第三节、追及和相遇、图像法专题

运动图像、追及与相遇【典型例题】类型一、对x-t 图象的应用例1、甲、乙两人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步到中点改为骑自行车，最后两人同时到达B 地。

又知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快，并且两人骑车速度均比跑步速度快，若某人离开A 地的距离x 与所用时间t 的函数关系用图中的四个函数图象表示，则甲、乙两人的图象只可能是（）A ．甲是①，乙是②B ．甲是①，乙是④C ．甲是③，乙是②D ．甲是③，乙是④【答案】B 【解析】前一段位移甲的速度比乙的速度大，故甲的x-t 图象的斜率较大；后一段位移甲的速度比乙的速度x-t 图象要时刻牢记：BC 【答案】C类型二、通过对v-t 图象分析获取信息例2、两辆游戏赛车a 、b 次比赛中的v-t 图如图所示。

哪些图对应的比赛中，有一辆赛车追上了另一辆（）【答案】AC【解析】在v-t 图象中，图线和坐标轴包围的面积，在数值上等于位移的大小。

若要一辆车追上另一辆车，位移应该相等，在图象中，面积应该相等，所以AC 正确。

【总结升华】从v-t 图象可获取物体运动的信息有：1．物体运动的快慢（速度大小）——对应纵轴数值；2．物体运动的方向——t 轴上方为正方向，t 轴下方为负方向；3．运动速度的变化——图象对应的v 的数值变化可以看出运动快慢的变化；4．加速度大小及变化——图象斜率大小即加速度大小（tan a θ=）。

斜率变大，则a 变大；反之，则a 变小；斜率不变，则是加速度不变的匀变速直线运动；5．物体运动的位移——图象和坐标轴围成的图形的面积大小。

举一反三【变式】某人在静止的湖面上竖直上抛一小铁球，小铁球上升到最高点后自由下落，穿过湖水并陷入湖底的淤泥中一段深度。

不计空气阻力，取向上为正方向，在下边v-t图象中，最能反映小铁球运动过程的速度——时间图线是（）【答案】C【解析】小球竖直上抛后，在上升过程，速度减小，到最高点时速度等于零，下降时速度增大，进入水中后，因受到水的阻力，加速度减小，但速度仍增大，进入淤泥后，淤泥对球的阻力大于小球的重力，故向下减速运动，直到速度为零，由以上分析知，选项C正确。

第一章、直线运动第三节、追及和相遇、图像法专题【知识要点回顾】一、直线运动的图像描述及图像法解题思路1、对于运动图像，需要了解哪些物理意义？2、如何利用运动图像解决实际问题？二、常见的追及和相遇模型及解题思路1、追及和相遇问题的常见模型有哪些？从时间和空间的角度来讲，追及和相遇问题的特点是什么？2、关于能否追上、是否碰撞及两者间距的极值问题的临界条件是什么？解题思路如何？【典型例题分析】一、用运动图像分析解决匀变速直线运动实际问题 例题1 一个固定在水平面上的光滑物块，其左侧面是斜面AB AC 。

已知AB 和AC 的长度相同。

两个小球p 、q 同时从A 点分别沿静止开始下滑，比较它们到达水平面所用的时间 A 、p 小球先到 B 、q 小球先到 C 、两小球同时到 D 、无法确定解析：例题2 两支完全相同的光滑直角弯管(如图所示)现有两只相同小球a 和a / 同时从管口由静止滑下，问谁先从下端的出口掉出？(假设通过拐角处时无机械能损失)解析：v v 2例题3 甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v-t图像如图所示。

已知两车在t=3s时并排行驶，则（）A、在t=1s时，甲车在乙车后B、在t=0s时，甲车在乙车前7.5mC、两车另一次并排行驶的时刻是t=2sD、甲、乙两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为10m解析：例题4 一物体做加速直线运动，依次通过A、B、C三点，AB=BC。

物体在AB段加速度为a1，在BC段加速度为a2，且物体在B点的速度为2CA B vv v +=，则a1> a2 B．a1= a2 C ．a1< a2 D．不能确定解析：例题5 如图，A球做自由落体运动，B球沿光滑斜面下滑，则能正确表示两球运动到地面的速率-时间图像是（）解析：例题6 蚂蚁离开巢沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的距离成反比，当蚂蚁爬到距巢中心的距离L1=1m的A点处时，速度是v1=2cm/s。

试问蚂蚁从A点爬到距巢中心的距离L2=2m 的B点所需的时间为多少？解析：二、追及、避撞与距离极值问题例题7 甲乙两质点同时开始在同一水平面上同方向运动，甲在前，乙在后，相距s。

