暑假班高一数学讲义第1讲

高一数学讲义第一章：集合第一节：集合的概念和表示方法：知识点一：元素与集合的概念一般地，我们把研究的对象统称为元素；把一些元素组成的总体叫做集合。

说明：1、集合是一个整体2、构成集合的对象必须是确定的。

典型例题1：判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：（1）大于3小于11的偶数（2）我国的小河流巩固练习:下列各组对象中，能组成集合的有。

（1）所有的好人；（2）平面上的到原点的距离等于2的点；（3）正三角形（4）不等式x+1>0的实数解；知识点二：元素的特征与集合相等：1、元素的特征：2、集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的，例如，集合{-1，1}与集合{1，-1}是相等的。

典型例题：判断下列各组中的两个集合是否相等。

（1）{3，4}和{4,3}；（2）{7,2}和{7,2}（3）{y|y=x²，x∈R}和{x| y=x²，x∈R};知识点三：元素与集合的关系我们通常用大写拉丁字母A,B,C，…表示集合，用小写的拉丁字母a,b，c…表示集合中的元素。

知识点四：常用的数集及其记法：注意：（1）通常情况下，上面的大写英文字母不再表示其他的集合；（2）0是最小的自然数（3）对于常用数集的记法要做到范围明确，即明确各数集符号所包含的元素，记忆准确，并且书写要规范。

典型例题：1、用符号∈和∉填空；（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则：中国A, 美国 A印度A, 英国 A(2)若A={x|x²=x},则-1 A（3）若B={x|x²+x-6=0},则3 B(3)若C={x∈N|1≤x≤10}，则8 C，9.1 C巩固练习：用符号∈和∉填空；（1）√2+√5{x|x≤2+√3}（2）3 {x|x=n²+1，n∈N}y=3+√2π，M={m|m=a+b√2,a∈Q，b∈Q}，（3）x=3−5√2则x M,y M知识点五：集合的表示方法：（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法；（2）列表法：把集合的元素一一列举出来，并用“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法。

1
911
+⨯
例2. 0519998081999
52
2=++=+-b b a a 及已知，求b
a
的值．
【巩固练习】
1. 如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，求b
a
a b +的值
2. 设实数a ,b 分别满足,01999,01991922=++=++b b a a 且b
a a
b ab 1
4,1++≠求的值．
3. △ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 ．
当堂检测
1．设1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1x +1、2x +1是关于x 的方程的两根，
则p 、q 的值分别等于 ．
2．在R t △ABC 中，∠C =90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程
0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是 ．
课后巩固
1、将本节课错题进行组卷，进行二次练习，培养错题管理习惯；
2、对笔记本进行复习，培养复习习惯。

预习思考
同学们，今天我们学习了韦达定理，大家尝试一下借助韦达定理解下面这道题：
已知x1、x2是关于x的一元二次方程4x2＋4(m-1)x＋m2=0的两个非零实数根，问x1和x2能否同号？若能同号，请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请说明理由．。

第一讲 集合一、知识要点点拨1.集合的概念（1）含义:集合是高中数学中最原始的不定义的概念，只给出描述性的说明。

一般地，把某些指定的研究对象集在一起就成为了一个集合。

（2）集合中的每个研究对象叫做元素，通常用小写字母表示元素，大写字母表示集合。

（3）集合中元素的性质➢ 确定性：集合中的元素必须是确定的． ➢ 互异性：集合中的元素必须是互不相同的．➢ 无序性：集合中的元素是无先后顺序的，集合中的任何两个元素都可以交换位置． 2.集合与元素的关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A ．（2）不属于(not belong to)：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a A ∉． 3.集合的分类（1）有限集：含有限个元素的集合 （2）无限集：含无限个元素的集合（3）空集：不含有任何元素的集合，用∅表示。

4.集合的表示（1）大写字母表示法：N 表示自然数集，*N 或+N 表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，∅表示空集。

（2）列举法：凡是以列举法形式出现的集合，往往考察元素的互异性。

（3）描述法：具体表示集合的常用方法；要注意判断集合研究的对象。

（4）韦恩图法：抽象表示集合的常用方法。

（5）区间法。

5.集合与集合（1）子集：对于两个集合A 和B ，若集合A 中的元素都是集合B 的元素，我们就说A 是B 的子集，或A 包含于B ，记作A ⊆B ；反之，我们就说B 是A 的子集，或A 包含B ，记作B ⊆A 。

