最新人教版高中数学必修二圆的标准方程公开课优质教案

人教版高中数学教案圆的标准方程教学目标：1. 理解圆的标准方程的概念和意义。

2. 学会利用圆的标准方程解决实际问题。

3. 掌握圆的标准方程的推导和应用方法。

教学内容：1. 圆的标准方程的定义和意义。

2. 圆的标准方程的推导过程。

3. 圆的标准方程的应用实例。

教学步骤：第一章：圆的标准方程的概念和意义1.1 引入圆的概念：引导学生回顾初中阶段学习的圆的概念，复习圆的性质和特点。

1.2 圆的标准方程的定义：介绍圆的标准方程的定义，解释圆的标准方程的意义。

1.3 圆的标准方程的意义：引导学生理解圆的标准方程在数学中的重要作用，以及它在实际问题中的应用。

第二章：圆的标准方程的推导过程2.1 圆的参数方程：介绍圆的参数方程的概念，引导学生理解参数方程与圆的标准方程的关系。

2.2 圆的标准方程的推导：引导学生通过转化思想，将圆的参数方程转化为标准方程。

2.3 圆的标准方程的简化：引导学生学会简化圆的标准方程，理解圆的标准方程的不同形式。

第三章：圆的标准方程的应用实例3.1 圆的方程与圆的性质：引导学生利用圆的标准方程研究圆的性质，如半径、直径等。

3.2 圆的方程与圆的位置关系：引导学生利用圆的标准方程研究圆与圆的位置关系，如相离、相切等。

3.3 圆的方程与圆的面积：引导学生利用圆的标准方程计算圆的面积，理解圆的面积与半径的关系。

教学评价：1. 通过课堂讲解和练习，评价学生对圆的标准方程的概念和意义的理解程度。

2. 通过课后作业和练习题，评价学生对圆的标准方程的推导和应用能力。

3. 通过小组讨论和问题解答，评价学生对圆的标准方程的实际应用和创新能力。

教学资源：1. 教学PPT：制作精美的教学PPT，展示圆的标准方程的概念和意义，以及推导和应用过程。

2. 练习题库：准备丰富的练习题库，包括不同难度和类型的题目，以供学生课后练习和巩固知识。

3. 教学案例：提供一些与圆的标准方程相关的实际案例，引导学生将理论知识应用于实际问题中。

教学设计4．1.1圆的标准方程整体设计一、教学背景分析1．教材结构分析圆是学生比较熟悉的一类曲线，而且是一种对称、和谐的图形，具有很多优美的几何性质．本节内容首先通过圆的定义，求解圆的标准方程，进而变化出圆的一般方程，其次运用代数的方法探讨直线与圆，圆与圆的位置关系，进一步提高学生对解析几何问题研究方法的深入理解．2．教材地位与作用圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用．本节内容安排在学生学习直线方程之后，旨在更加深刻的体会曲线和方程的关系，为后继学习做好准备．同时有关圆的问题，特别是圆和直线的位置关系问题，是解析几何的基本问题．这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法．圆的方程也属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后继直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有积极的意义．所以本节内容在解析几何中起着承前启后的作用．3．学情分析学生在初中已经学习了圆的概念和基本性质，在高中又掌握了求直线方程的一般方法，但由于学生以往注重从几何的角度理解圆的性质，而且学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，尚未建立牢固的数形结合的思想，对于解析法运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难．另外学生在探索问题的能力，合作交流的意识等方面有待加强．4.教学目标(1)知识目标：①在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；②会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程．(2)能力目标：①进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力；②使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解；③增强学生用数学的意识．(3)情感目标：培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣．5．教学重点、难点(1)教学重点：圆的标准方程的求法及其应用．(2)教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程以及选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题．二、教法分析高一学生，在教师的引导下，已经具备一定探究与研究问题的能力．所以在设计问题时应考虑全面性和灵活性，采用对比、启发、探究等方式，师生共同探讨，共同参与、共同研究，让学生积极思考，主动学习．在教学过程中采取小组讨论法，向学生提供具备启发性和思考性的问题．因此，要求学生在课堂上小组讨论，然后小组汇报讨论成果，提高学生的探究、推理、想象、表达、分析和总结归纳等方面的能力．因为本节课是在学生对圆的基本性质认识的基础上，再对圆进行代数研究．针对学生的学习过程、认知水平，在遵循参与式教学的基础上，调动全班学生积极参与，认真思考，努力体现学生学习的主体性地位．在学习过程中让学生积极思考，动手计算，不仅在“思维中参与”而且在“行动中参与”，养成主动性的学习习惯．三、学法分析为了重点培养学生分析问题、解决问题的能力．因此，要求学生在学习中遇到问题时，不要急于求成，而是通过求圆的标准方程，理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆．通过推导圆的标准方程，加深用解析法求轨迹方程的理解．还要会根据问题提供的信息回忆所学知识，采用转化思想、数形结合的思想，选择最佳方案解决．四、教学基本流程及其说明结合教材与新课程标准本节课采用以下流程(一)、教师在理解教材的编写意图的基础上，应发挥主观能动性，对教材资源进行再加工、再创造，这样教学方法更有利于学生的认知结构，也有利于学生从深层次理解和掌握圆的标准方程．(二)、在整个教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机结合起来，教师的每项措施都是力求给学生创造一种思维情境，动手、动脑、动口并且主动参与学习的机会，激发学生求知欲望，促使学生在不知不觉中掌握知识，解决问题．(三)、培养思维，提高能力，激励创新在问题的设计中，利用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生注意，使能力与知识的形成相伴而行．五、教学情境设计圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，因此这节课的重点确定为用解析法研究圆的标准方程及其简单应用．首先，在已有圆的定义和求曲线方程的一般步骤的基础上，用实际问题引导学生探究获得圆的标准方程，然后，利用圆的标准方程由浅入深的解决问题，并通过圆的方程在实际问题中的应用，增强学生用数学的意识．另外，为了培养学生的理性思维，设计了由特殊到一般的学习思路，培养学生的归纳概括能力．在问题的设计中，用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意，能力与知识的形成相伴而行，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成．本节课设计了六个环节，以问题为纽带，以探究活动为载体，使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入，充分体现以教师为主导，以学生为主体的指导思想．应用启发式的教学方法把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，在解决问题的同时锻炼了思维、提高了能力、培养了兴趣、增强了信心．。

4.1.1圆的标准方程教学设计1．内容和内容解析：内容：圆的标准方程。

内容解析：解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现数形结合的重要思想方法。

其中圆的标准方程的教学目标主要是：一是经历通过平面直角坐标系建立圆的代数方程的过程，在这个过程中进一步体会坐标法研究几何问题的思想和步骤；二是用两种方法求解圆的方程。

圆是解析几何中一类重要的曲线，在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质，圆的标准方程正是这一知识运用的延续，处于直线与方程和点，直线与圆的关系的结合点和交汇点上。

学好圆的方程可以为圆锥曲线的学习奠定基础，有利于学生进一步体会数形结合的思想，形成用代数法解决几何问题的能力。

也是培养学生运用能力和运算能力的重要素材。

从知识的结构和内容上都起到相当重要的作用。

2．教学目标：知识与技能（1）在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；（2）能根据圆心坐标、半径及其特殊情况熟练地写出圆的标准方程；（3）会根据条件选择并求出圆的方程；过程与方法（1）通过平面直角坐标系建立圆的代数方程的过程，让学生进一步体会坐标法在研究几何问题的思想和步骤；（2）通过类比直线方程的学习，发现并理解圆的方程与直线方程学习中相同的知识结构，进一步体会类比的思想；（3）通过求解圆标准的方程，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想；情感态度与价值观通过与直线方程的对比，体会类比思想的应用，让学生学会用联系的观点分析问题，认识事物之间的相互联系与转化；3．教学重难点：重点：（1）类比直线方程的学习，掌握圆的标准方程；难点：（1）圆的代数方程的建立过程；（2）圆的标准方程的灵活应用；落实的途径：（1）通过表格，建立直线与方程，圆与方程的结构图，在复习旧知的同时帮助学生经历坐标法建立圆的代数方程的如下过程：首先将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。

