AP2，即：82+y2＝（2y）2，解得：y＝，∵∠OPA＝∠B＝90°，∴△ADP∽△PCO，∴AD：PC＝DP：CO，∴8：y＝y：CO，则AC＝＝，∴OB＝8﹣＝，∵AB＝2y＝，∴tan∠OAB＝＝，∴∠OAB＝30°；∴∠OAP＝∠DAP＝30°，∵∠OPA＝∠D＝90°，∴△ADP∽△APO；②由①可知AB＝，（2）∵△ADP∽△PCO，△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，∴＝，即DP＝2CO，＝．AD＝2PC，∵AD＝8，∴PC＝4，在RT△ADP 中，AP2＝AD2+DP2，∵AP＝DC＝AB，∴AB2＝64+（AB﹣4）2，解得AB＝10．②∵GP＝6﹣t，PH＝2t，设△GPH 的高为h，则有h＝•2t＝．∴S 四边形ADGH＝S△ADP﹣S△GHP＝DP•DA﹣GP•h＝×8×6﹣×（6﹣t）×t＝（t﹣3）2+，∴当t＝3 时，四边形ADGH 的面积S 有最小值为．15.解：（1）如图1，作DF∥AC 交BE 于F，∴＝＝，∴＝＝＝，故答案为：；（2）①如图2，作CH∥AD 交BP 于H，∴＝，又AE＝EC，∴CH＝AP，∵CH∥AD，∴＝＝，∴＝；②∵DC：BC：AC＝1：2：3，CD＝2，∴BC＝4，AC＝6，EC＝AC＝3，由勾股定理得，BE＝5，∵CH∥AD，AE＝EC，∴HE＝EP，设HE＝EP＝x，则BH＝5﹣x，BP＝5+x，∵CH∥AD，∴＝，即＝，解得x＝1，则BP＝5+x＝6．16．（1）证明：∵∠DEF＝90°，∴∠AED+∠BEF＝90°，又∠AED+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠BEF，又∠A＝∠B，∴△ADE∽△BEF；（2）解：∵△ADE∽△BEF，∴＝，又AE＝x，BF＝y，AD＝4，∴＝，解得，y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣2）2+1，∴当x＝2 时，y 有最大值，最大值为1；（3）解：∵D、C、F、E 四点共圆，∴∠CEF＝∠CDF，∴sin∠CEF＝sin∠CDF＝＝，又CD＝4，∴DF＝5，∵∠DCF＝90°，∴DF 为此圆直径，∴此圆直径为5．。

