新人教版必修二高中数学 《圆的标准方程》 教学设计-2019最新整理

教学设计4．1.1圆的标准方程整体设计一、教学背景分析1．教材结构分析圆是学生比较熟悉的一类曲线，而且是一种对称、和谐的图形，具有很多优美的几何性质．本节内容首先通过圆的定义，求解圆的标准方程，进而变化出圆的一般方程，其次运用代数的方法探讨直线与圆，圆与圆的位置关系，进一步提高学生对解析几何问题研究方法的深入理解．2．教材地位与作用圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用．本节内容安排在学生学习直线方程之后，旨在更加深刻的体会曲线和方程的关系，为后继学习做好准备．同时有关圆的问题，特别是圆和直线的位置关系问题，是解析几何的基本问题．这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法．圆的方程也属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后继直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有积极的意义．所以本节内容在解析几何中起着承前启后的作用．3．学情分析学生在初中已经学习了圆的概念和基本性质，在高中又掌握了求直线方程的一般方法，但由于学生以往注重从几何的角度理解圆的性质，而且学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，尚未建立牢固的数形结合的思想，对于解析法运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难．另外学生在探索问题的能力，合作交流的意识等方面有待加强．4.教学目标(1)知识目标：①在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；②会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程．(2)能力目标：①进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力；②使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解；③增强学生用数学的意识．(3)情感目标：培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣．5．教学重点、难点(1)教学重点：圆的标准方程的求法及其应用．(2)教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程以及选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题．二、教法分析高一学生，在教师的引导下，已经具备一定探究与研究问题的能力．所以在设计问题时应考虑全面性和灵活性，采用对比、启发、探究等方式，师生共同探讨，共同参与、共同研究，让学生积极思考，主动学习．在教学过程中采取小组讨论法，向学生提供具备启发性和思考性的问题．因此，要求学生在课堂上小组讨论，然后小组汇报讨论成果，提高学生的探究、推理、想象、表达、分析和总结归纳等方面的能力．因为本节课是在学生对圆的基本性质认识的基础上，再对圆进行代数研究．针对学生的学习过程、认知水平，在遵循参与式教学的基础上，调动全班学生积极参与，认真思考，努力体现学生学习的主体性地位．在学习过程中让学生积极思考，动手计算，不仅在“思维中参与”而且在“行动中参与”，养成主动性的学习习惯．三、学法分析为了重点培养学生分析问题、解决问题的能力．因此，要求学生在学习中遇到问题时，不要急于求成，而是通过求圆的标准方程，理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆．通过推导圆的标准方程，加深用解析法求轨迹方程的理解．还要会根据问题提供的信息回忆所学知识，采用转化思想、数形结合的思想，选择最佳方案解决．四、教学基本流程及其说明结合教材与新课程标准本节课采用以下流程(一)、教师在理解教材的编写意图的基础上，应发挥主观能动性，对教材资源进行再加工、再创造，这样教学方法更有利于学生的认知结构，也有利于学生从深层次理解和掌握圆的标准方程．(二)、在整个教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机结合起来，教师的每项措施都是力求给学生创造一种思维情境，动手、动脑、动口并且主动参与学习的机会，激发学生求知欲望，促使学生在不知不觉中掌握知识，解决问题．(三)、培养思维，提高能力，激励创新在问题的设计中，利用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生注意，使能力与知识的形成相伴而行．五、教学情境设计圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，因此这节课的重点确定为用解析法研究圆的标准方程及其简单应用．首先，在已有圆的定义和求曲线方程的一般步骤的基础上，用实际问题引导学生探究获得圆的标准方程，然后，利用圆的标准方程由浅入深的解决问题，并通过圆的方程在实际问题中的应用，增强学生用数学的意识．另外，为了培养学生的理性思维，设计了由特殊到一般的学习思路，培养学生的归纳概括能力．在问题的设计中，用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意，能力与知识的形成相伴而行，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成．本节课设计了六个环节，以问题为纽带，以探究活动为载体，使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入，充分体现以教师为主导，以学生为主体的指导思想．应用启发式的教学方法把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，在解决问题的同时锻炼了思维、提高了能力、培养了兴趣、增强了信心．。

4.1.1 圆的标准方程（一）教学目标1．知识与技能（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程.（2）会用待定系数法求圆的标准方程.2．过程与方法进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题发现问题和解决问题的能力.3．情感态度与价值观通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣.（二）教学重点、难点重点：圆的标准方程难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程.应用举例例1 写出圆心为A(2，–3)半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5，–7)，2(5,1)M--是否在这个圆上.分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手.探究：点M(x0，y0)与圆(x–a)2 + (y–b)2 = r2的关系的判断方法：（1）(x0–a)2 + (y0–b)2＞r2，点在圆外.（2）(x0–a)2 + (y0–b)2= r2，点在圆上.（3）(x0–a)2 + (y0–b)2＜r2，点在圆内.引导学生分析探究从计算点到圆心的距离入手.例 1 解：圆心是A(2，–3)，半径长等于5的圆的标准方程是(x+ 3)2+ ( y+ 3)2 =25.把M1 (5，–7)，M2(5-，–1) 的坐标代入方程(x–2)2 + (y +3)2 =25，左右两边相等，点M1的坐标适合圆的方程，所以点M2在这个圆上；把M2(5-，–1)的坐标代入方程(x–2)2+ (y+3)2=25，左右两边不相等，点M2的坐标不适合圆的方程，所以M2不在这个圆上通过实例引导学生掌握求圆的标准方程的两种方法.例 2 △ABC的三个顶点的坐标是A(5，1)，B(7，–3)，C(2，– 8). 求它的外接圆的方程.例2 解：设所求圆的方程是(x–a)2 + (y–b)2 = r2. ①因为A (5，1)，B (7，–3)，C(2，–8) 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①. 于是222222222(5)(1)(7)(3)(2)(8)a b ra b ra b r⎧-+-=⎪-+--=⎨⎪-+--=⎩解此方程组，得师生共同分析：从圆的标准方程(x–a)2 + (y–b)2= r2可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a、b、r三个参数，(学生自己运算解决)6––4––2––––2 –––4––––55AM=|AC |=22(13)(12)+++= 5. 所以，圆心为C 的圆的标准方程是(x + 3)2 + (y +2)2=25.归纳总结 1．圆的标准方程.2．点与圆的位置关系的判断方法.3．根据已知条件求圆的标准方程的方法.教师启发，学生自己比较、归纳. 形成知识体系课外作业布置作业：见习案4.1第一课时学生独立完成巩固深化备选例题例1 写出下列方程表示的圆的圆心和半径（1）x 2 + (y + 3)2 = 2； （2）(x + 2)2 + (y – 1)2 = a 2(a ≠0) 【解析】（1）圆心为(0，–3)，半径为2； （2）圆心为(–2，1)，半径为|a |.例2 圆心在直线x – 2y – 3 = 0上，且过A (2，–3)，B (–2，–5)，求圆的方程.解法1：设所求的圆的方程为(x – a )2 + (y – b )2 = r 2由条件知222222(2)(3)(2)(5)230a b r a b r a b ⎧-+--=⎪--+--=⎨⎪--=⎩解方程组得21210a b r ⎧=-⎪=-⎨⎪=⎩即所求的圆的方程为(x + 1)2 + (y + 2)2= 10 解法2：12AB k =，AB 的中点是(0，–4)， 所以AB 的中垂线方程为2x + y + 4 = 0 由230240x y x y --=⎧⎨++=⎩得12x y =-⎧⎨=-⎩因为圆心为(–1, –2 )又22(21)(32)10r =++-+=.所以所求的圆的方程是(x + 1)2+ (y + 2)2= 10.例3 已知三点A (3，2)，B (5，–3)，C (–1，3)，以P (2，–1)为圆心作一个圆，使A 、B 、C 三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程.【解析】要使A 、B 、C 三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则圆的半径是|PA |、|PB |、|PC |中的中间值.||10,||13,||25PA PB PC ===.因为|PA |＜|PB |＜|PC | 所以圆的半径||13r PB ==.故所求的圆的方程为(x – 2)2+ (y + 1)2= 13.。