圆的标准方程一、教材分析本小节是人教版数学必修2第四章的起始节，只安排一个课时.本节的学习是建立在初中已经学习的圆的有关知识以及前面几节内容的基础之上的.同时由于圆是一种特殊的圆锥曲线，所以学习了圆的方程，也为后面学习其他的圆锥曲线的方程奠定了必要的基础.本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，有着不可忽视的重要地位，同时在实际生活中也有着很广泛的应用.本节的学习将培养学生的数学应用意识和数学探究能力.二、教学目标分析1.知识与能力：掌握圆的标准方程并依据不同条件求得圆的方程；培养学生观察、发现和解决问题的能力.2.过程与方法：理解圆的标准方程的推导过程，体会数形结合思想，形成代数方法处理几何问题的思维方式.3.情感、态度与价值观：通过圆在实际问题中的应用，激发学习的热情和兴趣；欣赏和体验圆的对称性，培养数学美感.三、教学重、难点分析重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确.难点：根据不同条件求圆的标准方程.由于本节内容具有很强的基础性，为了激发学生的学习主动性，建议采用“引导探究”的教学方式进行教学设计.师生的有效互动将使学生容易理解圆的标准方程的推导过程，明确圆的标准方程的特点.教学时充分利用课本上提供的两个例题，引导学生做好总结，通过例题的妥善解决使学生初步熟悉根据不同条件求圆的标准方程的一般方法.四、学情分析由于本节课用到初中的圆的知识和前面几节的内容，因此在课前必须先做好充分的预习，让学生带着疑问听课，以提高听课效率.采取学生共同探究问题的学习方法，先让学生带着问题预习课文，对圆的方程有个初步的认识，在教学过程中，主要采用启发性原则，发挥学生的思维能力、空间想象能力.在教学中，还不时补充练习题，以巩固学生对新知识的理解，并紧紧与考试相结合.五、教学环境分析由于本节的内容具有基础性，学生比较熟悉且容易接受，因此不需要采用多媒体课件辅助.建议在普通教室教学即可.六、教学过程（一）直接导入引言：我们知道直线可以用一个方程表示，那么圆是否也可以用一个方程表示呢？那么圆的方程如何求呢？【设计意图】通过直线想到圆，引出课题——圆的标准方程.（二）新课探究1.旧知回顾：（1）已知两点A （1，-2），B （3,5），如何求它们之间的距离？若已知C （3，-8），D （x ，y ），又如何求C 、D 的距离？（2）具有什么性质的点的轨迹称为圆？（3）在平面直角坐标系中，确定一条直线的条件是什么？那么确定一个圆的条件是什么呢？【设计意图】复习已经学过的有关知识，为圆的标准方程的推导做铺垫.2.新知探究：探究1：已知圆C 的圆心坐标C （a ，b ），圆的半径为r ，我们能否写出圆C 的方程？师生活动：学生自主探究圆C 的方程，教师引导提示.学生不难找出圆的方程为222)()(r b y a x =-+-.（*）【设计意图】引导学生根据上面复习过的有关知识推导圆的标准方程.培养学生的自主学习能力和探究能力.教师引导学生讨论：（1）若点),(y x M 在圆C 上，则点M 的坐标满足方程（*）吗？（2）若点),(y x M 坐标满足方程（*），则点M 在圆C 上吗？【设计意图】让学生验证探究出来的圆的方程具有充分性和完备性两个方面.教师指出：方程（*）就是圆心在C （a ，b ），半径为r 的圆的标准方程.探究2：圆的标准方程有什么特点？师生活动：学生观察求出的方程（*），找出它所具有的特征.可以请学生合作交流.个别学生展示答案，教师总结归纳.【设计意图】让学生明确圆的标准方程的特点，为识记和熟练应用做准备.培养学生的观察能力、分析能力和合作交流能力.探究3：如果要求一个圆的标准方程，必须知道哪些条件？怎样确定一个圆的标准方程呢？师生活动：学生自主分析、总结.教师请个别学生回答，及时鼓励评价.【设计意图】进一步明确圆的标准方程的特点，分析寻找圆的标准方程的思路，为圆的标准方程的熟练应用做铺垫.探究4：在直角坐标平面内，点与圆的位置关系有几种？如何判断呢？师生活动：教师引导学生结合图形分析：点到圆心的距离d和圆的半径之间的大小关系对点与圆的位置关系的影响.学生总结点与圆的位置关系的三种情形及判断方法.【设计意图】让学生明确圆的标准方程在判断点与圆的位置关系时的方便之处，体会到圆的标准方程的优点和魅力.（三）应用分析例1.写出下列各圆的标准方程.（1）圆心坐标为（-4，-3）半径为6；（2）圆心坐标为（2，5）半径为3；（3）经过点P（1,2），且圆心在（2，-1）；（4）圆心在C（1,3），且和直线0+yx相切.-1=师生活动：（1）（2）学生口答，教师给予积极的评价.（3）（4）可以让学生思考作答，教师在需要时给予提示.教师展示学生解答，并板书详细过程.【设计意图】熟悉圆的标准方程的简单应用.提高分析解决问题的能力.例2.写出圆心在A（-2,1），半径为2的圆的标准方程，并判断点M（0,2）和N（-1,1）和圆的位置关系.师生活动：学生自主完成本题.教师巡查指导解决疑难.【设计意图】巩固判断点与圆的位置关系的方法，进一步熟悉圆的标准方程的简单应用.例3.△ABC的三个顶点坐标分别为A（5,1），B（7，-3）），C（2,-8），求它的外接圆的方程.师生活动：学生先思考，找出思路，教师分析总结.学生写出解答过程，教师展示个别学生答案，并给予评价和鼓励.然后教师板书完整解答过程.最后教师总结提炼方法——待定系数法.【设计意图】让学生体会待定系数法在求圆的方程的应用.培养学生分析和解决综合问题的能力和计算能力，培养学生用代数方法解决几何问题的思维方式.（四）练习巩固本节练习1、2.师生活动：学生独立完成，教师巡查指导，展示答案，及时评价.【设计意图】及时巩固本节所学的知识，提升分析问题、解决问题的能力.（五）课堂小结（1）本节课你学习了哪些知识点？（2）本节课你学会了哪些数学思想方法？（3）你还有什么疑问或者还有什么话想说吗？师生活动：学生总结，教师及时评价鼓励.【设计意图】回顾本节所学的知识点和数学方法，让学生养成及时总结反思的好习惯，提高学生的总结、反思能力.（六）作业巩固习题4.1第2、3、4题.【设计意图】课后复习巩固本节所学的知识，提升迁移能力.七、教学反思：新课标倡导积极主动、勇于探索的学习方式，强调形成积极主动的学习态度，使获得知识与技能的过程成为学会学习、形成正确价值观的过程.因此在教学中，我设计一系列探究问题，引导学生自主探索、积极思考、主动学习，适时安排小组讨论活动，让他们阐述自己的见解.本节课的设计通过适当的创设情境，调动学生的学习兴趣，然后以问题做链，环环相扣，运用前段时间学习的求曲线的方法引导学生探索方程,使学生的探究活动贯穿始终.从圆的标准方程的推导到标准方程的求解都是在问题的指引下，通过我的适度引导、侧面帮助、不断肯定，由学生探究完成并走向成功.。

《4.1.1 圆的标准方程》教案
授课时间：授课地点：授课教师：
一、教材分析:圆是解析几何中一类重要的曲线，是在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质，圆的标准方程正是这一知识运用的延续，在学习中使学生进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力，是进一步学习圆锥曲线的基础。

对于知识的后续学习，具有相当重要的意义.
二、教学目标：
1、知识与技能：①掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程;反之，
会根据圆的标方程，求圆心和半径;
②会判断点和圆的位置关系;
③会用待定系数法和几何法求圆的标准方程;
2、过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思
想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问
题、发现问题和解决问题的能力.
3、情感态度和价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习
数学的热情和兴趣.
三、内容分析：
重点：圆的标准方程的求法及其应用
难点：会根据不同的已知条件求圆的标准方程
四、教具学具的选择：多媒体、圆规、直尺、课件.
五、教学方法：采用“问题－探究”教学法.
六、教学过程：。

