大学物理3.4 平面简谐波 波的能量和强度.

《普通物理》课程标准1. 课程基本信息课程代码：课程归口：电子信息工程技术专业适用专业：电子信息工程技术学时数：64学分：4先修课程：高等数学2. 课程性质与地位大学物理是高等院校非物理类理工科各专业学生一门重要的通识性必修基础课。

物理学是研究物质的基本结构、基本运动形式、相互作用的自然科学。

它的基本理论渗透在自然科学的各个领域，应用于生产技术的许多部门，是其他自然科学和工程技术的基础。

课程所教授的基本概念、基本理论和基本方法是构成学生科学素养的重要组成部分，是一个科学工作者和工程技术人员所必备的。

该课程在培养学生的探索精神和创新意识等方面，具有其他课程不能替代的重要作用。

3.课程的内容与要求第一部分力学.第1章质点运动学1.1质点运动的描述1.2加速度为恒矢量时的质点运动1.3圆周运动1.4相对运动基本要求：1.深入地理解质点、位移、速度和加速度等重要概念，深入理解质点的运动。

2.分析加速度为恒矢量时的质点运动方程。

3.明确圆周运动中角位移、角速度、切向加速度、法向加速度的关系。

重点与难点:1.加速度为恒矢量时质点运动方程的描写。

2.质点圆周运动的分析。

第2章动力学基本定律2.1牛顿定律2.2物理量的单位和量纲2.3几种常见的力2.4惯性参考系力学相对性原理2.5质点和质点系的动量定理2.6动量守恒定律2.7动能定理2.8保守力与非保守力势能2.9功能原理机械能守恒定律2.10完全弹性碰撞完全非弹性碰撞2.11能量守恒定律基本要求：1.清晰的理解牛顿第一定律、牛顿第二定律和牛顿第三定律。

2.熟练掌握几种常见力。

3.掌握物理量的单位和量纲。

4.理解惯性参考系和力学相对性原理,能列举出牛顿定律应用的例子。

5.掌握质点和质点系的动量定理。

6.熟练掌握动量守恒定律和动能定理。

7.掌握功能原理和机械能守恒定律。

8.清晰分辩出完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞重点与难点:1.牛顿三定律的应用。

2.参考系的选择。

大学物理波动学基础第4讲平面简谐波的能量平面简谐波的能量在波的传播过程中, 介质中各质元的能量如何变化？遵循怎样的规律？平面简谐波的能量波动的过程是能量传播的过程.介质中各质点在各自平衡位置附近振动动能介质间相互作用产生弹性形变势能一、平面简谐波传播时媒质中体积元的能量(一)能量设平面简谐波在密度为ρ的弹性介质中沿 x 正方向传播: ϕ = 0⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=u x t A y ωcos 在 x 处取体积元 ΔV ,质量为Vx S m ∆==∆ρρd当波传到此 ΔV 时, 有⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=∂∂=u x t A t y ωωsin v 所以体积元动能为()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛−∆=∆=∆u x t A V m E ωωρ2222k sin 2121v 经推导(略), 体积元弹性形变势能也为()⎟⎠⎞⎜⎝⎛−∆=∆u x t A V E ωωρ222p sin 21体积元的总能量为()⎟⎠⎞⎜⎝⎛−∆=∆+∆=∆u x t A V E E E ωωρ222pk sin (1)能量的传播 (2)(2)周期性的变化(二)能量变化同相位形变最大、振速最大（势能最大、动能最大）形变最小、振速为零（势能为零、动能为零）Oxyab(三)振动与波动中能量变化的区别振动: 能量守恒波动: 能量传播过程——时大时小, 不守恒 ——(一)能量密度单位体积内波的能量————能量密度 w :()⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∆∆==u x t A V E t x ωωρ222sin ，w w 能量密度的平均值:22021d 1ωρA t T T ==∫w w 机械波的能量与振幅平方, 频率平方以及介质密度成正比.二、波的能量密度 能流密度（二）能流和能流密度能流: 单位时间内垂直于波线方向流过某一面积的能量.uSP w =平均能流：uSP w = 能流密度: 在单位时间内垂直于波线方向的单位面积上通过的平均波的能量.SP I =()u SuS I ⋅=⋅=w w (1)大小:(2)方向:(3)单位：2mW −⋅(4)能流密度也称为波的强度。