1 / 29xy12QPAOCBxyAOB【例1】 如图，已知直线l ：22y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，将直线y=x向上平移1个单位长度得到直线P A ，点Q 是直线P A 与y 轴的交点，求四边形PQOB 的面积． 【难度】★★【答案】65．【解析】由题意可得：直线P A 的解析式为1+=x y令⎩⎨⎧+-=+=221x y x y ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==3431y x ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛3431，P ．∵点Q 是直线P A 与y 轴的交点， ∴()01Q ，． ∵直线l ：22y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ， ∴B （1，0），C （0，2）． ∴65311211221=⨯⨯-⨯⨯=-=CPQ COB PQOB S S S △△四边形． 【总结】考察四边形面积的求法，不规则图形的面积用割补法来解决．【例2】 如图，已知直线AB ：2y x =+与直线OA ：13y x =交于点A ，与直线OB ：3y x =交于点B 两点．求△AOB 的面积． 【难度】★★ 【答案】4．【解析】令⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y x y 312，解得：⎩⎨⎧-=-=13y x ，则()31A --，． 令⎩⎨⎧=+=x y x y 32，解得：⎩⎨⎧==31y x ，则()13B ，． 设直线AB 与x 轴相交于C ，则C （－2，0），∴412213221=⨯⨯+⨯⨯=+=OCB OAC OAB S S S △△△．【总结】考察三角形面积的求法，不能直接求面积则用割补法来解决，注意交点坐标 的求法．例题解析【例3】 如图，已知直线3y x =+的图像与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线l 经过原点，与线段AB 交于点C ，把△AOB 的面积分为2：1两部分，求直线l 的解 析式． 【难度】★★【答案】2y x =-或x y 21-=．【解析】∵直线3y x =+的图像与x 轴、y 轴分别交于∴A （－3，0），B （0，3），∴293321=⨯⨯=OAB S △．当OBA OBCS S △△32=时， 则2932321⨯=⨯⨯C y ，则2=C y ， ∵C 点在直线AB 上，∴C （－1，2）， 则直线l 的解析式为：2y x =-；当OBA OBC S S △△31=时，则2931321⨯=⨯⨯C y ，则1=C y ， ∵C 点在直线AB 上，∴C （－2，1），则直线l 的解析式为：x y 21-=．综上直线l 的解析式为2y x =-或x y 21-=．【总结】考察面积的求法，本题中要注意分类讨论．3 / 29【例4】 如图，已知，在矩形ABCD 中，AB =10，BC =12，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，AE =2．（1）如图1，当四边形EFGH 为正方形时，求△GFC 的面积；（2）如图2，当四边形EFGH 为菱形，且BF =a 时，求△GFC 的面积．（用含a 的代数式表示）【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）过点G 作GM ⊥BC 于M ．∵四边形EFGH 为正方形时，∴︒=∠+∠90BEF AEH ∵︒=∠+∠90AHE AEH ，∴BEF AHE ∠=∠ ∵BEF AHE ∠=∠，B A ∠=∠，EF EH =， ∴BEF AHE ≌△△同理可知：BEF MFG ≌△△ ∴2===AE BF GM∴10=-=BF BC FC ，则10=GFC S △； （2）过点G 作GM ⊥BC 于M ，连接HF ∵AD ∥BC ，∴MFH AHF ∠=∠ ∵EH ∥FG ，∴GFH EHF ∠=∠ ∴MFG AHE ∠=∠∵MFG AHE ∠=∠，GMF A ∠=∠，GF EH =， ∴MFG AHE ≌△△∴2==AE GM∴()a a GM FC S GFC -=⨯-=⋅=122122121△．【总结】本题主要考察菱形、正方形的性质和全等三角形的判定和性质．A BCDEF 图1GHABCDE F 图2GHMM4 / 29【例5】 如图1，正方形ABCD 的边长为2，点A (0， 1)和点D 在y 轴正半轴上，点B 、C 在第一象限，一次函数y ＝kx ＋2的图像l 交AD 、CD 分别于E 、F ． （1）若△DEF 与△BCF 的面积比为1∶2，求k 的值； （2）联结BE ，当BE 平分∠FBA 时，求k 的值． 【难度】★★★【答案】（1）1=k ；（2）2=k ．【解析】（1）∵正方形ABCD 的边长为2，点A (0， 1)和点D 在y 轴正半轴上，点B 、C 在第一象限， ∴B (2， 1)，C (2， 3)，D (0， 3)．∵一次函数y ＝kx ＋2的图像l 交AD 、CD 分别于E 、F ， ∴E (0， 2)． 设F (m ， 3)，∵△DEF 与△BCF 的面积比为1∶2， ∴()212221121=⨯-⨯⋅m m ，解得：1=m ，∴F (1， 3) ∵F (1， 3)在直线y ＝kx ＋2上，∴1=k ； （2）延长BE 交CD 的延长线于H ， ∵BE 平分∠FBA ，∴ABE FBE ∠=∠∵CD ∥AB ，∴ABE H ∠=∠，∴FBE H ∠=∠，∴FB=HF ∵AE =1，DE=1，∴AE=DE∵AE=DE ，BAE HDE ∠=∠，BEA HED ∠=∠ ∴△HED ≌△BEA∴HD=AB =2，∴H (－2， 3) 设F (n ， 3) ∵FB=HF ，∴()22222+=+-n n ，解得：21=n ， ∴F (21， 3) ∵F (21， 3)在直线y ＝kx ＋2上， ∴2=k ．【总结】考察等腰三角形的性质和两点之间的距离公式的运用，注意点的坐标与解析式的关系．ABCD EFxy OH5 / 29【例6】 如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝2x ＋12的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，过点A 的直线交y 轴正半轴于点M ，且点M 为线段OB 的中点． （1）求直线AM 的表达式；（2）试在直线AM 上找一点P ，使得S △ABP ＝S △AOB ，请求出点P 的坐标； （3）若点H 为坐标平面内任意一点，是否存在点H ，使以A 、B 、M 、H 为顶点的四边形是等腰梯形?若存在，请直接写出点H 的坐标；若不存在，请说明理由． 【难度】★★★【答案】（1）6+=x y ；（2）P (6， 12)或P (－18， －12)； （3）H (－12， 0)或H (－6， 18)或H (56-， 518)． 【解析】（1）∵函数y ＝2x ＋12的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，∴A (－6， 0)，B (0， 12)∵点M 为线段OB 的中点， ∴M (0， 6)， 则直线AM 的表达式为6+=x y ； （2）当点P 在AM 的延长线上时∵S △ABP ＝S △AOB ，∴OP ∥AB ，则可知直线OP 的表达式为x y 2=． ∵P 在直线AM 上，∴令⎩⎨⎧+==62x y x y ，解得：⎩⎨⎧==126y x ， ∴P (6， 12)；当P 在AM 的反向延长线上时，过P 点作PN ⊥OB ，垂足为H 设P (n ， n+6)∵AONP ABO BPN ABP S S S S 梯形△△△--=， S △ABP ＝S △AOB ，()()()()1262166621126216621⨯⨯=--⨯--⨯-⨯⨯----⋅n n n n ，解得：18-=n ，则P (－18， －12)．（3）存在点H ，使以A 、B 、M 、H 为顶点的四边形是等腰梯形．若以AM 为底，BM 为腰，过点B 作AM 的平行线，当点H (－12， 0)时，以A 、B 、M 、H 为顶点的四边形是等腰梯形；若以BM 为底，AM 为腰，过点A 作BM 的平行线，当点H (－6， 18)时，以A 、B 、M 、H 为顶点的四边形是等腰梯形；若以AB 为底，BM 为腰，过点M 作AB 的平行线，当点H (56-， 518)时，以A 、B 、M 、H 为顶点的四边形是等腰梯形．【总结】本题综合性较强，本题一方面考察面积的确定，另一方面考察等腰梯形的性质和分类讨论．ABOMxy6 / 29【例7】 如图1，已知直角坐标平面内点A (2, 0)，P 是函数y ＝x （x ＞0）图像上一点，PQ ⊥AP 交y 轴正半轴于点Q ． （1）试证明：AP ＝PQ ；（2）设点P 的横坐标为a ，点Q 的纵坐标为b ，那么b 关于a 的函数关系式是_______；（3）当S △AOQ ＝23S △APQ 时，求点P 的坐标．【难度】★★★【答案】（1）见解析；（2）22-=a b ；（3）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--255255，P 或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++255255，P ． 【解析】（1）过P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为H 、T ，∵P 是函数y ＝x （x ＞0）图像上一点 ∴PH=PT ，PH ⊥PT∵PQ ⊥AP ，∴QPT APH ∠=∠∵QPT APH ∠=∠，PH=PT ，QTP AHP ∠=∠ ∴△PHA ≌△PTQ ∴AP ＝PQ ；（2）由（1）可得：TQ a AH =-=2 ∵OH OT TQ OQ ==+， ∴a a b =-+2， 即22-=a b ； （3）设()P a a ，， ∵2221-=⋅⋅=a OQ OA S AOQ △，222122+-==a a AP S APQ △， ∴()2232222+-=-a a a ， 解得：255±=a ． ∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--255255，P 或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++255255，P ． 【总结】本题主要考察全等的运用，及三角形面积的求法，注意利用面积公式确定点的坐标．P QAy O x7 / 29【例8】 如图，矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，M 是CD 的中点，点P 在矩形的边上沿A B C M →→→运动，试写出△APM 的面积y 与点P 经过的路程x 之间的函数关系，写出定义域，并画出函数图像． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】当P 在AB 上运动时，即10≤<x ，y =x AP AD S APM =⋅=21△；当P 在BC 上运动时，即31≤<x ， ∵PCM ABP ABCM APM S S S S △△梯形△--=， ∴y =454432123+-=----=x x x S APM △； 当P 在CM 上运动时，即273≤<x ， y =x x S APM -=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-=2722721△．函数图像如由图所示．【总结】本题主要考察面积与动点的结合，注意进行讨论．【例9】 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝CD ＝AD ＝5cm ，BC ＝11cm ，点P 从点D 出发沿DA 边以每秒1cm 的速度移动，点Q 从点B 出发沿BC 边以每秒2cm 的速度移动（当点P 到达点A 时，点P 与点Q 同时停止移动），假设点P 移动的时间为x （秒），四边形ABQP 的面积为y （cm 2）． （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）在移动的过程中，求四边形ABQP 的面积与四边形QCDP 的面积相等时x 的值；（3）在移动过程中，是否存在x 使得PQ ＝AB ，若存在，求出所有的x 的值；若不存在，请说明理由． 【难度】★★【答案】（1）102+=x y （50≤≤x ）； （2）3=x ；（3）35=x 或311=x ． 【解析】（1）作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ，∵AB ＝CD ＝AD ＝5cm ，BC ＝11cm ， ∴BE=CF =3，则4=AE ．ABCDMPABCDPQE F8 / 29∵2DP x BQ x ==，， ∴()10242521+=⨯+-⨯=x x x y （50≤≤x ）； （2）当四边形ABQP 的面积与四边形QCDP 的面积相等时， 四边形ABQP 的面积等于四边形ABCD 的面积的一半，∴()41152121102⨯+⨯⨯=+x ，解得：3=x ；（3）∵PQ ＝AB ，AD //BC ，∴四边形ABQP 为平行四边形或等腰梯形． 当四边形ABQP 为平行四边形时，则AP ＝BQ ，∴x x 25=-，解得：35=x ；当四边形ABQP 为等腰梯形时，则四边形PQCD 为平行四边形，∴x x 211-=，解得：311=x ；综上所述，当PQ ＝AB 时，x 的值为53或113．【总结】本题主要考察动点背景下的平行四边形和等腰梯形的性质的综合运用．【例10】 已知：如图1，在线段AE 的同侧作正方形ABCD 和正方形BEFG （BE ＜AB ），连结EG 并延长交DC 于点M ，作MN ⊥AB ，垂足为N ，MN 交BD 于P ．设正方形ABCD 的边长为1． （1）证明：△CMG ≌△NBP ；（2）设BE ＝x ，四边形MGBN 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果按照题设方法作出的四边形BGMP 是菱形，求BE 的长． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）∵正方形ABCD 和正方形BEFG ，∴︒=∠45ABD ，︒=∠45BEG ∵CM ∥BE ，∴︒=∠=∠45BEG CMG ∵正方形ABCD ，MN ⊥AB ，∴四边形BCMN 是矩形， ∴CM=NB ． ∵CM=NB ，PNB C ∠=∠，PBN CMG ∠=∠ ∴△CMG ≌△NBP ；（2）∵正方形BEFG ，BE ＝x ， ∴x BE BG ==， ∴x CG -=1，ABC DEFGPMN9 / 29∴()()212111212+-=-+=x x x y （10<<x ）； （3）由已知可得：MN ∥BC ，MG ∥BP ， ∴四边形BGMP 是平行四边形．要使四边形BGMP 是菱形，则MG BG =， ∴()x x -=12，解得：22-=x ， ∴当22-=BE 时，四边形BGMP 是菱形．【总结】本题考察正方形的性质和动点背景的下面积问题，解题时注意认真分析题目中的条件．【例11】 已知：在梯形ABCD 中，AD //BC ，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝4，点E 在边AB上，CE ＝CD ．（1）如图1，当∠BCD 为锐角时，设AD ＝x ，△CDE 的面积为y ，求y 与x 之间 的函数解析式，并写出函数的定义域； （2） 当CD ＝5时，求△CDE 的面积． 【难度】★★★【答案】（1）x x y 4212+-=（40<<x ）；（2）27或252．【解析】（1）过C 作CF ⊥AD 交AD 延长线于F∵AD //BC ，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝4， ∴四边形ABCF 是正方形．∵CE ＝CD ，BC=CF ，∴△BCE ≌△FCD ，∴DF=BE ∵AD ＝x ，∴x DF -=4，∴x BE -=4 ∴ADE BEC ABCD y S S S =--△△梯形 ()()1114444222x x x x =+⨯-⋅⋅-⨯⨯- 2142x x =-+， 定义域为：40<<x ；（2）当∠BCD 为锐角时， ∵CD ＝5时，CF=4，∴由勾股定理可得：3=DF ，则1=AD代入解析式中可得：27=y ；当∠BCD 为钝角时，易知3DF BE ==．AB CDEFA B CDEF10 / 29∴CDEBCEADEABCD SS SS=--梯形111(47)43417222=⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯ 252=． 综上所述，△CDE 的面积为27或252． 【总结】考察全等三角形的构造和正方形的性质的综合运用，第（2）问要注意分类讨论．【例12】 如图1，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3,0），（0,1），点D是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线12y x m =-+交折线OAB 于点E ．（1）当点E 恰为AB 中点时，求m 的值；（2）当点E 在线段OA 上，记△ODE 的面积为y ，求y 与m 的函数关系式并写出定义域；（3）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试判断四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，写出该重叠部分的面积；若改变，写出重叠部分面积S 关于m 的函数关系式． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】∵四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3,0），（0,1），∴B （3,1）． （1）当点E 恰为AB 中点时，则E （3，21） ∵点E 在直线12y x m =-+上， ∴代入E 点坐标，可得：2=m ；（2）当点E 在线段OA 上，∵直线12y x m =-+交折线OAB 于点E ， ∴E （m 2，0），∴m m y =⋅⋅=1221（312m <≤）； （3）设O 1A 1与CB 相交于点M ，OA 与B 1C 1相交于点N ，则四边形O 1A 1B 1C 1与 矩形OABC 的重叠部分的面积为四边形DNEM 的面积．AB CDEOxy∵DM ∥NE ，DN ∥ME ，∴四边形DNEM 是平行四边形 ∵NED MED ∠=∠，NED MDE ∠=∠，∴NED MED ∠=∠， ∴ME MD =，∴四边形DNEM 是菱形过D 作DH ⊥OA ，垂足为H ，设菱形DNEM 的边长为a∵D （22-m ，1），E （m 2，0）， ∴DH =1，HE =()2222m m --=，∴2NH EN EH a =-=-， 在直角△DHN 中，()22212+-=a a ，解得：45=a ∴菱形DNEM 的面积为：55144⨯=．【总结】本题综合性较强，一方面考查面积与动点的结合，另一方面考查面积的定值，注意进行分析．【例13】 如图1，在正方形ABCD 中，点E 在边AB 上（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作FG ⊥DE ，FG 与边BC 相交于点F ，与边DA 的延长线相交于点G ． （1）当E 是AB 中点时，求证AG ＝BF ；（2）当E 在边AB 上移动时，观察BF 、AG 、AE 之间具有怎样的数量关系?并证明你所得到的结论；（3）联结DF ，如果正方形的边长为2，设AE ＝x ，△DFG 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域．【难度】★★★【答案】（1）见解析；（2）AE AG BF =+；（3）2212+=x y （20<<x ）．【解析】（1）当E 是AB 中点时，AE=BE∵AE=BE ，AEG BEF ∠=∠，B EAG ∠=∠ ∴△EAG ≌△EBF ∴AG ＝BF（2）AE AG BF =+过点F 作FH ⊥DA ，垂足为H ，则四边形ABFH 是矩形 ∴FH=AB=AD∵DE ⊥FG ，∴DEA ADE G ∠=∠-︒=∠90 ∵FH=AD ，DEA G ∠=∠，G A ∠=∠ ∴△FHG ≌△DAE ， ∴GH=AE ，即AE AG HA =+ ∵BF=HA ， ∴AE AG BF =+；A BCD EF GH（3）由（2）可得：FG=DE ∴224+==x DE FG ∴221442122222+=+⋅+=x x x y （20<<x ） 【总结】本题主要考察正方形背景下的动点问题，注意对常见辅助线的添加以及线段间的转化．【例14】 如图1，梯形ABCD 中，AD //BC ，∠B ＝90°，AD ＝18，BC ＝21．点P 从点A 出发沿AD 以每秒1个单位的速度向点D 匀速运动，点Q 从点C 沿CB 以每秒2个单位的速度向点B 匀速运动．点P 、Q 同时出发，其中一个点到达终点时两点停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）当AB ＝10时，设A 、B 、Q 、P 四点构成的图形的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出定义域；（2）设E 、F 为AB 、CD 的中点，求四边形PEQF 是平行四边形时t 的值．【难度】★★★【答案】（1）t S 5105-=（5.100≤≤t ）； （2）23=t ． 【解析】（1）由题意可得：AP =t ，CQ =t 2，则()t t t S 51051022121-=⨯-+⨯=（5.100≤≤t ）；（2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，取CH 的中点G ，则四边形ABHD 是矩形．∵F 是CD 的中点，G 是CH 的中点，∴DH FG 21=∵AD //BC ，∠B ＝90°，AD ＝18，BC ＝21∴CH =21-18=3，CG =2321=CH∴232-=-=t GC QC QG ∵四边形PEQF 是平行四边形， ∴PE=QF∵AB FG AE 21==，90A FGQ ∠=∠=GABCDE F PABCD Q图1备用图H∴△AEP ≌△GFQ ， ∴QG=AP∴t t =-232， 解得：23=t ，即当四边形PEQF 是平行四边形时，t 的值为32． 【总结】本题一方面考察梯形背景下的动点结合，另一方面考察中位线及平行四边形的性质的综合运用，注意认真分析．【例15】 如图1，在菱形ABCD 中，∠B ＝45°，AB ＝4．左右作平行移动的正方形EFGH 的两个顶点F 、G 始终在边BC 上．当点G 到边BC 中点时，点E 恰好在边AB 上．（1）如图1，求正方形EFGH 的边长；（2）设点B 与点F 的距离为x ，在正方形EFGH 作平行移动的过程中，正方形EFGH 与菱形ABCD 重叠部分的面积为y ，求y 与x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结FH 、HC ，当△FHC 是等腰三角形时，求BF 的长． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）当点G 到边BC 中点时，BG=2，∵∠B ＝45°，正方形EFGH 的两个顶点F 、G 始终在边BC 上． ∴BF=EF=FG ∵BG=2，∴FG=1， 即正方形EFGH 的边长为1；（2）当10≤<x 时，()212121122++-=--=x x x y ，当31≤<x 时，1=y ；（3）当FH=HC 时，∵HG ⊥CF ，∴FG=CG=1， ∴2114=--=--=FG GC BC BF ； 当FC=HC 时，∵CG CG FG FC +=+=1，2221GC GC GH HC +=+= ∴112+=+GC GC ，解得：0=GC ， ∴3014=--=--=FG GC BC BF ；当FH=FC 时，则2=FC ，此时24-=-=FC BC BF ， 综上所述，当△FHC 是等腰三角形时，BF 的长为2或3或42-．HAB C DEF G【总结】本题主要考察平行四边形与正方形的性质的综合运用，解题时注意对等腰三角形要进行分类讨论．【例16】 如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，A (0，4)，C (5， 0)，点D 是y 轴正半轴上一点，将四边形OABC 沿着过点D 的直线翻折，使得点O 落在线段AB 上的点E 处．过点E 作y 轴的平行线与x 轴交于点N ．