1991年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(理)

1991全国高考理科数学试题1991年普通高等学校招生全国统一考试-数学(理工农医类)考生注意：这份试卷共三道大题(26个小题)．满分120分一、选择题：本大题共15小题；每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后括号内．(1) 已知sin α=54，并且α是第二象限的角，那么tg α的值等于 () (A) 34-(B)43-(C) 43 (D) 34 (2) 焦点在(－1，0)，顶点在(1，0)的抛物线方程是 ()(A) y 2=8(x+1) (B) y 2=－8(x+1) (C) y 2=8(x －1)(D) y 2=－8(x －1)(3)函数y =cos 4x －sin 4x 的最小正周期是() (A)2π(B) π(C) 2π(D) 4π(4)如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有 ()(A) 12对 (B) 24对 (C) 36对 (D) 48对(5) 函数y =sin(2x+25π)的图像的一条对称轴的方程是 ()(A) x =－2π (B) x =－4π (C)8π=x (D)45π=x(6) 如果三棱锥S －ABC 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在△ABC 内，那么O 是△ABC 的 ()(A) 垂心 (B) 重心 (C) 外心 (D) 内心(7) 已知{a n }是等比数列，且a n >0，a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25，那么a 3+a 5的值等于 () (A) 5 (B) 10(C) 15(D) 20(8) 如果圆锥曲线的极坐标方程为ρ=θcos 3516-，那么它的焦点的极坐标为()(A) （0，0），（6，π） (B) (－3，0)，(3，0) (C) （0，0），（3，0） (D) (0，0)，(6，0) (9) 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有 ()(A) 140种 (B) 84种 (C) 70种 (D) 35种 (10) 如果AC <0且BC <0，那么直线Ax+By+C =0不通过．．． ()(A) 第一象限(B) 第二象限(C) 第三象限(D) 第四象限(11) 设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么 ()(A) 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件(B) 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件(C) 丙是甲的充要条件(D) 丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 (12) )]511)(411)(311([lim ---∞→n n …(1－21+n )]的值等于 () (A) 0(B) 1(C) 2(D) 3(13) 如果奇函数f (x )在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f (x )在区间[－7，－3]上是 ()(A) 增函数且最小值为－5 (B) 增函数且最大值为－5 (C) 减函数且最小值为－5 (D) 减函数且最大值为－5(14) 圆x 2+2x+y 2+4y －3=0上到直线x +y +1=0的距离为2的点共有 () (A) 1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个(15) 设全集为R ，f (x )=sin x ，g (x )=cos x ，M ={x |f (x )≠0}，N ={x |g (x )≠0}，那么集合 {x |f (x )g (x )=0}等于 () (A) NM ⋂ (B)N M Y (C)N M Y (D)N M Y二、填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上．(16) arctg 31+arctg 21的值是____________ (17) 不等式226-+x x <1的解集是___________(18) 已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是45°，那么这个正三棱台的体积等于(19) (ax+1)7的展开式中，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项．若实数a >1，那么a =(20) 在球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝a ．那么这个球面的面积是三、解答题：本大题共6小题；共60分．(21) (本小题满分8分)求函数y =sin 2x+2sin x cos x+3cos 2x 的最小值，并写出使函数y 取最小值的x 的集合．(22) (本小题满分8分)已知复数z =1＋i , 求复数1632++-z z z 的模和辐角的主值．(23) (本小题满分10分)已知ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且GC ＝2．求点B 到平面EFG 的距离．(24) (本小题满分10分)根据函数单调性的定义，证明函数f (x )=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数．(25) (本小题满分12分)已知n为自然数，实数a>1，解关于x的不等式log a x－log2a x＋12log3ax＋…＋n (n－2)1-n log na x>3)2(1n--loga(x2－a)(26) (本小题满分12分)双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为53的直线交双曲线于P、Q两点．若OP⊥OQ，|PQ|=4，求双曲线的方程．1991年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种较为常见的解法，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则．二、每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分．三、为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤．四、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．五、只给整数分数．一、选择题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分45分．(1)A (2)D (3)B (4)B (5)A (6) D (7)A (8)D(9)C (10)C (11)A (12)C (13)B (14)C (15)D二、填空题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分15分．(16) 4π (17) {x |－2<x <1} (18) 314(19) 1+510(20) 3πa 2三、解答题(21) 本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质．满分8分．解：y =sin 2x+2sin x cos x+3cos 2x =(sin 2x ＋cos 2x )＋2sin x cos x +2cos 2x——1分=1sin2x (1＋cos2x )——3分=2＋sin2x +cos2x =2+2sin(2x+4π)．——5分当sin(2x+4π)=－1时y 取得最小值2－2． ——6分使y 取最小值的x 的集合为{x |x =k π－83π，k ∈Z}． ——8分(22) 本小题考查复数基本概念和运算能力．满分8分．解：1632++-z z z =116)1(3)1(2++++-+i i i=ii +-23——2分=1－i． ——4分1－i 的模r=22)1(1-+=2．因为1－i 对应的点在第四象限且辐角的正切tg θ=－1，所以辐角的主值θ=47π．——8分(23) 本小题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力．满分10分．解：如图，连结EG 、FG 、EF 、BD 、AC 、EF、BD分别交AC于H、O．因为ABCD是正方形，E、F分别为AB和AD的中点，故EF∥BD，H为AO的中点．BD不在平面EFG上．否则，平面EFG和平面ABCD重合，从而点G在平面的ABCD上，与题设矛盾．由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG，所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离．——4分∵BD⊥AC，∴EF⊥HC．∵GC⊥平面ABCD，∴EF⊥GC，∴EF⊥平面HCG．∴平面EFG⊥平面HCG，HG是这两个垂直平面的交线．——6分作OK⊥HG交HG于点K，由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG，所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离．——8分∵ 正方形ABCD 的边长为4，GC =2， ∴ AC=42，HO =2，HC =32． ∴ 在Rt △HCG 中，HG =()2222322=+．由于Rt △HKO 和Rt △HCG 有一个锐角是公共的，故Rt △HKO ∽△HCG ．∴ OK =111122222=⨯=⋅HGGCHO ．即点B 到平面EFG 的距离为11112． ——10分注：未证明“BD 不在平面EFG 上”不扣分． (24) 本小题考查函数单调性的概念，不等式的证明，以及逻辑推理能力．满分10分． 证法一：在(－∞，+∞)上任取x 1，x 2且x 1<x 2——1分则f (x 2) －f (x 1) =3231x x-= (x 1－x 2) (222121x x x x++)——3分∵ x 1<x 2， ∴x 1－x 2<0．——4分当x 1x 2<0时，有222121x x x x ++= (x 1+x 2)2－x 1x 2>0； ——6分当x 1x 2≥0时，有222121x x x x ++>0； ∴ f(x 2)－ f(x 1)= (x 1－x 2)(222121x x x x ++)<0．——8分即 f (x 2) < f (x 1)所以，函数f (x )=－x 3+1在(－∞，+∞)上是减函数． ——10分证法二：在(－∞，+∞)上任取x 1，x 2，且x 1<x 2， ——1分则 f (x 2)－f (x 1)=x 31－x 32= (x 1－x 2)(222121x x x x++)． ——3分∵ x 1<x 2， ∴x 1－x 2<0．——4分∵ x 1，x 2不同时为零， ∴ x 21＋x 22>0．又 ∵ x 21＋x 22>21(x 21＋x 22)≥|x 1x 2|≥－x 1x 2 ∴222121x x x x ++>0，∴ f (x 2)－f (x 1) = (x 1－x 2) (222121x x x x++)<0． ——8分即 f (x 2) < f (x 1)．所以，函数f (x )=－x 3+1在(－∞，+∞)上是减函数． ——10分(25) 本小题考查对数、数列、解不等式等基本知识，以及分析问题的能力．满分12分．解：利用对数换底公式，原不等式左端化为log a x －4·2log log a x a a ＋12·3log log a x a a ＋…＋n (－2)n －1 ·naa axloglog=[1－2＋4＋…＋(－2)n －1] log a x =3)2(1n--log a x 故原不等式可化为3)2(1n--log a x >3)2(1n--log a (x 2－a )． ①当n 为奇数时，3)2(1n-->0，不等式①等价于log a x >log a (x 2－a )． ② 因为a >1，②式等价于⎪⎩⎪⎨⎧->>->a x x a x x 2200⎪⎩⎪⎨⎧<-->>⇔002a x x a x x⎪⎩⎪⎨⎧++<<+->⇔24112411ax a a x——6分因为2411a+-<0，2411a++>24a =a ，所以，不等式②的解集为{x |a <x <2411a ++}． ——8分当n 为偶数时，3)2(1n--<0，不等式①等价于log a x >log a (x 2－a )． ③ 因为a >1，③式等价于⎪⎩⎪⎨⎧-<>->a x x a x x 2200⎪⎩⎪⎨⎧>-->>⇔02a x x a x x⎪⎩⎪⎨⎧+-<>⇔2411ax a x或⎪⎩⎪⎨⎧++>>2411a x a x①——10分因为，，a aaa =>++<+-24241102411——12分所以，不等式③的解集为{x |x >2411a ++}．综合得：当n 为奇数时，原不等式的解集是{x|2411ax a ++<<}；当n 为偶数时，原不等式的解集是{x |2411a x ++>}(26) 本小题考查双曲线性质，两点距离公式，两直线垂直条件，代数二次方程等基本知识，以及综合分析能力．满分12分．解法一：设双曲线的方程为2222by a x -=1．依题意知，点P ，Q 的坐标满足方程组()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-==-222222531b a c c x y b y a x 其中 将②式代入①式，整理得(5b 2－3a 2)x 2+6a 2cx －(3a 2c 2+5a 2b 2)=0． ③ ——3分设方程③的两个根为x 1，x 2，若5b 2－3a 2=0，则a b =53，即直线②与双曲线①的两条渐近线中的一条平行，故与双曲线只能有一个交点同，与题设矛盾，所以5b 2－3a 2≠0．根据根与系数的关系，有22221356a b ca x x -=+ ④222222213553a b b a c a x x -+-=⑤——6分由于P 、Q 在直线y =53(x －c )上，可记为P (x 1，53(x 1－c ))，Q (x 2，53(x 2－c ))．由OP ⊥OQ 得11)(53x c x -·22)(53x c x -=－1，整理得3c (x 1+x 2)－8x 1x 2－3c 2=0． ⑥ 将④，⑤式及c 2=a 2+b 2代入⑥式，并整理得 3a 4+8a 2b 2－3b 4=0， (a 2+3b 2)(3a 2－b 2)=0． 因为 a 2+3b 2≠0，解得b 2=3a 2， 所以c =22b a +=2a．——8分由|PQ |=4，得(x 2－x 1)2=[53(x 2－c )－53(x 1－c )]2=42．整理得(x 1+x 2)2－4x 1x 2－10=0． ⑦ 将④，⑤式及b 2=3a 2，c =2a 代入⑦式，解得a 2=1． ——10分将a 2 =1代入b 2=3a 2 得 b 2=3．故所求双曲线方程为x 2－32y =1．——12分解法二：④式以上同解法一．——4分解方程③得x 1=222235403a b ab c a -+-，x 2=222235403a b ab c a ---④ ——6分由于P 、Q 在直线y =53(x －c )上，可记为P (x 1，53(x 1－c))，Q (x 2，53(x 2－c))．由OP ⊥OQ ，得x 1 x 2＋53(x 1－c)·53(x 2－c)=0． ⑤将④式及c 2=a 2b 2代入⑤式并整理得3a 4+8a 2b 2－3b 4=0，即 (a 2+3b 2)(3a 2－b 2)=0． 因a 2+3b 2≠0，解得b 2=3a 2．——8分由|PQ |=4，得(x 2－x 1)2+[53(x 2－c)－53(x 1－c)]2=42．即 (x 2－x 1)2=10． ⑥ 将④式代入⑥式并整理得 (5b 2－3a 2)2－16a 2b 4=0．——10分将b 2=3a 2代入上式，得a 2=1， 将a 2=1代入b 2=3a 2得b 2=3． 故所求双曲线方程为 x 2－32y =1．——12分。

