矩阵的初等变换在解题中的应用.

分块矩阵的初等变换及其应用
分块矩阵的初等变换是指对一个分块矩阵进行基本的矩阵变换，例如行交换、行加减等操作。

这些操作可以用来简化计算、求解线性方程组、矩阵的逆等。

对于分块矩阵，其基本的初等变换有以下几种：
1. 行交换：将矩阵中的两行交换位置，即交换它们在矩阵中的行号。

2. 行加减：将矩阵中的某一行加上（或减去）另一行的某一倍，得到新的行替换原来的行。

3. 列交换：将矩阵中的两列交换位置，即交换它们在矩阵中的列号。

4. 列加减：将矩阵中的某一列加上（或减去）另一列的某一倍，得到新的列替换原来的列。

这些初等变换可以用来求解线性方程组，例如将系数矩阵进行初等变换，得到一个简化的矩阵，再将方程组进行相应的变换，得到一个等价的方程组。

这个等价的方程组可以更容易地求解。

此外，分块矩阵的初等变换也可以用来求矩阵的逆，例如将待求逆的矩阵与单位矩阵组成增广矩阵，对其进行初等变换，使得待求逆的矩阵变为单位矩阵，此时增广矩阵的另一半就是所求的逆矩阵。

总之，分块矩阵的初等变换是求解线性方程组、求矩阵的逆等问题中不可或缺的工具。

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矩阵的初等变换在线性代数中的简单应用作者：李慧来源：《课程教育研究》2019年第09期【摘要】线性代数是高校经管类以及理工类专业学生的一门重要基础课程，其中矩阵理论为主要内容，在整个线性代数的学习过程中有着重要作用。

本文对矩阵初等变换在线性代数中的简单应用进行分析。

【关键词】线性代数矩阵初等变换应用【中图分类号】O151.2 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）09-0142-02在线性方程组的求解过程中，任意交换两个方程的位置，或者将某一方程乘数c（c∈F且c≠0），或者将某一方程乘数c加到另一方程上时，最终求得的解与原方程组的解相同。

矩阵的初等变换即起源于解线性方程组的三类同解变换，在处理线性代数相关问题时，具有相对独特的价值。

矩阵初等变换这一概念的提出，将线性方程组的求解过程转换为利用矩阵的初等变换化简一个增广矩阵的过程，简化了线性方程组的求解。

此外，在矩阵理论不断发展的过程中，新概念的产生以及新问题的形成，为矩阵初等变换在线性代数中的应用创造了更多的可能性，如矩阵的秩的求解、向量组的秩与极大线性无关组的求解以及化二次型为标准形等。

1.矩阵的初等变换矩阵变换是线性代数中矩阵的一种运算形式，在线性代数中，矩阵的初等变换指以下三种变换类型：（1）换位变换交换矩阵的任意两行或者两列。

（2）倍法变换以一个非零数k乘矩阵的某一行（某一列）所有元素。

（3）消法变换把矩阵的某一行（某一列）所有元素乘以一个数k后加到另一行（另一列）对应的元素。

矩阵的初等变换在求矩阵的逆等问题中有着较好的应用效果，分析原因，其理论依据如下：对矩阵Asn进行一次初等行变换，相当于在Asn左边乘上相应的s×s的初等矩阵；对矩阵Asn进行一次初等列变换，相当于在Asn右边乘上相应的n×n的初等矩阵；应用初等变换对矩阵Asn进行化简时，将可产生一个与矩阵Asn有关的等式，该等式与原矩阵的量化关系、性质有着密切关联。