折痕与直线EN 交于点M ，联结DE 、OM . 设OD ＝t ，MN ＝s ． （1）试判断四边形EDOM 的形状，并证明；（2）当点D 在线段OA 上时，求s 关于t 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）用含t 的代数式表示四边形EDOM 与矩形OABC 重叠部分的面积．【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）四边形EDOM 是菱形．∵将四边形OABC 沿着过点D 的直线翻折，使得点O 落在线段AB 上的点E 处， ∴EDM ODM ∠=∠，DE OD =． ∵EM ∥OD ， ∴DME ODM ∠=∠， ∴DME EDM ∠=∠，∴EM DE =，∵DE OD =，∴EM OD =． ∵EM ∥OD ，∴四边形EDOM 是平行四边形， ∵EM DE =，∴平行四边形EDOM 是菱形； （2）由（1）可得：OD ＝EM = t ， ∵EN =OA =4， ∴t s -=4（24t <<）； （3）当点D 在线段OA 上时，∵t EM ED OM OD ====，4=EN ，s t =-4∴()22224816224ON OM MN t t t t =-=--=-=-∴四边形EDOM 与矩形OABC 重叠部分面积为：224224OD ON t t t t ⋅=⋅-=-； 当点D 在线段OA 延长上时（如图所示），∵4AD t BD t =-=，， ∴2222(4)224AE BD AD t t t =-=--=-， ∴四边形EDOM 与矩形OABC 重叠部分面积为：2244824AE OA t t ⋅=-⨯=-， 综上所述，四边形EDOM 与矩形OABC 重叠部分的面积为224t t -或824t -． 【总结】本题主要考察菱形的判定方法和性质的综合运用，解题时注意进行分析．MA BCDE MNAB C OOxy xyE DN【例17】 已知：如图1，梯形ABCD 中，AD //BC ，∠A ＝90°，∠C ＝45°，AB ＝AD ＝4．E 是直线AD 上一点，联结BE ，过点E 作EF ⊥BE 交直线CD 于点F ．联结BF ．（1）若点E 是线段AD 上一点（与点A 、D 不重合），（如图1所示） ①求证：BE ＝EF ；②设DE ＝x ，△BEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出此函数的定义域；（2）直线AD 上是否存在一点E ，使△BEF 是△ABE 面积的3倍，若存在，直接写出DE 的长，若不存在，请说明理由．【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）①在AB 上截取AG=AE ，连接EG ，∵∠A ＝90°，AG=AE ， ∴︒=∠=∠45AEG AGE ， ∴︒=∠135BGE ∵AD //BC ，∠C ＝45°， ∴︒=∠135D ，∴D BGE ∠=∠ ∵AG=AE ，AB ＝AD ， ∴ED=BG∵∠A ＝90°，EF ⊥BE ， ∴DEF ABE ∠=∠∵ED=BG ，D BGE ∠=∠，DEF ABE ∠=∠ ∴△BGE ≌△EDF ， ∴BE ＝EF ；②∵DE ＝x ，∴4AE x =-， ∵∠A ＝90°，∴()222244+-=+=x AB AE BE ，∵BE ＝EF ， ∴()()23284444212122222+-=+-⋅+-=⋅⋅=x x x x EF BE y （40<<x ）；A BCDEFABCD图1备用图备用图ABCDGEF G（2）①当点E 在线段AD 上时，∵()11448222ABE S AB AE x x =⨯⨯=⨯⨯-=-△，又3BEFABESS=，∴()23282832+-=-⨯x x x ，解得：522±-=x （负值舍去），∴522+-=DE ；②当点E 在线段DA 延长线上时，延长BA 到G ，使得BG =DE ，连接EG ， 则△AGE 是等腰直角三角形．同（1）可证△BGE ≌△EDF ， ∴BE ＝EF ，21122BEF S BE EF BE =⨯⨯=⨯= ∵()824421-=-⨯⨯=x x S ABE △，又3BEFABES S=，∴()23288232+-=-⨯x x x ，解得：5210±=x ，∴5210±=DE ；③当点E 在线段AD 延长线上时，延长AB 到G ，使得BG =DE ，连接EG ， 则△AGE 是等腰直角三角形．同（1）可证△BGE ≌△EDF ， ∴BE ＝EF ，21122BEF S BE EF BE =⨯⨯=⨯==，∵()144282ABE S x x =⨯⨯+=+△，又3BEFABESS=，∴()28323282x x x ++⨯+=，解得：2x =±，∴2DE =+；综上所述，当△BEF 是△ABE 面积的3倍时，DE 的长为2-+或10±或2+【总结】本题综合性较强，主要考察全等三角形的构造方法和梯形的性质运用，注意对点在直线上的准确理解，要分多种情况进行讨论．【例18】 如图，已知正方形ABCD 的边长为3，菱形EFGH 的三个顶点E 、G 、H 分别在正方形的边AB 、CD 、DA 上，AH ＝1，联结CF ． （1）当DG ＝1时，求证菱形EFGH 为正方形；（2）设DG ＝x ，△FCG 的面积为y ，写出y 关于x 的函数解析式，并指出x 的取值范围；（3）当DG ＝433时，求∠GHE 的度数．【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）当DG ＝1时，∵AH ＝1，∴DG=AH∵菱形EFGH ， ∴HG=HE ，∵90A D ∠=∠=， ∴△HDG ≌△EAH ， ∴AEH DHG ∠=∠ ∵︒=∠+∠90AEH AHE ，∴︒=∠+∠90DHG AHE ，∴︒=∠90GHE ∴菱形EFGH 是正方形；（2）联结GE ，过F 作FM ⊥DC 交DC 的延长线于M ， ∵CD ∥AB ，∴AEG CGE ∠=∠∵FG ∥HE ，∴HEG FGE ∠=∠，∴HEA FGC ∠=∠ ∵HEA FGC ∠=∠，M A ∠=∠，FG=HE ， ∴△AHE ≌△MFG ， ∴1==FM HA ，∴()x x y 21233121-=-⋅⨯=（30<<x ）；（3）∵正方形ABCD 的边长为3，AH ＝1， ∴DH =2．当DG ＝433时，213233422222=⎪⎭⎫⎝⎛+=+=DG DH GH ， ∴2132=HE ，∴33522=-=HA HE AE ． 过G 做GN ⊥AB 于N ，∵DG ＝433，335=AE ， ∴33=NE ， ∴21323332222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=EN GN GE ， ∴HE GE GH ==， ∴△EGH 是等边三角形， ∴︒=∠60GHE ．【总结】本题主要考察正方形的性质及全等三角形的综合运用，注意辅助线的合理添 加．ABCD EFG H M N【例19】 已知：如图，四边形OABC 的四个顶点坐标分别为O (0， 0)，A (8， 0)，B (4，4)，C (0， 4)，直线l ：y ＝x ＋m 保持与四边形OABC 的边交于点M 、N （M 在折线AOC 上，N 在折线ABC 上）．设四边形OABC 在l 右下方部分的面积为S 1，在l 左上方部分的面积为S 2，记S ＝S 1－S 2（S ≥0）． （1）求∠OAB 的大小；（2）当M 、N 重合时，求l 的解析式；（3）当m ≤0时，线段AB 上是否存在点N ，使得S ＝0?若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由；（4）求S 与m 的函数关系式． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）过B 作BE ⊥x 轴，垂足为E ，则点E (4，0)∵B (4，4)， ∴44==AE BE ，，∴△ABE 为等腰直角三角形， ∴︒=∠45OAB ； （2）∵S ≥0，∴点M 、N 只能重合到点C (0， 4)，此时4=m ，故直线l 的解析式为：y ＝x ＋4；（3）四边形OABC 的面积()2448421=⨯+⨯．∵直线l ：y ＝x ＋m 保持与四边形OABC 边交于点M 、N ， ∴△AMN 为等腰直角三角形．当S ＝0时，则△AMN 的面积为四边形OABC 的面积的一半． 过N 做x 轴的垂线NH ，则NH=AH=MH ．设a NH =，则122212==⋅⋅a a a ，解得：32=a ， ∴()82323N -，，∵点N 在直线l ：y ＝x ＋m 上， ∴834-=m ；ABC OxyN ME H（4）∵S ＝S 1－S 2（S ≥0），∴834-≥m ．①当0834<≤-m 时，m OM -=，m AM +=8， 经过A (8， 0)，B (4，4)的直线解析式为：8+-=x y ， 令⎩⎨⎧+=+-=m x y x y 8， 解得：⎪⎩⎪⎨⎧+=-=2828m y m x ∴16441282822121++=+⨯+⨯⨯=m m m m S ，1224S S -=， ∴88212422121++=-=-=m m S S S S ； ②当40≤≤m 时，m OM =，m CM -=4，∴()22421m S -=，1224S S -=，∴882242121++-=-=-=m m S S S S ；综上所述，2218880)288(04)m m m S m m m ⎧++≤<⎪=⎨⎪-++≤≤⎩．【总结】本题综合性较强，主要考察图形的运动，包含了一次函数的性质及解析式的求法．解题时要注意从多个角度分析，特别要清楚动点的移动位置．【例20】 在边长为4的正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，P 是对角线AC上一动点，过点P 作PF ⊥CD 于点F ，作PE ⊥PB 交直线CD 于点E ，设P A =x ，PCE S y =△．（1）求证：DF =EF ；（2）当点P 在线段AO 上时，求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（3）点P 在运动过程中能否使△PEC 为等腰三角形?如果能，请直接写出P A 的长；如果不能，请简单说明理由． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）延长FP 交AB 于点G∵正方形ABCD 中，PF ⊥CD 于点F ，∴四边形AGFD 是矩形， ∴DF=AG ，︒=∠90AGF ∵正方形ABCD ， ∴︒=∠45BAC∵︒=∠90AGF ，∴GP AG =，∴GP DF = 同理可得：BG PF CF ==∵PE ⊥PB ，︒=∠90AGF ，∴FPE GBP ∠=∠ ∵FPE GBP ∠=∠，BG PF =，PFE BGP ∠=∠ ∴△GBP ≌△FPE ，∴GP=EF ∵GP DF =，∴EF DF =； （2）∵P A =x ， ∴x GP AG 22==，x EF DF 22==， 则x DE 2=，∴x CE 24-=， ∵x PF 224-=， ∴()8232122424212+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x x x x y （022x ≤≤）（3）点P 在运动过程中能使△PEC 为等腰三角形． 当点E 在CD 边上时，∵︒≥∠90CEP ，要使△PEC 为等腰三角形，则︒=∠=∠45ECP CPE ，则PE ⊥CE ． ∵PE ⊥PB ， ∴BP ∥CD ， ∴BP ∥BA ．于是点P 在AB 上，又点P 在AC 上，∴A 与P 重合，此时AP =0． 当点E 在DC 延长线上时，要使△PEC 为等腰三角形，只能是PC=CE ， ∴易得P A =4．【总结】本题主要考查正方形的性质的综合运用，注意对等腰的分类讨论．A BCDE F P OGxy BAOC【习题1】 如图，直线443y x =-+与y 轴交于点A ，与直线4455y x =+交于点B ，且直线4455y x =+与x 轴交于点C ，求△ABC 的面积． 【难度】★★ 【答案】4．【解析】∵直线443y x =-+与y 轴交于点A ，∴A （0，4）；∵直线443y x =-+与x 轴交于点D ，∴D （3，0）；令⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=5454434x y x y ， 解得：⎪⎩⎪⎨⎧==223y x ， 则322B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；∵直线4455y x =+与x 轴交于点C ， ∴C （－1，0），∴424214421=⨯⨯-⨯⨯=-=BCD ACD ABC S S S △△△． 【总结】考察面积的求法，不规则图形的面积用割补法来解决，注意交点坐标的确定．随堂检测【习题2】 已知直线2y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 点和B 点，另一条直线(0)y kx b k =+≠经过点C （1，0），且把△AOB 分成两部分．若△AOB 被分成的两部分面积比为1：5，求k 和b 的值． 【难度】★★★【答案】22k b ==-，或2233k b =-=，．【解析】∵直线2y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 点和B 点，∴A （2，0），B （0，2）．若△AOB 被分成的两部分面积比为1：5，那么直线(0)y kx b k =+≠与y 轴或A B 交点的纵坐标为：326122=⨯⨯． 当(0)y kx b k =+≠与直线2y x =-+相交时，交点为D ，当32=y 时，223x =-+，解得：34=x ，∴D （34，32）， ∵点C （1，0），D （34，32）在直线(0)y kx b k =+≠上， ∴22k b ==-，；当(0)y kx b k =+≠与y 轴相交时，交点为E ，当32=y 时，223x =-+，解得：34=x ，∴E （0，32）， ∵C （1，0），E （0，32）在直线(0)y kx b k =+≠上， ∴2233k b =-=，．综上，22k b ==-，或2233k b =-=，．【总结】本题主要考察面积的求法及交点坐标的确定，注意要分类讨论．【习题3】 直线364y x =-+与坐标轴分别交与点A 、B 两点，点P 、Q 同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿O B A →→运动． （1）直接写出A 、B 两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，△OPQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系；（3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O 、P 、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）∵直线364y x =-+与坐标轴分别交与点A 、B 两点，∴A （8，0），B （0，6）；（2）∵OA=8，OB=6，∴AB=10．∵点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度， ∴运动时间为8秒，∴点P 的运动速度是（6＋10）÷8=2． 当点P 在线段OB 上运动时(03)t ≤≤， ∵t OQ =，t OP 2=， ∴2t S =；当点P 在线段BA 上运动时(38)t <≤，t OQ =，t t AP 2162106-=-+=， ∵8t OA OQ S S OPAOPQ ==△△，10216tBA AP S S OBA OPA -==△△， ∴t t t t S t t S OAB OPQ 52453241021681021682+-=⨯-⋅=-⋅=△△，综上所述，S 与t 之间的函数关系为：22(03)324(38)55t t S t t t ⎧≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩；（3）当485S =时，∵6321548⨯⨯>，∴点P 在AB 上，当485S =时，524524532=+-t t ，解得：4=t ，∴524=PD ，8=AP ，532=AD ， ∴58=OD ，∴P （58，524）， ∴以点O 、P 、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标（528，524）或 （512-，524）或（512，524-）ABxyOQ P【习题4】 如图，已知：过点A （8，0）、B （0，83）两点的直线与直线3y x =交于点C ，平行于y 轴的直线l 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右平移，到C 点时停止；l 分别交线段BC 、OC 于点D 、E ，以DE 为边向左侧作等边△DEF ，设△DEF 与△BCO 重叠部分的面积为S （平方单位），直线l 的运动时间为t （秒）．（1） 写出点C 的坐标和t 的取值范围； （2） 求s 与t 的函数关系式． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）∵直线过点A （8，0）、B （0，83），∴直线AB 的解析式为383+-=x y ． 令⎪⎩⎪⎨⎧=+-=x y x y 3383， 解得：⎩⎨⎧==344y x ，∴C （4，43）， 40≤≤t ；（2）作EM ⊥y 轴与M ，DG ⊥y 轴于点G∵直线l 的运动时间为t （秒），∴D （t ，383t -+），E （t ，3t ）， ∴t t t DE 32383383-=-+-=， ∴等边△DEF 的DE 边上的高为：()t t DE 31232382323-=-=． ∵E （t ，3t ），∴t ME =，t MN 33=，同理可得：t GH 33= ∴可求梯形上底为：t t 3323238--， ∴当点F 在BO 边上时：t t =-312，∴3=t ． 当30<≤t 时，重叠部分为等腰梯形，223783238323383233t S t t t t t ⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭； 当43≤≤t 时，重叠部分为三角形，()()348324333123238212+-=--=t t t t S ．【总结】本题综合性较强，主要考察一次函数与动点的结合以及图形的运动，解题时 一方面要清晰动点的运动轨迹，另一方面要学会表示动点的坐标，第（2）问注意 要分类讨论．AB CDEOxy l FPMGxy QPAOC B【作业1】 如图，已知直线P A ：(0)y x n n =+>与直线PB ：2()y x m m n =-+>交于点P ．（1）用m 、n 表示出A 、B 、P 点的坐标；（2）若点Q 是直线P A 与y 轴的交点，且四边形PQOB 的面积56，AB=2，试求 点P 的坐标，并写出直线P A 与PB 的解析式． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）∵直线P A ：(0)y x n n =+>交x 轴与A ，∴A （n -，0），∵直线PB ：2()y x m m n =-+>交x 轴与B ， ∴B （2m，0）， 令⎩⎨⎧+-=+=m x y n x y 2， 解得：323m n x m n y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∴P （3m n -，32nm +）；（2）∵点Q 是直线P A 与y 轴的交点， ∴Q （0，n ）．∵四边形PQOB 的面积56，∴()65321221=-⋅-⋅-⋅⋅=-n m n m m m S S CPQ COB △△． ∵AB=2， ∴23=+n m， ∴21m n ==，． ∴直线P A 的解析式为：1y x =+， 直线PB 的解析式为：22y x =-+．【总结】本题主要考察点的坐标的求法及几何图形面积的表示．课后作业xy FEO【作业2】 如图所示，直线y kx b =+的截距为6，该直线分别交x 轴、y 轴于E 、F ，点E 的坐标为（－4，0）． （1）求直线y kx b =+的表达式；（2）若点P （x ，y ）是该直线第二象限上的一个动点，P A ⊥x 轴，PB ⊥y 轴，垂足分别为点A 、B ，试求四边形OAPB 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）∵直线y kx b =+的截距为6，该直线分别交x 轴、y 轴于E 、F ，∴点E 的坐标为（－4，0），∴直线y kx b =+的表达式为623+=x y ；（2）∵点P （x ，y ）是该直线第二象限上的一个动点，∴623+=x y ，∴()x x x x S 6236232--=⎪⎭⎫⎝⎛+-=（04<<-x ）．【总结】考察一次函数解析式的求法及图形面积的确定， 注意点的坐标与线段长度的关系．【作业3】 如图，已知：直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A =90°，AB =6，AD =4，DC =3，点P 从点A 出发，沿ADCB 方向移动，动点Q 从点A 出发，在AB 边上移动，设点P 移动的路程为x ，点Q 移动的路程为y ，线段PQ 平分梯形ABCD 的周长． （1） 求y 关于x 的函数解析式，并写出x 和y 的取值范围；（2） 当P 不在BC 边上时，线段PQ 能否平分ABCD 的面积?若能，求出此时x 的值；若不能，说明理由． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）过C 做CE ⊥AB 于E ，则CD=AE =3． ∵CE =4， ∴BC =5，∴梯形的周长为18．∵线段PQ 平分梯形ABCD 的周长， ∴9=+y x ． ∵60≤≤y ， ∴93≤≤x ， ∴x y -=9（93≤≤x ）；ABCD PQ E（2）∵P 不在BC 边上时，则73≤≤x ． 当43<≤x 时，点P 在AD 边上，则xy S APQ 21=△． ∵线段PQ 能否平分ABCD 的面积， ∴921=xy ． 由1929xy x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得：，∴36x y =⎧⎨=⎩或63x y =⎧⎨=⎩（舍去）；当74≤≤x 时，P 在CD 边上，此时()y x S ADPQ +-⨯=4421四边形 ∵线段PQ 能否平分ABCD 的面积， ∴()94421=+-⨯y x联立9=+y x ，方程组无解．故当x =3时，线段PQ 平分ABCD 的面积．【总结】本题考察的知识点较多，包含了梯形的性质，面梯形面积及三角形的面积公式，二元二次方程组的解法等，第（1）问注意对解析式的确定，第（2）问注意利用第（1）问的结论，同时要进行分类讨论．【作业4】 如图，在平面直角坐标系中，两个函数162y x y x ==-+，的图像交于点A ，动点P 从点O 开始在线段O 向点A 方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ ∥x 轴交直线BC 于点Q ，以PQ 为一边向下作正方形PAMN ，设它与△ABO 重叠部分的面积为S ．（1） 求点A 的坐标；（2） 试求出点P 在线段OA 上运动时，S 与运动的时间t （秒）的关系式．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】（1）令⎪⎩⎪⎨⎧+-==621x y x y ， 解得：⎩⎨⎧==44y x ，∴A （4，4）；ABCP Q O yx（2）∵动点P 从点O 开始在线段O 向点A 方向以每秒1个单位的速度运动， ∴t OP =， 则P （t 22，t 22）． ∵PQ ∥x 轴，∴Q （t 212-，t 22）， ∴t PQ 22312-=． 当t t 2222312=-时， 23=t ． 当230≤<t 时，t t t t S 262322312222+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=； 当P 到达A 点时，24=t ， 当2423<<t 时，144236292231222+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t t S ，综上所述，223(0291442t t S t t ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩．【总结】本题主要考察交点坐标与面积的确定，解题的关键是要能够掌握重叠部分图 形的特点，一开始是矩形，后来才是正方形，要找出这个临界点，这样就将问题简化 了．。

