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方差分析_精品文档方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种用于比较两个或更多个群体均值是否存在显著差异的统计方法。
它是一种非参数统计方法，适用于正态分布的数据，可以帮助我们理解不同因素对于观测变量的影响程度以及它们之间是否存在交互作用。
方差分析的基本原理是将总体方差拆分为组内方差和组间方差。
组间方差表示了不同群体之间的差异，组内方差则表示了同一群体内的个体差异。
通过比较组间方差与组内方差的大小，判断不同群体均值是否存在显著差异。
方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析。
单因素方差分析主要用于比较一个因素（或处理）对观测变量的影响，例如比较不同药物对于治疗效果的影响；而多因素方差分析则可以同时考虑多个因素的影响，并探究它们之间是否存在交互作用。
方差分析的基本步骤如下：1.建立假设：根据实际问题，建立相应的原假设（H0）和备择假设（H1）。
原假设通常是认为各组均值相等，备择假设则是认为各组均值不全相等。
2.收集数据：根据实验设计，对不同处理组进行观测，获取相应的数据。
3.计算统计量：计算组间方差和组内方差，进行方差分析，得到统计量（F值）。
4.判断显著性：根据计算出的F值和自由度，查找F分布表，计算出P值（显著性水平）。
5.做出结论：根据P值，结合原假设和备择假设，判断不同群体均值是否存在显著差异。
方差分析的优点在于可以同时比较多个群体均值，减少了多次独立t 检验的错误率。
此外，方差分析也可以用于研究不同因素的交互作用，帮助我们更全面地理解数据。
然而，方差分析也有一些限制。
首先，方差分析要求数据满足正态分布假设，如果数据不满足正态分布，则结果可能不准确。
其次，方差分析对样本量要求较高，特别是对于多因素方差分析，需要足够的样本量才能得到可靠的结果。
最后，方差分析只能告诉我们群体均值是否存在显著差异，而不能确定具体差异的大小，这需要通过其他统计方法进行进一步分析。
第6章方差分析6.1实验目的在现实生活中，影响具体某个事物的因素往往很多，我们常常需要正确确定哪些因素的影响是显著的，方差分析（简称为ANOV A）就是解决这一问题的有效方法。
由于方差分析在统计分析工作中，是不可或缺的关键性的一个环节，因此掌握方差分析的原理及方法使非常必要的。
本实验的目的在于利用方差分析（简称为ANOV A）来进行相关的假设检验和统计决策。
具体有以下三个方面：1.帮助学生深入了解理解方差及方差分析的基本概念，掌握方差分析的基本思想和原理。
理解总离差（SST）、组间平方和（SSR）、组内平方和或残差平方和（SSE）、组间均方差(MSR)、组内均方差(MSE)、自由度、F统计量等基本概念及其相互关系。
2.掌握方差分析的过程：One-Way过程：单因素简单方差分析过程。
在Compare Means菜单项中，可以进行单因素方差分析、均值多重比较和相对比较；General Linear Model(简称GLM)过程：GLM过程由Analyze菜单直接调用。
这些过程可以完成简单的多因素方差分析和协方差分析，不但可以分析各因素的主效应，还可以分析各因素间的交互效应。
3.增强学生的实践能力，使学生能够利用SPSS统计软件，熟练进行单因素方差分析、两因素方差分析、协方差分析等操作，初步了解多元方差分析、重复测量的方差分析等操作，激发学生学习兴趣，增强自我学习和研究的能力。
6.2实验原理6.2.1统计原理方差分析是一种通过分析样本资料各项差异的来源以检验三个或三个以上总体平均数是否相等或者是否具有显著性差异的方法。
该方法在现实统计分析中应用非常广泛。
方差分析的方法是否正确，直接影响到统计分析的正确性和决策的科学性。
统计上存在两类误差：随机误差和系统误差。
随机误差是指在因素的同一水平(同一个总体)下，样本的各观察值之间的差异。