（一）教学目标1 •知识与技能（1 ）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径，掌握方程x2 + y2+ Dx+ Ey + F = 0表示圆的条件•（2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程•（3）培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力2 .过程与方法通过对方程x2+ y2+ Dx + Ey + F = 0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力•3 •情感态度与价值观渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索（二）教学重点、难点教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D E、F.教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用（三）教学过程②(配方过程由学生去完成)这个方程疋不疋表示圆？(1)当D2+ E2- 4 F>0 时，方程②表示以为圆心，为半径的圆；(2)当D) + E2- 4F = 0 时，方程只有实数解，即只表示一个点；(3)当D2+ E2- 4 F V 0 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形•综上所述，方程x2+ y2+ Dx + Ey + F = 0表示的曲线不一定是圆.只有当D2+ E2- 4F> 0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x2+ y2+ Dx + Ey + F = 0的表示圆的方程称为圆的一般方程•应用举例例1判断下列二兀二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径•/ 、 2 2(1)4X + 4 y - 4X + 12 y + 9 = 02 2(2)4x + 4 y - 4x + 12 y + 11 =0解析：(1)将原方程变为2 2 c 八x + y - x + 3 y += 0D= - 1, E=3 , F =.•/ D2+ E2- 4 F = 1 > 0•••此方程表示圆，圆心(，)，半径r =. : (2)将原方程化为* 2 2x + y - x + 3 y += 0D= - 1, E=3 , F =.D2+ E2- 4 F = - 1 v 0•••此方程不表示圆•学生自己分析探求解决途径：①用配方法将其变形化成圆的标准形式•②运用圆的一般方程的判断方法求解•但是，要注意对于(1) 4x2+ 4y2-4x + 12y + 9 = 0 来说，这里的D=-1, E= 3，而不是D= - 4, E = 12 ,F = 9.通过例题讲解使学生理解圆的一般方程的代数特征及与标准方程的相互转化更进一步培养学生探索发现及分析解决问题的能力•例2求过三点A (0 , 0) , B (1 ,1) , C(4 , 2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标•分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程•解：设所求的圆的方程为：x2+ y2 + Dx + Ey + F = 0•- A (0 , 0) , B (1 , 1) , C (4 , 2) 在圆上，所以它们的坐标是方程的解• 把它们的坐标代入上面的方程，可以得例2讲完后学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：1 •根据题设，选择标准方程或一般方程•2 •根据条件列出关于a、b、r或D E、F的方程组；3.解出a、b、r 或D E、F,代入标准方程或一般方程•备选例题例1下列各方程表示什么图形？若表示圆，求出圆心和半径(1)X + y2+ x + 1 = 0 ；/ 、 2 2 2(2)x + y + 2 ac + a = 0 ( a z 0)；2 2(3)2x + 2 y + 2 ax - 2 ay = 0( a z 0).【解析】(1)因为D = 1 , E = 0 , F = 1 , 所以D2+ E2- 4F v 0 方程(1)不表示任何图形；(2)因为D = 2 a, E = 0 , F = a2,所以D2+ E2- 4 F = 4 a2-4 a2= 0 , 所以方程(2)表示点(-a, 0)；（3）两边同时除以2，得x2+2y +ax - ay = 0 ,所以D = a , E = - a, F = 0.所以D + E2-4F> 0,所以方程（3）表示圆，圆心为，半径r JjD2 +E2-4F |a22点评：也可以先将方程配方再判断例2已知一圆过P （4，- 2）、Q - 1, 3）两点，且在y轴上截得的线段长为，求圆的方程•【分析】涉及与圆的弦长有关的问题时，为简化运算，则利用垂径直径定理和由半弦长、弦心距、半径所构成的三角形解之•【解析】法一：设圆的方程为：2 2x + y + Dx + Ey + F = 0 ①将P、Q的坐标分别代入①得②令x = 0，由①，得y2+ E③）+ F = 0 ④由已知| y1 - y2| =，其中y1, y2是方程④的两根./• （y1 —y2）2= （y1 + y2）- 4 yy = E2- 4 F = 48 ⑤解②③⑤联立成的方程组，得= -2 fD=-10E =0 或E=-8F - -12 F=4故所求方程为：x + y - 2 x - 12 = 0 或x + y - 10 x - 8 y + 4 = 0.法二：求得PQ的中垂线方程为x - y - 1 = 0 ①•••所求圆的圆心C在直线①上，故设其坐标为（a, a - 1）,又圆C的半径②由已知圆C截y轴所得的线段长为，而圆C到y轴的距离为|a|.代入②并将两端平方，得a2-5a + 5 = 0 ,解得a1 = 1 , a2 = 5.故所求的圆的方程为：（x - 1）2+ y2= 13 或（x - 5）2+ （y - 4）2= 37.【评析】（1）在解本题时，为简化运算，要避开直接去求圆和y轴的两个交点坐标，否则计算要复杂得多•（2）涉及与圆的弦长有关问题，常用垂径定理和由半弦长、弦心距及半径所构成的直角三角形解之, 以简化运算• 例 3 已知方程 x 2 + y 2 - 2（ t + 3） x + 2（1 - t 2）y + 16 t 4 + 9 = 0 表示一个圆，求（1） t 的取值范围；（2）该圆半径r 的取值范围.【解析】原方程表示一个圆的条件是D 2 +E 2 - 4F = 4（ t + 3） 2 + 4（1— t 2）2 — 4（16 t 4 + 9） > 0即 7t 2 - 6t - 1 V 0 ,•••22 242=(t - 3)(1 —t ) -(16t- 9) - -7t 6t 12019-2020年高中数学《圆的标准方程》教案 2新人教A 版必修2一、 教学目标（一） 知识教学点使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出 圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题， 并会推导圆的标准方程.（二） 能力训练点通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题 的能力.（三） 学科渗透点圆基于初中的知识，同时又是初中的知识的加深，使学生懂得知识的连续性；通过圆 的标准方程，可解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可 以适时进行辩证唯物主义思想教育.二、 教材分析1•重点：（1）圆的标准方程的推导步骤；（2）根据具体条件正确写出圆的标准方程. （解决办法：（1）通过设问，消除难点，并详细讲解； （2）多多练习、讲解.） 2•难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题.（解决办法：使学生掌握分析这类问题的方法是先弄清题意， 再建立适当的直角坐标系,使圆的标准方程形式简单，最后解决实际问题.）三、 活动设计问答、讲授、设问、演板、重点讲解、归纳小结、阅读. 四、 教学过程（一）复习提问前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？ 问题1 :具有什么性质的点的轨迹称为圆？ 平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆（教师在黑板上画一个圆）.问题2 :图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反 映了圆的什么特点？D 2E 2 -4F4圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小.问题3:求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？求曲线方程的一般步骤为：(1) 建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；图2-9(2) 写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集；(3) 用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程；(4) 化方程f(x ，y)=0为最简形式，简称化简方程；(5) 证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明.其中步骤⑴(3)(4)必不可少.冋题4：当a>0叭二角f(刃二『是同解方程吗？当臼〉0吋£仗)二 F 二(肩-a)(+ a) = 0 O 点分-a = 0Jf⑵=九故当爲>0时，= a"是同解方程*下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程.(二) 建立圆的标准方程1. 建系设点由学生在黑板上画出直角坐标系，并问有无不同建立坐标系的方法•教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导.因为C是定点，可设C(a, b)、半径r,且设圆上任一点M坐标为(x , y).2. 写点集根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}.3. 列方程由两点间的距离公式得：4⑵圆心在点C(3, 4),半径是酉⑶经过点P(5 , 1)，圆心在点C(8 , -3);⑷圆心在点C(1 , 3)，并且和直线3x-4y-7=0相切.2 2 2 2 教师纠错，分别给出正确答案：⑴X +y=9;⑵(x-3)+(y-4) =5;(3)(x野+ (y +掰二25； (4)仗-厅+仗笋指出：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程.例2 说出下列圆的圆心和半径：(学生回答)2 2(1)(x-3) +(y-2) =5；2 2⑵(x+4) +(y+3) =7；2 2(3)(x+2) +y =4教师指出：已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的圆心和半径.4化简方程将上式两边平方得：2 2(x-a) +(y-b) =r2 .(1)方程(1)就是圆心是C(a, b)、半径是r的圆的方程•我们把它叫做圆的标准方程.这时，请大家思考下面一个问题.问题5:圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x, y的系数都是1•点(a , b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点即C(0 , 0)时，方程为x2+y2=r2.教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a, b, r三个量确定了且r>0，圆的方程就给定了. 这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件.注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决.(三) 圆的标准方程的应用例1 写出下列各圆的方程：(请四位同学演板)(1)圆心在原点，半径是3；例3 (1)已知两点P1(4 , 9)和P2(6 , 3)，求以P1P2为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6, 9)、N(3, 3)、Q(5, 3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？解(1)：分析一：从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决. 解法一：(学生口答)设圆心C(a, b)、半径r，则由C为P1P2的中点得：宀又由两点间的距离公式得:r =\CPA= J(4「护+「(9-6)亍=师•••所求圆的方程为：2 2(x-5) +(y-6) =10分析二：从图形上动点P性质考虑，用求曲线方程的一般方法解决.解法二：(给出板书)•••直径上的四周角是直角，•••对于圆上任一点P(x , y)，有P P1丄P P2.化简得:2 2x +y -10x-12y+51=0 . 即(x-5) 2+(y-6) 2=10为所求圆的方程.解(2):(学生阅读课本)分别计算点到圆心的距离：|CM|= J(6-5尸+(9・6尸=710；|CN|= 7P-5)3 +(3-6)3= ^10；|CQ|= 7(5+(3-6)2= 3< 皿因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内. 这时，教师小结本题：1. 求圆的方程的方法(1) 待定系数法，确定a, b, r;(2) 轨迹法，求曲线方程的一般方法.2. 点与圆的位置关系3. / +设点到圆心的距离为 d ,圆半径为r :(1) 点在圆上d=r ; (2) 点在圆外d > r ; (3) 点在圆内d v r . 3.以A(x i , yj 、B(X 2, y 2)为直径端点的圆的方程为(x-x i )(x- x 2)+(y- y i )(y- y 2)=0(证明留作作业) 例4 图2-10是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20m 拱高0P=4m 在建造时每隔4m 需用一个支柱支撑，求支柱 A2P2的长度(精确到0.01m).此例由学生阅读课本，教师巡视并做如下提示：(1) 先要建立适当直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，便于计算； (2) 用待定系数法求圆的标准方程；⑶ 要注意P 2的横坐标x=-2 v 0,纵坐标y > 0,所以A 2P 2的长度只有一解.(四) 本课小结1•圆的方程的推导步骤；2. 圆的方程的特点：点(a , b)、r 分别表示圆心坐标和圆的半径；3.求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)轨迹法. 五、布置作业1•求下列条件所决定的圆的方程：(1)圆心为C(3 , -5)，并且与直线 x-7y+2=0相切；⑵过点A(3 , 2)，圆心在直线 y=2x 上，且与直线 y=2x+5相切.2.已知：一个圆的直径端点是 A(X 1, yj 、B(X 2, y 2).证明：圆的方程是(x- x d(x- x 2)+(y- y 1)(y- y 2)=0 .3•—个等腰三角形底边上的高等于 5,底边两端点的坐标是(-4 , 0)和(4 , 0)，求它的外接圆的方程.4•赵州桥的跨度是 37.4m ，圆拱高约为7.2m ,求这座圆拱桥的拱圆的方程. 作业答案： 1. (1)(x-3)2+(y+5) 2= 32⑵仪舒+仗才二5或仗-$+(y -孑二52. 因为直径的端点为 A(x1 , y1)、B(x2 , y2)，则圆心和半径分别为A 2 0 A图 2-10所以圆的方程为化简得：X 2-( x 即(X- x 1)(x- x :x 1+ x 2)x+ x 1 x 2+ y 2-( y 1+ y 2)y+ y 1 y 2=0 x2)+(y- y 1)(y- y 2)=04. 如图2-11建立坐标系，得拱圆的方程:2 2 2x +（y+27.88） =27.88 （-7.2 < y< 0）六、板书设计§ 2・了圆的标准方程（一）童习提问问题1RS2问题3问题4（二）建立圆的标准方程问题5（三）方程应用例1例2例3例4（四止课小结。

