兰交课件系统辨识 第2章(输入信号的设计与选择)

0
(2.3.9)
系统辨识模拟方块图如图2.5所示。由于x(t)和 不相关，故 和 不相关，积分器输出 为 。（相关法）
相关法的优缺点：
优点： 不要求系统严格地处于稳定状态 输入的白噪声对系统的正常工作影响不大 对系统模型不要求验前知识 缺点： 噪声的非平稳会影响辨识精度 用白噪声作为输 入 信号时要求较长的观测时 间
( i 6)
i 1 12
（2.2.21）
（2）变换抽样法：设 均匀分布随机变量，则
是2个互相独立的（0，1）
1 2 1 ( 2 ln 1 ) cos 22 1 2 (2 ln 1 ) 2 sin 22
是相互独立、服从N(0,1)分布的随机变量。
交换律
分配律
0
1 1
1
0 1
1
1 0
2.3.2 M序列的产生

设有一无限长的二元序列x1 x2 … xp xp+1 …
x i a1 x i 1 a 2 x i 2 a p x i p


i=p+1,p+2,…
a1，a2，…ap-1取值为0或1；系数ap为1
)
采用极大似然法辨识时，如果辨识方法使得 模型参数的估计值是渐近有效的，最优输入信号 就是使Fisher信息矩阵的逆达到最小的一个标量函 数。这个标量函数可以作为评价模型精度的度量 函数，记作
J (M
1
)
（2.1.1）
T
Mθ是Fisher信息矩阵，且
ln L ln L M E y| (2.1.2)
2.2.2 白噪声序列
白噪声过程的一种离散形式。如果随机序列 均值为0，并且是两两不相关的，对应的自相关函数 为
R (l ) l , l 0,1,2, （2.2.7）
2
式中
为克罗内克（kronecker） 符号，即
1, l 0 l 0, l 0
（2.2.8）
2.3 伪随机二位式序列—M序列的产生及性质
白噪声作为辨识输入信号可以保证获得较 好的辨识效果，但工程上难以实现。M序列是 一种很好的辨识输入信号，它具有近似白噪声 的性质，不仅可以保证有较好的辨识效果，而 且工程上又易于实现。 M序列是伪随机二位式序列的一种形式,自 相关函数接近脉冲函数，输入净扰动小；幅值、 周期时钟节拍易控制。
2.3.2 M序列的产生
（2.2.2）
且



(t )dt 1
数
白噪声过程w(t) 的平均功率谱密度为常 ，即
S w ( ) ,
2
可见，白噪声过程的功率在 的全频 段内均匀分布。 白噪声只是一种理论上的抽象，在物理 上是不可实现的。在实际应用中，如果Rw(t) 接近δ函数，可近似认为该过程是白噪声。
1 N
u (k i) 1, i 1,2,, n
2 k 1
N
（2.1.3）
式中：n是模型阶次；N为数据长度。
使D-最优准则达到最小值，即
J D ln det( M ) min
（2.1.4）
的输入信号称为D-最优输入信号。 如果系统的输出数据序列是独立同分布的高斯随 机序列，则D-最优输入信号是具有脉冲式自相关函数 的信号，即
用
乘以式（2.3.2）等号两边得
应函数g(τ) y(t 。 E[ x(t )
Rxy (x( E[ ) t
1
)] ( ) E[ ) t1 K ( 2 ) 2 Rx ( 1 K ( ),0Rg( x( ) xt( )]d ) x

)0y (t( ) KR t 2 ) ) Kg ( ) g 2 )] ( xy ( d t1
乘同余法得到的{Xi}服从均匀分布。除以M则为[0，1] 均匀分布。 是伪随机数序列，循环周期可达 。 周期为2k-2

（2）混合同余法。混合同余法产生伪随机数的递推同 余式为

混合同余

式中： A=2n+1，，k为大于2的整数； 2≤n≤34， 即 M=2k ,，其中n为满足关系式 k>2 c正整数，X0非负整数 c为正整数。初值 为非负整数。令

2
~ N (0,1)
（2.2.18）
比较式（2.2.17）和（2.2.18），则有

2
i

i 1
N
N 2
（2.2.19）
N 12


i 1
N
i
N
N 2
12
（2.2.20）
式中： 为（0，1）均匀分布随机数； 为 正态分布随机数。当N=12时， 的统计特性即可比 较理想，这时式（2.2.20）可简化为
（2.3.8）
τ表示2个数值间的采样周期个数， τ =0，1，2，…，
如果在系统正常运行时进行测试，则系统的输入 由正常输入 和白噪声x(t)两部分组成，输出由 和y(t)组成，其中 为由 引起的输出，y(t) 为由x(t)引起的输出，并且
y (t ) g ( ) x (t )d
注：如果采用周期为T的伪随机噪声作为输入，则可使 自相关函数和互相 关函数的计算变得简单。
2.3.2 M序列的产生

