《应用离散数学》方景龙版3.4 等价关系与划分
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离散数学中关系的等价类划分方法
离散数学中关系的等价类划分方法在离散数学中，关系是描述元素之间具有某种联系或性质的数学概念。
而等价关系是其中一种重要的关系类型，它可以将元素分为相互等价的类别。
本文将介绍离散数学中关系的等价类划分方法，并探讨其应用。
一、等价关系的定义在离散数学中，等价关系是一种具有以下三个性质的二元关系：1. 自反性（Reflexivity）：对于集合中的任意元素a，a与自身是等价的。
2. 对称性（Symmetry）：对于集合中的任意元素a和b，如果a与b是等价的，则b与a也是等价的。
3. 传递性（Transitivity）：对于集合中的任意元素a、b和c，如果a与b是等价的，b与c也是等价的，则a与c是等价的。
基于上述定义，我们可以利用等价关系将集合划分为若干个等价类，每个等价类包含具有相同性质或联系的元素。
二、等价类划分方法在离散数学中，常用的等价类划分方法有以下几种：1. 等价关系的特征矩阵法：特征矩阵法是一种基于矩阵运算的等价类划分方法。
首先，我们可以通过矩阵来表示给定的等价关系，其中矩阵的行和列表示集合中的元素，而矩阵的元素表示对应元素之间的关系。
例如，对于集合{1,2,3,4,5}，若等价关系R定义为{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5)}，则对应的特征矩阵为：```1 1 0 0 01 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 10 0 0 1 1```接下来，我们可以通过矩阵的幂运算来判断两个元素是否属于同一个等价类。
具体而言，对于矩阵的幂运算A^n（n为正整数），若矩阵A的第i行第j列元素为1，则A^n的第i行第j列元素也为1；若矩阵A的第i行第j列元素为0，则A^n的第i行第j列元素仍为0。
通过不断进行矩阵的幂运算，直到得到的矩阵不再发生变化，我们可以确定出所有的等价类。
2. 等价类的划分法：等价类的划分法是一种基于划分操作的等价类划分方法。
离散数学
等价关系及其应用离散数学中等价关系的概念定义1：设R 是集合A 上的二元关系，如果R 是自反的、对称的、传递的，那么称R 是A 上的等价关系。
如果aRb ，那么称a 与b 等价。
定义2：设R 是A 上的等价关系，对于每个A a ∈，与等价的元素全体所组成的集合称为由a 生成的关于R 的等价类，记为R a ][,即R a ][=},|{xRa A x x ∈。
定义3：设R 是A 上的一个等价关系，关于R 的等价类全体所组成的集合族称为A 上的关于R 的商集，记为A /R ，即R A /=}|]{[A a a ∈。
定理1：设R 是A 上的等价关系，那么（1）对任一A a ∈，有a ∈][a（2）对则如果,,,aRb A b a ∈][a =][b（3）对则如果,,,aRb A b a ∈][a ][b =Ø（4）A a A a =∈][证明（1）由于R 是自反的，即aRa ，所以∈a ][a（2）对任一][a c ∈，有cRa ，又由假设aRb ，根据R 是传递的，必有cRb ，即][b c ∈，从而][a ⊆][b 。
对任意][b c ∈，有c Rb ，由a R b 和R 是传递和对称的，必有cRa ，即][ac ∈，从而][b ⊆][a ，因此][a =][b （3）反证法。
设R a 不b ，如果][][b a ≠Ø，假设][][b a c ∈，则][a c ∈且][b c ∈，从定义可知cRa ，cRb 。
由于R 的对称性和传递性，必然有aRb ，矛盾。
所以][][b a =Ø。
（4）对任一][a c A a ∈∈ ，存在b 使得][b c ∈。
而A b ⊆][，从而A c ∈，所以A a A a ⊆∈][ 反之任一A a ∈，则][][a a a A a ∈⊆∈ ，所以][a A A a ∈⊆ 。
因此A a A a =∈][ 。
（1）可知，A 中每个元素所产生的等价类都是非空的。
等价关系与划分ppt课件
2
对R求三种闭包共有6种顺序，问每种顺序的运算结 果是否一定为等价关系？
不一定。 由于对称闭包不一定保持关系的传递性，因此先求 传递闭包后求对称闭包得到的关系不一定是等价关系 例 A={1,2,3}，A上的关系R={<1,2>,<3,2>}
str(R)=IA{<1,2>,<2,1>,<3,2>,<2,3>} 显然str(R)不是等价关系 用闭包运算去构造等价关系时，传递闭包运算应该 放在对称闭包运算的后面
3
例 设AN，R={<x, y>|x, yA∧x≡y (mod 3)} 为A上的 关系，其中x≡y (mod 3)叫做x与y模3相等，其含义为x 除以3的余数与y除以3的余数相等。证明R为A上的等 价关系。 证明:
xA，有x≡x (mod 3)，即<x, x>R，所以R是自 反的。
x,yA，若x≡y (mod 3)，则有y≡x (mod 3)。所以 R是对称的。
π1={ { a，b，c }，{ d } } π2={ { a，b }，{ c }，{ d } } π3={ { a }，{ a，b，c，d } } π4={ { a，b }，{ c } } π5={ ，{ a，b }，{ c，d } } π6={ { a，{ a }}，{ b，c，d } } 其中π1,π2是A的划分，π3,π4,π5,π6不是A的划分
例 集 合 A={1,2,…,8} 上 的 等 价 关 系 R={<x, y>|x, yA∧x≡y（mod 3）}等价类是{1, 4, 7}、{2, 5, 8}、{3, 6}。
所以A在R下的商集为{{1, 4, 7}, {2, 5, 8}, {3, 6}}。 A在R下的商集也可写成{[1], [2], [3]}。 整数集Z在模n等价关系下的商集是 {{nz+i|zZ} | i=0,1,…n-1} 或{[0], [1], ..., [n-1]}
对R求三种闭包共有6种顺序，问每种顺序的运算结 果是否一定为等价关系？
