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H n,m Zn U n Em Vm
其中，L为数据的长度，则模型可以写成：
z n H n,m v n
ˆ (H n,mH n,m )1H n,mzn
H n,m 中的 Em 和 Vm 元素不可测，只好用相应的估计值代替。
eˆ(k ) z(k ) z (k )aˆ u (k)bˆ vˆ(k ) eˆ(k) eˆ(k )cˆ v (k )dˆ
利用行列式比估计模型的阶次的方法称为行列式比定阶法。这种 方法的基本思想类似于Hankel矩阵判秩定阶法，但是行列式比定阶法 利用的是输入输出数据。
13.3.1 无噪声情况
n
n
考察以下式子描述的系统模型： y(k) ai y(k i) biu(k i)
i 1
i 1
记：H n Yn U n
e(n)
e(n 1) . e(n m 1)
Em
e(n 1) .
e(n)
.
e(n
m
2)
.
.
.
e(n L 1) e(n L 2) . e(n m L)
v(n)
v(n 1) . v(n m 1)
Vm
v(n 1) .
v(n)
.
v(n
m
2)
.
.
.
v(n L 1) v(n L 2) . v(n m L)
13.3.2 白噪声情况
白噪声的定阶方法与无噪声一致。
13.3.3 有色噪声情况
如果过程必须采用如下的模型描述
n
n
z(k) ai z(k i) biu(k i) e(k )
i 1
i 1
m
m
e(k) cie(k i) v(k ) div(k i)
i 1
i 1
设：
z(n) z(n 1), z(n 2),...,z(n L) v(n) v(n 1),v(n 2),...,v(n L) a a1, a2 ,...,an b b1, b2 ,...,bn c c1, c2 ,...,cn d d1, d2 ,...,dn
其中：
y(n)
Yn
y(n 1)
y(n
L
1)
y(n 1) y(n)
y(n L 2
y(1)
y(2)
y(L)
u(n)
u(n 1)
Un
u(n 1)
u(n)
u(n L 1) u(n L 2
u(1) u(2)
u(L)
L 为数据的长度，u(k), y(k)是系统的输入和输出变量。
1
L2l 2
det H(l, k)
Dl
L 2l 1
2 k 1
L2l
det H (l
1, k)
L 2l k 1
Dl
n0
l
13.2.3 强噪声情况
如果过程的脉冲响应序列记作 g(1), g(2),...,g(L) 含有较强的噪声，
为了还能可靠地确定过程模型的阶次，构造Hankel阶次时，不能直接 采用脉冲响应序列，可用脉冲响应序列的自相关函数构成如下的Hankel 矩阵：
zn H nn vn
ˆ (H nˆ H nˆ )1 H nˆ zn0
其中： nˆ 表示模型的阶次估计值；n0 为过程的真实阶次。于是
模型的输出残差可以写成：
~znˆ zn0 Hnˆˆnˆ ~x vn0
输出残差的方法为：
~x Hn0 n0 Hnˆˆnˆ
V1 (nˆ )
1 L
~znˆ ~znˆ
第13章 模型阶次的确定 13.1 引言 13.2 根据Hankel矩阵的秩估计模型的阶次 13.3 利用行列式比估计模型的阶次 13.4 利用残差的方差估计模型的阶次
13.1 引言
各种模型参数辨识方法一般需要假定模型的结构已 知，实际上在多数情况下这是不现实的。当没有模 型结构的先验知识时，需要利用系统的输入输出数 据来确定模型的结构。这就是所谓的模型结构辨识 问题。对单输入单输出(SISO) 系统来说，模型结构 辨识也就是模型阶次辨识。
判定过程的模型阶次的步骤是：
1、构造Hankel矩阵H (l, k ) ，对给定的 l 值，计算 k 取
1 至 L-2l +2 时Hankel矩阵的行列式。
2、若 l 从1增加到 nˆ ，对所有的 k ，都有 detH (l, k) 0; 而 l 增加至 nˆ 1 后，对所有的 k ，都有detH (l, k) 0;
Байду номын сангаас
(k)
(k 1) . (k l 1)
H (l, k )
(k 1)
.
(k 2) .
.
.
(k l)
.
(k
l
1)
(k l)
.
