第七章 协方差分析

(I) group 1
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3
4
(J) group 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3
Sig. .151 .000 .000 .151 .027 .000 .000 .027 .610 .000 .000 .610
a
Based on estimated marginal means *. The mean difference is significant at the .05 level. a. Adjustment for multiple comparisons: Bonferroni.
§7 协方差分析
F 10.919 72.048 .306 10.166 1.020 Sig. .000 .000 .821 .003 .397
a. R Squared = .705 (Adjusted R Squared = .640)
满足 方差齐性
前提条件检验－回归齐性检验 Tests of Betw een-Subj ects Effects
Dependent Variable: y Type III Sum Source of Squares Corrected Model 3215.625 a Intercept 3031.128 group 38.662 x 427.707 group * x 128.732 Error 1346.275 Total 168658.000 Corrected Total 4561.900 df 7 1 3 1 3 32 40 39 Mean Square 459.375 3031.128 12.887 427.707 42.911 42.071
§7 协方差分析
案例分析
[例7-1 ]为研究A1、A2、A3、A4 等4种不同肥料 （k=4）对某果树单株产量的影响， 选择40株该果树 作试验， 把40株果树完全随机分为4组,每组包含10株 (n=10)，每组施用1种肥料。各株果树的起始干周 （x,cm）和单株产量（y, kg）数据如表所示， 试检验 4种肥料的平均单株产量是否有显著差异。 分析：试验用4种肥料分别施10株果树，各组的单株产量 y 既包含了不同肥料所引起的“自身变异”，也包含了不 同的起始干周x所引起的 “协同变异”，因此应采用协方 差分析法将“协同变异”从 y 的总变异中剔除，获得y的 “自身变异”，然后才能正确地检验4种肥料平均单株产 量是否有显著差异。
Dependent Variable: y F .265 df1 3 df2 36 Sig. .850
Tests the null hypothesis that the error variance of the dependent variable is equal across groups. a. Design: Intercept+x+group
§7 协方差分析
建立结果变量Y与协变量x的线性回归方程
Parameter Estimates Dependent Variable: y Parameter Intercept x [group=1] [group=2] [group=3] [group=4] B Std. Error 36.838 5.642 .736 .219 20.558 2.906 13.710 2.913 4.889 2.908 0a . t 6.529 3.361 7.074 4.706 1.681 . Sig. .000 .002 .000 .000 .102 . 95% Confidence Interval Lower Bound Upper Bound 25.384 48.292 .291 1.180 14.659 26.458 7.795 19.624 -1.016 10.793 . .
a. R Squared = .677 (Adjusted R Squared = .640)
该表说明：在0.05水平上，协变量对因变量有影响， 在消除协变量的影响后，各组均值有显著性差异。
§7 协方差分析
前提条件检验－正态性检验
满足 正态性
前提条件检验－独立性检验
Runs Test y1
a Test Value Cases < Test Value Cases >= Test Value Total Cases Number of Runs Z Asymp. Sig. (2-tailed)
§7 协方差分析
建立结果变量Y与协变量x的线性回归方程
回归关系分析的意义是找出结果变量(y)与协变量(x)之间 是否存在线性回归关系。计算出回归系数并对线性回归 关系进行显著性检验，若显著则说明两者间存在回归关 系。这时就可应用线性回归关系来校正y值(结果变量)以 消去协变量(x)不同对它的影响。然后根据校正后的y值 来进行方差分析。如线性回归关系不显著，则无需继续 进行分析。
y2 66 5 5 10 3 -1.677 .094
y3 58 4 6 10 5 -.211 .833
y4 54 4 6 10 3 -1.616 .106
77 5 5 10 6 .000 1.000
满足 独立性
a. Median
前提条件检验－方差齐性检验
a Lev ene's Test of Equality of Error Variances
Contrast Error
The F tests the effect of group. This test is based on the linearly independen pairwise comparisons among the estimated marginal means.