人教版五年级下册数学期末解答综合复习含解析1．把10kg苹果平均分给7只猴子，平均每只猴子分到多少千克苹果？每只猴子分到全部苹果的几分之几？2．学校美术展览中，有80幅水彩画，120幅蜡笔画，水彩画比蜡笔画少几分之几？3．玉华商店购进一批糖果，卖出了30千克，卖出的部分比剩下的多5千克。

卖出的是剩下的几分之几？剩下的部分是这批糖果总量的几分之几？4．8个好朋友合伙团购了20千克核桃，约定平均分，每人分到这些核桃的几分之几？每人分到多少千克核桃？5．某幼儿园把一些苹果平均分给小朋友，无论是分给16个小朋友还是分给20个小朋友，都刚好分完，这些苹果至少有多少个？6．李老师奖励学生糖果，每人分9颗或12颗都正好分完，李老师至少准备了多少颗糖果？7．学校有一面宣传墙，墙面用四种不同颜色的瓷砖铺满，四种颜色恰好铺成一个正方形。

每块瓷砖的长20厘米，宽15厘米，铺满这面墙至少需要多少块砌砖？8．一包糖果在100粒以内，每3粒一数余1粒，每4粒一数也余1粒，每5粒一数还余1粒，请问这包糖果共有多少粒？9．工程队铺一条76千米长的公路，第一天修了38千米，第二天比第一天多修了16千米。

两天一共修了多少千米？10．有红、黄、蓝三条丝带，红丝带比黄丝带长7m20，蓝丝带比黄丝带短3m10，红丝带与蓝丝带相差多少米？11．一瓶1升的饮料，小刚第一次喝了15升，第二次喝了14升。

小刚两次共喝了多少升饮料？12．一个修路队修一条公路，第一天修了76米，第二天比第天多修了13米，两天一共修了多少千米？13．某村村民要做一对长2米，横截面是边长50厘米的正方形通风管，至少需要多少平方米铁皮？14．做一个长方体铁皮油箱，长10分米，宽8分米，高7分米，做这个油箱至少需要铁皮多少平方分米？这个铁皮油箱最多能装多少千克油？（每升油重0.83千克）15．一个长方体的饼干盒，长16cm，宽8cm，高10cm。

如果围着它贴一圈商标纸（上、下面不贴），这张商标纸的面积至少有多少平方厘米？16．一个铁皮油箱的长和宽都是8分米，高是5分米，做这个油箱至少需要铁皮多少平方分米？若每升汽油重0.82千克，这个油箱最多可装汽油多少千克？（铁皮厚度忽略不计）17．工人师傅要将一个棱长6分米的正方体钢锭，铸造成一个长8分米，宽3分米的长方体钢锭。

