离散数学等价关系

离散数学等价关系嘿，朋友！咱们今天来聊聊离散数学里这个有点特别的家伙——等价关系。

你知道吗，等价关系就像是一群小伙伴在玩分类游戏。

比如说，咱们把水果分分类，苹果一堆，香蕉一堆，橙子一堆。

这里面“是苹果”“是香蕉”“是橙子”就可以看作是不同的等价类。

那等价关系到底是啥呢？它就像是一把神奇的尺子，能衡量出元素之间是否“平等”。

比如说，在整数集合里，如果两个数除以 2 的余数相同，那它们在这个规则下就是等价的。

这就好比咱俩都喜欢同一种口味的冰淇淋，那在喜欢冰淇淋口味这件事上，咱俩就是“等价”的小伙伴。

再想想看，我们身边是不是也有很多类似的等价关系？比如在班级里，同一年出生的同学是不是可以看作一个等价类？在一个家族里，同一个辈分的人是不是也能算是一个等价类？等价关系还有几个重要的特点呢。

它得满足自反性，这就好比自己得喜欢自己，总不能自己讨厌自己吧？对称性也不能少，你对我好，我当然也得对你好，不能只准我对你好，你对我不好呀。

还有传递性，就像你和我关系好，我和他关系好，那你和他关系也得不错才行。

那等价关系有啥用呢？这用处可大啦！它能帮我们把复杂的东西简单化，把一大群乱糟糟的元素整理得井井有条。

比如说在计算机编程里，通过等价关系可以对数据进行分类处理，提高效率。

这就像你整理房间，把东西分类放好，找的时候一下子就能找到。

而且在数学的好多领域里，等价关系都是个重要的工具。

就像一把万能钥匙，能打开好多难题的大门。

总之，等价关系在离散数学里可是个相当重要的角色，它就像一个默默付出的幕后英雄，虽然不那么显眼，但作用巨大。

咱们要是能把它搞明白，学好离散数学可就轻松多啦，你说是不是？。

等价类：在离散数学中，等价关系是指定义在集合A上的关系，满足自反的、对称的和传递的等性质。

设R是定义在集合A上的等价关系，与A中一个元素a有关系的所有元素的集合叫做a的等价类。

等价类应用十分广泛，如在编程语言中，我们使用等价类来判定标识符是不是表示同一个事物。

定义：在离散数学中，等价关系是指定义在集合A上的关系，满足自反的、对称的和传递的等性质。

设R是定义在集合A上的等价关系，与A中一个元素a有关系的所有元素的集合叫做a的等价类。

A的关于R的等价类记作。

当只考虑一个关系时，我们省去下表R并把这个等价类写作[a]。

在软件工程中，是把所有可能输入的数据，即程序的输入域划分成若干部分（子集），然后从每一个子集中选取少数具有代表性的数据作为测试用例，从而减少了数据输入量从而提高了效率，称之为等价类方法，该方法是一种重要的、常用的黑盒测试用例设计方法。

分类：在离散数学中，等价类的划分基于以下定理：设R是定义在集合A上的等价关系。

那么R的等价类构成S的划分。

反过来，给定集合S的划分{ |i∈I},则存在一个等价关系R，它以集合作为它的等价类。

因为等价关系的a 在a 中和任何两个等价类要么相等要么不交集不相交的性质。

得出X 的所有等价类的集合形成X 的集合划分划分: 所有X 的元素属于一且唯一的等价类。

反过来，X 的所有划分也定义了在X 上等价关系。

在软件工程中等价类划分及标准如下：划分等价类等价类是指某个输入域的子集合。

在该子集合中，各个输入数据对于揭露程序中的错误都是等效的，并合理地假定：测试某等价类的代表值就等于对这一类其他值的测试，因此，可以把全部输入数据合理划分为若干等价类，在每一个等价类中取一个数据作为测试的输入条件就可以用少量代表性的测试数据取得较好的测试结果。

