新人教版必修二高中数学 《圆的标准方程》 教学设计

《圆的标准方程》第一课时教学设计稿华川中学李建军2007．10．16《圆的标准方程》第一课时教学设计稿一．教材分析圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.《圆的方程》安排在高中数学第二册（上）第七章第六节.是前面学习了直线方程、两条直线的位置关系、曲线和方程的基础上，让学生学会在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数方法研究直线与圆，圆与圆的位置关系，在这个过程中进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力。

圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的意义，所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用.本节课教材编者共安排了3个例题，例1是求圆的方程的问题，是直接运用所学知识的一个例题；例2是运用圆的标准方程的知识来解决数学问题——求圆的切线问题；例3是运用圆的标准方程的知识来解决实际问题的一个例题。

在作业安排上，安排了4个练习题和4个习题，它们分别是3个例题的补充。

二.学情分析圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行研究的. 但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难，另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强.为了让学生掌握本节课内容，我将例1和例2作为第一课时内容，例3同补充的例题作为第二课时的内容。

由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，计划在同学生一道推导圆的标准方程，以便进一步了解坐标在解决实际问题中的运用。

推导出圆的标准方程后，增加圆的标准方程的直接运用的3个练习题，其中有一个是教材中的练习题第一题，通过这样的训练来达到让学生充分掌握圆的标准方程的形式。

例1我直接选用教材中的例1，没有做改动；在讲解例2时，我采取先用一个具体的问题来求出圆的切线方程后，从特殊的例子入手，为推导一般的圆的切线方程打下知识和方法的铺垫，体现了“从特殊到一般”的思想。

小组讨论的形式。由学生和老师共同计算出几个圆的方
程，然后进行小组讨论，得出圆的标准方程的一般形式。 教学过程
这个过程老师就是一个引导者，主要由学生完成，采用
层层递进、从特殊到一般的形式，有助于学生掌握知识。
在此过程中，老师要不停巡视，参与到学生小组讨论中。
老师首先ห้องสมุดไป่ตู้了解学生初中时对本节知识的掌握情
况，学生计算能力，学生在课堂可能会出现的所有问题，
以及学生的性格特点，才能采取适合的教学方法。 课例研究综
新课堂教学应该从老师为主体变成学生为主体，老 述
师应不断增加课堂的趣味性，多融入相关的数学文化，
使学生爱上数学，不仅仅是为了高考、为了成绩而学，
而是发自内心的喜欢。
教学目标
二、能根据所给条件算出圆对的标准方程；
三、让学生体会圆的魅力与数学的独特魅力。
圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基
本性质作了比较系统的研究，本节之前又学习了建立直
学生学习能 角坐标系求直线方程的方法，这些都为本节课的学习奠
力分析 定的必要的基础。同时，由于学生对建系求方程的方法
以及圆的标准方程认识还不深刻，在探究知识的形成与
高中数学教学课例《圆的标准方程》教学设计及总结反思
学科
高中数学
教学课例名
《圆的标准方程》
称
圆的标准方程是高中数学必修二第四章第一节的
内容，在高考中占据一定位置，是之后学习椭圆等圆锥 教材分析
曲线方程的基础。本节内容是初中圆的一个递进，计算
量较大。对于学生学习有一定难度。
一、掌握圆的标准方程及其推到过程；
方程的运用时可能会遇到一些困难。
应用启发式的教学方法把学生学习知识的过程转

4.1.1圆的标准方程【学习目标】（1）会推导圆的标准方程,掌握圆的标准方程;（2）能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程;【学习重点】圆的标准方程的推导过程和圆标准方程特征的理解与掌握。

【学习难点】由已知条件求圆的标准方程；判定点和圆的位置关系【知识链接】1.初中圆的定：。

2.在平面直角坐标系中，确定一条直线，和也确定一条直线。

【学习过程】探究一：圆的标准方程思考1:圆可以看成是平面上的一条曲线,在平面几何中，根据初中学习的圆的定义，如何用集合语言描述以点A为圆心，r为半径的圆？思考2:确定一个圆最基本的要素是什么？思考3:设圆心坐标为A(a，b)，圆半径为r，M(x，y)为圆上任意一点，根据圆的定义，圆心为A的圆的集合表示：P = { M | |MA| = r }，那么点M的坐标x，y应满足什么关系？。

思考4:对于以点A(a，b)为圆心，r为半径的圆，由上可知，若点M(x，y)在圆上,则点M 的坐标满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2；反之,若点M(x，y)的坐标适合方程(x-a)2+(y-b)2=r2，那么点M一定在这个圆上吗？新知圆的标准方程：。

