《离散数学课件》6等价关系

离散数学作业作业6 ——等价关系1. 设R和S均为A上的等价关系，确定下列各式，哪些是A上的等价关系？如果是，证明之；否则，举反例说明。

（1）R∩S （2）R∪S （3）r (R-S)（4）R- S （5）R◦S （6）R2解：(1),(6)正确，其余错误。

2. R是集合A上的二元关系， a,b,c ,若aRb,且bRc,有cRb,则称R 是循环关系。

证明R是自反和循环的，当且仅当R是一等价关系。

分析: 需要证明两部分:(1)已知R是自反和循环的，证明:R是一等价关系(2)已知R是一等价关系, 证明R是自反和循环的.证明：（1）先证必要性。

只需要证明R是对陈的和传递的。

任取(x,y)∈R。

因为R是自反的，所以(y,y)∈R。

由R是循环的可得(y,x)∈R，即R是对陈的。

任取(x,y)，(y,z)∈R。

因R是循环的，所以(z,x)∈R。

由R对称性得(x,z)∈R，即R是传递的。

（2）证充分性。

只需要证明R是循环的。

任取(x,y)，(y,z)∈R，下证(z,x)∈R。

由于R是传递的，所以(x,z)∈R。

又由R是对称的得(z,x)∈R。

所以R是循环的。

3. 设|A|=n ，在A 上可以确定多少个不同的等价关系？解：2n!/((n+1)n!n!)4. 给定集合S={ 1 , 2 , 3, 4, 5 }，找出S 上的等价关系R ，此关系R 能够产生划分{{1，2}，{3}，{4，5}}，并画出关系图。

解：{(1,2),(2,1),(4,5),(5,4)}S R I =⋃5. 设A={1，2，3，4，5}。

R 是集合A 上的二元关系，其关系矩阵如下图所示。

求包含R 的最小等价关系和该等价关系所确定的划分。

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0010001000000000101000001RM 分析: 可以证明tsr(R)是包含R 的最小等价关系.解：包含R 的最小等价关系的矩阵表示如下：1000001010001010101000101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭上述等价关系确定的划分为{{1},{2,4},{3,5}}.6. 自学华氏(WalShall)算法，写出算法的基本概念、基本步骤和一个求解传递闭包的具体实例，并可清晰讲解算法整体实现过程。

离散数学中的关系
离散数学中的关系指的是集合之间元素的联系或对应关系。

这种关系可以描述为有序对的集合，其中每个有序对都由一对元素组成。

在离散数学中常见的关系包括等价关系、偏序关系、全序关系等。

等价关系是一种自反、对称和传递的关系，即元素之间具有相等的性质。

例如，集合中两个元素的相等关系就是一种等价关系。

偏序关系是一种自反、反对称和传递的关系，即对元素之间存在一种偏序或排序关系。

例如，在集合中，可以通过元素之间的比较来确定它们的顺序关系。

全序关系是一种偏序关系，它不仅是自反、反对称和传递的，还具有完备性，即对于集合中任意两个元素，它们之间必定存在一种顺序关系。

离散数学中还有其他类型的关系，如函数关系、包含关系等。

函数关系是一种特殊的关系，它对于集合中的每个元素，都存在唯一的映射元素。

包含关系则描述了两个集合之间的包含或包含于关系。

通过对这些关系的研究和分析，可以帮助理解和解决离散数学中的问题。

同时，关系的性质和特征也为其他学科如计算机科学、逻辑学等提供了基础。

离散数学等价关系嘿，朋友！咱们今天来聊聊离散数学里这个有点特别的家伙——等价关系。

你知道吗，等价关系就像是一群小伙伴在玩分类游戏。

比如说，咱们把水果分分类，苹果一堆，香蕉一堆，橙子一堆。

这里面“是苹果”“是香蕉”“是橙子”就可以看作是不同的等价类。

那等价关系到底是啥呢？它就像是一把神奇的尺子，能衡量出元素之间是否“平等”。

比如说，在整数集合里，如果两个数除以 2 的余数相同，那它们在这个规则下就是等价的。

这就好比咱俩都喜欢同一种口味的冰淇淋，那在喜欢冰淇淋口味这件事上，咱俩就是“等价”的小伙伴。

再想想看，我们身边是不是也有很多类似的等价关系？比如在班级里，同一年出生的同学是不是可以看作一个等价类？在一个家族里，同一个辈分的人是不是也能算是一个等价类？等价关系还有几个重要的特点呢。