4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程一、教学目标（一）核心素养通过本节课的学习，掌握圆的定义，并根据此定义得出圆的标准方程.（二）学习目标掌握圆的定义及圆的标准方程，会利用条件求圆的标准方程.（三）学习重点利用各种条件求圆的标准方程.（四）学习难点根据圆的定义推导圆的标准方程以及求圆的标准方程.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务读一读：阅读教材第118页到119页，填空：确定一个圆的最基本的要素是圆心和半径；圆心为点(,)a b ，半径为r 的圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=.2.预习自测（1）圆心在点(1,2)，半径为5的圆的标准方程为（ ）A.22(1)(2)5x y +++=B.22(1)(2)25x y +++=C.22(1)(2)5x y -+-=D.22(1)(2)25x y -+-=【知识点】圆的标准方程.【解题过程】由条件知1,2,5a b r ===，代入标准方程得：22(1)(2)25x y -+-=【思路点拨】熟记圆的标准方程，明确各字母的具体含义.【答案】D（2）若点(15,)M a a +在圆22(1)26x y -+=上，则实数a =（ ）A.1B. 1±C.2D.【知识点】点与圆的位置关系.【解题过程】由条件，将点M 的坐标代入圆的方程得21a =，故1a =±【思路点拨】点000(,)M x y 与圆C ：222()()x a y b r -+-=的位置关系：（1）点0M 在圆C 上⇔22200()()x a y b r -+-=；（2）点0M 在圆C 内⇔22200()()x a y b r -+-<；（3）点0M 在圆C 外⇔22200()()x a y b r -+->；【答案】B（3）已知点(1,1),(1,1)A B --，则以线段AB 为直径的圆的标准方程为（ ）A.221x y +=B. 22x y +=C. 222x y +=D. 224x y +=【知识点】圆的标准方程.【解题过程】由线段AB 为直径，所以圆心为(0,0)，半径12r AB ==圆的标准方程为222x y +=【思路点拨】求圆的标准方程就是要找出圆心坐标和半径.【答案】C（二）课堂设计1.知识回顾：（1）在直角坐标平面中确定一条直线的方法有哪些？两点可以确定一条直线；一点和倾斜角可以确定一条直线；横、纵截距可以确定一条直线等等. （2）直角坐标平面中两点间的距离公式：设点1122(,)(,)A x y B x y 、，则这两点间的距离AB =2.问题探究探究一 圆的定义•活动① 在直角坐标平面中，如何确定一个圆？显然，当圆心位置和半径大小确定后，这个圆也就唯一确定了.因此，确定一个圆的最基本的要素就是圆心和半径.【设计意图】通过和直线的类比，引导学生分析出圆的基本要素，为后面圆的定义打基础.•活动② 当圆心位置C 和半径r 的大小确定后，如何定义一个圆？平面上到定点C 的距离等于半径r 的点M 的集合，叫做以C 为圆心，为半r 径的圆.【设计意图】从理性分析到感性认识，得出圆的定义.探究二 圆的标准方程•活动① 如果圆心C 的坐标为(a,b )，半径大小为r ，那么圆的方程是什么？设圆上任意一点M (x,y )，则M 到圆心C 的距离等于半径r ，圆心为C 的集合就是{}P M MC r ==，由两点间的距离公式，点M 适合的条件可以表示为22()()x a y b r -+-=两边平方，得：222()()x a y b r -+-=……………………⑴ 若点M (x,y )在圆上，由上述讨论可知，点M 的坐标适合方程(1)；反之，若点M (x,y )的坐标适合方程(1)，这说明点M 到圆心C 的距离等于半径r ，即点M 在圆心为C 的圆上.我们就把方程(1)称为圆心为C (a,b )，半径为r 的圆的标准方程.【设计意图】利用两点间的距离公式和圆的定义推导出圆的标准方程，实现从几何到代数的转化.探究三 点和圆的位置关系•活动① 由探究二我们知道，如果点000(,)M x y 在圆222()()x a y b r -+-=上，则满足22200()()x a y b r -+-=.那么点000(,)M x y 在圆222()()x a y b r -+-=内又要满足什么条件呢？在圆222()()x a y b r -+-=外呢？点000(,)M x y 与圆C ：222()()x a y b r -+-=的位置关系：（1）点0M 在圆C 上22200()()x a y b r ⇔-+-=；（2）点0M 在圆C 内22200()()x a y b r ⇔-+-<；（3）点0M 在圆C 外22200()()x a y b r ⇔-+->；【设计意图】掌握点与圆的位置关系和刻化方法.巩固基础，检查反馈例1. 圆22(2)(3)2x y ++-=的圆心坐标和半径分别为（ ）A. (2,3),-B. (2,3),2-C. (2,3),-D. (2,3),2-【知识点】圆的圆心坐标和半径.【解题过程】由圆的标准方程可知圆心坐标为(2,3)-，半径r =【思路点拨】比较该方程与圆的标准方程即可.【答案】A同类训练 圆22(1)(2)5x y -++=的圆心到直线y x =的距离为（ ）A. B. C. D. 5 【知识点】由圆的方程得圆的圆心坐标以及点到直线距离公式的使用.【解题过程】由圆的方程可知该圆的圆心为(1,2)-，由点到直线的距离公式得所.【思路点拨】比较方程和圆的标准方程得出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式即可求解.【答案】C例2.已知点A (0,-1)，B (2,1)，则以线段AB 为直径的圆的标准方程为（ ）A.22(1)1x y -+=B.221)1x y ++=（C.221)2x y -+=（D.22(1)2x y ++=【知识点】求出圆心坐标和半径，进而写出圆的标准方程.【解题过程】因为线段AB 为直径，所以圆心坐标为(1,0)，半径12r AB ==所以圆的方程为221)2x y -+=（ 【思路点拨】找圆心坐标和半径大小是求得方程的关键.【答案】C同类训练 圆心在直线:230l x y --=上，且过点(5,2)(3,2)A B -和的圆的标准方程为（ ）A.22(2)(1)10x y -+-=B.22(2)(1)x y -+-=C.22(2)(1)10x y +++=D. 22(2)(1)x y +++=【知识点】求出圆心坐标和半径，进而写出圆的标准方程.【解题过程】∵圆过点(5,2)(3,2)A B -和，所以圆心必在线段AB 的垂直平分线上，即在直线:24l x y '+=上. 由条件圆心必为l 与l '的交点，所以由23022401x y x x y y --==⎧⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩，所以圆心为(2,1)C ，半径r AC ==，所以所求圆的方程为22(2)(1)10x y -+-=【思路点拨】如果圆过两个点，那么圆心一定在过这两点的弦的中垂线上.【答案】A强化提升、灵活应用例3、已知圆与x 轴相切，圆心在直线y =2x 上，且被直线x +y -3=0平分周长，求该圆的标准方程.【知识点】由条件确定圆心坐标和半径大小，进而确定圆的方程.【解题过程】∵圆被直线平分周长，∴圆心必在直线x +y -3=0上，所以由条件可知圆心为直线y =2x 和x +y -3=0的交点，即圆心C (1,2)；又圆与x 轴相切，所以半径即为圆心纵坐标，即r =2，故圆的标准方程为22(1)(2)4x y -+-=【思路点拨】直线平分圆周长，则圆心必在该直线上.【答案】22(1)(2)4x y -+-=例4. 已知点1)A 在圆22()(1)15x m y m ++-=-的外部，则实数m 的取值范围是( )A.32m -<<-B.23m <<C.32m m <->-或D.1325m m <--<<或 【知识点】圆的标准方程以及点与圆的位置关系. 【解题过程】条件等价于2150715m m m->⎧⎨+>-⎩，解得：1325m m <--<<或 【思路点拨】要注意圆的标准方程中等号后面是半径的平方（容易遗漏）【答案】D同类练习 已知过点(1,2)A 的直线始终与圆222()()2C x a y a a -++=：相交，则实数a 的取值范围是___________.【知识点】点与圆的位置关系.【解题过程】条件等价于点A 在圆C 的内部，所以有222(1)(2)2a a a -++<，解得52a -≤ 【思路点拨】过定点的直线始终与圆相交等价于定点必在圆内部. 【答案】52a -≤ 3.课堂总结知识梳理（1）确定圆的基本要素是圆心和半径；（2）圆心为C (a,b )，半径为r 的圆的标准方程为222()()x a y b r -+-= （3）点000(,)M x y 与圆C ：222()()x a y b r -+-=的位置关系：点0M 在圆C 上22200()()x a y b r ⇔-+-=；点0M 在圆C 内22200()()x a y b r ⇔-+-<；点0M 在圆C 外22200()()x a y b r ⇔-+->重难点归纳（1）圆的标准方程的推导思想和过程；（2）在各种条件下会求圆的圆心坐标和半径大小，进而求出圆的方程.（三）课后作业基础性 自主突破1.经过点(5,1)P ，圆心为(8,3)C -的圆的方程为（ ）A.22(8)(3)25x y +++=B.22(8)(3)25x y -++=C.22(8)(3)25x y -+-=D.22(8)(3)25x y ++-=【知识点】圆的标准方程【解题过程】有条件知，圆的半径为5r PC ==，所以圆的方程为22(8)(3)25x y -++=【思路点拨】圆上一点到圆心的距离即为半径.