不一定。 由于对称闭包不一定保持关系的传递性，因此先求 传递闭包后求对称闭包得到的关系不一定是等价关系 例 A={1,2,3}，A上的关系R={<1,2>,<3,2>}
str(R)=IA{<1,2>,<2,1>,<3,2>,<2,3>} 显然str(R)不是等价关系 用闭包运算去构造等价关系时，传递闭包运算应该 放在对称闭包运算的后面
3
例 设AN，R={<x, y>|x, yA∧x≡y (mod 3)} 为A上的 关系，其中x≡y (mod 3)叫做x与y模3相等，其含义为x 除以3的余数与y除以3的余数相等。证明R为A上的等 价关系。 证明:
xA，有x≡x (mod 3)，即<x, x>R，所以R是自 反的。
x,yA，若x≡y (mod 3)，则有y≡x (mod 3)。所以 R是对称的。
π1={ { a，b，c }，{ d } } π2={ { a，b }，{ c }，{ d } } π3={ { a }，{ a，b，c，d } } π4={ { a，b }，{ c } } π5={ ，{ a，b }，{ c，d } } π6={ { a，{ a }}，{ b，c，d } } 其中π1,π2是A的划分，π3,π4,π5,π6不是A的划分
例 集 合 A={1,2,…,8} 上 的 等 价 关 系 R={<x, y>|x, yA∧x≡y（mod 3）}等价类是{1, 4, 7}、{2, 5, 8}、{3, 6}。
所以A在R下的商集为{{1, 4, 7}, {2, 5, 8}, {3, 6}}。 A在R下的商集也可写成{[1], [2], [3]}。 整数集Z在模n等价关系下的商集是 {{nz+i|zZ} | i=0,1,…n-1} 或{[0], [1], ..., [n-1]}
《离散数学(第三版)》方世昌 的期末复习知识点总结
《离散数学》期末复习提要《离散数学》是中央电大“数学与数学应用专业”（本科）的一门选修课。
该课程使用新的教学大纲，在原有离散数学课程的基础上削减了教学内容（主要是群与环、格与布尔代数这两章及图论的后三节内容）,使用的教材为中央电大出版的《离散数学》（刘叙华等编）和《离散数学学习指导书》(虞恩蔚等编)。
离散数学主要研究离散量结构及相互关系，使学生得到良好的数学训练，提高学生抽象思维和逻辑推理能力,为从事计算机的应用提供必要的描述工具和理论基础。
其先修课程为：高等数学、线性代数；后续课程为:数据结构、数据库、操作系统、计算机网络等。
课程的主要内容1、集合论部分（集合的基本概念和运算、关系及其性质)；2、数理逻辑部分(命题逻辑、谓词逻辑)；3、图论部分（图的基本概念、树及其性质）。
学习建议离散数学是理论性较强的学科，学习离散数学的关键是对离散数学(集合论、数理逻辑和图论）有关基本概念的准确掌握，对基本原理及基本运算的运用,并要多做练习。
教学要求的层次各章教学要求的层次为了解、理解和掌握。
了解即能正确判别有关概念和方法；理解是能正确表达有关概念和方法的含义;掌握是在理解的基础上加以灵活应用。
一、各章复习要求与重点第一章集合［复习知识点］1、集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集2、集合的交、并、差、补等运算及其运算律（交换律、结合律、分配律、吸收律、De Morgan 律等）,文氏（Venn）图3、序偶与迪卡尔积本章重点内容：集合的概念、集合的运算性质、集合恒等式的证明[复习要求］1、理解集合、元素、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集等基本概念。
2、掌握集合的表示法和集合的交、并、差、补等基本运算。
3、掌握集合运算基本规律，证明集合等式的方法。
4、了解序偶与迪卡尔积的概念，掌握迪卡尔积的运算。
[本章重点习题］P5~6，4、6； P14～15，3、6、7； P20，5、7. [疑难解析］1、集合的概念因为集合的概念学生在中学阶段已经学过，这里只多了一个幂集概念，重点对幂集加以掌握，一是掌握幂集的构成，一是掌握幂集元数为2n .2、集合恒等式的证明通过对集合恒等式证明的练习，既可以加深对集合性质的理解与掌握;又可以为第三章命题逻辑中公式的基本等价式的应用打下良好的基础。
离散数学 等价关系与偏序关系共46页
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
END
离散数学 等价关系与偏序系
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
杭州电子科技大学2023年《离散数学》考研专业课同等学力加试大纲
杭州电子科技大学
硕士研究生复试同等学力加试科目考试大纲
学院：网络空间安全学院加试科目：离散数学
一、命题逻辑
1、命题及逻辑连接词的概念，自然语言的命题符号化。
2、真值表、命题公式与赋值、命题公式的类型。
3、命题的等价演算。
4、范式。
5、命题公式的推理演算。
二、谓词逻辑
1、个体词、谓词、量词及自然语言命题符号化。
2、谓词公式的解释。
3、谓词公式的等价演算。
4、谓词公式的推理规则及演绎推理。
三、集合和关系
1、集合的概念及集合之间的关系。
2、集合的运算。
3、集合的基本等价式。
4、序偶的概念及笛卡儿积。
5、关系的定义及运算。
6、关系的性质。
7、关系的闭包。
8、等价关系与划分。
9、函数的概念与类型。
10、复合函数和逆函数及相关结论。
四、代数结构
1、代数系统的概念。
2、半群、有幺半群、群的概念及性质。
3、循环群、交换群、子群、正规子群等重要概念以及这些代数结构的特性。
4、陪集及拉格朗日定理的应用。
五、图论
1、图、子图、顶点的度等图论基本概念。
2、路、回路的概念，图的连通性及割集的概念。
3、最短通路。
4、树与生成树。
5、欧拉图和哈密尔顿图。
6、有向图的概述。
7、根树与最优二叉树。
参考书目：《应用离散数学》，方景龙、周丽编著，人民邮电出版社，2014.09。
离散数学等价偏序函数
x,y∈A, x与y可比 x≼y∨y≼x. 任取两个元素x和y, 可能有下述几种情况发生：
x≺y(或y≺x), x＝y, x与y不是可比的.
