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研究生统计学讲义方差分析

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研究生数理统计实验报告(方差分析+回归分析)

研究生数理统计实验报告(方差分析+回归分析)

《数理统计》实验报告学院：班级：学号：姓名：日期：实验成绩：评阅人：实验一：单因素方差分析一．实验内容在1990 年秋对“亚运会期间收看电视的时间”调查结果如下表所示。

问：收看电视的时间比平日减少了（第一组）、与平日无增减（第二组）、比平日增加了（第三组）的三组居民在“对亚运会的总态度得分”上有没有显著的差异？二．实验步骤1.打开excel（2010版），输入数据2.点击“数据”→数据分析→单因素分析3.输出结果三．实验结果从上述软件结果可知，p-value为0.0001<0.01,所以在1%的显著性水平下，拒绝原假设，即三组居民在“对亚运会的总态度得分”上有显著的差异。

实验二：双因素方差分析（无交互作用）一．实验内容从由五名操作者操作的三台机器每小时产量中分别各抽取1 个不同时段的产量，观测到的产量如表6-31所示。

试进行产量是否依赖于机器类型和操作者的方差分析。

二．实验步骤1.打开excel（2010版），输入数据2.点击“数据”→数据分析→无重复双因素分析3.输出结果三．实验结果因操作者因素的P-value值为0.0122，在5%显著性水平下，差异显著；机器因素的P-value值为0.0004，在1%显著性水平下，差异显著，说明产量依赖于机器类型和操作者。

可以通过培训操作者提高其工作效率，或者选择高效率的机器来提高总产量。

实验三：双因素方差分析（有交互作用）一．实验内容为了从3种不同原料和3种不同温度中选择使酒精产量最高的水平组合，设计了两因素实验，每一水平组合重复4次，结果如下表，试进行方差分析。

二．实验步骤1.打开excel（2010版），输入数据2.点击“数据”→数据分析→有重复双因素分析3.输出结果三．实验结果因原料因素的P-value值为0.0000，所以在1%显著性水平下，原料对产量影响显著；温度因素的P-value值为0.0001，所以在1%显著性水平下，温度对产量影响显著；原料*温度因素的P-value值为0.0861，所以在10%显著性水平下，原料和温度的交互作用对产量影响显著。

统计学第12讲 第12章 方差分析概论

统计学第12讲 第12章 方差分析概论

18
方差估计值 34.62 5.19
df2
F比率 6.67
df1 单侧P 2
0.01
0.05
8.29
4.41
6.67>3.55, 所以按照0.05拒绝H0，三个总体平均数 不同，不是来自一个总体。 请问：这个问题是否到此就结束了？
1. 事前比较或者计划比较：如果想在研究前进行比 较，可使用事前检验而不用做方差分析。
SS组间
( X i )2

( X 总 )2
df1
105.8 F 2.678 39.5
2.678 ＜4.41，不拒绝H0。结论与前面的 t 检验一致。 注意：当组间自由度=1时，F=t2 ,2.678=1.6362
12.4 方差分析的基本思想 1. 总方差分为 组间方差 + 组内方差 a. 组间方差：由于受到实验处理，包括自变量以及 混杂因素影响而产生的系统差异，这些变量引起因 变量的变化。 b. 组内方差：由个体差异和非控制因素引起的因变 量的变化。精良的设计需要使这个方差最小化。 2. H0: μ1=μ2…=μk 什么意思？ 所有样本来自一个总体。 3. H1: μ1,μ2,…,μk 不全相等 所有样本不是来自一个总体。 什么意思？
方差分析(analysis of variance)
对多个样本进行比较并评估其显著性时，可以克服 t 检验存在的问题。它能够帮助我们回答一个问题：是 否可用一个总的指标说明实验处理导致各个不同组间 的平均数有差异？ 12.2 平方和的概念
ˆ2 S
( X X )2 n1

