离散数学等价关系

等价关系是设R是非空集合A上的二元关系，若R是自反的、对称的、传递的，则称R是A上的等价关系。

给定非空集合A,若有集合S={S ,S ,…,S }，其中S A，S（i=1,2,…,m）且S S = (i j)同时有S =A，称S是A的划分。

研究等价关系的目的在于将集合中的元素进行分类，选取每类的代表元素来降低问题的复杂度，如软件测试时，可利用等价类来选择测试用例。

扩展资料：
定义：
若关系R在集合A中是自反、对称和传递的，则称R为A上的等价关系。

所谓关系R 就是笛卡尔积 A×A 中的一个子集。

A中的两个元素x,y有关系R，如果(x,y)∈R。

我们常简记为xRy。

自反：任意x属于A，则x与自己具有关系R，即xRx；
对称：任意x,y属于A，如果x与y具有关系R，即xRy，则y与x 也具有关系R，即yRx；
传递：任意x,y,z属于A，如果xRy且yRz，则xRz
x,y具有等价关系R，则称x,y R等价，有时亦简称等价。

等价类：在离散数学中，等价关系是指定义在集合A上的关系，满足自反的、对称的和传递的等性质。

设R是定义在集合A上的等价关系，与A中一个元素a有关系的所有元素的集合叫做a的等价类。

等价类应用十分广泛，如在编程语言中，我们使用等价类来判定标识符是不是表示同一个事物。

定义：在离散数学中，等价关系是指定义在集合A上的关系，满足自反的、对称的和传递的等性质。

设R是定义在集合A上的等价关系，与A中一个元素a有关系的所有元素的集合叫做a的等价类。

A的关于R的等价类记作。

当只考虑一个关系时，我们省去下表R并把这个等价类写作[a]。

在软件工程中，是把所有可能输入的数据，即程序的输入域划分成若干部分（子集），然后从每一个子集中选取少数具有代表性的数据作为测试用例，从而减少了数据输入量从而提高了效率，称之为等价类方法，该方法是一种重要的、常用的黑盒测试用例设计方法。

分类：在离散数学中，等价类的划分基于以下定理：设R是定义在集合A上的等价关系。

那么R的等价类构成S的划分。

反过来，给定集合S的划分{ |i∈I},则存在一个等价关系R，它以集合作为它的等价类。

因为等价关系的a 在a 中和任何两个等价类要么相等要么不交集不相交的性质。

得出X 的所有等价类的集合形成X 的集合划分划分: 所有X 的元素属于一且唯一的等价类。

反过来，X 的所有划分也定义了在X 上等价关系。

在软件工程中等价类划分及标准如下：划分等价类等价类是指某个输入域的子集合。

在该子集合中，各个输入数据对于揭露程序中的错误都是等效的，并合理地假定：测试某等价类的代表值就等于对这一类其他值的测试，因此，可以把全部输入数据合理划分为若干等价类，在每一个等价类中取一个数据作为测试的输入条件就可以用少量代表性的测试数据取得较好的测试结果。

等价类划分有两种不同的情况：有效等价类和无效等价类。

1）有效等价类是指对于程序的规格说明来说是合理的、有意义的输入数据构成的集合。

利用有效等价类可检验程序是否实现了规格说明所规定的功能和性能。

离散数学求等价类例题
在离散数学中，等价关系是一种非常重要的关系。

等价关系描述了两个对象之间的某种关系，使得它们可以被分类到同一个等价类中。

在这里，我们将讨论一个求等价类的例题。

假设我们有一个集合S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，并且我们定义了一个关系R，如果两个元素的差是3的倍数，则它们在R下是等价的。