矩阵初等变换及其在线性代数中的应用线性代数是一门重要的数学分支，它研究的是线性变换及其代数分析性质。

其中，矩阵是线性代数中非常重要的工具，它可以把线性方程组转化成一个更简单的形式，使得我们可以更容易地进行求解。

而矩阵的初等变换则是在求解线性方程组时必须要用到的一种基本技巧。

本篇文章将深入探讨矩阵初等变换及其在线性代数中的应用。

矩阵初等变换到底是什么？矩阵初等变换是指对于一个矩阵来说，可以通过三种基本变换操作得到新的矩阵。

这三种操作分别是：交换矩阵的任意两行或两列；用一个非零常数 k 乘以矩阵的某一行或某一列；将矩阵的某一行或某一列加上另一行或另一列的 k 倍。

这三种操作称为矩阵的行初等变换或列初等变换。

首先来看一个示例，假设有如下矩阵：$$\begin{bmatrix}1 &2 \\3 &4 \\\end{bmatrix}$$对于这个矩阵，我们可以进行如下初等变换：①交换第一行和第二行$$\begin{bmatrix}3 &4 \\1 &2 \\\end{bmatrix}$$②将第二行乘以2$$\begin{bmatrix}1 &2 \\6 & 8 \\\end{bmatrix}$$③将第二行减去第一行的两倍$$\begin{bmatrix}1 &2 \\4 & 4 \\\end{bmatrix}$$通过这三种基本变换，我们可以将原始矩阵变换成一个新的矩阵。

这个过程通常用矩阵的运算符号表示，比如将第二行减去第一行两倍的操作可以表示为：$$\begin{bmatrix}1 & 0 \\-2 & 1 \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 &2 \\3 &4 \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 &2 \\1 & 0 \\\end{bmatrix}$$其中，左侧的矩阵就是一个变换矩阵，它表示了对原矩阵的操作。

矩阵的初等变换及其应用线性代数第一次讨论课1.导语2.讨论内容目录3.正文4.个人总结导语:矩阵是研究线性代数方程组和其他相关问题的有力工具，也是线性代数的主要研究啊、对象之一。

它的理论和方法在自然科学、工程技术、社会科学等众多领域等都有极其广泛的应用。

矩阵作为一些抽象数学的具体表现，在数学研究中占有极其重要的地位。

本文从矩阵的概念讨论矩阵的运算及性质，进而讨论用途很广的矩阵的初等变换及其应用。

讨论内容目录矩阵的初等变换及其应用1.两个矩阵的等价2.两个矩阵的乘积3.将矩阵化为行阶梯型、行最简形、标准型4.求矩阵的秩5.求可逆矩阵的逆矩阵6.求线性方程组的解7.判断向量组的线性相关性8.求向量组的秩与极大无关组9.求矩阵的对角化矩阵（采用行列初等变换，对角线元素为特征值）10.二次型化为标准形正文一、矩阵的等价1.定义：若矩阵A经过一系列初等行变换化为B矩阵,则称A与B行等价；若矩阵A经过一系列初等列变换化为B矩阵,则称A与B列等价；若矩阵A经过一系列初等变换化为B矩阵,则称A与B等价（相抵）。

2.矩阵的等价变换形式主要有如下几种：1）矩阵的i行（列）与j行（列）的位置互换；2）用一个非零常数k乘矩阵的第i行（列）的每个元；3）将矩阵的第j行（列）的所有元得k倍加到第i行（列）的对应元上去；即如果两个矩阵可通过有限次上述变换中的一个或几个的组合变为一样的，两个矩阵等价。

3.矩阵等价具有下列性质（1）反身性任一矩阵A与自身等价；（2）对称性若A与B等价，则B与A等价；（3）传递性若A与B等价，B与C等价，则A与C等价；注意：矩阵作初等变换是矩阵的一种运算，得到的是一个新矩阵，这个矩阵一般与原矩阵不会相等。

下面举例说明矩阵等价及等价变换：13640824100412204128--?? ?- ? ?-- ?-??13r r +→43213131414331222136413640824100824100412204122041280 412813641364082410082410000300030060000r rr r r r r rr r r r B ++-++-----???? ? ?-- ? ????→???→---- ? ?-------- ? ?→= ? ? ? ?????1231213121310341813601030013001300001000100000000r r r r r r r r r C -------???? ?-- ? ?→→= ?显然，根据矩阵等价的定义，以上变换过程中的每一个矩阵均为等价的，每个步骤都是等价转换。

矩阵初等变换的应用
矩阵初等变换在矩阵运算中有着广泛的应用，其中包括以下几种常见的应用：
1. 线性方程组求解：将系数矩阵经过矩阵初等变换变成一个上三角矩阵或行简化阶梯形矩阵，然后利用高斯-约旦消元法或高斯消元法求解线性方程组。

