矩阵初等变换及其应用技术

在数学中矩阵最早来源于方程组的系数及常数所构成的方阵，现在矩阵是线性代数最基本也是最重要的概念之一。

在线性代数及其许多的问题中都能看到矩阵的身影，它能把抽象的问题用矩阵表示出来，通过对矩阵进行计算得出结果。

作为矩阵的基础及核心，矩阵的初等变换及应用是非常重要的，它能够把各种复杂的矩阵转化成我们需要的矩阵形式，从而使计算变得更加的简便。

本文总结了线性变换在线性代数、初等数论、通信、经济、生物遗传等方面的应用。

关键词：矩阵；初等变换；标准型；逆矩阵；标准型；秩；方程组ABSTRACTMatrix derived from the first phalanx of the coefficients and constants of the equations in mathematics, now matrix is the most fundamental and important concepts of linear algebra, in linear algebra and many other questions can be seen the figure of the matrix, It can abstract the matrix representation, then matrix calculated results. As the foundation and core of the matrix, the elementary transformation matrix and its application is very important, it can conversion a variety of complex matrix into a matrix form we need, then the calculation becomes more simple.This paper summarizes the application of linear algebra, elementary number theory, communications, and economic, biological heredity.Key words:Matrix; Elementary transformation; standard; inverse matrix; standard; rank; equations;1矩阵及其初等变换的概念 (1)2矩阵初等变换的应用 (1)2.1在线性代数中的应用 (2)2.1.1 将矩阵化简为阶梯型和等价标准型 (2)2.1.2矩阵的分块和分块矩阵的初等变换 (3)2.1.3求伴随矩阵和逆矩阵 (4)2.1.4求矩阵的秩，向量组的秩 (5)2.1.5求矩阵的特征值和特征向量 (6)2.1.6 解线性方程组 (7)2.1.7求解矩阵方程 (8)2.1.8化二次型为标准型 (9)2.1.9判断向量组的线性相关性，求其极大线性无关组 (11)2.2在数论中的应用 (11)2.3在通信中的应用 (13)2.4在经济方面的应用 (14)2.5在生物遗传方面的应用 (15)总结 (18)致谢 (19)参考文献 (20)矩阵的初等变换及其应用在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为对这些矩阵的转化过程，除方程组之外，还有很多方面的问题也都涉及矩阵的概念及其应用，这些问题的研究常常转化为对矩阵的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的。

矩阵初等变换及其在线性代数中的应用线性代数是一门重要的数学分支，它研究的是线性变换及其代数分析性质。

其中，矩阵是线性代数中非常重要的工具，它可以把线性方程组转化成一个更简单的形式，使得我们可以更容易地进行求解。

而矩阵的初等变换则是在求解线性方程组时必须要用到的一种基本技巧。

本篇文章将深入探讨矩阵初等变换及其在线性代数中的应用。

矩阵初等变换到底是什么？矩阵初等变换是指对于一个矩阵来说，可以通过三种基本变换操作得到新的矩阵。

这三种操作分别是：交换矩阵的任意两行或两列；用一个非零常数 k 乘以矩阵的某一行或某一列；将矩阵的某一行或某一列加上另一行或另一列的 k 倍。

这三种操作称为矩阵的行初等变换或列初等变换。

首先来看一个示例，假设有如下矩阵：$$\begin{bmatrix}1 &2 \\3 &4 \\\end{bmatrix}$$对于这个矩阵，我们可以进行如下初等变换：①交换第一行和第二行$$\begin{bmatrix}3 &4 \\1 &2 \\\end{bmatrix}$$②将第二行乘以2$$\begin{bmatrix}1 &2 \\6 & 8 \\\end{bmatrix}$$③将第二行减去第一行的两倍$$\begin{bmatrix}1 &2 \\4 & 4 \\\end{bmatrix}$$通过这三种基本变换，我们可以将原始矩阵变换成一个新的矩阵。

这个过程通常用矩阵的运算符号表示，比如将第二行减去第一行两倍的操作可以表示为：$$\begin{bmatrix}1 & 0 \\-2 & 1 \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 &2 \\3 &4 \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 &2 \\1 & 0 \\\end{bmatrix}$$其中，左侧的矩阵就是一个变换矩阵，它表示了对原矩阵的操作。

矩阵的初等变换是指对矩阵进行一系列特定的行变换、列变换或行列变换，其目的是简化矩阵的形式或者解方程组。

常见的初等变换包括以下三种：
1.交换两行或两列：将矩阵中的两行或两列进行交换。

2.某一行或列乘以一个非零常数**：将矩阵中的某一行或某一列的所有元素乘以一个非零常数。

3.某一行或列加上另一行或列的若干倍**：将矩阵中的某一行或某一列的元素分别加上另一行或列对应位置元素的若干倍。

矩阵的初等变换可以应用于多个领域，主要包括以下几个方面的应用：
1.线性方程组的求解：通过对增广矩阵进行初等变换，将线性方程组化简为最简形式，从而求得方程组的解。