4.1.1圆的标准方程教学设计1．内容和内容解析：内容：圆的标准方程。

内容解析：解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现数形结合的重要思想方法。

其中圆的标准方程的教学目标主要是：一是经历通过平面直角坐标系建立圆的代数方程的过程，在这个过程中进一步体会坐标法研究几何问题的思想和步骤；二是用两种方法求解圆的方程。

圆是解析几何中一类重要的曲线，在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质，圆的标准方程正是这一知识运用的延续，处于直线与方程和点，直线与圆的关系的结合点和交汇点上。

学好圆的方程可以为圆锥曲线的学习奠定基础，有利于学生进一步体会数形结合的思想，形成用代数法解决几何问题的能力。

也是培养学生运用能力和运算能力的重要素材。

从知识的结构和内容上都起到相当重要的作用。

2．教学目标：知识与技能（1）在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；（2）能根据圆心坐标、半径及其特殊情况熟练地写出圆的标准方程；（3）会根据条件选择并求出圆的方程；过程与方法（1）通过平面直角坐标系建立圆的代数方程的过程，让学生进一步体会坐标法在研究几何问题的思想和步骤；（2）通过类比直线方程的学习，发现并理解圆的方程与直线方程学习中相同的知识结构，进一步体会类比的思想；（3）通过求解圆标准的方程，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想；情感态度与价值观通过与直线方程的对比，体会类比思想的应用，让学生学会用联系的观点分析问题，认识事物之间的相互联系与转化；3．教学重难点：重点：（1）类比直线方程的学习，掌握圆的标准方程；难点：（1）圆的代数方程的建立过程；（2）圆的标准方程的灵活应用；落实的途径：（1）通过表格，建立直线与方程，圆与方程的结构图，在复习旧知的同时帮助学生经历坐标法建立圆的代数方程的如下过程：首先将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。