2. 矩阵求逆：通过利用矩阵初等变换将待求逆的矩阵转换成单位矩阵，然后将初等变换应用到一个单位矩阵上得到该矩阵的逆。

3. 矩阵乘法：矩阵乘法可通过矩阵初等变换实现。

例如，通过在左侧乘一个初等矩阵将矩阵进行行变换、在右侧乘初等矩阵将矩阵进行列变换、以及在左右两侧同时乘同一个初等矩阵进行对称变换等等。

4. 特征值与特征向量求解：通过利用初等变换将待求特征值的矩阵转换成上三角矩阵或者特征分解形式，然后求解特征值与特征向量。

5. 矩阵分解：通过初等变换将一个矩阵分解成一个上三角矩阵和一个正交矩阵的乘积（QR分解）、或者将矩阵分解成一个对称矩阵和一个特殊矩阵的乘积（奇异值分解）等等。

总之，在矩阵运算中，矩阵初等变换是一种非常有用的工具，它可以简化计算过程、提高计算效率、为后续计算提供便利。

矩阵的初等变换及应用的总结矩阵的初等变换是线性代数中非常重要的一个概念，它可以通过对矩阵的行或列进行一系列的操作，得到新的矩阵。

初等变换主要包括三种：行交换、行倍乘和行倍加。

在实际应用中，初等变换可以用来求解线性方程组、计算矩阵的逆和秩等。

一、行交换：行交换是将矩阵中的两行进行调换。

具体操作是互换两行的顺序，即将矩阵的第i行与第j行进行互换。

这个操作可以用一个初等矩阵来表示，即单位矩阵中将第i行和第j行进行交换。

应用：在线性方程组的求解中，我们可以通过行交换将系数矩阵的行变换成一个上三角矩阵，从而方便进行后续的计算。

二、行倍乘：行倍乘是将矩阵中的其中一行的所有元素同时乘以一个非零常数k。

具体操作是将矩阵的第i行的每个元素都乘以k。

这个操作可以用一个初等矩阵来表示，即在单位矩阵的第i行的对角线位置上放置k。

应用：行倍乘在求解线性方程组时，可以用来将一些方程的系数标准化，使得系数矩阵变为一个拥有单位元的对角矩阵，从而简化方程组的求解。

三、行倍加：行倍加是将矩阵中的其中一行的每个元素都乘以一个非零常数k，并加到另一行的对应元素上。

具体操作是将矩阵的第i行的每个元素都乘以k，然后加到矩阵的第j行的对应元素上。

这个操作可以用一个初等矩阵来表示，即在单位矩阵的第j行的第i列上放置k。

应用：行倍加在线性方程组的求解中，可以用来将一些方程的k倍加到另一个方程上，从而使一些方程的一些变量消失，达到消元的目的。

综上所述，矩阵的初等变换是通过对矩阵的行或列进行一系列的操作，得到新的矩阵。

初等变换主要包括行交换、行倍乘和行倍加。

在实际应用中，初等变换可以用来求解线性方程组、计算矩阵的逆和秩等。

在线性方程组的求解中，通过矩阵的初等变换可以将系数矩阵变为一个上三角矩阵，从而方便后续的计算。

同时，可以通过初等变换将方程组化为最简形式，从而得到方程组的解。

在计算矩阵的逆时，可以通过初等变换将原矩阵左边加上单位矩阵，并经过一系列的操作将原矩阵化为单位矩阵，从而得到矩阵的逆。

矩阵初等变换的若干应用Some applications of elementary transformation of matrix专业: 数学与应用数学作者:指导老师:学校二O一本文介绍了矩阵初等变换在高等代数中的一些应用，总结了其在求矩阵和向量组的秩、求逆矩阵、化二次型为标准形、求解矩阵方程以及求一元多项式最大公因式中的应用.关键字：初等变换；秩；逆矩阵；标准形；矩阵方程；最大公因式AbstractIn this paper, we in troduce some applicati ons of eleme ntary tran sformatio n of matrix in algebra, and summarizes the applicati ons of eleme ntary tran sformati on of matrix in the rank of a matrix and vector, the inverse matrix, changing quadratic form as the standard form, solvi ng the matrix equati on and the mon adic polyno mial greatest com mon factor.Keywords: elementary transformation; rank; inverse matrix; standard form; matrix equati on; greatest com mon factor0引言 (1)1矩阵的初等变换与初等矩阵的基本概念 ...................... 1 2用初等变换求矩阵和向量组的秩 ......................... 2 3用初等变换法求逆矩阵 ............................. 3 4用初等变换化二次型为标准形 ........................... 4 5用初等变换求解矩阵方程 (5)5.1当A, B 可逆时线性矩阵方程 AX B 的解 ..................... 