高考数学普通高等学校招生全国统一考试数学91第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数1sin 32y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是（ ） Ａ．π2Ｂ．πＣ．2πＤ．4π2．设集合{}12A =，，则满足{}123A B =，，的集合B 的个数是（ ）Ａ．1 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．83．设()f x 是R 上的任意函数，下列叙述正确的是（ ）Ａ．()()f x f x -是奇函数 Ｂ．()()f x f x -是奇函数 Ｃ．()()f x f x +-是偶函数 Ｄ．()()f x f x --是偶函数4．1234566666C C C C C ++++的值为（ ）Ａ．61Ｂ．62 Ｃ．63 Ｄ．645．方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率6．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两个平面互相平行；③若直线12l l ，与同一平面所成的角相等，则12l l ，互相平行；④若直线12l l ，是异面直线，则与12l l ，都相交的两条直线是异面直线，其中假命题的个数是（ ） Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3 Ｄ．47．双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（ ）Ａ．0003x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩，，≥≥≤≤ Ｂ．0003x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩，，≥≤≤≤ Ｃ．0003x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩，，≤≤≤≤ Ｄ．0003x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩，，≤≥≤≤8．设⊕是R 上的一个运算，A 是V 的非空子集，若对任意a b A ∈，，有a b A ⊕∈，则称A 对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（ ） Ａ．自然数集 Ｂ．整数集 Ｃ．有理数集 Ｄ．无理数集 9．ABC △的三内角A B C ，，所对边的长分别为a b c ，，．设向量p ()=+，a c b ，q ()=--，b a c a ．若p q ∥，则角C 的大小为（ ）Ａ．π6 Ｂ．π3 Ｃ．π2 Ｄ．2π310．已知等腰ABC △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（ ）11．与方程221(0)x xy e e x =-+≥的曲线关于直线y x =对称的曲线的方程为（ ）Ａ．ln(1y =+Ｂ．ln(1y =-Ｃ．ln(1y =-+Ｄ．ln(1y =--12．曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y n n n+=<<--的（ ）FCDFAB CDE FＡ．离心率相等Ｂ．焦距相等Ｃ．焦点相同Ｄ．准线相同第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．方程22log(1)2log(1)x x-=-+的解为．14．设()ln0xe xg xx x⎧=⎨>⎩，， ，≤则12g g⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭．15．如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF-________．16．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1，2，3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1，2号中至少有1名新队员的排法有________种．（以数作答）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数22()sin2sin cos3cosf x x x x x x=++∈，R，求（1）函数()f x的最大值及取得最大值的自变量x的集合；（2）函数()f x的单调增区间．18．（本小题满分12分）甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为0.6，且参赛同学的成绩相互之间没有影响，求：（1）甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率；（2）甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率．19．（本小题满分12分）已知正方形ABCD，E F，分别是边AB CD，的中点，将ADE△沿DE折起，如图所示，记二面角A DE C--的大小为θ（0πθ<<）．（1）证明BF∥平面ADE；（2）若ACD△为正三角形，试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上，证明你的结论，并求角θ的余弦值．20．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为22()=-+∈R ，n S pn n q p q ，n ∈+N ．（1）求q 的值；（2）若1a 与5a 的等差中项为18，n b 满足22log n a b =，求数列{}n b 的前n 项和． 21．（本小题满分12分）已知函数321()()(2)3f x ax a d x a d x d =+++++，2()2(2)4=++++g x ax a d x a d ，其中00a d >>，，设0x 为()f x 的极小值点，1x 为()g x 的极值点，23()()0g x g x ==，并且23x x <，将点001123(())(())(0)(0)，，，，，，，x f x x g x x x 依次记为A B C D ，，，．（1）求0x 的值；（2）若四边形APCD 为梯形且面积为1，求a d ，的值．22．（本小题满分14分）已知点112212()()(0)A x y B x y x x ≠，，，是抛物线22(0)y px p =>上的两个动点，O 是坐标原点，向量OAOB ，满足||||OA OB OA OB =+-，设圆C 的方程为221212()()0x y x x x y y y +-+-+=． （1）证明线段AB 是圆C 的直径；（2）当圆C 的圆心到直线20x y -=p 的值．普通高等学校招生全国统一考试数学一．选择题：DCCBA DACBD AB 二．填空题：（13）5（14）12（15） 67（16）48三、解答题（17）本小题考查三角公式、三角函数的性质及已知三角函数值求角等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力. 满分 12 分 （I ）解法一：()1cos 23(1cos 2)sin 222x f x x θ-+=++2sin 2cos2x x =++22sin(2)4x π=++ ……4分∴当2242x k πππ+=+，即()8x k k Z ππ=+∈时，()f x 取得最大值22+因此，()f x 取得最大值的自变量x 的集合是,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. ……8分 解法二：222()(sin cos )sin 22cos f x x x x x =+++ 1sin 21cos2x x =+++22)4x π=++……4分∴当2242x k πππ+=+，即()8x k k Z ππ=+∈时，()f x 取得最大值22因此，()f x 取得最大值的自变量x 的集合是,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭……8分 （Ⅱ）解： ()22)4f x x π=+由题意得222()242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，即3()88k x k k Z ππππ-≤≤+∈. 因此， ()f x 的单调增区间是()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. …………12 分 （18）本小题主要考查相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法等基础知识，考查学生运用概率知识解决实际问题的能力，满分12分.（Ⅰ）解：甲班参赛同学恰有1名同学成绩及格的概率为120.60.40.48C ⨯⨯=乙班参赛同学中恰有一名同学成绩及格的概率为120.60.40.48C ⨯⨯= 故甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩几个的概率为0.480.480.2304P =⨯=…………………………6分 （Ⅱ）解法一：甲、乙两班4名参赛同学成绩都不及格的概率为40.40.0256,=故甲、乙两班参赛同学中至少有一名同学成绩都不及格的概率为10.02560.9744P =-=…………………………12分解法二：甲、乙两班参赛同学成绩及格的概率为140.60.40.1536C ⨯⨯=甲、乙两班参赛同学中恰有2名同学成绩及格的概率为22240.60.40.3456C ⨯⨯= 甲、乙两班参赛同学中恰有3名同学成绩及格的概率为22240.60.40.3456C ⨯⨯=甲、乙两班4同学参赛同学成绩都及格的概率为40.60.1296=故甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率为0.15360.34560.34560.12960.9744P =+++=……………………12分（19）本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力和思维能力.满分12分（Ⅰ）证明：E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 、CD 的中点.//,ED FD ∴且EB FD ＝，∴四边形EBFD 是平行四边形 //BF ED ∴ ED ∴⊂平面AED ，而BF ⊄平面AED //BF ∴平面AED （Ⅱ）解法一：点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上，过点A 用AG ⊥平面,BCDE 垂足为,G 连接,.GC GDACD 为正三角形 AC AD ∴=GC GD ∴＝，G ∴在CD 的垂直平分线上。

1991年全国高考数学（理科 ）试题及其解析考生注意：本试题共三道大题（26个小题），满分120分.一．选择题（共15小题，每小题3分，满分45分. 每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内.每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分） （1）已知54sin =α，并且是第二象限的角，那么αtg 的值等于 （ ） （A ）34- （B ）43- （C ）43 （D ）34（2）焦点在（-1，0）顶点在（1，0）的抛物线方程是 （ ）（A ）)1(82+=x y (B))1(82+-=x y (C))1(82-=x y (D))1(82--=x y(3) 函数x x y 44sin cos -=的最小正周期是 （ ） （A ）2π（B ）π （C ）π2 （D ）π4 （4）如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有 （ ） （A ）12对 （B ）24对 （C ）36对 （D ）48对 （5）函数)252sin(π+=x y 的图象的一条对称轴的方程是 （ ） （A ）2π-=x （B ）4π-=x （C ）8π=x （D ）45π=x（6）如果三棱锥S-ABC 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在△ABC 内，那么O 是△ABC 的 （ ） （A ）垂心 （B ）重心 （C ）外心 （D ）内心 （7）已知}{n a 是等比数列，且252,0645342=++>a a a a a a a n ，那么53a a +的值等于 （ ） （A ）5 （B ）10 （C ）15 （D ）20 （8）如果圆锥曲线的极坐标方程为θ-=ρcos 3516，那么它的焦点的极坐标为 （ ）（A ）),6(),0,0(π （B ）)0,3(),0,3(- （C ）)0,3(),0,0( （D ）)0,6(),0,0( （9）从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有 （ ） （A ）140种 （B ）84种 （C ）70种 （D ）35种 （10）如果AC ＜0且BC ＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过．．． （ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （11）设甲、乙、丙是三个命题。

