高一数学三角函数的周期性课件

根据已知数据作出散点图，如下图所示．
y
由数据表和散点图可 22
知，振子振动时位移的最 20
18
大值为20mm，因此A＝20；16
14
振子振动的周期为0.6s，


即 = 0.6 解得ω＝ ；


再由初始状态(t＝0)振子
的位移为-20，可得sinφ

=－1，因此φ ＝- ．

所以振子位移关于时间
的函数解析式为

y=20sin( t

-

),

12
10
8
6
4
2
–2 O
–4
–6
–8
–10
–12
–14
–16
–18
–20
–22
t∈[０，＋∞）．
x
现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆
的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，等等．这
些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．
在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正
然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最
后利用这个函数模型来解决相应的实际问
题．
实际问题通常涉及复杂的数据，因此往
往需要使用信息技术．
课堂
小结
1.知识清单：
(1)简谐运动.
(2)函数的“拟合”.
(3)三角函数在物理中的应用.
2.方法归纳：数学建模、数形结合.
3.常见误区：选择三角函数模型时，最后结果忘记回归
6
7
8
9
10
11
水
5.00 6.21 7.12 7.49 7.24 6.42 5.25 4.01 3.02 2.52 2.65 3.37

索引
二、填空题 6.函数 f(x)是周期函数，10 是 f(x)的一个周期，且 f(2)＝ 2，则 f(22)＝____2____.
解析 f(22)＝f(22－20)＝f(2)＝ 2.
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14
B.y＝sin 2x
C.y＝sin
x 2
D.y＝|sin 2x|
解析 y＝sin x2的周期为 T＝21π＝4π；y＝sin 2x 的周期为 T＝22π＝π；y＝sin x2的
2
周期为 T＝2π；y＝|sin 2x|的周期为 T＝π2.
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14
y＝cos32π－2x＝－sin 2x 是奇函数，根据公式得其最小正周期 T＝π.
索引
(2)定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数，又是周期函数，若 f(x)的最小正周期为 π，
且当 x∈0，π2时，f(x)＝sin x，则 f53π等于( D )
A.－12
B.21
C.－
3 2
D.
3 2
解析
f53π＝f53π－π＝f23π＝f23π－π＝f－π3＝fπ3＝sinπ3＝
A.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数
B.偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数
解析 f(x)的定义域为R，且f(－x)＝|sin(－x)|＝|－sin x|＝|sin x|＝f(x)， 所以f(x)是偶函数.
索引
4.函数f(x)＝sin(2x)的最小正周期是___π_____.
解析 由f(x＋π)＝sin[2(x＋π)]＝sin(2x＋2π)＝sin(2x)＝f(x)得f(x)的最小 正周期为π.

2
6
变式训练：求下列函数的最小正周期:
+
(1)y=sin
(x∈R);
+
(2)y=3cos -
(x∈R);
(3)y=|cos x|(x∈R).
解:(1)令 y=f(x)=sin
+ +
因为 sin
所以 sin ( + ) +
+
,
=sin
+
,
=sin
+
,
即 f(x+π)=f(x).
所以函数 f(x)=sin
问题提出
问题二：图象具有周期性，函数的横、纵坐标有何特点？
2
2
32

2
A1
·
·
1 B
1
y
y
x
O
1
由正弦函数的诱导公式：
2
sin(x+2kπ) = sinx
可得：sin(2π+x)=sinx

2

·
·
B2
பைடு நூலகம்
3
2
A2
2x+2π5
2
5

sin sin
sin(2 )
=-f -
=-sin -
=sin =
.
• 反思感悟
•
解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的
方法:利用函数的周期性,可以把x+nT(n∈Z)的
函数值转化为x的函数值.利用奇偶性,可以找到x与x的函数值的关系,从而解决求值问题.
目标检测
1.(多选题)下列是定义在R上的四个函数图象的
一部分,其中是周期函数的是(