思考5:那么确定圆的标准方程需要几个独立条件？思考6:以原点为圆心,1为半径的圆称为单位圆,那么单位圆的方程是什么？例题一：1、圆心为 A(2，-3)，半径长等于5的圆的方程为（ ）A (x – 2 )2+(y – 3 )2=25B (x – 2 )2+(y + 3 )2=25C (x – 2 )2+(y + 3 )2=5D (x + 2 )2+(y – 3 )2=52、圆 (x －2)2+ y 2=2的圆心C 的坐标及半径r 分别为（ ）A C （2，0） r = 2BC （ – 2，0） r = 2C C （0，2） r =2D C （2，0） r = 23、已知M(5，-7)和圆 (x – 2 )2+(y + 3 )2=25 ，则点M 在 （ ）A 圆内B 圆上C 圆外D 无法确定探究二：点与圆的位置关系思考7:在平面几何中，初中学过点与圆有哪几种位置关系？ 如何确定的思考8:在初中平面几何中，如何确定点与圆的位置关系？思考9:在直角坐标系中,已知点M(x 0，y 0)和圆C ：222()()x a y b r -+-=,如何判断点M 在圆外、圆上、圆内？思考题：集合{(x ，y)|(x-a)2+(y-b)2≤r 2}表示的图形是什么？探究三：圆的标准方程的应用例1 已知圆心为C 的圆经过点A (1, 1)和B (2, －2)，且圆心C 在直线上l ：x －y +1=0，求圆心为C 的圆的标准方程．思考10：求圆的标准方程方法有哪些?变式： 的三个顶点的坐标分别A(5,1)、B(7,－3)、C(2,－8)，求它的外接圆的方程．学情分析圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，本节之前又学习了建立直角坐标系求直线方程的方法，这些都为本节课的学习奠定的必要的基础。

《圆的标准方程》教学设计
一、内容及其解析
本节课的教学内容是圆的标准方程，圆是平面解析几何中重要的几何模型，是研究圆锥曲线与方程的重要基础.
坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。通过建立平面直角坐标系,把点和坐标、曲线和方程联系起来.因此在教学过程中，要始终贯穿坐标法中一重要思想,在学习圆与方程这一章节后,使学生初步形成坐标法的基本思想和步骤.用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素:点、直线、圆；然后对坐标和方程进行代数运算；最后将代数运算结果“翻译”成相应的几何结论。
解此方程组,得
所以 的外接圆的方程是
练习2：已知圆心为 的圆经过点 ，且圆心 在直线 上，求圆心为 的圆的标准方程.
设计意图：进一步强化圆的标准方程的运用，使学生在不同的背景中熟悉常见的几何模型，能根据题设条件选择适当的方法来解决问题.
师生活动：激活学生思维，借助图形，让学生分析题设的几何特征，描述本题的算法，教师同步展示解答过程.启发引导学生思考教科书第120页的问题，归纳求圆的标准方程的两种方法.最后可以让学生尝试运用另一种方法解答问题7和问题8.
半径 的大小等于圆上任意一点 到圆心 的距离,
圆心为 的圆就是集合
由两点间距离公式,点 的坐标适合的条件可以表示为
式两边平方,得
(1)
若点 在圆上,则由上述讨论知,点 的坐标适合方程(1);反之,若点 的坐标适合方程(1),这说明点 与圆心 的距离为 ,即点 在圆心为 的圆上.我们把方程(1)称为圆心为 ,半径为 的圆的方程,把它叫做圆的标准方程.
3.能力素养：重点提升学生的数学抽象、数学建模、直观想象能力。通过具体事例，让学生在自己的操作与思考中，抽象并概括圆的标准方程的概念、建立圆的标准方程的代数模型，学会利用几何图形理解和解决数学问题.关注现代信息技术工具的运用.