机械波一、基本要求1、掌握描述平面简谐波的各物理量及各量之间的关系。

2、理解机械波产生的条件，掌握由已知质点的简谐振动方程得出平面简谐波的波动方程的方法及波动方程的物理意义。

理解波形图，了解波的能量、能流、能量密度。

3、理解惠更斯原理，波的相干条件，能应用相位差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件。

4、了解驻波及其形成条件，了解半波损失。

5、了解多普勒效应及其产生的原因。

二、主要内容1、波长、频率与波速的关系 /u T λ= u λν=2、平面简谐波的波动方程])(2cos[ϕλπ+-=xT t A y 或 ])(cos[ϕω+-=ux t A y 当0ϕ=时上式变为)(2cos λπx T t A y -= 或 )(cos uxt A y -=ω3、波的能量、能量密度，波的吸收（1）平均能量密度：2212A ϖρω= （2）平均能流密度：2212I A u u ρωϖ==（3）波的吸收：0x I I e α-=4、惠更斯原理介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波的波源，而在其后任意时刻，这些子波的包络就是新的波前。

5、波的叠加原理（1）几列波相遇之后，仍然保持它们各自原有的特征（频率、波长、振幅、振动方向等）不变, 并按照原来的方向继续前进, 好象没有遇到过其他波一样.（独立性） （2）在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和.（叠加性）6、波的干涉121220,1,221)0,1,2k k A A A k k A A A ϕπϕπ∆=±==+⎧⎪⎨∆=±+==-⎪⎩，… （干涉相长）（，… （干涉相消） 12120,1,2(21)0,1,22k k A A A k k A A A δλλδ=±==+⎧⎪⎨=±+==-⎪⎩，… （干涉相长），… （干涉相消） 7、驻波两列频率、振动方向和振幅都相同而传播方向相反的简谐波叠加形成驻波，其表达式为22coscos xY A t πωλ=8、多普勒效应（1）波源静止，观测者运动 00(1)V u υυ=+ （2）观测者静止，波源运动 0'suuu V υυλ==- （3）观测者和波源都运动 000'xu V u V u V υυλ++==- 三、习题与解答1、振动和波动有什么区别和联系？平面简谐波动方程和简谐振动方程有什么不同？又有什么联系？振动曲线和波形曲线有什么不同？解: (1)振动是指一个孤立的系统(也可是介质中的一个质元)在某固定平衡位置附近所做的往复运动，系统离开平衡位置的位移是时间的周期性函数，即可表示为)(t f y =；波动是振动在连续介质中的传播过程，此时介质中所有质元都在各自的平衡位置附近作振动，因此介质中任一质元离开平衡位置的位移既是坐标位置x ，又是时间t 的函数，即),(t x f y =． (2)在谐振动方程)(t f y =中只有一个独立的变量时间t，它描述的是介质中一个质元偏离平衡位置的位移随时间变化的规律；平面谐波方程),(t x f y =中有两个独立变量，即坐标位置x 和时间t ，它描述的是介质中所有质元偏离平衡位置的位移随坐标和时间变化的规律． 当谐波方程)(cos ux t A y -=ω中的坐标位置给定后，即可得到该点的振动方程，而波源持续不断地振动又是产生波动的必要条件之一．(3)振动曲线)(t f y =描述的是一个质点的位移随时间变化的规律，因此，其纵轴为y ，横轴为t ；波动曲线),(t x f y =描述的是介质中所有质元的位移随位置，随时间变化的规律，其纵轴为y ，横轴为x ．每一幅图只能给出某一时刻质元的位移随坐标位置x 变化的规律，即只能给出某一时刻的波形图，不同时刻的波动曲线就是不同时刻的波形图．2、波动方程0cos x y A t u ωϕ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦中的xu表示什么？如果改写为0cos x y A t u ωωϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，x u ω又是什么意思？如果t 和x 均增加，但相应的0x t u ωϕ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值不变，由此能从波动方程说明什么？解: 波动方程中的u x /表示了介质中坐标位置为x 的质元的振动落后于原点的时间；uxω则表示x 处质元比原点落后的振动位相；设t 时刻的波动方程为)cos(0ϕωω+-=ux t A y t 则t t ∆+时刻的波动方程为])()(cos[0ϕωω+∆+-∆+=∆+ux x t t A y t t其表示在时刻t ，位置x 处的振动状态，经过t ∆后传播到t u x ∆+处．所以在)(uxt ωω-中，当t ，x 均增加时，)(uxt ωω-的值不会变化，而这正好说明了经过时间t ∆，波形即向前传播了t u x ∆=∆的距离，说明)cos(0ϕωω+-=uxt A y 描述的是一列行进中的波，故谓之行波方程．3、在驻波的两相邻波节间的同一半波长上，描述各质点振动的什么物理量不同，什么物理量相同？解: 取驻波方程为vt x A y απλπcos 2cos2=，则可知，在相邻两波节中的同一半波长上，描述各质点的振幅是不相同的，各质点的振幅是随位置按余弦规律变化的，即振幅变化规律可表示为x A λπ2cos2．而在这同一半波长上，各质点的振动位相则是相同的，即以相邻两波节的介质为一段，同一段介质内各质点都有相同的振动位相，而相邻两段介质内的质点振动位相则相反．4、已知波源在原点的一列平面简谐波，波动方程为y ＝A cos (Bt －Cx )，其中A ，B ，C 为正值恒量.求：(1)波的振幅、波速、频率、周期与波长；(2)写出传播方向上距离波源为l 处一点的振动方程；(3)任一时刻，在波的传播方向上相距为d 的两点的位相差. 解: (1)已知平面简谐波的波动方程)cos(Cx Bt A y -= (0≥x )将上式与波动方程的标准形式)22cos(λππυxt A y -=比较，可知： 波振幅为A ，频率πυ2B =， 波长C πλ2=，波速CB u ==λυ， 波动周期BT πυ21==．(2)将l x =代入波动方程即可得到该点的振动方程)cos(Cl Bt A y -=(3)因任一时刻t 同一波线上两点之间的位相差为 )(212x x -=∆λπϕ将d x x =-12，及Cπλ2=代入上式，即得 Cd =∆ϕ．5、图示为一平面简谐波在t ＝0时的波形图，求：（1）该波的波函数；（2）P 处质点的振动方程。