5 5.2当A, B 不可逆时线性矩阵方程 AX B 的解 ................... 6 6用初等变换讨论一元多项式最大公因式的求法 .. (8)参考文献0引言矩阵理论是代数的主要内容之一，在数学及其它科学领域中有着广泛的应用.在矩阵的应用中，矩阵的初等变换起着关键作用.关于矩阵初等变换的应用，前人已经 得出了很多有价值的结论，本文在前人理论的基础上对矩阵的初等变换在代数中的若 干应用进行了一些讨论•归纳了初等变换在求矩阵和向量组的秩，矩阵的逆，化二次型为标准形，线性矩阵方程的解以及求一元多项式的最大公因式等方面的应用.1矩阵的初等变换与初等矩阵的基本概念我们先来看看有关矩阵初等变换和初等矩阵的相关知识：(1) 对矩阵施以以下三种变换，称为矩阵的初等变换：ABSTRACT. (II)11(i)交换矩阵的两行(列);(ii)以一个非零数k乘矩阵的某行(列)；(iii)矩阵的某行(列)加上另一行(列)的k倍•(2)矩阵的初等变换用如下形式表示：(i)交换矩阵的第i行(列)与第j 行(列)：r i r j或q 5;(ii)非零常数k乘矩阵的第i行(列)：kr i或g ;(iii)矩阵的第i行(列)加上第j行(列)的k倍：r i 或q kC j.(3)初等矩阵由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，共3类：(i)P(i, j)――交换E的第i行与第j行(或第i列与第j列)得到的初等矩阵；(ii)P(i(k))(或P(j(k)))――用数域P中的非零数k乘E的第i行(或第j列)得到的初等矩阵；(iii)P(i, j(k))――把E的第j行的k倍加到第i行(或第i列的k倍加到j 列)得到的初等矩阵.2用初等变换求矩阵和向量组的秩由于初等变换不改变矩阵的秩，且任意一个m n 矩阵均可以经过一系列行初等变 换化为m n 梯形矩阵；因此，我们要确定一个矩阵的秩，首先要用行初等变换将其化 为梯形矩阵 ,然后再由梯形矩阵的秩确定原矩阵的秩•31 42 2例1设A1 0 1 1 0 J求矩阵A 的秩.1 2 1 3 41 4 3 3 03 14 2 2 「1 3「20 1 1 1 21 01 10 「3「2111 0 解Ar4r21 2 1 3 40 2 2 2 41 433 0422 0r31 011r 4 4r .r1 r21r3r40 1 1 1 20 0 2 6 8因此矩阵A 的秩为3.如果我们要求向量组的秩，可以把每一向量作为矩阵的一行，从而向量组就转化 为了一个矩阵，使求向量组的秩转化成求矩阵的秩，自然使问题简单化了 •例2求向量组i( 1Q2,4),2(1,3, 1,2), 3 (3,1, 5,4), 4 (1, 1,2,0), 5 (2,1, 5,3)的秩•解以1, 2, 3, 4, 5为列，构造矩阵A,再对A 进行行初等变换，化为梯形矩 阵： 3 1 21 1 15 2 5 431 1 A( 1,2, 3, 4, 5)0 3 2 142r 3 2r 1r4 4r11 1 3 12 1 1 31 2 0 3 1 1 1 rr10 2 3r3r4 6 r30 2 13 40 1 1410 1 1 4 10 6 16 4 110 010201711 3 1 2「2 3「4 5r 30 1 1 410 0 2 13 40 085 37因此，矩阵A 的秩是4, 从而向量组1， 2， 3， 4， 5的秩也是 4.3用初等变换法求逆矩阵如果A 是n 阶可逆矩阵，我们将A 与E 并排放到一起，形成一个n 2n 的矩阵 (A|E),因为A 1(A| E) (E| A 1),所以对矩阵(A|E)作一系列行初等变换，将其左$ 4r 2 r i 5r 2例3设A24 1求A 1.11 115 2 1 0 0r 2 2r-i1 52 1 0 0 解(A|E)2 4 1 0 1 0 r3 r1 0 6 3 2 1 011 1 0 0 14 11 0 1i 1 0 12 2 51 r 1r 3 2 1 「2b 1 0 02 0 1 0 0 00 0 12 2 2 1半部分化为单位矩阵 这时右半部分就是A 16r2313 1 31 1 12 2 2因此，A 1- 1 16 6 21 2 13 3 1同理，如果A是n阶可逆矩阵，我们将A与E并列放到一起，形成一个2n n的矩阵A ,因为A1A ;,所以对矩阵A作一系列列初等变换,将其上半部分化为单位矩阵，这时下半部分就是A1.用初等变换法求逆矩阵是一种通用而较简便的方法.