矩阵的初等变换及应用的总结

矩阵的初等变换及应用

内容摘要：

矩阵是线性代数的重要研究对象。矩阵初等变换是线性代

数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。

一矩阵的概念

定义：由于m x n 个数aij (i=1 , 2,….,m; j=1 , 2,….,

n)排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m x n矩阵

二矩阵初等变换的概念

定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换

1. 初等行变换

矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换：

⑴交换矩阵的两行佼换一两行,记作.);

(2) 以一个非零的数 '乘矩阵的某一行(第.行乘数卜，记作…);

(3) 把矩阵的某一行的，倍加到另一行(第一行乘 '加到.行, 记为).

1.初等列变换

把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换

3，如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B等价，记作A~B

矩阵之间的等价关系具有下列基本性质：

⑴反身性；

(2) 对称性若小丄,，则；

(3) 传递性若丄丄,/,则」.

三矩阵初等变换的应用

1.利用初等变换化矩阵为标准形

定理：任意一个m x n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形

■

4■

■

1

F行二0

■

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< 泓1

2. 利用初等变换求逆矩阵

求n阶方阵的逆矩阵：即对n x 2n矩阵(A| E)施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A A(-1)

即(A|E)经过初等变换得到(E|AA(-1))

这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化

为行阶梯形矩阵时，

若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。

设矩阵」可逆，则求解矩阵方程丄「丄「等价于求矩阵

X=A A S,

为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩阵J 匚，对其施以初等行变换将矩阵」化为单位矩阵.，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵丄「化为二丁，即

这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程二I -］的方法.

同理，求解矩阵方程等价于计算矩阵亦可利

用初等列变换求矩阵二：.即

3. 利用矩阵初等变换求矩阵的秩

矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、深入研究线

性方程组等问题的重要工具.从上节已看到，矩阵可经初等行变换化为行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的，这个数实质上就是矩阵的“秩”，鉴于这个

数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵的秩的方法.

定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，即若A~B则R(A) =R(B)

为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成阶梯矩阵解体矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩利用矩阵值得概念，能够讨论线性方程组有解的条件，然后通过研究向量组的线性相关性，向量组的秩等重要概念，讨论线性方程组的结构。

4. 行列式的计算一般格式：经过将行列式等行变换化为上三角形5．求线性方程组的解一般格式:

(1)齐次线性方程组AX=O , A是m x n矩阵

1 °对系数矩阵A 进行初等行变换，将其化为行阶梯矩阵，求出

r(A) 。

若r(A)=n，贝U AX=0，只有零解；若r(A) v n, 则AX=0有非零解，转入2°

2°对阶梯阵继续施行初等行变换将其化为行最简形矩阵，写出其对应的

线性方程组，以非零行首个非零元对应的k 个未知量为基本未知量，其余的n-k 个未知量为自由未知量，将自由未知量移到等式右端得到一般解，在一般解中分别令

自由未知量中一个为1 ，其余全为0，求得AX=0 的基础解系：X 1, X 2,…,Xn-k

3 ° n-k个解向量的线性组合：C 1 X 1 +C2X 2 +…+Cn-kXn-k(C 1, C2,…，Cn-k为任意常数)就是AX=0 的通解。

⑵非齐次线性方程组AX=B , A是m x n矩阵

1°对增广矩阵(AB) 进行初等行变换，将其化为行阶梯矩阵，

求出r(A)与r(AB)，若r(A) v r(AB)，则AX=B 无解；若

r(A)=r(AB) 则AX=B 有解，转入2°

2°对行阶梯阵继续施行初等行变换，将其化为行最简形矩阵，写出其对应的线性方程组，此时若r(A)=r(AB)=n ，则AX=B 有唯一解，行最简形矩阵所对应的线性方程组就是这唯一解的表达式；若

r(A)=r(AB)=k v n,贝U AX=B有无穷多解，转入3°

3°以非零行的首个非零元对应的k 个未知量为基本未知量，

其余n-k 个未知元为自由未知量，将自由未知量移到等式右端，得到AX=B 的一般解，令所有的自由未知量为0，求得AX=B 的一个特解X0

4°在AX=B 的一般解中去掉常数项，就得到导出组AX=0 的一般解，分别令一个自由未知量为1 其余自由未知量都为

0,求出导出组AX=0的基础解系，X 1, X 2,…，Xn-k与

通解C 1 X 1 + C2 X2 +••• + C n-kXn-k

5°AX=B 的一个特解加导出组AX=0 的通解C1 X1+C 2

X2+…+Cn -kXn-k+X0(C 1,…，Cn-k 为任意常数)就是AX=B 的通解。

6. 确定向量组的线性相关性

—般格式：设向量组为a 1 a 2 ............. a m，以a 1 a 2 ......... a m 为列构成矩阵A ，对A 施行

初等行变换，将它化成行阶梯形矩阵，求出

其秩r (A),若r (A) =m,

贝》a 1 a 2 a m线性无关，若r (A)