X
2
X
SS X 2
SS总= SS组内 +
( X )2 n
SS组间
方差分析讲义统计学原理

方差分析讲义统计学原理


鸡饲料试验数据
ห้องสมุดไป่ตู้饲料A
鸡 重（克）
A1 1073 1009 1060 1001 1002 1012 1009 1028 A2 1107 1092 990 1109 1090 1074 1122 1001
A3 1093 1029 1080 1021 1022 1032 1029 1048
本例中，我们要比较的是三种饲料对鸡的增肥 作用是否相同。为此，我们把饲料称为因子，记为 A，而三种不同的配方称为因子A的三个水平，记为 A1, A2, A3，使用配方Ai下第 j 只鸡60天后的重量用 yij表示，i=1, 2, 3, j=1, 2,, 10。
方差分析的应用条件
（1）各观测值相互独立，并且服从正态分布； （2）各组总体方差相等，即方差齐性。
方差分析的用途
1 用于两个或多个均数间的比较 2 分析两个或多个因素的交互作用 3 回归方程的假设检验 4 方差齐性检验
第二节 单因素方差分析 完全随机设计资料的方差分析
一、完全随机设计 完全随机设计是采用完全随机化的分组方法，
③组内变异（同一处理组内部试验数据大小不等）
用组内离均差平方和 SS 组内 来表示。
g ni
SS组内 （Xij Xi)2 i1 j1
三个变异之间的关系：
S总 SS组 S 间 S组 S 内
v总v组间 v组内
其中： v总N1 v组间g1 v组内Ng
离均差平方和只能反映变异的绝对大小。变异程 度除与离均差平方和的大小有关外，还与其自由度有 关，由于各部分自由度不相等，因此各部分离均差平 方和不能直接比较，须除以相应的自由度，该比值称 均方差，简称均方（MS）。
我们的目的是比较三种饲料配方下鸡的平均重 量是否相等，为此，需要做一些基本假定，把所研 究的问题归结为一个统计问题，然后用方差分析的 方法进行解决。
统计学之方差分析

统计学之方差分析

执行方差分析
使用Python的方差分析库（如SciPy）进行方差分析，如 “scipy.stats.f_oneway()”。
查看结果
Python将输出方差分析的结果，包括F值、p值、效应量等。
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详细描述
独立性检验可以通过卡方检验、相关性检验 等方法进行。如果数据不独立，需要考虑数 据的相关性和因果关系等因素，以避免误导 的分析结果。
06 方差分析的软件实现
SPSS软件实现
导入数据
将数据导入SPSS软件中，选择正确的数 据类型和格式。
查看结果
SPSS将输出方差分析的结果，包括F值、 p值、效应量等。
03 方差分析的步骤
数据准备
01
02
03
收集数据
收集实验或调查所需的数 据，确保数据来源可靠、 准确。
数据筛选
对异常值、缺失值等进行 处理，确保数据质量。
数据分组
根据研究目的，将数据分 成不同的组或处理水平。
建立模型
确定因子
确定影响因变量的自变量或因子。
建立模型
根据因子和因变量的关系，建立合适的方差分析模型。
统计学之方差分析
目 录
• 方差分析简介 • 方差分析的数学原理 • 方差分析的步骤 • 方差分析的应用场景 • 方差分析的注意事项 • 方差分析的软件实现
01 方差分析简介
方差分析的定义
• 方差分析（ANOVA）是一种统计技术，用于比较两个或多个 组（或类别）的平均值差异是否显著。它通过对总体平均值的 假设检验来进行数据分析，以确定不同条件或处理对观测结果 是否有显著影响。
执行方差分析
在SPSS的“分析”菜单中选择“比较均值” 或“一般线性模型”中的“单变量”，然 后选择需要进行方差分析的变量。
生物统计学课件方差分析一