正确地选择和使用它们能更快更好地解决各类求逆矩阵问题.4用初等变换化二次型为标准形对任意二次型f (X i,X2, ,X n) X AX —定存在可逆非退化线性替换X CY将其化为标准形,即为对称矩阵A找一个可逆矩阵C,使得CAC D为对角矩阵，而可逆矩阵可以写成若干个初等矩阵的乘积,所以存在初等矩阵R,P2, ,P s有C RP2 P s，从而有P s P2RARP2 P s D是一个对角矩阵•由上式可得到用初等变换法化二次型为标准形的步骤如下：首先，写出二次型的矩阵，构造2n n矩阵A ,然后对矩阵A每进行一次行初E E等变换后，就对A进行一次同样的列初等变换，当矩阵A化为对角矩阵时，单位矩E阵E将化为可逆矩阵 C ,此时C AC D ,最后得到可逆矩阵C和非退化线性变换X CY ,在这个变换下二次型化为标准形 f Y DY .例4化二次型f (X1.X2.X3) x：2X|4X1X24X1X3 6X2X3为标准形.并写出所用的非退化线性替换2 3 2的步骤可知：1 2 21 0 02 0 3「2 2r 1 C 2 2q 0 4 1 A = 2 3 2r 3 2「1C 3 2q 0 1 2 E 10 01 2 2 0 1 00 1 0 0 0 10 0 1X i1 2 6 y i从而非退化线性替换为 x 20 1 1 y 2 ,原二次型化为f y ： 4y ； 28 y f .X 30 04 y a在运用矩阵初等变换来化二次型为标准形的关键 ：对矩阵A 进行的行初等变换E和列初等变换必须是一致的•5用初等变换求解矩阵方程5.1当A, B 可逆时线性矩阵方程AX B 的解我们知道AX B 的解为X A 1B.实际上就是计算形如 A 1B 的矩阵乘积,因为A 1(代B) (E,A 1B),所以经过行初等变换可使(代B)化为(E,A 1B),也即对n 2n 矩1 2 2解题中二次型的矩阵为 A 2 0 3 由上面的初等变换法化二次型为标准形1 - 4 1一O 07-43-21-4128阵(A,B)作初等行变换,当A处变成单位矩阵E时，B处得到的矩阵就是A 1B.例5求解矩阵方程AX B,其中5.2当A, B 不可逆时线性矩阵方程AX B 的解当A , B 不可逆时我们将要用到新的初等变换法来解这种矩阵方程 .定理5.2.1 如果矩阵方程AX B 有解,且可逆矩阵P 和Q 使PAQ Er 0,那0 0p B么该矩阵方程的通解为X Q ,其中P 为P 的前r 行组成的矩阵，X 1中的元素可Xi以任意取值.（证明见参考文献 ⑸）以上定理可给出求解矩阵方程AX B 的具体方法：（1）把A , B , E 放到一起,组成一个矩阵（代B,E ）,然后对其做初等行变换,使得 经过行变换后得到矩阵（A 1,B 1,P ）,其中A 1是上阶三角矩阵，从而可确定矩阵A 和矩阵 （A,B ）的秩,判断方程是否有解,同时取P 的前面r 行作成P ,它满足PA 几，且P B 为B 1的前r 行.AD（2）如果上述方程有解，则对A 1作初等列变换.经过列变换后变成其中EQ22 3 4 2 解（代B ）1 1 0 1 11 2 1 1 2 r3 r2r3 4r211 0 1 1 「30 1 1 0 30 012 12386因此X A 1B2 96 .21292 34 2 31 0 ，B1 1 0 .2 11 2 33r 1 S 「22r 11 1 0 1 1 00 「30 4 3 2 0 3311 0 3 30 r2 r31 0 0 38 6 3 r 1 「20 1 029 6 , 90 0 12 12 92 A 1 1D Er 0,必有 PAQ D . 0 0(A,B,E),如下:12 0 1 1 23 1 0 0 0 (A,B, E)2 4 1 4 18 11 0 1 0 0J1 2 1 3 0 1 6 8 0 0 1 036 1 5 2 :10 14 0 0 0 1然后对其作一系列初等行变换 ,使得A 为上三角矩阵 ,即12 0 1 1 : 2 31 0 0 0行变换行变换0 1 21 - 4 52 1 0 0(A 启，P )0 0 0 0 0 | 0 0 1 1 1 0 00 00 | 0 011 0 1很明显，矩阵A 和矩阵(A, B)的秩都是 2, 故该方程有解.取P =1 0 01 2 3氏作初等列变换E2 1 0J有P B =1 4 5 ,接卜来对12 0 11 0 0 00 1 20 1 0 00 0 00 0 0 0A0 0 0 列变换0 0 0 0E10 0 01 0 2J11 0 00 0 1 00 0 1 00 1 0 20 0 0 10 0 0 11 02 1经过列变换后我们可得到Q 00 1 0 0 1 0 2(3)从而由定理5.2.1可知，AXB 的通解公式为XP B QX i例6设1 2 0 12 4 1 4A,B1 2 1 336 1 5求矩阵方程AXB 的通解.解根据求解矩阵方程AXB 的步骤12 31 8 11 0 6 8 ，2 10 14首先将A,B,E 放到一起,组成一个矩阵0 0 0 1从而,由定理5.2.1知，该方程的通解为1 02 1 1 2 3P B 0 0 1 0 1 4 5X QX1 0 1 0 2 X2 X30 0 0 1 X4 x5 X61 2 3 2 10 0 0 1 0X11 4 5 0 20 0 0 0 1其中X1是任意的2 3矩阵.