专题03 追及相遇问题1．在某次遥控车挑战赛中，若a b 、两个遥控车从同一地点向同一方向做直线运动，它们的v t -图像如图所示，则下列说法不正确的是（ ）A ．b 车启动时，a 车在其前方2m 处B ．运动过程中，b 车落后a 车的最大距离为1.5mC ．b 车启动3s 后恰好追上a 车D ．b 车超过a 车后，两车不会再相遇【答案】A【详解】A ．b 车启动时，a 车在其前方距离121m 1m 2x ∆=⨯⨯=选项A 错误； B ．运动过程中，当两车速度相等时，b 车落后a 车的距离最大，最大距离为1311m 11m 1.5m 22m x +∆=⨯-⨯⨯=选项B 正确；C ．b 车启动3s 后，a 车的位移121m 31m 4m 2a x =⨯⨯+⨯=，b 车的位移132m 4m 2b x +=⨯=即b 车恰好追上a 车，选项C 正确；D ．b 车超过a 车后，因b 车速度大于a 车，则两车还会再相遇，选项D 正确。

此题选择不正确选项， 故选A 。

2．甲、乙两车在一条平直的公路上同向并排行驶，0=t 时刻甲车开始刹车，甲车的速度随时间变化的图像如图甲所示，以0=t 时刻甲车所在位置为坐标原点0，以甲车速度方向为正方向建立x 轴，乙车的位置坐标随时间变化的图像如图乙所示，图像为顶点在30m 处的抛物线。

下列说法正确的是（ ）A ．甲车做匀变速直线运动的加速度大小为22.5m/sB ．乙车做匀变速直线运动的加速度大小为26.25m/sC ．4s t =时甲、乙两车相距最远D ．甲、乙两车只相遇一次 【答案】A【详解】A ．甲车做匀变速直线运动的加速度大小为22120m/s 2.5m/s 8v a t ∆===∆故A 正确； B ．由题可知，乙的初速为零，在04s t =内的位移为20m ，则有22012x a t =可得，乙车做匀变速直线运动的加速度大小为22 2.5m/s a =故B 错误；D ．若甲车和乙车相遇，则有2212113022v t a t a t -=+甲带入数据解得2s 8s t =<或6s 8s t =<则甲、乙两车相遇两次，故D 错误；C ．由图可知，8s 后甲车速度为零，乙车速度不为零，且8s 后乙车在前甲车在后，则8s 后两者间距离一直增大，故C 错误。