2.矩阵的求逆：通过初等变换将原矩阵化为单位矩阵或对角矩阵，从而求得原矩阵的逆矩阵。

3.矩阵的标准形式：利用初等变换将矩阵化为标准形式，如行阶梯形矩阵或最简行阶梯形矩阵，便于进一步的研究和计算。

4.特征值和特征向量的求解：通过初等变换将矩阵转化为对角矩阵，
从而求得矩阵的特征值和特征向量。

5.线性空间的基变换：在线性代数中，我们可以通过初等变换将一组向量变换为线性空间的一组基，从而简化问题的处理。

总的来说，矩阵的初等变换在线性代数、方程组求解、特征值分析等领域都具有重要的应用价值，能够简化计算、找出规律、解决实际问题。

矩阵的初等变换及其应用线性代数第一次讨论课1.导语2.讨论内容目录3.正文4.个人总结导语:矩阵是研究线性代数方程组和其他相关问题的有力工具，也是线性代数的主要研究啊、对象之一。

它的理论和方法在自然科学、工程技术、社会科学等众多领域等都有极其广泛的应用。

矩阵作为一些抽象数学的具体表现，在数学研究中占有极其重要的地位。

本文从矩阵的概念讨论矩阵的运算及性质，进而讨论用途很广的矩阵的初等变换及其应用。

讨论内容目录矩阵的初等变换及其应用1.两个矩阵的等价2.两个矩阵的乘积3.将矩阵化为行阶梯型、行最简形、标准型4.求矩阵的秩5.求可逆矩阵的逆矩阵6.求线性方程组的解7.判断向量组的线性相关性8.求向量组的秩与极大无关组9.求矩阵的对角化矩阵（采用行列初等变换，对角线元素为特征值）10.二次型化为标准形正文一、矩阵的等价1.定义：若矩阵A经过一系列初等行变换化为B矩阵,则称A与B行等价；若矩阵A经过一系列初等列变换化为B矩阵,则称A与B列等价；若矩阵A经过一系列初等变换化为B矩阵,则称A与B等价（相抵）。

2.矩阵的等价变换形式主要有如下几种：1）矩阵的i行（列）与j行（列）的位置互换；2）用一个非零常数k乘矩阵的第i行（列）的每个元；3）将矩阵的第j行（列）的所有元得k倍加到第i行（列）的对应元上去；即如果两个矩阵可通过有限次上述变换中的一个或几个的组合变为一样的，两个矩阵等价。

3.矩阵等价具有下列性质（1）反身性任一矩阵A与自身等价；（2）对称性若A与B等价，则B与A等价；（3）传递性若A与B等价，B与C等价，则A与C等价；注意：矩阵作初等变换是矩阵的一种运算，得到的是一个新矩阵，这个矩阵一般与原矩阵不会相等。

下面举例说明矩阵等价及等价变换：13640824100412204128--?? ?- ? ?-- ?-??13r r +→43213131414331222136413640824100824100412204122041280 412813641364082410082410000300030060000r rr r r r r rr r r r B ++-++-----???? ? ?-- ? ????→???→---- ? ?-------- ? ?→= ? ? ? ?????1231213121310341813601030013001300001000100000000r r r r r r r r r C -------???? ?-- ? ?→→= ?显然，根据矩阵等价的定义，以上变换过程中的每一个矩阵均为等价的，每个步骤都是等价转换。

矩阵初等变换及其应用毕业论文矩阵初等变换及其应用毕业论文摘 要：初等变换是高等代数和线性代数学习过程中非常重要的，使用非常广泛的一种工具。

本文列举了矩阵初等变换的几种应用，包括求矩阵的秩、判断矩阵是否可逆及求逆矩阵、判断线性方程组解的状况、求解线性方程组的一般解及基础解系、证向量的线性相关性及求向量的极大无关组、求向量空间两个基的过渡矩阵、化二次型为标准形。

并用具体例子说明矩阵初等变换在以上几种应用中是如何运用的。

关键词：矩阵 初等变换 初等矩阵在代数的学习过程中，我发现矩阵的初等变换有许多应用，几乎贯穿着始终。

本文将对矩阵的初等变换进行介绍并以具体例子说明矩阵初等变换的七种应用。

虽然这些计算格式有不少类似之处，但是也指出由于这些计算格式有不同的原理，所以它们的应用也有一些明显的区别。

定义1：矩阵的行（列）初等变换是指对一个矩阵施行的下列变换： （1）交换矩阵的两行（列）(交换第i ，j 两行（列），记作()ij ij r c ）；（2）用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素（用数k 乘以第i 行（列），记作()(())i i r k c k ；（3）用某一个数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素再加到另一行（列）的对应元素上(第i 行（列）k 倍加到第j 行（列），记作()(())ij ij r k c k 。

