第16章 质点动力学

第 16 章 质点动力学
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工程力学学习指导 第 16 章 质点动力学
质点动力学研究作用于质点上的力和质点运动之间的关系。 本章 研究质点在惯性与非惯性系中的运动微分方程和简单的振动问题。
16.1 教学要求与学习目标
1. 根据给出的条件，会灵活列写不同形式的运动微分方程， 并给出对应的初始条件。 2. 能够正确应用质点在惯性与非惯性系中的运动微分方程， 解决质点动力学的两类问题。 3. 学会计算描述弹簧质量系统特性的物理量。 4. 学会将简单的刚体系统简化为单自由度的弹簧－质量系 统，能够正确计算等效质量与等效刚度。
rω x x2 − r 2
，则有
aA =
(c)
2．滑块 A 的受力分析
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滑块 A 受到绳子的拉力 FT， 重力 mg 及杆 OC 的约束力 FN， 其受力如图 16-3b 所示。 3．列出滑块 A 的运动微分方程 根据牛顿第二定律，在水平 x 方向有 (d ) maA = FTcosθ 将式(c)代入式(d)，有
式中， FIe 称为牵连惯性力； FIC 称为科氏惯性力； ω 与 v r 分别是非惯性系的角 速度与质点的相对速度。
2) 质点在非惯性系中的运动微分方程
m ar = FR + FIe + FIC
或
m
d2 r′ = FR + FIe + FIC dt 2
这一方程称为质点相对运动动力学基本方程，方程中 r ′ 为质点在动系中的位矢。
16.2.3 质点运动微分方程的应用
运用质点运动微分方程，可解决质点动力学两类问题，即
1) 已知质点的运动规律，求作用在质点上的力，通常是未知的约束力。这
是点的运动方程对时间求导数的过程。
2) 已知作用在质点上的力，求质点的运动规律。这是运动微分方程的积分
过程，或称求解微分方程的过程。 对于多数非自由质点，一般同时存在以上动力学的两类问题，对于这种问题 一般首先解除约束以相应的约束力代替，根据已知的主动力及运动初始条件， 求解质点的运动规律；然后在运动确定的条件下再求解未知约束力，约束力一 般包括静约束力和附加动约束力两部分。 利用质点运动微分方程求解质点的运动规律时，视问题的性质，可采用两 种分离变量的方法对微分方程进行积分，即 dv at = dt 或
解这一类问题时，首先要建立质点运动微分方程。在对质点的运动及受力 作初步分析之后，应选定恰当的坐标系，然后将质点置于任一瞬时的位置上， 表示出它所受主动力的函数式，并建立起相应坐标形式的运动微分方程。其中 最常用的是直角坐标形式，如果质点的轨迹为圆，或是某些特殊曲线，则也可 用自然轴形式或其他坐标系形式的运动微分方程。 在求解质点运动规律时，应根据所受力的具体函数形式及欲求解的未知量， 灵活地进行变量的分离，然后进行积分运算求得通解，再根据给定的初始条件
m x = = m y m z =
∑
i
n
∑
inBiblioteka ∑in⎫ F ix ⎪ ⎪ ⎪ F iy ⎬ ⎪ ⎪ F iz ⎪ ⎭
直角坐标形式的运动微分方程，原则上适用于所有问题，但对某些问题， 仍有不方便之处。例如，质点沿球面或柱面运动，用直角坐标就不如用球坐标 或柱坐标方便。
3. 自然坐标形式
图 16-1 自然轴系
s = at 为质点的切向加速度; 式中，
2 s
ρ
3
=
v2
ρ
= an 为质点的法向加速度; ρ 为运
动轨迹的曲率半径；力 Fit、Fin、Fib 为作用在质点上的力 Fi 在自然坐标轴方向上 的分量。 除了以上几种常用的质点运动微分方程外，根据质点的运动特点，还可以 选用柱坐标、球坐标等形式的运动微分方程。正确分析运动特点，选择一组合 适的微分方程，会使求解问题的过程大为简化。
meq x + keq x = 0
式中，meq 和 keq 分别表示系统的等效质量和等效弹簧刚度。上述微分方程还可 表示为
x + ωn 2 x = 0
其中
2 ωn =
keq meq
16.3 学 习 建 议
1. 在理解的基础上，掌握解决质点动力学问题的步骤
1) 分析质点的受力，分清主动力与约束力。对非自由质点需解除约束， 以约束力代替。主动力一般为已知，约束力通常是未知的，但其方向往往可根 据约束的性质确定。画出质点的受力图。 2) 分析质点的运动，画出质点的运动分析图，一般包括广义坐标，加速 度、速度在坐标轴上的分量等。 3) 列运动微分方程。列方程时要注意力及运动量在坐标轴上投影的正负 号。 4) 解方程并对所得结果加以讨论。
当点的运动轨迹已知时，在点上建立由切线、主法线、副法线组成的自然坐 标系（图 16-1） ，将矢量方程投影到自然坐标系上，可得到自然坐标形式的运动 微分方程：
⎫ ⎪ i ⎪ n ⎪ 2 s m = ∑ Fin ⎬ ρ i ⎪ n ⎪ o = ∑ Fib ⎪ ⎪ i ⎭ = ∑ Fit ms
n
16.2.5 单自由度系统振动模型的建立
等效质量和等效刚度