矩阵方程XA B的通解公式和解法与上面类似(详见参考文献[2]或⑸)，应用矩阵的初等变换来求解矩阵方程具有很大优点，不但通俗易懂，而且容易掌握•6用初等变换讨论一元多项式最大公因式的求法求一元多项式最大公因式的方法，目前最常用的方法是辗转相除法和因式分解法. 下面给出用矩阵及其初等变换来求一元多项式的最大公因式，而且方便快捷.f l(x) f2(x)定理 6.1 设 f!(x)，f2(x) P[x],令 A(x) 1 0 ,则对 A(x)实施一系列0 1d(x) 0初等列变换后得B(x) u1 (x) * 1,此时 4&)比&) f2(x)u2(x) d(x),且d(x)是U2(X) *2f1(X)与f2(X)的最大公因式.证明若f,x)、f2(x)不全为零，则必有一个次数相对较低的多项式，不妨设为f1(x),对A(x)进行初等列变换,第一列乘以一个适当的多项式加到第二列上,消去f 2(X)的最高项,由于f i (X)、f 2(X)的次数有限,重复上述过程,必然出现矩阵中第一d(x) 0行只有一个非零元,而其它均为零的情形,即B(x)u i (x) *1 . U 2(X) *2以上对A(x)所实施的变换，即存在初等矩阵P(x)Pl(X) P2(X)，使得 P 3(X) P 4(X)设矩阵P(X)的逆矩阵为P i(x)qi(X) q2(X),显然P i(x)也是初等矩阵,由于q 3 (X) q 4 (X)B(x) A(x)P(x).因而 B(x)Pd(x) u i (x) U 2(x) 于是 d(x)q i (x) f i (x) , d(x)q 2(x) f 2(x),从而 d(x)是 f i (x)与 f 2(x)的公因式,从而 可知:d(x)是f i (x)与f 2(x)的最大公因式.例7求f(x), g(x)的最大公因式，其中f (X) X 42x 32X 4x 2, g(x) x 4x 3x 22x 2f(x) g(x)x 4 2x 3 x 2 4x 2 x 4 x 3 x 22x 2解 A(x)i 0iii(X) A(x), 即f i (x) f 2(X)q i (x) q 2(x)*i 0q 3(x) q 4(x)*if l (x) f 2(x) 1 0 01因而f l (x)P i (x) f 2(x) P 3(x)即d(x) 0 P i (x) P 2(x) /、* U i (x) *iP 3(X) P 4(X)d(x), P i (x) U i (x), P 3(x) U 2(x),f i (x)U i (x) f 2(x)U 2(x) d(x).2x 2( x 1)f(x) (x 2)g(x).上述方法可灵活运用，不一定必须用次数最低的多项式去消其它多项式 .也可以用次数较高的多项式去消次数更高的多项式，以达到逐渐消去各多项式最高项，使第 一行只剩下一个非零元素的目的.以上方法只讨论了列的情形，行的情形与列相同， 此时A(x)［以］1 0,行初等变换的结果是第一列只剩下一个非零元素，该元素 f 2(x) 0 1即为多项式的最大公因式(详见参考文献［2］).对于求两个多项式的最大公因式，辗转相除法是一种比较好的方法，但对于求多 个多项式的最大公因式，辗转相除法在理论上可行，在实际操作中却是非常繁琐的. 本文介绍的方法，对求多个多项式的最大公因式是一种行之有效的方法 .致谢本文是在的指导和帮助下完成的,在此对汪教授表示衷心的感谢c1 c2x 3 2x x 22C 2 xqc2 q因为(x 22)|(x 32x),所以 x 22 (f (x), g(x)),且同时还满足参考文献[1]北京大学数学系•高等代数(第3版)[M].北京：高等教育出版社,2003.[2]王文省，姚忠平•初等变换的思想方法在高等代数中的应用[J].聊城师范学报(自然科学版)2003, 13 ( 3 ).[3]樊恽,钱吉林等•代数学词典[M].武汉：华中师范大学出版社，1994.[4]钱吉林.线性代数概论[M].武汉：华中师范大学出版社，2000.⑸林亨成，陈群.矩阵的初等变换在线性代数中的一些应用[J].成都教育学院学报，2006, 91 -92.⑹戴天时，陈殿友.大学数学？线性代数[M].北京：高等教育出版社，2004.[7]赵树嫄.线性代数(3版)[M ].北京：中国人民大学出版社，2005. 061.[8]Bebia no, Newdevelopme ntsb on the Marcus-Oliveira conjecture N. Lin ear Algebra Applic,(1994)197-198, 793-803 .[9]Fuchs, The explicit in verse of the sti? ness matrix M.B., In t.J.Solids Struct, 29(1992),2101-2113 .[10]N. H. Scott, A New Canon ical Form for Complex Symmetric Matrices, Proc. R. Soc. Lo nd. A 1993441,625-640.。