4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程（熊用兵）一、教学目标（一）核心素养通过本节课的学习，掌握圆的定义，并根据此定义得出圆的标准方程.（二）学习目标掌握圆的定义及圆的标准方程，会利用条件求圆的标准方程.（三）学习重点利用各种条件求圆的标准方程.（四）学习难点根据圆的定义推导圆的标准方程以及求圆的标准方程.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务读一读：阅读教材第118页到119页，填空：确定一个圆的最基本的要素是圆心和半径；圆心为点(,)a b ，半径为r 的圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=.2.预习自测（1）圆心在点(1,2)，半径为5的圆的标准方程为（ ）A.22(1)(2)5x y +++=B.22(1)(2)25x y +++=C.22(1)(2)5x y -+-=D.22(1)(2)25x y -+-=【知识点】圆的标准方程.【解题过程】由条件知1,2,5a b r ===，代入标准方程得：22(1)(2)25x y -+-=【思路点拨】熟记圆的标准方程，明确各字母的具体含义.【答案】D（2）若点(15,)M a a +在圆22(1)26x y -+=上，则实数a =（ ）A.1B. 1±C.2D.【知识点】点与圆的位置关系.【解题过程】由条件，将点M 的坐标代入圆的方程得21a =，故1a =±【思路点拨】点000(,)M x y 与圆C ：222()()x a y b r -+-=的位置关系：（1）点0M 在圆C 上⇔22200()()x a y b r -+-=；（2）点0M 在圆C 内⇔22200()()x a y b r -+-<；（3）点0M 在圆C 外⇔22200()()x a y b r -+->；【答案】B（3）已知点(1,1),(1,1)A B --，则以线段AB 为直径的圆的标准方程为（ ）A.221x y +=B. 22x y +=C. 222x y +=D. 224x y +=【知识点】圆的标准方程.【解题过程】由线段AB 为直径，所以圆心为(0,0)，半径r 圆的标准方程为222x y +=【思路点拨】求圆的标准方程就是要找出圆心坐标和半径.【答案】C（二）课堂设计1.知识回顾：（1）在直角坐标平面中确定一条直线的方法有哪些？两点可以确定一条直线；一点和倾斜角可以确定一条直线；横、纵截距可以确定一条直线等等.（2）直角坐标平面中两点间的距离公式：设点1122(,)(,)A x y B x y 、，则这两点间2.问题探究探究一 圆的定义•活动① 在直角坐标平面中，如何确定一个圆？显然，当圆心位置和半径大小确定后，这个圆也就唯一确定了.因此，确定一。

人教版高中必修2圆的标准方程教学设计《人教版高中必修2圆的标准方程教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！一、教学目标知识和能力1.学会圆的标准方程的推导方法。

2.掌握圆的标准方程并掌握其求法。

3.掌握点与圆的位置关系的判定方法。

过程和方法1.通过五个问题，引导学生理解归纳本节的主要内容，培养学生归纳整理知识的能力。

2.通过电脑演示，引导学生探究、分析图形的几何特征，再用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何的问题转化为代数问题，体现数形结合的数学思想。

3.通过具体情景，使学生逐步形成在坐标系下用坐标法解几何问题的能力，掌握自主学习的方法和形成合作学习的习惯。

情感态度和价值观1.通过教学，使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、检验等合情推理方法，提高学生运算能力和逻辑推理能力。

2.培养学生勇于探索、坚韧不拔的意志品质。

二、教学重点难点重点：圆的标准方程的推导。

难点：圆的标准方程的求法。

三、教学对象分析圆是学生比较熟悉的曲线。

在初中几何课中已经学习过圆的性质，这里只是用解析法研究它的方程与其它图形的位置关系及一些应用。

对此，教师可在课堂上通过各种教学方法，帮助学生经历如下过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题;处理代数问题;分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。

这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。

四、教学内容分析本节内容首先研究圆的标准方程的特点，和怎样根据不同条件建立圆的标准方程。

由于圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2含有三个参数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆，确定a、b、r，可以根据条件利用待定系数法解决。