（2）真子集：如果A 是B 的子集且A ≠B ，则A 是B 的真子集。

注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

6.集合的运算（1）交集：由两个集合的公共元素组成的集合，叫做这两个集合的交集，记作A B （2）并集：由两个集合所有元素组成的集合，叫做这两个集合的并集，记作B A 。

（3）补集：若用U 表示所要研究的所有元素元素构成的集合即全集，则由全集U 中所有不属于集合A 的元素构成的集合叫做全集U 中A 的补集，记作C U A 。

内容 基本要求集合的含义 会使用符号“∈”或“∉”表示元素与集合之间的关系； 集合的表示能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题； 理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集，方程或不等式的解集等 集合间的基本关系理解集合之间包含与相等的含义，及子集的概念.在具体情景中，了解空集和全集的含义；理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集集合的基本运算掌握有关的术语和符号，会用它们表达集合之间的关系和运算.能使用维恩图表达集合之间的关系和运算.1. 集合的含义，会使用符号“∈”或“∉”表示元素与集合之间的关系；2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题；3. 理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集，方程或不等式的解集等；4. 理解集合之间包含与相等的含义，及子集的概念．在具体情景中，了解空集和全集的含义；5.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； 6. 掌握有关的术语和符号，会用它们表达集合之间的关系和运算．能使用维恩图表达集合之间的关系和运算．板块一：集合的含义与表示 （一） 知识内容1.集合的相关定义⑴ 集合的含义：一般地把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）.构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）. ⑵ 元素用小写字母,,,a b c 表示；集合用大写字母,,,A B C 表示.⑶ 不含任何元素的集合叫做空集，记作∅.知识精讲高考要求第1讲 集合与映射2.元素与集合间关系：属于∈；不属于∉.3.集合表示法⑴ 列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，并写在大括号“{ }”内的表示集合的方法. 例如：{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,5,}⑵描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如{x |描述特点}例如：大于3的所有整数表示为：{Z |3}x x ∈>方程2250x x --=的所有实数根表示为：{R x ∈|2250x x --=}（二）典例分析：1.集合的性质【例1】以下元素的全体不能够构成集合的是（ ）.A. 中国古代四大发明B. 地球上的小河流C. 方程210x -=的实数解D. 周长为10cm 的三角形【例2】已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为 .2.集合与元素间的关系 【例3】用“∈”或“∉”填空：⑴ 若2{|340}A x x x =--=，则1-___A ；4-___A ； ⑵ 0___∅； ⑶ 0___{0}．【例4】用符号“∈”或“∉”填空⑴0______N ， 5______N ，16______N⑵1______,π_______,e ______2-R Q Q Q （e 是个无理数）⑶2323-++________{}|6,,x x a b a b =+∈∈Q Q3.集合的表示方法【例5】用列举法表示下列集合⑴ 方程2260x x +-=的根；⑵ 不大于8且大于3的所有整数；⑶ 函数32y x =+与1y x=的交点组成的集合．【例6】下列命题正确的有（ ）⑴很小的实数可以构成集合；⑵集合{}2|1y y x =-与集合(){}2,|1x y y x =-是同一个集合； ⑶3611,,,,0.5242-这些数组成的集合有5个元素；⑷集合(){},|0,,x y xy x y ∈R ≤是指第二和第四象限内的点集．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个板块二：集合间的基本关系 （一） 知识内容1.子集：对于两个集合,A B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 为 集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作 “A 包含于B ”（或“B 包含A ”）. 规定：∅是任意集合的子集. 2.