1.3匀变速直线运动图像和追及相遇问题一、v －t 图像1．图像的意义：v －t 图像反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律，它只能描述物体做直线运动的情况．2．图像的斜率：v －t 图线(或切线)的斜率表示物体的加速度．斜率的绝对值表示加速度的大小，斜率为正表示加速度沿规定的正方向，但物体不一定做加速运动；斜率为负，则加速度沿负方向，物体不一定做减速运动． 3．v －t 图线与t 轴所围“面积”表示这段时间内物体的位移．t 轴上方的“面积”表示位移沿正方向，t 轴下方的“面积”表示位移沿负方向，如果上方与下方的“面积”大小相等，说明物体恰好回到出发点．用函数法解决非常规图像问题 二、三类图像 (1)a －t 图像由Δv ＝a Δt 可知图像中图线与横轴所围面积表示速度变化量，如图甲所示． (2)xt－t 图像 由x ＝v 0t ＋12at 2可得x t ＝v 0＋12at ，截距b 为初速度v 0，图像的斜率k 为12a ，如图乙所示．(3)v 2－x 图像由v 2－v 02＝2ax 可知v 2＝v 02＋2ax ，截距b 为v 02，图像斜率k 为2a ，如图丙所示．三、追及相遇问题1．追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置． 2.追及相遇问题的基本物理模型：以甲车追乙车为例．(1)无论v 甲增大、减小或不变，只要v 甲<v 乙，甲、乙的距离不断增大．(2)若v甲＝v乙，甲、乙的距离保持不变．(3)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲>v乙，甲、乙的距离不断减小．3．分析思路可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”．(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点；(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系．通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口．4．常用分析方法(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图．能否追上的判断方法(临界条件法)物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0，当v B＝v A时，若x B>x A＋x0，则能追上；若x B＝x A＋x0，则恰好追上；若x B<x A＋x0，则不能追上．(2)二次函数法：设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离Δx与时间t的二次函数关系，Δx＝0时，表示两者相遇．①若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；②若Δ＝0，一个解，说明刚好追上或相遇；③若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇．当t＝－b2a时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值．(3)图像法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像．位移－时间图像的交点表示相遇，分析速度－时间图像时，应抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系．区分x－t图像和v－t图像1．无论x－t图像、v－t图像是直线还是曲线，所描述的运动都是直线运动，图像的形状反映了x与t、v与t的函数关系，而不是物体运动的轨迹．2．x－t图像中两图线的交点表示两物体相遇，v－t图像中两图线的交点表示该时刻两物体的速度相等，并非相遇．3．位置坐标x－y图像则能描述曲线运动，图线交点表示物体均经过该位置，但不一定相遇，因为不知道时间关系．例题1.如图为一质点做直线运动的v－t图像，下列说法正确的是()A ．BC 段表示质点通过的位移大小为34 mB ．在18～22 s 时间内，质点的位移为24 mC ．整个过程中，BC 段的加速度最大D ．整个过程中，E 点所对应的时刻离出发点最远 【答案】A 【解析】BC 段，质点的位移为x ＝5＋122×4 m ＝34 m ，选项A 正确；在18～22 s 时间内，质点的位移为x ＝12×22 m ＋(－12×22) m ＝0 m ，选项B 错误；由题图看出，CE 段图线斜率的绝对值最大，则CE 段对应过程的加速度最大，选项C 错误；由题图看出，在0～20 s 时间内，速度均为正值，质点沿正方向运动，在20～22 s 时间内速度为负值，质点沿负方向运动，所以整个过程中，D 点对应时刻离出发点最远，选项D 错误．(多选)雨雪天气时路面湿滑，汽车在紧急刹车时的刹车距离会明显增加．如图所示为驾驶员驾驶同一辆汽车在两种路面紧急刹车时的v －t 图像，驾驶员的反应时间为1 s ．下列说法正确的是( )A ．从t ＝0到停下，汽车在湿滑路面的平均速度大于在干燥路面的平均速度B ．从t ＝1 s 到停下，汽车在湿滑路面的平均速度大于在干燥路面的平均速度C ．从t ＝0到停下，汽车在湿滑路面的行驶距离比在干燥路面的行驶距离多15 mD ．从t ＝1 s 到停下，汽车在湿滑路面的加速度是在干燥路面的加速度的0.75倍 【答案】CD【解析】从t ＝0到停下，汽车在湿滑路面的位移为x 1＝30×1 m ＋4×302m ＝90 m平均速度为v 1＝905 m/s ＝18 m/s 汽车在干燥路面的位移为x 2＝30×1 m ＋3×302 m ＝75 m平均速度为v 2＝754m/s ＝18.75 m/s ，x 1－x 2＝15 m ，故A 错误，C 正确；从t ＝1 s 到停下，汽车在湿滑路面的平均速度v 1′＝302m/s ＝15 m/s ，汽车在干燥路面的平均速度 v 2′＝302m/s ＝15 m/s ，故B 错误； 从t ＝1 s 到停下，汽车在湿滑路面的加速度大小a 1＝304m/s 2＝7.5 m/s 2，汽车在干燥路面的加速度大小a 2＝303 m/s 2＝10 m/s 2，则从t ＝1 s 到停下，汽车在湿滑路面的加速度是在干燥路面的加速度的0.75倍，故D 正确．在平直的公路上有甲、乙两辆汽车,它们运动的位置-时间图像如图所示。

“六看”——点、线、面、轴、截、斜1．看“轴”⎩⎪⎨⎪⎧x-t 图象纵轴表示位移v-t 图象纵轴表示速度2．看“线”⎩⎪⎨⎪⎧x-t 图象上倾斜直线表示匀速直线运动v-t 图象上倾斜直线表示匀变速直线运动 3．看“斜率”⎩⎪⎨⎪⎧x-t 图象上斜率表示速度v-t 图象上斜率表示加速度第三节 运动图像 追及和相遇问题一、匀速直线运动的位移-时间图象（x-t 图像） 1．x-t 图象 (1)概念 在平面直角坐标系中用纵轴表示位移x ，横轴表示时间t ，画出的图象就是位移－时间图象． (2)基本特征 x-t 图象反映了物体运动的位移随时间变化的规律．如图所示． ①匀速直线运动的x-t 图象是一条倾斜直线。

． ②匀变速直线运动的x-t 图象是一条曲线 ． (3)图线斜率的物理意义图线斜率的大小表示物体的速度的大小，斜率的正负表示速度的方向。

2．v-t 图象 (1)概念 在平面直角坐标系中用纵轴表示速度v ，横轴表示时间t ，画出的图象就是速度－时间图象． (2)基本特征 v-t 图象反映了物体运动的速度随时间变化的规律，如图所示．(3)图线斜率的物理意义图线上某点切线的斜率大小表示物体的加速度大小，斜率的正负表示加速度的方向。

