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§1 二阶与三阶行列式

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第一节 二阶与三阶行列式

第一节 二阶与三阶行列式

a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
n 阶行列式定义
将n2个数排成n行n列的数表，按下列规
则计算出的数，即
D ( 1) a1 p1 a 2 p2 a np n n! a n1 a nn
2 D1 ( 1) ( 1) 1 x1 , 2 D ( 1) ( 2) 2
( 1) D2 x2 2 ( 1) ( 2) D
2
1 , 2
2 2 ( 1) ( 1) D3 x3 2 D ( 1) ( 2)
ci 2 ai 1b12 ai 2b22 ainbn 2 , (i 1,2,, n)
D
a11 a 21 a n1 1
a12 a1n a 22 a 2 n a n 2 a nn 1 1
再证唯一性.假设
x j c j , j 1,2,, n 也是(1)的解.
在(2)两端同时乘以cj
a11 a1 j c j a1n cjD an1 anj c j ann
a11 (a11c1 a1 j c j a1n cn ) a1n an1 (an1c1 anj c j anncn ) ann
例6.2 问λ在什么条件下,方程组
ì λx1 + x2 = 0, ï ï í ï ï î x1 + λx2 = 0
有非零解？
解 由定理6.5知，若方程组有非零解，则其系数行列
式必为零.
D

1
1

0 2 1 0,

第一节 二阶与三阶行列式讲 解课件

第一节 二阶与三阶行列式讲 解课件

8.有限个向量的向量组与矩阵一一对应
列向量组
行向量组
9、向量的运算
（特殊矩阵）
转置、相等、加法、数乘、乘法；运算律
T T T （ 1 ， 1 ， 1 ） , （ 0 ， 1 ， 2 ） , （ 1 ， 0 ， 1 ） 例：设
求 解
.
T T T
7.向量组：
若干个同维数的向量所组成的集合叫做向量组.
行向量组 列向量组
有限个向量 无限个向量
本课程默认为列向量组 先讨论有限个向量
m个n维列向量构成向量组 称为向量组 a1 , a2 ,, am ，或者称为向量组A
A : a1 , a2 ,, am
,或者称为向量组 A :
a1 , a2 ,, am .
T T T
T
等表示，如：
a T (a1 , a 2 ,, a n )
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
矩阵，通常用 a , b, , 等表示，如：
a1 a2 a a n
注意
１．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量； ２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算；
1 2 3 1 2 1 5 3 6 r ~ 0 1 2 2 8 0 5 4 5 7 0
7 0 0 0 5 4 1 0 0 5 0 0 1 0 0 0 0 1
R( A) 3 R( B) 4
因此向量 b 不能由向量组 A 线性表示.
a1 x1 a 2 x 2 a n x n b
a1 , a2 ,, an , b
线性方程组与增广矩阵的列向量组一一对 应
二、 线性组合与线性表示

线性代数第一章15

线性代数第一章15
则D等于下列两个行列式之和：
a11 a 21 D a n1

a1i a1n a11 a 2 i a 2 n a 21 a ni a nn a n1
i a1 n a1 a a2n 2i a a nn ni
性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式值不变． a11 a1i a1 j a1n
1 7 5 1 7 5 6 6 2 3 5 8 , 3 5 8 6 6 2
1 7 6 6 3 5
7 1 5 2 6 6 2. 5 3 8 8
5
交换 i , j 两行，记作 ri rj . 交换 i , j 两列，记作 ci c j .
1 7 5 1 7 5 r2 r3 6 6 2 3 5 8 , 3 5 8 6 6 2
2. 二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a11a22 a12a21 .
a11
a12
a21
a22
对于二元线性方程组
若记
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a11 a12 D , a21 a22
系数行列式
b1 D1 b2
DT
a11 a21 an1 a12 a22 an 2
an1 an 2 ann
T
a1n a2 n ann
行列式 D 称为行列式 D 的转置行列式.
二、行列式的性质
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.

