零极点对系统的性能影响分析

1、增加零点对根轨迹的影响
设系统开环传递函数GsHs=K/SS+3S^2+2S+1,利用MATLAB 绘制出其闭环系统的根轨迹如下：
增加一个零点-1,
即系统开环传递函GsHs=KS+1/SS+3S^2+2S+1
根轨迹如下：
：
可见,当开环极点位置不变,而在系统中增加开环零点,可
是系统根轨迹向s左边平面方向弯曲,或者说,将使系统的根轨迹图趋向增加零点的方向形变,而且这种影响随开环零点接近坐标原点的程度而加强;因此,在s平面的左半平面适当的位置增加开环零点,可以显著改善系统的稳定性;
2、增加极点对根轨迹的影响
设系统开环传递函数GsHs=K/SS+1,利用MATLAB绘制出其闭环系统的根轨迹如下：
增加一个极点P=-2,
即系统开环传递函GsHs=K/SS+1S+2,利用MATLAB绘制出其闭环系统的根轨迹如下：
如图可得出：原来的二阶系统,K从0变到无穷大时,系统总是稳定的;增加一个开环极点后,当K增大到一定程度后,有两条根轨迹跨过虚轴进入S平面右半部,系统变为不稳定;当轨迹仍在S平面左侧时,随着K的增大,阻尼角增大,阻尼比变小,震荡程度加剧,特征根进一步接近虚轴,衰减震荡过程变得很缓慢;总而言之,增加开环极点对系统动态性能是不利的;。

系统的零极点在探讨系统的特性和行为时，零极点是一个重要的概念。

零极点是指系统的传递函数中使得分子或分母为零的点，它们直接影响系统的稳定性、响应速度和频率特性等方面。

本文将详细介绍系统的零极点及其对系统行为的影响。

一、什么是零极点？在控制系统中，传递函数是描述输入和输出之间关系的数学表达式。

传递函数通常写成分子和分母多项式的比值形式。

其中，分子多项式的根称为零点，分母多项式的根称为极点。

零极点的个数和位置直接决定了系统的特性。

零点是使得系统传递函数的分子为零的点。

当输入信号通过系统时，零点能够消除或减弱某些频率成分，从而改变系统的频率响应特性。

例如，一个一阶系统的传递函数为H(s)=s+1/s+2，其中s为复变量。

该系统有一个零点为-1，当输入信号中包含频率为1的成分时，系统的输出将为零。

极点是使得系统传递函数的分母为零的点。

极点的位置可以决定系统的稳定性和响应速度。

例如，一个一阶系统的传递函数为H(s)=1/s+2，该系统有一个极点为-2。

当输入信号经过该系统时，极点的位置将决定系统的阻尼特性和响应速度。

二、零极点对系统行为的影响1. 系统的稳定性系统的稳定性是指系统在受到扰动后是否能够回到稳定的状态。

在控制系统中，极点的位置直接影响系统的稳定性。

当所有极点的实部为负时，系统是稳定的；当存在极点的实部为正时，系统是不稳定的。

2. 响应速度零极点的位置也会影响系统的响应速度。

当零点和极点的实部越大，系统的响应速度越快。

如果极点的实部接近于零点的实部，系统的阻尼特性将减弱，导致系统的超调和振荡现象。

3. 频率特性零点和极点的位置还决定了系统的频率特性。

零点和极点的位置决定了系统的增益和相位响应。

当零点和极点靠近虚轴时，系统的频率响应会出现共振现象；当零点和极点离虚轴越远，系统的频率响应越平坦。

三、如何设计系统的零极点设计系统的零极点是控制系统设计的重要任务之一。

通过合理布置零极点的位置，可以实现所需的系统特性。

设计任务书学生XX ：梅浪奇 专业班级：自动化1002班指导教师： 肖纯 工作单位： 自动化学院题 目: 零极点对系统性能的影响分析 初始条件：系统开环传递函数为1)s (s 1)(s/a 21+++=(s)G 或1)s 1](s [(s/p)122+++=(s)G ，其中G 1（s ）是在阻尼系数5.0=ξ的归一化二阶系统的传递函数上增加了一个零点得到的，G 2（s ）是在阻尼系数5.0=ξ的归一化二阶系统的传递函数上增加了一个极点得到的。