真子集：如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，但x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集， 记作AB （或B A ）.∅是任意非空集合的真子集.3.相等：如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊇），此时，集合A 与集合中的元素是一样的，我们说集合A 与集合B 相等，记作A =B .(二)典例分析【例7】用适当的符号填空： ⑴ ___{0}∅ ⑵ 2___{(1,2)}⑶ 0___2{|250}x x x -+= ⑷ {3,5}____2{|8150}x x x -+= ⑸ {3,5}___N⑹ {|21,}___{|41,}x x n n x x k k =+∈=±∈Z Z ⑺{(2,3)}___{(3,2)}【例8】下列说法中，正确的是（ ）A ．任何一个集合必有两个子集；B ．若,A B =∅则,A B 中至少有一个为∅C ．任何集合必有一个真子集；D ．若S 为全集，且,A B S =则A B S ==【例9】设{|13},{|}A x x B x x a =-<<=>，若A B ，则a 的取值范围是______【例10】已知{25}⊆，求m的取值范围．=+≤≤-，B AB x m x m=-≤≤，{121}A x x【例11】若全集{}A=，则集合A的真子集共有．U=且{}20,1,2,3UA．3个B．5个C．7个D．8个【例12】{,,}a b c d e f，求满足条件的A的个数．a b c A{,,,,,}【例13】求集合{,}a b的子集的个数，真子集的个数，非空真子集的个数，并推导出{1,2,3,4,5,,100}的子集和真子集的个数．板块三：集合的基本运算（一）知识内容1．相关概念：⑴并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A B（读作“A并B”），即{|,x B∈．A B x x A=∈或}⑵交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A B（读作“A交B”），即{|,x B∈．=∈且}A B x x A⑶全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作UA ，即{|,UA x x U =∈且}x A ∉．（二）典例分析【例14】已知全集{1,2,3,,10}U =，{1,2,3,4,5}A =，{4,5,6,7,8}B =，{3,5,7,9}C =求：AB ，AB ，()U A B ，UA B ，()A B C【例15】已知集合{}{}22,1,3,3,21,1A a a B a a a =+-=--+，若{}3A B =-，求实数a 的值．【例16】若U 为全集，下面三个命题中真命题的个数是（ ）⑴若A B =∅，则()()U UA B U =⑵若AB U =，则()()U U A B =∅⑶若A B =∅，则A B ==∅A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【例17】已知2{|43,}A y y x x x ==-+∈R ，2{|22,}B y y x x x ==--+∈R ，则A B 等于（ ）A ．∅B ．{1,3}-C ．RD ．[1,3]-【例18】若集合{1,1}A =-，{|1}B x mx ==，且A B A =，则m 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．1或1-D ．1或1-或0【例19】设全集U R =，{}2|10M m mx x =--=方程有实数根，{}2|0N n x x n =-+=方程有实数根，求()UM N ．【例20】已知{(,)|,}I x y x y =∈R ，3(,)|12y A x y x -⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，{}(,)|1B x y y x =≠+，则()I A B 等于（ ）A ．∅B ．{(2,3)}C ．(2,3)D ．{2,3}【例21】设全集{|20I x x =≤且x 为质数}．若{3,5},{7,19}IIAB AB ==，且{2,17}I IAB =，求集合,A B ．【例22】已知全集I 中有15个元素，集合MN 中有3个元素，I IMN 中有5个元素，IMN 中有4个元素．则集合N 中元素的个数（ ）A ．3B ．4C ．5D ．615453INM【例23】设I =R ，集合2{|4430}A x x ax a =+-+=，22{|(1)0}B x x a x a =+-+=，2{|220}C x x ax a =+-=．若,,A B C 中至少有一个不是空集，求实数a 的取值范围．板块四：映射的定义 （一）知识内容1.一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“f ：A →B ” 说明：（1）这两个集合有先后顺序，A 到B 的射与B 到A 的映射是截然不同的．其中f 表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。