圆的标准方程
教学目标
1.掌握圆的标准方程及其特点，会由圆心位置和半径写出圆的标准方程，并学会坐标法研究几何。

2. 在探究过程中，发展数形结合的思想，提升联系旧知识、提出问题、解决问题。

教学重点
由已知条件求出圆的标准方程；圆的标准方程的求法及其简单应用。

教学难点
圆的标准方程的求法及其简单应用。

教学过程
（一）导入新课
1.同学们还记得如何确定一条直线吗？
生1：两点确定一条直线。

生2：知道一点和斜率可以确定一条直线。

2.解析几何解决问题的基本方法：直线这一平面图形可以由一个代数中的二元一次方程来表示。

（二）探究新知
（三）巩固提升
多媒体呈现例题1。

（学生板演）设错：左侧这位同学的答案中应该是半径的平方数，她只写了半径。

（四）课堂小结
知识：圆的标准方程方法：数形结合。

（五）作业设计
必做题：完成PPT展示的变式题。

选做题：将本节课的内容整理在数学笔记本上。

高中圆的标准方程教案文档一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解圆的定义及相关概念；（2）掌握圆的标准方程及其推导过程；（3）能够运用圆的标准方程解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、推理等方法，探究圆的标准方程的形成；（2）运用数学符号、图形等工具，表示圆的位置和大小；（3）培养学生的逻辑思维能力和几何直观能力。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生勇于探索、积极思考的精神；（3）培养学生合作交流的能力。

二、教学内容1. 圆的定义及相关概念：（1）圆的定义；（2）圆心、半径、直径等概念；（3）圆的性质。

2. 圆的标准方程：（1）圆的标准方程的推导；（2）圆的标准方程的形式；（3）圆的标准方程的应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）圆的定义及相关概念的理解；（2）圆的标准方程的推导和应用。

2. 教学难点：（1）圆的标准方程的推导过程；（2）圆的标准方程在实际问题中的应用。

四、教学方法与手段1. 教学方法：（1）采用问题驱动法，引导学生主动探究；（2）运用分组讨论法，培养学生的合作能力；（3）采用案例分析法，让学生感受数学与生活的联系。

2. 教学手段：（1）利用多媒体课件，直观展示圆的定义和性质；（2）运用几何画板，动态演示圆的标准方程的形成；（3）提供实际问题，引导学生运用圆的标准方程解决。

五、教学过程1. 导入新课：（1）复习相关概念：点、线、角等；（2）引入圆的定义，引导学生观察生活中的圆；（3）提出问题：如何用数学语言表示圆的位置和大小？2. 探究圆的标准方程：（1）引导学生通过观察、分析、推理等方法，探究圆的标准方程的形成；（2）讲解圆的标准方程的推导过程，引导学生理解并掌握；（3）让学生运用圆的标准方程，解决实际问题。