定义7.21 R为非空集合A上的偏序关系, x,y∈A, x与y都是可比的，则称R为全序（或线序）
实例：数集上的小于或等于关系是全序关系 整除关系不是正整数集合上的全序关系
{a,b,c}
{a,c}
{a,b}
{b}
{b,c}
{a}
{c}
由图可知： 为P({a,b,c})的最小元，{a,b,c}为它的
最大元；同时，{a,b,c}也分别为它们
的极小元和极大元、下确界和上确界。
例 已知偏序集< A， ≼ >的哈斯图如下：
e
c
d
a
b
g fh
试写出对应的A和A上的偏序关系R，
性质：下界、上界、下确界、上确界不一定存在 下界、上界存在不一定惟一 下确界、上确界如果存在，则惟一 集合的最小元就是它的下确界，最大元就是它的
上确界；反之不对.
例 画出<{1,2,…,12},R整除>和<P({a,b,c}),R>的哈 斯图，并指出其中的特殊元。
解： (1) <{1,2,…,12}, R整除>
实例 设A={1,2,…,8}, 如下定义A上的关系R： R={<x,y>| x,y∈A∧x ≡ y(mod 3)}
其中x ≡ y(mod 3)叫做x与y模3相等, 即x除以3的余数与y 除以3的余数相等. 不难验证R为A上的等价关系, 因为 x∈A, 有x ≡ x(mod 3) x,y∈A, 若x ≡ y(mod 3), 则有y ≡ x(mod 3) x,y,z∈A, 若x ≡ y(mod 3), y ≡ z(mod 3), 则有x ≡ z(mod 3)
x≺y(或y≺x), x＝y, x与y不是可比的.
定义7.21 R为非空集合A上的偏序关系, x,y∈A, x与y都是可比的，则称R为全序（或线序）
实例：数集上的小于或等于关系是全序关系 整除关系不是正整数集合上的全序关系
{a,b,c}
{a,c}
{a,b}
{b}
{b,c}
{a}
{c}
由图可知： 为P({a,b,c})的最小元，{a,b,c}为它的
最大元；同时，{a,b,c}也分别为它们
的极小元和极大元、下确界和上确界。
例 已知偏序集< A， ≼ >的哈斯图如下：
e
c
d
a
b
g fh
试写出对应的A和A上的偏序关系R，
性质：下界、上界、下确界、上确界不一定存在 下界、上界存在不一定惟一 下确界、上确界如果存在，则惟一 集合的最小元就是它的下确界，最大元就是它的
上确界；反之不对.
例 画出<{1,2,…,12},R整除>和<P({a,b,c}),R>的哈 斯图，并指出其中的特殊元。
解： (1) <{1,2,…,12}, R整除>
实例 设A={1,2,…,8}, 如下定义A上的关系R： R={<x,y>| x,y∈A∧x ≡ y(mod 3)}
其中x ≡ y(mod 3)叫做x与y模3相等, 即x除以3的余数与y 除以3的余数相等. 不难验证R为A上的等价关系, 因为 x∈A, 有x ≡ x(mod 3) x,y∈A, 若x ≡ y(mod 3), 则有y ≡ x(mod 3) x,y,z∈A, 若x ≡ y(mod 3), y ≡ z(mod 3), 则有x ≡ z(mod 3)
离散数学等价关系
离散数学：离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。
离散的含义是指不同的连接在一起的元素，主要是研究基于离散量的结构和相互间的关系，其对象一般是有限个或可数个元素。
离散数学在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的专业课程，如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。
通过离散数学的学习，不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法，为后续课程的学习创造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力，为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。
等价类：在离散数学中，等价关系是指定义在集合A上的关系，满足自反的、对称的和传递的等性质。
设R是定义在集合A上的等价关系，与A中一个元素a有关系的所有元素的集合叫做a的等价类。
等价类应用十分广泛，如在编程语言中，我们使用等价类来判定标识符是不是表示同一个事物。
定义：在离散数学中，等价关系是指定义在集合A上的关系，满足自反的、对称的和传递的等性质。
设R是定义在集合A上的等价关系，与A中一个元素a有关系的所有元素的集合叫做a的等价类。
A的关于R的等价类记作。
当只考虑一个关系时，我们省去下表R并把这个等价类写作[a]。
在软件工程中，是把所有可能输入的数据，即程序的输入域划分成若干部分（子集），然后从每一个子集中选取少数具有代表性的数据作为测试用例，从而减少了数据输入量从而提高了效率，称之为等价类方法，该方法是一种重要的、常用的黑盒测试用例设计方法。
在软件工程中等价类划分及标准如下：划分等价类等价类是指某个输入域的子集合。
在该子集合中，各个输入数据对于揭露程序中的错误都是等效的，并合理地假定：测试某等价类的代表值就等于对这一类其他值的测试，因此，可以把全部输入数据合理划分为若干等价类，在每一个等价类中取一个数据作为测试的输入条件就可以用少量代表性的测试数据取得较好的测试结果。
“离散数学”中的等价关系
“离散数学”中的等价关系“离散数学”中的等价关系“离散数学”是计算机专业的重要基础课程和核心课程。
通过该课程的教学，不仅要为学生们进一步学习本专业的后续课程提供必备的数学理论基础，更重要的是培养和提高学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。
与高等数学主要以连续量作为研究对象不同，离散数学主要以离散量作为主要的研究对象，内容包括数理逻辑、集合论、代数结构、图论以及组合数学、数论和离散概率等。
由于这些内容在描述形式、研究方法和计算机应用领域等方面均存在着较大差异，且含有大量比较抽象的概念、定理和各种各样的形式化描述，因而学生普遍感到困难重重，学习效果不理想。
因此，如何改进教学方法，提高教学效果，使学生们的抽象思维能力和逻辑推理能力真正得到提升，是“离散数学”课程教学过程中必须认真解决的重要课题。
1离散数学课程中的等价关系1.1离散数学课程中等价关系的概念定义1 设R为非空集合A上的二元关系。