即
1
1
π T
π
2sin2x＋6＋2 ＝2sin2x＋6对任意的




即

T
2sinu＋2 ＝2sin


1 π
u，其中 u＝ x＋ .
2 6
T
∵y＝2sin u 的周期为 2π，∴ ＝2π，
2
∴T＝4π，
1
π
∴f(x)＝2sin2x＋6的周期为


4π.
x 均成立.
所以f(x)＝－f(－x)＝－f(2－x)＝－sin(2－x)＋x－2＝sin(x－2)＋x－2.
答案
sin(x－2)＋x－2
课堂小结：
1.周期函数的概念
2.最小正周期的概念和求法：公式法和定义法
3.三角函数的最小正周期
π
3
＝f673π＋ ＝f ＝f－ ＝f ＝sin ＝
，
3
3 3 3 3
3 2
所以
2
f

020π 2 021π
3
3
＋f
＝
3 3 2 ＋ 2 ＝ 3.
规律方法
当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内
的函数值的变化情况，再给予推广求值.
5π
f 3 ＝(

【迁移1】
(变换条件)若将例3中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，
结果如何？
解
5π
5π

2π
2π

π
π
π

……
f（-1）= f（-1+7） …… f（0）= f（ 0+7 ） ……
f（1）= f（ 1+7 ） …… f（2）= f（ 2+7 ） ……
……
那么，对定义域内任意一个 x 都有 f（x+7） = f（x）
铜仁学院数计系
一、周期函数：
对于函数f(x),如果存在一个非零常数T，使得当x取 定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x) 就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.
.
时,有
f
x sin 3 x, 求f (x)在[-4π ,
-2π ]上的解析式.
4
铜仁学院数计系
谢谢指导！
再见
铜仁学院数计系
特别提醒：
（1）常数T不为0； （2）x的任意性；
（3） x∈A, x+T ∈A.(A是函数的定义域).
铜仁学院数计系
解：（一）∵f (x)=sin(-x)=sin(-x+2π) =sin[-(x-2π)]=f(x-2π)
解：他们的周期都是2π.
第二组2 1 f x sin 2x, x R; 2 f x sin 1 x, xR;
2
解：（1）的周期是π .
（2）的周期是4π .
.
（3）的周期是2π.
3 f x sinx, xR;
第三组3 1 f x 2sin(1 x ), xR;
（其中 A, w, 为常数，A 0）的周期.
铜仁学院数计系
五：课后作业与思考题
课本 p36 练习2 p46 A组10
1、判断函数 f(x)=2 , x∈ R是不是周期函数？若是，则4是不是它的 周期？0.5是不是?0.001是不是?0.00001是不是?从这里你能得到 什么结论?

23.∴f53π＝
3 2.
明目标、知重点
反思与感悟 解决此类问题关键是综合运用函数的周 期性和奇偶性，把自变量x的值转化到可求值区间内.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知函数 f(x)对于任意 x∈R 满足条件 f(x＋3)＝f1x，
且 f(1)＝12，则 f(2 014)等于( B )
1 A.2 解析
明目标、知重点
填要点·记疑点
1.函数的周期性 (1)对于函数f(x)，如果存在一个 非零常数T ，使得当x取定 义域内的每一个值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就 叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期. (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数， 那么这个最小正数就叫做f(x)的 最小正周期 .
明目标、知重点
由于 x 至少要增加|2ωπ|个单位，f(x)的函数值才会重复出现，因此，|2ωπ| 是函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期.
同理，函数 f(x)＝Acos(ωx＋φ)也是周期函数，最小正周期也是|2ωπ|.
明目标、知重点
探究点四 正弦、余弦函数的奇偶性 导引 正弦曲线
∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x). ∴f(x)为奇函数.
明目标、知重点
1＋sin x－cos2x
(3)f(x)＝
.
1＋sin x
解 ∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，
∴x∈R 且 x≠2kπ－π2，k∈Z.
明目标、知重点
探究点三 函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝A·cos(ωx＋φ))(A>0，ω≠0)的周期