现在我们的任务是找出所有在R下等价的元素，并将它们分别放在它们自己的等价类中。

首先，我们可以列出所有的可能的元素对。

这样做可以帮助我们更好地理解哪些元素在R下是等价的。

我们可以使用以下步骤来找到所有的等价类：
1. 将每个元素放在它自己的等价类中。

2. 对于每个等价类中的元素，找到与它等价的所有元素。

如果有一个元素与该等价类中的元素等价，则将其添加到该等价类中。

3. 重复步骤2，直到没有新的元素可以添加到任何等价类中。

在这个例子中，我们可以得到以下等价类：
{1,4,7,10}
{2,5,8,11}
{3,6,9,12}
这些等价类中的元素在R下是等价的。

我们可以看到，其中的每个等价类都包含了与其内部元素等价的所有元素。

通过这个例题，我们可以更好地理解等价关系和等价类的概念。

它们在离散数学中有着广泛的应用，对于我们理解和解决许多问题都是非常重要的。

概念问题二进制关系：A和B的笛卡尔积的子集称为从A到B的二进制关系。

集合上的关系：从a到a的关系。

关系的性质反射，抗反射，对称，抗对称和传输。

没有列出概念，但应注意以下方面：（1）所有属性的概念都是逻辑表达式，即判断是非，必须严格按照定义判断是非；（2）它们都是用全名量词表示的逻辑表达式，因此必须为真才能保持一致；（3）它们全部由隐含条件语句表示。

如果前提为假，则它也为真，也就是说，所有未出现在真之后再为假的内容都为真。

关系代表（1）设置符号（适合定义和表示）；（2）图表表示（适合直观感觉和观察特性）；（3）关系矩阵表示（适合计算）；特别地，关系矩阵是布尔矩阵，即逻辑矩阵，其描述A中的第i个元素是否与B中的第j个元素有关。

关系运作（1）交叉，合并与区别R1ÇR2————M1ÙM2R1ÈR2————M1ÚM2（2）综合合成操作非常重要且容易出错。

注意其顺序以及对集合，图形和矩阵的相应计算。

自我及其综合运算形成力量。

例如，R 2对应于由点直接连接的边，这些点可以从图形上的每个点分两步到达。

另一个例子R1°R2 ————M2M1R ^ 2 ————M ^ 2关系的应用（1）n元关系的应用一般来说，当2元关系扩展到N元关系时，它就成为数据库的基本框架。

N元有序对是N个字段的记录，因此关系操作对应于数据库操作。

我们只知道这部分内容（与数据库重复）。

（2）封闭的应用首先，介绍了三种闭包的概念。

如果用一句话来概括，R的自反/对称/传递闭包是包含R的自反/对称/传递关系中最小的。

然后其应用着重于掌握传递闭包的应用，它可以显示传递性直接通过连接边可到达的点的连通性。

然后讨论三个闭包的计算：（3）等价关系的应用首先是等价关系的概念，以及等价类和划分的扩展概念。

其次，等价关系的应用仅仅是分类。

因为等价与划分之间存在一一对应的关系。

A.如果一个关系是集合a上的等价关系，写出每个元素的等价类，然后删除重复项，则由非重复等价类组成的集合就是原始集合a的除法。

离散数学中等价关系的教学导入与导出等价关系是离散数学中的重要概念，也是理解和掌握其它更复杂思维模式的基础。

教学导入和导出是传播知识的一种常用方式，在等价关系教学中也同样重要。

导入：1.首先，等价关系应该是离散数学中概念的初步启蒙，可以使用简单的例子向学生描述简单的等价关系，比如，“1+1=2”和“2-1=1”的关系；同时，可以引入更复杂的例子，比如运用“立方体六个面，正方形四个角”的知识来讲解等价关系的概念。

2.然后，延伸到数字或集合中比较等价关系的概念，以展示他们数字之间的联系。

可以用统一的图示或表格呈现出来，比如，┌──────┐┌─┬─┬─┐┌┬┬┬┐|数字a |│1│2│3││4│5│6│└──────┘└─┴─┴─┘└┴┴┴┘┌──────┐┌─┬─┬─┐┌┬┬┬┐|数字b |│3│4│1││2│6│5│└──────┘└─┴─┴─┘└┴┴┴┘使用上述表格，可以展示出等价关系，比如数字a的1与数字b 的3互为等价，数字a的2与数字b的4互为等价。