第一讲：集合的概念【学习目标】1．通过实例了解集合的含义； 2.理解集合中元素的特征；3.体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．【基础知识】一、元素与集合的概念1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写拉丁字母a ，b ，c ，…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集)，常用大写拉丁字母A ，B ，C ，…表示． 3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的． 二、元素与集合的关系知识点关系 概念记法 读法 元素与集合的关系属于如果a 是集合A 中的元素，就说a 属于集合A a ∈A“a 属于A ”不属于 如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合Aa ∉A “a 不属于A ”三、常用数集及表示符号名称 自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法N*N 或+NZQR【考点剖析】考点一：确定性如果元素的界限部明确，即不能构成集合，其中包括：著名的科学家；比较高的人；成绩比较好的学生，跑得比较快的同学，接近于1的数等例1．下列各对象可以组成集合的是（ ）A ．与1非常接近的全体实数B ．某校2020-2021学年度笫一学期全体高一学生C．高一年级视力比较好的同学D．与无理数π相差很小的全体实数【答案】B【详解】A中对象不确定，故错；B中对象可以组成集合；C中视力比较好的对象不确定，故错；D中相差很小的对象不确定，故错.故选：B变式训练1：下列选项中元素的全体可以组成集合的是（）A．2007年所有的欧盟国家B．校园中长的高大的树木C．学校篮球水平较高的学生D．中国经济发达的城市【答案】A【详解】A：因为2007年欧盟国家是确定的，所以本选项符合题意；B：因为不确定什么样子的树木叫高大的树木，所以本选项不符合题意；C：因为不确定篮球水平较高是一种什么水平，所以本选项不符合题意；D：因为不确定经济水平什么样叫发达，所以本选项不符合题意，故选：A变式训练2：下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点O的距离等于1.其中能构成集合的组数有（）A．2组B．3组C．4组D．5组【答案】A【详解】①“接近于0的数的全体”的对象不确定，不能构成集合；②“比较小的正整数全体”的对象不确定，不能构成集合；③“平面上到点O的距离等于1的点的全体”的对象是确定的，能构成集合；④“正三角形的全体”的对象是确定的，能构成集合；故③④正确.故选：A.变式训练3：下列各组对象能构成集合的是（ ） A ．新冠肺炎死亡率低的国家 B ．19世纪中国平均气温较高的年份C ．一组对边平行的四边形D ．π的近似值【答案】C 【详解】解：只要一组对边平行的四边形都在选项C 这个全体中，那么C 中所有对象能构成一个集合， 而选项A ，B ，D 都没有明确的判定标准判定个体是否在全体中. 故选：C.考点二：互异性集合中的元素互相不相同例2．已知集合A 是由22,25,12a a a -+三个元素组成的，且3A -∈，求a =________.【答案】32- 【详解】解：由﹣3∈A ，可得﹣3=a ﹣2，或﹣3=2a2+5a ，由﹣3=a ﹣2，解得a=﹣1，经过验证a=﹣1不满足条件，舍去. 由﹣3=2a2+5a ，解得a=﹣1或32-，经过验证：a=﹣1不满足条件，舍去. ∴a=32-. 故答案为：﹣32. 变式训练1：已知集合A 是由21,1,3a a a +--三个元素组成，若1A ∈，则实数a 的值为__________. 【答案】0或2- 【详解】因为1A ∈，则11a +=或11a -=或231a -=， 当11a +=时，0a =，{}1,1,3A =--，符合题意；当11a -=时，2a =，{}3,1,1A =，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当231a -=时，2a =-或2a =（舍）当2a =-时，{}1,3,1A =--，符合题意； 综上所述：0a =或2a =-， 故答案为：0或2-变式训练2：已知集合A 中的元素为22,2,a a a --，若2A ∈，则a =__________. 【答案】1或2； 【详解】由{}22,2,A a a a =--，2A ∈， 若22a =，1a =，20a a -=， 此时{}2,2,0A =-，符合题意； 若22a a -=，则2a =，1a =-， 当1a =-时，22a =-，不符题意， 当2a =时，{}2,4,2A =-，符合题意， 综上可得：1a =或2a =. 故答案为：1或2.变式训练3：已知集合A 中的元素为21,1,3k k k +--，若1A ∈，则实数k 的值为_____________. 