等价类划分有两种不同的情况：有效等价类和无效等价类。

1）有效等价类是指对于程序的规格说明来说是合理的、有意义的输入数据构成的集合。

利用有效等价类可检验程序是否实现了规格说明所规定的功能和性能。

离散数学等价关系定义若关系R在集合A中是自反、对称和传递的，则称R为A上的等价关系。

所谓关系R 就是笛卡尔积A×A 中的一个子集。

A中的两个元素x,y有关系R，如果(x,y)∈R。

我们常简记为xRy。

自反：任意x属于A，则x与自己具有关系R，即xRx；对称：任意x,y属于A，如果x与y具有关系R，即xRy，则y与x 也具有关系R，即yRx；传递：任意x,y,z属于A，如果xRy且yRz，则xRzx,y具有等价关系R，则称x,y R等价，有时亦简称等价。

等价关系是设R是非空集合baiA上的二元关系，若R是自反的、du 对称的、传递的，则称R是A上的等zhi价关系。

给定非空集合A,若有集合S={S ,S ,…,S }，其中S A，S（i=1,2,…,m）且S S = (i j)同时有S =A，称S是A的划分。

研究等价关系的目的在于将集合中的元素进行分类，选取每类的代表元素来降低问题的复杂度，如软件测试时，可利用等价类来选择测试用例。

找出集合A的所有划分，每一个划分对应一个等价关系。

集合的划分就是对集合的元素分块，看到底是分成几块。

分成一块的有：划分1：{{1,2,3,4}}，对应的等价关系就是全域关系E，也就是A×A。

分成两块的有：划分2：{{1,2},{3,4}}，划分3：{{1,3},{2,4}}，划分4：{{1,4},{2,3}}，分成三块的有：划分5：{{1},{2,3,4}}，划分6：{{2},{1,3,4}}，划分7：{{3},{1,2,4}}，划分8：{{4},{1,2,3}}，分成四块的有：划分9：{{1},{2},{3},{4}}，对应的等价关系就是恒等关系I。

由划分求等价关系：<a,b>∈R当且仅当a,b在同一个划分块中。

概念问题二进制关系：A和B的笛卡尔积的子集称为从A到B的二进制关系。

集合上的关系：从a到a的关系。

关系的性质反射，抗反射，对称，抗对称和传输。

没有列出概念，但应注意以下方面：（1）所有属性的概念都是逻辑表达式，即判断是非，必须严格按照定义判断是非；（2）它们都是用全名量词表示的逻辑表达式，因此必须为真才能保持一致；（3）它们全部由隐含条件语句表示。

如果前提为假，则它也为真，也就是说，所有未出现在真之后再为假的内容都为真。

关系代表（1）设置符号（适合定义和表示）；（2）图表表示（适合直观感觉和观察特性）；（3）关系矩阵表示（适合计算）；特别地，关系矩阵是布尔矩阵，即逻辑矩阵，其描述A中的第i个元素是否与B中的第j个元素有关。

关系运作（1）交叉，合并与区别R1ÇR2————M1ÙM2R1ÈR2————M1ÚM2（2）综合合成操作非常重要且容易出错。

注意其顺序以及对集合，图形和矩阵的相应计算。

自我及其综合运算形成力量。

例如，R 2对应于由点直接连接的边，这些点可以从图形上的每个点分两步到达。

另一个例子R1°R2 ————M2M1R ^ 2 ————M ^ 2关系的应用（1）n元关系的应用一般来说，当2元关系扩展到N元关系时，它就成为数据库的基本框架。