（2022•乐山中考）如图，等腰△ABC的面积为2√3，AB＝AC，BC＝2．作AE∥BC且AE=12BC．点P是线段AB上一动点，连结PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点．那么，当点P从A点运动到B点时，点M的运动路径长为（）A．√3B．3 C．2√3D．4【解析】选B．如图，过点A作AH⊥BC于点H．当点P与A重合时，点F与C重合，当点P与B重合时，点F的对应点为F″，点M的运动轨迹是△ECF″的中位线，M′M″=12CF″，因为AB＝AC，AH⊥BC，所以BH＝CH，因为AE∥BC，AE=12BC，所以AE＝CH，所以四边形AHCE是平行四边形，因为∠AHC＝90°，所以四边形AHCE是矩形，所以EC⊥BF″，AH＝EC，因为BC＝2，S△ABC＝2√3，所以12×2×AH＝2√3，所以AH＝EC2√3，因为∠BFF″＝∠ECB＝∠ECF″，所以∠BEC+∠CEF″＝90°，∠CEF″+∠F″＝90°，所以∠BEC＝∠F″，所以△ECB∽△F″CE，所以EC2＝CB•CF″，所以CF″=(2√3)22=6，所以M′M″＝3（2022·恩施州中考）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10cm，BC＝8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（）A．当t＝4s时，四边形ABMP为矩形B．当t＝5s时，四边形CDPM为平行四边形C．当CD＝PM时，t＝4sD．当CD＝PM时，t＝4s或6s【解析】选D．根据题意，可得DP＝t，BM＝t，因为AD＝10cm，BC＝8cm，所以AP＝10﹣t，CM＝8﹣t，当四边形ABMP为矩形时，AP＝BM，即10﹣t＝t，解得t＝5，故A选项不符合题意；当四边形CDPM为平行四边形，DP＝CM，即t＝8﹣t，解得t＝4，故B选项不符合题意；当CD＝PM时，分两种情况：①四边形CDPM是平行四边形，此时CM＝PD，即8﹣t＝t，解得t＝4，②四边形CDPM是等腰梯形，过点M作MG⊥AD于点G，过点C作CH⊥AD于点H，如图所示：则∠MGP＝∠CHD＝90°，因为PM＝CD，GM＝HC，所以△MGP≌△CHD（HL），所以GP＝HD，因为AG＝AP+GP＝10﹣t+t−(8−t)2，又因为BM＝t，所以10﹣t+t−(8−t)2=t，解得t＝6，综上，当CD＝PM时，t＝4s或6s，故C选项不符合题意，D选项符合题意.（2022•绍兴中考）如图，AB＝10，点C是射线BQ上的动点，连结AC，作CD⊥AC，CD＝AC，动点E在AB延长线上，tan∠QBE＝3，连结CE，DE，当CE＝DE，CE⊥DE时，BE的长是5或354．【解析】如图，过点C作CT⊥AE于点T，过点D作DJ⊥CT交CT的延长线于点J，连接EJ．因为tan ∠CBT ＝3=CT BT ，所以可以假设BT ＝k ，CT ＝3k ，因为∠CAT +∠ACT ＝90°，∠ACT +∠JCD ＝90°，所以∠CAT ＝∠JCD ，在△ATC 和△CJD 中，{∠ATC =∠CJD =90°∠CAT =∠JCD CA =CD，所以△ATC ≌△CJD （AAS ），所以DJ ＝CT ＝3k ，AT ＝CJ ＝10+k ，因为∠CJD ＝∠CED ＝90°，所以C ，E ，D ，J 四点共圆，因为EC ＝DE ，所以∠CJE ＝∠DJE ＝45°，所以ET ＝TJ ＝10﹣2k ，因为CE 2＝CT 2+TE 2＝（√22CD ）2，所以（3k ）2+（10﹣2k ）2＝[√22•√(3k)2+(10+k)2]2， 整理得4k 2﹣25k +25＝0，所以（k ﹣5）（4k ﹣5）＝0，所以k ＝5和54，所以BE ＝BT +ET ＝k +10﹣2k ＝10﹣k ＝5或354.答案：5或354．（2022•黄冈中考）如图1，在△ABC 中，∠B ＝36°，动点P 从点A 出发，沿折线A →B →C 匀速运动至点C 停止．若点P 的运动速度为1cm /s ，设点P 的运动时间为t （s ），AP 的长度为y （cm ），y 与t 的函数图象如图2所示．当AP 恰好平分∠BAC 时t 的值为 2√5+2 ．【解析】如图，连接AP ，由题图2可得AB ＝BC ＝4cm ，因为∠B ＝36°，AB ＝BC ，所以∠BAC ＝∠C ＝72°，因为AP 平分∠BAC ，所以∠BAP ＝∠PAC ＝∠B ＝36°，所以AP ＝BP ，∠APC ＝72°＝∠C ，所以AP ＝AC ＝BP ，因为∠PAC ＝∠B ，∠C ＝∠C ，（2022•宿迁中考）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点M、N分别是边AD、BC的中点，某一时刻，动点E从点M出发，沿MA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动；同时，动点F从点N出发，沿NC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接EF，过点B作EF的垂线，垂足为H．在这一运动过程中，点H所经过的路径长是√52π．【解析】如图1中，连接MN交EF于点P，连接BP．因为四边形ABCD是矩形，AM＝MD，BN＝CN，所以四边形ABNM是矩形，所以MN＝AB＝6，因为EM∥NF，所以△EPM∽△FPN，所以PMPN =EMNF=2tt=2，所以PN＝2，PM＝4，因为BN＝4，所以BP=√PN2+BN2=√22+42=2√5，因为BH⊥EF，所以∠BPH＝90°，所以点H在BP为直径的⊙O上运动，当点E与A重合时，如图2中，连接OH，ON．点H的运动轨迹是NĤ．此时AM＝4，NF＝2，所以BF＝AB＝6，（2022•广元中考）如图，直尺AB垂直竖立在水平面上，将一个含45°角的直角三角板CDE的斜边DE靠在直尺的一边AB上，使点E与点A重合，DE＝12cm．当点D沿DA方向滑动时，点E同时从点A出发沿射线AF方向滑动．当点D滑动到点A时，点C运动的路径长为（24﹣12√2）cm．【解析】当点D沿DA方向下滑时，得△E′C′D′，过点C′作C′N⊥AD于点N，作C′M⊥AF于点M．因为DE＝12cm，CD＝CE，∠ACE＝90°，所以CD＝CE＝6√2cm，因为∠MAN＝∠C′NA＝∠C′MA＝90°，所以四边形AMC′N是矩形，所以∠MC′N＝∠D′C′E′＝90°，所以∠D′C′N＝∠E′C′M，因为C′D′＝C′E′，∠C′ND′＝∠C′ME′＝90°，所以△C′ND′≌△C′ME′（AAS），所以C′N＝C′M，因为C′N⊥DA，C′M⊥AF，所以AC′平分∠BAF，所以点C在射线AC′上运动，当C′D′⊥AD时，AC′的值最大，最大值为12cm，当点D滑动到点A时，点C运动的路径长为2CC′＝2（12﹣6√2）＝（24﹣12√2）cm．答案：（24﹣12√2）．（1）如图2，当点E 落在边AB 上时，延长DE 交BC 于点F ，求BF 的长．（2）若点C 、E 、D 在同一条直线上，求点D 到直线BC 的距离．（3）连接DC ，取DC 的中点G ，三角板DEB 由初始位置（图1），旋转到点C 、B 、D 首次在同一条直线上（如图3），求点G 所经过的路径长．（4）如图4，G 为DC 的中点，则在旋转过程中，点G 到直线AB 的距离的最大值是 7√34 ．【解析】（1）由题意得，∠BEF ＝∠BD ＝90°，在Rt △BEF 中，∠ABC ＝30°，BE ＝3，所以BF =BE cos∠ABC =3cos30°=2√3；（2）①当点E 在BC 上方时，如图1，过点D 作DH ⊥BC 于H ，在Rt △ABC 中，AC ＝3，所以tan ∠ABC =AC BC ，所以BC =AC tan∠ABC =3tan30°=3√3，在Rt △BED 中，∠EBD ＝∠ABC ＝30°，BE ＝3，所以DE ＝BE •tan ∠DBE =√3，因为S △BCD =12CD •BE =12BC •DH ，所以DH =CD⋅BEBC =√6+1，②当点E 在BC 下方时，如图2，在Rt △BCE 中，BE ＝3，BC ＝3√3，根据勾股定理得，CE =√BC 2−BE 2=3√2，所以CD ＝CE ﹣DE ＝3√2−√3，过点D 作DM ⊥BC 于M ，因为S △BDC =12BC •DM =12CD •BE ，所以DM=CD⋅BEBC=√6−1，即点D到直线BC的距离为√6±1；（3）如图3﹣1，连接CD，取CD的中点G，取BC的中点O，连接GO，则OG∥AB，所以∠OCG＝∠B＝30°，所以∠BOE＝150°，因为点G为CD的中点，点O为BC的中点，所以GO=12BD=√3，所以点G是以点O为圆心，√3为半径的圆上，如图3﹣2，所以三角板DEB由初始位置（图1），旋转到点C、B、D首次在同一条直线上时，点G所经过的轨迹为150°所对的圆弧，所以点G所经过的路径长为150π⋅√3180=5√36π；（4）如图4，过点O作OK⊥AB于K，因为点O为BC的中点，BC＝3√3，所以OB=3√32，所以OK＝OB•sin30°=3√34，由（3）知，点G是以点O为圆心，√3为半径的圆上，所以点G到直线AB的距离的最大值是√3+3√34=7√34，答案：7√34．当OF 与BC 垂直时，重叠部分的面积为 1 ；一般地，若正方形面积为S ，在旋转过程中，重叠部分的面积S 1与S 的关系为 S 1=14S ；类比探究（2）若将三角板的顶点F 放在点O 处，在旋转过程中，OE ，OP 分别与正方形的边相交于点M ，N ． ①如图2，当BM ＝CN 时，试判断重叠部分△OMN 的形状，并说明理由；②如图3，当CM ＝CN 时，求重叠部分四边形OMCN 的面积（结果保留根号）；拓展应用（3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O 处，该锐角记为∠GOH （设∠GOH ＝α），将∠GOH 绕点O 逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH 的两边与正方形ABCD 的边所围成的图形的面积为S 2，请直接写出S 2的最小值与最大值（分别用含α的式子表示）．（参考数据：sin15°=√6−√24，cos15°=√6+√24，tan15°＝2−√3）【解析】（1）如图1，若将三角板的顶点P 放在点O 处，在旋转过程中，当OF 与OB 重合时，OE 与OC 重合，此时重叠部分的面积＝△OBC 的面积=14正方形ABCD 的面积＝1；当OF 与BC 垂直时，OE ⊥BC ，重叠部分的面积=14正方形ABCD 的面积＝1；一般地，若正方形面积为S ，在旋转过程中，重叠部分的面积S 1与S 的关系为S 1=14S ．理由：如图1中，设OF 交AB 于点J ，OE 交BC 于点K ，过点O 作OM ⊥AB 于点M ，ON ⊥BC 于点N ．因为O 是正方形ABCD 的中心，所以OM ＝ON ，因为∠OMB ＝∠ONB ＝∠B ＝90°，所以四边形OMBN 是矩形，因为OM ＝ON ，所以四边形OMBN 是正方形，所以∠MON ＝∠EOF ＝90°，所以∠MOJ ＝∠NOK ，因为∠OMJ ＝∠ONK ＝90°，所以△OMJ ≌△ONK （AAS ），所以S △PMJ ＝S △ONK ，所以S 四边形OKBJ ＝S 正方形OMBN =14S 正方形ABCD ，所以S 1=14S ．答案：1，1，S 1=14S ．（2）①如图2中，结论：△OMN 是等边三角形．理由：过点O 作OT ⊥BC ，因为O 是正方形ABCD 的中心，所以BT ＝CT ，因为BM ＝CN ，所以MT ＝TN ，因为OT ⊥MN ，所以OM ＝ON ，因为∠MON ＝60°，所以△MON 是等边三角形；②如图3中，连接OC ，过点O 作OJ ⊥BC 于点J ．因为CM ＝CN ，∠OCM ＝∠OCN ，OC ＝OC ，所以△OCM ≌△OCN （SAS ），所以∠COM ＝∠CON ＝30°，所以∠OMJ ＝∠COM +∠OCM ＝75°，因为OJ ⊥CB ，所以∠JOM ＝90°﹣75°＝15°，因为BJ ＝JC ＝OJ ＝1，所以JM ＝OJ •tan15°＝2−√3，所以CM ＝CJ ﹣MJ ＝1﹣（2−√3）=√3−1，所以S 四边形OMCN ＝2×12×CM ×OJ =√3−1．（3）如图4﹣1中，过点O 作OQ ⊥BC 于点Q ，当BM ＝CN 时，△OMN 的面积最小，即S 2最小．在Rt △MOQ 中，MQ ＝OQ •tan α2=tan α2，所以MN ＝2MQ ＝2tan α2，所以S 2＝S △OMN =12×MN ×OQ ＝tan α2．如图4﹣2中，当CM ＝CN 时，S 2最大．同法可证△COM ≌△CON ，所以∠COM =12α，因为∠COQ ＝45°，所以∠MOQ ＝45°−12α， QM ＝OQ •tan （45°−12α）＝tan （45°−12α），所以MC ＝CQ ﹣MQ ＝1﹣tan （45°−12α），所以S 2＝2S △CMO ＝2×12×CM ×OQ ＝1﹣tan （45°−12α）．（2022•金华中考）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝10，sin B =35，点E 从点B 出发沿折线B ﹣C ﹣D 向终点D 运动．过点E 作点E 所在的边（BC 或CD ）的垂线，交菱形其它的边于点F ，在EF 的右侧作矩形EFGH ．（1）如图1，点G 在AC 上．求证：FA ＝FG ．（2）若EF ＝FG ，当EF 过AC 中点时，求AG 的长．（3）已知FG ＝8，设点E 的运动路程为s ．当s 满足什么条件时，以G ，C ，H 为顶点的三角形与△BEF 相似（包括全等）？【解析】（1）如图1中，因为四边形ABCD 是菱形，所以BA ＝BC ，所以∠BAC ＝∠BCA ，因为FG ∥BC ．所以∠AGF ＝∠ACB ，所以∠AGF ＝∠FAG ，所以FA ＝FG ；（2）设AO 的中点为O ．①如图2中，当点E 在BC 上时，过点A 作AM ⊥CB 于点M ．在Rt△ABM中，AM＝AB•sin B＝10×35=6，所以BM=√AB2−AM2=√102−62=8，所以FG＝EF＝AM＝6，CM＝BC﹣BM＝2，因为OA＝OC，OE∥AM，所以CE＝EM=12CM＝1，所以AF＝EM＝1，所以AG＝AF+FG＝7．②如图3中，当点E在CD上时，过点A作AN⊥CD于N．同法FG＝EF＝AN＝6，CN＝2，AF＝EN=12CN，所以AG＝FG﹣AF＝6﹣1＝5，综上所述，满足条件的AG的长为5或7；（3）过点A作AM⊥BC于点M，AN⊥CD于点N．①当点E在线段BM上时，0＜s≤8，设EF＝3x，则BE＝4x，GH＝EF＝3x．a、若点H值点C的左侧，x+B≤10，即0＜x≤2，如图4，CH＝BC﹣BH＝10﹣（4x+8）＝2﹣4x，由△GHC∽△FEB，可得GHEF =CHBE，即GHCH=EFBE，所以3x2−4x =34，解得x=14，经检验x=14是分式方程的解，所以s＝4x＝1．由△GHC∽△BEF，可得GHBE =CHEF，即GHCH=BEEF，所以3x4−2x =43，解得x=825，所以s＝4x=3225．b、若点H在点C的右侧，s+8＞10，即2＜s≤8，如图5，CH ＝BH ﹣BC ＝（4x +8）﹣10＝4x ﹣2，由△GHC ∽△FEB ，可得GHEF =CHBE ，即GHCH =EFBE ，所以3x4x−2=34，方程无解， 由△GHC ∽△BEF ，可得GHBE =CHEF，即GH CH =BEEF ， 所以3x4x−2=43，解得x =87，所以s ＝4x =327．②当点E 在线段MC 上时，8＜s ≤10，如图6，EF ＝6，EH ＝8，BE ＝s ，所以BH ＝BE +EH ＝s ＝8，CH ＝BH ﹣BC ＝s ﹣2，由△GHC ∽△FEB ，可得GHEF =CHBE ，即GHCH =EFBE ，所以6s−2=6s ，方程无解， 由△GHC ∽△FEB ，可得GHBE =CHEF，即GH CH =BEEF ， 所以6s−2=s6，解得s ＝1±√37（舍弃）；③当点E 在线段CN 上时，10≤x ≤12，如图7，过点C 作CJ ⊥AB 于点J ，在Rt △BJC 中，BC ＝10，CJ ＝6，BJ ＝8，因为EH ＝BJ ＝8，JF ＝CE ，所以BJ +JF ＝EH +CE ，即CH ＝BF ， 所以△GHC ≌△EFB ，符合题意，此时10≤s ≤12． ④当点E 值线段DN 上时，12＜s ＜20， 因为∠EFB ＞90°，所以△GHC 与△BEF 不相似．综上所述．满足条件的s 的值为1或3225或227或10≤s ≤12．的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD＝α．（1）如图，当P与E重合时，求α的度数．