高一数学教案[苏教版]圆的标准方程

圆的标准方程教学目标：1掌握圆的标准方程；由圆的标准方程写出圆的半径和圆心，能根据条件求圆的标准方程；2培养学生用坐标法研究几何问题的意识和能力。

教学重点：圆的标准方程的结构特征，在给定条件下求圆的标准方程的一般思维方法。

教学难点：用待定系数法、数学结合法求圆的标准方程。

教学过程：一、开启智慧之门1前面学习了用坐标来研究直线，我们生活中出了直线还有曲线，例如圆，我们能否用坐标来研究圆的有关内容呢？2如何确定一定圆？1平面上到定点的距离等于定长的点的集合是圆2线段绕一端点旋转一周，另一端点所走过的轨迹就是一个圆——同样表达了到定点的距离等于定长。

3对于圆的研究，类似于直线的研究，先研究方程，再研究有关关系和性质，如何来确定圆的方程？4复习回忆求曲线方程的方法与步骤1建系；2设点；3找条件；4坐标表示；5化简；6检验并给出结论。

二、探究智慧之源1以圆心为原点建立直角坐标系，求以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程。

以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为22=r2特别地：当r=1时，方程22=1表示的是单位圆2求以a,b为圆心，r为半径的圆的标准方程。

以a,b为圆心，r为半径的圆的标准方程为－a2－b2=r2。

3应用：2,－3，且经过坐标原点的圆的标准方程。

分析：解法一、圆心已经确定，关键是确定半径，利用圆上的点到圆心的距离等于半径可求解；解法二、设圆的标准方程，含半径r，为构造关于r的方程，只要将圆上的点原点的坐标代入即可。

1,-1，B-1,1，且圆心在C在直线-2=0上的圆的标准方程。

分析：解法一、待定系数法——设圆的方程，建立关于圆心横纵坐标和半径的方程组；解法二、数形结合法——几何方法确定圆心和半径。

三、生成智慧之果稳固训练：根据以下条件求圆的标准方程：1经过点0,4，4,6，且圆心在直线－2－2＝0上；2经过点A3,5和B－3,7，且圆心在轴上；3与两坐标轴都相切，且圆心在直线2－3＋5＝0上．四、点燃智慧之炬——稳固训练1．方程－1＝表示的曲线是什么？2．方程＝表示的曲线是什么？3．△ABC的三顶点分别是A1,1，B2,3，C－1,2，如何求△ABC外接圆的方程？五、生成智慧之果——课堂小结1根底知识：圆的标准方程：－a2＋－b2＝r2圆心在原点的圆的标准方程：22=r22根本应用：1能根据圆的标准方程写出圆心坐标和半径；2会根据条件求圆的标准方程：①待定系数法〔设圆的方程，建立方程组〕②数形结合法〔定圆心和半径〕六、作业布置课堂作业：课本111页习题〔1〕1，3题课后作业：?泰微课?〔测评与反应〕P62 第1~4、7、8题P64 第7题。

普通高中课程标准实验教科书一数学第册［苏教版］第13课时的标准方程教学目标(1)认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程的思想方.法；(2)掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径;(3)能根据所给条件，通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程.教学重点圆的标准方程及其运用.教学难点圆的标准方程的推导和运用.教学过程一、问题情境1-情境：河北赵州桥是世界上历史最悠久的石拱桥，其圆拱所在的曲线是圆，我们能否表示出该圆弧所在圆的方程呢?2.问题:在表示方程以前我们应该先考察有没有坐标系？如果没有坐标系，我们应该怎样建立坐标系？如何找到表示方程的等式?二、学生活动IE忆初中有关圆的定义，怎样用方程将圆表示出来?三、建构数学1.由引例赵州桥圆弧所在圆的方程的求导一般圆的标准方程：一般地，设点P(x,y)是以C(a,b)为圆半径的圆上的任意一点，则ICPI=r,由两点式，得到：J(x-a)2+(y-b)2=r即(x-a)2 +(y-b)2= r2 ( 1 )；反过来，若点Q的坐标(％,光)是方程⑴的解，则(x0-fl)2+(y0-b)2=r2,即J"。