还可通过分析图形的几何特征寻找圆心和半径，从而获得圆的标准方程。

点与圆的位置关系可通过点与圆心的距离判定。

以上的方法应尽可能在老师的启发引导下，由学生自己比较、归纳得到。

教学设计4．1.1圆的标准方程整体设计一、教学背景分析1．教材结构分析圆是学生比较熟悉的一类曲线，而且是一种对称、和谐的图形，具有很多优美的几何性质．本节内容首先通过圆的定义，求解圆的标准方程，进而变化出圆的一般方程，其次运用代数的方法探讨直线与圆，圆与圆的位置关系，进一步提高学生对解析几何问题研究方法的深入理解．2．教材地位与作用圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用．本节内容安排在学生学习直线方程之后，旨在更加深刻的体会曲线和方程的关系，为后继学习做好准备．同时有关圆的问题，特别是圆和直线的位置关系问题，是解析几何的基本问题．这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法．圆的方程也属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后继直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有积极的意义．所以本节内容在解析几何中起着承前启后的作用．3．学情分析学生在初中已经学习了圆的概念和基本性质，在高中又掌握了求直线方程的一般方法，但由于学生以往注重从几何的角度理解圆的性质，而且学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，尚未建立牢固的数形结合的思想，对于解析法运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难．另外学生在探索问题的能力，合作交流的意识等方面有待加强．4.教学目标(1)知识目标：①在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；②会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程．(2)能力目标：①进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力；②使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解；③增强学生用数学的意识．(3)情感目标：培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣．5．教学重点、难点(1)教学重点：圆的标准方程的求法及其应用．(2)教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程以及选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题．二、教法分析高一学生，在教师的引导下，已经具备一定探究与研究问题的能力．所以在设计问题时应考虑全面性和灵活性，采用对比、启发、探究等方式，师生共同探讨，共同参与、共同研究，让学生积极思考，主动学习．在教学过程中采取小组讨论法，向学生提供具备启发性和思考性的问题．因此，要求学生在课堂上小组讨论，然后小组汇报讨论成果，提高学生的探究、推理、想象、表达、分析和总结归纳等方面的能力．因为本节课是在学生对圆的基本性质认识的基础上，再对圆进行代数研究．针对学生的学习过程、认知水平，在遵循参与式教学的基础上，调动全班学生积极参与，认真思考，努力体现学生学习的主体性地位．在学习过程中让学生积极思考，动手计算，不仅在“思维中参与”而且在“行动中参与”，养成主动性的学习习惯．三、学法分析为了重点培养学生分析问题、解决问题的能力．因此，要求学生在学习中遇到问题时，不要急于求成，而是通过求圆的标准方程，理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆．通过推导圆的标准方程，加深用解析法求轨迹方程的理解．还要会根据问题提供的信息回忆所学知识，采用转化思想、数形结合的思想，选择最佳方案解决．四、教学基本流程及其说明结合教材与新课程标准本节课采用以下流程(一)、教师在理解教材的编写意图的基础上，应发挥主观能动性，对教材资源进行再加工、再创造，这样教学方法更有利于学生的认知结构，也有利于学生从深层次理解和掌握圆的标准方程．(二)、在整个教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机结合起来，教师的每项措施都是力求给学生创造一种思维情境，动手、动脑、动口并且主动参与学习的机会，激发学生求知欲望，促使学生在不知不觉中掌握知识，解决问题．(三)、培养思维，提高能力，激励创新在问题的设计中，利用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生注意，使能力与知识的形成相伴而行．五、教学情境设计圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，因此这节课的重点确定为用解析法研究圆的标准方程及其简单应用．首先，在已有圆的定义和求曲线方程的一般步骤的基础上，用实际问题引导学生探究获得圆的标准方程，然后，利用圆的标准方程由浅入深的解决问题，并通过圆的方程在实际问题中的应用，增强学生用数学的意识．另外，为了培养学生的理性思维，设计了由特殊到一般的学习思路，培养学生的归纳概括能力．在问题的设计中，用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意，能力与知识的形成相伴而行，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成．本节课设计了六个环节，以问题为纽带，以探究活动为载体，使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入，充分体现以教师为主导，以学生为主体的指导思想．应用启发式的教学方法把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，在解决问题的同时锻炼了思维、提高了能力、培养了兴趣、增强了信心．。