(k 2l 2)
其中：
(k) Rg (k)
Rg (0)
Rg (k )
1 Lk
Lk i 1
g(i)g(i k )
13.3 利用行列式比估计模型的阶次
，这说明Hankel矩阵在 l nˆ 1 处由非奇异阵变成奇异 阵，由此可以判定过程的模型的阶次 n0 nˆ 。
13.2.2 弱噪声情况
设过程的脉冲响应序列记作 g(1), g(2),...,g(L) 含有噪声，则 即使 l 已经增加到 n0 1 ，但对所有的 k ，Hankel
矩阵的行列式都不会绝对为零。这样就难以按照无噪声的情况来 确定模型的阶次。如果脉冲响应所含的噪声比较小，则可以引进 Hankel矩阵的平均比值：
~x
~x )
P
lim (
L
1 L
v v n0 n0
)
2
n0
P
lim{
L
1 L
Y n0
E n0
U n0
vn0
}
2P
Llim(ˆnˆ
)P
1 lim{ L L
Ynˆ Enˆ
U
nˆ
vn0
}
P
Llim[V1 (nˆ )]
P
lim (
L
1 L
~x
~x )
P
lim (
L
1 L
v v n0 n0
13.4.1 残差方差分析
考虑如下模型 A(z 1 )z(k) B(z 1 )u(k) v(k)
式中u(k)和z(k) 分别为模型输入和输出变量；v(k) 是均值为
零、方差为
2 v
不相关随机噪声；A(z 1 )
和
B(z 1 )为迟延
算子多项式，记作
A(z B(z
1 1
) )
1 b1z
a1z 1 1 b2 z
这一结果证明如下：考虑一个可观可控的SISO过程
x(k 1) Ax(k) bu(k) z(k) cx(k)
其可观性和可控性矩阵的秩皆等于n0 。这意味着可观性矩阵 （或可控性矩阵）中的 n0 行（或 n0列）是线性独立的。若在 可观性矩阵（或可控性矩阵）中再增加若干行向量 cAl 或列 向量 Alb ，其中 l n0 ，则可观性矩阵（或可控性矩阵）
a2 z 2 2
an bn z n
z
n
其中n为模型阶次。
z(k )
B( A(
z z
1 1
) )
u
(k
)
1 A( z 1)
v(k )
y(k) e(k)
设：
n a1,a2,...,an,b1,b2,...,bn
zn z(1),z(2),...,z(L)
vn v(1),v(2),...,v(L)
z(0) z(1) . z(1 n) u(0) u(1) . u(1 n)
H
n
z(1) .
z(0) . z(2 n) u(1) ... .
u(0) . u(2 n) . . .
z(L 1) z(L 2) . z(L n) u(L 1) u(L 2) . u(L n)
Zn Un
Yn En Un
当输入是充分持续激励信号时，有 rank U n n 。
但对于不同的 n， Yn 不一定是满秩的。受到系统模型的制约， Yn 的秩不会大于 n0 （系统真实阶次）。为此有
rankHnˆ min( nˆ n0 ,2nˆ)
其中， nˆ 为模型的阶次估计值。
当 nˆ n0 时， rankH nˆ 2nˆ, H nˆ 一定是满秩的； 当 nˆ n0 时，rankH nˆ nˆ n0 ，就是说 H nˆ 的 秩小于 H nˆ 的列数，故 H nˆ 是奇异阵。根据这一事实，有 如下结论： 当 nˆ n0 时，乘积矩矩阵
1 L
(~x
~x
2
n0
H
n0
vn0
2ˆnˆ
H
nˆ
vn0
v n0
vn0
)
P
Llim[V1 (nˆ ) ]
P
lim (
L
1 L
~x
~x )
P
lim (
L
1 L
v v n0 n0
)
2
n0
P
1 lim{ L L
H
n0
vn0
}
2P
Llim(ˆnˆ
)P
1 lim{ L L
H
nˆ
vn0 }
P
lim ( 1 L L
Alb
P 利用矩阵秩的一个性质：设 是一个正则矩阵，则有
；
rankXP rankX
及西勒韦斯特不等式：
rankX rankY n rankXY min( rankX, rankY)
其中， X R mn ,Y R nq
13.2.1 无噪声情况