生物统计学课件方差分析一

详细描述
例如，研究不同品种的玉米在不同施肥条件下产量的差异。通过单因素方差分析 ，可以判断不同品种的玉米在相同施肥条件下是否存在显著产量差异。
双因素方差分析实例
总结词
用于比较两个分类变量与一个连续变量的关系
详细描述
例如，研究不同饲料类型和不同饲养密度对猪生长速度的影响。通过双因素方差分析，可以判断饲料类型和饲养 密度对猪生长速度是否存在显著影响。
判断差异显著性
根据F值和概率P值判断各组间是否 存在显著差异。通常，如果P值小于 预设的显著性水平（如0.05），则认 为各组间存在显著差异。
如果拒绝零假设，则需要进行进一步 的组间比较或使用其他统计方法来了 解差异的性质和方向。
04 方差分析的应用实例
单因素方差分析实例
总结词
用于比较一个分类变量与一个连续变量的关系
02 方差分析的数学模型与假 设检验
方差分析的数学模型
数学模型建立
方差分析通过建立数学模型，将 多组数据之间的差异分解为组间 和组内两部分，以评估各组之间 的差异是否具有统计学显著性。
线性模型
方差分析所使用的数学模型通常是 线性模型，将数据的变化与自变量 关联起来，以解释和预测因变量的 变化。
模型假设
方差齐性
各组数据的方差应大致相等，避免 出现极端值或离群点。
03
02
正态性
数据应符合正态分布，否则可能需 要采用其他统计方法。
样本量
确保样本量足够大，以提高统计检 验的效能和准确性。
04
方差分析的局限性
前提假设严格 交互作用 多元比较
Байду номын сангаас异常值影响
方差分析的前提假设较为严格，如正态分布、方差齐性和独立 性等，如果不能满足这些假设，结果可能不准确。
《方差分析讲义》课件

《方差分析讲义》课件


双因素方差分析
介绍双因素方差分析，该方 法用于比较两个因素对一个 变量的影响，以及它们之间 的交互作用。
单因素方差分析
1 单因素方差分析的基本原理
解释单因素方差分析的基本原理，包括组内变异和组间变异的比较。
2 单因素方差分析中的F检验
介绍单因素方差分析中的F检验，用于判断组间差异是否显著。
3 单因素方差分析的应用举例
提供一些实际应用中的单因素方差分析案例，展示其在不同领域的应用。
双因素方差分析
双因素方差分析的基本原理
解释双因素方差分析的基本原理， 包括主效应和交互作用效应。
双因素方差分析中的交互 作用效应
讨论双因素方差分析中的交互作 用效应，即两个因素共同影响一 个变量。
双因素方差分析的应用举例
给出一些实际应用中的双因素方 差分析案例，展示其在研究中的 重要性。
方差分析在实际应用中的研究方向
展望方差分析在实际应用中的研究方向，如新的数据分析方法和技术。
方差分析的未来发展趋势
讨论方差分析的未来发展趋势，如与其他统计方法的整合和自动化分析工具的应用。
《方差分析讲义》PPT课 件
方差分析讲义是一份用于PPT演示的课件，主要介绍了方差分析的基本概念、 原理、应用以及局限性。
什么是方差分析
方差分析的基本概念
解释方差分析是一种统计方 法，用于比较两个或多个样 本间的差异。
单因素方差分析
介绍单因素方差分析，该方 法用于比较一个因素（组别） 对一个变量的影响。
方差分析的局限性
1
方差分析的局限性与注意事项
2
介绍方差分析的局限性和注意事项，帮
助用户正确解读结果。
3
方差分析的前提条件
第五章方差分析[统计学经典理论]

第五章方差分析[统计学经典理论]

第五章方差分析•如果要检验两个总体的均值是否相等，我们可以用t检验。

当要检验多个总体的均值是否相等，则需要采用方差分析。

•方差分析是R.A.Fister发明的，它是通过对误差的分析研究来检验两个或多个正态总体均值间差异是否具有统计意义的一种方法。

•由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动，造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果造成影响的可控因素，方差分析认为不同处理组的均值间的差异基本来源有两个：•组内差异：由随机误差造成的差异，用变量在各组的均值与该组内变量值之差平方和的总和表示，记作SSE。

•组间差异：由因素中的不同水平造成的差异，用变量在各组的均值与总均值之差平方和的总和表示，记作SSA。

•方差分析的基本思想是：通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。

•方差分析的三个条件：•被检验的各总体均服从正态分布；•各总体的方差皆相等；•从每一个总体中所抽出的样本是随机且独立的；方差分析的基本步骤：建立原假设H0：两个或多个总体均值相等。