它得满足自反性，这就好比自己得喜欢自己，总不能自己讨厌自己吧？对称性也不能少，你对我好，我当然也得对你好，不能只准我对你好，你对我不好呀。

还有传递性，就像你和我关系好，我和他关系好，那你和他关系也得不错才行。

那等价关系有啥用呢？这用处可大啦！它能帮我们把复杂的东西简单化，把一大群乱糟糟的元素整理得井井有条。

比如说在计算机编程里，通过等价关系可以对数据进行分类处理，提高效率。

这就像你整理房间，把东西分类放好，找的时候一下子就能找到。

而且在数学的好多领域里，等价关系都是个重要的工具。

就像一把万能钥匙，能打开好多难题的大门。

总之，等价关系在离散数学里可是个相当重要的角色，它就像一个默默付出的幕后英雄，虽然不那么显眼，但作用巨大。

咱们要是能把它搞明白，学好离散数学可就轻松多啦，你说是不是？。

等价关系是设R是非空集合A上的二元关系，若R是自反的、对称的、传递的，则称R是A上的等价关系。

给定非空集合A,若有集合S={S ,S ,…,S }，其中S A，S（i=1,2,…,m）且S S = (i j)同时有S =A，称S是A的划分。

研究等价关系的目的在于将集合中的元素进行分类，选取每类的代表元素来降低问题的复杂度，如软件测试时，可利用等价类来选择测试用例。

扩展资料：
定义：
若关系R在集合A中是自反、对称和传递的，则称R为A上的等价关系。

所谓关系R 就是笛卡尔积 A×A 中的一个子集。

A中的两个元素x,y有关系R，如果(x,y)∈R。

我们常简记为xRy。

自反：任意x属于A，则x与自己具有关系R，即xRx；
对称：任意x,y属于A，如果x与y具有关系R，即xRy，则y与x 也具有关系R，即yRx；
传递：任意x,y,z属于A，如果xRy且yRz，则xRz
x,y具有等价关系R，则称x,y R等价，有时亦简称等价。

等价类：在离散数学中，等价关系是指定义在集合A上的关系，满足自反的、对称的和传递的等性质。

设R是定义在集合A上的等价关系，与A中一个元素a有关系的所有元素的集合叫做a的等价类。

等价类应用十分广泛，如在编程语言中，我们使用等价类来判定标识符是不是表示同一个事物。

定义：在离散数学中，等价关系是指定义在集合A上的关系，满足自反的、对称的和传递的等性质。

设R是定义在集合A上的等价关系，与A中一个元素a有关系的所有元素的集合叫做a的等价类。

A的关于R的等价类记作。

当只考虑一个关系时，我们省去下表R并把这个等价类写作[a]。

在软件工程中，是把所有可能输入的数据，即程序的输入域划分成若干部分（子集），然后从每一个子集中选取少数具有代表性的数据作为测试用例，从而减少了数据输入量从而提高了效率，称之为等价类方法，该方法是一种重要的、常用的黑盒测试用例设计方法。

分类：在离散数学中，等价类的划分基于以下定理：设R是定义在集合A上的等价关系。

那么R的等价类构成S的划分。

反过来，给定集合S的划分{ |i∈I},则存在一个等价关系R，它以集合作为它的等价类。

因为等价关系的a 在a 中和任何两个等价类要么相等要么不交集不相交的性质。

得出X 的所有等价类的集合形成X 的集合划分划分: 所有X 的元素属于一且唯一的等价类。

反过来，X 的所有划分也定义了在X 上等价关系。

在软件工程中等价类划分及标准如下：划分等价类等价类是指某个输入域的子集合。

在该子集合中，各个输入数据对于揭露程序中的错误都是等效的，并合理地假定：测试某等价类的代表值就等于对这一类其他值的测试，因此，可以把全部输入数据合理划分为若干等价类，在每一个等价类中取一个数据作为测试的输入条件就可以用少量代表性的测试数据取得较好的测试结果。