-。

)％。

-。

旧=尸，这说明点Q(&，光)到点C (。

,幻的距离为，•即点。

在以C(a,b)为圆心，尸为半径的圆上；2.方程(x-cz)2+(y-Z?)2=/*2(r>0)叫做以怎力)为圆心，尸为半径的圆的标准方程；3.当圆心在原点(0,0)时，圆的方程则为r +)F =产(尸>0)；特别地，圆心在原点且半径为1的圆通常称为尊位圆；其方程为x2 + y2 =1四、数学运用1.例题：例1.分别说出下列圆方程所表示圆的圆心与半径：(l)(x-2)2 + (y-3)2=7；(2)(x + 5)2+(y + 4)2 =18⑶ F +(y+ 1)2 =3 (4)—2 + y2 = 144(5)(x-4)2 + y2=4解：(如下表)例写出圆心为半径长为的圆的方程，并判断点N(-g-l)是否在这个圆上；(2)求圆心是C(2,3),且经过原点的圆的方程。

圆的标准方程教案圆的标准方程教案1教学目标(一)知识目标1.掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径；2.理解并掌握切线方程的探求过程和方法。

(二)能力目标1．进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力；2. 通过教学，使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、证明等合情推理方法，提高学生运算能力、逻辑思维能力；3. 通过运用圆的标准方程解决实际问题的学习，培养学生观察问题、发现问题及分析、解决问题的能力。

(三)情感目标通过运用圆的知识解决实际问题的学习，理解理论________于实践，充分调动学生学习数学的热情，激发学生自主探究问题的兴趣，同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。

教学重、难点(一)教学重点圆的标准方程的理解、掌握。

(二)教学难点圆的标准方程的应用。

教学方法选用引导?探究式的教学方法。

教学手段借助多媒体进行辅助教学。

教学过程Ⅰ.复习提问、引入课题师：前面我们学习了曲线和方程的关系及求曲线方程的方法。

请同学们考虑：如何求适合某种条件的点的轨迹？生：①建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M的坐标为(x，y)；②写出适合某种条件p的点M的集合P＝｛M ?p（M）｝；③用坐标表示条件，列出方程f(x,y)=0；④化简方程f(x,y)=0为最简形式。

⑤证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点（一般省略）。

［多媒体演示］师：这就是建系、设点、列式、化简四步曲。

用这四步曲我们可以求适合某种条件的任何曲线方程，今天我们来看圆这种曲线的方程。

［给出标题］师：前面我们曾证明过圆心在原点，半径为5的圆的方程：x2+y2=52 即x2+y2=25.若半径发生变化，圆的方程又是怎样的？能否写出圆心在原点，半径为r的圆的方程？生：x2+y2=r2.师：你是怎样得到的？（引导启发）圆上的点满足什么条件？生：圆上的任一点到圆心的距离等于半径。

即，亦即x2+y2=r2.师：x2+y2=r2 表示的圆的位置比较特殊：圆心在原点，半径为r.有时圆心不在原点，若此圆的圆心移至C（a,b）点（如图），方程又是怎样的？生：此圆是到点C(a,b)的距离等于半径r的点的集合，由两点间的距离公式得即：（x-a）2+(y-b)2= r2Ⅱ.讲授新课、尝试练习师：方程（x-a）2+(y-b)2= r2 叫做圆的标准方程.特别：当圆心在原点，半径为r时，圆的标准方程为：x2+y2=r2.师：圆的标准方程由哪些量决定？生：由圆心坐标（a,b）及半径r决定。

《圆的标准方程》说课稿说课人：陈银辉 2015-6-04一、教学背景分析1．教材结构分析圆的标准方程是苏教版高中数学必修2第二章第二节圆的方程第一课时的内容。

圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用。

圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的意义，所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用2学情分析圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了求直线方程的方法基础上进行研究的但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下教学目标：3．教学目标1 知识目标：①掌握圆的标准方程；②会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程；③利用圆的标准方程解决简单的实际问题。

2 能力目标：①进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；②加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用；③增强学生应用数学的意识。

3 情感目标：①培养学生主动探究知识、合作交流的意识；②在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。

根据以上对教材、教学目标及学情的分析，我确定如下的教学重点和难点：4 教学重点与难点1重点:圆的标准方程的求法及其应用。

2难点:灵活运用几何法和待定系数法求圆的标准方程；为使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上进行分析。

二、教法学法分析1．教法分析，为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“启发式”问题教学法，用环环相扣的问题串将探究活动层层深入，使教师总是站在学生思维的最近发展区上。