比如，同一种颜色的饮料在不同超市上的销售量是不同的；不同超市销售量的差异可以看成是随机因素的影响，或者说是由于抽样的随机性所造成的，这类差异称为随机误差。
第6章群体间的差异比较方差分析差异比较方差分析又被称为方差分析（ANOVA），是一种用于比较两个或多个群体之间差异的统计方法。
它可以帮助我们确定群体之间是否存在显著差异，并且确定这些差异是否因为随机变异引起的。
差异比较方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析。
在本章中，我们将讨论单因素方差分析，即只包含一个自变量的情况。
单因素方差分析是一种广泛应用于实验研究和调查研究中的方法。
它的基本假设是各个群体的数据是来自于正态分布的总体，并且总体的方差相等。
差异比较方差分析的步骤如下：1.确定研究假设：首先，我们需要确定研究的目的和假设。
例如，我们可能希望比较不同教育水平的学生在考试成绩上是否存在差异。
我们的零假设可以是“不同教育水平的学生在考试成绩上没有差异”。
2.收集数据：然后，我们需要收集适当的数据。
对于单因素方差分析，我们需要至少有两个群体，并且每个群体有至少三个观察值。
例如，我们可以选择三个不同教育水平的学生，并记录他们的考试成绩。
3.计算平均值和方差：接下来，我们需要计算每个群体的平均值和方差。
平均值代表了群体的中心趋势，而方差代表了群体内部的差异程度。
在单因素方差分析中，我们还需要计算每个群体之间的方差。
4.计算方差分析统计量：然后，我们可以计算方差分析的统计量F值。
该值代表了群体间和群体内的方差之间的比值。
F值越大，说明群体间的差异较大；当F值接近于1时，说明群体间和群体内的差异大致相等。
5.检验假设：最后，我们需要使用统计软件或查找F分布表来计算F 值的p值。
如果p值小于事先设定的显著性水平（通常为0.05），我们可以拒绝零假设，并得出结论认为群体之间存在显著差异。
总结起来，差异比较方差分析是一种用于比较两个或多个群体之间差异的统计方法。
它需要满足正态分布的总体和相等方差的假设。
通过计算方差分析的统计量F值，并进行假设检验，我们可以确定群体间是否存在显著差异，从而帮助我们进行更深入的研究和分析。
统计学原理教案中的方差分析揭示学生如何使用方差分析来比较多个组之间的差异在统计学原理教案中，方差分析是一种重要的统计方法，用于比较多个组之间的差异。
它能够帮助学生有效地分析数据，并得出准确的结论。
本文将从方差分析的基本原理、应用步骤及实例等方面揭示学生如何运用方差分析来比较多个组之间的差异。
一、方差分析的基本原理方差分析是一种通过比较组内和组间变异来推断组间差异是否显著的统计方法。
其基本原理是基于对总差异的分解，将总方差分解为组内方差和组间方差，通过计算组间方差和组内方差的比值F值，来判断组间差异是否显著。
二、方差分析的应用步骤1. 确定研究目的：首先需要明确研究目的，确定要比较的不同组别。
2. 收集数据：根据研究目的，收集各个组别的相关数据。
3. 建立假设：根据实际情况，建立相应的假设，如原假设（组间差异不显著）和备择假设（组间差异显著）。
4. 计算方差分析：通过计算总平方和、组间平方和和组内平方和，得出F值。
5. 判断显著性：根据给定的显著性水平和自由度，查表比较计算得到的F值，判断组间差异是否显著。
6. 提出结论：根据判断结果，给出相应的结论，并解释统计结果的实际意义。
三、方差分析的实例以某校学生英语成绩为例，我们希望比较三个班级之间的平均成绩是否存在差异。
我们先收集了三个班级的英语成绩数据，按照上述步骤进行方差分析。
1. 确定研究目的：比较三个班级之间的平均成绩差异。
2. 收集数据：收集了A班、B班和C班的英语成绩数据。
3. 建立假设：假设各班级之间的平均成绩没有显著差异（原假设），备择假设为各班级之间的平均成绩存在显著差异。
4. 计算方差分析：计算总平方和、组间平方和和组内平方和，得出F值。
5. 判断显著性：根据给定的显著性水平和自由度，查表比较计算得到的F值，判断组间差异是否显著。
6. 提出结论：根据统计结果，如果计算得到的F值大于临界值，即可推翻原假设，认为各班级之间的平均成绩存在显著差异；反之，我们无法推翻原假设，即认为各班级之间的平均成绩没有显著差异。