将各不同水平间的总离差分成两个部分：组间差异SSA组内差异SSE构造检验统计量： F= MSA / MSE判断：在零假设为真时，F～F[(k-l),(n-k)]的F分布。

若各样本平均数的差异很大，则分子组间差异会随之变大，而F值也随之变大，故F检验是右尾检验。

当检验统计量F大于临界值时则拒绝原假设；或者根据 p值来判断，若p<α，则拒绝原假设§5.1 单因素方差分析（One-Way ANOVA过程）One-Way ANOVA过程用于进行两组及多组样本均数的比较，即成组设计的方差分析，如果做了相应选择，还可进行随后的两两比较，甚至于在各组间精确设定哪几组和哪几组进行比较。

5.1.1 界面说明【Dependent List框】选入需要分析的变量，可选入多个结果变量（应变量）。

生物统计学 第三讲 方差分析-2014

生物统计学 第三讲 方差分析-2014


3. 2 随机区组设计方差分析 randomized block design
例3. 2 8个小麦品种对比试验，在3个地块上进行，记录规定面
积产量（kg）数据如下表，试检验8个品种产量间有无差异。
品种
区组
B1 B2
B3
A1 10. 9 11. 3 12. 2 A2 10. 8 12. 3 14. 0 A3 11. 1 12. 5 10. 5 A4 9. 1 10. 7 11. 1 A5 11. 8 13. 9 14. 8 A6 10. 1 10. 6 11. 8 A7 10. 0 11. 5 14. 1 A8 9. 3 10. 4 12. 4
2、试验因素(experimental factor)
试验中所研究的影响试验指标的因素叫试验因素。 如研究如何提高猪的日增重时，饲料的配方、猪的品 种、饲养方式、环境温湿度等都对日增重有影响，均 可作为试验因素来考虑。
当试验中考察的因素只有一个时，称为单因素试 验；
若同时研究两个或两个以上的因素对试验指标的 影响时，则称为两因素或多因素试验。试验因素常用
x x 实验 对照 及其标准误差 S试验、对照 = MS误差 (１/n试验+１/n对照) x x 可证明，当 实验, 对照 来自同一总体（即μ试验=μ对照）
x x q′=（ 实验 对照）/ S试验、对照 ~ q′（df误差,a）分布
其中，a 的意义同 SNK 法。 在例3. 1中，不妨设A1饲料为对照组，经 Dunnett 法检验，由
• 方差分析： 如果处理因素没有作用，组间均方和组内均方应该 相等。即使由于抽样误差的存在，两者也不应相差 太大。建立统计量F
F MS组间 MS组 内
F服 从F (v组间, v组内么p ，差别有显著性，处理 因素有作用； 如果F F (v1, v2)，那么p ，差别无显著性，处理 因素无作用。
生统8-第六章 方差分析1

生统8-第六章 方差分析1


k
n
2 ( x x ..) ij i 1 j 1 k n
k
n
平方和与自由度的分解
( xij xi. xi x..)2
i 1 j 1
k n
[(xij xi. ) 2 2( xij xi. )(xi x..) ( xi x..)2 ]
2 i 1 j 1 k
k
n
2
( xij xi. ) n ( xi. x..)
2 i 1 j 1 i 1
2
SSe
SSt
其中
n ( xi. x..)2
i 1
k
称为处理间平方和，记为SSt，即
而
( x
i 1 j 1
k
n
SSt n ( xi. x..)
表6-1 每组具n个观测值的k组样本数据资料
处理
A1 x11 x12
A2 x21 x22
… … …
Ai xi1 xi2
… … …
Ak xk1 xk2
重 复
… x1j
… x1n
… x2j
… x2n
T2.
… …
… … … …
…
… …
… … … …
… xkj
… xkn
Tk.
T=∑∑ xij
xij
… xin
(二)总自由度的分解 在计算总平方和时，资料中的各个观察值要 受 ( x x ) 0 这一条件约束，总自由度等于 资料中观察值的总个数减一，即nk-1。
k n i 1 j 1 ij i.