(详细解析)1991年全国高考数学理科1991年全国高考数学（理科 ）试题考生注意：本试题共三道大题（26个小题），满分120分．一． 选择题（共15小题，每小题3分，满分45分． 每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内．每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分）1．已知4sin 5α=，并且是第二象限的角，那么tan α的值等于A ．34-B ．43- C ．43D ．34 【答案】A【解析】由题设3cos 5α=-，所以4tan 3α=-．2．焦点在(1,0)-，顶点在(1,0)的抛物线方程是A ．)1(82+=x yB ．)1(82+-=x yC ．)1(82-=x yD ．)1(82--=x y【答案】D【解析】抛物线开口向左，且112p=+，所以4p =．3．函数xx y 44sin cos-=的最小正周期是A ．2πB ．πC ．π2D ．π4 【答案】B 【解析】44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos 2y x x x x x x x x x=-=+-=-=，所以最小正周期是π．4．如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有A ．12对B ．24对C ．36对D ．48对 【答案】B【解析】每一条侧棱与不共点的其余底面4条边均异面，所以共有24对．5．函数5sin(2)2y x π=+的图象的一条对称轴的方程是A ．2π-=xB ．4π-=xC ．8π=x D ．45π=x 【答案】A【解析】对称轴的方程满足52()22x k k Z πππ+=+∈，则()2x k k Z ππ=⋅-∈，显然1k =时2π-=x ．6．如果三棱锥S ABC -的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在ABC ∆内，那么O 是ABC ∆的A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心 【答案】D【解析】由题设可知点O 到ABC ∆三边的距离相等，所以O 是ABC ∆的内接圆的圆心．7．已知}{na 是等比数列，且252,0645342=++>a a a a a a an，那么53a a+的值等于A ．5B ．10C ．15D ．20 【答案】A【解析】设公比为q ，则由题设可得22224442225a a a q q++⋅=，即2241()25a q q+=，则41()5a q q+=，即355aa +=．8．如果圆锥曲线的极坐标方程为1653cos ρθ=-，那么它的焦点的极坐标为A ．(0,0),(6,)πB ．)0,3(),0,3(-C ．)0,3(),0,0(D ．)0,6(),0,0( 【答案】D【解析】曲线是椭圆，当0θ=时得8,a c θπ+==时得2a c -=，∴26c =，故焦点的极坐标为)0,6(),0,0(．9．从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有A ．140种B ．84种C ．70种D ．35种 【答案】C【解析】直接法：1221454570C CC C +=．间接法：33374570C C C --=．10．如果0AC <且0BC <，那么直线0Ax By C ++=不通．．过．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C 【解析】A Cy x B B=--，由于AC <且BC <，所以0,0A CB B->->，故D 正确．11．设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件．那么A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C ．丙是甲的充要条件D ．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 【答案】A【解析】由题意，乙⇒甲，丙⇒乙，但乙⇒丙，从而可得甲⇒丙，丙⇒甲．12．)]211()511)(411)(311([lim +----∞→n n n Λ的值等于 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C【解析】11112341lim[(1)(1)(1)(1)]lim[]34523452n n n n n n n →∞→∞+----=⋅⋅⋅⋅⋅++L L 2lim22n nn →∞==+．13．如果奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数且最小值为5，那么()f x 在区间[7,3]--上是A．增函数且最小值为5-B．增函数且最大值为5-C．减函数且最小值为5-D．减函数且最大值为5-【答案】B【解析】若[7,3]-=-是增函-∈，()()f x f xx∈--，则[3,7]x数的最大值为(3)f-=f-=-．(3)514．圆22+++-=上到直线102430x x y y++=的距离为2x y的点共有A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】圆的标准方程为222+++=，圆心(1)(2)(22)x yx y++=++=的距离为2，故与直线10 --到直线10x y(1,2)平行的直径上和与直线平行的切线上满足条件的点分别有2个和1个．15．设全集为R，()sin,()cos==，f x xg x x{()0},{()0}M x f x N x g x =≠=≠，那么集合{()()0}x f x g x =等于A ．M N IB ．M N UC ．M N UD ．M N U 【答案】D【解析】由题设{,},{,}2M x x k k Z N xx k k Z πππ=≠∈=≠+∈，则{()()0}x f x g x =，M N=U ．二．填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上．16．11arctan arctan 32+的值是 ． 【答案】4π 【解析】由于1111tan(arctan )tan(arctan )113232tan(arctan arctan )11111321tan(arctan )tan(arctan )13232+++===-⋅-⋅，所以11arctan arctan 324π+=．17．不等式1622<-+x x 的解集是 ．【答案】{21}x x -<<【解析】22226166x x xx +-+-<⇒<，得220xx +-<，解得解集是{21}x x -<<．18．已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是45︒，那么这个正三棱台的体积等于 ． 【答案】314 【解析】延长正三棱台的三条母线，交于一点O ，可得一个正三棱锥，根据比例关系可得棱台的高为23，故正三棱台的体积为12314334343)333V =⨯⨯=．19．在7(1)ax +的展开式中，3x 的系数是2x 的系数与4x的系数的等差中项．若实数1>a ，那么a = ．【答案】1015+【解析】由题设可得234,,x x x 的系数分别为524334777,,C a C a C a ⋅⋅⋅，则4352772Ca C a ⋅=⋅+347C a ⋅，化简得251030aa -+=，由于1>a ，所以101a =．20．在球面上有四个点,,,P A B C ，如果,,PA PB PC 两两互相垂直，且PA PB PC a ===，那么这个球面的面积是 ． 【答案】23a π【解析】因为球的直径等于以,,PA PB PC 为棱的长方体的对角线的长，从而23R a=，故球面的面积为2234)32a S a ππ==球面．三．解答题：本大题共6小题；共60分．21．（本小题满分8分）求函数xx x x y 22cos 3cos sin 2sin++=的最小值，并写出使函数y 取最小值的x 的集合．【解】本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质．满分8分．22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++222(sin cos )2sin cos 2cos x x x x x=+++——1分1sin 2(1cos 2)x x =+++——3分2sin 2cos 222)4x x x π=++=+．——5分当sin(2)14x π+=-时y取得最小值22=- ——6分使y取最小值的x的集合为3{|,}8N x x k k Z ππ==-∈． ——8分22．（本小题满分8分）已知复数i z +=1，求复数1632++-z z z 的模和辐角的主值．【解】本小题考查复数基本概念和运算能力．满分8分．2236(1)3(1)631112z z i i iz i i-++-++-==++++——2分1i=-．——4分1i-的模221(1)2r =+-=．因为1i -对应的点在第四象限且辐角的正切tan 1θ=-，所以辐角的主值74θπ=． ——8分23．（本小题满分10分）已知ABCD 是边长为4的正方形，,E F 分别是,AB AD的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且2GC =．求点B 到平面EFG的距离．【解】本小题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力．满分10分．如图，连结,,,,EG FG EF BD AC ，,EF BD 分别交AC 于,H O．因为ABCD 是正方形，,E F 分别为AB 和AD 的中点，故//EF BD ，H 为AO 的中点．BD不在平面EFG 上．否则，平面EFG 和平面ABCD重合，从而点G 在平面ABCD 上，与题设矛盾． 由直线和平面平行的判定定理知//BD 平面EFG ，所以BD 和平面EFG 的距离就是点B 到平面EFG的距离．——4分 ∵BD AC⊥，∴EF HC⊥．∵GC ⊥平面ABCD ，∴EF GC ⊥， ∴EF ⊥平面HCG ．∴ 平面EFG ⊥平面HCG ，HG是这两个垂直平面的交线． ——6分作OK HG ⊥交HG 于点K ，由两平面垂直的性质定理知OK ⊥平面EFG ，所以线段OK 的长就是点B 到平面EFG的距离． ——8分∵ 正方形ABCD 的边长为4，2GC =， ∴ 42,2,32AC HO HC === ∴ 在Rt HCG ∆中，()2232222HG =+=．由于Rt HKO ∆和Rt HCG ∆有一个锐角是公共的，故Rt HKO Rt HCG∆∆:．∴22111122HO GCOK HG⋅===．即点B到平面EFG的距离为11112． ——10分 注：未证明“BD 不在平面EFG 上”不扣分．【编者注】本题用“等积代换”，即B EFGG EFBV V --=亦可．24．（本小题满分10分）根据函数单调性的定义，证明函数3()1f x x=-+在),(+∞-∞上是减函数．【解】本小题考查函数单调性的概念，不等式的证明，以及逻辑推理能力．满分10分． 证法一：在),(+∞-∞上任取12,x x 且12x x <， ——1分则33222112121122()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++——3分∵12x x <，∴120x x -<．——4分当120x x <时，有22211221212()0x x x x x x x x ++=+->；——6分当12x x ≥时，有2211220xx x x ++>；∴2221121122()()()()0f x f x x x x x x x -=-++<．——8分即21()()f x f x <．所以，函数3()1f x x =-+在),(+∞-∞上是减函数． ——10分证法二：在),(+∞-∞上任取12,x x 且12x x <，——1分则33222112121122()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++． ——3分∵12x x <，∴120x x -<．——4分∵12,x x 不同时为零，∴22120xx +>．又 ∵2222121212121()2xx x x x x x x +>+≥≥-，∴2211220x x x x ++>，∴2221121122()()()()0f x f x x x x x x x -=-++<． ——8分即21()()f x f x <．所以，函数3()1f x x =-+在),(+∞-∞上是减函数． ——10分25．（本小题满分12分）已知n 为自然数，实数1a >，解关于x 的不等式23log4log 12log aa a x x x -++L121(2)(2)log log ()3n nn a a n x x a ---+->-．【解】本小题考查对数、数列、解不等式等基本知识，以及分析问题的能力．满分12分．利用对数换底公式，原不等式左端化为 231log 4log 12log (2)log nn aaaa x x x n x --+++-L11(2)[124(2)]log log 3nn a a x x---=-+++-=L 故原不等式可化为21(2)1(2)log log ()33n na a x x a ---->-． ①当n 为奇数时，1(2)03n-->，不等式①等价于2log log ()a a x x a >-． ②因为1a >，②式等价于⎪⎩⎪⎨⎧->>->a x x a x x 2200⎪⎩⎪⎨⎧<-->>⇔002a x x a x x ,11411422x a a ax ⎧>⎪⇔⎨+++<<⎪⎩——6分1140a-+<1144a aa ++>=，所以，不等式②的解集为114{|}ax a x ++<<． ——8分当n 为偶数时，1(2)03n--<，不等式①等价于2log log ()a a x x a <-． ③因为1a >，③式等价于⎪⎩⎪⎨⎧-<>->a x x a x x 2200⎪⎩⎪⎨⎧>-->>⇔002a x x a x x,114x a ax ⎧>⎪⇔⎨-+<⎪⎩ 或,114x a a x ⎧>⎪⎨++>⎪⎩——10分因为，，a aaa =>++<+-24241102411——12分所以，不等式③的解集为114{|}2ax x ++>．综合得：当n 为奇数时，原不等式的解集是114{|}2ax a x +<<；当n为偶数时，原不等式的解集是114{|}2ax x +>．26．（本小题满分12分）双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，过双曲线右焦点且斜率为53的直线交双曲线于,P Q两点．若,4OP OQ PQ ⊥=，求双曲线的方程．【解】本小题考查双曲线性质，两点距离公式，两直线垂直条件，代数二次方程等基本知识，以及综合分析能力．满分12分． 解法一：设双曲线的方程为22221x y a b-=．依题意知，点,P Q的坐标满足方程组)22222213()5x y a b y x c c a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-=+⎪⎩其中将②式代入①式，整理得22222222(53)6(35)0b a x a cx ac b c -+-+=．③ ——3分设方程③的两个根为12,x x ，若2253ba =，则35b a =即直线②与双曲线①的两条渐近线中的一条平行，故与双曲线只能有一个交点，与题设矛盾，所以22530ba -≠．根据根与系数的关系，有21222222212226533553a c x x b a a c a b x x b a ⎧+=-⎪⎪-⎨+⎪=-⎪-⎩——6分 由于,P Q在直线3()5y x c =-上，可记为112233(()),(())55P x x c Q x x c --．由OP OQ ⊥121233()()551x c x c --=-，整理得212123()830c x x x x c +--=．⑥将④，⑤式及222ca b =+代入⑥式，并整理得42243830a ab b +-=，2222(3)(3)0a b a b +-=．因为2230a b +≠，解得223ba =，所以222c a b a=+=．——8分由4PQ =，得222212133()()()]455x x x c x c -+---=．整理得21212()4100x x x x +--=． ⑦将④，⑤式及223ba =，2c a =代入⑦式，解得21a =． ——10分 将21a =代入223ba = 得23b=． 故所求双曲线方程为2213y x -=． ——12分解法二：④式以上同解法一．——4分解方程③得221340a c ab x -+=，222340a c ab x --=④ ——6分由于,P Q在直线3()5y x c =-上，可记为112233(()),(())55P x x c Q x x c --．由OP OQ⊥，得121233()()055x x x c x c --=． ⑤将④式及222c a b =+代入⑤式并整理得42243830a ab b +-=，即2222(3)(3)0a b a b +-=．因2230a b +≠，解得223b a =． ——8分由4PQ =，得222212133()()()]455x x x c x c -+---=．即221()10x x -=． ⑥将④式代入⑥式并整理得22224(53)160b a a b --=． ——10分将223b a =代入上式，得21a=， 将21a=代入223ba =得23b=．故所求双曲线方程为2213y x -=． ——12分1991年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种较为常见的解法，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则．二、每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分．三、为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤．四、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．五、只给整数分数．。