要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）（1） 当开环传递函数为G 1（s ）时，绘制系统的根轨迹和奈奎斯特曲线； （2） 当开环传递函数为G 1（s ）时，a 分别取0.01，1，100时，用Matlab 计算系统阶跃响应的超调量和系统频率响应的谐振峰值，并分析两者的关系；（3） 画出(2)中各a 值的波特图；（4） 当开环传递函数为G 2（s ）时，绘制系统的根轨迹和奈奎斯特曲线； （5） 当开环传递函数为G 2（s ）时，p 分别取0.01，1，100时，绘制不同p 值时的波特图；（6） 对比增加极点后系统带宽和原二阶系统的带宽，分析增加极点对系统带宽的影响；（7） 用Matlab 画出上述每种情况的在单位反馈时对单位阶跃输入的响应； （8） 对上述任务写出完整的课程设计说明书，说明书中必须写清楚分析计算的过程，并包含Matlab 源程序或Simulink 仿真模型，说明书的格式按照教务处标准书写。

时间安排：指导教师签名：年月日系主任（或责任教师）签名：年月日目录1综述12增加零极点对系统稳定性的影响12.1增加零点对系统稳定性的影响22.1.1开环传递函数G1（s）的根轨迹曲线22.1.2开环传递函数G1（s）的奈奎斯特曲线32.2增加极点对系统稳定性的影响42.2.1开环传递函数G2（s）的根轨迹曲线42.2.2开环传递函数G2（s）的奈奎斯特曲线7 3增加零极点对系统暂态性能的影响83.1增加零点对系统暂态性能的影响83.1.1零点a=0.01时的阶跃响应和伯德图93.1.2零点a= 1时的阶跃响应和伯德图103.1.3零点a= 100时的阶跃响应和伯德图123.1.4原系统的阶跃响应和伯德图133.1.5综合分析153.2增加极点对系统暂态性能的影响153.2.1极点p=0.01时的阶跃响应和伯德图163.2.2极点p=1时的阶跃响应和伯德图173.2.3极点p=100时的阶跃响应和伯德图183.2.4综合分析204增加零极点对系统稳态性能的影响214.1增加的零极点在s的左半平面214.2增加的零极点在s的虚轴上255设计心得体会286参考文献29附录1：课程设计中所用到的程序30附录2：本科生课程设计成绩评定表42零极点对系统性能的影响分析1综述在自动控制系统中，对系统各项性能如稳定性，动态性能和稳态性能等有一定的要求，稳定性是控制系统的本质，指的是控制系统偏离平衡状态后自动恢复到平衡状态的能力。

MATLAB各种图形结论1对稳定性影响错误!增加零点不改变系统的稳定性；错误!增加极点改变系统的稳定性，不同的阻尼比下即使增加的是平面左侧的零点系统也有可能不稳定。