另外我恰当的利用多媒体课件进行辅助教学，激发学生的学习兴趣。

2．学法分析，通过推导圆的标准方程，加深对用坐标法求轨迹方程的理解。

必修二第四章圆的标准方程教学目标1知识与技能：〔1〕掌握圆的标准方程的形式；；〔2〕能够根据题目给定条件求圆的标准方程；〔3〕能够根据圆的标准方程找到圆心和半径。

2过程与方法：加深对数形结合思想和待定系数法的理解；增强应用数学的意识。

从高考开展的趋势看，高考越来越重视学生的分析问题、解决问题的能力。

因此，要求学生在学习中遇到问题时，不要急于求成，而要根据问题提供的信息回忆所学知识，涉及到转化思想，数形结合的思想，应用平面解析几何的相关知识。

经历公理的推导过程，体验由特殊到一般、数形结合的数学思想方法。

使学生初步学会把一些实际问题转化为直线和平面的问题,关键是要使该问题是否满足点、直线、平面以及它们之间的关系，培养学生分析问题、解决问题的能力3情感态度价值观：〔1〕空间教学的核心问题是让学生了解圆的特征，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些现象；〔2〕用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。

培养学生掌握“理论的辨证思想重点难点1教学重点：圆的标准方程的推导以及根据条件求圆的标准方程；2教学难点：根据条件求圆的标准方程一、引入新课知识链接：1．两点间的距离公式？2．具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆的定义？平面内与一定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径圆在我们的生活中无处不在，日出东方，车行天下，这些都是圆的具体表现形式．那么车轮为何设计为圆形，而不是其他的形状？师生活动：假设是方形，走起来颠簸，不舒服；不是圆形，转不起来正是圆，可以让车轮上的每一点到轴心的距离相等，才保证了轮子转起来而不颠簸【设计意图】从身边的实例引入，激发学生学习兴趣，也为复习圆的定义做好铺垫问题1：什么是圆？问题2：在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也可以确定一条直线，那么在什么条件下可以确定一个圆？【设计意图】使学生在已有知识的根底上，结合圆的定义答复出确定圆的两个要素—圆心〔定位〕和半径〔定形〕．问题3：直线可以用一个方程表示，圆也可以用一个方程来表示吗？【设计意图】使学生在已有知识和经验的根底上，探索新知，引出本课题．二、探究新知问题4：圆的圆心坐标为，半径为〔其中、、都是常数，〕，如何确定圆的方程？方程的一般步骤．12写出适合条件2〔〕3 2 2 41028 = 0【设计意图】熟练掌握圆的标准方程与圆心坐标,半径长的关系．四、运用新知例1 写出圆心为,半径长等于5的圆的方程，并判断点是否在这个圆上．分析：判断圆心是否在圆上，可以从计算点到圆心的距离入手．解：圆心是，半径长等于5的圆的标准方程是把点的坐标代人方程，左右两边相等，点的坐标适合圆的方程，所以点在这个圆上；把点的坐标代人方程，左右两边不相等，点的坐标不适合圆的方程，所以点不在这个圆上．【设计意图】通过对圆的标准方程的直接应用，培养学生分析问题、解决问题的能力和良好的解题习惯．探究：怎样判断点在圆上？圆内？还是圆外？〔1〕点在圆外〔2〕点在圆上〔3〕点在圆内【设计意图】学生自己探讨发现点与圆的位置关系的判定方法，从而归纳出以下结论,培养学生分析问题、解决问题的能力．变式训练：1点与圆的位置关系〔〕Ａ．在圆外Ｂ．在圆上Ｃ．在圆内Ｄ．在圆上或圆外5，1，圆心在点C8，-3的圆的标准方程．3求圆心为且与直线相切的圆的标准方程．【设计意图】根据圆心和半径熟练写出圆的标准方程． 例2 的三个顶点的坐标是，求它的外接圆的方程．分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．从圆的标准方程 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定三个参数．还可以先求圆心〔是线段AB 和线段BC 的中垂线的交点〕，然后求半径，代入圆的标准方程．解法一：设所求圆的方程是 1因为都在圆上，所以它们的坐标都满足方程〔1〕．于是所以，的外接圆的方程为 ． 解法二：〔师生共同完成〕因为，所以线段的中点的坐标为，直线的斜率， 因此线段的垂直平分线的方程是 ，即 ， 同理可得线段的垂直平分线的方程是 ． 圆心的坐标是方程组 的解．解此方程组，得 ， 所以圆心的坐标是． 圆心的圆的半径长 ．所以，的外接圆的方程为 ．总结归纳：〔教师启发，学生自己比拟、归纳〕比拟例2得出外接圆的标准方程的两种求法：方法一：代数法—待定系数法； 方法二：几何法—数形结合．L【设计意图】结合例2的理解，学生自己归纳出求任意三角形外接圆的标准方程的两种方法，并比拟两种方法的优劣．例3 圆心为的圆经过点，且圆心在直线上，求圆心为的圆的标准方程．解法一：因为，，所以线段的中点的坐标为，直线的斜率．因此线段的垂直平分线的方程是，圆心的坐标是方程组的解．解此方程组，得，所以圆心的坐标是圆心为的圆的半径长．所以圆心为的圆的标准方程是．解法二：设所求圆的方程为．由题意得，解得所以所求圆的方程是．【设计意图】结合对例2的理解，找两位同学分别用两种不同的方法到黑板上解该题，让学生体会根据不同的条件，灵活适当地选取恰当的方法求圆的标准方程，并比拟两种方法的优劣，同时学生爬黑板板书解题过程，以标准学生的解题步骤．五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答：1．知识：〔1〕圆的标准方程的结构特点．〔2〕点与圆的位置关系的判定．3 求圆的标准方程的方法：①待定系数法；②几何法2．思想：数形结合的思想．教师总结: 圆的标准方程的推导方法用到了前面学过的知识，提醒学生: 在学习新知时，也要经常复习前面学过的内容,“温故而知新〞．在应用中增强对知识的理解，及时查缺补漏,从而更好地运用知识,解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．【设计意图】加强对学生学习方法的指导．六、布置作业1阅读教材 P118-120212．书面作业必做题：P124 习题A组2，3选做题：P124 习题B组3七、板书设计。