1991年全国高考数学试题及答案解析(理工农医类)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.【】[Key]一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.常规卷和A型卷答案(1)A(2)焦点在(-1,0),顶点在(1,0)的抛物线方程是(A)y2=8(x+1) (B)y2=-8(x+1)(C)y2=8(x-1) (D)y2=-8(x-1)【】[Key] (2)D(3)函数y=cos4x-sin4x的最小正周期是【】[Key] (3)B(4)如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有(A)12对(B)24对(C)36对(D)48对【】[Key] (4)B【】[Key] (5)A(6)如果三棱锥S ABC的底面是不等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等,且顶点S在底面的射影O在△ABC内,那么O是△ABC的(A)垂心(B)重心(C)外心(D)内心【】[Key] (6)D(7)已知{a n},且a n>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于(A)5 (B)10 (C)15 (D)20【】[Key] (7)A(A)(0,0),(6,π) (B)(-3,0),(3,0)(C)(0,0),(3,0) (D)(0,0),(6,0)【】[Key] (8)D(9)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要有甲型与乙型电视机各1台,则不同的取法共有(A)140种(B)84种(C)70种(D)35种【】[Key] (9)C(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限【】[Key] (10)C(11)设甲、乙、丙是三个命题.如果甲是乙的必要条件;丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么(A)丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件(B)丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件(C)丙是甲的充要条件(D)丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件【】[Key] (11)A(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【】[Key] (12)C(13)如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间[-7,-3]上是(A)增函数且最小值为－5 (B)增函数且最大值为－5(C)减函数且最小值为－5 (D)减函数且最大值为－5【】[Key] (13)B(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个【】[Key] (14)C(15)设全集为R,f(x)=sinx,g(x)=cosx,M={x│f(x)≠0},N={x│g(x)≠0},那么集合{x│f(x)g(x)=0}等于【】[Key] (15)D二、填空题:把答案填在题中横线上.(18)已知正三棱台上底面边长为2,下底面边长为4,且侧棱与底面所成的角是45°,那么这个正三棱台的体积等于 .(19)在(ax+1)7的展开式中,x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项,若实数a>1,那么a= .(20)在球面上有四个点P、A、B、C,如果PA、PB、PC两两互相垂直,且PA＝PB＝PC＝a.那么这个球面的面积是 .[Key] 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.三、解答题.(21)求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值,并写出使函数y取最小值的x的集合.[Key] 三、解答题.(21)本小题考查三角形函数式的恒等变形及三角函数的性质.解:y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x=1+sin2x+(1+cos2x)=2+sin2x+cos2x[Key] (22)本小题考查复数基本概念和运算能力.(23)已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC＝2.求点B到平面EFG的距离.[Key] (23)本小题考查直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,以及逻辑推理和空间想象能力.解:如图,连结EG、FG、EF、BD、AC.EF、BD分别交AC于H、O. 因为ABCD是正方形,E、F分别为AB和AD的中点,故EF∥BD,H为AO的中点.BD不在平面EFG上.否则,平面EFG和平面ABCD重合,从而点G在平面的ABCD上,与题设矛盾.由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG,所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离.∵BD⊥AC,∴EF⊥HC.∵GC⊥平面ABCD,∴EF⊥GC,∴EF⊥平面HCG.∴平面EFG⊥平面HCG,HG是这两个垂直平面的交线.作OK⊥HG交HG于点K,由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG,所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离.注:未证明“BD不在平面EFG上”不扣分.(24)根据函数单调性的定义,证明函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.[Key] (24)本小题考查函数单调性的概念,不等式的证明,以及逻辑推理能力.证法一:在(-∞,+∞)上任取x1,x2,且x1<x2,∵x1<x2,∴x1-x2<0.所以,函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.证法二:在(-∞,+∞)上任取x1,x2,且x1<x2,∵x1<x2,∴x1-x2<0.∵x1,x2不同时为零,即f(x2)<f(x1).所以,函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.(25)已知n为自然数,实数a>1,解关于x的不等式[Key] (25)本小题考查对数、数列、解不等式等基本知识,以及分析问题的能力.解:利用对数换底公式,原不等式左端化为因为a>1,②式等价于log a x<log a(x2-a).因为a>1,②式等价于[Key] (26)本小题考查双曲线性质,两点距离公式,两直线垂直条件,代数二次方程等基本知识,以及综合分析能力.依题意知,点P,Q的坐标满足方程组将②式代入①式,整理得(5b2-3a2)x2+6a2cx-(3a2c2+5a2b2)=0. ③根据根与系数的关系,有整理得3c(x1+x2)-8x1x2-3c2=0. ⑥将④,⑤式及c2=a2+b2代入⑥式,并整理得3a4+8a2b2-3b4=0,(a2+3b2)(3a2-b2)=0.因为a2+3b2≠0,解得b2=3a2,整理得(x1+x2)2-4x1x2-10=0. ⑦将④,⑤式及b2=3a2,c=2a代入⑦式,解得a2=1.将a2 =1代入b2=3a2得b2=3.解法二:④式以上同解法一.将④式及c2=a2+b2代入⑤式并整理得3a4+8a2b2-3b4=0, 即(a2+3b2)(3a2-b2)=0.因a2+3b2≠0,解得b2=3a2.即(x2-x1)2=10. ⑥将④式代入⑥式并整理得(5b2-3a2)2-16a2b4=0.将b2=3a2代入上式,得a2=1, 将a2=1代入b2=3a2得b2=3. 故所求双曲线方程为。

91年数学高考真题1991年，数学高考真题1991年的数学高考，令无数考生们备感紧张。

数学是一门需要逻辑思维和数学功底结合的学科，考试内容涵盖了各个领域，考查考生的数学综合能力。

下面就让我们来看一看当年的数学高考真题，感受一下那段难忘的历史吧。

一、选择题部分1. 若平面直角坐标系的横纵坐标单位长度相等，则方程 y=ax²+b 有两个不等实根，则 a、b 的关系是( )A. a < 0, b>0B. a > 0, b > 0C. a < 0, b < 0D. a > 0, b < 02.求第n个气球的半径，当第一个气球的半径是1时，第二个气球的半径是1.5，第三个是1.5^2，第n个是1.5^(n-1)。

( )A. 1.5^nB. 1.5^(n-1)C. 0.5^nD. 1.5^(n+1)3.函数 y=f(x)的图象如下图，过点 A (m, f(m)) 的直线将该图象截成面积相等的两部分，则 m 的取值范围是( )A. ( -∞, 0)B. (0, 1)C. (1, 3)D. (3, +∞)4.已知函数f(x) = sin(2x + π/4)，则 f(x) 的最小正周期是( )A. πB. 2πC. 4πD. 2π/35. 甲、乙两地相距180千米。

甲车以100千米/小时的速度由乙向甲，乙车以120千米/小时的速度由甲向乙，中间相遇时，乙车行驶的时间是( )A. 1小时B. 1.5小时C. 2小时D. 2.5小时二、解答题部分1. 已知二次函数 f(x) = ax² + bx + c 满足条件：当 x = 1 时，f(x) = c; 当 x = 2 时，f(x) = b. 求 f(0) 的值。