大学物理振动和波动 知识点总结1．简谐振动的基本特征（1）简谐振动的运动学方程: cos()x A t ϖϕ=+（2）简谐振动的动力学特征:F kx =-r r 或 2220d x x d t ϖ+= （3）能量特征： 222111222k p E E E mv kx KA =+=+=， k p E E = （4）旋转矢量表示: 做逆时针匀速转动的旋转矢量A r 在x 轴上的投影点的运动可用来表示简谐振动。

旋转矢量的长度A r 等于振动的振幅,旋转矢量的角速度等于谐振动的角频率,旋转矢量在0t =时刻与坐标轴x 的夹角为谐振动的初相。

2．描述简谐振动的三个基本量（1）简谐振动的相位：t ωϕ+，它决定了t 时刻简谐振动的状态；其中：00arctan(/)v x ϕω=-（2）简谐振动的振幅：A ，它取决于振动的能量。

其中：A =（3）简谐振动的角频率：ω，它取决于振动系统本身的性质。

3．简谐振动的合成(1)两个同方向同频率简谐振动的合成:合振动的振幅：A =合振幅最大： 212,0,1,2....k k ϕϕπ-==；合振幅最小：21(21),0,1,2....k k ϕϕπ-=+=（2）不同频率同方向简谐振动的合成：当两个分振动的频率都很大，而两个频率差很小时，产生拍现象，拍频为21ννν∆=-；合振动不再是谐振动，其振动方程为21210(2cos 2)cos 222x A t t ννννππ-+=（3）相互垂直的两个简谐振动的合成：若两个分振动的频率相同，则合成运动的轨迹一般为椭圆；若两个分振动的频率为简单的整数比，则合成运动的轨迹为李萨如图形。