4.1.2 圆的一般方程（一）教学目标1．知识与技能（1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径，掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件.（2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程.（3）培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.2．过程与方法通过对方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.3．情感态度与价值观渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索.（二）教学重点、难点教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F.教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.备选例题例1 下列各方程表示什么图形？若表示圆，求出圆心和半径.（1）x 2 + y 2+ x + 1 = 0；（2）x 2 + y 2 + 2ac + a 2= 0 (a ≠0)；（3）2x 2 + 2y 2+ 2ax – 2ay = 0 (a ≠0). 【解析】（1）因为D ＝ 1，E ＝ 0，F ＝ 1，所以D 2 + E 2– 4F ＜0 方程（1）不表示任何图形；（2）因为D ＝ 2a ，E ＝ 0，F ＝ a 2，所以D 2 + E 2 – 4F ＝ 4a 2 – 4a 2= 0， 所以方程（2）表示点(–a ，0)；（3）两边同时除以2，得x 2 + y 2+ ax – ay = 0，所以D = a ，E = – a ，F = 0. 所以D 2 + E 2– 4F ＞0， 所以方程（3）表示圆，圆心为(,)22a a -，半径|r a =. 点评：也可以先将方程配方再判断.例2 已知一圆过P (4，–2)、Q (–1，3)两点，且在y 轴上截得的线段长为. 【分析】涉及与圆的弦长有关的问题时，为简化运算，则利用垂径直径定理和由半弦长、弦心距、半径所构成的三角形解之.【解析】法一：设圆的方程为： x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ① 将P 、Q 的坐标分别代入①得4220310D E F D E F -+=-⎧⎨--=⎩令x = 0，由①，得y 2+ Ey + F = 0 ④②③由已知|y 1 – y 2| = y 1，y 2是方程④的两根.∴(y 1 – y 2)2 = (y 1 + y 2) – 4y 1y 2 = E 2– 4F = 48 ⑤ 解②③⑤联立成的方程组，得2012D E F =-⎧⎧⎪⎪=⎨⎨⎪⎪=-⎩⎩D=-10或E=-8F=4 故所求方程为：x 2 + y 2 – 2x – 12 = 0或x 2 + y 2– 10x – 8y + 4 = 0. 法二：求得PQ 的中垂线方程为x – y – 1 = 0 ①∵所求圆的圆心C 在直线①上，故设其坐标为(a ，a – 1)， 又圆C的半径||r CP == ②由已知圆C 截y轴所得的线段长为C 到y 轴的距离为|a|.222r a =+ 代入②并将两端平方，得a 2– 5a + 5 = 0， 解得a 1 = 1，a 2 = 5.∴12r r ==故所求的圆的方程为：(x – 1)2+ y 2= 13或(x – 5)2+ (y – 4)2= 37.【评析】(1)在解本题时，为简化运算，要避开直接去求圆和y 轴的两个交点坐标，否则计算要复杂得多.（2）涉及与圆的弦长有关问题，常用垂径定理和由半弦长、弦心距及半径所构成的直角三角形解之，以简化运算.例3 已知方程x 2 + y 2 – 2(t + 3)x + 2(1 – t 2)y + 16t 4+ 9 = 0表示一个圆，求 （1）t 的取值范围；（2）该圆半径r 的取值范围.【解析】原方程表示一个圆的条件是D 2 +E 2 – 4F = 4(t + 3)2 + 4(1 – t 2)2 – 4(16t 4 + 9)＞0即7t 2– 6t – 1＜0，∴117t -<<（2）2222224224(3)(1)(169)76143167()77D E F r t t t t t t +-==++--+=-++=--+∴2160,07r r <≤<<。

4.1.1圆的标准方程教学设计1．内容和内容解析：内容：圆的标准方程。

内容解析：解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现数形结合的重要思想方法。

其中圆的标准方程的教学目标主要是：一是经历通过平面直角坐标系建立圆的代数方程的过程，在这个过程中进一步体会坐标法研究几何问题的思想和步骤；二是用两种方法求解圆的方程。

圆是解析几何中一类重要的曲线，在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质，圆的标准方程正是这一知识运用的延续，处于直线与方程和点，直线与圆的关系的结合点和交汇点上。

学好圆的方程可以为圆锥曲线的学习奠定基础，有利于学生进一步体会数形结合的思想，形成用代数法解决几何问题的能力。

也是培养学生运用能力和运算能力的重要素材。

从知识的结构和内容上都起到相当重要的作用。

2．教学目标：知识与技能（1）在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；（2）能根据圆心坐标、半径及其特殊情况熟练地写出圆的标准方程；（3）会根据条件选择并求出圆的方程；过程与方法（1）通过平面直角坐标系建立圆的代数方程的过程，让学生进一步体会坐标法在研究几何问题的思想和步骤；（2）通过类比直线方程的学习，发现并理解圆的方程与直线方程学习中相同的知识结构，进一步体会类比的思想；（3）通过求解圆标准的方程，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想；情感态度与价值观通过与直线方程的对比，体会类比思想的应用，让学生学会用联系的观点分析问题，认识事物之间的相互联系与转化；3．教学重难点：重点：（1）类比直线方程的学习，掌握圆的标准方程；难点：（1）圆的代数方程的建立过程；（2）圆的标准方程的灵活应用；落实的途径：（1）通过表格，建立直线与方程，圆与方程的结构图，在复习旧知的同时帮助学生经历坐标法建立圆的代数方程的如下过程：首先将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。

课题: “圆的标准方程”教材：高中数学第二册（上册）第七章《直线和圆的方程》中的第六节“圆的方程”教材分析的第一课时在学习了“曲线与方程“之后，作为一般曲线典型的例子，安排了本节的“圆的方程”-圆是学生比较熟悉的曲线，在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上，进一步运用解析法研究圆的方程，圆与其他图形的位置关系及其应用-同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础-也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用-同时，由于“圆的方程” 一节内容的基础性和应用的广泛性，对圆的标准方程和一般方程的要求层次是“掌握”。