方差分析方法的比较方差分析是一种广泛应用于统计学中的方法，用于比较两个或多个群体之间的差异性。
近年来，社会科学领域中越来越多的研究者开始使用方差分析方法，但是同时也出现了很多其他的方法，并且每种方法都有其优缺点。
本文将对比几种不同的方差分析方法，以期能够帮助使用者更好地选择适用于自己研究的方法。
一、单因素方差分析单因素方差分析是最常见的一种方差分析方法，主要用于比较两个或多个群体在一个因素下的差异性。
例如，在一个心理学实验中，想要比较不同教育背景的学生在完成一个困难任务时所花费的时间是否有所不同，就可以使用单因素方差分析来进行比较。
单因素方差分析的优点在于简单易用，适用范围广泛。
同时，它还可以通过多个组合因素来进行协作。
然而，单因素方差分析也存在一些缺点。
例如，当因素较多时，它就不再适用。
此外，在不同条件下，虽然不同组别的差异显著，但是考虑到一些随机因素而无统计意义。
二、重复测度方差分析重复测度方差分析是一种常用的方差分析方法，主要用于比较同一群体在不同时间或不同情况下的差异性。
例如，在一个医学实验中，想要比较同一患者在接受不同治疗方案的情况下血压值的变化，就可以使用重复测度方差分析进行比较。
重复测度方差分析的优点在于可以减少测量误差，提高测试的稳定性。
此外，由于样本中存在了自身控制组，更容易发现实验组中出现的重要特征。
重复测度方差分析也存在一些缺点。
例如，如果要比较的两个时间之间的差异很小，则可能会导致拒绝零假设。
另外，重复测度方差分析所得到的结果比较关注群体的平均水平，而较少关注个体信息。
三、协方差分析协方差分析是一种常用的方差分析方法，主要用于比较两个或更多个因素之间的交互作用。
例如，在一个心理学实验中，想要比较学生的性别和教育背景对完成一个任务的影响，就可以使用协方差分析进行比较。
协方差分析的优点在于可以更深入地理解因素的交互作用。
此外，它比较灵活，因此可以适用于多个变量的情况。
然而，协方差分析也存在一些缺点。
方差分析与组间差异的检验在统计学中，方差分析（ANOVA）是用于比较两个或多个组之间差异的一种常用方法。
它可以帮助我们确定不同组之间的均值是否存在显著差异。
本文将介绍方差分析的基本原理和步骤，以及如何进行组间差异的检验。
1. 方差分析的基本原理方差分析是基于总体均值之间的差异进行推断的一种统计方法。
它主要分为单因素方差分析和多因素方差分析两种类型。
单因素方差分析适用于只有一个自变量（因素）的情况，而多因素方差分析适用于有两个或以上自变量的情况。
在进行方差分析时，我们需要将观察数据分为若干个组，然后计算每个组的平均值。
之后，我们需要计算总体均值和组内均值，以及组间均值的平方和组内均值的平方。
通过比较组间均值与组内均值的差异，我们可以推断不同组之间是否存在显著差异。
2. 方差分析的步骤方差分析通常包括以下步骤：（1）建立假设：首先，我们需要明确研究的问题，并提出相应的原假设（H0）和备择假设（H1）。
原假设通常是指不同组之间不存在显著差异，备择假设则相反。
（2）计算统计量：接下来，我们需要计算方差分析的统计量，称为F统计量。
F统计量是组间均值方差与组内均值方差之比。
（3）确定显著性水平：我们还需要确定显著性水平，通常以α表示。
常用的显著性水平有0.05和0.01，分别对应于5%和1%的显著性水平。
（４）做出判断：根据计算得到的F统计量和设定的显著性水平，我们可以判断是否拒绝原假设。
如果计算得到的F值大于临界值，我们可以拒绝原假设，认为组间存在显著差异；反之，如果计算得到的F 值小于临界值，我们则不能拒绝原假设。
3. 组间差异的检验一旦我们判断出组间存在显著差异，接下来可以进一步进行组间差异的检验，以确定具体哪些组之间存在差异。
常用的方法包括事后比较、配对比较和多重比较。
事后比较即对全部组进行两两比较，从而找到具体存在显著差异的组合；配对比较用于比较两个相关的变量之间的差异；多重比较适用于同时进行多个比较的情况，可以帮助我们找到全局的显著差异。