一二阶与三阶行列式-PPT精品文档

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引进记号
三阶行列式
a11 D a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a13
a a a a a a a a a a 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32
a 33
a a a a a a a a a 13 22 31 12 21 33 11 23 32
a 11 A a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a11a22a33 a12a23a31a13a21a32 a 33 a13a22a31a12a21a33a11a23a32
例：
2 1 1
0 4 8
1 1 3
118 0(1 ) (1 ) 4 )3 2(
a b b a 1 a 11 11 2 1 21 x 2 a a a a A a 21 11 22 12 21
a 12 a 22
b1 b2
2.
a11x1 a12x2 a13x3 b 1 类似地，为讨论三元线性方程组 a21x a22x2 a23x3 b 1 2 a x a x a x b 31 1 32 2 33 3 3
a 13 a 23 a 33
a 14 a 24 a 34
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34 a41 a43 a44
1 2 M A 1 M 12 12 12
a 43 aa444 4
a11 a12 a13 M44 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a 12 a 22
算出来是一个数。
(2) 记忆方法：对角线法则 主对角线上两元素之积 － 副对角线上两元素之积
A

§1二阶与三阶行列式

§1二阶与三阶行列式

性质
总结词
二阶行列式具有交换律、结合律、代数余子式等性质。
详细描述
二阶行列式满足交换律，即|A|=|AT|，其中AT是矩阵A的转置矩阵。结合律表现为|AB|=|A|*|B|，其中A、B为可 乘矩阵。代数余子式是去掉一个二阶行列式中的一个元素后得到的二阶行列式，其值等于原行列式除以被去掉元 素所在的行和列的乘积。
等于零、代数余子式的乘积等于零等。
应用
03
代数余子式在计算高阶行列式的值、求解线性方程组等领域有
广泛的应用。
转置行列式
定义
转置行列式是将n阶行列式的行和列互换后得到的新 行列式。
性质
转置行列式的值等于原行列式的值，即|A|=|AT|。
应用
转置行列式在求解线性方程组、判断矩阵是否可逆等 领域有广泛的应用。
性质
线性性质
三阶行列式满足线性性质，即|ka b c| = k|a b c|，其中k是标量。
交换律
|a b c| = |c b a|。
结合律
(|a b c| + |d e f|) = |a b c| + |d e f||a d|。
分配律
|a+b c d| = |a b c| + |b c d||a b c|。
矩阵的转置
行列式可以用于计算矩阵的转置，通过计算转置矩阵的行列式，可以得到原矩阵 的行列式。
05
CATALOGUE
二阶与三阶行列式的扩展
高阶行列式
定义
高阶行列式是n阶方阵的展开式，其一般形式为D=∑(-1)^t * M(t1,t2,...,tn) * A(t1,t2,...,tn)，其中t为对角线上的元素下标的排列顺序，M为排列数，A为n阶行列式中 元素的下标构成的排列。

二阶与三阶行列式

二阶与三阶行列式

(2)对角线法则 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
2
3 (4) 7 0,
21
12 D1 1
2 14,
1
3 D2 2
12 1
21,
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
21 3. 7
二、三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(5)
记
a31 a32 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 .列标
a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算
a11 a12 a13 a11 a12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32 D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31.
称列）的数表
a11 a12
a21 a22
(4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（4）所确定的二阶

第1章行列式


a11 # # an1
a12 # # an 2
"
a1n # # ann
a11 # # an1
a12 " a1n # # b2 " # # an 2 " ann
a11 # # an1
a12 " a1n # # c2 " cn # # an 2 " ann
b1 + c1 b2 + c2 " bn + cn = b1 "
§2 排列
定义 2.1 由 1, 2,..., n 组成的一个有序数组称为一个 n 级排列(permutation). Example. 41253,12345, 65412, 22314 Remark. n 级排列共有 n ! 个. 定义 2.2 一个排列中如果一个大数排在一个小数前面， 则称这两个数构成一个逆序； 一 个排列中逆序的总数称为逆序数. 记排列 j1 j2 " jn 的逆序数为 τ ( j1 j2 " jn ) . 逆序数为奇 数的排列称为奇排列，为偶数的排列称为偶排列. 例 1 排列 43251 的逆序数 τ (43251) 例 2 计算 τ (123" n),τ (n(n − 1)" 21) Remark. 123" n 称为自然排列. 将某两个数码 j p , jq 的位置互换， 其余数码的位 定义 2.3 在一个 n 级排列 j1 j2 " jn 中， 置不变，则这样的一个变换称为对换(transposition). 定理 2.1 对换改变排列的奇偶性. 推论 2.1 在全部的 n ! 个 n 级排列中，奇偶排列各半. Problem. 考查三阶行列式的定义中关于排列的问题.