如果R是自反的、对称的和可传递的，则称R为A上的等价关系。
定义2 设R为非空集合A上的等价关系，x∈A，令[ x ]R={ y | y ∈A ∧xRy }，则称[ x ]R 为x关于R的等价类，简记为[ x ]。
定义3 设R为非空集合A上的等价关系，以R的所有等价类作元素的集合称为A关于R的商集，记为A/R，即A/R={ [ x ]R| x∈A }。
根据定义1，很容易证明矩阵理论中的矩阵合同关系、相似关系都是等价关系；线性空间的同构关系也是一种等价关系。
下面主要讨论离散数学中一些常见的等价关系。
1.2离散数学课程中各种具体的等价关系数理逻辑中，命题公式A和B等值(记为A B)是指由它们构成的等价式A B 为永真式。
命题公式的等值关系是建立在由所有命题公式构成的集合上的一种等价关系，这种等价关系将所有命题公式按其是否等值划分成若干个等价类，属于同一个等价类中的命题公式彼此等值，因而，只要清楚了等价类中某一个公式的性质，则与该公式同类的公式的性质也就完全清楚了。
应用离散数学(方景龙)课后答案
课。
令原子命题 p ：若下雪超过 20 公分，学校就停课， q ：若温度低于 −10°C ，学校就 停课，则同或和异或分别符号化为： p ∨ q 和 ( p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) 。
我认为该语句想表示的是“同或”。
6. 给出下列各蕴涵形式命题的逆命题、否命题和逆否命题。 （1）如果今天下雪，我明天就去滑雪。 （2）只要有测验，我就来上课。 （3）只有当正整数没有 1 和它自己以外的因数时，它才是质数。 解 （1）逆命题：如果我明天去滑雪，就今天会下雪；否命题：如果今天不下雪，我 明天就不去滑雪；逆否命题：如果我明天没去滑雪，今天就没下雪。 （2）逆命题：我来上课，就有测验；否命题：只要没有测验，我就不来上课；逆否命 题：我不来上课，就没有测验。 （3）逆命题：正整数是质数，则它没有 1 和它自己以外的因数；否命题：只有当正整 数有 1 和它自己以外的因数时，它才不是质数；逆否命题：正整数不是质数，则它有 1 和它 自己以外的因数。
§1.1 命题和逻辑连接词
习题 1.1
1. 下列哪些语句是命题，在是命题的语句中，哪些是真命题，哪些是假命题，哪些命题
的真值现在还不知道？
（1）中国有四大发明。
（2）你喜欢计算机吗？
（3）地球上海洋的面积比陆地的面积大。
（5） 2 + 3 = 6 。
（4）请回答这个问题！
（6） x + 7 < 10 。
（1）你的车速没有超过每小时 120 公里。 （2）你的车速超过了每小时 120 公里，但没接到超速罚款单。 （3）你的车速若超过了每小时 120 公里，将接到一张超速罚款单。 （4）你的车速不超过每小时 120 公里，就不会接到超速罚款单。 （5）你接到一张超速罚款单，但你的车速没超过每小时 120 公里。 （6）只要你接到一张超速罚款单，你的车速就肯定超过了每小时 120 公里。
令原子命题 p ：若下雪超过 20 公分，学校就停课， q ：若温度低于 −10°C ，学校就 停课，则同或和异或分别符号化为： p ∨ q 和 ( p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) 。
我认为该语句想表示的是“同或”。
6. 给出下列各蕴涵形式命题的逆命题、否命题和逆否命题。 （1）如果今天下雪，我明天就去滑雪。 （2）只要有测验，我就来上课。 （3）只有当正整数没有 1 和它自己以外的因数时，它才是质数。 解 （1）逆命题：如果我明天去滑雪，就今天会下雪；否命题：如果今天不下雪，我 明天就不去滑雪；逆否命题：如果我明天没去滑雪，今天就没下雪。 （2）逆命题：我来上课，就有测验；否命题：只要没有测验，我就不来上课；逆否命 题：我不来上课，就没有测验。 （3）逆命题：正整数是质数，则它没有 1 和它自己以外的因数；否命题：只有当正整 数有 1 和它自己以外的因数时，它才不是质数；逆否命题：正整数不是质数，则它有 1 和它 自己以外的因数。
§1.1 命题和逻辑连接词
习题 1.1
1. 下列哪些语句是命题，在是命题的语句中，哪些是真命题，哪些是假命题，哪些命题
的真值现在还不知道？
（1）中国有四大发明。
（2）你喜欢计算机吗？
（3）地球上海洋的面积比陆地的面积大。
（5） 2 + 3 = 6 。
（4）请回答这个问题！
（6） x + 7 < 10 。
（1）你的车速没有超过每小时 120 公里。 （2）你的车速超过了每小时 120 公里，但没接到超速罚款单。 （3）你的车速若超过了每小时 120 公里，将接到一张超速罚款单。 （4）你的车速不超过每小时 120 公里，就不会接到超速罚款单。 （5）你接到一张超速罚款单，但你的车速没超过每小时 120 公里。 （6）只要你接到一张超速罚款单，你的车速就肯定超过了每小时 120 公里。
等价关系与等价类-集合与关系-离散数学
第16页
⑵ 2)[x]R∩[y]R=Φ， 当且仅当 <x,y>R。 证明: ①设<x,y>R，证 [x]R∩[y]R=Φ。 反证法：假设[x]R∩[y]R≠Φ，则存在z∈[x]R∩[y]R， 即 z∈[x]R∧z∈[y]R， 也即<x,z>∈R ，<y,z>∈R， 由<y,z>∈R和R的对称性得<z,y>∈R， 又由<x,z>∈R 、<z,y>∈R和R的传递性得 <x,y>∈R，与<x,y>R矛盾。 所以若<x,y>R，则[x]R∩[y]R=Φ ②设[x]R∩[y]R=Φ，证<x,y>R。 反证法：假设<x,y>∈R，则由等价类定义得 y∈[x]R， 又因为<y,y>∈R ，所以y∈[y]R，所以y∈[x]R∩[y]R， 与[x]R∩[y]R=Φ产生矛盾。 所以若[x]R∩[y]R=Φ，则<x,y>R。 由① ②可知[x]R∩[y]R=Φ， 当且仅当 <x,y>R。
采用类似[x]R[y]R的方法证[y]R[x]R。
由a)和b)得 [x]R=[y]R。 ②若[x]R=[y]R，证<x,y>∈R。 由于有<y,y>∈R ，所以y∈[y]R ，由[x]R=[y]R ，则 y∈[x]R ，即有<x,y>∈R。 由①②可知[x]R=[y]R 当且仅当 <x,y>∈R。
1 2
6
4 7 9 5 10 14 [1]R=[5]R=[9]R={1,5,9} [2]R=[6]R=[10]R=[14]R={2,6,10,14} [3]R=[7]R={3,7} [4]R={4}
《等价关系和划分》PPT课件