【答案】B2.已知圆22(1)(2)5x y -++=，则点(1,0)M 与该圆的位置关系是（ ）A.M 在圆内B. M 在圆上C. M 在圆外D.以上都不对【知识点】点和圆的位置关系.【解题过程】由于22(11)(02)45-++=<，所以M 在圆内.【思路点拨】点和圆的位置关系由点到圆心的距离和半径的关系决定.【答案】A3.圆22(3)(2)5x y -+-=关于原点(0,0)对称的圆的方程为（ ）A.22(3)(2)5x y -+-=B.22(3)(2)5x y ++-=C.22(3)(2)5x y +++=D.22(3)(2)5x y -++=【知识点】圆关于点的对称圆.【解题过程】圆22(3)(2)5x y -+-=的圆心(3,2)关于原点(0,0)的对称点(3,2)--即为所求圆的圆心，半径保持不变任为，故所求圆的方程为22(3)(2)5x y +++=【思路点拨】圆关于点的对称圆只是圆心对称，半径不变.【答案】C4.已知点(51,12)A a a +在圆22(1)1x y -+=的内部，则（ ） A.1a < B.113a < C.15a < D. 113a < 【知识点】点与圆的位置关系 【解题过程】由点与圆的位置关系可知221(5)(12)113a a a +<⇒< 【思路点拨】点和圆的位置关系由点到圆心的距离和半径的关系决定.【答案】D5.已知圆C 的圆心在直线270x y --=上，且圆C 与y 轴交于两点(04)(02)A B --，、，，则圆C 的标准方程为（ ）A.22(2)(3)5x y -++=B.22(2)(3)25x y -++=C.22(3)(2)5x y ++-=D.22(3)(2)25x y ++-=【知识点】圆的标准方程【解题过程】∵线段AB 为圆的弦，∴圆心C 在线段AB 的中垂线3y =-上，又圆心C 在直线270x y --=上，∴圆心为(2,3)C -，半径r AC ==，∴圆C 的标准方程为22(2)(3)5x y -++=【思路点拨】求圆的方程就是想办法确定圆心坐标和半径大小.【答案】A6.已知ABC ∆的三个顶点分别为(05),(12),(34)A B C ---，，，，则ABC ∆的外接圆的方程为（ ）A.22(3)(1)25x y -++=B.22(3)(1)5x y -++=C.22(3)(1)25x y ++-=D.22(3)(1)5x y ++-=【知识点】线段的垂直平分线和圆的标准方程.【解题过程】∵线段AB BC 、为所求圆的两条弦，∴圆心在AB BC 、的垂直平分线的交点，即在直线7100x y -+=和250x y ++=的交点(3,1)M -，半径5r AM ==，所以所求圆的方程为22(3)(1)25x y ++-=【思路点拨】圆的圆心必在弦的垂直平分线上.【答案】C能力型 师生共研7.与圆22(2)(3)16x y -++=有相同的圆心，且过点(11)P -，的圆的标准方程为（ ）A.22(2)(3)25x y ++-=B.22(2)(3)25x y -++=C.22(2)(3)16x y ++-=D.22(2)(3)16x y -++=【知识点】同心圆问题.【解题过程】由条件知所求圆的圆心为(2,3)C -，半径为5r PC ==另解：由条件设圆的方程为222(2)(3)x y r -++=，将点(11)P -，代入可求得225r = 【思路点拨】同心圆问题可以直接找圆心和半径求解，也可以用同心圆系方程222(2)(3)x y r -++=解决.【答案】B8.圆22:(3)(1)10M x y -++=关于直线20x y -=的对称圆的方程为（ ）A.22(1)(3)10x y -+-=B.22(1)(3)x y -+-=C.22(1)(3)10x y -++=D.22(1)(3)x y -++=【知识点】圆关于直线的对称圆问题.【解题过程】设对称圆的圆心为(,)a b ，则由条件有31201221323a b a b b a +-⎧-=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=-⎪-⎩，【思路点拨】圆关于直线的对称圆，只需将圆心对称，半径不变.【答案】A探究型 多维突破9.已知圆C 过点(12)P ，和(23)Q -，，且圆C 在两坐标轴上的截得的弦长相等，则圆C 的方程为（ ）A.22(1)(1)5x y ++-=B.22(2)(2)25x y +++=C.22(1)(1)5x y ++-=或22(2)(2)25x y +++=D.22(1)(1)25x y ++-=或22(2)(2)25x y +++=【知识点】圆的标准方程和弦长问题.【解题过程】如图，由于截得的弦长相等，即AD EG =，所以它们的一半也相等，即AB GF =，又AC GC =，所以直角ABC GFC ∆∆≌，BC FC =∴，设圆心(,)C a b ，则a b =……①，又圆心(,)C a b 在线段PQ 的垂直平分线34y x =+上，所以34b a =+……②，联立①②解得：11a b =-⎧⎨=⎩或22a b =-⎧⎨=-⎩，半径r =或5.【思路点拨】根据几何关系，用待定系数法求圆心坐标是关键.【答案】C10.已知四点(20),(100),(113),(61)M N P Q ，，，，，那么这四点共圆吗？如果共圆，求出圆的方程；如果不共圆，说明理由.【知识点】圆的方程和点共圆问题.【解题过程】设MNP ∆的外接圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，把点,,M N P 的坐标代入得到：222222222(2)()6(10)()3(11)(3)5a b r a a b r b a b r r ⎧-+-==⎧⎪⎪-+-=⇒=⎨⎨⎪⎪-+-==⎩⎩，即外接圆为22(6)(3)25x y -+-=，将(6,1)Q 代入圆的方程得22(66)(13)425-+-=≠，即点Q 不在圆上，故,,,M N P Q 四点不共圆.【思路点拨】多点共圆问题可以先求三点所共的圆的方程，在用点与圆的位置关系判断其他的点在不在圆上.【答案】不共圆自助餐1.已知点(32),(54)A B --，，，则以线段AB 为直径的圆的方程为（ ） A.22(1)(1)25x y -++= B.22(1)(1)25x y ++-=C.22(1)(1)100x y -++=D.22(1)(1)100x y ++-=【知识点】圆的标准方程.【解题过程】由于线段AB 为直径，所以圆心为(32),(54)A B --，，的中点即(1,1)-，半径152r AB ==，所以圆的方程为22(1)(1)25x y ++-= 【思路点拨】【答案】B2.过点(11),(11)A B --，，，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程为（ ） A.22(3)(1)4x y -++= B.22(3)(1)4x y ++-=C.22(1)(1)4x y -+-=D.22(1)(1)4x y +++=【知识点】圆的标准方程.【解题过程】线段AB 的垂直平分线y x =与直线20x y +-=的交点(1,1)M 即为所求圆的圆心，半径2r AM ==，所以圆的方程为22(1)(1)4x y -+-=【思路点拨】圆的弦的垂直平分线必过圆心.【答案】C3.若点(2,2)在圆22()()16x a y a ++-=的内部，则实数a 的取值范围是（ ）A.22a -<<B. 02a <<C. 2a <-或2a >D.2a =±【知识点】点与圆的位置关系.【解题过程】由条件有22(2)(2)1622a a a ++-<⇒-<<【思路点拨】点在圆内即点到圆心的距离小于半径.【答案】A4.已知圆221:(1)(1)1C x y ++-=，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为（ ）A.22(2)(2)1x y ++-=B.22(2)(2)1x y -++=C.22(2)(2)1x y +++=D.22(2)(2)1x y -+-=【知识点】圆关于直线的对称圆.【解题过程】设圆2C 的圆心为(,)a b ，则依题意有11102221211a b a b b a -+⎧--=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨-=-⎩⎪=-⎪+⎩，对称圆的半径保持不变任为1，故圆2C 的方程为22(2)(2)1x y -++=【思路点拨】圆关于直线的对称圆，即为圆心的对称，半径不变.【答案】B5.设点(00),(11),(42)A B C ，，，，若线段AD 为ABC ∆外接圆的直径，则点D 的坐标为（ ）A.(8,6)-B. (8,6)-C. (4,6)-D. (4,3)-【知识点】圆的标准方程和点与圆的位置关系.【数学思想】【解题过程】线段AB 的垂直平分线10x y +-=与线段AC 的垂直平分线250x y +-=的交点即为圆心(4,3)-，直径为10，易得点D 的坐标为(8,6)-【思路点拨】圆的弦的垂直平分线一定过圆心.【答案】B6.若圆22()()8x a y a -+-=，则实数a 的取值范围是（ ）A.(3,1)(1,3)--B.(3,3)-C. [1,1]-D. (3,1][1,3)--【知识点】圆的定义.【解题过程】若0a ≥，由条件可知圆上距原点最近点d <，最远点d <<，∴最近点(2,2)a a --，最远点(2,2)a a ++，<，<<，解得13a <<；同理当0a <时有31a -<<-【思路点拨】根据圆的定义把存在为题转化为距离问题.【答案】A。