第6章 方差分析一、单项选择题1. 方差分析是对多个正态总体（ ）这一假设进行检验的。
A.方差相等 B.方差相异 C.均值相等 D.均值不等2.方差分析使用的统计量是F （ ）A.是正态分布B.是正偏态分布C.是负偏态分布D.取值小于03.设单因素方差分析中随机误差项离差平方和为125，水平项离差平方和为375，则总离差平方和为（ ）A.250B.125C.375D.5004.在单因素方差分析中，已知总离差平方和SST 的自由度为24，水平项离差平方和SSA 的自由度为7，则误差项离差平方和SSE 的自由度为（ ） A.17 B.24 C.7 D.315.()()11--r k 在无交互作用的双因素方差分析中是指（ ） A.总离差平方和SST 的自由度 B.行因素离差平方和SSB 的自由度 C.列因素离差平方和SSA 的自由度 D.随机误差项离差平方和SSE 的自由度6. ()()11--r k 在有交互作用的双因素方差分析中是指（ ）A.行因素离差平方和SSB 的自由度B.列因素离差平方和SSA 的自由度C. 随机误差项离差平方和SSE 的自由度D.交互作用离差平方和SSBA 的自由度 7.在单因素方差分析中，为了度量分类型自变量与数量型因变量之间的关系强度，可以用R2来反映，这里（ ）A.SSE SSA R=2B.SST SSA R =2C.SST SSE R =2D. SSASSE R =2二、多项选择题1. 方差分析的基本假定有（ ）A.总体都服从正态分布B.每个总体都服从非正态分布C.每个总体的方差σ2都是相同的 D.每个总体的方差σ2不相同E.观测值是独立的2.一个单因素方差分析问题中，因素A 有4个水平，每个水平下的样本容量为5，则下列说法正确的是（ ） A.检验的原假设为μμμμ4321:===H B.检验的临界值为()5,4F αC. 检验的原假设为μμμμμ54321:====H D. 检验的临界值为()16,3F αE.检验的统计量为163SSE SSA F =3.单因素方差分析中，因素A 的水平为5，每个水平下的样本容量为6，SST=120，SSA=75，则以下正确的是（ ）A ．SST 的自由度=29 B.SSA 的自由度=4 C. SSE 的自由度=25D.MSE=1.8E. F=10.424.一个因素A 有6个水平、因素B 有4个水平的无交互作用的双因素方差分析中，以下说法正确的是（ ）A.数据共有24个B.SSE 的自由度=15C.SSA 的自由度=6D.SST 的自由度=23E.SST=SSA+SSB+SSE5.一个因素A 有7个水平、因素B 有8个水平的无交互作用双因素方差分析中，SST=225，SSA=78，SSB=140，则以下说法正确的是（ ）A.SSE=2B.SSE=7C.F A =78D.MSE=0.1667E. F A =13 6.一个行变量有4个水平、列变量有3个水平、行变量中每一个水平的行数为2的有交互作用双因素方差分析中，SST=5521，SSR= 4780，SSC= 37，SSRC=337，则下列说法正确的是（ ）A.SSE=367B.SSR 的自由度=3C.SSC 的自由度=2D.SSRC 的自由度=6E.SSE 的自由度=127.方差分析中，随机误差项SSE 的自由度（ ）A.在单因素方差分析中为r n -B.在无交互作用的双因素方差分析中为()1-m krC.在无交互作用的双因素方差分析中为()()11--r kD.在有交互作用的双因素方差分析中为()1-m krE.在有交互作用的双因素方差分析中为()()11--r k8.对于单因素方差分析来说，方差分析的基本假定可以表述为（ ） A.n 个数据来源于n 个正态总体 B.因素A 的r 个水平相当于r 个正态总体 C.n 个正态总体的方差是相同的 D.r 个正态总体的方差是相同的 E.r 个正态总体中抽取的容量为nj的随机样本是相互独立的9.对于无交互作用双因素方差分析来说，方差分析的基本假定可以表述为（ ） A.r 个列水平相当于r 个正态总体 B.k 个行水平相当于k 个正态总体 C.kr 个数据来自于kr 个正态总体 D.kr 个正态总体的方差是相同的E.kr 个正态总体中抽取的容量为1的随机样本是独立的10.对于有交互作用的双因素方差分析来说，方差分析的基本假定可以表述为（ ） A. kr 个数据来自于kr 个正态总体 B. kr 个水平的组合相当于kr 个正态总体 C. kr 个正态总体的方差是相同的 D. kr 个正态总体中抽取的容量为1的随机样本是独立的 E. kr 个正态总体中抽取的容量为m 的随机样本是独立的 三、填空题1. 方差分析认为数据间的差异来自________________和_________________。