3. 巩固练习：（1）提供一些有关圆的标准方程的练习题，让学生独立完成；（2）组织学生进行小组讨论，共同解答练习题；（3）教师对学生的解答进行点评和指导。

4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程一、教学目标（一）核心素养通过本节课的学习，掌握圆的定义，并根据此定义得出圆的标准方程.（二）学习目标掌握圆的定义及圆的标准方程，会利用条件求圆的标准方程.（三）学习重点利用各种条件求圆的标准方程.（四）学习难点根据圆的定义推导圆的标准方程以及求圆的标准方程.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务读一读：阅读教材第118页到119页，填空：确定一个圆的最基本的要素是圆心和半径；圆心为点(,)a b ，半径为r 的圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=.2.预习自测（1）圆心在点(1,2)，半径为5的圆的标准方程为（ ）A.22(1)(2)5x y +++=B.22(1)(2)25x y +++=C.22(1)(2)5x y -+-=D.22(1)(2)25x y -+-=【知识点】圆的标准方程.【解题过程】由条件知1,2,5a b r ===，代入标准方程得：22(1)(2)25x y -+-=【思路点拨】熟记圆的标准方程，明确各字母的具体含义.【答案】D（2）若点(15,)M a a +在圆22(1)26x y -+=上，则实数a =（ ）A.1B. 1±C.2D.【知识点】点与圆的位置关系.【解题过程】由条件，将点M 的坐标代入圆的方程得21a =，故1a =±【思路点拨】点000(,)M x y 与圆C ：222()()x a y b r -+-=的位置关系：（1）点0M 在圆C 上⇔22200()()x a y b r -+-=；（2）点0M 在圆C 内⇔22200()()x a y b r -+-<；（3）点0M 在圆C 外⇔22200()()x a y b r -+->；【答案】B（3）已知点(1,1),(1,1)A B --，则以线段AB 为直径的圆的标准方程为（ ）A.221x y +=B. 22x y +=C. 222x y +=D. 224x y +=【知识点】圆的标准方程.【解题过程】由线段AB 为直径，所以圆心为(0,0)，半径12r AB ==圆的标准方程为222x y +=【思路点拨】求圆的标准方程就是要找出圆心坐标和半径.【答案】C（二）课堂设计1.知识回顾：（1）在直角坐标平面中确定一条直线的方法有哪些？两点可以确定一条直线；一点和倾斜角可以确定一条直线；横、纵截距可以确定一条直线等等. （2）直角坐标平面中两点间的距离公式：设点1122(,)(,)A x y B x y 、，则这两点间的距离AB =2.问题探究探究一 圆的定义•活动① 在直角坐标平面中，如何确定一个圆？显然，当圆心位置和半径大小确定后，这个圆也就唯一确定了.因此，确定一个圆的最基本的要素就是圆心和半径.【设计意图】通过和直线的类比，引导学生分析出圆的基本要素，为后面圆的定义打基础.•活动② 当圆心位置C 和半径r 的大小确定后，如何定义一个圆？平面上到定点C 的距离等于半径r 的点M 的集合，叫做以C 为圆心，为半r 径的圆.【设计意图】从理性分析到感性认识，得出圆的定义.探究二 圆的标准方程•活动① 如果圆心C 的坐标为(a,b )，半径大小为r ，那么圆的方程是什么？设圆上任意一点M (x,y )，则M 到圆心C 的距离等于半径r ，圆心为C 的集合就是{}P M MC r ==，由两点间的距离公式，点M 适合的条件可以表示为22()()x a y b r -+-=两边平方，得：222()()x a y b r -+-=……………………⑴ 若点M (x,y )在圆上，由上述讨论可知，点M 的坐标适合方程(1)；反之，若点M (x,y )的坐标适合方程(1)，这说明点M 到圆心C 的距离等于半径r ，即点M 在圆心为C 的圆上.我们就把方程(1)称为圆心为C (a,b )，半径为r 的圆的标准方程.【设计意图】利用两点间的距离公式和圆的定义推导出圆的标准方程，实现从几何到代数的转化.探究三 点和圆的位置关系•活动① 由探究二我们知道，如果点000(,)M x y 在圆222()()x a y b r -+-=上，则满足22200()()x a y b r -+-=.那么点000(,)M x y 在圆222()()x a y b r -+-=内又要满足什么条件呢？在圆222()()x a y b r -+-=外呢？点000(,)M x y 与圆C ：222()()x a y b r -+-=的位置关系：（1）点0M 在圆C 上22200()()x a y b r ⇔-+-=；（2）点0M 在圆C 内22200()()x a y b r ⇔-+-<；（3）点0M 在圆C 外22200()()x a y b r ⇔-+->；【设计意图】掌握点与圆的位置关系和刻化方法.巩固基础，检查反馈例1. 圆22(2)(3)2x y ++-=的圆心坐标和半径分别为（ ）A. (2,3),-B. (2,3),2-C. (2,3),-D. (2,3),2-【知识点】圆的圆心坐标和半径.【解题过程】由圆的标准方程可知圆心坐标为(2,3)-，半径r =【思路点拨】比较该方程与圆的标准方程即可.【答案】A同类训练 圆22(1)(2)5x y -++=的圆心到直线y x =的距离为（ ）A. B. C. D. 5 【知识点】由圆的方程得圆的圆心坐标以及点到直线距离公式的使用.【解题过程】由圆的方程可知该圆的圆心为(1,2)-，由点到直线的距离公式得所.【思路点拨】比较方程和圆的标准方程得出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式即可求解.【答案】C例2.已知点A (0,-1)，B (2,1)，则以线段AB 为直径的圆的标准方程为（ ）A.22(1)1x y -+=B.221)1x y ++=（C.221)2x y -+=（D.22(1)2x y ++=【知识点】求出圆心坐标和半径，进而写出圆的标准方程.【解题过程】因为线段AB 为直径，所以圆心坐标为(1,0)，半径12r AB ==所以圆的方程为221)2x y -+=（ 【思路点拨】找圆心坐标和半径大小是求得方程的关键.【答案】C同类训练 圆心在直线:230l x y --=上，且过点(5,2)(3,2)A B -和的圆的标准方程为（ ）A.22(2)(1)10x y -+-=B.22(2)(1)x y -+-=C.22(2)(1)10x y +++=D. 22(2)(1)x y +++=【知识点】求出圆心坐标和半径，进而写出圆的标准方程.【解题过程】∵圆过点(5,2)(3,2)A B -和，所以圆心必在线段AB 的垂直平分线上，即在直线:24l x y '+=上. 由条件圆心必为l 与l '的交点，所以由23022401x y x x y y --==⎧⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩，所以圆心为(2,1)C ，半径r AC ==，所以所求圆的方程为22(2)(1)10x y -+-=【思路点拨】如果圆过两个点，那么圆心一定在过这两点的弦的中垂线上.【答案】A强化提升、灵活应用例3、已知圆与x 轴相切，圆心在直线y =2x 上，且被直线x +y -3=0平分周长，求该圆的标准方程.【知识点】由条件确定圆心坐标和半径大小，进而确定圆的方程.【解题过程】∵圆被直线平分周长，∴圆心必在直线x +y -3=0上，所以由条件可知圆心为直线y =2x 和x +y -3=0的交点，即圆心C (1,2)；又圆与x 轴相切，所以半径即为圆心纵坐标，即r =2，故圆的标准方程为22(1)(2)4x y -+-=【思路点拨】直线平分圆周长，则圆心必在该直线上.【答案】22(1)(2)4x y -+-=例4. 已知点1)A 在圆22()(1)15x m y m ++-=-的外部，则实数m 的取值范围是( )A.32m -<<-B.23m <<C.32m m <->-或D.1325m m <--<<或 【知识点】圆的标准方程以及点与圆的位置关系. 【解题过程】条件等价于2150715m m m->⎧⎨+>-⎩，解得：1325m m <--<<或 【思路点拨】要注意圆的标准方程中等号后面是半径的平方（容易遗漏）【答案】D同类练习 已知过点(1,2)A 的直线始终与圆222()()2C x a y a a -++=：相交，则实数a 的取值范围是___________.【知识点】点与圆的位置关系.【解题过程】条件等价于点A 在圆C 的内部，所以有222(1)(2)2a a a -++<，解得52a -≤ 【思路点拨】过定点的直线始终与圆相交等价于定点必在圆内部. 【答案】52a -≤ 3.课堂总结知识梳理（1）确定圆的基本要素是圆心和半径；（2）圆心为C (a,b )，半径为r 的圆的标准方程为222()()x a y b r -+-= （3）点000(,)M x y 与圆C ：222()()x a y b r -+-=的位置关系：点0M 在圆C 上22200()()x a y b r ⇔-+-=；点0M 在圆C 内22200()()x a y b r ⇔-+-<；点0M 在圆C 外22200()()x a y b r ⇔-+->重难点归纳（1）圆的标准方程的推导思想和过程；（2）在各种条件下会求圆的圆心坐标和半径大小，进而求出圆的方程.（三）课后作业基础性 自主突破1.