《必修2：圆的标准方程》教案适用学科高中数学适用年级适用区域苏教版区域课时时长(分钟)知识点圆的标准方程与一般方程,求圆的方程的一般方法教学目标会用待定系数法求圆的方程高二２课时教学重点求圆的方程教学难点选取适当的圆的方程【教学建议】圆的方程是在直线的基础上进一步让学生建立方程研究几何图形性质的思想、充分调动学生学习数学的热情,激发学生自主探究问题的兴趣、【知识导图】教学过程1。

如何写出圆心在原点,半径为的圆的方程？2。

假如圆心在,半径为时又如何呢？３、把圆的方程化简之后形式如何？4、这种化简之后的形式有没有限制条件？方考程点(x―1a)2圆+(的y―标b准)2＝方r程2 叫做以为圆心,为半径的圆的标准方程。

特不地,当圆心在原点,半径为r 时,圆的标准方程为:x2+ｙ2=r2。

注:圆心与半径分不决定圆的位置与大小、由此可见,要确定圆的方程,只需确定ａ、b、r 这三个独立变量即可。

把 x2＋ｙ2＋Ｄｘ+Ey+F=0 配方得:②(1)当Ｄ2＋E２-４F〉0 时,方程②表示以(,)为圆心,为半径的圆。

(2)当 D２+E2-4F=0 时,方程只有实数解,即只表示一个点(,)、(3)当D2＋E2－４F＜０时时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形王新新疆敞学案综上所述,方程x2＋ｙ２＋Ｄｘ＋Eｙ+F=０表示的曲线不一定是圆新疆王新敞,只有当D２+Ｅ2－４F>0时,学案它表示的曲线才是圆。

我们把形如x2＋ｙ2+Dｘ＋Ｅｙ＋F=０(Ｄ２+E2—４F＞０)的方程称为圆的一般方程新疆王新敞,其特学案点为: ①x2 与ｙ2 的系数相同且为１;②没有含 xy 的二次项、③Ｄ２+E2－４Ｆ＞０、类型三一、求例圆题的精方析程在平例面题直1角坐标系中,记二次函数()与两坐标轴有三个交点。

经过三个交点的圆记为、(１)求实数的取值范围; (２)求圆的方程; (3)问圆是否经过定点(其坐标与的无关)？请证明您的结论。

【解析】(１)令,得抛物线于轴的交点是令,得,由题意且,解得且 (2)设所求圆的一般方程为令,得,这与是同一个方程,故, 令,得,此方程有一个根为,代入得因此圆的方程为(3)圆必过定点, 证明如下:将代入圆的方程,得左边,右边因此圆必过定点; 同理可证圆Ｃ必过定点。