1第6章⽅差分析1第6章⽅差分析⽅差分析是R. A. Fister 发明的，⽤于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验. 由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状，造成波动的原因可分成两类，⼀是不可控的随机因素，另⼀是研究中施加的对结果形成影响的可控因素. ⽅差分析的基本思想是：通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献⼤⼩，从⽽确定可控因素对研究结果影响⼒的⼤⼩.6.1 单因素⽅差分析我们把在实验中或在抽样时发⽣变化的“量”称为因素或因⼦. ⽅差分析的⽬的就是分析因⼦对实验或抽样的结果有⽆显著影响. 如果在实验中变化的因素只有⼀个，这时的⽅差分析称为单因素⽅差分析；在实验中变化的因素不只⼀个时，就称多因素⽅差分析. 双因素⽅差分析是多因素⽅差分析的最简单情形.因⼦在实验中的不同状态称作⽔平. 如果因⼦A 有r 个不同状态，就称它有r 个⽔平. 我们针对因素的不同⽔平或⽔平的组合，进⾏实验或抽取样本，以便了解因⼦的影响. 当⽅差分析的影响因⼦不唯⼀时，必要注意这些因⼦间的相互影响. 如果因⼦间存在相互影响，我们称之为“交互影响”；如果因⼦间是相互独⽴的，则称为⽆交互影响. 互影响有时也称为交互作⽤，是对实验结果产⽣作⽤的⼀个新因素，分析过程中有必要将它的影响作⽤也单独分离开来.6.1.1 单因素⽅差分析的模型假设设某单因素A 有r 种⽔平：1A ，2A ，…，r A ，在每种⽔平下的试验结果服从正态分布2(,)i N µσ（1,2,,i r = ）. 在各⽔平下分别独⽴做了i n （1,2,,i r = ）次试验，所得数据见表，其中ij x 表⽰表⽰第i 种⽔平下第j 个试验数据. 判断因素A 对试验结果是否有显著影响. 这⾥我们假定各种⽔平下的试验结果有相同的标准差σ. 单因素⽅差分析问题可以归结为以下的假设检验: 012:r H µµµ=== 1:H 12,,,r µµµ 不全相等表6-1 单因⼦试验表6.1.2 单因素⽅差分析的原理如何检验统计假设0H ?⼀般情况下，1µ，2µ，，r µ不全相同将反映在ij x (1,2,,;i r = 1,2,,)i j n = 取值的⼤⼩不同上，这时离差211()in r ij i j S x x ===?∑∑也⽐较⼤. 其中111in r ij i j x x n ===∑∑，1ri i n n ==∑. 但是我们还不能只从S ⽐较⼤就断定1µ，2µ，，r µ不全相同，因为在1µ，2µ，，r µ全相同时，由于试验中的随机误差影响，S 也可能取⽐较⼤的值. 为了区别这两种情况，先把离差S 作⼀个分解. 令 11in i ijj ix xn ==∑2112112211111122111()()()()2()()()()ii ii iin rT ij i j n rij i i i j n n n rr r ij i i ij i i i j i j i j n rrij i i i i j i S x x x x x x x x x x x x x x x x n x x ==============?=?+?=?+?+??=?+?∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ (5. 1)记上式分解的第⼀项为e S ，第⼆项为A S . 