初等行、列变换统称为初等变换。

定义2：对单位矩阵I 仅施以一次初等变换后得到的矩阵称为相应的初等矩阵，分别记为第1、2、3类行（列）初等矩阵为()ij ij R C ，()(())i i R k C k ，()(())ij ij R k C k ，有ij R =ij C =10111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ()i R k =()i C k =1k1⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()ij R k =()ij C k =11j 11i k⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭行行 初等变换与初等矩阵之间有下列基本性质。

矩阵初等变换方法在高等代数中的应
用
矩阵初等变换在高等代数中有很多应用，下面列举部分内容：
- 求解线性方程组：通过初等变换可以将线性方程组转化为标准形式，更易于求解。

- 求矩阵和向量组的秩：通过初等变换不改变矩阵和向量组的秩，因此可以利用初等变换将矩阵或向量组化为标准形式，进而求出它们的秩。

- 化二次型为标准形：通过初等变换可以将二次型转化为标准形，更易于研究二次型的性质。

- 求一元多项式最大公因式：通过初等变换可以将一元多项式转化为标准形式，更易于求解一元多项式的最大公因式。

这些只是矩阵初等变换在高等代数中的部分应用，矩阵初等变换在高等代数中还有许多其他的应用，可以帮助我们解决各种问题。

矩阵的初等变换及其应用线性代数第一次讨论课1;要求 2;正文 3;个人总结丁俊成第一部分：要求00101209线性代数课程的主要任务是夯实工程问题的数学基础，培养学生的逻辑思维、定量分析、数学建模、科学计算的数学能力，提高数学素养。

讨论课是以学生为主导，其内容包括理论内容的专题讨论、探究性应用案例的数学模型的建立。

通过对理论内容的深入探讨，加深学生对知识的深刻理解与掌握，培养学生自主学习能力、逻辑思维能力、对知识的归纳梳理与综合能力，提高学生分析问题与数学建模的能力。

第一次讨论课内容矩阵初等变换及其应用请卓越班的同学们按照下面的提纲（内容包括概念、求解方法、举例、应用案例等）准备。

要求做成word或PPT文档。

同学们自荐或推荐上讲台讲课。

希望同学们踊跃参与。

第一次讨论课的时间初步定在5月中旬。

1. 两个矩阵的等价2. 两个矩阵的乘积3. 将矩阵化为行阶梯型、行最简形、标准型4. 求矩阵的秩5. 求可逆矩阵的逆矩阵6. 求线性方程组的解7. 判断向量组的线性相关性8. 求向量组的秩与极大无关组9. 求矩阵的对角化矩阵（采用行列初等变换，对角线元素为特征值）第二部分：正文矩阵的初等变换及其应用矩阵是线性代数最基本也是最重要的概念之一，几乎线性代数所有的概念或者其使用里面都可以见到矩阵的身影，作为矩阵核心，矩阵的初等变换及其应用是及其重要的，本文将对矩阵初等变换及其应用做简单讨论。

一．两个矩阵的等价矩阵等价的定义为：若矩阵A经过一系列初等行变换化为矩阵B，则称A与B行等价。

若矩阵A经过一系列初等列变换化为矩阵B，则称A与B列等价。

若矩阵A经过一系列初等变换化为矩阵B，则称A与B等价（相抵）。

根据性质，矩阵的等价变换形式主要有如下几种： 1）矩阵的i行（列）与j行（列）的位置互换；2）用一个非零常数k乘矩阵的第i行（列）的每个元；3）将矩阵的第j行（列）的所有元得k倍加到第i行（列）的对应元上去；即如果两个矩阵可通过有限次上述变换中的一个或几个的组合变为一样的，两个矩阵等价。