人教版高中必修2《圆的方程》教学设计《人教版高中必修2《圆的方程》教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！一、教材分析1.教学内容普通高中课程标准实验教科书《数学》必修2第二章平面解析几何初步中2﹒2节圆与方程。

本节主要研究圆的方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，以及他们在生活中的简单运用。

2.教材的地位与作用圆是最简单的曲线之一，这节教材安排在学习了直线之后，学习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论为后继学习作好准备。

同时有关圆的问题，特别是直线与圆的位置问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法。

应此教学中应加强练习，使学生确实掌握这单元的知识和方法。

初中教材中对圆的内容降低最低要求。

本课是单元的第一课，和直线方程一样，教学中先设计一个问题情景，让学生讨论，并引导学生观察圆上点在运动时，不变的是什么，抓住圆的本质，突破难点。

3.三维目标(1)知识与技能A.掌握圆的标准方程，并根据方程写出圆的坐标和圆的半径。

B.会选择适当的坐标系来解决与圆有关的实际问题。

(2)过程与方法A.实际问题引入，师生共同探讨。

B.探究曲线方程的基本方法。

(3)情感态度与价值观培养用坐标法研究几何问题的兴趣。

4.教学重点圆的标准方程及运用5.教学难点求圆的标准方程的条件的确定。

二.教法分析高一学生，在老师的引导下，已经具备一定探究与研究问题的能力。

所以在设计问题时应考虑周全和灵活性，采用启发式探索式教学，师生共同探讨，共同研究，让学生积极思考，主动学习。

在教学过程中采用讨论法，向学生提供具备启发式和思考性的问题。

因此，要求学生在课上讨论，提高学生的探索，推理，想象，分析和总结归纳等方面的能力。

三.学法分析从高考发展的趋势看，高考越来重视学生的分析问题解决问题的能力。

因此，要求学生在学习中遇到问题时，不要急于求成，而要根据问题提供的信息回忆所学知识，采用转化思想，数形结合的思想，选择最佳方案加以解决“瞎撞，乱撞”的不良思想。

《圆的标准方程》教案教学目标：1．掌握圆的标准方程特征；会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程；利用圆的标准方程解决简单的实际问题；2．进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；加深对数形结合思想的理解，加强对待定系数法的运用；增强学生应用数学知识的意识；3．培养学生主动探究知识、合作交流的意识；在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣．教学重点难点：1．重点：圆的标准方程的求法及其应用．2．难点：根据不同的已知条件求圆的标准方程；选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题．教法与学法：1．教法选择：以数学活动为主线，以学生参与为核心，以“自主－合作－探究”为主要学习方式．2．学法指导：通过推导圆的标准方程，求圆的标准方程，理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆．通过圆的标准方程的应用，使学生认识到数学在实际问题中的作用．教学过程：一、设置情境，激发学生探索的兴趣这就是我们今天要研究的问题．二、方法总结，变式演练方法总结1．求圆的方程的方法(1)待定系数法，确定a，b，r；(2)轨迹法，求曲线方程的一般方法．2．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d，圆半径为r：(1)点在圆上d=r；(2)点在圆外d＞r；(3)点在圆内d＜r．3．圆的切线的求法总结，加深知识的理解和记忆．例3．已知圆心为C的圆，L:x-y+1=0经过点A(1，1)和B(2，-2)，且圆心在L上，求圆心为C的圆的标准方程．本题的教学要突出对问题的分析过程，在分析过程中，要强调图形在分析问题中的作用．在解题结束后，可让学生尝试画出框图，以明晰思路，渗透算法思想．分析：如图，确定一个圆关键是圆心和半径．圆经过A、B两点，由于圆心C与A、B两点距离相等，所以圆心C在线段AB的垂直平分线m上，又圆心在直线l上，因此，圆心C是直线l与直线m的交点，半径长等于CA或CB．程这一数学方法及过程．思想表现在由数到形和由形到面．将数学问题转化为数学图形，体现了由数到形的转化；借助图形求解圆方程的问题有利于学生分析问题，解决问题．三、技能训练，课堂交流四、归纳小结，课堂延展延展作业:1．把圆的标准方程展开后是什么形式？2．方程2268200+-++=表示什么x y x y图形？教学设计说明1．教材地位分析：圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用．圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后面的直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容，都做了很好的铺垫，所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用．2．学生现实状况分析：圆的方程是学生在认识了圆的几何知识后，又在上一章学习了直线与方程，初步认识坐标法的基础上进行研究的．但由于学生学习解析几何的时间还不长、认识程度较浅，对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难．3．新课标理念倡导“以人为本”，强调“以学生发展为核心”，因此在教学过程应增加学生自主参与，合作交流的机会，教给学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成为教学的主体；为了调动学生的积极性与学习数学的兴趣，在教学中增加了与现实生活的联系，如引入摩天轮等生活中常见的实体，以便让学生体会数学知识与实际的联系，从而激发学生学习数学的兴趣．4．教学的难点是解决实际应用问题，因为实际应用问题的信息较多或题目冗长，学生很难根据问题情境构建数学模型，缺乏解决问题的信心，从而导致学生不会解和抵触心理．为此，在教学中，应该从简单的生活实例入手，激发学生的求知欲，同时可以用多媒体进行演示，增强学生的学习兴趣，引导学生真正走入问题的情境之中，并从中抽象出数学模型，从而消除畏难情绪，增强信心．。

教案说明圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，因此这节课的重点确定为用解析法研究圆的标准方程及其简单应用。

一、设计理念设计的根本出发点是促进学生的发展。

教师以合作者的身份参与，课堂上建立平等、互助、融洽的关系，师生共同研究，共同提高。

二、设计思路（1）突出重点抓住关键突破难点求圆的标准方程既是本节课的教学重点也是难点，为此我布设了由浅入深的学习环境，先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系，逐步理解三个参数的重要性，自然形成待定系数法的解题思路。

在例题的设计中，我用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意，能力与知识的形成相伴而行，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成。

（2）学生主体教师主导探究主线本节课的设计用问题做链，环环相扣，使学生的探究活动贯穿始终。

从圆的标准方程的推导到应用都是在问题的指引、我的指导下，由学生探究完成的。

另外，我在例题2的教学，要求学生分组讨论，合作交流，为学生设立充分的探究空间，学生在交流成果的过程中，既体验了科学研究和真理发现的复杂与艰辛，又在我的适度引导、侧面帮助、不断肯定下顺利完成了探究活动并走向成功，他们体验到成功的快乐，感受到数学的魅力。

在一个个问题的驱动下，高效的完成本节的学习任务。

三、媒体设计本节采用powerpoint媒体，知识容量大，同时又有图形。

为了在短时间内完成教学内容，故采用演示文稿的方式，增加信息量，节省时间。

同时动态演示图形，刺激学生的感官，引起更强的注意，提高课堂教学效率。

4.1.1圆的标准方程教材：普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学（必修2）第四章第一节一、教学目标1、知识目标（1）在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；（2）会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程。

（一）教学目标1．知识与技能（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程.（2）会用待定系数法求圆的标准方程.2．过程与方法进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题发现问题和解决问题的能力.3．情感态度与价值观通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣.（二）教学重点、难点重点：圆的标准方程难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程.（三）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程具有什么特征？由学生回答，然后引入课题设置情境引入课题概念形成确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a，b)，半径为r (其中a、b、r都是常数，r＞0)设M(x，y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是(引导学生自己列出)P= {M|MA| = r}，由两点间的距离公式让学生写出点的坐标适合的条件22()()x a y b r-+-=①化简可得：(x–a)2 + (y–b)2= r2②引导学生自己证明(x–a)2 + (y–b)2 = r2为圆的方程，得出结论.方程②就是圆心为A(a，b)半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程.通过学生自己证明培养学生的探究能力.应用举例例1 写出圆心为A(2，–3)半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5，–7)，2(5,1)M--是否在这个圆上.分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手.探究：点M(x0，y0)与圆(x–a)2 + (y–b)2 = r2的关系的判断方法：（1）(x0–a)2 + (y0–b)2＞r2，点在圆外.（2）(x0–a)2 + (y0–b)2= r2，点在圆上.（3）(x0–a)2 + (y0–b)2＜r2，点在圆内.引导学生分析探究从计算点到圆心的距离入手.例1 解：圆心是A(2，–3)，半径长等于5的圆的标准方程是(x+ 3)2+ ( y+ 3)2=25.把M1 (5，–7)，M2(5-，–1) 的坐标代入方程(x–2)2 + (y +3)2 =25，左右两边相等，点M1的坐标适合圆的方程，所以点M2在这个圆上；把M2(5-，–1)的坐标代入方程(x–2)2+ (y+3)2=25，左右两边不相等，点M2的坐标不适合圆的方程，所以M2不在这个圆上通过实例引导学生掌握求圆的标准方程的两种方法.例 2 △ABC的三个顶点的坐标是A(5，1)，B(7，–3)，C(2，– 8). 求它的外接圆的方程.例2 解：设所求圆的方程是(x–a)2 + (y–b)2 = r2. ①因为A(5，1)，B(7，–3)，C(2，–8) 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①. 于是师生共同分析：从圆的标准方程(x–a)2 + (y–b)2= r2可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a、b、r三个参数，(学生自己运算解决)6––4––2––––2 –––4––––55AM222222222(5)(1)(7)(3)(2)(8)a b r a b r a b r⎧-+-=⎪-+--=⎨⎪-+--=⎩ 解此方程组，得22325a b r ⎧=⎪=-⎨⎪=⎩ 所以，△ABC 的外接圆的方程是(x – 2)2 + (y +3)2=25. 例3 已知圆心为C 的圆C . 经过点A (1，1)和B (2，–2)，且圆心在l : x – y + 1 = 0上，求圆心为C 的圆的标准方程.比较例(2)、例（3）可得出△ABC 外接圆的标准方程的两种求法：①根据题设条件，列出关于a 、b 、r 的方程组，解方程组得到a 、b 、r 得值，写出圆的根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.练习：课本P127 第1、3、4题师生共同分析：如图确定一个图只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点A (1，1)和B (2，–2)，由于圆心C 与A 、B 两点的距离相等，所以圆心C 在线段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于|CA |或|CB |.(教师板书解题过程)例3 解：因为A (1，1)，B (2，– 2)，所以线段AB 的中点D 的坐标为(32，12-)，直线AB 的斜率k AB =2121---= –3， 因为线段AB 的垂直平分线l ′的方程是y +113()232x =-，Bm A C即x –3y –3 = 0. 圆心C 的坐标是方程组33010x y x y --=⎧⎨-+=⎩的解. 解此方程组，得32x y =-⎧⎨=-⎩ 所以圆心C 的坐标是(–3，–2) .圆心为C 的圆的半径长r =|AC |=22(13)(12)+++=5.所以，圆心为C 的圆的标准方程是(x + 3)2 + (y +2)2=25.归纳总结 1．圆的标准方程.2．点与圆的位置关系的判断方法.3．根据已知条件求圆的标准方程的方法. 教师启发，学生自己比较、归纳. 形成知识体系课外作业布置作业：见习案4.1第一课时学生独立完成 巩固深化备选例题例1 写出下列方程表示的圆的圆心和半径（1）x 2 + (y + 3)2 = 2； （2）(x + 2)2 + (y – 1)2 = a 2(a ≠0) 【解析】（1）圆心为(0，–3)，半径为2； （2）圆心为(–2，1)，半径为|a |.例2 圆心在直线x – 2y – 3 = 0上，且过A (2，–3)，B (–2，–5)，求圆的方程.解法1：设所求的圆的方程为(x – a )2 + (y – b )2 = r 2由条件知222222(2)(3)(2)(5)230a b r a b r a b ⎧-+--=⎪--+--=⎨⎪--=⎩解方程组得21210a b r ⎧=-⎪=-⎨⎪=⎩即所求的圆的方程为(x + 1)2 + (y + 2)2= 10 解法2：12AB k =，AB 的中点是(0，–4)， 所以AB 的中垂线方程为2x + y + 4 = 0 由230240x y x y --=⎧⎨++=⎩得12x y =-⎧⎨=-⎩因为圆心为(–1, –2 )又r=所以所求的圆的方程是(x + 1)2 + (y + 2)2 = 10.例3 已知三点A(3，2)，B(5，–3)，C(–1，3)，以P(2，–1)为圆心作一个圆，使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程.【解析】要使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则圆的半径是|PA|、|PB|、|PC|中的中间值.PA PB PC||||因为|PA|＜|PB|＜|PC|所以圆的半径||==r PB故所求的圆的方程为(x – 2)2 + (y + 1)2 = 13.。