2019年5月8日星期三
南京信息工程大学数理学院
6
定义 2 设 x和 y 是两个整数， k是一个正整数，若 x ， y 用k除的余数相等，就称x和y模k同余，也称 x和y模k等价。 记为 x ≡ y (mod k) 设x (y)用k除的商为t1 (t2 )，余数为a1 ( a2 )，数学上将 x(y)表示成为： x= k×t1＋a1， t1I，a1I 且 0≤a1＜k。 y= k×t2＋a2， t2I，a2I 且 0≤a2＜k。 若x，y用k除的余数相等，x-y= k×(t1-t2)，t1-t2I。 即x-y可以被 k 整除。所以，x和 y模 k 同余还可以描述 为：x-y可以被k整除。
MR
1 1 0 0 0
1 1 0 0 0
0 0 1 1 0
0 0 1 1 0
0 0 0 0 1
MR的主对角线全为1且是对称阵，所以R是自反的和对称的； 还可以用二元关系传递性的定义证明 R是传递的。故R是A上 的等价关系。
2019年5月8日星期三 南京信息工程大学数理学院 5
2019年5月8日星期三 南京信息工程大学数理学院 9
注：等价关系的任何等价类是该等价关系前域 (或陪域) 的子集。例如，模 3 等价类是整数集合的子集： [0]RI ， [1]RI，[2]RI。 任何等价类是非空集合。x形成的R等价类[x]R至少有一 个元素x。例如，在模3等价类中，0[0]R，1[1]R，2[2]R。 定理2 设R是X上的等价关系，对于X的任意元素a和b， aRb 的充分必要条件是[a]R=[b]R 证明：设aRb，下证 [a]R=[b]R c[a]R ， aRc ，由 R 的对称性有 cRa ，由条件 aRb 和 R 的传 递性得cRb，再根据R的对称性有bRc，c[b]R，故[a]R[b]R。 类似地可以证明 [b]R[a]R。这就证明了[a]R=[b]R。 设 [a]R=[b]R ，下证 aRb 。 由定理 1 知 a[a]R ，因为 [a]R=[b]R，所以a[b]R，bRa，由R的对称性有aRb。
《应用离散数学》方景龙版-3.4等价关系与划分
《应⽤离散数学》⽅景龙版-3.4等价关系与划分§3.4 等价关系与划分习题3.41. 对于给定的集合A 和其上的⼆元关系R ，判断R 是否为等价关系。
（1）A 为实数集，A y x ∈?，，2=-?y x xRy 。
（2）}321{，，=A ，A y x ∈?，，3≠+?y x xRy 。
（3）+=Z A ，即正整数集，A y x ∈?，，是奇数xy xRy ?。
（4）)(X P A =，集合X 的基数2||≥X ，A y x ∈?，，x y y x xRy ?∨??。
（5）)(X P A =，集合X 和C 满⾜X C ?，A y x ∈?，，C y x xRy ?⊕?。
解略2. 设}{d c b a A ，，，=，对于A 上的等价关系A I c d d c a b b a R }{><><><><=，，，，，，，画出R 的关系图，并求出A 中各元素关于R 的等价类。
解 R 的关系图如下：A 中各元素关于R 的等价类分别为：},{][][b a b a ==，},{][][d c d c ==3. 考虑单词的集合}{sit wind wash sky last sheet W ，，，，，=。
1R 和2R 分别是由“具有同样多的字母”和“具有相同的开头字母”定义的等价关系。
求由1R 和2R 确定的商集1/R W 和2/R W 。
解略4. 给出模6同余关系，并求出所有的模6同余类。
解模6同余关系)}6(mod |{b a b a b a R ≡∧∈><=Z ，，所有的模6同余类为：510}|5{][，，，， =∈+=i z i z i Z即},20,15,10,5,0,5,10,15,20,{]0[ ----=},21,16,11,6,1,4,9,14,19,{]1[ ----=},22,17,12,7,2,3,8,13,18,{]2[ ----=},23,18,13,8,3,2,7,12,17,{]3[ ----=},24,19,14,9,4,1,6,11,16,{]4[ ----=5. 设}656443422120{ ，，，，，，，，，，，，><><><><><><=A ，判断下列关系是否等价关系，若是等价关系，试给出它的等价类。
05-等价关系与划分
–
–
等价关系与集合运算
假设R1, R2均为集合X上的等价关系，回答下列 问题：
– –
R1 R2 是否仍为等价关系？ R1 R2 是否仍为等价关系？
传递性不能保持
–
X2-R1 是否仍为等价关系？
自反性不能保持
集合的划分
A
A6
A1 A5 A2 A4 集合A的 分划 , , 是A的一组非 空子集的集合，即 (A), 且满 足： 1. 对任意 xA, 存在某个 Ai, 使 得 xAi. i.e. Ai A
交叉划分
若1和2和都是A上的划分，则={xy|x1, y2, xy非空}称为1和2的交叉划分 若1和2分别对应于R1和R2，则=对应于R1R2
–
A
<a,b> R1R2 当且仅当 存在x1, y1 （xy非空） 使得a,b均在xy中。 A A
交叉
1
– –
–
–
每个等价类是A的一个非空子集。 如果xRy，则[x]=[y] 如果非xRy，则[x][y]= 所有等价类的并集等于A
商集A/R：所有等价类的集合
等价关系的关系图
一个例子 A={1,2,3,4,5} R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>, <1,2>, <2,1>, <1,5>, <5,1>, <2,5>, <5,2>, <3,4>, <4,3>} R(1) 2
1
5
3
注意：R(1)即R(2) 或R(5); R(3)即R(4)
离散数学等价关系
离散数学等价关系离散数学(Discrete mathematics)是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。
离散的含义是指不同的连接在一起的元素，主要是研究基于离散量的结构和相互间的关系，其对象一般是有限个或可数个元素。
离散数学在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，通过离散数学的学习，不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法，为后续课程的学习创造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力，为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。