遵循从特殊到一般的原则，只有把圆的标准方程学透了，再过渡到学圆的一般方程也就不难了，它们可以通过形式上的互相转化而解决。

可见圆的标准方程在“圆的方程”一节中非常重要。

依照大纲，本节分为三个课时进行教学-第一课时讲解圆的标准方程王•结合本节的内容的特点，和对学生的初步了解，我准备将这个课时分解为两个课时来完成。

第一课时主要是以轨迹思想探讨圆的标准方程，再以待定系数法求解圆方程为核心，让学生从中去体会数与形之间的关系，强化数形结合思想的运用。

二、学情分析此前，学生已经学习了“曲线的方程”和“方程的曲线”、直线方程等内容，对运用代数的方法来解决几何的问题（即解析法）有了一定的了解。

现在要运用解析法来研究另一种（学生熟悉的）几何图形一一圆，自然是水到渠成，对学生而言难度不会太大。

因此老师在教学中可以大胆的引导学生独立自主的去探索、发现所要学习的知识。

学生对待定系数法的运用会感到困难，因为圆的标准方程中的三个参数a，b，r （尤其是r）的给出形式变化很多，再加上学生对圆的许多几何性质可能都忘记了，不能灵活运用几何性质优化运算，所以通过对“待定系数法”的讲解，一方面可以复习圆的一些主要性质；另一方面还可以对代数法与几何法进行比较，使学生从中数与形的和谐美。

《圆的标准方程》说课稿说教学目标：本节课的知识目标是：理解掌握圆的定义及标准方程。

能力目标是：能根据圆的标准方程指出圆心和半径;能根据已知条件求圆的标准方程。

情感目标：培养学生勇于发现、勇于探索的精神。

说教学重难点，重点是理解掌握圆的定义及标准方程。

难点是圆的标准方程的推导说教法：本节课主要采用讲练结合法和引导发现法。

说学法：主要采用自主探究法说本节课使用的教具：主要采用多媒体教学说教学过程：一、师生问好 二、复习提问：两点间的距离公式和线段的中点坐标公式。

三、 导入新课用图片导入本节课主要内容㈠ 圆的定义圆是平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹。

㈡ 圆的标准方程222()()x a y b r -+-=㈢ 例题讲解及练习例1 写出圆22(2)(1)5x y -++=的圆心的坐标及半径． 解 方程 22(2)(1)5x y -++=可化为 []222(2)(1)x y -+--=，所以 2,1,a b r ==-=，故，圆心的坐标为(2,1)C -，半径为r =．【注意】使用公式（8.8）求圆心的坐标时，要注意公式中两个括号内都是“－”号．练习1：说出圆的圆心坐标及半径(1) (x-1)2+(y-2)2=9 (2) (x+1)2+(y+2)2=4 (3) (x-3)2+y 2=5 (4) x 2+(y+5)2=8 (5) x 2+y 2=16 (6) (x-2)2+(y+8)2=(-6)2例2 设点A(4，3)、B (6，-1)，求以线段AB 为直径的圆的标准方程。

解：所求圆的圆心为C ，则C 为线段AB 的中点，半径为线段AB 的长度的一半，即 2211(46)(31)20522r =-++==故所求圆的方程为22(5)(1)5x y -+-=．练习2：1．求以点C(-1，3)为圆心，r=3为半径的圆的标准方程．2. 求以点(-2，5)为圆心，并且过点(3， -7)的圆的标准方程强化练习1．求圆心为点C(2，-3)且过点A （5,1）的圆的标准方程．2.已知点A （1,2),B(3,0),求以AB 为直径的圆的标准方程.四、说课堂小结1.圆的定义 2.圆的标准方程五、说作业布置 读书部分：认真读教材64，65页；预习教材65—66页内容。