211()i n r e ij i i j S x x ===?∑∑ ， 1(rA i i i S n x x ==?∑有T A e S S S =+即总离差T S 等于组内误差e S 与组间离差A S 之和.下⾯分析e S : 对任⼀指定的1i r ≤≤，21()in ij i j x x =?∑是⽔平i A 下试验数据的离差，是由随机因素造成的. e S 是所有⽔平下离差的和，因⽽也是由随机因素造成的.形成A S 除了随机因素外，如果1µ，2µ，，r µ不全相同，这个差异也要从A S 反映出来，⼀般A S 取⽐较⼤的值. 因此，将A S 和e S ⽐较，如果A S 不太⼤，我们只能认为A S 是由试验的随机误差形成的，从⽽接受0H ；如果A S 太⼤，我们便有理由怀疑A S 完全是由试验的随机误差形成的，认为1µ，2µ，，r µ不全相同，从⽽拒绝0H . 我们将⽤形如A e S c S ??>的判别区域，c 由预先给定的信度α确定. 给定α后，需要计算统计量AeS S 在0H 为真时的分布. 可以证明，在0H 为真时，(1,)1A e S n p F p n p p S ～. 即1AeS n p p S ??服从参数为1p ?和n p ?的F 分布. 只需从F 分布表，查(1,)F p n p α??，使((1,))P F p n p αηα>??=. 其中(1,)F p n p η??～.最后得到的检验⽅法是: 若(1,)1AeS n p F p n p p S α??>，就拒绝0H ，否则接受0H图6-1. (4,10)F 时的F 曲线和0.05α=时的临界值6.1.3 单因素⽅差分析表对上⼀⼩节的分析进⾏总结，得到单因素⽅差分析表6-2. 表6-2 单因素⽅差分析表3若0.01(1,)F F r n r α>??，称因素A 对试验结果有⾮常显著的影响，⽤“* *”号表⽰；若0.050.01(1,)(1,)F r n r F F r n r α??<6.2 利⽤SPSS 进⾏单因素⽅差分析6.2.1 SPSS ⽅差分析对数据的要求应⽤⽅差分析对数据进⾏统计推断之前应注意样本分布的正态性，即偏态分布样本不宜⽤⽅差分析. 对偏态分布的样本应考虑⽤对数变换、平⽅根变换、倒数变换、平⽅根反正弦变换等变量变换⽅法变为正态或接近正态分布的数据后再进⾏⽅差分析.在⽅差分析的F 检验中，是以各个实验组内总体⽅差齐性（⽅差相等）为前提的，因此，按理应该在⽅差分析之前，要对各个实验组内的总体⽅差先进⾏齐性检验. 如果各个实验组内总体⽅差为齐性，⽽且经过F 检验所得多个样本所属总体平均数差异显著，这时才可以将多个样本所属总体平均数的差异归因于各种实验处理的不同所致；如果各个总体⽅差不齐，那么经过F 检验所得多个样本所属总体平均数差异显著的结果，可能有⼀部分归因于各个实验组内总体⽅差不同所致.但是，⽅差齐性检验也可以在F 检验结果为多个样本所属总体平均数差异显著的情况下进⾏，因为F 检验之后，如果多个样本所属总体平均数差异不显著，就不必再进⾏⽅差齐性检验.在使⽤SPSS 进⾏⽅差分析时，要求因⼦变量值为整数，⽽因变量应为定量变量（区间测量级别）. SPSS 对于偏离正态的样本数据也是稳健的. 各组数据应来⾃⽅差相等的总体.6.2.2 SPSS ⽅差分析过程⽤SPSS 进⾏⽅差分析时，选项如图 .图 6-2 SPSS ⽅差分析的选项这些选项的含义如下:描述性：计算每组中每个因变量的个案数、均值、标准差、均值的标准误、最⼩值、最⼤值和95%的置信区间.固定和随机效果：显⽰固定效应模型的标准差、标准误和95%置信区间，以及随机效应模型的标准误差、95%置信区间和成分间⽅差估计.⽅差同质性检验：计算Levene 统计量以检验组间⽅差是否相等. 该检验独⽴于正态分布的假设.Brown-Forsythe ：指采⽤Brown-Forsythe 分布的统计量进⾏的各组均值是否相等的检验.Brown-Forsythe分布也近似于F分布，但采⽤Brown-Forsythe检验对⽅差齐性没有要求，所以当因变量的分布不满⾜⽅差齐性的要求时，采⽤Brown-Forsythe检验⽐F检验更稳妥。