2. 已知 a+b+c=6，且 a^3+b^3+c^3=54，求 a²+b²+c²的值。

3. 计算：(1+2+3+...+20)² - (1²+2²+3²+...+20²) 的值。

1991年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)物理第I卷（选择题共50分）一、选择题本题共13小题;每小题2分,共26分.在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的.1．以初速v0竖直上抛一小球．若不计空气阻力,在上升过程中,从抛出到小球动能减少一半所经过的时间是答案：D2．下列粒子从初速为零的状态经过加速电压为U的电场之后,哪种粒子的速度最大?A．质子B．氘核C．a粒子D．钠离子Na+答案：A3．如图所示,一位于XY平面内的矩形通电线圈只能绕OX轴转动,线圈的四个边分别与X、Y轴平行．线圈中电流方向如图．当空间加上如下所述的哪种磁场时,线圈会转动起来?A．方向沿X轴的恒定磁场B．方向沿Y轴的恒定磁场C．方向沿Z轴的恒定磁场D．方向沿Z轴的变化磁场答案：B4．一质量为m的木块静止在光滑的水平面上．从t=0开始,将一个大小为F的水平恒力作用在该木块上．在t=t1时刻力F的功率是答案：C5．如图所示,以9．8米/秒的水平初速度v0抛出的物体,飞行一段时间后,垂直地撞在倾角θ为30°的斜面上．可知物体完成这段飞行的时间是答案：C6．有两个物体a和b,其质量分别为ma和mb,且ma>mb．它们的初动能相同．若a和b分别受到不变的阻力Fa和Fb的作用,经过相同的时间停下来,它们的位移分别为Sa和Sb,则A．F a>F b且s a<s b B．F a>F b且s a>s bC．F a<F b且s a>s b D．F a<F b且s a<s b答案：A7．图中A、B是两块相同的均匀长方形砖块,长为l,叠放在一起,A砖相对于B砖右端伸出l/4的长度．B砖放在水平桌面上,砖的端面与桌边平行．为保持两砖都不翻倒,B砖伸出桌边的长度x的最大值是答案：C8．如图,一均匀木棒OA可绕过O点的水平轴自由转动．现有一方向不变的水平力F作用于该棒的A点,使棒从竖直位置缓慢转到偏角θ<90°的某一位置．设M为力F对转轴的力矩,则在此过程中A．M不断变大,F不断变小B．M不断变大,F不断变大C．M不断变小,F不断变小D．M不断变小,F不断变大答案：B9．一伏特计由电流表G与电阻R串联而成,如图所示．若在使用中发现此伏特计的读数总比准确值稍小一些,采用下列哪种措施可能加以改进?A．在R上串联一比R小得多的电阻B．在R上串联一比R大得多的电阻C．在R上并联一比R小得多的电阻D．在R上并联一比R大得多的电阻答案：D10．两带电小球,电量分别为+q和-q,固定在一长度为l的绝缘细杆的两端,置于电场强度为E 的匀强电场中,杆与场强方向平行,其位置如图所示．若此杆绕过O点垂直于杆的轴线转过180°,则在此转动过程中电场力做的功为A．零B．qE lC．2qE l D．πqE l答案：C11．图中ABCD是一条长轨道,其中AB段是倾角为θ的斜面,CD段是水平的．BC是与AB 和CD都相切的一小段圆弧,其长度可以略去不计．一质量为m的小滑块在A点从静止状态释放,沿轨道滑下,最后停在D点．A点和D点的位置如图所示．现用一沿着轨道方向的力推滑块,使它缓慢地由D点推回到A点时停下．设滑块与轨道间的摩擦系数为μ,则推力对滑块做的功等于答案：B12．M和N是绕在一个环形铁心上的两个线圈,绕法和线路如图．现将开关K从a处断开,然后合向b处．在此过程中,通过电阻R2的电流方向是A．先由c流向d,后又由c流向dB．先由c流向d,后由d流向cC．先由d流向c,后又由d流向cD．先由d流向c,后由c流向d答案：A13．两端封闭的等臂U形管中,两边的空气柱a和b被水银柱隔开．当U形管竖直放置时,两空气柱的长度差为h,如图所示．现将这个管平放,使两臂位于同一水平面上,稳定后两空气柱的长度差为l,若温度不变则A．l>h B．l=h C．l=0D．l<h,l≠0答案：A14．下列哪些是能量的单位?A．焦耳B．瓦特C．千瓦小时D．电子伏特答案：A,C,D．15．下列固态物质哪些是晶体?A．雪花B．黄金C．玻璃D．食盐答案：A,B,D．16．关于光谱,下面说法中正确的是A．炽热的液体发射连续光谱B．太阳光谱中的暗线说明太阳上缺少与这些暗线相应的元素C．明线光谱和暗线光谱都可用于对物质成分进行分析D．发射光谱一定是连续光谱答案：A,C．17．恒定的匀强磁场中有一圆形的闭合导体线圈,线圈平面垂直于磁场方向．当线圈在此磁场中做下列哪种运动时,线圈中能产生感生电流?A．线圈沿自身所在的平面做匀速运动B．线圈沿自身所在的平面做加速运动C．线圈绕任意一条直径做匀速转动D．线圈绕任意一条直径做变速转动答案：C,D．18．一束光从空气射向折射率n=2的某种玻璃的表面,如图所示．i代表入射角,则A．当i>45°时会发生全反射现象B．无论入射角i是多大,折射角r都不会超过45°C．欲使折射角r=30°,应以i=45°的角度入射答案：B,C,D．19．一矩形线圈,绕垂直于匀强磁场并位于线圈平面内的固定轴转动．线圈中的感生电动势e 随时间t的变化如图所示．下面说法中正确的是A．t1时刻通过线圈的磁通量为零B．t2时刻通过线圈的磁通量的绝对值最大C．t3时刻通过线圈的磁通量变化率的绝对值最大D．每当e变换方向时,通过线圈的磁通量绝对值都为最大答案：D．20．一物体从某一高度自由落下,落在直立于地面的轻弹簧上,如下页左图所示．在A点,物体开始与弹簧接触,到B点时,物体速度为零,然后被弹回．下列说法中正确的是A．物体从A下降到B的过程中,动能不断变小B．物体从B上升到A的过程中,动能不断变大C．物体从A下降到B,以及从B上升到A的过程中,速率都是先增大,后减小D．物体在B点时,所受合力为零答案：C．21．一定质量的理想气体经历如上右图所示的一系列过程,ab、bc、cd和da这四段过程在p-T 图上都是直线段,其中ab的延长线通过坐标原点O,bc垂直于ab,而cd平行于ab．由图可以判断:A．ab过程中气体体积不断减小B．bc过程中气体体积不断减小C．cd过程中气体体积不断增大D．da过程中气体体积不断增大答案：B,C,D．二、填空题本题共8小题;每小题3分,共24分．把正确答案填在题中的横线上．22．一物体放在一倾角为θ的斜面上,向下轻轻一推,它刚好能匀速下滑．若给此物体一个沿斜面向上的初速度v0,则它能上滑的最大路程是．答案：23．两个放射性元素的样品A和B,当A有15/16的原子核发生了衰变时,B恰好有63/64的原子核发生了衰变．可知A和B的半衰期之比τA:τB= : ．答案：3:2 (3分）24．已知高山上某处的气压为0．40大气压,气温为零下30℃,则该处每立方厘米大气中的分子数为．（阿伏伽德罗常数为6．0×1023摩-1,在标准状态下1摩尔气体的体积为22．4升．）答案：1．2×1019 (3分）(答1×1019或答数在1．0×1019—1．3×1019范围内的,都给3分．）25．在测定玻璃的折射率的实验中,对一块两面平行的玻璃砖,用"插针法"找出与入射光线对应的出射光线．现有甲、乙、丙、丁四位同学分别做出如图的四组插针结果．(1）从图上看,肯定把针插错了的同学是．(2）从图上看,测量结果准确度最高的同学是．答案：乙（1分）．丁(2分）26．在场强为E、方向竖直向下的匀强电场中,有两个质量均为m的带电小球,电量分别为+2q和-q．两小球用长为l的绝缘细线相连,另用绝缘细线系住带正电的小球悬挂于O点而处于平衡状态,如图所示．重力加速度为g．细线对悬点O的作用力等于．答案：2mg+qE (3分）27．如上页右下图所示的电路中,三个电阻的阻值相等,电流表A1、A2和A3的内电阻均可忽略,它们的读数分别为I1、I2和I3,则I1:I2:I3= : : ．答案：3:2:2 (3分）（只要有一个比例不对就给0分．）28．一质量为m、电量为q的带电粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中作圆周运动,其效果相当于一环形电流,则此环形电流的电流强度I= ．答案：q2B/2πm (3分）29．一列简谐波在x轴上传播,波速为50米/秒．已知t=0时刻的波形图象如图（1）所示,图中M处的质点此时正经过平衡位置沿y轴的正方向运动．将t=0．5秒时的波形图象画在图（2）上（至少要画出一个波长）．答案：（3分）（波形图象至少要画出一个波长,否则不给这3分．）三、实验题本题包括2小题,共8分．其中（31）题的作图可用铅笔．30．在用电流表和电压表测电池的电动势和内电阻的实验中,所用电流表和电压表的内阻分别为0．1欧姆和1千欧姆．下面分别为实验原理图及所需的器件图．(1）试在下图中画出连线,将器件按原理图连接成实电路．(2）一位同学记录的6组数据见表．试根据这些数据在下图中画出U-I图线．根据图线读出电池的电动势ε=伏,根据图线求出电池内阻r= 欧．答案：(1).参考解答如图．评分标准:本题3分,接线出现任何错误都不给这3分．(2)．参考解答如图．ε=1．46伏,r=0．72欧．评分标准:全题5分．正确画得U-I图线给2分．U-I图上由各组数据标出的六个点的位置要准确,连直线时第四组数据（0．32安,1．18伏）标出的点应该舍去不顾．ε的答数在1．46±0．02伏范围内的都给1分．r的答数在0．72±0．05欧范围内的都给2分．四、计算题本题包括3小题,共18分．要求写出必要的文字说明、方程式和演算步骤．有数值计算的题,答案中必须明确写出数值和单位．31．（5分）图中ε=10伏,R1=4欧,R2=6欧,C=30微法,电池内阻可忽略．(1）闭合开关K,求稳定后通过R1的电流．(2）然后将开关K断开,求这以后流过R1的总电量．答案：解:（1）①(2）断开前,电容器上电压为IR2,储存的电量为q1=CIR2 ②断开,待稳定后,电容器上电压为ε,储存的电量为q2=Cε③流过R1的总电量为△q=C（ε-IR2）④=1．2×10-4库评分标准:本题5分．得出①、②、③、④式,各给1分．算出数值再给1分．32．（5分）用焦距8厘米的凸透镜,使一根每小格为1毫米的直尺成像在直径是6．4厘米的圆形光屏上．要求光屏上显示16个小格,应将直尺放在离透镜多远的地方?已知直尺和光屏都垂直于透镜的主光轴,光屏的圆心在主光轴上,直尺与主光轴相交．答案：解:按题目的要求,在屏上能成像的一段物高y=1．6厘米．屏直径即像高y＇=6．4厘米．①v=4u②所以直尺到透镜的距离应是10厘米．评分标准:全题5分．得出①式给3分．得出②式给1分．明确表示出直尺到透镜的距离为10厘米再给1分．33．（8分）在光滑的水平轨道上有两个半径都是r的小球A和B,质量分别为m和2m,当两球心间的距离大于l（l比2r大得多）时,两球之间无相互作用力:当两球心间的距离等于或小于l时,两球间存在相互作用的恒定斥力F．设A球从远离B球处以速度v0沿两球连心线向原来静止的B球运动,如图所示．欲使两球不发生接触,v0必须满足什么条件?答案：解一:A球向B球接近至A、B间的距离小于l之后,A球的速度逐步减小,B球从静止开始加速运动,两球间的距离逐步减小．当A、B的速度相等时,两球间的距离最小．若此距离大于2r,则两球就不会接触．所以不接触的条件是v1=v2 ① l +s2-s1>2r ②其中v1、v2为当两球间距离最小时A、B两球的速度;s1、s2为两球间距离从l变至最小的过程中,A、B两球通过的路程．由牛顿定律得A球在减速运动而B球作加速运动的过程中,A、B两球的加速度大小为③设v0为A球的初速度,则由匀加速运动公式得联立解得⑥解二:A球向B球接近至A、B间的距离小于l之后,A球的速度逐步减小,B球从静止开始加速运动,两球间的距离逐步减小．当A、B的速度相等时,两球间的距离最小．若此距离大于2r,则两球就不会接触．所以不接触的条件是v=v2 ①l+s2-s1>2r ②1其中v1、v2为当两球间距离最小时A、B两球的速度;s1、s2为两球间距离从l变至最小的过程中,A、B两球通过的路程．设v0为A球的初速度,则由动量守恒定律得mv=mv1+2mv2 ③由动能定理得联立解得⑥评分标准:全题共8分．得出①式给1分．得出②式给2分．若②式中">"写成"≥"的也给这2分．在写出①、②两式的条件下,能写出③、④、⑤式,每式各得1分．如只写出③、④、⑤式,不给这3分．得出结果⑥再给2分．若⑥式中"<"写成"≤"的也给这2分．。

[重点难点] 重难点：对几种常见化肥的签别。

[教学准备] 教师准备： pH试纸、玻璃棒、烧杯、试管、酒精灯、红色石蕊试纸、三角架、铁片、熟石灰、氢氧化钠溶液、碳酸氢铵、硫酸铵、氯化铵、磷矿粉、过磷酸钙、硫酸钾、氯化钾。

[教学过程] 五、实验探究,学会鉴别 师生活动设计意图[师]化学肥料在农业生产中广泛的应用,我们在座的同学中在将来可能会从事农业方面的工作,那么我们怎样鉴别常见的化学肥料呢? [学生探究] 探究一：比较氮肥（氯化铵、碳酸氢铵）、磷肥（磷矿粉、过磷酸钙） 和钾肥（硫酸钾、氯化钾）的外观、气味和在水中的溶解性。