经过点(5,1)P ，圆心为(8,3)C -的圆的方程为（ ）A.22(8)(3)25x y +++=B.22(8)(3)25x y -++=C.22(8)(3)25x y -+-=D.22(8)(3)25x y ++-=【知识点】圆的标准方程【解题过程】有条件知，圆的半径为5r PC ==，所以圆的方程为22(8)(3)25x y -++=【思路点拨】圆上一点到圆心的距离即为半径.【答案】B2.已知圆22(1)(2)5x y -++=，则点(1,0)M 与该圆的位置关系是（ ）A.M 在圆内B. M 在圆上C. M 在圆外D.以上都不对【知识点】点和圆的位置关系.【解题过程】由于22(11)(02)45-++=<，所以M 在圆内.【思路点拨】点和圆的位置关系由点到圆心的距离和半径的关系决定.【答案】A3.圆22(3)(2)5x y -+-=关于原点(0,0)对称的圆的方程为（ ）A.22(3)(2)5x y -+-=B.22(3)(2)5x y ++-=C.22(3)(2)5x y +++=D.22(3)(2)5x y -++=【知识点】圆关于点的对称圆.【解题过程】圆22(3)(2)5x y -+-=的圆心(3,2)关于原点(0,0)的对称点(3,2)--即为所求圆的圆心，半径保持不变任为，故所求圆的方程为22(3)(2)5x y +++=【思路点拨】圆关于点的对称圆只是圆心对称，半径不变.【答案】C4.已知点(51,12)A a a +在圆22(1)1x y -+=的内部，则（ ） A.1a < B.113a < C.15a < D. 113a < 【知识点】点与圆的位置关系 【解题过程】由点与圆的位置关系可知221(5)(12)113a a a +<⇒< 【思路点拨】点和圆的位置关系由点到圆心的距离和半径的关系决定.【答案】D5.已知圆C 的圆心在直线270x y --=上，且圆C 与y 轴交于两点(04)(02)A B --，、，，则圆C 的标准方程为（ ）A.22(2)(3)5x y -++=B.22(2)(3)25x y -++=C.22(3)(2)5x y ++-=D.22(3)(2)25x y ++-=【知识点】圆的标准方程【解题过程】∵线段AB 为圆的弦，∴圆心C 在线段AB 的中垂线3y =-上，又圆心C 在直线270x y --=上，∴圆心为(2,3)C -，半径r AC ==，∴圆C 的标准方程为22(2)(3)5x y -++=【思路点拨】求圆的方程就是想办法确定圆心坐标和半径大小.【答案】A6.已知ABC ∆的三个顶点分别为(05),(12),(34)A B C ---，，，，则ABC ∆的外接圆的方程为（ ）A.22(3)(1)25x y -++=B.22(3)(1)5x y -++=C.22(3)(1)25x y ++-=D.22(3)(1)5x y ++-=【知识点】线段的垂直平分线和圆的标准方程.【解题过程】∵线段AB BC 、为所求圆的两条弦，∴圆心在AB BC 、的垂直平分线的交点，即在直线7100x y -+=和250x y ++=的交点(3,1)M -，半径5r AM ==，所以所求圆的方程为22(3)(1)25x y ++-=【思路点拨】圆的圆心必在弦的垂直平分线上.【答案】C能力型 师生共研7.与圆22(2)(3)16x y -++=有相同的圆心，且过点(11)P -，的圆的标准方程为（ ）A.22(2)(3)25x y ++-=B.22(2)(3)25x y -++=C.22(2)(3)16x y ++-=D.22(2)(3)16x y -++=【知识点】同心圆问题.【解题过程】由条件知所求圆的圆心为(2,3)C -，半径为5r PC ==另解：由条件设圆的方程为222(2)(3)x y r -++=，将点(11)P -，代入可求得225r = 【思路点拨】同心圆问题可以直接找圆心和半径求解，也可以用同心圆系方程222(2)(3)x y r -++=解决.【答案】B8.圆22:(3)(1)10M x y -++=关于直线20x y -=的对称圆的方程为（ ）A.22(1)(3)10x y -+-=B.22(1)(3)x y -+-=C.22(1)(3)10x y -++=D.22(1)(3)x y -++=【知识点】圆关于直线的对称圆问题.【解题过程】设对称圆的圆心为(,)a b ，则由条件有31201221323a b a b b a +-⎧-=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=-⎪-⎩，【思路点拨】圆关于直线的对称圆，只需将圆心对称，半径不变.【答案】A探究型 多维突破9.已知圆C 过点(12)P ，和(23)Q -，，且圆C 在两坐标轴上的截得的弦长相等，则圆C 的方程为（ ）A.22(1)(1)5x y ++-=B.22(2)(2)25x y +++=C.22(1)(1)5x y ++-=或22(2)(2)25x y +++=D.22(1)(1)25x y ++-=或22(2)(2)25x y +++=【知识点】圆的标准方程和弦长问题.【解题过程】如图，由于截得的弦长相等，即AD EG =，所以它们的一半也相等，即AB GF =，又AC GC =，所以直角ABC GFC ∆∆≌，BC FC =∴，设圆心(,)C a b ，则a b =……①，又圆心(,)C a b 在线段PQ 的垂直平分线34y x =+上，所以34b a =+……②，联立①②解得：11a b =-⎧⎨=⎩或22a b =-⎧⎨=-⎩，半径r =或5.【思路点拨】根据几何关系，用待定系数法求圆心坐标是关键.【答案】C10.已知四点(20),(100),(113),(61)M N P Q ，，，，，那么这四点共圆吗？如果共圆，求出圆的方程；如果不共圆，说明理由.【知识点】圆的方程和点共圆问题.【解题过程】设MNP ∆的外接圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，把点,,M N P 的坐标代入得到：222222222(2)()6(10)()3(11)(3)5a b r a a b r b a b r r ⎧-+-==⎧⎪⎪-+-=⇒=⎨⎨⎪⎪-+-==⎩⎩，即外接圆为22(6)(3)25x y -+-=，将(6,1)Q 代入圆的方程得22(66)(13)425-+-=≠，即点Q 不在圆上，故,,,M N P Q 四点不共圆.【思路点拨】多点共圆问题可以先求三点所共的圆的方程，在用点与圆的位置关系判断其他的点在不在圆上.【答案】不共圆自助餐1.已知点(32),(54)A B --，，，则以线段AB 为直径的圆的方程为（ ） A.22(1)(1)25x y -++= B.22(1)(1)25x y ++-=C.22(1)(1)100x y -++=D.22(1)(1)100x y ++-=【知识点】圆的标准方程.【解题过程】由于线段AB 为直径，所以圆心为(32),(54)A B --，，的中点即(1,1)-，半径152r AB ==，所以圆的方程为22(1)(1)25x y ++-= 【思路点拨】【答案】B2.过点(11),(11)A B --，，，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程为（ ） A.22(3)(1)4x y -++= B.22(3)(1)4x y ++-=C.22(1)(1)4x y -+-=D.22(1)(1)4x y +++=【知识点】圆的标准方程.【解题过程】线段AB 的垂直平分线y x =与直线20x y +-=的交点(1,1)M 即为所求圆的圆心，半径2r AM ==，所以圆的方程为22(1)(1)4x y -+-=【思路点拨】圆的弦的垂直平分线必过圆心.【答案】C3.若点(2,2)在圆22()()16x a y a ++-=的内部，则实数a 的取值范围是（ ）A.22a -<<B. 02a <<C. 2a <-或2a >D.2a =±【知识点】点与圆的位置关系.【解题过程】由条件有22(2)(2)1622a a a ++-<⇒-<<【思路点拨】点在圆内即点到圆心的距离小于半径.【答案】A4.已知圆221:(1)(1)1C x y ++-=，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为（ ）A.22(2)(2)1x y ++-=B.22(2)(2)1x y -++=C.22(2)(2)1x y +++=D.22(2)(2)1x y -+-=【知识点】圆关于直线的对称圆.【解题过程】设圆2C 的圆心为(,)a b ，则依题意有11102221211a b a b b a -+⎧--=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨-=-⎩⎪=-⎪+⎩，对称圆的半径保持不变任为1，故圆2C 的方程为22(2)(2)1x y -++=【思路点拨】圆关于直线的对称圆，即为圆心的对称，半径不变.【答案】B5.设点(00),(11),(42)A B C ，，，，若线段AD 为ABC ∆外接圆的直径，则点D 的坐标为（ ）A.(8,6)-B. (8,6)-C. (4,6)-D. (4,3)-【知识点】圆的标准方程和点与圆的位置关系.【数学思想】【解题过程】线段AB 的垂直平分线10x y +-=与线段AC 的垂直平分线250x y +-=的交点即为圆心(4,3)-，直径为10，易得点D 的坐标为(8,6)-【思路点拨】圆的弦的垂直平分线一定过圆心.【答案】B6.若圆22()()8x a y a -+-=，则实数a 的取值范围是（ ）A.(3,1)(1,3)--B.(3,3)-C. [1,1]-D. (3,1][1,3)--【知识点】圆的定义.【解题过程】若0a ≥，由条件可知圆上距原点最近点d <，最远点d <<，∴最近点(2,2)a a --，最远点(2,2)a a ++，<，<<，解得13a <<；同理当0a <时有31a -<<-【思路点拨】根据圆的定义把存在为题转化为距离问题.【答案】A。