3.接下来可以给出一个抽象的定义来理解等价关系：“等价关系是一种对象间的关系，当对对象执行的操作保持不变时，等价关系也不会改变，这种关系被称为，‘互换关系’。

”导出：1.在学习等价关系之前，应当清楚地解释等价关系有多种形式，比如：等值关系、对称关系、隐式关系，显式关系等。

这些关系的研究有助于学生更好地把握等价关系的含义和思想，以及如何使用等价关系来分析问题。

2.在深入了解等价关系之后，应当在练习中完成解题任务，提高学生综合运用等价关系分析问题的能力，比如提出一道已知等价关系形式的问题，要求学生以正确的方法分析出结果，并使用图示来表示等价关系。

3.最后，可以把具有更深层次思想的问题提出来，让学生发现某种等价关系和其它更复杂的概念或理论的联系，比如运用等价关系的思想来理解逻辑式的真值表的编制，或者利用等价关系来解决一个组合优化的问题。

１．｛１，２，３，４｝上的等价关系有多少？解：∵４＝１＋３＝１＋１＋２＝２＋２＝１＋１＋１＋１∴集合｛１，２，３，４｝的划分有：１＋Ｃ４１＋Ｃ４２＋Ｃ４２／２＋１＝１＋４＋６＋６／２＋１＝１５（种）∵集合的划分与集合上的等价关系一一对应∴集合｛１，２，３，４｝上的等价关系有１５种２．Ｘ＝｛１，２，３，４｝，Ｘ的划分Π＝｛｛１，２，３｝，｛４｝｝：①求由Π诱导的等价关系②计算Π的全部加细解：①由Π诱导的等价关系Ｒ＝｛１，２，３｝×｛１，２，３｝∪｛４｝×｛４｝＝｛<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>,<3,3>,<4,4>｝②Π的加细有：｛｛1,2,3｝,｛4｝｝｛｛1,2｝,｛3｝,｛4｝｝｛｛1,3｝,｛2｝,｛4｝｝｛｛2,3｝,｛1｝,｛4｝｝｛｛1｝,｛2｝,｛3｝,｛4｝｝３．Ａ是非空集合，Ｒ１、Ｒ２是Ａ上的等价关系，下列关系是否等价关系？为什么？①（Ａ×Ａ）－Ｒ１②Ｒ１－Ｒ２③ r（Ｒ１－Ｒ２）④Ｒ１oＲ２⑤Ｒ１oＲ１解：①（Ａ×Ａ）－Ｒ１不是等价关系：不自反②Ｒ１－Ｒ２不是等价关系：不自反③ r（Ｒ１－Ｒ２）不是等价关系：有可能不传递例：A={1,2,3}R1=IA∪{<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2>}R2=IA∪{<2,3>,<3,2>}④Ｒ１oＲ２不是等价关系：有可能不对称例：A={1,2,3}R1=IA∪{<1,2>,<2,1>}R2=IA∪{<2,3>,<3,2>}⑤Ｒ１oＲ１是等价关系：（１）∵R1是等价关系∴R1自反,对称,传递∀x∈A ∵R1自反∴<x,x>∈R1 ∴<x,x>∈R1oR1 ∴R1oR1自反（２）∀<x,y>∈R1oR1 存在z∈A使<x,z>∈R1且<z,y>∈R1∵R1对称∴有<z,x>∈R1且<y,z>∈R1∴<y,x>∈R1oR1 ∴R1oR1对称（３）∀<x,y>,<y,z>∈R1oR1存在u∈A使<x,u>∈R1且<u,y>∈R1 存在v∈A使<y,v>∈R1且<v,z>∈R1∵R1传递∴有<x,y>∈R1且<y,z>∈R1∴<x,z>∈R1oR1 ∴R1oR1传递10.2 A={<1,2>,<2,4>,<3,3}, B={<1,3>,<2,4>,<4,2},求: ①A∪B ②A∩B ③dom(A) ④dom(B) ⑤ran(A) ⑥ran(B) ⑦dom(A∪B) ⑧ran(A∩B) 解：①A∪B = {<1,2>,<1,3>,<2,4>,<3,3>,<4,2>}②A∩B = {<2,4>}③dom(A) = {1,2,3}④dom(B) = {1,2,4}⑤ran(A) = {2,3,4}⑥ran(B) = {2,3,4}⑦dom(A∪B) = {1,2,3,4}⑧ran(A∩B) = {4}10.3 