圆的标准方程教案高中数学
一、教学目标：
1. 熟练掌握圆的标准方程的概念和计算方法；
2. 能够根据给定的信息，求解圆的标准方程；
3. 进一步理解圆的性质和应用。

二、教学内容：
1. 圆的标准方程的定义和示例；
2. 求解圆的标准方程的步骤；
3. 圆的相关性质和应用。

三、教学步骤：
1. 引入：通过举例说明圆的标准方程的重要性和应用场景；
2. 讲解：介绍圆的标准方程的定义和推导过程；
3. 演示：通过实例演示如何求解圆的标准方程；
4. 练习：让学生进行练习，巩固所学知识；
5. 总结：总结圆的标准方程的相关性质和应用。

四、教学材料：
1. 教科书《高中数学》；
2. 白板和彩色粉笔；
3. 课件PPT。

五、教学评估：
1. 学生通过练习题的答题情况；
2. 学生对于圆的标准方程的理解和应用程度。

六、拓展延伸：
1. 让学生自主探究圆的标准方程的推导过程；
2. 引导学生应用圆的标准方程解决实际问题。

通过以上教学方案，相信学生能够更好地掌握圆的标准方程的相关知识和技巧，为今后学习和工作打下坚实的基础。

第四章 圆与方程4.1.1 圆的标准方程（2课时）（第1课时）教学目的：1.使学生掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程,能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径,进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力.2.会用待定系数法求圆的标准方程,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,形成代数方法处理几何问题的能力,从而激发学生学习数学的热情和兴趣,培养学生分析、概括的思维能力.3.理解掌握圆的切线的求法.包括已知切点求切线,从圆外一点引切线,已知切线斜率求切线等.把握运动变化原则,培养学生树立相互联系、相互转化的辩证唯物主义观点,欣赏和体验圆的对称性,感受数学美.教学重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确.教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程.导入新课同学们,我们知道直线可以用一个方程表示,那么,圆可以用一个方程表示吗？圆的方程怎样来求呢?这就是本堂课的主要内容,教师板书本节课题:圆的标准方程.提出问题: 提问：两点间的距离公式221221)()(y y x x AB -+-=。

①已知两点A(2,-5),B(6,9),如何求它们之间的距离?若已知C(3,-8),D(x,y),又如何求它们之间的距离?②初中时圆是如何定义的？到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，叫做圆。