确定一个自由质点在空间的位置需要三个独立坐标，所以空间自由质点有 三个自由度。所谓自由度是指确定质点系位置的独立坐标数。这里所说的独立
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坐标是广义的，即可以是直角坐标，也可以是转角等其他可以定位的参数。 单自由度系统，即仅用一个坐标便可定位的系统。 在不考虑阻尼的情形下， 单自由度线性系统的振动微分方程一般可以表示为
2. 已知质点的运动规律，求作用在质点上的未知力
求解这类问题时，因已给出质点的某种坐标形式的运动方程，故易知质点 的运动轨迹，一般直接经微分运算即可求解，只是要注意到所求全约束力包含 静载荷引起的部分及质点运动引起的动约束力部分；并应注意质点运动过程中 有无脱离约束的情况。
3. 已知质点所受的作用力，求其运动规律
dv d ⎛ v 2 ⎞ at = v = ⎜ ⎟ ds ds ⎝ 2 ⎠
质点的运动规律还取决于初始条件，利用运动的初始条件，可确定积分的下限 或不定积分的积分常数。视问题的性质，也可用解微分方程的方法求解。
16.2.4 非惯性系中的质点运动微分方程
图 16-2 位于定系和动系的质点
1) 质点相对运动动力学基本方程
r 4ω 2 x 2 FT = m 2 2 5 2 (x − r )
4．讨论 此题属于已知质点的运动规律，求作用在质点上的未知力这一类的问题。 首先对质点要进行运动分析，根据已知条件（圆轮的角速度ω） ，应用运动学的 与 vA 的正方向要一致。 知识，求出滑块 A 的加速度。在此期间一定要注意 x 【例题 16-2】 质量为 m 的物体 M 在地面附近自由降落， 受到大小为 F = kv2 的空气阻力，其中 k 是与物体形状有关的常系数。设初始时刻 v0 = 0，试求物体 的运动方程。 解： 1．物体的受力分析 物体在运动过程中受到的力有：铅垂向下的重力 mg，铅垂向上的空气阻力 F，如图 16-4 所示。 1．建立运动微分方程 取物体开始降落处为坐标原点（即 x0 = 0） ，x 轴铅垂向下为正，于是物体 M 的运动微分方程为
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图 16-2 所示坐标系 Oxyz 为惯性参考系（即定系） ， O ′x ′y ′z ′ 为非惯性参考系 （即动系） ，质量为 m 的质点 M 为动点。设质点在两个坐标系中的加速度分别 为绝对加速度 a a 、相对加速度 ar 。质点 M 在惯性系下的运动，由牛顿第二定律 有
m a a = FR
5. 正确理解牵连惯性力与科氏惯性力
质点的惯性力并非质点本身受到的力，而是质点作用于施力体的力。另外 牵连惯性力和科氏惯性力不但具有力的量纲，并且对所作用的物体存在真实的 效应。 计算惯性力时，可以先分析出牵连加速度和科氏加速度，然后乘以质量 m 再加上负号。如果在图形上惯性力已与加速度方向相反，则不必再另加负号。
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确定特解。
4. 正确写出质点运动的初始条件
初始条件就是质点的初位置和初速度， 初始条件一般写为 当 t = 0 时：
x = x0 , = v0 x , x
y = y0 , = v0 y , y
z = z0 = v0 z z
⎫ ⎬ ⎭
质点若受相同的力作用，但是如果初始条件不同，质点的运动规律将会不同。
16.2 理 论 要 点
16.2.1 牛顿第二定律
牛顿第二定律为质点的质量与加速度的乘积等于作用在质点上力系的合 力，即 m a = Σ Fi = FR 它是解决质点动力学的基础。
16.2.2 质点运动微分方程
根据牛顿第二定律，质点在惯性系中的运动微分方程有以下几种形式：
1. 矢量形式
用 r 表示质点的位矢，则质点的运动微分方程为
16.4 例 题 示 范
【例题 16-1】如图 16-3（a）所示，半径为 r 的绕线轮以角速度ω匀速转动， 拉动质量为 m 的滑块 A 沿杆 OC 水平运动，不计摩擦，求绳拉力的大小 FT 与 x 的关系。 vB 解：1．滑块 A 的运动分析 B mg FT 绳段 AB 两端的速度方向如图 ω A θ θ 16-3a 所示，根据速度投影定理，有 A O aA v A C vB = vAcosθ r 其中 FN vB = rω； cos θ = 则有滑块 A 的速度为
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(b)
(c)
对式(c)再分离变量作变上限的定积分，初始条件为 t = 0 时 x0 = 0，有 x t gt ∫0 dx = ∫0 C th C dt 查积分表可得
x= C2 gt ln ch g C
上式即为物体的运动方程。 3．讨论 分析物体在有空气阻力情况下自由降落时的速度[式(c) ]，由双曲正切的定 gt 义可知： t → ∞ 时， th = 1 ，此时速度 v 趋于极限值 C，即 C
O F M
= mg − F mx
即
m
d2 x = mg − kv 2 dt 2