线性代数§1.1二阶、三阶行列式

线性代数§1.1⼆阶、三阶⾏列式本章说明与要求⾏列式的理论是⼈们从解线性⽅程组的需要中建⽴和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分⽀上都有着⼴泛的应⽤。

在本章⾥我们主要讨论下⾯⼏个问题：(1) ⾏列式的定义；(2) ⾏列式的基本性质及计算⽅法；(3) 利⽤⾏列式求解线性⽅程组(克莱姆法则)。

本章的重点：是⾏列式的计算，要求在理解n阶⾏列式的概念，掌握⾏列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n阶⾏列式。

计算⾏列式的基本思路是：按⾏(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利⽤⾏列式性质通过对⾏列式的恒等变形，使⾏列式中出现较多的零和公因式，从⽽简化计算。

常⽤的⾏列式计算⽅法和技巧：直接利⽤定义法，化三⾓形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利⽤已知⾏列式法。

⾏列式在本章的应⽤：求解线性⽅程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应⽤的条件。

本章的重点：⾏列式性质；⾏列式的计算。

本章的难点：⾏列式性质；⾼阶⾏列式的计算；克莱姆法则。

==============================================§1.1 ⼆阶、三阶⾏列式⾏列式的概念起源于解线性⽅程组，它是从⼆元与三元线性⽅程组的解的公式引出来的。

因此我们⾸先讨论解⽅程组的问题。

设有⼆元线性⽅程组()()------1 ------2ax by c dx ey f +=+=?? ⽤消元法求解：()()12:e b - ()ae bd x ce bf -=-?，ce bf x ae bd-=-， ()()21:a d - ()ae bd y af dc -=-?，af dc y ae bd-=-。

即得⽅程组的解：ce bf x ae bd af dc y ae bd -?=??-?-?=?-?。

这就是⼀般⼆元线性⽅程组的解公式。

但这个公式很不好记忆，应⽤时⼗分不⽅便。

由此可想⽽知，多元线性⽅程组的解公式肯定更为复杂。

第一讲 二阶、三阶、N阶行列式

第一讲Ⅰ 授课题目（章节）：§1.1 二阶、三阶行列式；§1.2 n 阶行列式 Ⅱ 教学目的与要求：理解排列的概念，以及逆序数的计算方法；了解行列式的定义和性质，会用行列式的定义及性质计算一些较简单的行列式； 掌握二、三阶行列式的计算法；Ⅲ 教学重点与难点：重点：n 阶行列式的定义 难点：n 阶行列式的定义 Ⅳ 讲授内容： §1.1 二阶、三阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式二元一次方程组的代入消元解法：⎩⎨⎧=+=+)2.....()1.....(2222111211b y a x a b y a x a 1211a a 、不可能同时为0，不妨设011≠a ，则： )()1(1121a a -⨯得：)3.........(1121111211221a ab y a a a x a -=-- )3()2(+得（消去x ）：112111121121122211a ab a b y a a a a a -=-即：)4( (21)122211211211a a a a a b b a y --=将(4)代入(1)得：21122211212221a a a a b a a b x --=可见，方程组的解完全可由方程组中的未知数系数22211211,,,a a a a 以及常数项21,b b 表示出来⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=2112221121121121122211212221a a a a a b b a y a a a a b a a b x ，如果规定记号2112221122211211a a a a a a a a -=，则有：222121212221a b a b b a a b =-，221111211211b a b a a b b a =-因此二元一次方程组的解可以表示为：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==2221121122111122211211222121a a a a b a b a y a a a a a b a b x定义1. 1 记号22211211a a a a 表示代数和21122211a a a a -，称为二阶行列式。