即平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆,定点是圆心,定长是半径③图1中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？图1确定圆的基本条件是圆心和半径,设圆的圆心坐标为C(a,b),半径为r(其中a 、b 、r 都是常数,r ＞0).设M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点M 满足的条件是(引导学生自己列出)P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件22)()(b y a x -+-=r.①将上式两边平方得(x-a)2+(y-b)2=r 2.化简可得(x-a)2+(y-b)2=r 2.②若点M(x,y)在圆上,由上述讨论可知,点M 的坐标满足方程②,反之若点M 的坐标满足方程②,这就说明点M 与圆心C 的距离为r,即点M 在圆心为C 的圆上.方程②就是圆心为C(a,b),半径长为r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程.当圆心在原点即C(0,0)时,方程为x 2+y 2=r 2.点与圆有什么关系1°点到圆心的距离大于半径,点在圆外⇔(x 0-a)2+(y 0-b)2＞r 2,点在圆外; 2°点到圆心的距离等于半径,点在圆上⇔(x 0-a)2+(y 0-b)2=r 2,点在圆上; 3°点到圆心的距离小于半径,点在圆内⇔(x 0-a)2+(y 0-b)2＜r 2,点在圆内. 应用示例例1 写出下列各圆的标准方程：(1)圆心在原点,半径是3；⑵圆心在点C(3,4),半径是5;(3)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)；(4)圆心在点C(1,3),并且和直线3x-4y-7=0相切.解:(1)由于圆心在原点,半径是3,所以圆的标准方程为(x-0)2+(y-0)2=32,即x 2+y 2=9.(2)由于圆心在点C(3,4),半径是5,所以圆的标准方程是(x-3)2+(y-4)2=(5)2,即(x-3)2+(y-4)2=5.(3)方法一:圆的半径r=|CP|=25)31()85(22=++-=5,因此所求圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25.方法二:设圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=r 2,因为圆经过点P(5,1),所以(5-8)2+(1+3)2=r 2,r 2=25,因此所求圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25.这里方法一是直接法,方法二是间接法,它需要确定有关参数来确定圆的标准方程,两种方法都可,要视问题的方便而定.(4)设圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=r 2,由圆心到直线的距离等于圆的半径,所以r=25|16|25|7123|=--.因此所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=25256.点评：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程.例2 写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判断点M 1(5,-7),M 2(-5,-1)是否在这个圆上.解:圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25,把点M 1(5,-7),M 2(-5,,-1)分别代入方程(x-2)2+(y+3)2=25, 则M 1的坐标满足方程,M 1在圆上.M 2的坐标不满足方程,M 2不在圆上.点评:本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程,然后给一个点,判断该点与圆的关系,这里体现了坐标法的思想,根据圆的坐标及半径写方程——从几何到代数；根据坐标满足方程来看在不在圆上——从代数到几何.例3 △ABC 的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.活动：教师引导学生从圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r 2入手,要确定圆的标准方程,可用待定系数法确定a 、b 、r 三个参数.另外可利用直线AB 与AC 的交点确定圆心,从而得半径,圆的方程可求,师生总结、归纳、提炼方法.解法一:设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2,因为A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆上,它们的坐标都满足方程(x-a)2+(y-b)2=r 2,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=--+-=-+-)3(.)8()2()2()3()7()1(,)1()5(222222222r b a rb a r b a 解此方程组得⎪⎩⎪⎨⎧=-==.5,3,2r b a 所以△ABC 的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.解法二:线段AB 的中点坐标为(6,-1),斜率为-2,所以线段AB 的垂直平分线的方程为y+1=21(x-6).① 同理线段AC 的中点坐标为(3.5,-3.5),斜率为3,所以线段AC 的垂直平分线的方程为y+3.5=3(x-3.5). ②解由①②组成的方程组得x=2,y=-3,所以圆心坐标为(2,-3),半径r=22)31()25(++-=5,所以△ABC 的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.点评:△ABC 外接圆的圆心是△ABC 的外心,它是△ABC 三边的垂直平分线的交点,它到三顶点的距离相等,就是圆的半径,利用这些几何知识,可丰富解题思路.变式训练一圆过原点O 和点P(1,3),圆心在直线y=x+2上,求此圆的方程.解法一：因为圆心在直线y=x+2上,所以设圆心坐标为(a,a+2).则圆的方程为(x-a)2+(y-a-2)2=r 2.因为点O(0,0)和P(1,3)在圆上, 所以⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=--+-,)23()1(,)20()0(222222r a a r a a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.825,412r a 所以所求的圆的方程为(x+41)2+(y-47)2=825. 解法二：由题意：圆的弦OP 的斜率为3,中点坐标为(21,23), 所以弦OP 的垂直平分线方程为y-23=-31(x-21),即x+3y-5=0. 因为圆心在直线y=x+2上,且圆心在弦OP 的垂直平分线上,所以由⎩⎨⎧=-++=,053,2y x x y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=,47,41y x ,即圆心坐标为C(-41,47). 又因为圆的半径r=|OC|=825)47()41(22=+-,所以所求的圆的方程为(x+41)2+(y-47)2=825. 点评:(1)圆的标准方程中有a 、b 、r 三个量,要求圆的标准方程即要求a 、b 、r 三个量,有时可用待定系数法.(2)要重视平面几何中的有关知识在解题中的运用.例3 求下列圆的方程:(1)圆心在直线y=-2x 上且与直线y=1-x 相切于点(2,-1).(2)圆心在点(2,-1),且截直线y=x-1所得弦长为22.解:(1)设圆心坐标为(a,-2a),由题意知圆与直线y=1-x 相切于点(2,-1),所以2222)12()2(11|12|+-+-=+--a a a a ,解得a=1.所以所求圆心坐标为(1,-2),半径r=22)12()21(+-+-=2.所以所求圆的标准方程为(x-1)2+(y+2) 2=2.(2)设圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=r 2(r ＞0),由题意知圆心到直线y=x-1的距离为d=2211|112|+-+=2.又直线y=x-1被圆截得弦长为22,所以由弦长公式得r 2-d 2=2,即r=2.所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=4.点评:本题的两个题目所给条件均与圆心和半径有关,故都利用了圆的标准方程求解,此外平面几何的性质的应用,使得解法简便了许多,所以类似问题一定要注意圆的相关几何性质的应用,从确定圆的圆心和半径入手来解决.知能训练课本本节练习1、2.课后作业1.求圆心在直线y=2x 上且与两直线3x+4y-7=0和3x+4y+3=0都相切的圆的方程.4.1.2 圆的一般方程教学要求：1.在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心、半径.掌握方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件,通过对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件的探究,培养学生探索发现及分析、解决问题的能力.2.能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定系数法和轨迹法求圆的方程,同时渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质,激励学生创新,勇于探索,培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.教学重点：圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程中的系数D 、E 、F.教学难点:对圆的一般方程的认识、掌握和运用导入新课①说出圆心为(a,b),半径为r 的圆的标准方程.②学生练习:将以C(a,b)为圆心,r 为半径的圆的标准方程展开并整理得x 2+y 2-2ax-2by+a 2+b 2-r 2=0.③指出:如果D=-2a,E=-2b,F=a 2+b 2-r 2,得到方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,这说明圆的方程还可以表示成另外一种非标准方程形式.④能不能说方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0所表示的曲线一定是圆呢?这就是我们本堂课的内容,教师板书课题:圆的一般方程.推进新课新知探究提出问题①前一章我们研究直线方程用的什么顺序和方法?②这里我们研究圆的方程是否也能类比研究直线方程的顺序和方法呢?③给出式子x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,请你利用配方法化成不含x 和y 的一次项的式子.④把式子(x －a)2＋(y －b)2=r 2与x 2+y 2+Dx+Ey+F=0配方后的式子比较,得出x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件.⑤对圆的标准方程与圆的一般方程作一比较,看各自有什么特点?讨论结果：①以前学习过直线,我们首先学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式,最后学习一般式.大家知道,我们认识一般的东西,总是从特殊入手.如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式、两点式、…)展开整理而得到的.②我们想求圆的一般方程,可仿照直线方程试一试！我们已经学习了圆的标准方程,把标准形式展开,整理得到,也是从特殊到一般. ③把式子x 2+y 2+Dx+Ey+F=0配方得(x+2D )2+(y+2E )2=4422F E D -+. ④(x －a)2＋(y －b)2=r 2中,r ＞0时表示圆,r=0时表示点(a,b),r ＜0时不表示任何图形. 因此式子(x+2D )2+(y+2E )2=4422F E D -+. (ⅰ)当D 2+E 2-4F ＞0时,表示以(-2D ,-2E )为圆心,21F E D 422-+为半径的圆； (ⅱ)当D 2+E 2-4F=0时,方程只有实数解x=-2D ,y=-2E ,即只表示一个点(-2D ,-2E ); (ⅲ)当D 2+E 2-4F ＜0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.综上所述,方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,由此得到圆的方程都能写成x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,只有当D 2+E 2-4F ＞0时,它表示的曲线才是圆.因此x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D 2+E 2-4F ＞0. 我们把形如x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示圆的方程称为圆的一般方程.⑤圆的一般方程形式上的特点:x 2和y 2的系数相同,不等于0.没有xy 这样的二次项.圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F,因此只要求出这三个系数,圆的方程就确定了.与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显.应用示例例1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是,请求出圆的圆心及半径.(1)4x 2+4y 2-4x+12y+9=0;(2)4x 2+4y 2-4x+12y+11=0.解:(1)由4x 2+4y 2-4x+12y+9=0,得D=-1,E=3,F=49, 而D 2+E 2-4F=1+9-9=1＞0,所以方程4x 2+4y 2-4x+12y+9=0表示圆的方程,其圆心坐标为(21,-23),半径为21； (2)由4x 2+4y 2-4x+12y+11=0,得 D=-1,E=3,F=411,D 2+E 2-4F=1+9-11=-1＜0, 所以方程4x 2+4y 2-4x+12y+11=0不表示圆的方程.点评:对于形如Ax 2+By 2+Dx+Ey+F=0的方程判断其方程是否表示圆,要化为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的形式,再利用条件D 2+E 2-4F 与0的大小判断,不能直接套用.另外,直接配方也可以判断. 变式训练求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x 2+y 2-8x+6y=0;(2)x 2+y 2+2by=0.解:(1)把x 2+y 2-8x+6y=0配方,得(x －4)2＋(y+3)2=52,所以圆心坐标为(4,-3),半径为5；(2)x 2+y 2+2by=0配方,得x 2＋(y+b)2=b 2,所以圆心坐标为(0,-b),半径为|b|.例2 求过三点O(0,0)、M 1(1,1)、M 2(4,2)的圆的方程,并求圆的半径长和圆心坐标. 解:方法一：设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,由O 、M 1、M 2在圆上,则有⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=.02024,02.0F E D F E D F 解得D=-8,E=6,F=0,故所求圆的方程为x 2+y 2-8x+6y=0,即(x －4)2＋(y+3)2=52.所以圆心坐标为(4,-3),半径为5. 方法二：先求出OM 1的中点E(21,21),M 1M 2的中点F(25,23), 再写出OM 1的垂直平分线PE 的直线方程y-21=-(x-21), ① AB 的垂直平分线PF 的直线方程)25(23--=-x y ② 联立①②得⎩⎨⎧=+=+,93,1y x y x 得⎩⎨⎧-==.3,4y x 则点P 的坐标为(4,-3),即为圆心.OP=5为半径.方法三：设所求圆的圆心坐标为P(a,b),根据圆的性质可得|OP|=|AP|=|BP|,即x 2+y 2=(x-1)2+(y-1)2=(x-4)2+(y-2)2,解之得P(4,-3),OP=5为半径.方法四：设所求圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2=r 2,因为O(0,0)、A(1,1)、B(4,2)在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程,可以得到关于a 、b 、r 的方程组,即 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+=-+-.)2()4(,,)1()1(222222222r b a r b a r b a 解此方程组得⎪⎩⎪⎨⎧=-==.5,3,4r b a 所以所求圆的方程为(x －4)2＋(y+3)2=52,圆心坐标为(4,-3),半径为5.点评：请同学们比较,关于何时设圆的标准方程,何时设圆的一般方程.一般说来,如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标半径列方程的问题,往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系,往往设圆的一般方程.例3 已知点P(10,0),Q 为圆x 2+y 2=16上一动点.当Q 在圆上运动时,求PQ 的中点M 的轨迹方程.活动:学生回想求曲线方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,本题可利用平面几何的知识,见中点作中线,利用中线定长可得方程,再就是利用求曲线方程的办法来求.图1解法一:如图1,作MN ∥OQ 交x 轴于N,则N 为OP 的中点,即N(5,0).因为|MN|=21|OQ|=2(定长).所以所求点M 的轨迹方程为(x-5)2+y 2=4. 点评:用直接法求轨迹方程的关键在于找出轨迹上的点应满足的几何条件,然后再将条件代数化.但在许多问题中,动点满足的几何条件较为隐蔽复杂,将它翻译成代数语言时也有困难,这就需要我们探讨求轨迹问题的新方法.转移法就是一种很重要的方法.用转移法求轨迹方程时,首先分析轨迹上的动点M 的运动情况,探求它是由什么样的点控制的.解法二:设M(x,y)为所求轨迹上任意一点Q(x 0,y 0).因为M 是PQ 的中点,所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2.102,20,2100000y y x x y y x x 即 (*) 又因为Q(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=16上,所以x 02+y 02=16.将(*)代入得(2x-10)2+(2y)2=16.故所求的轨迹方程为(x-5)2+y 2=4.点评:相关点法步骤:①设被动点M(x,y),主动点Q(x 0,y 0).②求出点M 与点Q 坐标间的关系⎪⎩⎪⎨⎧==).,(),,(002001y x f y y x f x (Ⅰ) ③从(Ⅰ)中解出⎪⎩⎪⎨⎧==).,(),,(2010y x g y y x g x (Ⅱ) ④将(Ⅱ)代入主动点Q 的轨迹方程(已知曲线的方程),化简得被动点的轨迹方程. 这种求轨迹方程的方法也叫相关点法,以后要注意运用.变式训练已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3),端点A 在圆(x+1)2+y 2=4上运动,求线段AB 的中点M 的轨迹方程.解:设点M 的坐标是(x,y),点A 的坐标是(x 0,y 0).由于点B 的坐标是(4,3)且M 是线段AB 的中点,所以x=240+=x x ,230+=y y .于是有32,4200-=-=y y x x ①因为点A 在圆(x+1)2+y 2=4上运动,所以点A 的坐标满足方程(x+1)2+y 2=4,即(x 0+1)2+y 02=4.②把①代入②,得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,整理,得(x-23)2+(y-23)2=1.所以点M 的轨迹是以(23,23)为圆心,半径长为1的圆. 知能训练课本练习1、2、3.拓展提升 问题：已知圆x 2+y 2-x-8y+m=0与直线x+2y-6=0相交于P 、Q 两点,定点R(1,1),若PR ⊥QR,求实数m 的值.解:设P(x 1, y 1)、Q(x 2,y 2),由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--+.062,0822y x m y x y x 消去y 得5x 2+4m-60=0. ① 由题意,方程①有两个不等的实数根,所以60-4m ＞0,m ＜15. 由韦达定理⎪⎩⎪⎨⎧-==+.1254,02121m x x x x 因为PR ⊥QR,所以k PR k QR =-1.所以11112211--∙--x y x y =-1,即(x 1-1)(x 2-1)+(y 1-1)(y 2-1)=0, x 1x 2-(x 1+x 2)+y 1y 2-(y 1+y 2)+2=0. ②因为y 1=3-21x ,y 2=322x -,所以y 1y 2=(3-21x )(322x -)=9-23(x 1+x 2)+421x x =9+421x x , y 1+y 2=6,代入②得45x 1x 2+5=0,即45(54m-12)+5=0. 所以m=10,适合m ＜15.所以实数m 的值为10.课堂小结1.任何一个圆的方程都可以写成x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,只有D 2+E 2-4F ＞0时,方程表示圆心为(-2D ,-2E ),半径为r=21F E D 422-+的圆.2.求圆的方程,应根据条件特点选择合适的方程形式：若条件与圆心、半径有关,则宜用标准方程；若条件主要是圆所经过的点的坐标,则宜用一般方程.3.要画出圆的图像,必须要知道圆心坐标和半径,因此应掌握利用配方法将圆的一般方程化为标准方程的方法.作业习题4.1 A组1、6,B组1、2、3.教学反思;这是一节介绍新知识的课,而且这节课还非常有利于展现知识的形成过程.因此,在设计这节课时,力求“过程、结论并重；知识、能力、思想方法并重”.在展现知识的形成过程中,尽量避免学生被动接受,引导学生探索,重视探索过程.一方面,把直线一般方程探求过程进行回顾、类比,学生从中领会探求方法；另一方面,“把标准方程展开→认识一般方程”这一过程充分运用了“通过特殊认识一般”的科学思想方法.同时,通过类比进行条件的探求——“D2+E2－4F”与“Δ”(判别式)类比.在整个探求过程中充分利用了“旧知识”及“旧知识的形成过程”,并用它探求新知识.这样的过程,既是学生获得新知识的过程,更是培养学生能力的过程.。