随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地位已经发生了变化，离散数学的重要性逐渐被人们认识。
离散数学课程所传授的思想和方法，广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理，从理论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件，从人工智能到认知系统，无不与离散数学密切相关。
由于数字电子计算机是一个离散结构，它只能处理离散的或离散化了的数量关系，因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域，都面临着如何对离散结构建立相应的数学模型；又如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化，从而可由计算机加以处理。
离散数学是传统的逻辑学，集合论（包括函数），数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数（包括代数系统，群、环、域等），布尔代数，计算模型（语言与自动机）等汇集起来的一门综合学科。
离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域。
离散数学也可以说是计算机科学的基础核心学科，在离散数学中的有一个著名的典型例子-四色定理又称四色猜想，这是世界近代三大数学难题之一，它是在1852年，由英国的一名绘图员弗南西斯·格思里提出的，他在进行地图着色时，发现了一个现象，“每幅地图都可以仅用四种颜色着色，并且共同边界的国家都可以被着上不同的颜色”。
等价关系离散数学分解
等价关系(4学时)【教学目的】了解、掌握等价关系及相应的等价类与集合划分的基本概念及例子【教学要求】正确地掌握等价关系及相应的等价类与集合划分之间的关系；给定A上的等价关系R，会求所有的等价类和商集A/R，或者求与R相对应的划分；反之给定集合A上的划分兀，求对应于兀的等价关系【教学重点】等价关系、偏序关系的各种性质的判断和证明；【教学难点】如何正确地掌握等价关系及相应的等价类与集合划分之间的关系【教学方法】讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。
【教学手段】传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
【课型】新授课教学过程4.1 一种特殊的二元关系 -- 等价关系(Equivalence Relation).一、等价关系(Equivalence Relation)1、定义4.18设R为非空集合上的关系.如果R是自反的、对称的和传递的，则称R为A 上的等价关系.设R是一个等价关系，若<x, y>eR,称x等价于y,记作:x ~ y.例4.17设A = { 1, 2,…,8 ),如下定义A上的关系R:R = { <x, y> | x, yeA A x=y (mod 3) }其中x三y (mod 3)是x与y模3.不难验证R为A上的等价关系，因为：VxeA ,有:x三x (mod 3)Vx,yeA,若x=y (mod 3),贝U有：y=x (mod 3)Vx,y,zeA,若x三y (mod 3) , y三z (mod 3),则有：x三z. (mod 3)该关系的关系图如右图所示.不难看到，上述关系图被分为三个互不连通的部分.每部分中的数两两都有关系,不同部分中的数则没有关系，每一部分中的所有的顶点构成一个等价类.4.2等价关系与划分2、定义4.19设R为非空集合A上的等价关系,VxeA,令[x]R = {y I yeAAxRy }称[x]R为x关于R的等价类(Equivalent Class),简称为x的等价类，简记为[x]. 从以上定义可以知道,x的等价类是A中所有与x等价的元素构成的集合.例4.17中的等价类是：[1]= [4] = [7] = {1,4,7}[2]= [5] = [8]={2,5,8}[3]= [6] = {3,6}关于等价类，有如下性质：定理4.8设R为非空集合A上的等价关系，则(1)V XG A,[X]^ A的非空子集；⑵ Dx,ywA,若vx,y>wR,则[x] = [y];(3)Vx,yeA,若vx,y>任R,则[x]与[y]不交；(4)U{[X]I XG A}=A.证⑴ 由等价类的定义可知,V XG A,有:[x]c A.由“等价关系的自反性”可知:XG[X],即：[x俳空.⑵任取z,则有ZG[X] <x, z>eR <z, x>eR (因为R 是对称的)因此有<z, X>G RA<X, y>eR f <z, y>eR (因为R 是传递的)fvy,zxR (因为R是对称的)从而证明了zw[y].综合上述，必有：[x]q[y].同理可证:[x]c [y].这就得到了：[x] = [y].(3)假设:[x] A [y] w 6由假设可知：3ze[x]n[y],即：ze[x]Aze[y].所以,<x, Z>G R和vy, Z>G R.由“R的对称性”和“<y,可知：<z, y>eR.再由R的对称性可得:<x, y>eR.这就与“已知条件:<x, y>任R”相矛盾.所以，命题成立，BP： [x] A [y] =(|).(4)先证：U{ [x] I xeA }G A证：(4.(1)y,yeU{[x]lxGA}n 3x(xeAAye[x])=>yeA从而有：U{ [x] I xeA }G A再证:Ac U { [x] I XG A}.(4.(2)y,yeA^yG[y]AyeAye U{ [x] I xeA }从而有:Ac U { [x] I XG A }成立.综合上述得：U{ [x] I xeA } = A.3、定义4.20设R为非空集合A上的等价关系,R所有等价类所组成集合称为A关于R的商集，记作A/R,即:A/R = {[x]R| (一切x£A) } 例 4.17 中的商集为:{{1, 4, 7 }, { 2, 5, 8 }, { 3, 6 } ).和等价关系及商集有密切联系的概念是集合的划分.定义7.18设A为非空集合，若A的子集族很兀q P(A)),是A的子集构成的集合)满足下面的条件:(1)樨兀(2)VxVy(x, yKG A x 丰 y。