人教版高中必修2《圆的方程》教学设计《人教版高中必修2《圆的方程》教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！一、教材分析1.教学内容普通高中课程标准实验教科书《数学》必修2第二章平面解析几何初步中2﹒2节圆与方程。

本节主要研究圆的方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，以及他们在生活中的简单运用。

2.教材的地位与作用圆是最简单的曲线之一，这节教材安排在学习了直线之后，学习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论为后继学习作好准备。

同时有关圆的问题，特别是直线与圆的位置问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法。

应此教学中应加强练习，使学生确实掌握这单元的知识和方法。

初中教材中对圆的内容降低最低要求。

本课是单元的第一课，和直线方程一样，教学中先设计一个问题情景，让学生讨论，并引导学生观察圆上点在运动时，不变的是什么，抓住圆的本质，突破难点。

3.三维目标(1)知识与技能A.掌握圆的标准方程，并根据方程写出圆的坐标和圆的半径。

B.会选择适当的坐标系来解决与圆有关的实际问题。

(2)过程与方法A.实际问题引入，师生共同探讨。

B.探究曲线方程的基本方法。

(3)情感态度与价值观培养用坐标法研究几何问题的兴趣。

4.教学重点圆的标准方程及运用5.教学难点求圆的标准方程的条件的确定。

二.教法分析高一学生，在老师的引导下，已经具备一定探究与研究问题的能力。

所以在设计问题时应考虑周全和灵活性，采用启发式探索式教学，师生共同探讨，共同研究，让学生积极思考，主动学习。

在教学过程中采用讨论法，向学生提供具备启发式和思考性的问题。

因此，要求学生在课上讨论，提高学生的探索，推理，想象，分析和总结归纳等方面的能力。

三.学法分析从高考发展的趋势看，高考越来重视学生的分析问题解决问题的能力。

因此，要求学生在学习中遇到问题时，不要急于求成，而要根据问题提供的信息回忆所学知识，采用转化思想，数形结合的思想，选择最佳方案加以解决“瞎撞，乱撞”的不良思想。

《圆的标准方程》教案教学目标：1．掌握圆的标准方程特征；会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程；利用圆的标准方程解决简单的实际问题；2．进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；加深对数形结合思想的理解，加强对待定系数法的运用；增强学生应用数学知识的意识；3．培养学生主动探究知识、合作交流的意识；在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣．教学重点难点：1．重点：圆的标准方程的求法及其应用．2．难点：根据不同的已知条件求圆的标准方程；选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题．教法与学法：1．教法选择：以数学活动为主线，以学生参与为核心，以“自主－合作－探究”为主要学习方式．2．学法指导：通过推导圆的标准方程，求圆的标准方程，理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆．通过圆的标准方程的应用，使学生认识到数学在实际问题中的作用．教学过程：一、设置情境，激发学生探索的兴趣这就是我们今天要研究的问题．二、方法总结，变式演练方法总结1．求圆的方程的方法(1)待定系数法，确定a，b，r；(2)轨迹法，求曲线方程的一般方法．2．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d，圆半径为r：(1)点在圆上d=r；(2)点在圆外d＞r；(3)点在圆内d＜r．3．圆的切线的求法总结，加深知识的理解和记忆．例3．已知圆心为C的圆，L:x-y+1=0经过点A(1，1)和B(2，-2)，且圆心在L上，求圆心为C的圆的标准方程．本题的教学要突出对问题的分析过程，在分析过程中，要强调图形在分析问题中的作用．在解题结束后，可让学生尝试画出框图，以明晰思路，渗透算法思想．分析：如图，确定一个圆关键是圆心和半径．圆经过A、B两点，由于圆心C与A、B两点距离相等，所以圆心C在线段AB的垂直平分线m上，又圆心在直线l上，因此，圆心C是直线l与直线m的交点，半径长等于CA或CB．程这一数学方法及过程．思想表现在由数到形和由形到面．将数学问题转化为数学图形，体现了由数到形的转化；借助图形求解圆方程的问题有利于学生分析问题，解决问题．三、技能训练，课堂交流四、归纳小结，课堂延展延展作业:1．把圆的标准方程展开后是什么形式？2．方程2268200+-++=表示什么x y x y图形？教学设计说明1．教材地位分析：圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用．圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后面的直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容，都做了很好的铺垫，所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用．2．学生现实状况分析：圆的方程是学生在认识了圆的几何知识后，又在上一章学习了直线与方程，初步认识坐标法的基础上进行研究的．但由于学生学习解析几何的时间还不长、认识程度较浅，对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难．3．新课标理念倡导“以人为本”，强调“以学生发展为核心”，因此在教学过程应增加学生自主参与，合作交流的机会，教给学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成为教学的主体；为了调动学生的积极性与学习数学的兴趣，在教学中增加了与现实生活的联系，如引入摩天轮等生活中常见的实体，以便让学生体会数学知识与实际的联系，从而激发学生学习数学的兴趣．4．教学的难点是解决实际应用问题，因为实际应用问题的信息较多或题目冗长，学生很难根据问题情境构建数学模型，缺乏解决问题的信心，从而导致学生不会解和抵触心理．为此，在教学中，应该从简单的生活实例入手，激发学生的求知欲，同时可以用多媒体进行演示，增强学生的学习兴趣，引导学生真正走入问题的情境之中，并从中抽象出数学模型，从而消除畏难情绪，增强信心．。

4.1.1 圆的标准方程大家好！我今天说课的题目是《圆的标准方程》,选自人教版高中数学必修二4.1.1. 下面我将以教什么、怎么教、为什么这样教为思路从说教材、说学法、说教法、教学过程设计、板书设计、教学反思六方面来阐述我对本节课的认识和理解。

一、说教材（一）本节课在教材中的地位和作用圆的标准方程是本章的重点内容。

它是在学生学习了直线与直线方程之后，安排的一节继续深入学习的内容，进一步运用坐标法解决二次曲线问题，为后面学习直线与圆的位置关系、椭圆、双曲线、抛物线等提供了基本模式和理论基础，起着承前启后的重要作用。

大纲明确提出掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程,初步了解用代数方法处理几何问题的思想。

高考它多数作为容易题出现，或在解答题中作为中间步骤出现。

所以，本节课非常重要，需要学生熟练地掌握。

根据高一教材结构和新课程标准，我确定本节课的教学目标如下：（二）教学目标知识与技能(1)掌握圆的标准方程及其推导过程；（2）掌握点与圆的位置关系的判定方法；（3）会根据已知条件写出圆的标准方程；过程与方法(1)体会数形结合思想，初步形成代数方法处理几何问题能力；(2)加强对待定系数法的运用，培养学生自主探究的能力；情感态度与价值观(1) 培养学生积极思考、自主构建知识体系的学习态度；(2) 让学生感受数学的现实美、抽象美，体会圆的标准方程形成过程的严谨美．（三）教学重难点教学重点：圆的标准方程及其运用；教学难点: ①会根据不同的已知条件求圆的方程；解决方法：我将充分利用课本提供的两个例题，通过例题的解决使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法，突出重点，突破难点。

二、说学法（一）学情分析1、学生特点本节课将在华侨中学高一一个平行班讲授，该班学生基础知识较好，接受能力强，求知欲强，这为本节课圆的标准方程的探索提供了情感保障。

