§4-2平面简谐波的波动方程
振动与波动
最简单而又最基本的波动是简谐波！ 简谐波：波源以及介质中各质点的振动都是简谐振动。任何复杂的波都可看成是若干个简谐波的叠加。 对平面简谐波，各质点都在各自的平衡位置附近作简谐振动，但同一时刻各质点的振动状态不同。需要定量地描述出每个质点的振动状态。
波线是一组垂直于波面的平行射线，可选用其中一根波线为代表来研究平面简谐波的传播规律。
一、平面简谐波的波动方程
设平面简谐波在介质中沿 x 轴正向传播，在此波线上任取一参考点为坐标原点
参考点原点的振动方程为
任取一点 P ，其坐标为 x ，P 点如何振动？ A 和 ω 与原点的振动相同，相位呢？
沿着波的传播方向，各质点的相位依次落后，波每向前传播 λ 的距离，相位落后 2π
现在，O 点的振动要传到 P 点，需要向前传播的距离为 x ，因而 P 点的相
位比 O 点落后 22x x π
πλλ
=
P 点的振动方程为
由于 P 点的任意性，上式给出了任意时刻任意位置的质点的振动情况，将下标去掉
就是沿 x 轴正向传播的平面简谐波的波动方程。
如果波沿 x 轴的负向传播，P 点的相位将比 O 点的振动相位超前2x π
λ
沿 x 轴负向传播的波动方程为 利用 2ωπν=， u λν=
沿 x 轴正向传播的平面简谐波的波动方程又可写为
即 0cos x y A t u ωϕ⎡⎤
⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
原点的振动状态传到 P 点所需要的时间 x
t u
∆=
P 点在 t 时刻重复原点在 x t u ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
时刻的振动状态
波动方程也常写为 其中 2k π
λ
=
波数，物理意义为 2π 长度内所具有完整波的数目。
☆ 波动方程的三个要素：参考点，参考点振动方程，传播方向
二、波动方程的物理意义
1、固定x ，如令0x x =
()002cos y t A t x πωϕλ⎛
⎫=+-
⎪⎝⎭ 振动方程 0x 处质点的振动方程
0x 处的振动曲线 该质点在 1t 和 2t 两时刻的相位差 2、固定t ，如令0t t =
()002cos y x A t x πωϕλ⎛
⎫
=+-
⎪⎝
⎭
波形方程 0t 时刻各质点离开各自平衡位置的位移分布情况，即 0t 时刻的波形方程。
波形曲线 3、x 和 t 都在变化
各个不同质点在不同时刻的位移，各个质点的振动情况，不同时刻的波形，反映了波形不断向前推进的波动传播的全过程 ⇒ 行波
t 时刻，x 处的某个振动状态经过 t ∆ 的时间，传播了 x u t ∆=∆ 的距离，传到了 x x +∆ 处，显然
()(),,y t t x x y t x +∆+∆= 行波必须满足此方程
其中 x u t ∆=∆ 波是振动状态的传播！ 习题类型
（1） 由某质元的振动方程（或振动曲线） ⇒ 求波动方程 （2） 由某时刻的波形曲线 ⇒ 求波动方程
例4.2：一平面波在介质中以速度 20u =m/s 沿直线传播，已知在传播路径上某点A 的振动方程为 ()3cos 4A y t π=，如图4.8所示。
（1）若以A 点为坐标原点，写出波动方程，并求出C ，D 两点的振动方程； （2）若以B 点为坐标原点，写出波动方程，并求出C ，D 两点的振动方程。
解：（1）振幅 3A =m ，圆频率4ωπ=rad/s ，频率 22ω
νπ
=
=Hz ， 波长 10u
λν
=
=m
波动方程为
23cos 43cos 45y t x t x ππππλ⎛
⎫⎛
⎫=-
=-
⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭
m C 点坐标为 13C x =-m ，振动方程为
A
B
8m
u
C
D
5m
9m
t 时刻
t t +∆ 时刻
133cos 43cos 455C C y t x t ππππ⎛⎫⎛
⎫
=-=+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
m D 点坐标为 9D x =m ，振动方程为
93cos 43cos 455D D y t x t ππππ⎛⎫⎛
⎫
=-=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
m （2）A 点坐标为 5A x =m ，波动方程为
()23cos 43cos 45A y t x x t x πππππλ⎡⎤⎛⎫
=--=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
m C 点坐标为 8C x =-m ，振动方程为
133cos 43cos 455C C y t x t πππππ⎛⎫⎛
⎫
=-+=+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
m D 点坐标为 14D x =m ，振动方程为
93cos 43cos 455D D y t x t πππππ⎛⎫⎛
⎫
=-+=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
m 例4.3：一平面简谐横波以 400u =m/s 的波速在均匀介质中沿x +方向传播。位于坐标原点的质点的振动周期为0.01秒，振幅为0.1m ，取原点处质点经过平衡位置且向正方向运动时作为计时起点。 （1）写出波动方程；
（2）写出距原点2m 处的质点P 的振动方程； （3）画出0.005t =秒和0.007秒时的波形图；
（4）若以距原点2m 处为坐标原点，写出波动方程。 解：（1）由题意 0.1A =m ，0.01T =秒，400u =m/s
可得圆频率 2200T
π
ωπ== rad/s ， 波长 4uT λ==m
由旋转矢量图知，原点处质点的初相位 故原点处质点的运动方程为
030.1cos 2002y t ππ⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭
m 波动方程为
30.1cos 20022y t x πππ⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭ m （2）2P x = m 处质点的振动方程为