（2）当P与E不重合时，记∠BAD＝β，探究α与β的数量关系．【解析】（1）因为∠B＝40°，∠ACB＝90°，所以∠BAC＝50°，因为AE平分∠BAC，P与E重合，所以D在AB边上，AC＝AD，所以∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣∠BAC）÷2＝65°，所以α＝∠ACB﹣∠ACD＝25°；答：α的度数为25°；（2）①当点P在线段BE上时，如图：因为将△APC沿AP翻折得△APD，所以AC＝AD，因为∠BCD＝α，∠ACB＝90°，所以∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，又因为∠ADC+∠BAD＝∠B+∠BCD，∠BAD＝β，∠B＝40°，所以（90°﹣α）+β＝40°+α，所以2α﹣β＝50°，②如图2，当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，如图：因为将△APC沿AP翻折得△APD，所以AC＝AD，因为∠BCD＝α，∠ACB＝90°，所以∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，又因为∠ADC＝∠AFC+∠BCD，∠AFC＝∠ABC+∠BAD，所以∠ADC＝∠ABC+∠BAD+∠BCD＝40°+β+α，所以90°﹣α＝40°+α+β，所以2α+β＝50°；综上所述，当点P在线段BE上时，2α﹣β＝50°；当点P在线段CE上时，2α+β＝50°.点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）若AB＝AC，且BD＝AE，将△ABC沿直线AB翻折至△ABC所在平面内得到△ABP，点H是AP的中点，点K 是线段PF上一点，将△PHK沿直线HK翻折至△PHK所在平面内得到△QHK，连接PQ．在点D，E运动过程中，当线段PF取得最小值，且QK⊥PF时，请直接写出PQBC的值．【解析】（1）如图1中，在射线CD上取一点K，使得CK＝BE，在△BCE和△CBK中，{BC=CB∠BCK=∠CBE BE=CK，所以△BCE≌△CBK（SAS），所以BK＝CE，∠BEC＝∠BKD，因为CE＝BD，所以BD＝BK，所以∠BKD＝∠BDK＝∠ADC＝∠CEB，因为∠BEC+∠AEF＝180°，所以∠ADF+∠AEF＝180°，所以∠A+∠EFD＝180°，因为∠A＝60°，所以∠EFD＝120°，所以∠CFE＝180°﹣120°＝60°；（2）结论：BF+CF＝2CN．理由：如图2中，因为AB＝AC，∠A＝60°，所以△ABC是等边三角形，所以AB＝CB，∠A＝∠CBD＝60°，因为AE＝BD，所以△ABE≌△BCD（SAS），所以∠BCF＝∠ABE，所以∠FBC+∠BCF＝60°，所以∠BFC＝120°，如图2﹣1中，延长CN到Q，使得NQ＝CN，连接FQ，因为NM＝NF，∠CNM＝∠FNQ，CN＝NQ，所以△CNM≌△QNF（SAS），所以FQ＝CM＝BC，延长CF到P，使得PF＝BF，则△PBF是等边三角形，所以∠PBC+∠PCB＝∠PCB+∠FCM＝120°，所以∠PFQ＝∠FCM＝∠PBC，因为PB ＝PF ，所以△PFQ ≌△PBC （SAS ），所以PQ ＝PC ，∠CPB ＝∠QPF ＝60°， 所以△PCQ 是等边三角形，所以BF +CF ＝PC ＝QC ＝2CN ． （3）由（2）可知∠BFC ＝120°，所以点F 的运动轨迹为红色圆弧（如图3﹣1中）， 所以P ，F ，O 三点共线时，PF 的值最小， 此时tan ∠APK =AOAP =2√3，所以∠HPK ＞45°， 因为QK ⊥PF ，所以∠PKH ＝∠QKH ＝45°，如图3﹣2中，过点H 作HL ⊥PK 于点L ，设PQ 交KH 题意点J ，设HL ＝LK ＝2，PL =√3，PH =√7，KH ＝2√2， 因为S △PHK =12•PK •HL =12•KH •PJ ，所以PQ ＝2PJ ＝2×2(2+√3)2√2=2√2+√6，所以PQBC =2√2+√62√7=2√14+√4214．（2022•重庆中考B 卷）在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2√2，D 为BC 的中点，E ，F 分别为AC ，AD 上任意一点，连接EF ，将线段EF 绕点E 顺时针旋转90°得到线段EG ，连接FG ，AG ．（1）如图1，点E 与点C 重合，且GF 的延长线过点B ，若点P 为FG 的中点，连接PD ，求PD 的长； （2）如图2，EF 的延长线交AB 于点M ，点N 在AC 上，∠AGN ＝∠AEG 且GN ＝MF ，求证：AM +AF =√2AE ； （3）如图3，F 为线段AD 上一动点，E 为AC 的中点，连接BE ，H 为直线BC 上一动点，连接EH ，将△BEH 沿EH 翻折至△ABC 所在平面内，得到△B ′EH ，连接B ′G ，直接写出线段B ′G 的长度的最小值．【解析】（1）如图1，连接CP ，由旋转知，CF ＝CG ，∠FCG ＝90°，所以△FCG 为等腰直角三角形， 因为点P 是FG 的中点，所以CP ⊥FG ， 因为点D 是BC 的中点，所以DP =12BC ， 在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝2√2， 所以BC =√2AB ＝4，所以DP ＝2；（2）证明：如图2，过点E作EH⊥AE交AD的延长线于H，所以∠AEH＝90°，由旋转知，EG＝EF，∠FEG＝90°，所以∠FEG＝∠AEH，所以∠AEG＝∠HEF，因为AB＝AC，点D是BC的中点，所以∠BAD＝∠CAD=1∠BAC＝45°，2所以∠H＝90°﹣∠CAD＝45°＝∠CAD，所以AE＝HE，所以△EGA≌△EFH（SAS），所以AG＝FH，∠EAG＝∠H＝45°，所以∠EAG＝∠BAD＝45°，因为∠AMF＝180°﹣∠BAD﹣∠AFM＝135°﹣∠AFM，因为∠AFM＝∠EFH，所以∠AMF＝135°﹣∠EFH，因为∠HEF＝180°﹣∠EFH﹣∠H＝135°﹣∠EFH，所以∠AMF＝∠HEF，因为△EGA≌△EFH，所以∠AEG＝∠HEF，因为∠AGN＝∠AEG，所以∠AGN＝∠HEF，所以∠AGN＝∠AMF，因为GN＝MF，所以△AGN≌△AMF（AAS），所以AG＝AM，因为AG＝FH，所以AM＝FH，所以AF+AM＝AF+FH＝AH=√2AE；AC=√2，（3）因为点E是AC的中点，所以AE=12根据勾股定理得，BE=√AE2+AB2=√10，由折叠知，BE＝B'E=√10，所以点B'是以点E为圆心，√10为半径的圆上，由旋转知，EF＝EG，所以点G是以点E为圆心，EG为半径的圆上，所以B'G的最小值为B'E﹣EG，要B'G最小，则EG最大，即EF最大，因为点F在AD上，所以点F在点A或点D时，EF最大，最大值为√2，所以线段B′G的长度的最小值√10−√2．（2）若AB ＝6． ①当DE AD=√32时，求AE 的长； ②直接写出运动过程中线段AE 长度的最小值．【解析】（1）①AE ＝2BE ，理由如下：因为DE ⊥AD ，所以∠AED +∠EAD ＝90°＝∠ADE ＝∠BDE +∠BDA ， 因为BE ＝BD ，所以∠AED ＝∠BDE ，所以∠EAD ＝∠BDA ， 所以AB ＝BD ，所以BE ＝BD ＝AB ，所以AE ＝2BE ； ②AE ＝2EB ，理由如下： 如图：因为∠BAC ＝90°，∠C ＝60°，所以∠B ＝30°， 因为EB ＝ED ，所以∠EDB ＝∠B ＝30°， 所以∠AED ＝∠EDB +∠B ＝60°，因为DE ⊥AD ，所以∠EDA ＝90°，∠EAD ＝30°， 所以AE ＝2ED ，所以AE ＝2EB ； （2）①过D 作DF ⊥AB 于F ，如图：因为∠F AD ＝∠DAE ，∠AFD ＝90°＝∠ADE ， 所以△AFD ∽△ADE ， 所以AF AD =DF DE，即DE AD=DF AF，因为DE AD=√32，所以DF AF =√32， 设DF =√3m ，则AF ＝2m ， 在Rt △BDF 中，BF =√3DF ＝3m ， 因为AB ＝6，所以BF+AF＝6，即3m+2m＝6，所以m=65，所以AF=125，DF=6√35，所以AD=√AF2+DF2=6√75，因为△AFD∽△ADE，所以AFAD =ADAE，即1256√75=6√75AE，所以AE=21 5；②作AE的中点G，连接DG，如图：因为∠ADE＝90°，DG是斜边上的中线，所以AE＝2DG，DG＝AG＝EG，当AE最小时，DG最小，此时DG⊥BC，因为∠B＝30°，所以BG＝2DG，所以AE＝2DG＝BG，所以BE＝AG，所以AG＝EG＝BE，所以此时AE=23AB＝4，答：线段AE长度的最小值为4（2022•广元中考）在Rt△ABC中，AC＝BC，将线段CA绕点C旋转α（0°＜α＜90°），得到线段CD，连接AD、BD．（1）如图1，将线段CA绕点C逆时针旋转α，则∠ADB的度数为135°；（2）将线段CA绕点C顺时针旋转α时①在图2中依题意补全图形，并求∠ADB的度数；②若∠BCD的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连结BE．用等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系，并证明．【解析】（1）在Rt△ABC中，AC＝BC，将线段CA绕点C旋转α（0°＜α＜90°），所以CD＝CA＝CB，∠ACD＝α，所以∠BCD＝90°﹣α，因为CD＝CA，CD＝CB，所以∠ADC=180°−α2=90°−α2，∠BDC=180°−(90°−α)2=45°+α2，所以∠ADB＝∠ADC+∠BDC＝90°−α2+45°+α2=135°，答案：135°；（2）①依题意补全图形如图，由旋得：CD＝CA＝CB，∠ACD＝α，所以∠BCD＝90°+α，因为CD＝CA，CD＝CB，所以∠ADC=180°−α2=90°−α2，∠BDC=180°−(90°+α)2=45°−α2，所以∠ADB＝∠ADC﹣∠BDC＝90°−α2−45°+α2=45°；②√2CE＝2BE﹣AD．证明：过点C作CG∥BD，交EB的延长线于点G，因为BC＝CD，CE平分∠BCD，所以CE垂直平分BD，所以BE＝DE，∠EFB＝90°，由①知，∠ADB＝45°，所以∠EBD＝∠EDB＝45°，所以∠FEB＝45°，因为BD∥CG，所以∠ECG＝∠EFB＝90°，∠G＝∠EBD＝45°，所以EC＝CG，EG=√2EC，因为∠ACE＝90°﹣∠ECB，∠BCG＝90°﹣∠ECB，所以∠ACE＝∠BCG，因为AC＝BC，所以△ACE≌△BCG（SAS），所以AE＝BG，因为EG＝EB+BG＝EB+AE＝EB+ED﹣AD＝2EB﹣AD，所以√2CE＝2BE﹣AD．（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM＝AN时，直接写出线段AN的长．【解析】（1）四边形AMDN是矩形，理由如下：因为点D是BC的中点，点M是AB的中点，所以MD∥AC，所以∠A+∠AMD＝180°，因为∠BAC＝90°，所以∠AMD＝90°，因为∠A＝∠AMD＝∠MDN＝90°，所以四边形AMDN是矩形；（2）如图2，过点N作NG⊥CD于G，因为AB＝6，AC＝8，∠BAC＝90°，所以BC=√AB2+AC2=10，因为点D是BC的中点，所以BD＝CD＝5，因为∠MDN＝90°＝∠A，所以∠B+∠C＝90°，∠BDM+∠1＝90°，所以∠1＝∠C，所以DN＝CN，又因为NG⊥CD，所以DG＝CG=52，因为cos C=CGCN =ACBC，所以52CN=810，所以CN=258；（3）如图③，连接MN，AD，过点N作HN⊥AD于H，因为AM＝AN，∠MAN＝90°，所以∠AMN＝∠ANM＝45°，因为∠BAC+∠EDF＝90°，所以点A，点M，点D，点N四点共圆，所以∠ADN＝∠AMN＝45°，因为NH⊥AD，所以∠ADN＝∠DNH＝45°，所以DH＝HN，因为BD＝CD＝5，∠BAC＝90°，所以AD＝CD＝5，所以∠C＝∠DAC，所以tan C＝tan∠DAC=HNAH =ABAC=34，所以AH=43HN，因为AH+HD＝AD＝5，所以DH＝HN=157，AH=207，所以AN=√AH2+HN2=√22549+40049=257.第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P 的横坐标为m ．过点P 作直线PD ⊥x 轴于点D ，作直线BC 交PD 于点E ．（1）求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线BC 的函数表达式； （2）当△CEP 是以PE 为底边的等腰三角形时，求点P 的坐标；（3）连接AC ，过点P 作直线l ∥AC ，交y 轴于点F ，连接DF ．试探究：在点P 运动的过程中，是否存在点P ，使得CE ＝FD ，若存在，请直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）在y =−14x 2+32x +4中，令x ＝0得y ＝4，令y ＝0得x ＝8或x ＝﹣2，所以A （﹣2，0），B （8，0），C （0，4）， 设直线BC 解析式为y ＝kx +4，将B （8，0）代入得：8k +4＝0，解得k =−12，所以直线BC 解析式为y =−12x +4；（2）过C 作CG ⊥PD 于G ，如图：设P （m ，−14m 2+32m +4），所以PD =−14m 2+32m +4，因为∠COD ＝∠PDO ＝∠CGD ＝90°，所以四边形CODG 是矩形， 所以DG ＝OC ＝4，CG ＝OD ＝m ，所以PG ＝PD ﹣DG =−14m 2+32m +4﹣4=−14m 2+32m ，因为CP ＝CE ，CG ⊥PD ，所以GE ＝PG =−14m 2+32m ，因为∠GCE ＝∠OBC ，∠CGE ＝90°＝∠BOC ， 所以△CGE ∽△BOC ，所以CGOB =GEOC ，即m8=−14m 2+32m4，解得m ＝0（舍去）或m ＝4，所以P （4，6）； （3）存在点P ，使得CE ＝FD ，理由如下： 过C 作CH ⊥PD 于H ，如图：设P （m ，−14m 2+32m +4），由A （﹣2，0），C （0，4）可得直线AC 解析式为y ＝2x +4，根据PF ∥AC ，设直线PF 解析式为y ＝2x +b ，将P （m ，−14m 2+32m +4）代入得：−14m 2+32m +4＝2m +b ，所以b =−14m 2−12m +4， 所以直线PF 解析式为y ＝2x −14m 2−12m +4，令x ＝0得y =−14m 2−12m +4，所以F （0，−14m 2−12m +4），所以OF ＝|−14m 2−12m +4|，同（2）可得四边形CODH 是矩形，所以CH ＝OD ，因为CE ＝FD ，所以Rt △CHE ≌Rt △DOF （HL ），所以∠HCE ＝∠FDO ， 因为∠HCE ＝∠CBO ，所以∠FDO ＝∠CBO ， 所以tan ∠FDO ＝tan ∠CBO ，所以OF OD =OCOB ，即|−14m 2−12m+4|m=48，所以−14m 2−12m +4=12m 或−14m 2−12m +4=−12m ，解得m ＝2√5−2或m ＝﹣2√5−2或m ＝4或m ＝﹣4， 因为P 在第一象限，所以m ＝2√5−2或m ＝4.（2022•河北中考）如图1，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，∠C ＝30°，AD ＝3，AB ＝2√3，DH ⊥BC 于点H ．将△PQM 与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P 与A 重合，点B 在PM 上，其中∠Q ＝90°，∠QPM ＝30°，PM ＝4√3．（1）求证：△PQM ≌△CHD ；（2）△PQM 从图1的位置出发，先沿着BC 方向向右平移（图2），当点P 到达点D 后立刻绕点D 逆时针旋转（图3），当边PM 旋转50°时停止．①边PQ 从平移开始，到绕点D 旋转结束，求边PQ 扫过的面积；②如图2，点K 在BH 上，且BK ＝9﹣4√3．若△PQM 右移的速度为每秒1个单位长，绕点D 旋转的速度为每秒5°，求点K 在△PQM 区域（含边界）内的时长；③如图3，在△PQM 旋转过程中，设PQ ，PM 分别交BC 于点E ，F ，若BE ＝d ，直接写出CF 的长（用含d 的式子表示）．