概率论-第十五讲 等价关系和划分
8
一、等价关系
定理5: 设R是A上的二元关系,设R′=tsr(R)是R的自反对称 传递闭包,那么 (a) R′是A上的等价关系,叫做R诱导的等价关系； (b) R′是包含R的最小等价关系。 证明： r(R)是自反的，所以sr(R)是自反的，对称的，所以 tsr(R)是自反的，对称的，传递的，即R’=tsr(R)是A上 的等价关系。 设R”是包含R的任意等价关系，即R⊆R”，因为R”是 自反的，所以r(R)⊆r(R”)=R”；因为R”是对称的，所以 sr(R)⊆s(R”)=R”;又因为R”是传递的，所以 tsr(R)⊆t(R”)=R”，即R”包含tsr(R)。
若是划分，则必是覆盖；若是覆盖，则不一定是划分。
②设A是非空集合, ρ(A)-{∅ } 是A的一个覆盖,而不是A的划分,除非A是单元素集合。
11
二、划分
定理6 : 设A是非空集合,R是A上的等价关系。R的等价类集合 {［a］R ｜a∈A}是A的划分。 由上面定理2，3可得出。 定义5：设R是非空集合A上的等价关系,称划分{［a］R｜a∈A} 定理2：设R是集合A上的等价关系,则对所有a,b∈A,或者 ［a］=［b］,或者［a］∩［b］= ∅ 为商集A/R,也叫A模R。
13
B∈π
二、划分
例5：设A={a,b,c,d,e}，划分S={{a,b},{c},{d,e}}, 由S确 定A上等价关系R。 解：R={a,b} ×{a,b} ∪{c} ×{c} ∪{d,e} ×{d,e} = {〈a,a〉, 〈a,b〉, 〈b,a〉, 〈b,b〉, 〈c,c〉, 〈d,d〉, 〈d,e〉, 〈e,d〉, 〈e,e〉} 若已知等价关系，求划分，则把有R关系的元素放到一 个划分块即可。
2
一、等价关系
一、等价关系
定理5: 设R是A上的二元关系,设R′=tsr(R)是R的自反对称 传递闭包,那么 (a) R′是A上的等价关系,叫做R诱导的等价关系； (b) R′是包含R的最小等价关系。 证明： r(R)是自反的，所以sr(R)是自反的，对称的，所以 tsr(R)是自反的，对称的，传递的，即R’=tsr(R)是A上 的等价关系。 设R”是包含R的任意等价关系，即R⊆R”，因为R”是 自反的，所以r(R)⊆r(R”)=R”；因为R”是对称的，所以 sr(R)⊆s(R”)=R”;又因为R”是传递的，所以 tsr(R)⊆t(R”)=R”，即R”包含tsr(R)。
若是划分，则必是覆盖；若是覆盖，则不一定是划分。
②设A是非空集合, ρ(A)-{∅ } 是A的一个覆盖,而不是A的划分,除非A是单元素集合。
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二、划分
定理6 : 设A是非空集合,R是A上的等价关系。R的等价类集合 {［a］R ｜a∈A}是A的划分。 由上面定理2，3可得出。 定义5：设R是非空集合A上的等价关系,称划分{［a］R｜a∈A} 定理2：设R是集合A上的等价关系,则对所有a,b∈A,或者 ［a］=［b］,或者［a］∩［b］= ∅ 为商集A/R,也叫A模R。
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B∈π
二、划分
例5：设A={a,b,c,d,e}，划分S={{a,b},{c},{d,e}}, 由S确 定A上等价关系R。 解：R={a,b} ×{a,b} ∪{c} ×{c} ∪{d,e} ×{d,e} = {〈a,a〉, 〈a,b〉, 〈b,a〉, 〈b,b〉, 〈c,c〉, 〈d,d〉, 〈d,e〉, 〈e,d〉, 〈e,e〉} 若已知等价关系，求划分，则把有R关系的元素放到一 个划分块即可。
2
一、等价关系
离散数学 第四章 等价关系和偏序关系精品PPT课件
13
实例（续）
根据 <x,y> 的 x + y = 2,3,4,5,6,7,8 将AA划分成7个 等价类：
(AA)/R={ {<1,1>}, {<1,2>,<2,1>}, {<1,3>, <2,2>, <3,1>}, {<1,4>, <2,3>, <3,2>, <4,1>}, {<2,4>, <3,3>, <4,2>}, {<3,4>, <4,3>}, {<4,4>} }
R3={<1,2>,<2,1>}∪IA
12
实例
例3 设 A={1, 2, 3, 4}，在 AA上定义二元关系R： <<x,y>,<u,v>>R x+y = u+v，
求 R 导出的划分.
解 AA={<1,1>, <1,2>, <1,3>, <1,4>, <2,1>, <2,2>, <2,3>,<2,4>,<3,1>, <3,2>, <3,3>, <3,4>, <4,1>, <4,2>, <4,3>, <4 ,4>}
x与 y 可比：设R为非空集合A上的偏序关系, x,yA, x与y可比 x≼y ∨ y≼x.
结论：任取两个元素x和y, 可能有下述情况： x≺y (或y≺x), x＝y, x与y不是可比的.
全序关系： R为非空集合A上的偏序, x,yA, x与 y 都是可比的， 则称 R 为全序（或 线序） 实例：数集上的小于或等于关系是全序关系
实例（续）
根据 <x,y> 的 x + y = 2,3,4,5,6,7,8 将AA划分成7个 等价类：
(AA)/R={ {<1,1>}, {<1,2>,<2,1>}, {<1,3>, <2,2>, <3,1>}, {<1,4>, <2,3>, <3,2>, <4,1>}, {<2,4>, <3,3>, <4,2>}, {<3,4>, <4,3>}, {<4,4>} }
R3={<1,2>,<2,1>}∪IA
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实例
例3 设 A={1, 2, 3, 4}，在 AA上定义二元关系R： <<x,y>,<u,v>>R x+y = u+v，
求 R 导出的划分.
解 AA={<1,1>, <1,2>, <1,3>, <1,4>, <2,1>, <2,2>, <2,3>,<2,4>,<3,1>, <3,2>, <3,3>, <3,4>, <4,1>, <4,2>, <4,3>, <4 ,4>}
x与 y 可比：设R为非空集合A上的偏序关系, x,yA, x与y可比 x≼y ∨ y≼x.
结论：任取两个元素x和y, 可能有下述情况： x≺y (或y≺x), x＝y, x与y不是可比的.