N元有序对是N个字段的记录，因此关系操作对应于数据库操作。

我们只知道这部分内容（与数据库重复）。

（2）封闭的应用首先，介绍了三种闭包的概念。

如果用一句话来概括，R的自反/对称/传递闭包是包含R的自反/对称/传递关系中最小的。

然后其应用着重于掌握传递闭包的应用，它可以显示传递性直接通过连接边可到达的点的连通性。

然后讨论三个闭包的计算：（3）等价关系的应用首先是等价关系的概念，以及等价类和划分的扩展概念。

其次，等价关系的应用仅仅是分类。

因为等价与划分之间存在一一对应的关系。

A.如果一个关系是集合a上的等价关系，写出每个元素的等价类，然后删除重复项，则由非重复等价类组成的集合就是原始集合a的除法。

离散数学中等价关系的教学导入与导出等价关系是离散数学中的重要概念，也是理解和掌握其它更复杂思维模式的基础。

教学导入和导出是传播知识的一种常用方式，在等价关系教学中也同样重要。

导入：1.首先，等价关系应该是离散数学中概念的初步启蒙，可以使用简单的例子向学生描述简单的等价关系，比如，“1+1=2”和“2-1=1”的关系；同时，可以引入更复杂的例子，比如运用“立方体六个面，正方形四个角”的知识来讲解等价关系的概念。

2.然后，延伸到数字或集合中比较等价关系的概念，以展示他们数字之间的联系。

可以用统一的图示或表格呈现出来，比如，┌──────┐┌─┬─┬─┐┌┬┬┬┐|数字a |│1│2│3││4│5│6│└──────┘└─┴─┴─┘└┴┴┴┘┌──────┐┌─┬─┬─┐┌┬┬┬┐|数字b |│3│4│1││2│6│5│└──────┘└─┴─┴─┘└┴┴┴┘使用上述表格，可以展示出等价关系，比如数字a的1与数字b 的3互为等价，数字a的2与数字b的4互为等价。

3.接下来可以给出一个抽象的定义来理解等价关系：“等价关系是一种对象间的关系，当对对象执行的操作保持不变时，等价关系也不会改变，这种关系被称为，‘互换关系’。

”导出：1.在学习等价关系之前，应当清楚地解释等价关系有多种形式，比如：等值关系、对称关系、隐式关系，显式关系等。

这些关系的研究有助于学生更好地把握等价关系的含义和思想，以及如何使用等价关系来分析问题。

2.在深入了解等价关系之后，应当在练习中完成解题任务，提高学生综合运用等价关系分析问题的能力，比如提出一道已知等价关系形式的问题，要求学生以正确的方法分析出结果，并使用图示来表示等价关系。

3.最后，可以把具有更深层次思想的问题提出来，让学生发现某种等价关系和其它更复杂的概念或理论的联系，比如运用等价关系的思想来理解逻辑式的真值表的编制，或者利用等价关系来解决一个组合优化的问题。