㊀㊀㊀㊀㊀㊀矩阵的初等变换及其应用矩阵的初等变换及其应用Һ顾江永㊀（宿迁学院文理学院，江苏㊀宿迁㊀２２３８００）㊀㊀ʌ摘要ɔ矩阵的初等变换在代数学中具有重要的地位，本文给出了运用初等变换求解方程组的基础解系㊁特征值㊁多项式的最大公因式和Ｊｏｒｄａｎ标准形相似变换矩阵等方法，这些方法具有直观㊁简捷㊁有效等特点．ʌ关键词ɔ初等变换；基础解系；最大公因式；相似变换矩阵ʌ基金项目ɔ２０１９江苏省高校教学研究一般项目（２０１９ＳＪＡ１９９７）一㊁引㊀言矩阵的初等变换包括矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换，矩阵的初等行（列）变换有三种形式［１］：（１）交换两行（列）；（２）任一行（列）的ｋ倍（ｋʂ０）；（３）任一行（列）的ｋ倍加到另一行（列）．在代数学中，矩阵的初等变换有着非常重要且广泛的应用，它常被应用于行列式的计算㊁方程组以及矩阵方程的求解㊁向量线性关系的判定㊁求矩阵的秩以及逆㊁λ－矩阵的不变因子和矩阵的Ｊｏｒｄａｎ标准形等．张家宝给出了初等变换求逆的几种方法［２］；石擎天等研究了初等变换求解方程组的特殊方法［３］；于莉琦等介绍了初等变换在行列式㊁矩阵和方程组中的应用［４］．本文给出了矩阵的初等变换求解方程组的基础解系㊁最大公因式和Ｊｏｒｄａｎ标准形的相似变换矩阵等方法及应用．二㊁预备知识引理１［５］㊀设矩阵Ａｍˑｎ的秩为ｒ，且Ａｍˑｎ＝ＰＥｒ０００æèçöø÷Ｑ，其中Ｐｍˑｍ，Ｑｎˑｎ为可逆矩阵，则有Ｐ－１００Ｅｎæèçöø÷ＡＥｎæèçöø÷Ｑ－１＝Ｅｒ０００Ｑ－１æèççöø÷÷．证明㊀因为Ａｍˑｎ＝ＰＥｒ０００æèçöø÷Ｑ，所以Ｅｒ０００æèçöø÷＝Ｐ－１ＡｍˑｎＱ－１，故Ｐ－１００Ｅｎæèçöø÷ＡＥｎæèçöø÷Ｑ－１＝Ｐ－１ＡＥｎæèçöø÷Ｑ－１＝Ｐ－１ＡＱ－１Ｑ－１æèçöø÷＝Ｅｒ０００Ｑ－１æèççöø÷÷，注：引理１给出了化一个矩阵为标准形的求Ｑ－１的方法．引理２㊀设矩阵Ａｍˑｎ的秩为ｒ，则矩阵ＡＥｎæèçöø÷仅经初等列变换可以化为β１，β２， ，βｒ，０， ，０Ｑ－１æèçöø÷，其中β１，β２， ，βｒ线性无关，且ＡＱ＝β１，β２， ，βｒ，０， ，０()．证明㊀因为Ａｍˑｎ的秩为ｒ，所以Ａｍˑｎ的列秩等于ｒ，即矩阵Ａｍˑｎ列向量组的最大线性无关组由ｒ个向量构成，不妨设为β１，β２， ，βｒ，故由初等变换的性质可得ＡＥｎæèçöø÷仅经初等列变换可以化为β１，β２， ，βｒ，０， ，０Ｑ－１æèçöø÷．引理３［６］㊀设Ａ是数域Ｐ上的ｎ阶方阵，将矩阵λＥ－Ａ经初等变换化为上三角形矩阵ｆ１（λ）０ ０∗ｆ２（λ）０︙︙⋱︙∗∗ｆｎ（λ）æèççççöø÷÷÷÷，则ｆｉ（λ）＝０（ｉ＝１，２， ，ｎ）在数域Ｐ上的根即为矩阵Ａ的全部特征根．证明㊀根据初等变换的性质可知，初等变换不改变λＥ－Ａ＝０的根，故ｆ１（λ）０ ０∗ｆ２（λ） ０︙︙⋱︙∗∗ｆｎ（λ）＝ｆ１（λ）ｆ２（λ） ｆｎ（λ）＝０的根即为矩阵Ａ的全部特征根．引理４㊀设ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ）， ，ｆｓ（ｘ）是数域Ｐ上的多项式，且ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ）， ，ｆｓ（ｘ）()Ｔ经初等行变换化为ｄ（ｘ），０， ，０()Ｔ，则ｄ（ｘ）即为ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ）， ，ｆｓ（ｘ）的最大公因式．证明㊀由辗转相除法原理直接可得［１］．三㊁主要结论定理１㊀设齐次线性方程组Ａｍˑｎｘ＝０，其系数矩阵Ａｍˑｎ的秩为ｒ，且Ａｍˑｎ＝ＰＥｒ０００æèçöø÷Ｑ，又设Ｑ－１＝（η１， ，ηｒ，ηｒ＋１， ，ηｎ），则ηｒ＋１，ηｒ＋２， ，ηｎ是线性方程组Ａｍˑｎｘ＝０的基础解系．证明㊀设Ｑｘ＝ｙ１︙ｙｒ︙ｙｎæèçççççöø÷÷÷÷÷＝ＹｒＹｎ－ｒæèçöø÷，由Ａｍˑｎｘ＝ＰＥｒ０００æèçöø÷Ｑｘ＝ＰＥｒ０００æèçöø÷ＹｒＹｎ－ｒæèçöø÷＝０，可得Ｙｒ＝ｙ１︙ｙｒæèççöø÷÷＝０，所以ｘ＝Ｑ－１ＹｒＹｎ－ｒæèçöø÷＝Ｑ－１０︙０ｙｒ＋１︙ｙｎæèççççççöø÷÷÷÷÷÷．㊀㊀㊀㊀㊀令Ｑ－１＝（η１， ，ηｒ，ηｒ＋１， ，ηｎ），则ｘ＝ｙｒ＋１ηｒ＋１＋ｙｒ＋２ηｒ＋２＋ ＋ｙｎηｎ．因为Ｑ是可逆矩阵，则ηｒ＋１，ηｒ＋２， ，ηｎ线性无关，所以ηｒ＋１，ηｒ＋２， ，ηｎ为方程组的一个基础解系．定理２［７］㊀设Ａ是数域Ｐ上的ｎ阶方阵，矩阵λＥｎ－ＡＥｎæèçöø÷经初等变换化为φ１（λ）０⋱０φｎ（λ）Ｑ（λ）æèççççöø÷÷÷÷（其中初等行变换只能在前ｎ行进行）．