用心 爱心 专心1高中数学 圆的方程学案 苏教版【考点分析解读】 1、 圆的标准方程和一般方程在考纲中为C 级要求，要熟练掌握圆的标准方程、一般方程的求法及其互化；根据方程熟练地求出圆心和半径。

在填空题和解答题中常有考查，特别是在新课程区尤为突出，且内容丰富；2、求圆的方程有两种常用方法，一是代数法：即用“待定系数法”求圆的一般方程；二是几何法：通过研究圆的几何性质求出圆心、半径进而写出圆的标准方程。

【基本概念】 1．圆的定义：2．确定圆的几何要素： ①②3．圆的标准方程： 4．圆的一般式方程： 5．点与圆的位置关系：【课前预习】1．圆034222=++-+y x y x 的圆心到直线1=-y x 的距离为__________2．方程0122222=-+++++a a ay ax y x 表示圆，则a 的取值范围是________ 变式：02)2(222=++++a ax y a x a3．两条直线a x y a x y +=+=2,2的交点P 在圆4)1()1(22=-+-y x 的内部，则实数a 的取值范围是________________4．过点)1,1(),1,1(--B A ，且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是________________ 5．过点)4,3(),2,1(),5,0(---C B A 的圆的方程是__________________ 【例题讲解】 例1：（1）已知圆在两坐标轴上的四个截距之和为2，且经过两点)3,1(),2,4(-Q P 求此圆方程；（2）一个圆与x 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且被直线0=-y x 所截得的弦长为72，求此圆方程。

例2：已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别是)1,6(),1,2(),3,2(----C B A ，以原点为圆心的圆与三角形有唯一公共点，求圆的方程。

思考：如何求三角形的内切圆、外接圆方程?例3：过点),4(),1,0(m B A 且与x 轴相切的圆有且仅有一个，求实数m 的值和这个圆的方程。

§ 圆的方程教学目标：掌握圆的标准方程；能根据圆心的坐标、半径熟练写出圆的标准方程；能从圆的标准方程熟练地写出圆心和半径教学重点：圆的标准方程)0()()(222>=-+-r r b y a x222r y x =+教学难点：根据条件利用待定系数法确定圆的三个参数，从而求出圆的标准方程教学过程：一、问题情境1．情境引入：展示历史最悠久的石拱桥赵州桥，介绍赵州桥的相关背景资料2．提出问题：如果将圆拱抽象成几何图形是什么形状？圆的定义是什么？基本要素是什么？二、学生活动问题1：要求圆拱所在圆的方程，首先要做什么工作？问题2：这样建立直角坐标系最适当？问题3：图形中那些点的坐标我们已知？三、建构数学1求解圆的方程第一步：建系第二步：设点第三步：代入2求解一般圆的方程一般地，设点),(y x M 是以),(b a C 为圆心，r 为半径的圆上的任一点，则r MP =，由两点见的距离公式得r b y a x =-+-22)()(即 222)()(r b y a x =-+-反过来，……四、数学理论1圆的标准方程 方程)0()()(222>=-+-r r b y a x叫做以),(b a 为圆心，r 为半径的圆的标准方程2回顾反思：（1）a 、b 、r 为常数（2）以原点为圆心的圆的方程是222r y x =+（3）单位圆122=+y x五、数学运用1例题例1．课本P99例1（要确定圆的方程，只要确定a 、b 、r 三个量）例2．求过两点)4,0(A 、)6,4(B ，且圆心在直线022=--y x 上的圆的标准方程[法一]待定系数法；[法二]几何分析法例3．已知两点)9,4(A 、)3,6(B ，求以AB 为直径的圆的标准方程，并且判断点)9,6(M ，)3,3(N ，)3,5(Q 是在圆内、圆上还是在圆外？判断点与圆位置关系的依据：点到圆心的距离与半径的比较问题延伸：证明以),(11y x A ),(22y x B 为直径的圆的方程是0))(())((2121=--+--y y y y x x x x例4．课本P99例2２．练习：可以讨论课本P102练习六、总结反思1圆的标准方程形式)0()()(222>=-+-r r b y a x ；2待定系数法，几何分析法求解圆的标准方程；3判断点与圆的位置关系。