圆的标准方程
（人教版新课标教材《数学》必修二第四章第一节第一课）
【教学目标】
知识目标：
1、理解用解析法推导圆的标准方程的过程．
2、掌握圆的标准方程，会根据圆心和半径写出圆的标准方程．
3、会用待定系数法和坐标法求圆的标准方程．
能力目标：
1、培养学生用解析法研究几何问题的能力．
2、逐步渗透数形结合思想在解题中的应用．
3、培养学生发现问题提出问题和解决问题的能力以及团队合作精神．
情感目标：
1、培养学生合作交流的意识，感受学习乐趣，体验成功的喜悦．
2、让学生明确知识的产生过程，引导学生善于观察、发现问题，探究新知，充分调动学生的学习积极性，变被动学习为主动学习，增强数学学习兴趣．
【教学重点】
圆的标准方程
【教学难点】
会根据给定已知条件的不同，选取不同的方法求圆的标准方程．
【教具准备】
多媒体课件、学生用学案
【教学过程】
的坐标适合的条件
①
②
例1图
师生共同分析：从圆的标准方程(x–a)2 + (y–b)2 = r2可知，要确定圆的标准方程，即确定a、b、r三个参数，此处设出来标准方程之后要用
直线
【板书设计】
§4.1.1圆的标准方程
一、圆的标准方程的推导
二、圆的标准方程三、点和圆的位置关系
四、求圆的标准方程
五、课后小结。

圆的标准方程教学设计王会群一、教材分析1．教学内容普通高中课程标准实验教科书《数学》必修2第二章平面解析几何初步中2﹒2节圆与方程。

本节主要研究圆的方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，以及他们在生活中的简单运用。

2．教材的地位与作用圆是最简单的曲线之一，这节教材安排在学习了直线之后，学习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论为后继学习作好准备。

同时有关圆的问题，特别是直线与圆的位置问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法。

应此教学中应加强练习，使学生确实掌握这单元的知识和方法。

初中教材中对圆的内容降低最低要求。

本课是单元的第一课，和直线方程一样，教学中先设计一个问题情景，让学生讨论，并引导学生观察圆上点在运动时，不变的是什么，抓住圆的本质，突破难点。

3．三维目标(1)知识与技能A．掌握圆的标准方程，并根据方程写出圆的坐标和圆的半径。

B．会选择适当的坐标系来解决与圆有关的实际问题。

(2)过程与方法A.实际问题引入，师生共同探讨。

B.探究曲线方程的基本方法。

(3)情感态度与价值观培养用坐标法研究几何问题的兴趣。

4．教学重点圆的标准方程及运用5. 教学难点求圆的标准方程的条件的确定。

二．教法分析高一学生，在老师的引导下，已经具备一定探究与研究问题的能力。

所以在设计问题时应考虑周全和灵活性，采用启发式探索式教学，师生共同探讨，共同研究，让学生积极思考，主动学习。

在教学过程中采用讨论法，向学生提供具备启发式和思考性的问题。

因此，要求学生在课上讨论，提高学生的探索，推理，想象，分析和总结归纳等方面的能力。

三．学法分析从高考发展的趋势看，高考越来重视学生的分析问题解决问题的能力。

因此，要求学生在学习中遇到问题时，不要急于求成，而要根据问题提供的信息回忆所学知识，采用转化思想，数形结合的思想，选择最佳方案加以解决“瞎撞，乱撞”的不良思想。

四．教学过程项目具体内容教师活动学生活动教学意图复习复习上节课内容，思考一下几个问题什么是直线方程？确定直线方程的要素有哪些？直线方程有哪几种表达式，都是什么样的 ? 教师提问。

某某省某某市第三中学高中数学 《圆的标准方程》 教学设计 新人教版必修二2知识与技能：1、掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径；2、会用两种方法求圆的标准方程：(1)待定系数法；(2)利用几何性质教学重点：圆的标准方程教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法和几何性质求圆的标准方程。

教学过程：情境设置：问题：①圆的定义？学生回忆所学知识：①圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，确定圆的要素是圆心和半径。

问题：②如果把直线放在直角坐标系下，那么其对应的方程是二元一次方程，那么如果把一个圆放在坐标系下，其方程有什么特征？如何写出这个圆的所在的方程？二、探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。

（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M r =① 化简可得：222()()x a y b r -+-=②方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。

总结出点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（１）2200()()x a y b -+-=2r ⇔点在圆上（２）2200()()x a y b -+-<2r ⇔点在圆内（３）2200()()x a y b -+->2r ⇔点在圆外三、知识应用与解题研究（一）练习１、指出下列方程表示的圆心坐标和半径：（１）222=+y x ； （２）5)1()3(22=-+-y x ； （３）222)1()2(a y x =+++（0≠a ）。