１．｛１，２，３，４｝上的等价关系有多少？解：∵４＝１＋３＝１＋１＋２＝２＋２＝１＋１＋１＋１∴集合｛１，２，３，４｝的划分有：１＋Ｃ４１＋Ｃ４２＋Ｃ４２／２＋１＝１＋４＋６＋６／２＋１＝１５（种）∵集合的划分与集合上的等价关系一一对应∴集合｛１，２，３，４｝上的等价关系有１５种２．Ｘ＝｛１，２，３，４｝，Ｘ的划分Π＝｛｛１，２，３｝，｛４｝｝：①求由Π诱导的等价关系②计算Π的全部加细解：①由Π诱导的等价关系Ｒ＝｛１，２，３｝×｛１，２，３｝∪｛４｝×｛４｝＝｛<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>,<3,3>,<4,4>｝②Π的加细有：｛｛1,2,3｝,｛4｝｝｛｛1,2｝,｛3｝,｛4｝｝｛｛1,3｝,｛2｝,｛4｝｝｛｛2,3｝,｛1｝,｛4｝｝｛｛1｝,｛2｝,｛3｝,｛4｝｝３．Ａ是非空集合，Ｒ１、Ｒ２是Ａ上的等价关系，下列关系是否等价关系？为什么？①（Ａ×Ａ）－Ｒ１②Ｒ１－Ｒ２③ r（Ｒ１－Ｒ２）④Ｒ１oＲ２⑤Ｒ１oＲ１解：①（Ａ×Ａ）－Ｒ１不是等价关系：不自反②Ｒ１－Ｒ２不是等价关系：不自反③ r（Ｒ１－Ｒ２）不是等价关系：有可能不传递例：A={1,2,3}R1=IA∪{<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2>}R2=IA∪{<2,3>,<3,2>}④Ｒ１oＲ２不是等价关系：有可能不对称例：A={1,2,3}R1=IA∪{<1,2>,<2,1>}R2=IA∪{<2,3>,<3,2>}⑤Ｒ１oＲ１是等价关系：（１）∵R1是等价关系∴R1自反,对称,传递∀x∈A ∵R1自反∴<x,x>∈R1 ∴<x,x>∈R1oR1 ∴R1oR1自反（２）∀<x,y>∈R1oR1 存在z∈A使<x,z>∈R1且<z,y>∈R1∵R1对称∴有<z,x>∈R1且<y,z>∈R1∴<y,x>∈R1oR1 ∴R1oR1对称（３）∀<x,y>,<y,z>∈R1oR1存在u∈A使<x,u>∈R1且<u,y>∈R1 存在v∈A使<y,v>∈R1且<v,z>∈R1∵R1传递∴有<x,y>∈R1且<y,z>∈R1∴<x,z>∈R1oR1 ∴R1oR1传递10.2 A={<1,2>,<2,4>,<3,3}, B={<1,3>,<2,4>,<4,2},求: ①A∪B ②A∩B ③dom(A) ④dom(B) ⑤ran(A) ⑥ran(B) ⑦dom(A∪B) ⑧ran(A∩B) 解：①A∪B = {<1,2>,<1,3>,<2,4>,<3,3>,<4,2>}②A∩B = {<2,4>}③dom(A) = {1,2,3}④dom(B) = {1,2,4}⑤ran(A) = {2,3,4}⑥ran(B) = {2,3,4}⑦dom(A∪B) = {1,2,3,4}⑧ran(A∩B) = {4}10.3 求证：①dom(R∪S) ＝ dom(R)∪dom(S)②dom(R∩S) ≤ dom(R)∩dom(S)证明：设R和S是从A到B的关系①∵∀x∈A, 有x∈dom(R∪S)<＝> (∃y)( y∈B ∧ <x,y>∈R∪S )<＝> (∃y)( y∈B ∧ (<x,y>∈R ∨ <x,y>∈S) )<＝> (∃y)( (y∈B ∧ <x,y>∈R) ∨ (y∈B ∧ <x,y>∈S) )<＝> (∃y)(y∈B ∧ <x,y>∈R) ∨ (∃y)(y∈B ∧ <x,y>∈S)<＝> x∈dom(R) ∨ x∈dom(S)<＝> x∈(dom(R)∪dom(S))∴dom(R∪S) ＝ dom(R)∪dom(S)②∵∀x∈A, 有x∈dom(R∩S)<＝> (∃y)( y∈B ∧ <x,y>∈R∩S )<＝> (∃y)( y∈B ∧ (<x,y>∈R ∧ <x,y>∈S) )<＝> (∃y)( (y∈B ∧ <x,y>∈R) ∧ (y∈B ∧ <x,y>∈S) )＝> (∃u)(u∈B ∧ <x,u>∈R) ∧ (∃v)(v∈B ∧ <x,v>∈S)<＝> x∈dom(R) ∧ x∈dom(S)<＝> x∈(dom(R)∩dom(S))∴dom(R∩S) ≤ dom(R)∩dom(S)10.5 列出所有从A={a,b,c}到B={d}的关系解: 应该有23×1 = 8种关系即A×B={<a,d>,<b,d>,<c,d>} 的所有子集:Φ{<a,d>}{<b,d>}{<c,d>}{<a,d>,<b,d>}{<a,d>,<c,d>}{<b,d>,<c,d>}{<a,d>,<b,d>,<c,d>}10.8 R={<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>,<2,3>}求: ①RoR ②R↑{1} ③R-1↑{1} ④R[{1}] ⑤R-1[{1}]解: ①RoR = {<0,2>,<0,3>,<1,3>}②R↑{1} = {<1,2>,<1,3>}③R-1↑{1} = {<1,0>}④R[{1}] = {2,3}⑤R-1[{1}] = {0}10.9 A = { <Φ,{Φ,{Φ}}> , <{Φ},Φ> }求: ①AoA ②A-1③A↑Φ④A↑{Φ} ⑤A↑{Φ,{Φ}} ⑥A[Φ] ⑦A[{Φ}] ⑧A[{Φ,{Φ}}] 解: ① AoA = { <{Φ} , {Φ,{Φ}}> }② A-1 = { < {Φ,{Φ}},Φ> , <Φ,{Φ} > }③ A↑Φ = Φ④ A↑{Φ} = { <Φ,{Φ,{Φ}}> }⑤ A↑{Φ,{Φ}} = { <Φ,{Φ,{Φ}}> , <{Φ},Φ> }⑥ A[Φ] = Φ⑦ A[{Φ}] = { {Φ,{Φ}} }⑧ A[{Φ,{Φ}}] = { {Φ,{Φ}} , Φ }10.10 R,S,T是A上的关系, 求证Ro(S∪T) = (RoS)∪(RoT)10.11 S是从X到Y的关系, T是从Y到Z的关系, A和B是集合求证: ① S[A] ≤Y② (ToS)[A] ＝ R[S[A]]③ S[A∪B] ＝ S[A]∪S[B]④ S[A∩B]≤S[A] ∩S[B]10.12 对A上的关系R, 以及集合A1和A2 ,求证: ① A1≤A2 => R[A1]≤R[A2]② R↑(A1∪A2) = R↑A1 ∪ R↑A210.18 对A上的关系R, 以下结论为真则证明,为假则举一反例:①若R1和R2自反，则R1oR2也自反②若R1和R2反自反，则R1oR2也反自反③若R1和R2对称，则R1oR2也对称④若R1和R2传递，则R1oR2也传递解: ①为真。