2、知识能力基础学生在上一章已经学习了直线与直线的方程, 对方程有了初步了解,能接受用坐标、方程知识来刻画直线、圆等图形，具备一定的观察分析、解决问题能力，圆基于初中的知识，又是初中知识的加深，这为探究圆的标准方程提供了一定的认知基础。

《圆的标准方程》教学设计教案一、教学目标：1、理解圆的标准方程，并能根据方程求出圆的坐标和圆的半径。

2、掌握求圆的标准方程的各种方法。

3、通过探求圆的标准方程，培养学生的动手能力，解决问题的能力。

二、教学重点与难点：重点：圆的标准方程的运用。

难点：探求圆的标准方程。

三、教学过程：1、创设情境，引入新课：生活中的圆形（图片展示）。

2、知识链接：平面几何中“圆”是如何定义的？圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹。

定点就是圆心,定长就是半径在平面直角坐标系中，当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了。

3、知识探究：构建圆的标准方程平面直角坐标系中，求圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程．解：设M(x,y)是圆上任意一点，则|MC|=r 根据22122121()()PP x x y y =-+- ()()22x a y b r -+-=把上式两边平方得 ()()222x a y b r -+-=我们把这个方程称为圆的标准方程，其中圆心坐标(a,b)，半径为r 。

4、特征分析：圆的标准方程()()222x a y b r -+-=（1）圆的标准方程是关于变量x ，y 的二元二次方程，且为平方和的形式,方程形式明确给出了圆心坐标（定位）和半径（定大小）。

（2）确定圆的标准方程必须具备三个条件：a,b,r 。

（3）参数的几何意义: （a ，b ）表示圆心坐标, r 表示圆的半径。

特别地：若圆心在坐标原点，则圆方程为222x y r +=5、典例分析例1 求以点C (－3，2)为圆心，半径r 5 解 因为 a ＝－3，b ＝2，r 5 ，所以 所求圆的标准方程为(x ＋3)2＋(y －2)2＝5.练习1、根据已知条件，求圆的标准方程：（1）圆心在原点，半径是3;1（2-），半径是5;2（3）圆心点（0，2例2 写出圆(x －5)2＋y 2＝2的圆心坐标和半径长．练习2、已知圆的标准方程，请说出圆心和半径.()()22(1)129x y ++-=()22(2)16x y -+=22(3)16x y += ()222(4)1(0)x y a a ++=≠ 例3 已知圆心在坐标原点O (0，0)，且点A (3，4)是圆上一点，求圆的标准方程．练习3．根据下列条件，求出圆的标准方程：(1)已知点A (2，3)，点B (2，7)，以线段AB 为直径；(2)圆心在点(1，2)，且圆过点(2，4)；(3)圆心是直线x ＋y ＋3＝0与直线2x －y ＝0的交点，半径r ＝.四、 课堂小结1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹。

教案说明圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，因此这节课的重点确定为用解析法研究圆的标准方程及其简单应用。

一、设计理念设计的根本出发点是促进学生的发展。

教师以合作者的身份参与，课堂上建立平等、互助、融洽的关系，师生共同研究，共同提高。

二、设计思路（1）突出重点抓住关键突破难点求圆的标准方程既是本节课的教学重点也是难点，为此我布设了由浅入深的学习环境，先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系，逐步理解三个参数的重要性，自然形成待定系数法的解题思路。

在例题的设计中，我用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意，能力与知识的形成相伴而行，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成。

（2）学生主体教师主导探究主线本节课的设计用问题做链，环环相扣，使学生的探究活动贯穿始终。

从圆的标准方程的推导到应用都是在问题的指引、我的指导下，由学生探究完成的。

另外，我在例题2的教学，要求学生分组讨论，合作交流，为学生设立充分的探究空间，学生在交流成果的过程中，既体验了科学研究和真理发现的复杂与艰辛，又在我的适度引导、侧面帮助、不断肯定下顺利完成了探究活动并走向成功，他们体验到成功的快乐，感受到数学的魅力。

在一个个问题的驱动下，高效的完成本节的学习任务。

三、媒体设计本节采用powerpoint媒体，知识容量大，同时又有图形。

为了在短时间内完成教学内容，故采用演示文稿的方式，增加信息量，节省时间。

同时动态演示图形，刺激学生的感官，引起更强的注意，提高课堂教学效率。

4.1.1圆的标准方程教材：普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学（必修2）第四章第一节一、教学目标1、知识目标（1）在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；（2）会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程。

人教版高中必修2圆的标准方程教学设计《人教版高中必修2圆的标准方程教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！一、教学目标知识和能力1.学会圆的标准方程的推导方法。

2.掌握圆的标准方程并掌握其求法。

3.掌握点与圆的位置关系的判定方法。

过程和方法1.通过五个问题，引导学生理解归纳本节的主要内容，培养学生归纳整理知识的能力。

2.通过电脑演示，引导学生探究、分析图形的几何特征，再用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何的问题转化为代数问题，体现数形结合的数学思想。

3.通过具体情景，使学生逐步形成在坐标系下用坐标法解几何问题的能力，掌握自主学习的方法和形成合作学习的习惯。

情感态度和价值观1.通过教学，使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、检验等合情推理方法，提高学生运算能力和逻辑推理能力。

2.培养学生勇于探索、坚韧不拔的意志品质。

二、教学重点难点重点：圆的标准方程的推导。

难点：圆的标准方程的求法。

三、教学对象分析圆是学生比较熟悉的曲线。

在初中几何课中已经学习过圆的性质，这里只是用解析法研究它的方程与其它图形的位置关系及一些应用。

对此，教师可在课堂上通过各种教学方法，帮助学生经历如下过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题;处理代数问题;分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。

这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。

四、教学内容分析本节内容首先研究圆的标准方程的特点，和怎样根据不同条件建立圆的标准方程。

由于圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2含有三个参数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆，确定a、b、r，可以根据条件利用待定系数法解决。

还可通过分析图形的几何特征寻找圆心和半径，从而获得圆的标准方程。

点与圆的位置关系可通过点与圆心的距离判定。

以上的方法应尽可能在老师的启发引导下，由学生自己比较、归纳得到。

4.1.1圆的标准方程【教学目标】（一）知识与技能(1)掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程．(2)会用待定系数法求圆的标准方程．（二）过程与方法进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力．（三）情感态度与价值观通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣．【教学重点】 圆的标准方程．【教学难点】 会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程．【教学方法】 启发、引导、讨论．【教学过程】一、新课引入在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么?圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆?在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢?如果能，这个方程又有什么特征呢?二、讲授新课确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为(,)A a b ，半径为r （其中a 、b 、r 都是常数，0r ）．设(,)M x y 为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）{}P M MA r ==,由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件r =①化简可得：222()()x a y b r -+-= ②引导学生自己证明222()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论．若点(,)M x y 在圆上，由上述讨论可知，点M 的坐标适用方程②，说明点M 与圆心A 的距离为r ，即点M 在圆心为A 的圆上．所以方程②就是圆心为(,)A a b ,半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程．三、例题解析例1：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点1(5,7)M -,2(1)M -是否在这个圆上． 分析：可以从计算点到圆心的距离入手．点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）22200()()x a y b r -+->，点在圆外（2）22200()()x a y b r -+-=，点在圆上（3）22200()()x a y b r -+-<，点在圆内解：圆心是(2,3)A -半径长等于5的圆的标准方程是22(2)(3)25x y -++=．。