2对暂态性能的影响错误!增加的零点离虚轴越近,对系统暂态性影响越大，零点离虚轴越远，对系统的影响越小。

分析表1可以发现,增加零点会对系统的超调量、调节时间、谐振峰值和带宽产生影响,且增加的零点越大，对系统的暂态性能影响越小。

当a增加到100时,系统的各项暂态参数均接近于原系统的参数。

增加的极点越靠近虚轴，其对应系统的带宽越小.同时还可以发现，时域中的超调量和频域中的谐振峰值在数值上亦存在一定的关系。

具体表现为超调量减小时，谐振峰值也随之减小。

错误!增加的极点离虚轴越近,对系统暂态性影响越大，极点离虚轴越远,对系统的影响越小。

①增加零点，会使系统的超调量增大，谐振峰值增大,带宽增加。

②增加极点，会使系统的超调量减小，谐振峰值减小,带宽减小.③增加的零极点离虚轴越近，对系统暂态性影响越大；零极点离虚轴越远，对系统的暂态性影响越小。

3 对稳态性能的影响①当增加的零极点在s的左半平面时，不改变系统的类型，使系统能跟踪的信号类别不变，但跟踪精度会有差别。

②当增加的零点在s的虚轴上时,系统的型别降低，跟踪不同输入信号的能力下降。

③当增加的极点在s的虚轴上时,系统的型别升高，跟踪不同输入信号的能力增强。

1、绘制G1（s）的根轨迹曲线（Ｍ２＿１．ｍ)%画G1（s)的根轨迹曲线n=［1,0］; ％分子d=［1，1,2］; %分母figure1 = figure（’Color’，［1 1 1］）；％将图形背景改为白色rlocus(n，d); %画G1（s）根轨迹曲线title（'G1（s)的根轨迹’）； %标题说明2、绘制G1（s）的奈奎斯特曲线(Ｍ２＿２．ｍ）％画G1(s）的奈奎斯特曲线figure1 = figure（’Color'，［1 1 1］); ％将图形背景改为白色for a=1：10 ％a取1,2,3……10，时，画出对应的奈奎斯特曲线G=tf（［1/a，1],[1，1,1］)；nyquist（G）；hold onendtitle('G1（s）的奈奎斯特曲线’)；％标题说明3、绘制G2(s）的根轨迹曲线（Ｍ２＿３．ｍ)％画G2(s）的根轨迹曲线n=[1,1，1,0］ ; %分子d=［1,1，2] ; %分母figure1 = figure（'Color'，[1 1 1］）；％将图形背景改为白色g2=tf(n,d） %求G2(s）的传递函数rlocus(g2）； %画G2(s）根轨迹曲线title(’G2(s)的根轨迹')； %标题说明4、绘制ξ=0.1，0.3,1，1。

闭环零极点及偶极⼦对系统性能的影响闭环零极点及偶极⼦对系统性能的影响1.综述闭环零极点及偶极⼦对系统的性能有很⼤的影响,其中以动态性能最为显著，本⽂将采⽤增加或减少零极点以及⾼阶零极点的分布来研究⾼阶系统的动态性能指标，并借助⼯程软件matlab通过编程来绘制系统的阶跃响应曲线，研究系统的零极点及偶极⼦对系统动态性能的影响。

2.动态性能分析⾼阶系统的闭环传递函数⼀般表⽰为：设系统闭环极点均为单极点，单位阶跃响应的拉⽒变换式为：对于上式求拉⽒反变换得到⾼阶系统的单位阶跃响应为：闭环极点离虚轴越远，表达式中对应的暂态分量衰减越快，在系统的单位阶跃响应达到最⼤值和稳态值时⼏乎衰减完毕，因此对上升时间、超调量影响不⼤；反之，那些离虚轴近的极点，对应分量衰减缓慢，系统的动态性能指标主要取决于这些极点所对应的分量。

从c(t)的表达式还可以看出，各暂态分量的具体值还取决于其模的⼤⼩，有些分量虽然衰减慢，但模值⼩，所以对超调量等影响较⼩，⽽有些分量衰减得稍快些，但模值⼤，所以对超调量等影响仍然很⼤。

因此，系统的零极点的分布对系统的影响如下：①若某极点远离虚轴与其它零、极点，则该极点对应的响应分量较⼩。

②若某极点邻近有⼀个零点，则可忽略该极点引起的暂态分量。

这样的零极点即为偶极⼦。

③若偶极⼦靠近虚轴，则不可忽略该极点引起的暂态分量。

3线性⾼阶系统的动态性能仿真1和Φ2的阶跃响应曲线在matlab 中建⽴M ⽂件，输⼊程序如下：%传递函数Φ1和Φ2的阶跃响应 z1=[-2];p1=[-8,-1+i,-1-i]; num1=8*poly(z1); den1=poly(p1);figure1 = figure('Color',[1 1 1]); step(num1,den1); hold on;z2=[-2];p2=[-1+i,-1-i]; num2=poly(z2); den2=poly(p2); step(num2,den2); xlabel('t'); ylabel('c(s)');title('Φ1和Φ2阶跃响应曲线'); legend('Φ1','Φ2')运⾏后得到如下图1结果。