等价类划分有两种不同的情况：有效等价类和无效等价类。

1）有效等价类是指对于程序的规格说明来说是合理的、有意义的输入数据构成的集合。

利用有效等价类可检验程序是否实现了规格说明所规定的功能和性能。

概念问题二进制关系：A和B的笛卡尔积的子集称为从A到B的二进制关系。

集合上的关系：从a到a的关系。

关系的性质反射，抗反射，对称，抗对称和传输。

没有列出概念，但应注意以下方面：（1）所有属性的概念都是逻辑表达式，即判断是非，必须严格按照定义判断是非；（2）它们都是用全名量词表示的逻辑表达式，因此必须为真才能保持一致；（3）它们全部由隐含条件语句表示。

如果前提为假，则它也为真，也就是说，所有未出现在真之后再为假的内容都为真。

关系代表（1）设置符号（适合定义和表示）；（2）图表表示（适合直观感觉和观察特性）；（3）关系矩阵表示（适合计算）；特别地，关系矩阵是布尔矩阵，即逻辑矩阵，其描述A中的第i个元素是否与B中的第j个元素有关。

关系运作（1）交叉，合并与区别R1ÇR2————M1ÙM2R1ÈR2————M1ÚM2（2）综合合成操作非常重要且容易出错。

注意其顺序以及对集合，图形和矩阵的相应计算。

自我及其综合运算形成力量。

例如，R 2对应于由点直接连接的边，这些点可以从图形上的每个点分两步到达。

另一个例子R1°R2 ————M2M1R ^ 2 ————M ^ 2关系的应用（1）n元关系的应用一般来说，当2元关系扩展到N元关系时，它就成为数据库的基本框架。

N元有序对是N个字段的记录，因此关系操作对应于数据库操作。

我们只知道这部分内容（与数据库重复）。

（2）封闭的应用首先，介绍了三种闭包的概念。

如果用一句话来概括，R的自反/对称/传递闭包是包含R的自反/对称/传递关系中最小的。

然后其应用着重于掌握传递闭包的应用，它可以显示传递性直接通过连接边可到达的点的连通性。

然后讨论三个闭包的计算：（3）等价关系的应用首先是等价关系的概念，以及等价类和划分的扩展概念。

其次，等价关系的应用仅仅是分类。

因为等价与划分之间存在一一对应的关系。

A.如果一个关系是集合a上的等价关系，写出每个元素的等价类，然后删除重复项，则由非重复等价类组成的集合就是原始集合a的除法。

离散数学等价关系一、离散数学是一门什么样的学科？与数学的主流分支不同，离散数学看上去似乎没有一个确定的中心话题，内容很庞杂。

我曾做过一个粗略的统计，离散数学的内容涉及大约43个左右大大小小不同的话题，从集合、函数、关系、命题逻辑、谓词逻辑，到算法、计数、数据结构、递归、图论、概率、数论、形式语言与自动机，布尔代数、向量与矩阵，线性规划、抽象代数，编码理论、信息论，博弈论、运筹学、理论计算机科学等，真是那句俗话，XXXX是个筐，什么都可以往里装。

由于离散数学的内容包括面很广，一本通常意义上的教科书不可能全部涵盖，因此我们看到的教科书基本是上述内容集合的不同子集。

那么到底应当如何定义「离散数学」这门学科呢？如果我们使用集合的语言表达就是：（1）离散数学= {x∈数学| 离散结构(x)}其中，「离散数学」是「数学」的一个子集，「离散结构」是一个谓词，x代表任意数学学科。

现在来详细考察一下这个「离散数学」的定义式。

我们的考察，从为什么会出现这样一个学科开始。

首先，离散数学和其它数学分支不同，它并没有开辟数学的新领域，而是在既有的数学领域划出一个范围，以「离散结构」这个性质为标准，若某个数学内容具有「离散结构」的属性就划入。

那为什么会出现「离散数学」这门学科呢？回答是——是因为计算机的出现！！！因为计算机只能处理「离散」对象。

生活中「离散」对象和「连续」对象的例子是大米和水，前者是离散的，后者是连续的，因为米粒是可列举的、可数的，英语属于可数名词，中文可以用单位量词「粒」等表示，水是无法列举的、也是不可数的，因而在英语中属于不可数名词，中文则不可直接用单位量词表示。