离散数学知识点整理离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、数理逻辑等领域都有着广泛的应用。

下面就来对离散数学的一些重要知识点进行整理。

一、集合论集合是离散数学中最基本的概念之一。

集合是由一些确定的、彼此不同的对象所组成的整体。

集合的表示方法有列举法和描述法。

列举法就是将集合中的元素一一列举出来，用花括号括起来。

描述法是通过描述元素所具有的性质来确定集合。

集合之间的关系包括子集、真子集、相等。

如果集合 A 的所有元素都属于集合 B，那么 A 是 B 的子集；如果 A 是 B 的子集且 A 不等于 B，那么 A 是 B 的真子集；如果集合 A 和集合 B 的元素完全相同，那么 A 和 B 相等。

集合的运算有并集、交集、差集和补集。

并集是将两个集合中的所有元素合并在一起组成的新集合；交集是两个集合中共同的元素组成的新集合；差集是从一个集合中去掉另一个集合中的元素所得到的新集合；补集是在给定的全集 U 中，去掉集合 A 中的元素所得到的新集合。

二、关系关系是集合论中的一个重要概念，它描述了两个集合元素之间的某种联系。

关系可以用关系矩阵和关系图来表示。

关系矩阵是一个二维矩阵，用于表示两个有限集合之间的关系；关系图则是用顶点和边来表示关系。

关系的性质包括自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。

自反性是指集合中的每个元素都与自身有关系；反自反性则是集合中的每个元素都与自身没有关系；对称性是如果 a 与 b 有关系，那么 b 与 a 也有关系；反对称性是如果 a 与 b 有关系且 b 与 a 有关系，那么 a 等于 b；传递性是如果 a 与 b 有关系，b 与 c 有关系，那么 a 与 c 有关系。