二阶、三阶行列式


a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , a x + a x + a x = b ; 31 1 32 2 33 3 3
得
a11 b1 D2 = a21 b2 a31 b3
a13 a23 , a33 a11 a12 D = a21 a22 a31 a32 a13 a23 a33
记
即
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , a x + a x + a x = b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11 a12 D = a21 a22 a31 a32 a13 a23 a33
则三元线性方程组的解为: 则三元线性方程组的解为
D1 x1 = , D
D2 x2 = , D
D3 x3 = . D
三、小结
二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的. 程组引入的 二阶与三阶行列式的计算 对角线法则
a11 a21
a12 a22
= a11a22 − a12 a21 .
a11 a12 a21 a22 a31 a32
a13 a23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31, a33
若记 系数行列式
D=
a11
a12
a21 a22
,
a11 x1 + a12 x2 = b1 , a21 x1 + a22 x2 = b2 .
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其求解公式为
数表
a11 a21
a12 a22
记号
a11
a12
a21 a22
b1a22 - a12 b2 x1 = a a - a a 11 22 12 21 x = a11b2 - b1a21 2 a11a22 - a12 a21
原则：横行竖列
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表达式 a11a22 - a12a21 称为由该 数表所确定的二阶行列式，即
D=
a11
a12
a21 a22
= a11a22 - a12a21
aij (i = 1, 2; j = 1, 2) 称为元素. 其中， i 为行标，表明元素位于第i 行； j 为列标，表明元素位于第j 列.
19 June 2018
若令
D= b1 b2 a12 a22
a11 a21
a12 a22 D2 =
(方程组的系数行列式)
D1 =
a11 a21
b1 b2
则上述二元线性方程组的解可表示为
b1a22 - a12b2 D1 x1 = = a11a22 - a12a21 D
a11b2 - b1a21 D2 x2 = = a11a22 - a12a21 D
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8 8
第一章 行列式
二、三阶行列式
a11x1+a12x2+a13x3=b1 D3 D1 D2 方程组 的解为 x1 = x2 = x3 = a21x1+a22x2+a23x3=b2 D D D a x + a x +a x =b 31 1 32 2 33 3 3
提示: [a11x1+a12x2=b1] a22 a11a22x1+a12a22x2=b1a22
[a21x1+a22x2=b2] a12 a12a21x1+a12a22x2=a12b2
(a11a22-a12a21)x1=b1a22-a12b2
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4 4
第一章 行列式
二阶行列式的计算
主对角线
对角线法则
a12
a11
= a11a22 - a12a21 .
副对角线
a21
a22
注：行列式的实质是一个数.
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5 5
第一章 行列式
a11 x1 + a12 x2 = b1 二元线性方程组 a21 x1 + a22 x2 = b2
其中 D=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 D1=b1a22a33+a12a23b3+a13b2a32-b1a23a32-a12b2a33-a13a22b3 D2=a11b2a33+b1a23a31+a13a21b3-a11a23b3-b1a21a33-a13b2a31 D3=a11a22b3+a12b2a31+b1a21a32-a11b2a32-a12a21b3-b1a22a31 a11 a12 a13 为了便于记忆和计算 我们用符号 a21 a22 a23 表示代数和 a31 a32 a33 a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31
1.由方程组的四个系数确定. 2.分子、分母都是四个数分成两对相乘再 相减而得.
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3 3
第一章 行列式 二元线性方程组 我们引进新的符号来表示“四个 数分成两对相乘再相减”.
a11 x1 + a12 x2 = b1 a21 x1 + a22 x2 = b2
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6 6
第一章 行列式
5 -1 例 1.计算行列式 3 2
解：
5 -1 = 10 - (-3) = 13 3 2
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第一节 二阶与三阶行列式
一、二阶行列式的引入
二、三阶行列式
1
第一章 行列式
一、二阶行列式的引入
a11x1+a12x2=b1 用消元法解二元线性方程组 a21x1+a22x2=b2
得
b1a22 - a12b2 a11b2 - b1a21 x2 = x1 = a11a22 - a12a21 a11a22 - a12a21
19 June 20182 2第一章 行列式来自类似地，消去 x1，得
（a11a22 - a12a21）x2 = a11b2 - b1a21 ,
当 a11a22 - a12a21 0 时， 方程组的解为
a11b2 - b1a21 b1a22 - a12b2 . x1 = ， x2 = a11a22 - a12 a21 a11a22 - a12a21
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7 7
第一章 行列式
例2 求解二元线性方程组
3 x1 - 2 x2 = 12, 2 x1 + x2 = 1.
解
D=
3 -2 2
1
1
= 3 - ( -4) = 7 0,
D1 =
12 - 2 1
= 14, D2 =
3 12 2 1
= -21,
D1 14 D2 - 21 x1 = = = 2, x 2 = = = -3. D 7 D 7
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9 9
第一章 行列式
定义
a11 a12 a13 我们用符号 a21 a22 a23 表示代数和 a31 a32 a33
a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 并称它为三阶行列式