零极点对消1、系统函数的零极点对系统频率特性有何影响？极点会使调节时间变短，是系统反应更快，但是也会使系统的稳定性变差，零点一般是使得稳定性增加，但是会使调节时间变长；极点主要影响频率响应的峰值，极点愈靠近单位圆，峰值愈尖锐；零点主要影响频率特性的谷值，零点愈靠近单位圆，谷值愈深（当零点在单位圆上时，频率特性为零）。

2、系统函数的零极点对系统冲激响应有何影响？(1)冲激响应波形是指指数衰减还是指数增长或等幅振荡，主要取决于极点位于s左半平面还是右半平面或在虚轴上。

(2)冲激响应波形衰减或增长快慢，主要取决于极点离虚轴的远近。

(3)冲激响应波形振荡的快慢，主要取决于极点离实轴的远近。

零点分布只影响冲激响应函数的幅度和相位，不影响响应模式。

3、若某因果系统不稳定，有哪些主要措施可使之稳定？答：对于结构不稳定系统，改变系统结构后，只要适当选配参数就可使系统稳定。

这是一个积分器，积分器是指系统的输出为输入号的积分，在离散系统来说则是求和。

以离散号为例，当输入为单位冲激号时，积分器的输出为一个单位阶跃号。

阶跃号的Z变换可以很容易计算得到，为1/(1-z-1)。

很显然，这个系统只有一个零点，其值为z=0；有一个极点，其值为z=1。

在零极图上可以很方便地看出，这个系统在频率为0处响应最大，随着频率逐步增加，响应逐步减小，这显然可以看做是一个低通滤波器。

其次，从直观上理解，积分器是把前面很多个输入值进行累加。

在这个过程中，积分器不同输入值之间的一些比较大的抖动被钝化了,也即是说变化比较大的抖动被平均掉了，也即是相当于高频部分被抑制了，这正好就是低通滤波器的功能。

零极点对消指的是当零点与极点十分接近时（一般两点距离小于这两点与其他零点或极点的距离的1/10~1/5），称该两点对消。

ps：其实就类似分子与分母一样的时候相消，分子零点，分母级点。

案例三 增加开环零点、极点对系统性能影响以典型二阶系统为例，利用自动控制理论实验箱搭建模拟电路，研究增加开环零点、极点以及偶极子对系统性能的影响。

一、原始二阶系统典型二阶系统的开环传递函数为：)12.0(1.01s +=s s G ）（其结构图如图1所示。

-10.1(0.21)s s +图1 二级系统结构图根据上述结构图和传递函数，利用自动控制理论试验箱中的运放、电阻、电容等建立二阶环节的模拟电路。

传递函数对应的二阶系统模拟电路图如图2所示。

UiUo1μF1μF-100K100K200K200K100K100K+++---图2 二阶系统模拟电路图在自动控制理论试验系统中测量得到该系统的阶跃响应曲线如图3所示，记录超调量等动态性能指标。

此时二阶系统阶跃响应的超调量为%46.30%=δ，峰值时间为t p =0.481s ，调节时间为t s =2.71s 。

图3 典型二阶系统阶跃响应曲线二、增加开环零点增加开环零点即增加一个一阶微分环节，其的传递函数为：11.0+=s s G ）（一阶微分环节的模拟电路如图4所示。

-+1.0K100K100K1uF图4 一阶微分环节的模拟电路增加以上开环零点后，系统的结构图如图5所示。

0.1s+1-10.1(0.21)s s +图5 增加开环零点后系统结构图根据图4和图5，利用自动控制理论实验箱单搭建增加开环零点后的二阶系统的模拟电路，并测量该系统的阶跃响应曲线，记录是与响应性能指标。

阶跃响应曲线如图6所示。

图6 增加开环零点后系统的阶跃响应曲线此时，系统阶跃响应的超调量为%29.6%=δ，峰值时间为t p =0.424s, 调节时间为t s =1.12s 。

与原系统的是与性能指标相比较，可以明显的看到系统超调量减小，峰值时间减少，系统响应速度加快，相对稳定性得到改善。

由此可以得出结论：增加开环零点可以改善系统的动态性能。

其原因在于微分环节表现出超前特性，增加微分环节会使系统阻尼系数增加，超调提前，稳定裕量增加。

增加零极点以及零极点分布对系统的影响一般说来，系统的极点决定系统的固有特性，而零点对于系统的暂态响应和频率响应会造成很大影响。

以下对于零极点的分布研究均是对于开环传递函数。

零点一般是使得稳定性增加，但是会使调节时间变长，极点会使调节时间变短，是系统反应更快，但是也会使系统的稳定性变差。

在波特图上反应为，增加一个零点会在幅频特性曲线上增加一个+20db/10倍频的曲线，幅频曲线上移，增加一个极点，会在幅频特性曲线上增加一个-20db/10倍频的曲线，幅频曲线下移。