求证：①dom(R∪S) ＝ dom(R)∪dom(S)②dom(R∩S) ≤ dom(R)∩dom(S)证明：设R和S是从A到B的关系①∵∀x∈A, 有x∈dom(R∪S)<＝> (∃y)( y∈B ∧ <x,y>∈R∪S )<＝> (∃y)( y∈B ∧ (<x,y>∈R ∨ <x,y>∈S) )<＝> (∃y)( (y∈B ∧ <x,y>∈R) ∨ (y∈B ∧ <x,y>∈S) )<＝> (∃y)(y∈B ∧ <x,y>∈R) ∨ (∃y)(y∈B ∧ <x,y>∈S)<＝> x∈dom(R) ∨ x∈dom(S)<＝> x∈(dom(R)∪dom(S))∴dom(R∪S) ＝ dom(R)∪dom(S)②∵∀x∈A, 有x∈dom(R∩S)<＝> (∃y)( y∈B ∧ <x,y>∈R∩S )<＝> (∃y)( y∈B ∧ (<x,y>∈R ∧ <x,y>∈S) )<＝> (∃y)( (y∈B ∧ <x,y>∈R) ∧ (y∈B ∧ <x,y>∈S) )＝> (∃u)(u∈B ∧ <x,u>∈R) ∧ (∃v)(v∈B ∧ <x,v>∈S)<＝> x∈dom(R) ∧ x∈dom(S)<＝> x∈(dom(R)∩dom(S))∴dom(R∩S) ≤ dom(R)∩dom(S)10.5 列出所有从A={a,b,c}到B={d}的关系解: 应该有23×1 = 8种关系即A×B={<a,d>,<b,d>,<c,d>} 的所有子集:Φ{<a,d>}{<b,d>}{<c,d>}{<a,d>,<b,d>}{<a,d>,<c,d>}{<b,d>,<c,d>}{<a,d>,<b,d>,<c,d>}10.8 R={<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>,<2,3>}求: ①RoR ②R↑{1} ③R-1↑{1} ④R[{1}] ⑤R-1[{1}]解: ①RoR = {<0,2>,<0,3>,<1,3>}②R↑{1} = {<1,2>,<1,3>}③R-1↑{1} = {<1,0>}④R[{1}] = {2,3}⑤R-1[{1}] = {0}10.9 A = { <Φ,{Φ,{Φ}}> , <{Φ},Φ> }求: ①AoA ②A-1③A↑Φ④A↑{Φ} ⑤A↑{Φ,{Φ}} ⑥A[Φ] ⑦A[{Φ}] ⑧A[{Φ,{Φ}}] 解: ① AoA = { <{Φ} , {Φ,{Φ}}> }② A-1 = { < {Φ,{Φ}},Φ> , <Φ,{Φ} > }③ A↑Φ = Φ④ A↑{Φ} = { <Φ,{Φ,{Φ}}> }⑤ A↑{Φ,{Φ}} = { <Φ,{Φ,{Φ}}> , <{Φ},Φ> }⑥ A[Φ] = Φ⑦ A[{Φ}] = { {Φ,{Φ}} }⑧ A[{Φ,{Φ}}] = { {Φ,{Φ}} , Φ }10.10 R,S,T是A上的关系, 求证Ro(S∪T) = (RoS)∪(RoT)10.11 S是从X到Y的关系, T是从Y到Z的关系, A和B是集合求证: ① S[A] ≤Y② (ToS)[A] ＝ R[S[A]]③ S[A∪B] ＝ S[A]∪S[B]④ S[A∩B]≤S[A] ∩S[B]10.12 对A上的关系R, 以及集合A1和A2 ,求证: ① A1≤A2 => R[A1]≤R[A2]② R↑(A1∪A2) = R↑A1 ∪ R↑A210.18 对A上的关系R, 以下结论为真则证明,为假则举一反例:①若R1和R2自反，则R1oR2也自反②若R1和R2反自反，则R1oR2也反自反③若R1和R2对称，则R1oR2也对称④若R1和R2传递，则R1oR2也传递解: ①为真。