形象地说，计算机可以处理像米粒这样的离散对象而无法直接处理像水这样的连续对象。

例如，我们在计算机屏幕上看到一条光滑的曲线。

按照微积分定义，一条光滑曲线在某个区间一定是连续的，因而一定可以找到区间内任意一点的极限。

换句话说，在这个区间内你是无法确定一个离散点的确切位置的，因为在这个区间内，所有的点都是无穷小，而这些无穷小的点的数量是无穷多。

“离散数学”中的等价关系本文阐述了离散数学课程中的一个非常重要的概念即等价关系以及各种具体的等价关系和等价关系在计算机领域中的应用，并运用认识论中的同一性原理和联系与发展的观点，分析了各种等价关系间的联系，说明了对等价关系的概念以及各种具体的等价关系及其应用的教学对促进学生抽象思维能力和逻辑推理能力提高的重要性。

关键词：离散数学；等价关系；认识论；教学“离散数学”是计算机专业的重要基础课程和核心课程。

通过该课程的教学，不仅要为学生们进一步学习本专业的后续课程提供必备的数学理论基础，更重要的是培养和提高学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。

与高等数学主要以连续量作为研究对象不同，离散数学主要以离散量作为主要的研究对象，内容包括数理逻辑、集合论、代数结构、图论以及组合数学、数论和离散概率等。

由于这些内容在描述形式、研究方法和计算机应用领域等方面均存在着较大差异，且含有大量比较抽象的概念、定理和各种各样的形式化描述，因而学生普遍感到困难重重，学习效果不理想。

因此，如何改进教学方法，提高教学效果，使学生们的抽象思维能力和逻辑推理能力真正得到提升，是“离散数学”课程教学过程中必须认真解决的重要课题。

1离散数学课程中的等价关系1.1离散数学课程中等价关系的概念定义1 设R为非空集合A上的二元关系。

如果R是自反的、对称的和可传递的，则称R为A上的等价关系。

定义2 设R为非空集合A上的等价关系，x∈A，令[ x ]R={ y | y ∈A ∧xRy }，则称[ x ]R 为x关于R的等价类，简记为[ x ]。

定义3 设R为非空集合A上的等价关系，以R的所有等价类作元素的集合称为A关于R的商集，记为A/R，即A/R={ [ x ]R| x∈A }。

根据定义1，很容易证明矩阵理论中的矩阵合同关系、相似关系都是等价关系；线性空间的同构关系也是一种等价关系。

下面主要讨论离散数学中一些常见的等价关系。

1.2离散数学课程中各种具体的等价关系数理逻辑中，命题公式A和B等值(记为A B)是指由它们构成的等价式A B 为永真式。

离散数学等价类
离散数学中的等价类是指具有相同特性的元素组成的集合。

在数学中，等价关系是一种关系，它将一个集合的元素划分为不相交的等价类。

在离散数学中，等价类的概念通常用于研究集合之间的关系。

等价类可以帮助我们更好地理解和描述元素之间的共同特性。

例如，在一个集合中，我们可以通过等价关系将元素划分为不同的等价类，每个等价类代表着具有相同特性的元素。

等价类的重要性在于它们可以帮助我们更好地理解和分析集合中元
素的属性。

通过将元素划分为等价类，我们可以更好地研究集合的性质和结构。

例如，我们可以通过等价类来研究两个集合之间的相似性或差异性。

在离散数学中，等价类还可以用于定义和证明一些重要的概念和定理。

例如，等价关系的传递性、对称性和反射性是定义等价类的重要性质。

在证明中，我们可以使用这些性质来推导出关于等价类的结论。

除了在离散数学中的应用外，等价类在计算机科学和信息技术领域也有重要的应用。

例如，在数据挖掘和机器学习中，等价类可以用于将数据集划分为具有相似特性的子集。

这种划分可以帮助我们更好地理
解和分析数据，并发现其中隐藏的模式和关联。

总之，离散数学中的等价类是指具有相同特性的元素组成的集合。

等价类的概念在数学和计算机科学领域中具有广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和分析集合中元素的属性，并在数据挖掘和机器学习等领域中提供有用的工具和技术。