２、写出下列圆的标准方程：（Ｐ１２０－１２１练习１、３、４）（１）圆心在Ｃ（－３，４），半径长为5；（２）圆心在Ｃ（８,－３），且经过点Ｍ（５，１）；（３）圆心在（－１，２），与y轴相切（４）以Ｐ１（４，９）、Ｐ２（６，３）为直径的圆；（５）已知△ＡＢＣ的顶点坐标分别是Ａ（４，０），Ｂ（０，３）,Ｃ(０，０),求△ＡＢＣ外接圆的方程。

《4.1.1 圆的标准方程》教案
授课时间：授课地点：授课教师：
一、教材分析:圆是解析几何中一类重要的曲线，是在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质，圆的标准方程正是这一知识运用的延续，在学习中使学生进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力，是进一步学习圆锥曲线的基础。

对于知识的后续学习，具有相当重要的意义.
二、教学目标：
1、知识与技能：①掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程;反之，
会根据圆的标方程，求圆心和半径;
②会判断点和圆的位置关系;
③会用待定系数法和几何法求圆的标准方程;
2、过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思
想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问
题、发现问题和解决问题的能力.
3、情感态度和价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习
数学的热情和兴趣.
三、内容分析：
重点：圆的标准方程的求法及其应用
难点：会根据不同的已知条件求圆的标准方程
四、教具学具的选择：多媒体、圆规、直尺、课件.
五、教学方法：采用“问题－探究”教学法.
六、教学过程：。

《圆的标准方程》教学设计《圆的标准方程》教学设计教学分析解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。

圆是解析几何中一类重要的曲线，是在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质，圆的标准方程正是这一知识运用的延续，在学习中使学生进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力，是进一步学习圆锥曲线的基础。

对于知识的后续学习，具有相当重要的意义。

另外，本节课的学习是通过由特殊到一般逐步展开的，可以进一步发展学生观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及灵活处理问题的能力。

学情分析圆是学生比较熟悉的曲线，初中曾经学习过圆的有关知识，本节之前又学习了建立直角坐标系求直线方程的方法，这些都为本节课的学习奠定的必要的基础。

再者，经过必修一、必修二的学习，高一学生对高中数学学习的基本方法也有了一定的体验和了解，具备了初步的观察、类比、归纳、概括、表达能力。

通过五种直线方程的学习，对坐标系下建立方程进行了反复训练，这些都为本节课的学习做了能力和方法上的准备。

当然，由于学生对建系求方程的方法以及圆的标准方程认识还不深刻，在探究知识的形成与方程的运用时可能会遇到一些困难，在教学中一定要关注学生反馈的信息，循序渐进的开展教学。

三维目标1．知识与技能（1）会推导圆的标准方程,掌握圆的标准方程;（2）能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程;2．过程与方法（1）进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力；（2）．使学生加深对数形结合思想的理解；（3）知识的应用及灵活处理问题能力的培养。

3．情感态度与价值观激发学生的学习兴趣.?培养学生主动探究知识、合作交流的意识，提高学生的思维能力。

??三、教学重点圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程的应用。

四、教学难点会根据不同的已知条件，会利用待定系数法和几何法求圆的标准方程。

五、课时安排 1课时六、教学过程设计问题师生活动设计意图1 直线可以用一个方程表示，那么圆可以用一个方程表示吗？我们应该怎样来建立圆的方程呢？这就是我们这节课的主要内容：圆的标准方程。

4.1.1圆的标准方程【教学目标】（一）知识与技能(1)掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程．(2)会用待定系数法求圆的标准方程．（二）过程与方法进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力．（三）情感态度与价值观通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣．【教学重点】 圆的标准方程．【教学难点】 会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程．【教学方法】 启发、引导、讨论．【教学过程】一、新课引入在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么?圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆?在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢?如果能，这个方程又有什么特征呢?二、讲授新课确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为(,)A a b ，半径为r （其中a 、b 、r 都是常数，0r ）．设(,)M x y 为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）{}P M MA r ==,由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件r =①化简可得：222()()x a y b r -+-= ②引导学生自己证明222()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论．若点(,)M x y 在圆上，由上述讨论可知，点M 的坐标适用方程②，说明点M 与圆心A 的距离为r ，即点M 在圆心为A 的圆上．所以方程②就是圆心为(,)A a b ,半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程．三、例题解析例1：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点1(5,7)M -,2(1)M -是否在这个圆上． 分析：可以从计算点到圆心的距离入手．点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）22200()()x a y b r -+->，点在圆外（2）22200()()x a y b r -+-=，点在圆上（3）22200()()x a y b r -+-<，点在圆内解：圆心是(2,3)A -半径长等于5的圆的标准方程是22(2)(3)25x y -++=．。