k
总自由度记为dfT，则 dfT =nk-1 。
在计算处理间平方和时，各处理均数要受
研究生应用数理统计课件-第4章 方差分析

研究生应用数理统计课件-第4章 方差分析


r ni
(1) 总平方和
TSS
∑ ∑ =
( yij − y)2
i=1 j=1
它是观察到的每个数据与总平均的差异 总和，表示因变量总的变化。
TSS衡量了全部 yij 的差异，它越大则说明yij 之间的差异越大。产生TSS的原因只有两个：
(1). 因子不同的水平，即 β1 ，…，βr 的差异；
(2). 随机误差。
常见的方差分析主要有： 单因素方差分析，双因素方差分析， 多因素方差分析。
4.1 方差分析的数学模型
响应变量(因变量)： 进行随机试验所考察的数值指标；
因素或因子(自变量) ： 影响因变量的各不同分类原因；
水平： 各个因素所构成的组或者类型。
Fisher的农业试验
考察小麦产量( y ) 对于品种和施肥量的关系。 选择了：两个不同的小麦品种， 三个不同的施肥等级；
第4章 方差分析
方差分析 ( Analysis of Variance，ANOVA ) ： 研究一个(或多个)分类自变量如何影响一个
数值因变量的统计分析方法。
方差分析针对方差相同的多个正态总体， 检验它们的均值是否相同。 即，
同时判断多组数据均值之间差异是否显著
方差分析的目的 ①. 判断某些因素对于我们感兴趣的因变量是否
y11 y12
1 1
1
1
0 0
1 0
0 1
0 0
θ0 α1
ε ε
11 12
y13 y21
=
1
1
1 0
0 1
0 1
0 0
1 0
α2 β1
+
ε ε
13 21
y22 y23
1 0 1 1 0 1
统计学——方差分析概念和方法

统计学——方差分析概念和方法

统计学——方差分析概念和方法方差分析是一种用于比较两个或多个样本均值之间差异的统计分析方法。

它主要用于分析一个因变量和一个或多个自变量之间的关系，并判断这些自变量对因变量的影响是否存在显著差异。

方差分析主要包括以下几个概念和方法：1.因变量和自变量：方差分析中，我们首先需要明确研究的因变量和自变量。

因变量是我们感兴趣的变量，我们想要比较的两个或多个样本均值；而自变量是我们认为对因变量有影响的变量，可以是类别变量（如性别、教育程度等）或连续变量（如年龄、收入等）。

2.假设检验：在进行方差分析之前，我们需要假设样本均值之间没有显著差异，即为零假设（H0）。

然后，我们通过方差分析来检验零假设是否成立。

3.方差分析的类型：根据自变量的个数和类型的不同，方差分析可以分为单因素方差分析、多因素方差分析和混合方差分析。

单因素方差分析适用于只有一个自变量的情况，多因素方差分析适用于含有多个自变量的情况，而混合方差分析适用于自变量同时包含类别变量和连续变量的情况。

4.方差分析表：方差分析表是用来总结方差分析结果的常用工具。

在方差分析表中，我们可以看到组间方差（组间均方）、组内方差（组内均方）、总体方差（总体均方）以及统计量F值。

通过比较F值与给定的显著性水平，我们可以判断不同样本均值之间是否存在显著差异。

5.假设检验的步骤：进行方差分析时，需要按照以下几个步骤进行假设检验：a.建立假设：H0（样本均值没有显著差异）和H1（至少有一组样本的均值存在显著差异）；b.计算各个组的均值；c.计算组间方差和组内方差；d.计算统计量F值；e.判断结果：通过比较F值和临界值来判断是否拒绝零假设。