在s左半平面增加零点时，会增加系统响应的超调量，带宽增大，能够减小系统的调节时间，增快反应速度，当零点离虚轴越近，对系统影响越大，当零点实部远大于原二阶系统阻尼系数ξ时，附加零点对系统的影响减小，所以当零点远离虚轴时，可以忽略零点对系统的影响。

从波特图上来看，增加一个零点相当于增加一个+20db/10倍频的斜率，可以使的系统的相角裕度变大，增强系统的稳定性。

在s右半平面增加零点，也就是非最小相位系统，非最小相位系统的相位变化范围较大，其过大的相位滞后使得输出响应变得缓慢。

因此，若控制对象是非最小相位系统，其控制效果特别是快速性一般比较差，而且校正也困难。

对于非最小相位系统而言，当频率从零变化到无穷大时，相位角的便变化范围总是大于最小相位系统的相角范围，当ω等于无穷大时，其相位角不等于-（n-m）×90º。

非最小相位系统存在着过大的相位滞后，影响系统的稳定性和响应的快速性。

在s左半平面增加极点时，系统超调量%pσ减小，调整时间st(s)增大，从波特图上看，s左半平面增加一个极点时，会在幅频特性曲线上增加一个-20db/10倍频的曲线，也就意味着幅频特性曲线会整体下移，导致相角域度减小，从而使得稳定性下降。

当极点离原点越近，就会增大系统的过渡时间，使得调节时间增加，稳定性下降，当系统影响越大当极点实部远大于原二阶系统阻尼系数ξ时，附加极点对系统的影响减小，所以当极点远离虚轴时可以忽略极点对系统的影响。

在控制系统理论中，s参数（或拉普拉斯变换域中的复频率s）的零点和极点是非常重要的概念，它们对系统的稳定性和频率响应特性有着决定性的影响。

本文将详细介绍零点和极点的定义、物理意义、数学表达方式以及它们对系统性能的影响。

一、零点和极点的定义零点（Zeros）在控制系统中，零点是指使系统传递函数为零的s域值。

系统传递函数通常表示为系统输出与输入之比，形式上为一些多项式的比值。

当这个比值的分子多项式等于零时，对应的s值就是零点。

数学上，如果系统传递函数为：\[ G(s) = \frac{N(s)}{D(s)} \]其中，\( N(s) \)是分子多项式，\( D(s) \)是分母多项式，则\( N(s) \)的根就是系统的零点。

极点（Poles）相对地，极点是指使系统传递函数趋向无穷大的s域值。

在上述传递函数中，当分母多项式\( D(s) \)等于零时，对应的s值就是极点。

数学上，\( D(s) \)的根就是系统的极点。

二、零点和极点的物理意义零点和极点反映了系统在复频率域内的动态行为。

极点直接关联到系统的自然响应，而零点则影响系统的强制响应。

系统的稳定性主要由极点的位置决定，极点位于左半s平面表示系统是稳定的，若有极点位于右半s平面或者虚轴上，则系统是不稳定的。

零点虽然不直接决定系统的稳定性，但会影响系统的增益和相位，从而影响系统的频率响应。

在某些频率下，零点可以导致系统增益减小，甚至产生相位的变化，这对系统的性能有着重要的影响。

三、数学表达方式传递函数的一般形式可以通过因式分解来表示其零点和极点：\[ G(s) = K \frac{(s-z_1)(s-z_2)...(s-z_m)}{(s-p_1)(s-p_2)...(s-p_n)} \]其中，\( z_i \)表示第i个零点，\( p_j \)表示第j个极点，K是增益系数。