分析结果表明：在0.05水平上，各水平间均值有显著 性差异，即施用不同的肥料，单株产量有显著性差异。
§7 协方差分析
对Y修正均值进行方差分析（协方差分析表）
Tests of Betw een-Subj ects Effects Dependent Variable: y Type III Sum of Squares Source Corrected Model 3086.893 a Intercept 3280.474 x 475.993 group 2507.777 Error 1475.007 Total 168658.000 Corrected Total 4561.900 df 4 1 1 3 35 40 39 Mean Square 771.723 3280.474 475.993 835.926 42.143 F 18.312 77.841 11.295 19.835 Sig. .000 .000 .002 .000
§7 协方差分析
问题的提出
第五章介绍的方差分析属纯方差分析。为了提高试验结 果的精确性和准确性，它对处理以外的条件都采取一定 的措施加以控制，使各处理处于尽可能一致的试验条件 下，这一做法在统计上叫做试验控制。 但在有些情况下，试验控制不一定能实施。如果那些不 能很好地进行试验控制的因素是可测的，且又和试验结 果之间存在直线回归关系，那么就可利用这种直线回归 关系将各处理的观测值都矫正到初始条件相同时的状 态，使得处理间的比较能在相同基础上进行。这一做法 在统计上称为统计控制。
a. This parameter is set to zero because it is redundant.
y = 36.838 + 0.736 x
分析结果表明：线性回归关系显著。
§7 协方差分析
对Y修正均值进行方差分析
Univariate Tests Dependent Variable: y Sum of Squares 2507.777 1475.007 df 3 35 Mean Square 835.926 42.143 F 19.835 Sig. .000
§7 协方差分析
协方差分析的前提条件假定
正态性（Shaprio-Wilk检验） 独立性(Runs检验) 方差齐性（Levene’s F检验） 回归齐性（作图法）
§7 协方差分析
协方差分析的数学模型（单因素）
yij = µ y + α i + β ( xij − µ x ) + ε ij (i = 1, 2, , k ; j = 1, 2, , n)
线性回归分析
' y ij = yij − α i = µ y + β ( xij − µ x ) + ε ij
'' y ij = yij − β ( xij − µ x ) = µ y + α i + ε ij 方差分析
§7 协方差分析
协方差分析的主要步骤
确定协变量X（即未加以控制或难以控制的因素） 建立结果变量Y与协变量X之间的线性回归关系 利用回归关系把协变量X化为相等后再分析各组结果变 量Y修正均值是否有显著性差异 如果Y修正均值存在显著性差异，进行多重比较
§7 协方差分析
对Y修正均值进行多重比较
Pairwise Comparisons Dependent Variable: y Mean Difference (I-J) Std. Error 6.849 2.927 15.670* 2.919 20.558* 2.906 -6.849 2.927 8.821* 2.904 13.710* 2.913 -15.670* 2.919 -8.821* 2.904 4.889 2.908 -20.558* 2.906 -13.710* 2.913 -4.889 2.908 95% Confidence Interval for a Difference Lower Bound Upper Bound -1.337 15.035 7.505 23.834 12.431 28.686 -15.035 1.337 .700 16.942 5.562 21.857 -23.834 -7.505 -16.942 -.700 -3.245 13.023 -28.686 -12.431 -21.857 -5.562 -13.023 3.245
协方差分析的意义
§7 协方差分析
协方差是用来度量两个变量之间 “协同变异”大小的参 数，协方差的绝对值越大，两个变量相互影响越大。 1 COV ( x, y ) = ∑ ( x − x )( y − y ) n −1 协方差分析(Analysis of Covariance)是把线性回归分 析与方差分析结合起来，用于检验两个或多个修正均 数间有无显著性差异的方法。 目的是把与结果变量（结果变量）Y呈直线关系的自 变量X（协变量）化成相等后，检验两个或多个修正均 数间有无显著性差异。