氮肥 磷肥 钾肥 碳酸氢铵 氯化铵 磷矿粉 过磷酸钙 硫酸钾 氯化钾 外观 气味 溶解性 [学生探究] 探究二：取研细的氮肥（硫酸铵、氯化铵）、钾肥（硫酸钾、 氯化钾）各0.5克,分别放在铁片上灼烧, 观察现象. 再取上述化肥各少量，分别加入少量熟石灰粉末，混合、研磨，能否嗅到气味？ 氮肥 钾肥 硫酸铵 氯化铵 硫酸钾 氯化钾 灼烧 加熟石灰研磨 [师]铵根离子的检验：碱（或碱性）溶液，湿润的红色石蕊试纸 [师]1.NH4HCO3 为什么不能与草木灰混合在一起使用? 2.为什么土壤不能长期使用某一种化肥? [补充实验]用pH试纸测定碳酸氢铵、硫酸铵、过磷酸钙、碳酸钾溶液的pH。

[师]根据探究,归纳初步区分氮肥、磷肥和钾肥的步骤和方法 [生]归纳小结： 氮肥 钾肥 磷肥 看外观 加水 灼烧 加熟石灰 [投影]农村中常用的鉴别化肥的方法. 在农村，人们总结出以下鉴别化肥的简易方法。

一看：液态化肥，有刺激性氨臭气味的是氨水；像鱼卵的白色固体，一般是尿素；灰色粉未或颗粒，一般是过磷酸钙；黄褐色或灰褐色粉未一般是磷矿粉；白色晶体可能是硫铵、碳铵、氯化钾等。

二闻：直接闻，有明显氨臭味的是碳铵（易分解放出氨气）；用拇指和食指将石灰与白色晶体混合揉搓，有氨臭气味的是硫铵或硝铵。

三溶：灰色粉未部分溶于水，且溶液有酸味的是过磷酸钙；黄褐色或灰褐色粉未不溶于水的是磷矿粉。

1991年全国高考数学（理科 ）试题考生注意：本试题共三道大题（26个小题），满分120分．一．选择题（共15小题，每小题3分，满分45分． 每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内．每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分）1．已知4sin 5α=，并且是第二象限的角，那么tan α的值等于 A ．34- B ．43- C ．43 D ．34【答案】A【解析】由题设3cos 5α=-，所以4tan 3α=-．2．焦点在(1,0)-，顶点在(1,0)的抛物线方程是A ．)1(82+=x y B ．)1(82+-=x y C ．)1(82-=x y D ．)1(82--=x y【答案】D【解析】抛物线开口向左，且112p=+，所以4p =．3．函数x x y 44sin cos -=的最小正周期是 A ．2πB ．πC ．π2D ．π4 【答案】B【解析】44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos 2y x x x x x x x x x =-=+-=-=，所以最小正周期是π．4．如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有 A ．12对 B ．24对 C ．36对 D ．48对 【答案】B【解析】每一条侧棱与不共点的其余底面4条边均异面，所以共有24对．5．函数5sin(2)2y x π=+的图象的一条对称轴的方程是 A ．2π-=x B ．4π-=x C ．8π=x D ．45π=x【答案】A【解析】对称轴的方程满足52()22x k k Z πππ+=+∈，则()2x k k Z ππ=⋅-∈，显然1k =时2π-=x ．6．如果三棱锥S ABC -的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在ABC ∆内，那么O 是ABC ∆的A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心 【答案】D【解析】由题设可知点O 到ABC ∆三边的距离相等，所以O 是ABC ∆的内接圆的圆心．7．已知}{n a 是等比数列，且252,0645342=++>a a a a a a a n ，那么53a a +的值等于 A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 【答案】A【解析】设公比为q ，则由题设可得22224442225a a a q q ++⋅=，即2241()25a q q+=，则41()5a q q+=，即355a a +=．8．如果圆锥曲线的极坐标方程为1653cos ρθ=-，那么它的焦点的极坐标为A ．(0,0),(6,)πB ．)0,3(),0,3(-C ．)0,3(),0,0(D ．)0,6(),0,0( 【答案】D【解析】曲线是椭圆，当0θ=时得8,a c θπ+==时得2a c -=，∴26c =，故焦点的极坐标为)0,6(),0,0(．9．从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有A ．140种B ．84种C ．70种D ．35种【答案】C【解析】直接法：1221454570C C C C +=． 间接法：33374570C C C --=．10．如果0AC <且0BC <，那么直线0Ax By C ++=不通过．．．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C 【解析】A C y x B B =--，由于0AC <且0BC <，所以0,0A CB B->->，故D 正确．11．设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件．那么A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C ．丙是甲的充要条件D ．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 【答案】A【解析】由题意，乙⇒甲，丙⇒乙，但乙⇒丙，从而可得甲⇒丙，丙⇒甲．12．)]211()511)(411)(311([lim +----∞→n n n 的值等于 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C【解析】11112341lim[(1)(1)(1)(1)]lim[]34523452n n n n n n n →∞→∞+----=⋅⋅⋅⋅⋅++ 2lim22n nn →∞==+．13．如果奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数且最小值为5，那么()f x 在区间[7,3]--上 是A ．增函数且最小值为5-B ．增函数且最大值为5-C ．减函数且最小值为5-D ．减函数且最大值为5- 【答案】B【解析】若[7,3]x ∈--，则[3,7]x -∈，()()f x f x -=-是增函数的最大值为(3)f -=(3)5f -=-．14．圆222430x x y y +++-=上到直线10x y ++=的距离为2的点共有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】C【解析】圆的标准方程为222(1)(2)x y +++=，圆心(1,2)--到直线10x y ++=的距离为2，故与直线10x y ++=平行的直径上和与直线平行的切线上满足条件的点分别有2个和1个．15．设全集为R ，()sin ,()cos f x x g x x ==，{()0},{()0}M x f x N x g x =≠=≠，那 么集合{()()0}x f x g x =等于 A ．M N B ．M N C ．M N D ．M N【答案】D【解析】由题设{,},{,}2M x x k k Z N xx k k Z πππ=≠∈=≠+∈，则{()()0}x f x g x =，M N =．二．填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上．16．11arctan arctan 32+的值是 ． 【答案】4π 【解析】由于1111tan(arctan )tan(arctan )113232tan(arctan arctan )11111321tan(arctan )tan(arctan )13232+++===-⋅-⋅，所以11arctan arctan 324π+=．17．不等式1622<-+x x 的解集是 ．【答案】{21}x x -<<【解析】222206166xx xx +-+-<⇒<，得220x x +-<，解得解集是{21}x x -<<．18．已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是45︒，那么这个正三棱台的体积等于 ． 【答案】314 【解析】延长正三棱台的三条母线，交于一点O ，可得一个正三棱锥，根据比例关系可得棱台的高为3，故正三棱台的体积为114333V =⨯=．19．在7(1)ax +的展开式中，3x 的系数是2x 的系数与4x 的系数的等差中项．若实数1>a ， 那么a = ．【答案】15+【解析】由题设可得234,,x x x 的系数分别为524334777,,C a C a C a ⋅⋅⋅，则4352772C a C a ⋅=⋅+347C a ⋅，化简得251030a a -+=，由于1>a ，所以15a =+．20．在球面上有四个点,,,P A B C ，如果,,PA PB PC 两两互相垂直，且PA PB PC a ===， 那么这个球面的面积是 ． 【答案】23a π【解析】因为球的直径等于以,,PA PB PC 为棱的长方体的对角线的长，从而2R =，故球面的面积为224)32S a ππ==球面．三．解答题：本大题共6小题；共60分． 21．（本小题满分8分）求函数x x x x y 22cos 3cos sin 2sin ++=的最小值，并写出使函数y 取最小值的x 的集合．【解】本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质．满分8分．22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++ 222(s i n c o s )2s i n c o s2c o s x xx x x =+++ ——1分1sin 2(1cos 2)x x =+++ ——3分2sin 2cos 22)4x x x π=++=+． ——5分当sin(2)14x π+=-时y 取得最小值2= ——6分使y 取最小值的x 的集合为3{|,}8N x x k k Z ππ==-∈． ——8分【解】本小题考查复数基本概念和运算能力．满分8分．2236(1)3(1)631112z z i i iz i i-++-++-==++++ ——2分1i =-． ——4分1i -的模r ==．因为1i -对应的点在第四象限且辐角的正切tan 1θ=-， 所以辐角的主值74θπ=． ——8分 23．（本小题满分10分）已知ABCD 是边长为4的正方形，,E F 分别是,AB AD 的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且2GC =．求点B 到平面EFG 的距离．【解】本小题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力．满分10分．如图，连结,,,,EG FG EF BD AC ，,EF BD 分别交AC 于,H O ．因为ABCD 是正方形，,E F 分别为AB 和AD 的中点，故//EF BD ，H 为AO 的中点．BD 不在平面EFG 上．否则，平面EFG 和平面ABCD 重合，从而点G 在平面ABCD 上，与题设矛盾．由直线和平面平行的判定定理知//BD 平面EFG ，所以BD 和平面EFG 的距离就是点B 到平面EFG 的距离． ——4分∵ BD AC ⊥，∴ EF HC ⊥．∵GC ⊥平面ABCD ，∴EF GC ⊥， ∴EF ⊥平面HCG ．∴ 平面EFG ⊥平面HCG ，HG 是这两个垂直平面的交线． ——6分作OK HG ⊥交HG 于点K ，由两平面垂直的性质定理知OK ⊥平面EFG ，所以线段OK 的长就是点B 到平面EFG 的距离． ——8分∵ 正方形ABCD 的边长为4，2GC =，∴ AC HO HC ===．∴ 在Rt HCG ∆中，HG =．由于Rt HKO ∆和Rt HCG ∆有一个锐角是公共的，故Rt HKO Rt HCG ∆∆．∴11HO GC OK HG ⋅===． 即点B 到平面EFG 的距离为11112． ——10分 注：未证明“BD 不在平面EFG 上”不扣分．【编者注】本题用“等积代换”，即B EFG G EFB V V --=亦可． 24．（本小题满分10分）根据函数单调性的定义，证明函数3()1f x x =-+在),(+∞-∞上是减函数． 【解】本小题考查函数单调性的概念，不等式的证明，以及逻辑推理能力．满分10分．证法一：在),(+∞-∞上任取12,x x 且12x x <， ——1分则33222112121122()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++ ——3分∵12x x <，∴120x x -<． ——4分当120x x <时，有22211221212()0x x x x x x x x ++=+->； ——6分当120x x ≥时，有2211220x x x x ++>；∴2221121122()()()()0f x f x x x x x x x -=-++<． ——8分即21()()f x f x <．所以，函数3()1f x x =-+在),(+∞-∞上是减函数． ——10分 证法二：在),(+∞-∞上任取12,x x 且12x x <， ——1分则33222112121122()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++． ——3分∵12x x <，∴120x x -<． ——4分∵12,x x 不同时为零，∴22120x x +>．又 ∵2222121212121()2x x x x x x x x +>+≥≥-，∴2211220x x x x ++>， ∴ 2221121122()()()()0f x f x x x x x x x -=-++<． ——8分即21()()f x f x <．所以，函数3()1f x x =-+在),(+∞-∞上是减函数． ——10分 25．（本小题满分12分）已知n 为自然数，实数1a >，解关于x 的不等式23log 4log 12log a a a x x x -++121(2)(2)log log ()3n nn a a n x x a ---+->-．【解】本小题考查对数、数列、解不等式等基本知识，以及分析问题的能力．满分12分．利用对数换底公式，原不等式左端化为231log 4log 12log (2)log n n a a a a x x x n x --+++-11(2)[124(2)]log log 3nn a a x x ---=-+++-=故原不等式可化为21(2)1(2)log log ()33n na a x x a ---->-． ① 当n 为奇数时，1(2)03n-->，不等式①等价于2log log ()a a x x a >-． ② 因为1a >，②式等价于⎪⎩⎪⎨⎧->>->a x x a x x 2200⎪⎩⎪⎨⎧<-->>⇔002a x x a xx x x ⎧>⇔<< ——6分因为102<，122+>=所以，不等式②的解集为1{|}2x x +<<． ——8分 当n 为偶数时，1(2)03n--<，不等式①等价于2log log ()a a x x a <-． ③ 因为1a >，③式等价于⎪⎩⎪⎨⎧-<>->a x x a x x 2200⎪⎩⎪⎨⎧>-->>⇔002a x x a x xx x ⎧>⎪⇔⎨<⎪⎩ 或x x ⎧>⎪⎨>⎪⎩ ——10分因为，，a aaa =>++<+-24241102411 ——12分 所以，不等式③的解集为1{|}2x x >． 综合得：当n为奇数时，原不等式的解集是1{}2x x <<； 当n为偶数时，原不等式的解集是{|x x >．26．（本小题满分12分）双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，过双曲线右焦点且斜率为53的直线交双曲线于,P Q 两点．若,4OP OQ PQ ⊥=，求双曲线的方程．【解】本小题考查双曲线性质，两点距离公式，两直线垂直条件，代数二次方程等基本知识，以及综合分析能力．满分12分．解法一：设双曲线的方程为22221x y a b-=．依题意知，点,P Q的坐标满足方程组)22221(x y a b y x c c ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩其中将②式代入①式，整理得22222222(53)6(35)0b a x a cx a c b c -+-+=．③ ——3分设方程③的两个根为12,x x ，若2253b a =，则b a = 即直线②与双曲线①的两条渐近线中的一条平行，故与双曲线只能有一个交点，与题设矛盾，所以22530b a -≠．根据根与系数的关系，有21222222212226533553a cx x b a a c a b x x b a ⎧+=-⎪⎪-⎨+⎪=-⎪-⎩——6分由于,P Q在直线)y x c =-上，可记为1122()),())P x x c Q x x c --． 由OP OQ ⊥121=-， 整理得212123()830c x x x x c +--=． ⑥将④，⑤式及222c a b =+代入⑥式，并整理得42243830a a b b +-=，2222(3)(3)0a b a b +-=．因为2230a b +≠，解得223b a =，所以2c a ==． ——8分由4PQ =，得2222121()))]4x x x c x c -+---=． 整理得21212()4100x x x x +--=． ⑦将④，⑤式及223b a =，2c a =代入⑦式，解得21a =． ——10分将21a =代入223b a = 得23b =． 故所求双曲线方程为2213y x -=． ——12分 解法二：④式以上同解法一． ——4分解方程③得22122353a c x b a-+=-，22222353a c x b a --=- ④ ——6分由于,P Q 在直线)y x c =-上，可记为1122()),())P x x c Q x x c --．由OP OQ ⊥，得1212))0x x x c x c +--=． ⑤ 将④式及222c a b =+代入⑤式并整理得42243830a a b b +-=，即2222(3)(3)0a b a b +-=．因2230a b +≠，解得223b a =． ——8分由4PQ =，得2222121()))]4x x x c x c -+---=． 即221()10x x -=． ⑥将④式代入⑥式并整理得22224(53)160b a a b --=． ——10分将223b a =代入上式，得21a =，将21a =代入223b a =得23b =．故所求双曲线方程为2213yx-=．——12分1991年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种较为常见的解法，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则．二、每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分．三、为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤．四、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．五、只给整数分数．。