全序关系： R为非空集合A上的偏序, x,yA, x与 y 都是可比的， 则称 R 为全序（或 线序） 实例：数集上的小于或等于关系是全序关系
应用离散数学第四章第4讲
14
应用离散数学 第四章 第4讲
划分(举例)
设 A1,A2,…,AnE, 则以下都是划分: Ai = {Ai,~Ai}, ( i=1,2,…,n ) Aij = {AiAj,~AiAj, Ai~Aj, ~Ai~Aj}-{}
( i,j =1,2,…,n ij ) …… A12…n = {~A1~A2… ~An,…,
哈斯图(Hasse diagram)
设<A,≼>是偏序集, x,yA 可比(comparable): x与y可比 x≼y y≼x 覆盖(cover): y覆盖x x≺y z( zA x≺z≺y ) 哈斯图: 当且仅当y覆盖x时,在x与y之间画无 向边, 并且x画在y下方
通常用≼表示偏序关系,读作“小于等于” <x,y>R xRy x≼y “严格小于”: x≺y x≼y xy 偏序集(poset): <A,≼>, ≼是A上偏序关系 例子: <A,>, <A,|>, <A,>, <,≼加细>
25 应用离散数学 第四章 第4讲
2013-7-13
2013-7-13
13
应用离散数学 第四章 第4讲
划分(partition)
划分: 设A, AP(A),若A满足 (1) A ; (2) x,y( x,yA xy xy= ) (3) UA = A 则称A为A的一个划分, A中元素称为划分块 (block).
2013-7-13
2 卫星1： 1 3 4 5
卫星2：
1
2
3
4
2 卫星3： 1 3
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§3.4 等价关系与划分
习题3.4
1. 对于给定的集合A 和其上的二元关系R ，判断R 是否为等价关系。
（1）A 为实数集，A y x ∈∀，，2=-⇔y x xRy 。
（2）}321{，，=A ，A y x ∈∀，，3≠+⇔y x xRy 。
（3）+=Z A ，即正整数集，A y x ∈∀，，是奇数xy xRy ⇔。
（4）)(X P A =，集合X 的基数2||≥X ，A y x ∈∀，，x y y x xRy ⊆∨⊆⇔。
（5）)(X P A =，集合X 和C 满足X C ⊆，A y x ∈∀，，C y x xRy ⊆⊕⇔。
解 略
2. 设}{d c b a A ，，，=，对于A 上的等价关系
A I c d d c a b b a R }{><><><><=，，，，，，，
画出R 的关系图，并求出A 中各元素关于R 的等价类。
解 R 的关系图如下：
A 中各元素关于R 的等价类分别为：
},{][][b a b a ==，},{][][d c d c ==
3. 考虑单词的集合}{sit wind wash sky last sheet W ，，，，，=。
1R 和2R 分别是由“具有同样多的字母”和“具有相同的开头字母”定义的等价关系。
求由1R 和2R 确定的商集1/R W 和2/R W 。
解 略
4. 给出模6同余关系，并求出所有的模6同余类。
解 模6同余关系)}6(mod |{b a b a b a R ≡∧∈><=Z ，，
所有的模6同余类为：
510}|5{][，，，， =∈+=i z i z i Z
即
},20,15,10,5,0,5,10,15,20,{]0[ ----=
},21,16,11,6,1,4,9,14,19,{]1[ ----=
},22,17,12,7,2,3,8,13,18,{]2[ ----=
},23,18,13,8,3,2,7,12,17,{]3[ ----=
},24,19,14,9,4,1,6,11,16,{]4[ ----=
5. 设}656443422120{ ，，，，，，，，，，，
，><><><><><><=A ，判断下列关系是否等价关系，若是等价关系，试给出它的等价类。
（1）}|{122121212121y x y x A y y x x y y x x R +=+∧>∈<><>><><<=，，，，，，
（2）}|{221121212121y x y x A y y x x y y x x R +=+∧>∈<><>><><<=，，，，，， 解 略
6. 假如R 和S 是集合A 上的等价关系，问下面的关系是否一定是等价关系，是的给予证明，不是的举出反例。
（1）S R
（2）S R （3）c R
（4）S R - （5）S R
（6）1-R 解 （1）、（2）、（3）、（4）略
（5）S R 不一定是等价关系，例如：取集合}{c b a A ，，=及其上的等价关系
},,,,,,,,,{><><><><><=c c b b a b b a a a R
},,,,,,,,{><><><><><=c c b c c b b b a a S ，
有},,,,,,,,,,,,,,,{><><><><><><><><=c c b c c b b b a b c a b a a a S R ，它不是对称的，从而不是等价关系。
（6）1-R 一定是等价关系，证明如下：
A x ∈∀，因为R 是自反的，所以R x x >∈<,，从而1,->∈<R x x ，即1-R 是自反的；
1,->∈<∀R y x ，有R x y >∈<,，因为R 是对称的，所以R y x >∈<,，从而1,->∈<R x y ，即1-R 是对称的；
1,,,->∈<><∀R z y y x ，有R y z x y >∈<><,,,，因为R 是传递的，所以R x z >∈<,，从而1,->∈<R z x ，即1-R 是传递的；
综上所述，若R 是集合A 上的等价关系，则1
-R 一定是等价关系。
7. 当我们构造一个关系的自反闭包的对称闭包的传递闭包时，一定得到一个等价关系吗？是的请证明，不是的请举出反例。
解 略
8. 假如1R 和2R 是集合A 上的等价关系，1π和2π分别是对应于1R 和2R 的划分。
证明
21R R ⊆当且仅当1π是2π的加细。
（如果在划分1π中的每个集合都是划分2π中某个集合的子集，则1π叫做2π的加细）
证明 （1）由21R R ⊆推出1π是2π的加细，这就是要证明对于1π中的任何集合1A ，在2π中都存在集合2A ，使得21A A ⊆。
因为1π中的任何集合1A 是A 中的某个元素a 关于等价关系1R 的等价类，即
}
,|{][111R b a b a A R >∈<==
现构造 }
,|{][222R b a b a A R >∈<== 它是A 中元素a 关于等价关系2R 的等价类，从而是2π中的一个集合。
又由于21R R ⊆，所
以有21A A ⊆。
（2）由1π是2π的加细推出21R R ⊆，这就是要证明如果对于1π中的任何集合1A ，在2π中都存在集合2A ，使得21A A ⊆，那么21R R ⊆。
1,R b a >∈<∀，有11][][R R b a =，所以在1π中存在集合=1A 11][][R R b a =，使得1,A b a ∈。
根据条件，在2π中存在集合2A 使得21A A ⊆，从而2,A b a ∈。
由于2A 是A 中某个元素关于等价关系2R 的等价类，根据等价类的定义，有2,R b a >∈<。
所以21R R ⊆。