【解析】（1）证明：因为四边形ABCD 是矩形， 所以AB ＝DH ＝2√3，∠DHB ＝∠DHC ＝90°，在Rt △AQM 中，∠Q ＝90，∠QAM ＝30°，AM ＝4√3，所以QM =12AM ＝2√3，所以QM ＝DH ，因为∠Q ＝∠DHC ＝90°，∠QAM ＝∠C ＝30°， 在△PQM 和△CHD 中，{∠QPM =∠C∠PQM =∠CHD QM =DH，所以△PQM ≌△CHD （AAS ）； （2）①如图1中，PQ 扫过的面积＝平行四边形AQQ ′D 的面积+扇形DQ ′Q ″的面积．设QQ ′交AM 于点T ．因为AQ =√3QB ＝6，QT ⊥AM ，所以AT ＝AQ •cos30°＝3√3， 所以S PQ 扫过的区域＝3×3√3+50π⋅618050⋅π⋅62360=9√3+5π；②如图2﹣1中，连接DK ．当DM 运动到与DH 重合时，因为BH ＝AD ＝3，BK ＝9﹣4√3，所以KH ＝3﹣（9﹣4√3）＝4√3−6， 所以tan ∠KDH =KHDH =4√3−62√3=2−√3，所以∠KDH ＝15°，因为∠QDM ＝30°﹣15°＝15°， 所以点K 在△PQM 区域（含边界）内的时长4√3−61+155=（4√3−3）s ；③如图3中，在Rt △CDH 中，DH ＝2√3，∠C ＝30°，所以CH =√3DH ＝6， 因为BH ＝3，BE ＝d ，所以EH ＝3﹣d ，因为DH ＝2√3，∠DHE ＝90°，所以DE 2＝EH 2+DH 2＝（3﹣d ）2+（2√3）2，（2022•十堰中考）已知∠ABN ＝90°，在∠ABN 内部作等腰△ABC ，AB ＝AC ，∠BAC ＝α（0°＜α≤90°）．点D 为射线BN 上任意一点（与点B 不重合），连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转α得到线段AE ，连接EC 并延长交射线BN 于点F ．（1）如图1，当α＝90°时，线段BF 与CF 的数量关系是 BF ＝CE ；（2）如图2，当0°＜α＜90°时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）若α＝60°，AB ＝4√3，BD ＝m ，过点E 作EP ⊥BN ，垂足为P ，请直接写出PD 的长（用含有m 的式子表示）．【解析】（1）BF ＝CF ；理由如下： 连接AF ，如图所示：根据旋转可知，∠DAE ＝α＝90°，AE ＝AD ，因为∠BAC ＝90°，所以∠EAC +∠CAD ＝90°，∠BAD +∠CAD ＝90°，所以∠EAC ＝∠BAD ， 在△ACE 和△ABD 中，{AE =AD∠EAC =∠DAB AC =AB，所以△ACE ≌△ABD （SAS ），所以∠ACE ＝∠ABD ＝90°，所以∠ACF ＝90°， 在Rt △ABF 与Rt △ACF 中，{AB =ACAF =AF ，所以Rt △ABF ≌Rt △ACF （HL ），所以BF ＝CF ，答案：BF ＝CF ； （2）成立，理由如下： 如图2，连接AF ，根据旋转可知，∠DAE ＝α，AE ＝AD ，因为∠BAC ＝α，所以∠EAC ﹣∠CAD ＝α，∠BAD ﹣∠CAD ＝α，所以∠EAC ＝∠BAD ， 在△ACE 和△ABD 中，{AE =AD∠EAC =∠DAB AC =AB所以△ACE ≌△ABD （SAS ），所以∠ACE ＝∠ABD ＝90°，所以∠ACF ＝90°， 在Rt △ABF 与Rt △ACF 中，{AB =AC AF =AF，所以Rt △ABF ≌Rt △ACF （HL ），所以BF ＝CF ； （3）因为α＝60°，AB ＝AC ，所以△ABC 为等边三角形， 所以∠ABC ＝∠ACB ＝∠BAC ＝60°，AB ＝AC ＝BC ＝4√3， ①当∠BAD ＜60°时，连接AF ，如图所示：因为Rt △ABF ≌Rt △ACF ，所以∠BAF ＝∠CAF =12∠BAC ＝30°，在Rt △ABF 中，BF AB =tan30°，BF 4√3=√33，即CF ＝BF ＝4；根据（2）可知，△ACE ≌△ABD ，所以CE ＝BD ＝m ， 所以EF ＝CF +CE ＝4+m ，∠FBC ＝∠FCB ＝90°﹣60°＝30°， 所以∠EFP ＝∠FBC +∠FCB ＝60°，又因为∠EPF ＝90°，所以∠FEP ＝90°﹣60°＝30°，所以PF =12EF ＝2+12m ，所以BP ＝BF +PF ＝6+12m ，所以PD ＝BP ﹣BD ＝6−12m ； ②当∠BAD ＝60°时，AD 与AC 重合，如图所示：因为∠DAE ＝60°，AE ＝AD ，所以△ADE 为等边三角形，所以∠ADE ＝60°，因为∠ADB ＝90°﹣∠BAC ＝30°，所以∠ADE ＝90°，所以此时点P 与点D 重合，PD ＝0； ③当∠BAD ＞60°时，连接AF ，如图所示：因为Rt △ABF ≌Rt △ACF ，所以∠BAF ＝∠CAF =12∠BAC ＝30°， 在Rt △ABF 中，BFAB =tan30°，BF 4√3=√33，即CF ＝BF ＝4；（2022·新疆生产建设兵团中考）如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝AC，点O为BC的中点，点D是线段OC上的动点（点D不与点O，C重合），将△ACD沿AD折叠得到△AED，连接BE．（1）当AE⊥BC时，∠AEB＝60 °；（2）探究∠AEB与∠CAD之间的数量关系，并给出【解析】；（3）设AC＝4，△ACD的面积为x，以AD为边长的正方形的面积为y，求y关于x的函数解析式．【解析】（1）因为∠ABC＝30°，AB＝AC，AE⊥BC，所以∠BAE＝60°，因为将△ACD沿AD折叠得到△AED，所以AC＝AE，所以AB＝AE，所以∠AEB＝60°，答案：60；（2）∠AEB＝30°+∠CAD，理由如下：因为将△ACD沿AD折叠得到△AED，所以AE＝AC，∠CAD＝∠EAD，因为∠ABC＝30°，AB＝AC，所以∠BAC＝120°，所以∠BAE＝120°﹣2∠CAD，因为AB＝AE＝AC，所以∠AEB=180°−(120°−2∠CAD)2=30°+∠CAD；（3）如图，连接OA，因为AB＝AC，点O是BC的中点，所以OA⊥BC，因为∠ABC＝∠ACB＝30°，AC＝4，所以AO＝2，OC＝2√3，因为OD2＝AD2﹣AO2，所以OD=√y−4，因为S△ADC=12×OC×AO−12×OD×OA，所以x=12×2×2√3−12×2×√y−4，（2022•福建中考）已知△ABC ≌△DEC ，AB ＝AC ，AB ＞BC ． （1）如图1，CB 平分∠ACD ，求证：四边形ABDC 是菱形；（2）如图2，将（1）中的△CDE 绕点C 逆时针旋转（旋转角小于∠BAC ），BC ，DE 的延长线相交于点F ，用等式表示∠ACE 与∠EFC 之间的数量关系，并证明；（3）如图3，将（1）中的△CDE 绕点C 顺时针旋转（旋转角小于∠ABC ），若∠BAD ＝∠BCD ，求∠ADB 的度数．【解析】（1）证明：因为△ABC ≌△DEC ，所以AC ＝DC ， 因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠ACB ，AB ＝DC ， 因为CB 平分∠ACD ，所以∠DCB ＝∠ACB ， 所以∠ABC ＝∠DCB ，所以AB ∥CD ， 所以四边形ABDC 为平行四边形，因为AB ＝AC ，所以平行四边形ABDC 为菱形； （2）∠ACE +∠EFC ＝180°， 理由如下：因为△ABC ≌△DEC ， 所以∠ABC ＝∠DEC ， 所以∠ACB ＝∠DEC ，因为∠ACB +∠ACF ＝∠DEC +∠CEF ＝180°， 所以∠CEF ＝∠ACF ，因为∠CEF +∠ECF +∠EFC ＝180°， 所以∠ACF +∠ECF +∠EFC ＝180°， 所以∠ACE +∠EFC ＝180°；（3）如图3，在AD 上取点M ，使AM ＝BC ，连接BM ， 在△AMB 和△CBD 中，{AM =BC∠BAM =∠DCB AB =CD ，所以△AMB ≌△CBD （SAS ）， 所以BM ＝BD ，∠ABM ＝∠CDB ， 所以∠BMD ＝∠BDM ，因为∠BMD＝∠BAD+∠MBA，所以∠ADB＝∠BCD+∠BDC，设∠BCD＝∠BAD＝α，∠BDC＝β，则∠ADB＝α+β，因为CA＝CD，所以∠CAD＝∠CDA＝α+2β，所以∠BAC＝∠CAD﹣∠BAD＝2β，所以∠ACB=12×（180°﹣2β）＝90°﹣β，所以∠ACD＝90°﹣β+α，因为∠ACD+∠CAD+∠CDA＝180°，所以90°﹣β+α+α+2β+α+2β＝180°，所以α+β＝30°，即∠ADB＝30°．（2022•河南中考）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．（1）操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：∠EMB或∠CBM或∠ABP或∠CBM（任写一个即可）．（2）迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝15 °，∠CBQ＝15 °；②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．（3）拓展应用在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．【解析】（1）因为对折矩形纸片ABCD，（1）如图①，若α＝90°，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为A′，B′，D′，连接OD，OD′．判断OD与OD′有什么数量关系？证明你的结论；（2）如图②，若α＝60°，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离；（3）如图③，若α＝45°，当点A，B运动到什么位置时，△AOB的面积最大？请说明理由，并求出△AOB 面积的最大值．【解析】（1）OD＝OD′，理由如下：在Rt△AOB中，点D是AB的中点，所以OD=12 AB，同理可得：OD′=12A′B′，因为AB＝A′B′，所以OD＝OD′；（2）如图1，作△AOB的外接圆I，连接CI并延长，分别交⊙I于O′和D，当O运动到O′时，OC最大，此时△AOB是等边三角形，所以BO′＝AB＝6，OC最大＝CO′＝CD+DO′=12AB+√32BO′＝3+3√3；（3）如图2，作等腰直角三角形AIB，以I为圆心，AI为半径作⊙I，所以AI=√22AB=3√2，∠AOB=12∠AIB=45°，则点O在⊙I上，取AB的中点C，连接CI并延长交⊙I于O，此时△AOB的面积最大，因为OC＝CI+OI=12AB+3√2=3+3√2，所以S△AOB最大=12×6×(3+3√2)=9+9√2．①如图1，若∠B＝45°，m＝5√2，则n＝5√2，S＝25；②如图2，若∠B＝60°，m＝4√3，则n＝4，S＝8√3；（2）如图3，当∠ACB＝∠EDF＝90°时，探究S与m，n的数量关系，并说明理由；（3）如图4，当∠ACB＝60°，∠EDF＝120°，m＝6，n＝4时，请直接写出S的大小．【解析】（1）①如图1中，因为∠ACB＝90°，∠B＝45°，所以CA＝CB，因为CD平分∠ACB，所以AD＝DB＝5√2，因为DE⊥AC，DF⊥BC，∠A＝∠B＝45°，所以△ADE，△BDF都是等腰直角三角形，所以BF＝DF＝5，AE＝DE＝5，所以S=12×5×5+12×5×5＝25，答案：5√2，25；②如图2中，在Rt△ADE中，AD＝4√3，∠A＝90°﹣∠B＝30°，所以DE=12AD＝2√3，AE=√3DE＝6，因为DE⊥AC，DF⊥BC，CD平分∠ACB，所以DE＝DF＝2√3，所以BF＝2，BD＝2BF＝4，所以n＝4，所以S=12×2√3×6+12×2√3×2＝8√3，答案：4，8√3；（2）如图3中，过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N．因为DM⊥AC，DN⊥BC，CD平分∠ACB，所以DM＝DN，因为∠DMC＝∠DNC＝∠MCN＝90°，所以四边形ABCD是矩形，所以DM＝DN，所以四边形DMCN是正方形，所以∠MDN＝∠EDF＝90°，所以∠MDE＝∠NDF，因为∠DME＝∠DNF，所以△DME≌△DNF（ASA），所以S＝S△ADE+S△BDF＝S△ADM+S△BDN，把△BDN绕点D逆时针旋转90°得到右边△ADN，∠ADN＝90°，AD＝m，DN＝n，所以S=12mn；（3）如图4中，过点⊥AC于点M，DN⊥BC于点N．因为DM⊥AC，DN⊥BC，CD平分∠ACB，所以DM＝DN，因为∠DMC＝∠DNC＝90°，所以∠MDN＝180°﹣∠ACB＝120°，所以∠EDF＝∠MDN＝120°，所以∠EDM＝∠FDN，因为∠DME＝∠DNF＝90°，所以△DME≌△DNF（AAS），所以S＝S△ADE+S△BDF＝S△ADM+S△BDN，把△ADM绕点顺时针旋转120°得到△DNT，∠BDT＝60°，DT＝6，DB＝4，过点D作DN⊥BT于点N，所以BH＝BD×sin60°＝4×√32=2√3，所以S＝S△CDT=12×6×2√3=6√3．（2022•泰州中考）如图①，矩形ABCD 与以EF 为直径的半圆O 在直线l 的上方，线段AB 与点E 、F 都在直线l 上，且AB ＝7，EF ＝10，BC ＞5．点B 以1个单位/秒的速度从点E 处出发，沿射线EF 方向运动，矩形ABCD 随之运动，运动时间为t 秒．（1）如图②，当t ＝2．5时，求半圆O 在矩形ABCD 内的弧的长度；（2）在点B 运动的过程中，当AD 、BC 都与半圆O 相交时，设这两个交点为G 、H ．连接OG 、OH ，若∠GOH 为直角，求此时t 的值．【解析】（1）设BC 与⊙O 交于点M ，当t ＝2．5时，BE ＝2．5，因为EF ＝′10，所以OE =12EF ＝5，所以OB ＝2．5，所以EB ＝OE ， 在正方形ABCD 中，∠ABC ＝90°，所以ME ＝MO ， 又因为MO ＝EO ，所以ME ＝EO ＝MO ，所以△MOE 是等边三角形，所以∠EOM ＝90°，所以l ME ̂=60π×5180=5π3， 即半圆O 在矩形ABCD 内的弧的长度为5π3；（2）连接GO ，HO ，因为∠GOH ＝90°，所以∠AOG +∠BOH ＝90°， 因为∠AGO +∠AOG ＝90°，所以∠AGO ＝∠BOH ， 在△AGO 和△OBH 中，{∠AGO =∠BOH∠GAO =∠HBO OG =OH，所以△AGO ≌△BOH （AAS ），所以OB ＝AG ＝t ﹣5， 因为AB ＝7，所以AE ＝t ﹣7，所以AO ＝5﹣（t ﹣7）＝12﹣t ， 在Rt △AGO 中，AG 2+AO 2＝OG 2，所以（t ﹣5）2+（12﹣t ）2＝52，解得：t 1＝8，t 2＝9， 即t 的值为8或9．（2022•龙东中考）△ABC 和△ADE 都是等边三角形．（2）将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接P A，猜想线段P A、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；（3）将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接P A，猜想线段P A、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．【解析】（2）PB＝P A+PC，理由如下：如图②，在BP上截取BF＝PC，连接AF，因为△ABC、△ADE都是等边三角形，所以AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，所以∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，即∠DAB＝∠EAC，所以△ABD≌△ACE（SAS），所以∠ABD＝∠ACE，因为AB＝AC，BF＝CP，所以△BAF≌△CAP（SAS），所以AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，所以∠BAC＝∠P AF＝90°，所以△AFP是等边三角形，所以PF＝P A，所以PB＝BF+PF＝PC+P A；（3）PC＝P A+PB，理由如下：如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，同理得：△ABD≌△ACE（SAS），所以∠ABD＝∠ACE，因为AB＝AC，PB＝CM，所以△AMC≌△APB（SAS），所以AM＝AP，∠BAP＝∠CAM，所以∠BAC＝∠P AM＝60°，所以△AMP是等边三角形，所以PM＝P A，所以PC＝PM+CM＝P A+PB．（2022•龙东中考）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴。