设Ｑ（λ）的第ｊ列为ｑｊ（λ），若λ－λ０()ｋ为φｊ（λ）的初等因子，则Ａｑｊ（λ０），ｑᶄｊ（λ０）１！，ｑᵡｊ（λ０）２！， ，ｑ（ｋ－１）ｊ（λ０）（ｋ－１）！æèçöø÷＝ｑｊ（λ０），ｑᶄｊ（λ０）１！，ｑᵡｊ（λ０）２！， ，ｑ（ｋ－１）ｊ（λ０）（ｋ－１）！æèçöø÷λ０１００λ００︙︙⋱１００λ０æèççççöø÷÷÷÷．证明㊀由题设知，存在可逆矩阵Ｐ（λ），Ｑ（λ），使得Ｐ（λ）λＥｎ－Ａ()Ｑ（λ）＝φ１（λ）０⋱０φｎ（λ）æèççöø÷÷．因为ｑｊ（λ）是Ｑ（λ）的第ｊ列，所以Ｐ（λ）λＥｎ－Ａ()ｑｊ（λ）＝（０， ，０，φｊ（λ），０， ，０）Ｔ．又设ｑｊ（λ）的幂级数展开式为ｑｊ（λ）＝ｑｊ（λ０）＋ｑᶄｊ（λ０）１！λ－λ０()＋ｑᵡｊ（λ０）２！λ－λ０()２＋ ，代入Ｐ（λ）λＥｎ－Ａ()ｑｊ（λ）＝（０， ，０，φｊ（λ），０， ，０）Ｔ，得λ０Ｅｎ－Ａ()ｑｊ（λ０）＝０，λ０Ｅｎ－Ａ()ｑᶄｊ（λ０）＋ｑｊ（λ）＝０，λ０Ｅｎ－Ａ()ｑ（ｋ－１）ｊ（λ０）（ｋ－１）！＋ｑｋ－２()ｊ（λ０）ｋ－２()！＝０．上面等式两边相加㊁移项并提取矩阵Ａ可得Ａ(ｑｊ（λ０），ｑᶄｊ（λ０）１！，ｑᵡｊ（λ０）２！， ，ｑ（ｋ－１）ｊ（λ０）（ｋ－１）！)＝(ｑｊ（λ０），ｑᶄｊ（λ０）１！，ｑᵡｊ（λ０）２！， ，ｑ（ｋ－１）ｊ（λ０）（ｋ－１）！)λ０１００λ０ ０︙︙⋱１００λ０æèççççöø÷÷÷÷．四㊁应用举例例１㊀求多项式ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ），ｆ３（ｘ）的最大公因式，其中ｆ１（ｘ）＝ｘ４＋２ｘ３＋４ｘ２＋３ｘ＋２，ｆ２（ｘ）＝ｘ４＋ｘ３＋３ｘ２＋ｘ＋２，ｆ３（ｘ）＝ｘ３＋２ｘ２＋３ｘ＋２．解㊀因为ｆ１（ｘ）ｆ２（ｘ）ｆ３（ｘ）æèççöø÷÷＝ｆ１（ｘ）－ｆ２（ｘ）ｆ２（ｘ）－ｘｆ３（ｘ）ｆ３（ｘ）æèççöø÷÷＝ｘ３＋ｘ２＋２ｘ－ｘ３－ｘ＋２ｘ３＋２ｘ２＋３ｘ＋２æèççöø÷÷＝ｘ３＋ｘ２＋２ｘｘ２＋ｘ＋２ｘ２＋ｘ＋２æèççöø÷÷＝ｘ３＋ｘ２＋２ｘｘ２＋ｘ＋２０æèççöø÷÷＝ｘ２＋ｘ＋２００æèççöø÷÷，所以由引理４知，ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ），ｆ３（ｘ）的最大公因式为ｄ（ｘ）＝ｘ２＋ｘ＋２．例２㊀求齐次线性方程组ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋ｘ５＝０，３ｘ１＋２ｘ２＋ｘ３＋ｘ４－３ｘ５＝０，５ｘ１＋４ｘ２＋３ｘ３＋３ｘ４－ｘ５＝０{的基础解系．解㊀对系数矩阵Ａ施行初等行变换如下Ａ＝１１１１１３２１１－３５４３３－１æèççöø÷÷ ｒ２－３ｒ１ｒ３－５ｒ１１１１１１０－１－２－２－６０－１－２－２－６æèççöø÷÷ ｒ１＋ｒ２ｒ２ˑ（－１）ｒ３－ｒ２１０－１－１－５０１２２６０００００æèççöø÷÷．又１０－１－１－５０１２２６１０００００１０００００１０００００１０００００１æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷ ｃ３＋ｃ１ｃ４＋ｃ１ｃ５＋５ｃ１１０００００１２２６１０１１５０１０００００１０００００１０００００１æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷ ｃ３－２ｃ２ｃ４－２ｃ２ｃ５－６ｃ２１０００００１０００１０１１５０１－２－２－６００１０００００１０００００１æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷则由引理２知，方程组的基础解系为η１＝（１，－２，１，０，０）Ｔ，η２＝（１，－２，０，１，０）Ｔ，η３＝（５，－６，０，０，１）Ｔ．ʌ参考文献ɔ［１］王萼芳，石生明．高等代数（第五版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１９：５．［２］张家宝．浅谈求逆矩阵的几种方法［Ｊ］．数学学习与研究，２０２０（１０）：４－５．［３］石擎天，黄坤阳．线性方程组求解及应用［Ｊ］．教育教学论坛，２０２０（１２）：３２５－３２７．［４］于莉琦，高恒嵩．初等变换概述［Ｊ］．数学学习与研究，２０１９（０６）：１１６．［５］徐仲，陆全，等．高等代数考研教案（第２版）［Ｍ］．西安：西北工业大学出版社，２００９．［６］卢博，田双亮，等．高等代数思想方法及应用［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１７．［７］朱广化．关于‘相似变换矩阵的简单求法“的改进［Ｊ］．数学通报，１９９４（１１）：４４－４６．。