6. 方差分析的扩展：在方差分析中，我们可以进行一些扩展的分析，如多重比较和建模。

多重比较是用来判断哪些组之间存在显著差异，常用的方法有Tukey法、Duncan法和Scheffe法等。

建模则是通过增加其他变量（如交互效应）来更好地解释因变量的变化。

研究生 统计学讲义 第5讲 第5章 方差分析


SS组 内

j 1 i 1
k
nj
( X ij X j ) 2

( n j 1) S 2 j
显然SS组内的大小还与各样本例数 nj 的多少有关， 确切地说与自由度df组内(df组内=Σnj - k)有关，所以计算 组内方差，称为组内均方(within group mean square ，记为MS组内，MS组内=SS组内 / df组内=[Σ(nj -1)sj2 ]/ (Σnj -k)。 (3) 组间变异(between groups variation)：四组间E-SFC 值的样本均数 x j 也大小不等，这种变异称为组间变异， 它反映了不同处理(中药)的影响，也包括了随机误差。 其大小可用各组均数分别与总均数之差的平方和(记为 SS组间)来表示，
Pmin

m
才推断差异在总检验水准为α下具有统计学意义， 这就是Bonferroni标准，利用Bonferroni标准进行多组 比较的方法，称为Bonferroni校正法。 例5.3 已知表5-1资料满足方差分析的应用条件，试分 析四种用药情况对小白鼠细胞免疫机能的影响是否相 同。
本例资料一个研究因素，满足方差分析的应用条件 ，比较各组总体均数相等用单因素方差分析法。 H0:μ1=μ2=μ3=μ4即各总体均数相等, H1:各总体均数 不全不等;α=0.05
例如有4个样本均数间的两两比较有Ｃ42 =4！/［2 ！(4-2)！］＝6 种情况，即可有 6 次对比，若每次比较 的检验水准α=0.05，则每次比较不犯第一类错误的概 率为0.95，按概率的乘法定理，6 次比较均不犯第一类 错误的概率为(1-0.05)6，这时，总的检验犯第一类错误 的概率为1- 0.956＝0.2649，比0.05大多了。 例5.2 曾经有人观察甲、乙两种性激素对成四种中 药纤维细胞生长的影响，以安慰剂为对照，三组样本 含量均为10，结果是甲组为36±4，乙组为39±3，安 慰剂组为40±4。按检验水准α=0.05，使用 t 检验作两 两比较，结论：甲组与乙组组比较 t =1.897，P>0.05 ，差异无统计学意义；乙组与安慰剂组比较，t=0.632 ，P>0.05，差异无统计学意义；甲组与安慰剂组比较 ，t=2.236，P≈0.04，差异有统计学意义。显然在逻辑 上是矛盾的。
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(1) 总变异(total variation)：
k nj
SS总
( X ij X 总 )2
j1 i 1
显然SS总 还与总例数N(=∑nj)的多少有关，确切地说 与总的自由度df总(df总=N－1)有关。 (2) 组内变异(within group variation)：四个样本组各组 内部E-SFE值也大小不等，这种变异称为组内变异。它 反映了E-SFC的随机误差(包括个体差异以及观测误差)， 其大小可用四样本内部每个观察值 xij 与自已所在样本
查附表6，界值F0.01(3，5) =12.1，df1=3，df2=5时， P (F >12.1) =0.01，P (F <12.1) = 0.99
查附表6, F0.01(3，5) =12.1 , df1=3 , df2=5时 , P (F >12.1) =0.01 , P (F <12.1) = 0.99 ; 查附表6 ,F0.025(7，2) = 39.36， df1=7，df2= 2时，P(F >39.36) = 0.025 , P (F <39.36) =0.975。
3.方差分析的优点 方差分析的优点有：① 不受对比的 组数之限制；② 可同时分析多个因素的作用；③ 可分 析因素间的交互作用。
下面的性质是F分布用于方差分析和两样本比较时 的方差齐性检验的重要依据：
如果分别从两个正态总体N(μ1,σ1)和N(μ2,σ2)中，随机
抽取样本含量为n1，n
的两个样本，算出样本均数和
2
方差分别为 ，xs211和 ，xs222，则统计量
F
s12
/
2 1
s22
/
2 2
(5.2)
服从自由度为df1 = n1－1，df2 = n2－1的F分布。 第二节 方差分析的思路
组均数 x j 之差的平方和(记为SS组内)来表示，