等价关系是一种具有自反性、对称性和传递性的关系，它可以将集合划分为等价类。

偏序关系是一种具有自反性、反对称性和传递性的关系，它可以引出偏序集的概念。

三、函数函数是一种特殊的关系，它对于定义域中的每个元素，在值域中都有唯一的元素与之对应。

《应⽤离散数学》⽅景龙版-3.4等价关系与划分§3.4 等价关系与划分习题3.41. 对于给定的集合A 和其上的⼆元关系R ，判断R 是否为等价关系。

（1）A 为实数集，A y x ∈?，，2=-?y x xRy 。

（2）}321{，，=A ，A y x ∈?，，3≠+?y x xRy 。

（3）+=Z A ，即正整数集，A y x ∈?，，是奇数xy xRy ?。

（4）)(X P A =，集合X 的基数2||≥X ，A y x ∈?，，x y y x xRy ?∨??。

（5）)(X P A =，集合X 和C 满⾜X C ?，A y x ∈?，，C y x xRy ?⊕?。

解略2. 设}{d c b a A ，，，=，对于A 上的等价关系A I c d d c a b b a R }{><><><><=，，，，，，，画出R 的关系图，并求出A 中各元素关于R 的等价类。

解 R 的关系图如下：A 中各元素关于R 的等价类分别为：},{][][b a b a ==，},{][][d c d c ==3. 考虑单词的集合}{sit wind wash sky last sheet W ，，，，，=。

1R 和2R 分别是由“具有同样多的字母”和“具有相同的开头字母”定义的等价关系。

求由1R 和2R 确定的商集1/R W 和2/R W 。

解略4. 给出模6同余关系，并求出所有的模6同余类。

解模6同余关系)}6(mod |{b a b a b a R ≡∧∈><=Z ，，所有的模6同余类为：510}|5{][，，，， =∈+=i z i z i Z即},20,15,10,5,0,5,10,15,20,{]0[ ----=},21,16,11,6,1,4,9,14,19,{]1[ ----=},22,17,12,7,2,3,8,13,18,{]2[ ----=},23,18,13,8,3,2,7,12,17,{]3[ ----=},24,19,14,9,4,1,6,11,16,{]4[ ----=5. 设}656443422120{ ，，，，，，，，，，，，><><><><><><=A ，判断下列关系是否等价关系，若是等价关系，试给出它的等价类。

“离散数学”中的等价关系本文阐述了离散数学课程中的一个非常重要的概念即等价关系以及各种具体的等价关系和等价关系在计算机领域中的应用，并运用认识论中的同一性原理和联系与发展的观点，分析了各种等价关系间的联系，说明了对等价关系的概念以及各种具体的等价关系及其应用的教学对促进学生抽象思维能力和逻辑推理能力提高的重要性。

关键词：离散数学；等价关系；认识论；教学“离散数学”是计算机专业的重要基础课程和核心课程。

通过该课程的教学，不仅要为学生们进一步学习本专业的后续课程提供必备的数学理论基础，更重要的是培养和提高学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。

与高等数学主要以连续量作为研究对象不同，离散数学主要以离散量作为主要的研究对象，内容包括数理逻辑、集合论、代数结构、图论以及组合数学、数论和离散概率等。

由于这些内容在描述形式、研究方法和计算机应用领域等方面均存在着较大差异，且含有大量比较抽象的概念、定理和各种各样的形式化描述，因而学生普遍感到困难重重，学习效果不理想。

因此，如何改进教学方法，提高教学效果，使学生们的抽象思维能力和逻辑推理能力真正得到提升，是“离散数学”课程教学过程中必须认真解决的重要课题。

1离散数学课程中的等价关系1.1离散数学课程中等价关系的概念定义1 设R为非空集合A上的二元关系。

如果R是自反的、对称的和可传递的，则称R为A上的等价关系。

定义2 设R为非空集合A上的等价关系，x∈A，令[ x ]R={ y | y ∈A ∧xRy }，则称[ x ]R 为x关于R的等价类，简记为[ x ]。

定义3 设R为非空集合A上的等价关系，以R的所有等价类作元素的集合称为A关于R的商集，记为A/R，即A/R={ [ x ]R| x∈A }。

根据定义1，很容易证明矩阵理论中的矩阵合同关系、相似关系都是等价关系；线性空间的同构关系也是一种等价关系。

下面主要讨论离散数学中一些常见的等价关系。

1.2离散数学课程中各种具体的等价关系数理逻辑中，命题公式A和B等值(记为A B)是指由它们构成的等价式A B 为永真式。