（4）与振动的合成相对应，有振动的分解。

4．阻尼振动与受迫振动、共振：阻尼振动： 220220d x dx x dt dt βϖ++=；受迫振动 220022cos d x dx x f t dt dtβϖϖ++= 共振: 当驱动力的频率为某一特定值时,受迫振动的振幅将达到极大值.5．波的描述（1）机械波产生条件:波源和弹性介质（2）描述机械波的物理量:波长λ、周期T （或频率ν）和波速u ，三者之间关系为：uT λ= u λν=（3）平面简谐波的数学描述：(,)cos[()]xy x t A t uωϕ=±+； 2(,)cos()x y x t A t πωϕλ=±+；(,)cos 2()t x y x t A T πϕλ=±+ 其中，x 前面的±号由波的传播方向决定，波沿x 轴的正(负)向传播，取负(正)号。

大学物理》课程理论课教学大纲课程编码：0701002 课程性质：专业必修课学时：48 学分：4 学分适用专业：计算机网络专业动漫软件专业一、课程性质、目的和要求以物理学基础知识为内容的大学物理课是高等学校理科非物理专业学生的一门重要的必修基础课。

物理学是整个自然科学的基础，高等学校中开设物理课的目的是使学生对物理学的内容和方法、工作语言、概念和物理图象、其历史、现状和前沿等方面，从整体上有个全面的了解。

学好大学物理课不仅对学生在校的学习十分重要，而且对学生毕业后的工作和进一步学习相关新理论、新知识、新技术，不断更新知识都将发生深远的影响。

在大学物理课的各个教学环节中，都必须注意在传授知识的同时着重培养能力，使学生初步学习科学的思想方法和研究问题的方法，通过本课程的教学，应使学生初步具备以下能力。

1．能够独立地阅读相当于大学物理水平的教材，参考书和文献资料，并能理解其主要内容和写出条理较清晰的笔记、小结或读书心得。

2．了解各种理想物理模型并能够根据物理概念、问题的性质和需要，抓住主要的因素，略去次要要素，对所研究的对象进行合理的简化。

3．会运用物理学的理论、观点和方法、分析、研究、计算或估算一般难度的物理问题、并能根据单位、数量级与已知典型结果的比较，判断结果的合理性。

二、教学内容、要点和课时安排绪论（ 1 学时）教学目的：1、了解物理学科的性质、研究对象、研究方法。

第一篇力学（ 9 学时）第 1 章质点运动学（ 3 学时）教学目的：1、掌握位置适量、位移、速度、加速度等描述质点运动和运动变化的物理量。

能借助于直角坐标系计算质点在平面内运动时的速度、加速度。

能借助于极坐标计算质点作圆周运教学重点和难点：1、掌握位置矢量、位移、速度、加速度等描述质点运动和运动变化的物理量，以及它们之间的关系。

1.1参考系坐标系质点1.1.1参考系1.1.2坐标系1.1.3质点1.2质点的位矢、位移和速度1.2.1质点的位置坐标和位置矢量1.2.2运动方程与轨道1.2.3质点的位移1.2.4速度1.2.5速度的分量形式1.3 质点的加速度1.3.1加速度定义1.3.2加速度的分量形式1.3.3圆周运动2 1.4 运动描述的相对性伽利略变换1.4.1运动描述的相对性1.4.2伽利略变换思考题：1、位移和位置矢量有何区别？2、位移和路程有何区别？3、速度和速率有何区别？第 2章牛顿运动定律及牛顿力学中的守恒定律（6 学时）教学目的：1、掌握牛顿运动三定律及其适用范围。