《圆的标准方程》教案一.教学目标1、知识与技能目标：（1）理解并掌握圆的标准方程，会根据不同条件求得圆的标准方程，并能从圆的标准方程中熟练地求出圆心和半径。

（2）能够理解和判断点与圆的位置关系。

（3）能够运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题。

2、过程与方法目标：（1）通过对圆的标准方程的推导，渗透数形结合、待定系数法等数学思想方法，进一步提高学生的观察、比较、分析、概括等思维能力。

（2）学会借助实例分析探究数学问题。

3、情感态度与价值观目标：通过学生的主动参与，师生间及学生间的合作交流，提高学生的学习兴趣，从而激发求知欲，培养兴趣和探索精神。

二．学情分析学生们在初中已经对圆有所接触，学习了圆的一些基础知识，再加上之前学习两点之间距离公式，因此对推导圆方程的过程较易接受。

但学生平时较重视课本知识的学习，缺乏探究能力，因此对圆的标准方程的应用还有待加强。

在情感上，学生对已接触过的事物富有较高的激情，学习动机更容易被激发。

三．重点难点1.教学重点：圆的标准方程。

2.教学难点：根据不同的条件灵活应用待定系数法及几何法求圆的标准方程。

四．教学过程活动1【导入】创设情境，引入新课教师用多媒体播放实际生活中圆的模型,引导学生从中看出圆的几何图形。

并引出今天所学新课内容——圆的标准方程。

（所用时间1分钟即可，可从直观上加深学生对圆的感觉，激发学习兴趣）活动2【导入】复习引入引导学生回顾：1.两点之间距离公式？2.初中所学的圆的定义？（教师在白板上画出圆，让学生明确体会圆的定义和确定圆的两要素）3.确定一个圆需要几要素？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 活动3【活动】课堂探究1确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为C(a,b)，半径为r 。

（其中a 、b 、r 都是常数，且r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么根据圆的定义，得点M 满足的条件是（引导学生自己列出）|MA|=r,再由两点间距离公式让学生写出点M 适合的条件 r b y a x =-+-22)()(，化简可得：(x −a )2+(y −b )2=r 2 提出问题：特别地，当圆心为原点O （0,0）,半径为r 时，圆的标准方程又如何？（引导学生自己列出）归纳总结：1.圆心坐标C （a ，b ），半径为r 的圆的标准方程：(x −a )2+(y −b )2=r 22.圆心坐标为原点O （0，0），半径为r 的圆的标准方程：x 2+y 2=r 23.圆的标准方程的特点：（1）二元二次方程，x ，y 前系数为1（2）含有a，b，r，三个未知数，且已知圆的标准方程能求出圆心和半径，反之亦然。

人教版高中必修2圆的标准方程教学设计《人教版高中必修2圆的标准方程教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！一、教学目标知识和能力1.学会圆的标准方程的推导方法。

2.掌握圆的标准方程并掌握其求法。

3.掌握点与圆的位置关系的判定方法。

过程和方法1.通过五个问题，引导学生理解归纳本节的主要内容，培养学生归纳整理知识的能力。

2.通过电脑演示，引导学生探究、分析图形的几何特征，再用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何的问题转化为代数问题，体现数形结合的数学思想。

3.通过具体情景，使学生逐步形成在坐标系下用坐标法解几何问题的能力，掌握自主学习的方法和形成合作学习的习惯。

情感态度和价值观1.通过教学，使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、检验等合情推理方法，提高学生运算能力和逻辑推理能力。

2.培养学生勇于探索、坚韧不拔的意志品质。

二、教学重点难点重点：圆的标准方程的推导。

难点：圆的标准方程的求法。

三、教学对象分析圆是学生比较熟悉的曲线。

在初中几何课中已经学习过圆的性质，这里只是用解析法研究它的方程与其它图形的位置关系及一些应用。

对此，教师可在课堂上通过各种教学方法，帮助学生经历如下过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题;处理代数问题;分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。

这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。

四、教学内容分析本节内容首先研究圆的标准方程的特点，和怎样根据不同条件建立圆的标准方程。

由于圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2含有三个参数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆，确定a、b、r，可以根据条件利用待定系数法解决。

还可通过分析图形的几何特征寻找圆心和半径，从而获得圆的标准方程。

点与圆的位置关系可通过点与圆心的距离判定。

以上的方法应尽可能在老师的启发引导下，由学生自己比较、归纳得到。

高中数学人教A版必修2第四章《第四章圆与方程（通用）》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案
【名师授课教案】
1教学目标
1.使学生掌握圆的标准方程和一般方程,加深对圆的方程的认识。

2.熟悉直线与圆,圆与圆的位置关系并能解决一些简单问题。

2学情分析
学生已经学习了圆与方程的有关内容,已经有了一定的观察分析、解决问题的能力,但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度,因此思维灵活性受到制约。

根据以上特点,教师恰当引导,提高学生学习主动性,对前后知识加以联系,并灵活运用它解决一些实际问题,可以使
学生进一步了解数学在实际生活中的应用,从而激发学生学习数学的兴趣。

3重点难点
1.解析几何解题的基本思路和解题方法。

2.整理本章的知识结构。

4教学过程
4.1第一学时
4.1.1教学活动
活动1【活动】圆与方程的综合应用
导入新课
同学们,我们前面学习了圆、直线与圆的有关知识,那么我们具体学了哪些知识点,有哪些重要的方法?为此我们利用这节课的时间进行系统的整理,帮助同学们构建思维导图,掌握解题的思路和方法。

知识探究
提出问题1.圆的方程有哪几种形式?你能说出它们各自的特点吗?
讨论结果:
(1)圆的标准方程: ,其中圆心是 ,半径长是 .特别地,圆心在原点的圆的标准方程为 .。