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作业6 ——等价关系
1. 设R 和S 均为A 上的等价关系，确定下列各式，哪些是A 上的等价关系？如果是，证明之；否则，举反例说明。

（1）R ∩S （2）R ∪S （3）r (R-S)
（4）R- S （5）R ◦S （6）R 2
2. R 是集合A 上的二元关系，∀ a,b,c ,若aRb,且bRc,有cRa ,则称R 是循环关系。

证明R 是自反和循环的，当且仅当R 是一等价关系。

3. 设|A|=n ，在A 上可以确定多少个不同的等价关系？
4. 给定集合S={ 1 , 2 , 3, 4, 5 }，找出S 上的等价关系R ，此关系R 能够产生划分{{1，2}，{3}，{4，5}}，并画出关系图。

5. 设A={1，2，3，4，5}。

R 是集合A 上的二元关系，其关系矩阵如下图所示。

求包含R 的最小等价关系和该等价关系所确定的划分。

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0010001000
000000101000001R
M
6. （选做题）设R 与S 是A 上的等价关系，证明：
（1）R S 是A 上的等价关系，iff R S=S R ；
（2）R ∪S 是A 上的等价关系，iff R S ⊆S 且 S R ⊆R.。

“离散数学”中的等价关系本文阐述了离散数学课程中的一个非常重要的概念即等价关系以及各种具体的等价关系和等价关系在计算机领域中的应用，并运用认识论中的同一性原理和联系与发展的观点，分析了各种等价关系间的联系，说明了对等价关系的概念以及各种具体的等价关系及其应用的教学对促进学生抽象思维能力和逻辑推理能力提高的重要性。

关键词：离散数学；等价关系；认识论；教学“离散数学”是计算机专业的重要基础课程和核心课程。

通过该课程的教学，不仅要为学生们进一步学习本专业的后续课程提供必备的数学理论基础，更重要的是培养和提高学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。

与高等数学主要以连续量作为研究对象不同，离散数学主要以离散量作为主要的研究对象，内容包括数理逻辑、集合论、代数结构、图论以及组合数学、数论和离散概率等。

由于这些内容在描述形式、研究方法和计算机应用领域等方面均存在着较大差异，且含有大量比较抽象的概念、定理和各种各样的形式化描述，因而学生普遍感到困难重重，学习效果不理想。

因此，如何改进教学方法，提高教学效果，使学生们的抽象思维能力和逻辑推理能力真正得到提升，是“离散数学”课程教学过程中必须认真解决的重要课题。

1离散数学课程中的等价关系1.1离散数学课程中等价关系的概念定义1 设R为非空集合A上的二元关系。

如果R是自反的、对称的和可传递的，则称R为A上的等价关系。

定义2 设R为非空集合A上的等价关系，x∈A，令[ x ]R={ y | y ∈A ∧xRy }，则称[ x ]R 为x关于R的等价类，简记为[ x ]。

定义3 设R为非空集合A上的等价关系，以R的所有等价类作元素的集合称为A关于R的商集，记为A/R，即A/R={ [ x ]R| x∈A }。

根据定义1，很容易证明矩阵理论中的矩阵合同关系、相似关系都是等价关系；线性空间的同构关系也是一种等价关系。

下面主要讨论离散数学中一些常见的等价关系。

1.2离散数学课程中各种具体的等价关系数理逻辑中，命题公式A和B等值(记为A B)是指由它们构成的等价式A B 为永真式。