k nj
SS组内
( X ij X j )2
(n j
1) S
2 j
j1 i 1
显然SS组内的大小还与各样本例数 nj 的多少有关， 确切地说与自由度df组内(df组内=Σnj - k)有关，所以计算 组内方差，称为组内均方(within group mean square
因一般都按组成统计量F的分子大于分母计算F值。 所以附表6中 F 界值都大于1。方便方差分析时用。
F分布具有倒数性质：
1 F1 (df 1,df 2) F (df2 ,df1 )
例如，查附表6，F0.05(2，5) =5.7861，F 界值表中没有 列出F0.95(5，2) ，利用F分布的倒数性质可得F0.95(5，2) =1/F0.05(2，5) =1/5.7861 = 0.1728 。
对照 组
14
10
12
16
13
14
10
13
9பைடு நூலகம்
淫羊 藿组 35 27 33 29 31 40 35 30 28 36
党参 组
21
24
18
17
22
19
18
23
20
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黄芪 组
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本例属于完全随机设计资料，从表5-1资料可以看到 三种性质不同的变异（用离均差平方和表示变异）：
第5章 方差分析 analysis of variance，ANOVA 方差分析目的是利用变异的关系来判别多组资料
的总体平均值是否有差别。基本思想是：先假设（H0 ）各总体均数全相等；将总变异SS总，按设计和资料 分析的需要分为两个或多个组成部分，其自由度也相 应地分为几个部分，以随机误差为基础，按F分布的 规律作统计推断。
(3) 各比较组总体方差相等(σ12=σ22=…=σk2)，称为方差 齐性（homogeneity of variance）。方差分析的这一应 用条件主要是对完全随机设计资料而言，注意：无重 复数据的方差分析，如配伍设计、交叉设计、正交设 计的方差分析，因每个单元格子中只有一个观察数据 ，不需考虑正态性和方差齐性的要求。
，记为MS组内，MS组内=SS组内 / df组内=[Σ(nj -1)sj2 ]/ (Σnj -k)。
(3) 组间变异(between groups variation)：四组间E-SFC
值的样本均数 x j 也大小不等，这种变异称为组间变异，
它反映了不同处理(中药)的影响，也包括了随机误差。 其大小可用各组均数分别与总均数之差的平方和(记为 SS组间)来表示，
H0:μ1=μ2=μ3=μ4，F＝MS组间 / MS组内 >1
F 要大于1 多少才有统计意义呢？可查F 界值表( 见附表6)得 P 值，按 P 值的大小作出推断结论。
2.方差分析的应用条件
(1) 各样本是相互独立的随机样本。
(2) 正态性(normality)，各样本来自正态分布总体。方 差分析的这一应用条件是对样本含量较小时的资料而言 ，对于样本含量较大的资料来说，则样本不论来自什么 总体，方差分析都是强有力的分析方法。因为当各组的 样本含量较大时，样本均数近似正态分布。
预备知识
方差分析首先要进行F 检验，统计量为F，我们先 介绍其统计量的分布─F分布。
定义：如果随机变量X1、X2分别服从自由度为df1 ，df2的2分布，则称随机变量
F X1 / df1 X2 / df2
服从自由度为df1, df2的F分布(Fdistribution)。
F0.05(5 ,10) =3.33, P (F >3.33) = 0.05;P (F<3.33) = 0.95；
1. 方差分析的分析思路是将全部观察值之间的变异 即总变异 (SS总)按设计和资料以及分析需要分为两个 组成部分，以随机误差为基础，计算F值，按F分布 的规律作统计推断。
下面我们以完全随机设计资料为例，进一步说明方 差分析的基本思想。
例5.1 研究单味中药对小白鼠细胞免疫机能的影响， 把39只小白鼠随机分为四组，雌雄尽量各半，用药15 天后，进行E-玫瑰花结形成率（E-SFC）测定，结果 如表
k
SS组间 n j ( X i X 总) j 1
同样，组间变异SS组间的大小还与其自由度df组间(df组间 =k-1)有关，所以计算组间方差，称为组间均方(between groups mean square，记为MS组间)，
MS组间=SS组间 /df组间= SS组间 k 1
SS总=SS组间+SS组内，且df总=df组间 + df组内