1991年普通高等学校招生全国统一考试-数学(理工农医类)考生注意：这份试卷共三道大题(26个小题)．满分120分一、选择题：本大题共15小题；每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后括号内．(1) 已知sin α=54，并且α是第二象限的角，那么tg α的值等于 ( )(A) 34-(B) 43- (C) 43 (D) 34(2) 焦点在(－1，0)，顶点在(1，0)的抛物线方程是 ( )(A) y 2=8(x+1) (B) y 2=－8(x+1)(C) y 2=8(x －1)(D) y 2=－8(x －1)(3)函数y =cos 4x －sin 4x 的最小正周期是 ( )(A)2π(B) π(C) 2π(D) 4π(4)如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有( )(A) 12对 (B) 24对(C) 36对(D) 48对(5) 函数y =sin(2x+25π)的图像的一条对称轴的方程是 ( ) (A) x =－2π (B) x =－4π (C) 8π=x(D) 45π=x(6) 如果三棱锥S －ABC 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在△ABC 内，那么O 是△ABC 的( )(A) 垂心(B) 重心(C) 外心(D) 内心(7) 已知{a n }是等比数列，且a n >0，a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25，那么a 3+a 5的值等于 ( ) (A) 5(B) 10(C) 15(D) 20(8) 如果圆锥曲线的极坐标方程为ρ=θcos 3516-，那么它的焦点的极坐标为 ( )(A) （0，0），（6，π）(B) (－3，0)，(3，0)(C) （0，0），（3，0） (D) (0，0)，(6，0)(9) 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )(A) 140种(B) 84种(C) 70种(D) 35种(10) 如果AC <0且BC <0，那么直线Ax+By+C =0不通过．．． ( )(A) 第一象限(B) 第二象限(C) 第三象限(D) 第四象限(11) 设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )(A) 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 (B) 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 (C) 丙是甲的充要条件(D) 丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 (12) )]511)(411)(311([lim ---∞→n n (1)21+n )]的值等于 ( )(A) 0 (B) 1(C) 2(D) 3(13) 如果奇函数f (x )在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f (x )在区间[－7，－3]上是( )(A) 增函数且最小值为－5 (B) 增函数且最大值为－5 (C) 减函数且最小值为－5(D) 减函数且最大值为－5(14) 圆x 2+2x+y 2+4y －3=0上到直线x +y +1=0的距离为2的点共有 ( ) (A) 1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个(15) 设全集为R ，f (x )=sin x ，g (x )=cos x ，M ={x |f (x )≠0}，N ={x |g (x )≠0}，那么集合 {x |f (x )g (x )=0}等于( )(A) N M ⋂ (B)N M(C)N M(D)N M二、填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上．(16) arctg31+arctg 21的值是____________ (17) 不等式226-+x x <1的解集是___________(18) 已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是45°，那么这个正三棱台的体积等于(19) (ax+1)7的展开式中，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项．若实数a >1，那么a =(20) 在球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果P A 、PB 、PC 两两互相垂直，且P A ＝PB ＝PC ＝a ．那么这个球面的面积是三、解答题：本大题共6小题；共60分．(21) (本小题满分8分)求函数y =sin 2x+2sin x cos x+3cos 2x 的最小值，并写出使函数y 取最小值的x 的集合． (22) (本小题满分8分)已知复数z =1＋i , 求复数1632++-z z z 的模和辐角的主值．(23) (本小题满分10分)已知ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且GC ＝2．求点B 到平面EFG 的距离．(24) (本小题满分10分)根据函数单调性的定义，证明函数f (x )=－x 3+1在(－∞，+∞)上是减函数． (25) (本小题满分12分)已知n 为自然数，实数a >1，解关于x 的不等式 log a x －log 2a x ＋12log 3a x ＋…＋n (n －2)1-n log n a x >3)2(1n--log a (x 2－a )(26) (本小题满分12分)双曲线的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，过双曲线右焦点且斜率为53的直线交双曲线于P 、Q 两点．若OP ⊥OQ ，|PQ |=4，求双曲线的方程．1991年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种较为常见的解法，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则．二、每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分．三、为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤．四、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 五、只给整数分数．一、选择题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分45分．(1)A (2)D (3)B (4)B (5)A (6) D (7)A (8)D (9)C (10)C (11)A (12)C (13) B (14)C (15)D二、填空题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分15分．(16) 4 (17) {x |－2<x <1} (18) 314 (19) 1+510(20) 3πa 2三、解答题(21) 本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质．满分8分． 解：y =sin 2x+2sin x cos x+3cos 2x=(sin 2x ＋cos 2x )＋2sin x cos x +2cos 2x ——1分 =1sin2x (1＋cos2x ) ——3分=2＋sin2x +cos2x =2+2sin(2x+4π)． ——5分 当sin(2x+4π)=－1时y 取得最小值2－2． ——6分 使y 取最小值的x 的集合为{x |x =k π－83π，k ∈Z }． ——8分(22) 本小题考查复数基本概念和运算能力．满分8分．解：1632++-z z z =116)1(3)1(2++++-+i i i=ii+-23 ——2分 =1－i ． ——4分1－i 的模r=22)1(1-+=2．因为1－i 对应的点在第四象限且辐角的正切tg θ=－1，所以辐角的主值 θ=47π． ——8分 (23) 本小题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力．满分10分．解：如图，连结EG 、FG 、EF 、BD 、AC 、EF 、BD 分别交AC 于H 、O ． 因为ABCD 是正方形，E 、F 分别为AB 和AD 的中点，故EF ∥BD ，H 为AO 的中点．BD 不在平面EFG 上．否则，平面EFG 和平面ABCD 重合，从而点G 在平面的ABCD 上，与题设矛盾．由直线和平面平行的判定定理知BD ∥平面EFG ，所以BD 和平面EFG 的距离就是点B 到平面EFG 的距离． ——4分∵ BD ⊥AC ，∴ EF ⊥HC ． ∵ GC ⊥平面ABCD ， ∴ EF ⊥GC ， ∴ EF ⊥平面HCG ．∴ 平面EFG ⊥平面HCG ，HG 是这两个垂直平面的交线． ——6分 作OK ⊥HG 交HG 于点K ，由两平面垂直的性质定理知OK ⊥平面EFG ，所以线段OK 的长就是点B 到平面EFG 的距离． ——8分∵ 正方形ABCD 的边长为4，GC =2， ∴ AC=42，HO =2，HC =32． ∴ 在Rt △HCG 中，HG =()2222322=+．由于Rt △HKO 和Rt △HCG 有一个锐角是公共的，故Rt △HKO ∽△HCG ． ∴ OK =111122222=⨯=⋅HG GC HO ． 即点B 到平面EFG 的距离为11112． ——10分 注：未证明“BD 不在平面EFG 上”不扣分．(24) 本小题考查函数单调性的概念，不等式的证明，以及逻辑推理能力．满分10分． 证法一：在(－∞，+∞)上任取x 1，x 2且x 1<x 2 ——1分则f (x 2) －f (x 1) =3231x x -= (x 1－x 2) (222121x x x x ++) ——3分 ∵ x 1<x 2，∴ x 1－x 2<0． ——4分当x 1x 2<0时，有222121x x x x ++= (x 1+x 2) 2－x 1x 2>0； ——6分 当x 1x 2≥0时，有222121x x x x ++>0；∴ f (x 2)－f (x 1)= (x 1－x 2)(222121x x x x ++)<0． ——8分 即 f (x 2) < f (x 1)所以，函数f (x )=－x 3+1在(－∞，+∞)上是减函数． ——10分 证法二：在(－∞，+∞)上任取x 1，x 2，且x 1<x 2， ——1分则 f (x 2)－f (x 1)=x 31－x 32= (x 1－x 2) (222121x x x x ++)． ——3分∵ x 1<x 2，∴ x 1－x 2<0． ——4分 ∵ x 1，x 2不同时为零， ∴ x 21＋x 22>0． 又 ∵ x 21＋x 22>21(x 21＋x 22)≥|x 1x 2|≥－x 1x 2∴ 222121x x x x ++>0， ∴ f (x 2)－f (x 1) = (x 1－x 2) (222121x x x x ++)<0． ——8分 即 f (x 2) < f (x 1)．所以，函数f (x )=－x 3+1在(－∞，+∞)上是减函数． ——10分 (25) 本小题考查对数、数列、解不等式等基本知识，以及分析问题的能力．满分12分．解：利用对数换底公式，原不等式左端化为 log a x －4·2log log a x a a ＋12·3log log a x a a ＋…＋n (－2)n －1 ·na a a x log log=[1－2＋4＋…＋(－2)n －1] log a x=3)2(1n--log a x故原不等式可化为3)2(1n --log a x >3)2(1n--log a (x 2－a )． ①当n 为奇数时，3)2(1n-->0，不等式①等价于log a x >log a (x 2－a )． ② 因为a >1，②式等价于⎪⎩⎪⎨⎧->>->a x x a x x 2200 ⎪⎩⎪⎨⎧<-->>⇔002a x x ax x ⎪⎩⎪⎨⎧++<<+->⇔24112411a x a a x ——6分因为2411a +-<0， 2411a ++>24a=a ，所以，不等式②的解集为{x |a <x <2411a++}． ——8分当n 为偶数时，3)2(1n--<0，不等式①等价于log a x >log a (x 2－a )． ③ 因为a >1，③式等价于⎪⎩⎪⎨⎧-<>->a x x a x x 2200 ⎪⎩⎪⎨⎧>-->>⇔002a x x ax x ⎪⎩⎪⎨⎧+-<>⇔2411a x a x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧++>>2411a x ax ——10分 因为，，a aa a =>++<+-24241102411 ——12分 所以，不等式③的解集为{x |x >2411a++}．综合得：当n 为奇数时，原不等式的解集是{x|2411ax a ++<<}；当n 为偶数时，原不等式的解集是{x |2411ax ++>}(26) 本小题考查双曲线性质，两点距离公式，两直线垂直条件，代数二次方程等基本知识，以及综合分析能力．满分12分．解法一：设双曲线的方程为2222by a x -=1．依题意知，点P ，Q 的坐标满足方程组① ② ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-==-222222531b ac c x y b y ax 其中 将②式代入①式，整理得(5b 2－3a 2)x 2+6a 2cx －(3a 2c 2+5a 2b 2)=0．③ ——3分设方程③的两个根为x 1，x 2，若5b 2－3a 2=0，则a b =53，即直线②与双曲线①的两条渐近线中的一条平行，故与双曲线只能有一个交点同，与题设矛盾，所以5b 2－3a 2≠0．根据根与系数的关系，有22221356a b ca x x -=+ ④222222213553ab b ac a x x -+-= ⑤ ——6分 由于P 、Q 在直线y =53(x －c )上，可记为 P (x 1，53(x 1－c ))，Q (x 2，53(x 2－c ))． 由OP ⊥OQ 得11)(53x c x -·22)(53x c x -=－1， 整理得3c (x 1+x 2)－8x 1x 2－3c 2=0．⑥将④，⑤式及c 2=a 2+b 2代入⑥式，并整理得 3a 4+8a 2b 2－3b 4=0， (a 2+3b 2)(3a 2－b 2)=0． 因为a 2+3b 2≠0，解得b 2=3a 2，所以 c =22b a +=2a ． ——8分 由|PQ |=4，得(x 2－x 1)2=[53(x 2－c )－53(x 1－c )]2=42． 整理得(x 1+x 2)2－4x 1x 2－10=0． ⑦将④，⑤式及b 2=3a 2，c =2a 代入⑦式，解得a 2=1． ——10分 将a 2 =1代入b 2=3a 2 得 b 2=3．故所求双曲线方程为x 2－32y =1． ——12分解法二：④式以上同解法一． ——4分解方程③得x 1=222235403a b ab c a -+-，x 2=222235403ab abc a --- ④ ——6分 由于P 、Q 在直线y =53(x －c )上，可记为P (x 1，53(x 1－c))，Q (x 2，53(x 2－c))． 由OP ⊥OQ ，得x 1 x 2＋53(x 1－c)·53(x 2－c)=0． ⑤ 将④式及c 2=a 2b 2代入⑤式并整理得 3a 4+8a 2b 2－3b 4=0， 即 (a 2+3b 2)(3a 2－b 2)=0．因a 2+3b 2≠0，解得b 2=3a 2． ——8分 由|PQ |=4，得(x 2－x 1)2+[53(x 2－c)－53(x 1－c)]2=42． 即 (x 2－x 1)2=10．⑥将④式代入⑥式并整理得(5b 2－3a 2)2－16a 2b 4=0． ——10分 将b 2=3a 2代入上式，得a 2=1， 将a 2=1代入b 2=3a 2得b 2=3． 故所求双曲线方程为x 2－32y =1． ——12分。