§2 在数论中的应用2.1矩阵的初等变换在求两个数最大公约数和最小公倍数的应用。

说明：两个数的最大公约数和最小公倍数求解过程中通常比较繁琐，最常用的辗转相除法由于计算步骤繁多也不是特别方便，在此我们寻求一个简便的方法，通过矩阵的初等变换可以同时求得两个数的最大公约数和最小公倍数。

定理：对于数,m n N ∈，构造矩阵0m A n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭当经过一系列初等变换变为上三角矩阵*0k l ⎛⎫ ⎪⎝⎭则k 为两个数的最大公约数，l 为两个数的最小公倍数。

证明：首先任意一个可逆矩阵可以分解为一系列初等变换的乘积，通过这个思路寻求一个矩阵，使得将矩阵A 变为*0k l ⎛⎫ ⎪⎝⎭的形式，从而证明了结论。

现在主要问题是寻求满足上述条件的矩阵。

由,m n N ∈，则存在,f g 使得(,)fm gn m n +=若令,(,)(,)n m x y m n m n =-=则0xm yn +=，而且(,)1(,)(,)(,)fm gn m n fy xg m n m n m n -=+== 记(,)[,]k m n l m n ==则k fm gn =+，(,)mn l m n =所以由上述我们构造出矩阵 f g J xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 而且还有1J =00f g m fm gn gn k gn JA x y n n xm yn yn l +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭例10.求3和6的最大公约数和他们的最小公倍数解：603333333306--⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以3和6的最大公约数是3，最小公倍数是62.2通过矩阵的初等变换求解两个多项式的最大公因式和最小公倍式。

定义：互换多项式矩阵两行的位置；用多项式矩阵某一行的c 倍加到另一行上；多项式矩阵的某一行乘以c ，这三种变换被称为是多项式的初等变换。

说明：两个多项式的最大公因式和最小公倍式最广泛的求法是辗转相除法，然而此方法在计算过程中较为繁琐，所以通过矩阵的初等变换就能够解决这一问题。

矩阵初等变换及其应用毕业论文矩阵初等变换及其应用毕业论文摘 要：初等变换是高等代数和线性代数学习过程中非常重要的，使用非常广泛的一种工具。

本文列举了矩阵初等变换的几种应用，包括求矩阵的秩、判断矩阵是否可逆及求逆矩阵、判断线性方程组解的状况、求解线性方程组的一般解及基础解系、证向量的线性相关性及求向量的极大无关组、求向量空间两个基的过渡矩阵、化二次型为标准形。