㊀㊀㊀㊀㊀㊀线性代数中初等变换在矩阵理论中的应用线性代数中初等变换在矩阵理论中的应用Һ庞㊀峰㊀（山西警察学院，山西㊀太原㊀０３０４０１）㊀㊀ʌ摘要ɔ矩阵是整个线性代数课程的基础，线性代数的很多概念和应用都离不开矩阵，而初等变换是矩阵运算中的最主要㊁最常见的一种运算，也是解决矩阵问题的一个基本方法，它几乎贯串线性代数的始终．鉴于矩阵初等变换的重要性，本文将对矩阵的初等变换应用于不同方面做一个归纳与总结，便于理清各知识点之间的内在联系，对掌握矩阵理论十分有帮助，同时，希望本论文的研究也会给相关的学者一些建议和思考．ʌ关键词ɔ矩阵理论的应用；线性代数；初等变换ʌ基金项目ɔ课题名称： 金课 标准下的‘线性代数“线上㊁线下混合式教学研究，课题编号：ＹＪ２０２０１２，课题来源：２０２０山西警察学院院级教学改革创新项目重点课题随着时代的发展，矩阵由最初的一种工具逐渐演变为一门数学分支 矩阵论，而矩阵论又可分为矩阵方程论㊁矩阵分解论及广义逆矩阵论等矩阵的现代理论，已经被广泛地应用在了现代科技的各个领域之中．矩阵就是一个整齐排列的实数或复数的数块或者说集合，它本身没有任何运算的功能．正是初等变换赋予了矩阵变化的 魔力 ，才把矩阵理论中的绝大部分内容有机地联系起来．由此可见，矩阵的初等变换在矩阵理论中起着举足轻重的作用，是其核心和精髓．通过初等变换将矩阵Ａ转化为更为简单的矩阵Ｂ，然后利用矩阵Ｂ来对矩阵Ａ进行研究，这已被公认为是一种方便㊁有效的途径．我们通常所说的矩阵的位置变换就是将矩阵中的两行（或列）的位置进行对换，记作：Ｒｉ↔Ｒｊ或Ｃｉ↔Ｃｊ；其次是数乘变换：就是将矩阵的某一行（或列）乘一个不等于零的数ｋ，记作：ｋＲｉ或ｋＣｉ；最后是消去变换：就是将矩阵中的某一行（或列）的适当倍数加到另外的一行（列）上，记作：Ｒｉ＋ｋＲｊ或Ｃｉ＋ｋＣｊ．以上三种变换统称为矩阵的初等变换．关于初等变换的重要结论：任何一个矩阵，通过有限可数次的初等变换都可以化成阶梯形，再进一步化为行最简形矩阵．这一结论保证了初等变换的可行性，同时也指明了变换的最终方向．矩阵的初等变换有很多优点，如，它只涉及加减乘除四则基本运算，计算简单；化简过程有规律，算法很容易实现；初等变换表面上是一种等价变化，实质上却是矩阵乘法的可逆恒等运算，从而通过形式的转化实现恒等运算的本质；初等变换的化简过程灵活多样，因人而异，但结果却唯一，且保持矩阵的本质属性即矩阵的秩不变．总之，矩阵初等变换的实质是将问题化繁为简㊁化多为少㊁化大为小，并且保持事物的本质属性不变．我们要善于运用矩阵的初等变换这一有力工具来帮助我们达到解决矩阵问题的目的，并掌握矩阵初等变换的广泛应用．一㊁求逆矩阵逆矩阵的求解是矩阵理论中的一个十分重要的内容．对于一个方阵Ａ，我们可以采用初等变换的方法来判断这个矩阵是否可逆，而且在可逆的情况下还可以求出其逆矩阵Ａ－１．也就是先将原矩阵与同阶单位矩阵采用拼接的方式得到一个新矩阵，再对这个矩阵进行转化，遵循ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ（其中Ａ为可逆矩阵，Ｅ为单位矩阵）的规则，以此来确定它的逆矩阵．如果在变换过程中，与Ａ等价的矩阵无法变成Ｅ时，则Ａ不可逆．具体形式如下：（Ａ｜Ｅ）ң ң{初等行变换（Ｅ｜Ａ－１）或ＡＥ()ң ң{初等列变换ＥＡ－１æèçöø÷求逆矩阵还可以采用伴随矩阵的方法进行求解．对于一个ｎ阶方阵Ａ，用伴随矩阵计算逆矩阵Ａ－１，需要计算ｎ２＋１个行列式，计算量相当大，而且这ｎ２＋１个行列式要计算出值也非易事．相比之下，利用初等变换来计算逆矩阵就显得较为简便㊁实用㊁快捷．