1991年全国普通高等学校招生统一考试上海物理试题考生注意：1．全卷共七大题，在120分钟内完成，2．第五、六、七题要求写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案，而未写出主要演算过程的，不能得分。

有数字计算的问题，答案中必须明确写出数值和单位。

一、(32分)单项选择题。

每小题4件，每小题只有一个正确答案，把正确答案前面的字母填写在题后的方括号内。

选对的得4分：选错的或不答的，得0分；选了两个或两个以上的，得0分。

填写在方括号外的字母，不作为选出的答案，(1)氡222衰变为钋218的半衰期为3，8天。

充氡222经7．6天后还剩下(A)10克。

(B)5克。

(C)2．6克。

(D)1.25克。

[ ](2)a、b、c三球自同一高度以相同速率抛出，a球竖直上抛，b球水平抛出，c球竖直下抛。

设三球落地时的速率分别为v a、v b、v C则(A)v a>v b>v C。

(B) v a=v b>v C。

(C) v a>v b=v C。

(C) v a=v b=v C[ ](3)一定质量的理想气体处于某一初始状态，现要使它的温度经过状态变化后，回到初始状态的温度，用下列哪个过程可以实现？(A)先保持压强不变而使体积膨胀，接着保持体积不变而减小压强。

(B)先保持压强不变而使体积减小，接着保持体积不变而减小压强。

(C)先保持体积不变而增大压强，接着保持压强不变而使体积膨胀。

(D)先保持体积不变而减小压强，接着保持压强不变而使体积减小。

[ ](4)质量相同的三个小球a、b、c在光滑水平面上以相同的速率运动，它们分别与原来静止的三个小球A、B、C相碰（a与A相碰，b与B相碰，c与C相碰）。

碰后，a球继续沿原来方向运动；b球静止不动；c球被弹回而向反方向运动。

这时，A、B、C三球中动量最大的是(A)A球。

(B)B球。

(C)C球。

(D)D球。

[ ](5)图1所示三个点电荷q1、q2、q3固定在一直线上，q2与q3的距离为q1与q2距离的2倍，每个电荷所受的静电力的合力均为零。

1991年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷）一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.1.已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于 A ．43- B ．34- C ．34 D ．432.焦点在(1,0)-,顶点在(1,0)的抛物线方程是A ．28(1)y x =+B ．28(1)y x =-+C ．28(1)y x =-D ．28(1)y x =--3.函数cos 4sin 4y x x =-的最小正周期是A ．2π B ．π C ．2π D ．4π 4.如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有A ．12对B ．24对C ．36对D ．48对5.函数5sin(2)2y x π=+的图像的一条对称轴的方程是 A ．2x π=- B ．4x π=- C ．8x π= D ．54x π= 6.如果三棱锥S ABC -的底面是不等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相 等,且顶点S 在底面的射影O 在ABC ∆内,那么O 是ABC ∆的A.垂心B.重心C.外心D.内心7.已知{}n a 是等比数列,且0n a >,243546225a a a a a a ⋅++⋅=,那么35a a +的值等于A.5B.10C.15D.208.如果圆锥曲线的极坐标方程为1653cos ρθ=-，那么它的焦点的极坐标为 A ．(0,0)，(6,)π B ．(3,0)-，(3,0)C ．(0,0)，(3,0)D ．(0,0)，(6,0)9.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要有甲型与乙型电视机各1台,则不同的取法共有A.140种B.84种C.70种D.35种10.如果0AC <且0BC <，那么直线0Ax By C ++=不经过A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限11.设甲、乙、丙是三个命题.如果甲是乙的必要条件;丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件C.丙是甲的充要条件D.丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件 12. 1111lim((1)(1)(1)(1))3452n n n →∞----+的值等于 A.0 B.1 C.2 D.313.如果奇函数()f x 在区间[]3,7上是增函数且最小值为5,那么()f x 在区间[]7,3--上是A.增函数且最小值为5-B.增函数且最大值为5-C.减函数且最小值为5-D.减函数且最大值为5-14.圆222430x x y y +++-=上到直线10x y ++=的点共有A.1个B.2个C.3个D.4个15.设全集为R ,()sin f x x =,()cos g x x =,{}()0M x f x =≠,{}()0n x g x =≠,那么集合{}()()0x f x g x =等于 A ．M N B ．M N C ．M N D ．M N二、填空题:把答案填在题中横线上.16.11arctan arctan 32+的值是 . 17.不等式2261x x +-<的解集为 .18.已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是 45，那么这个正三棱台的体积等于 .19.在7(1)ax +的展开式中，3x 的系数是2x 的系数与4x 的系数的等差中项，若实数1a >，那么a = .20.在球面上有四个点,,,P A B C ，如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且PA PB = PC a ==，那么这个球面的面积是 .三、解答题.21.求函数sin 22sin cos 3cos 2y x x x x =++的最小值,并写出使函数y 取最小值的x 的集合.22.已知复数1z i =+，求复数2361z z z -++的模和辐角主值. 23.已知ABCD 是边长为4的正方形，,E F 分别是AB 、AD 的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且2GC =,求点B 到平面EFG 的距离.24.根据函数单调性的定义，证明函数3()1f x x =-+在(,)-∞+∞上是减函数.25.已知n 为自然数,实数1a >，解关于x 的不等式 23121(2)log 4log 12log (2)log log ()3n n n a a a a a x x x n x x a ----+++->-. 26.双曲线的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，过双曲线的右焦点且斜率为,P Q 两点，若OP OQ ⊥,4PQ =,求双曲线的方程.。