(4)图线与时间轴围成的“面积”的意义图线与时间轴围成的面积表示相应时间内的位移大小．若该面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为正方向；若该面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为负方向。

3、对运动图象的三点说明(1)无论是x ­t 图象还是v ­t 图象都只能描述直线运动． (2)x ­t 图象和v ­t 图象不表示物体运动的轨迹．(3)x ­t 图象和v ­t 图象的形状由x 与t 、v 与t 的函数关系决定．●运用运动图象解题“六看”4．看“面积”⎩⎪⎨⎪⎧x-t 图象上面积无实际意义v-t 图象上图线和时间轴围成的“面积”表 示位移5．看“纵截距”⎩⎪⎨⎪⎧x-t 图象表示初位置v-t 图象表示初速度6.看“特殊点”⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧拐点(转折点)一般表示从一种运动变为另一 种运动交点在x-t 图象上表示相遇，在v-t 图 象上表示速度相等●x －t 图象和v －t 图象的对比【复习巩固题】 1、甲、乙两物体的位移－时间图象如右图所示，下列说法正确的是（ ） A ．甲、乙两物体均做匀变速直线运动B ．甲、乙两物体由不同地点同时出发，t 0时刻两物体相遇C ．0～t 0时间内，两物体的位移一样大D ．0～t0时间内，甲的速度大于乙的速度；t 0时刻后，乙的速度大于甲的速度2、如图是A 、B 两个质点做直线运动的位移－时间图线：(1)当t ＝t 1时，A 、B 两质点的加速度都大于零； (2)当t ＝t 1时，两质点相遇；x －t 图象v －t 图象①表示物体做匀速直线运动(斜率表示速度v)； ②表示物体静止； ③表示物体向反方向做匀速直线运动； ④交点的纵坐标表示三个运动质点相遇时的位移； ⑤t1时刻物体位移为s1(图中阴影部分的面积没有意义) ①表示物体做匀加速直线运动(斜率k ＝tanα表示 加速度a)； ②表示物体做匀速直线运动； ③表示物体做匀减速直线运动； ④交点的纵坐标表示三个运动质点的共同速度； ⑤t1时刻物体速度为v1(图中阴影部分面积表示质点在0～t1时间内的位移)(3)当t ＝t 1时，两质点的速度相等；(4)在运动过程中，A 质点总比B 质点快． 以上描述中正确的是（ ）A ．(1)(4)B ．(2)(3)C ．(2)(4)D ．(4)3、如图所示的位移(x )－时间(t )图象和速度(v )－时间(t )图象中给出四条图线，甲、乙、丙、丁代表四辆车由同一地点向同一方向运动的情况，则下列说法正确的是（ ）A ．甲车做直线运动，乙车做曲线运动B ．0～t 1时间内，甲车通过的路程大于乙车通过的路程C ．0～t 2时间内，丙、丁两车在t 2时刻相距最远D ．0～t 2时间内，丙、丁两车的平均速度相等4、在军事演习中，某空降兵从飞机上跳下，先做自由落体运动，在t 1时刻，速度达较大值v 1时打开降落伞，做减速运动，在t 2时刻以较小速度v 2着地．他的速度图象如图所示．下列关于该空降兵在0～t 1或t 1～t 2时间内的平均速度v 的结论正确的是（ ）A ．0～t 1：v ＝v 12B ．t 1～t 2：v ＝v 1＋v 22C ．t 1～t 2：v ＞v 1＋v 22D ．t 1～t 2：v ＜v 1＋v 225、(2011·金考卷)如图为两辆汽车A 和B 在同一直线上沿同一方向同时做匀加速运动的v －t 图线．已知在第3 s 末两辆汽车在途中相遇，则两辆汽车出发点的关系是A ．从同一地点出发B ．A 在B 前3 m 处C ．B 在A 前3 m 处D ．B 在A 前5 m 处 6．t ＝0时，甲、乙两汽车从相距70 km 的两地开始相向行驶，它们的v －t 图象如图所示．忽略汽车掉头所需时间．下列对汽车运动状况的描述正确的是（ ）A ．在第1小时末，乙车改变运动方向B ．在第2小时末，甲、乙两车相距10 kmC ．在前4小时内，乙车运动加速度的大小总比甲车的大D ．在第4小时末，甲、乙两车相遇7、(2010年高考天津卷)质点做直线运动的v －t 图象如图所示，规定向右为正方向，则该质点在前8 s 内平均速度的大小和方向分别为( )A ．0.25 m/s 向右B ．0.25 m/s 向左C ．1 m/s 向右D ．1 m/s 向左 8、（2013武汉摸底）甲、乙两个物体从同一地点沿同一方向做直线运动，其v 一t 图象如图所示。