平面简谐波的势能和动能简谐波是一类具有定常性质的波，它是瞬变电磁场的特殊表现形式，也是许多物理现象的基础，可以在自由空间或介质中传播。

简谐波具有电场、磁场和动能。

平面简谐波是一种特殊的简谐波，它由两个恒定方向的空间动量组成，这种波在空间传播时，每个点上的动量和电场都是一致的，因此它有一个特殊的势能和动能。

本文尝试研究平面简谐波的势能和动能的具体形式，并将它们与其他类型的波的动能和势能相比较。

二、势能平面简谐波的势能是由电场和磁场共同作用的结果，它可以用来表示波的总体能量分布，而它也是一个满足某种条件的函数。

具体来说，平面简谐波的势能可以表示为：P(x)=E(x)B(x)其中，x是一个位置向量，E和B分别表示电场和磁场的强度场。

三、动能动能是物体伴随运动产生的能量，它可以表示为物体的动量。

平面简谐波的动能是由一个有限的空间频率组成的，也就是说，动能是流体运动的频率，并且满足一定的波动方程。

根据物理意义，动能是流体在不同位置上的动量之和，可以表示为：K=∫P(x)dx其中，P(x)表示动能的强度场，x是位置向量，K表示总动能。

四、与其他类型波动能势能的比较其他类型波与平面简谐波有所不同，但它们的势能和动能具有相同的性质。

例如，柱面波的势能为：P(x,y)=E (x,y)B (x,y)而柱面波的动能可以表示为：K=∫∫P(x,y)dxdydz可以看出，与平面简谐波相比，柱面波的势能和动能的计算方式有所不同，但是它们的物理意义是一样的。

此外，现实中的很多波也具有类似的性质，它们的势能和动能也是一样的。

五、结论平面简谐波具有电场、磁场和动能，其势能和动能可以用不同的方法来表示，但它们的本质是一样的，与其他类型波也具有同样的性质。

波的能量和强度在水中投入石子，形成了同心圆状的涟漪，说明机械波的波动过程是能量、振动状态、波形传播的过程。

这节课我们来讨论波的能量和强度。

抖动一根弹性绳子，就观察到了一列绳波，假设无衰减，振动状态以波速u在密度为ρ的弹性介质中传播。

我们可以把一根静止的弹性绳子看作由很多个体积相等的质元组成，没有波动传播时，每个体积元都是一个长方体，设每个体积元dv，它们的质量是dm，质量dm等于密度ρ与体积元之积，它的波形上取任意坐标x处取体积元，根据振动方程，可求出振动速度的表达式，带入动能E K表达式得到下面的公式。

在波动过程中，每个体积元都有一定的振动速度，因而具有振动动能。

同时由于体积元产生形变，它们还具有弹性势能。

可以证明：且弹性势能E p与相对形变的平方成正比。

在波形图中，平衡位置b、d处相对变形最大，势能也最大，在波峰a 及波谷c处相对变形最小，势能也最小，这与动能具有相同的变化规律。

理论推导证明，某一体积元的弹性势能表达式与动能完全一样。

体积元的总机械能为动能和势能之和，用下式表示，因为正弦函数最大取值为1，总机械能幅值为密度ρ，体积dv,振幅的平方、角频率平方之积。

需要注意：1.波动过程中，体元中的动能与势能“同相”——同时达到最大，同时达到最小。

体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最大;体积元的位移最大时，三者均为零。

2.体元中的能量是随时间变化的（非弧立系统）正弦函数的最大值是1，机械能的幅值为ρdV A2ω2，体积元的机械能在零和幅值之间周期性的变化。

质元的能量不守恒，从平衡位置向最大位移移动时，体积元能量从最大变为最小，向后面体积元输出能量；从最大位移向平衡位置移动时，体积元能量从最小变为最大，从前面体积元获得能量。

波动过程是各个体积元不断重复这个过程，因此波动是能量传播的过程。

2、能量密度就是单位体积中的能量，用w表示，用下面的式子计算。

3、平均能量密度一个周期内能量密度的平均值，用w平均表示，因为正弦函数的平方的平均值等于1/2，所以平均能量密度为能量密度幅值的一半.二、波的强度波的传播伴有能量的传播，需要引入能流、波的强度等概念。