二㊁解矩阵方程对于矩阵方程，比矩阵的乘法运算更简单㊁实用，而且计算方便的方法即是初等变换的方法．（１）形如ＡＸ＝Ｂ的矩阵方程，由于Ａ－１（Ａ，Ｂ）＝（Ｅ，Ａ－１Ｂ），因此采用初等行变换很容易得出它的解Ｘ＝Ａ－１Ｂ．具体过程为：ＡＢ()ң ң{初等行变换ＥＡ－１Ｂ()．（２）形如ＸＡ＝Ｂ的矩阵方程，同理可得ＡＢæèçöø÷Ａ－１＝ＥＢＡ－１æèçöø÷，可以采用矩阵的初等列变换进行求解，得出Ｘ＝ＢＡ－１，具体过程为：ＡＥ()ң ң{初等列变换ＥＢＡ－１æèçöø÷．（３）形如ＡＸＢ＝Ｃ的矩阵方程，可以参照（１）（２）两种基本形式，得出其解为Ｘ＝Ａ－１ＣＢ－１，具体过程为：（Ａ｜Ｃ）ң ң{初等行变换（Ｅ｜Ａ－１Ｃ），ＢＡ－１Ｃæèçöø÷ң ң{初等列变换ＥＡ－１ＣＢ－１æèçöø÷．另外，对于其他变异形式的矩阵方程，可以先通过恒等变形转化为上述（１）或（２）的基本形式，再解之．三㊁计算矩阵的秩矩阵的秩是矩阵的一种固有本质属性，是讨论矩阵问题㊁线性方程组的解的问题㊁向量组相关性㊁线性空间基等的重要依据，也是透过现象看本质的重要载体．一般矩阵用定义求其秩，需要从最高阶式子起一阶一阶地试验结果是否非零，显然偶然性很大，而且计算也比较烦琐．矩阵的秩有如下三个重要结论：（１）行阶梯形矩阵的秩就是非零行的行数；（２）矩阵的秩不随矩阵的初等变换而发生变化；（３）任何一个矩阵的行秩等于列秩．据此，我们把矩阵进行初等变换，化成阶梯形矩阵后，非零行数目就是它的秩．这一方法大大方便了计算矩阵的秩，算法更为快捷和适用．四㊁高斯消元法的应用线性方程组作为数学方程组的一种，一般由未知数（一㊀㊀㊀㊀㊀次）㊁系数㊁常数等组成．方程组同解变换的求解过程，实质上只是对未知量系数和常数项进行相应变化的过程．所以，透过现象看本质，求解实际上就是由方程组的未知量系数和常数项构成的增广矩阵进行初等变换的过程．它不仅能判断方程组解的各种具体情况，还可以有效地求出线性方程组的解．如果方程组存在解，那么可将其转化为行最简形矩阵，求出方程组Ａｘ＝ｂ的解，这就是线性代数中的高斯消元法．具体过程如下：增广矩阵Ｂ＝（Ａｂ）初等行变换ң阶梯形}结合秩，判断解的情况初等行变换ң最简形}求出解这一方法求解过程的关键正是矩阵的初等变换．值得强调的是，使用高斯消元的过程，只能使用初等行变换，而不能使用初等列变换，否则，就不是方程组的同解变换了．高斯消元法是解线性方程组最普适的一种方法，不管方程组中未知量的个数和方程个数是多少，也不管方程组解的情况怎样，对各种线性方程组都适用．而且，从计算量上说，该方法也要比Ｃａｒｍｅｒ法则优越得多，大大降低了线性方程组解的判定与求解难度．例如，ａ，ｂ取何值时，非齐次线性方程组ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＝１，ｘ２－ｘ３＋２ｘ４＝１，２ｘ１＋３ｘ２＋（ａ＋２）ｘ３＋４ｘ４＝ｂ＋３，３ｘ１＋５ｘ２＋ｘ３＋（ａ＋８）ｘ４＝５，ìîíïïïï（１）有唯一解？（２）无解？（３）有无穷多个解？有解时求出全部解．解：用初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形矩阵，Ｂ＝（Ａ，ｂ）＝１１１１１０１－１２１２３ａ＋２４ｂ＋３３５１ａ＋８５æèçççöø÷÷÷Ｒ３－２Ｒ１Ｒ４－３Ｒ１１１１１１０１－１２１０１ａ２ｂ＋１０２－２ａ＋５２æèçççöø÷÷÷ Ｒ３－Ｒ２Ｒ４－２Ｒ２１１１１１０１－１２１００ａ＋１０ｂ０００ａ＋１０æèçççöø÷÷÷由此可知：（１）当ａʂ－１时，Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）＝未知量个数４，方程组有唯一解：ｘ１＝－２ｂａ＋１，ｘ２＝ａ＋ｂ＋１ａ＋１，ｘ３＝ｂａ＋１，ｘ４＝０；（２）当ａ＝－１，ｂʂ０时，Ｒ（Ａ）＝２ʂＲ（Ｂ）＝３，方程组无解；（３）当ａ＝－１，ｂ＝０时，Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）＝２＜４，方程组有无穷多个解．