并用具体例子说明矩阵初等变换在以上几种应用中是如何运用的。

关键词：矩阵 初等变换 初等矩阵在代数的学习过程中，我发现矩阵的初等变换有许多应用，几乎贯穿着始终。

本文将对矩阵的初等变换进行介绍并以具体例子说明矩阵初等变换的七种应用。

虽然这些计算格式有不少类似之处，但是也指出由于这些计算格式有不同的原理，所以它们的应用也有一些明显的区别。

定义1：矩阵的行（列）初等变换是指对一个矩阵施行的下列变换： （1）交换矩阵的两行（列）(交换第i ，j 两行（列），记作()ij ij r c ）；（2）用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素（用数k 乘以第i 行（列），记作()(())i i r k c k ；（3）用某一个数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素再加到另一行（列）的对应元素上(第i 行（列）k 倍加到第j 行（列），记作()(())ij ij r k c k 。

初等行、列变换统称为初等变换。

定义2：对单位矩阵I 仅施以一次初等变换后得到的矩阵称为相应的初等矩阵，分别记为第1、2、3类行（列）初等矩阵为()ij ij R C ，()(())i i R k C k ，()(())ij ij R k C k ，有ij R =ij C =10111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ()i R k =()i C k =1k1⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()ij R k =()ij C k =11j 11i k⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭行行 初等变换与初等矩阵之间有下列基本性质。

摘要矩阵是线性代数中的重要内容，也是高等数学研究问题的工具。

在线性代数及其许多的领域中都能看到矩阵的身影，它能把抽象的问题用矩阵表示出来，通过对矩阵进行计算得出结果。

本文首先介绍了矩阵的化简和分块矩阵的初等变换以及利用矩阵初等变换求逆矩阵、伴随矩阵、矩阵的秩和特征向量，其次阐述了矩阵初等变换在解线性方程组、解矩阵方程、判断向量组的线性相关性、求极大线性无关组问题中的应用，最后对矩阵在数论中的应用进行了一些说明。

作为矩阵的基础及核心，矩阵的初等变换及应用是非常重要的，它能够把各种复杂的矩阵转化成我们需要的矩阵形式，从而使计算变得更加的简便。

关键词：矩阵，初等变换，逆矩阵，秩The application of elementary transformation of matrixABSTRACT.Matrix is an important content in linear algebra, is a problem of higher mathematics research tools. In linear algebra and matrix can be seen in many areas, it can turn abstract problems expressed in matrix, based on the matrix to calculate the results. This article first introduces the elementary transformation of matrix of reduction and partitioned matrix and the matrix elementary transformation and adjoint matrix inverse matrix, rank of matrix and characteristic vector, then expounds the matrix elementary transformation in solving linear equations, the solution of matrix equation, judge linear correlation, as well as the application of maximum linearly independent group, finally the application of matrix in number theory with some instructions. As the foundation of the matrix and core, the elementary transformation of matrix and its application is very important, it is able to convert all kinds of complex matrix to matrix form, we need to make the calculation more simple.Key words: Matrix, Elementary transformation, inverse matrix, rank目录一.引言 0二.矩阵及其初等变换的概念 0三.矩阵初等变换的应用 (1)（一）在线性代数中的应用 (1)1. 将矩阵化简为阶梯型和等价标准型 (1)2. 矩阵的分块和分块矩阵的初等变换 (2)3. 求伴随矩阵和逆矩阵 (4)4. 求矩阵的秩，向量组的秩 (5)5. 求矩阵的特征值和特征向量 (7)6. 解线性方程组 (8)7. 求解矩阵方程 (11)8. 判断向量组的线性相关性，求极大线性无关组 (12)（二）在数论中的应用 (13)四.总结 (16)五.参考文献 (16)一.引言在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为对这些矩阵的转化过程，除方程组之外，还有很多方面的问题也都涉及矩阵的概念及其应用，这些问题的研究常常转化为对矩阵的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的。