2. y=sinx(x∈[0,4π])是周期函 数吗？
3.已知函数f(x)对定义域中的每个自变量 都有f(x+2)=-f(x),它是周期函数吗？ 如果是，它的周期是多少？
回顾小结
1.周期函数的定义 2.最小正周期的定义 3.三角函数的最小正周期的求法
课外思考：
1.已知函数 f ( x ) 是周期为1的周期 函数，若 f (1) 1 ， 2 0 0 9 ) _ _ _ _ _ _ 则 f(
（ ） ×
一个周期函数的周期有多少个？
对于一个周期函数f(x),如果在它所 有的周期中存在一个最小的正数，那么 这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期 正弦函数和余弦函数的最小正周期
都是 2
h 50
应用 若钟摆的高度h(mm)与时间t(s) 之间的函数关系如图所示： (1)求该函数的周期; (2)求t=10s时钟摆的高度
2.已知函数 f ( x ) 是定义在R上且周期为3 的奇函数，若 f (1) 2 ，分别求
出
f( 7 ) 、 f( 8 ) 、 f( 9 )的值.
作业：

1.第26页练习第4题 2.第44页习题1.3第1题

下课!
谢谢各位光临指导
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰· B· 塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔· 卡内基] 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯· 瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士· 雷德非] 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰] 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿· 休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯· 奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰· 纳森· 爱德瓦兹] 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰· 拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉· 班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳] 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔· 普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉· 彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔· 卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰· 罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳· 厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝· C· 科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔· 卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟· 倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克· 佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根· 皮沙尔· 史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。 ――[阿萨· 赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉· 海兹利特] 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯· 里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可· 汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰· 夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯· 米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子] 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。――[怀特曼] 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。――[G.K.Chesteron] 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。――[马克吐温] 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。――[约翰· 鲁斯金]

6．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当 x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，求f(7)的值． 解：∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的函数， ∴f(7)＝f(2×4－1)＝f(－1)， 又∵f(x)在R上是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(－1)＝－f(1)，而当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2， ∴f(1)＝2×12＝2，∴f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
(2)正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0) 都是它们的周期，它们的最小正周期都是 2π .
(3)正切函数y＝tan x也是周期函数，并且最小正周期是π .
答案：4π
[一点通] 函数的周期性与其它性质相结合是一类 热点问题，一般在条件中，周期性起到变量值转化作用 ，也就是将所求函数值转化为已知求解．
4．设f(x)是定义在R上的以4为周期的奇函数，且f(1)＝－1， 则f(2 011)＝________. 解析：∵f(x)的周期为4，f(x)为奇函数，且f(1)＝－1. ∴f(2 011)＝f(4×503－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－(－1)＝1. 答案：1
5．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2， 则f(3)－f(4)＝________. 解析：由于f(x)的周期为5， 所以f(3)－f(4)＝f(－2)－f(－1)． 又f(x)为R上的奇函数， ∴f(－2)－f(－1)＝－f(2)＋f(1)＝－2＋1＝－1. 答案：－1
第1部分第1章三角函数 的周期性
2020/8/15问题1：源自天是周三，66天后的那一天是周几？你是 如何推算的？
提示：66天后的那一天是周六，因为每隔七天，周 一到周日依次循环，而66＝7×9＋3，所以66天后的那一 天是周六．

的定义域为
x
x
k
2
6
,k
Z
.故选:D．
讲授新课
知识点二 正切函数的值域问题
【例
2】函数
y
2
tan
2
x
3
tan
x
1
，
x
π 4
,
π 4
的值域为______．
【答案】
6,
1 8
【解析】因为
x
4
,
4
，所以
tan
x 1,1
，
y
2
tan
2
x
3
tan
x
1
2
tan
x
3 4
2
1 8
，
则当
tan
的定义域为
x
|
x
k
2
,k
Z
.故选：A.
讲授新课
【变式
1-2】函数
f
x
2 tan
2
x
6
的定义域是（
）
A． x
x
6
B．
x
x
12
C． x
x
6
,k
Z
D．
x
x
k
2
6
,k
Z
【答案】D
【解析】由正切函数的定义域，令
2x
6
k
2
，k Z
，即 x
k
2
6
k
Z ，
所以函数
f
x
2 tan
2
x
6
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件