M序列的产生
模2和运算 结合律
Z X Y
X 0
Y 0
Z 0
X 1 ( X 2 X 3 ) ( X 1 X 2 ) X 3
X Y Y X
a( X Y ) a X a Y ( X Y )a
2
1 2
1 12
Var i
(
i
) p ( i )d i
根据中心极限定理，当
i N *
x
i 1 N
时
i
N
N 2 ~ N (0,1)
N
2
i 1
（2.2.17）
N 12
如果 是所要产生的正态分布随机变量，经 标准化处理，则
2.3.1 伪随机噪声
用伪随机噪声作为输入信号，自相关函数和互相 关函数的计算都比采用白噪声时简单。 对一个SISO系统：
y (t ) g ( ) x(t )d
0
设 是均值为0的平稳随机过程，则 也是均 值为0的平稳随机过程。对于时刻 ，系统的输出可 记为 y (t2 ) g ( ) x(t 2 )d (2.3.2)
上式中，y表示系统输出观测数据的集合，L为所选取 的似然函数。
常选用的标量函数形式有
J tr ( M )
1
( A最优准则 )
J det( M )
J tr (WM )
1
1
(D-最优准则)
W为非负矩阵。根据所选用的标量函数形式可求出 不同的最优输入信号。
对D-最优准则有如下结论（Goodwin and Payne,1977）:如果模型结构是正确的，且参 数估计值 是无偏最小方差估计，则参数估计 值 的精度通过Fisher信息矩阵 依赖于输 入信号。 当输入信号的功率约束条件为
（2.2.10）
由于计算机的字长有限，不可能产生真正的连续 （0，1）均匀分布随机数。通常用数学方法产生的 （0，1）均匀分布随机数叫做伪随机数。具有速度 快、占用内存小等优点。 伪随机数的产生方法有：乘同余法和混合同余法。
(1)乘同余法。这种方法先用递推同余式产生正整数 序列 ，即
（2.2.11） 乘同余法： 式中：M为2的方幂，即 ，k为大于2的整数； Xi=(A Xi-1)(mod M) M=2k ，k>2的整数 或 ，且A不能太小；初值 取 A乘以Xi-1，再除以M，余数即为Xi 正奇数，例如取 =1。 A=3(mod 8) 或 A=5(mod 8) 再令 即A为除8余3或余5的数，不能太小，可取179。 （2.2.12） X0取正奇数 则
适当选取a1，a2，…ap-1,使序列以（2P-1）的最 长周期循环－>M序列。
2.3.2 M序列的产生
+ + + + +
xi c1 移位脉冲CP 置初始状态
a1
a2
ap-2
ap-1
xi-p c2 ... xi-2 xi-p+2 cp-1 xi-p+1 cp
xi-1
CP C1
C2 0
C3 1
C4 0
ξi=Xi/M 周期为2k的伪随机数

Xi=A Xi-1+c (mod M)
（2.2.13）
的整数；
则
是循环周期为
(2.2.14) 的伪随机数序列。
（二）正态分布随机数的产生 （1）统计近似抽样法:设 布的随机数序列，则有
E i
2
是（0，1）均匀分

0
1 0
1
i
p ( i )d i
(2.3.7)
0
如果对x(t) 和y(t) 进行间隔采样，可得序列
xi x(t i ), yi y(t i ), i 1,2,..., N 1
设采样周期为Δ，则
xi x(ti ) yi y (ti ) 1 N 1 Rx ( ) xi xi N i 0 1 N 1 Rxy ( ) xi yi N i 0
0
意义： 如果知道了Rx (τ) 和Rxy (τ) ，就可以确定脉冲响应 说明:对于白噪声输入，g (τ)与Rxy(τ)只差一个 x(t1 ) (τ)。 函数gy(t2 ) g ( ) x(t1 ) x(t2 x(t) 与 y(t).3.3) 常数倍。这样，只要记录 )d (2 的值，并计 0 难点：积分方程，难于求解。 对式（2.3.3）等号两边取数学期望得 算它们的互相关函数Rxy(τ) ，即可求得脉冲响 特例：如果输入为白噪声。即