Ｂ １１１１１０１－１２１００００００００００æèçççöø÷÷÷ Ｒ１－Ｒ２１０２－１００１－１２１００００００００００æèçççöø÷÷÷令ｘ３＝ｃ１，ｘ４＝ｃ２，则方程组的通解为：ｘ１＝－２ｃ１＋ｃ２，ｘ２＝１＋ｃ１－２ｃ２，ｘ３＝ｃ１，ｘ４＝ｃ２ìîíïïïï或ｘ１ｘ２ｘ３ｘ４æèççççöø÷÷÷÷＝０１００æèçççöø÷÷÷＋ｃ１－２１１０æèçççöø÷÷÷＋ｃ２１－２０１æèçççöø÷÷÷（ｃ１，ｃ２为任意常数）．五㊁求方阵的特征值与特征向量工程技术中的一些问题如振动问题㊁稳定性问题，常常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题．矩阵Ａ的特征值λ０是它的特征方程的根，对应λ０的全部特征向量ｐ是齐次线性方程组的非零解，而对齐次线性方程组的非零解的讨论其实就是使用初等变换进行高斯消元的过程．六㊁对称矩阵的对角化对称矩阵是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵，由于其转置矩阵和自身相等而被称为对称矩阵．对称矩阵可以用一般的由特征向量组成的非奇异阵作对角化，只不过它有特殊的性质（对称），因此我们就可以考虑特殊的对角化，即正交相似对角化．我们需要利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，比较简单且易理解，其具体的步骤是：（１）求Ａ的特征值λ１，λ２，λ３， ，λｎ；（２）（Ａ－λｉＥ）Ｘ＝０，求出Ａ的特征向量；（３）将特征向量正交化；（４）将特征向量单位化得ｐ１，ｐ２， ，ｐｎ；（５）写出正交矩阵Ｐ＝（ｐ１，ｐ２， ，ｐｎ）．我们只有合理选择方法，才能提高研究效率．七㊁广义初等变换的使用为了简便，我们需对大规模矩阵进行分块，使大矩阵的运算化分成几个小矩阵的运算．同样，对于分块矩阵，也可以把矩阵的每一个子块作为矩阵的一个基本元素，像普通矩阵一样进行位置变换㊁数乘变换和消去变换这三种基本变换，这被称为分块矩阵的广义初等变换．由于广义初等变换本身具有较好的性质，也是矩阵运算中极为重要的方法，可以有效地将疑难问题简单化，因此其成为广大学者日益关注的热点话题之一．结束语：矩阵是连接方程组理论与几何理论的纽带，因此矩阵是解决线性代数中线性方程组㊁向量空间㊁线性变换等问题最常用的方法．而初等变换作为矩阵理论的一条主线，不仅能够简化矩阵为阶梯形或最简形，而且作为矩阵理论中极其重要的一种运算，它是上述几类问题的基础与核心．因此，初等变换在线性代数中的应用十分广泛，只有真正掌握了这种方法，才能巧妙地运用其解决线性代数中相对复杂的问题，以达到事半功倍的效果．ʌ参考文献ɔ［１］李慧．矩阵的初等变换在线性代数中的简单应用［Ｊ］．课程教育研究，２０１９（０９）：１４２－１４３．［２］缪应铁．矩阵的初等变换在线性代数中的一些应用［Ｊ］．数学学习与研究，２０１８（１７）：２４．［３］张忠．矩阵的初等变换在线性代数中的应用［Ｊ］．纳税，２０１７（２５）：１８８，１９０．［４］吴英柱．矩阵的初等变换在线性代数中的若干应用与探讨［Ｊ］．广东石油化工学院学报，２０１７（０１）：７１－７５，９４．。