这种表达方式可以直观地看出系统的零点和极点的位置，以及它们对系统性能的影响。

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现代工程控制理论实验报告学生姓名：任课老师：学号：班级：实验三：传递函数零极点对系统性能的影响一、实验内容及目的实验内容：通过增加、减少和改变高阶线性系统21.05（s+s+1）(0.5s+1)(0.125s+1)的零极点，分析系统品质的变化，从中推导出零极点和系统各项品质之间的关系，进而总结出高阶线性系统的频率特性。

实验目的：（1）通过实验研究零极点对系统品质的影响，寻找高阶线性系统的降阶方法，总结高阶系统的时域特性。

（2）练习使用MATLAB语言的绘图功能，提高科技论文写作能力，培养自主学习意识。

二、实验方案及步骤首先建立MATLAB脚本文件，使其能够绘出在阶跃输入下特征多项式能够变化的高阶线性系统的响应曲线。

之后在以下六种情况下绘出响应曲线，分别分析其对系统输出的影响。

（1）改变主导极点，增减、改变非主导极点，加入非负极点，绘出多组线性系统在阶跃信号下的响应曲线。

（2）在不引入对偶奇子的前提下，加入非负极点，绘出多组线性系统在阶跃信号下的响应曲线。

（3）引入对偶奇子，绘出多组线性系统在阶跃信号下的响应曲线。

（4）探究系统稳定条件下单调曲线、振荡曲线的形成与零极点之间的关系。

三、实验结果分析1、研究极点对系统品质的影响（1）改变主导极点，得到的输出曲线如下：将系统品质以表格方式列于下方。

从两张图片中不难发现，在极点都是负数的条件下，当主导极点出现较小变动时，整条输出曲线会出现很大的变化。

从表格中可以发现当主导极点由负半轴向原点靠近时，超调量、稳定时间逐渐增大，而且这两项指标的变化速率随着主导极点离原点的距离减小而增大。

衰减率则出现轻微的先增大后减小的趋势，猜测在主导极点由负半轴向原点靠近的过程中，衰减率存在极值。

将两幅图片中发现的规律总结如下：（1）主导极点对系统品质有很大影响。

（2）在极点都小于零的条件下，主导极点的代数值越小，系统的准确性越好、快速性也越好。

（2）增减、改变非主导极点，得到的输出曲线如下：将系统品质以表格形式列于下方：首先观察figure2，对比figure1不难发现，对于极点为-0.5、-2、-8对应的曲线，当去掉极点-8时曲线的变化程度明显没有去掉极点-2时剧烈。

全通系统零极点分布特点
全通系统是指其传递函数为全纯函数的线性时不变系统，也就是说其极点都处于复平面内部。

零极点分布是指全通系统中的零点和极点分布在复平面上的位置。

以下是全通系统零极点分布的特点：
1. 极点均在复平面内部
全通系统的传递函数为全纯函数，因此其极点均在复平面内部。

这意味着全通系统的稳定性比其他系统更好。

2. 零点和极点通常成对出现
在全通系统中，零点和极点通常成对出现。

这是由于传递函数是分子多项式与分母多项式的比值所决定的。

如果分母多项式有一个零点，那么传递函数将有一个极点。

同样，如果分子多项式有一个零点，那么传递函数将有一个零点。

因此，在全通系统中，零点和极点的数量通常相等。

3. 零点和极点的位置对系统的性能有影响
在全通系统中，零点和极点的位置对系统的频率响应和稳定性有很大
的影响。

具体来说，零点决定了系统的增益和截止频率，而极点决定
了系统的稳定性和振荡频率。

因此，设计全通系统时需要注意这些因素，并选择合适的零点和极点位置。

4. 零点和极点的数量对系统的复杂度有影响
在全通系统中，零点和极点的数量决定了系统的复杂度。

具体来说，
零点和极点的数量越多，系统的复杂度就越高。

因此，在设计全通系
统时需要考虑性能和复杂度之间的平衡。

综上所述，全通系统的零极点分布对系统的性能和稳定性有重要影响。

在设计全通系统时，需要注意零点和极点的数量和位置，并选择合适
的参数以取得最佳的系统性能。