33.图象类问题知识要点梳理图象可以直观、形象地反映两个或多个对象之间的关系或变化情况。

反应行程问题中对运动对象之间的动态变化图象是研究行程问题的重要方法。

正确区别物体运动时的“s-t"图象和“v-t”图象的关键是根据图象的形状理解两个量之间的变化关系。

这类题目是最近几年小升初的热点考题。

路程与时间图象(“s-t”图象)“s-t”图象描述了物体通过的路程随时间变化的规律。

1.图1中的图象是一条水平线,由此可知,不同时刻t1和t2对应的路程s相同,这说明物体处于静止状态。

2.图2中的图象是一条斜线,由此可知,不同时刻t1和t2对应的路程不同,但两个时刻的速度相同。

这说明物体在做匀速直线运动。

3.图3中的甲和乙两个图象都表示物体在做匀速直线运动,但在相同的时刻t,s1大于s2,故甲的速度大于乙的速度。

总结:在“s-t”图象中。

水平线表示物体静止;斜线表示物体在做匀速直线运动,且斜线越陡,物体的速度越大。

考点精讲分析典例精进考点1根据描述判断图象【例1】乌龟和兔子赛跑,领先的免子骄傲起来,睡了一觉。

当它醒来时,发现乌龟快到终点了, 于是急忙追赶,但是为时已晚,乌龟先到达了终点。

下面的折线图与故事情节相吻合的是( )。

【精析】匀速行走的乌龟,免子在比赛中间睡觉,后来兔子急追。

路程又开始交化,排除A;兔子输了,兔子用的时间应多于乌龟所用的时间,排除B;故选C。

【答案】C【归纳总结】解决此类问题,首先要读懂描述中每一句话的合义,再判断图象。

考点2 s-t图象的认识【例2】小王从A地到B地,到达后立即返回,他与A的距离y(千米)和所用时间x(小时)之间的关系如图所示。

(1)小王从B地返回到A地用了多少小时?(2)求小王出发6小时后距A地多远?(3)在A,B之间有一C地,小王从去时途经C地,回时路过C地,共用了2小时20分钟,求A,C两地的距离?【精析】单个对象的行程问题。

解题时按照这几个步骤:1.必须明确横轴和纵轴所表示的具体意义;2.结合题意,利用已知条件和行程问题之间的数量关系解决实际问题。