【答案】0或2- 【详解】 依题意1A ∈，当11k +=时，0k =，{}1,1,3A =--，符合题意.当11k -=时，2k =，2131k k -=-=，不满足互异性，错误. 当231k -=，2k =（舍去）或2k =-，2k =-时，{}1,3,1A =--，符合题意.综上所述，实数k 的值为0或2-. 故答案为：0或2-考点三：元素与集合的关系元素与集合之间只能用属于（∈）和不属于（∉）.例3．下列元素与集合的关系表示正确的是（ ）①0N *∈； Z ； ③32Q ∈； ④Q π∈．A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【答案】B 【详解】N *为正整数集，所以0N *∉，故①不正确；Z Z ，故②正确；Q 表示有理数集，则32Q ∈，Q π∉，故③正确，④不正确；故选：B变式训练1：下列关系中，正确的个数为（ ）①0N ∈；②Q π∈Q ；④1Z -∈R .A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【详解】0是自然数，故0N ∈，①正确；π是无理数，故Q π∉，②错误；Q ，③错误； 1-是整数，故1Z -∈，④正确；R ，⑤错误.故正确个数是2个.故选：B.变式训练2：给出下列关系：①12∈R ；②2∈Q ；③|3|-∈N ；④|3|-∈Z ；⑤0∉N ，其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【详解】根据元素与集合的关系：①12∈R ，正确；②2∈Q ，正确；③|﹣3|=3∈N ，正确；④|-3|=3∈Z ，正确；⑤0∉N ，错误， 故正确的个数为4．故选：D ．变式训练3：若集合A 中的元素满足1x -<x ∈R ，则下列各式正确的是（ ） A ．3A ∈，且3A -∉ B ．3A ∈，且3A -∈C ．3A ∉且3A -∉D ．3A ∉，且3A -∈【答案】D 【详解】因为312-=>314--=-<，所以3A ∉，3A -∈. 故选：D考点三：元素的个数例3．设集合A 中的元素均为实数，且满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1，且a ≠0)．求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素； (2)集合A 不可能是单元素集． 证明：(1)若a ∈A ，则11－a ∈A .又因为2∈A ，所以11－2＝－1∈A .因为－1∈A ，所以11－(－1)＝12∈A .因为12∈A ，所以11－12＝2∈A .所以A 中另外两个元素为－1，12.(2)若A 为单元素集，则a ＝11－a， 即a 2－a ＋1＝0，方程无实数解．所以a ≠11－a，所以集合A 不可能是单元素集．变式训练1：集合A 中的元素为1,2,3,5，当x A ∈时，若1,1x A x A -∉+∉，则称x 为A 的一个“孤立元素”，则A 中孤立元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【详解】解：对于元素1，112A +=∈，故不满足孤立元素的定义； 对于元素2，213A +=∈，故不满足孤立元素的定义； 对于元素3，312A -=∈，故不满足孤立元素的定义；对于元素5，514A -=∉，516A +=∉，故满足孤立元素的定义； 故A 中孤立元素的个数为1个. 故选：A.变式训练2：非空集合A 具有下列性质：①若x 、y A ，则x A y∈；②若x 、yA ，则x y A +∈，下列判断一定成立的是（ ） （1）1A -∉；（2）20202021A ∈；（3）若x 、y A ，则xy A ∈；（4）若x 、yA ，则x y A -∉.A ．（1）（3）B ．（1）（2）C ．（1）（2）（3）D ．（1）（2）（3）（4）【答案】C 【详解】 由①可知0A ∉.对于（1），若1A -∈，对任意的x A ∈，0x ≠，则1xx A -=∈-， 所以，()0x x A =+-∈，这与0A ∉矛盾，（1）正确； 对于（2），若0x ≠且x A ∈，则1xA x=∈，211A ∴=+∈，321A =+∈， 依此类推可得知，n N *∀∈，n A ∈，2020A ∴∈，2021A ∈，20202021A ∴∈，（2）正确； 对于（3），若x 、yA ，则0x ≠且0y ≠，由（2）可知，1A ∈，则1A y∈，所以，1x xy A y=∈，（3）正确； 对于（4），由（2）得，1,2A ∈，取2,1x y ==，则1x y A -=∈，所以（4）错误. 故选：C.【当堂小结】1．知识清单：(1)元素与集合的概念、元素与集合的关系． (2)常用数集的表示． (3)集合中元素的特性及应用． 2．方法归纳：分类讨论．3．常见误区：忽视集合中元素的互异性．【过关检测】1、能够组成集合的是（ ） A ．与2非常数接近的全体实数 B ．很著名的科学家的全体 C ．某教室内的全体桌子D ．与无理数π相差很小的数【答案】C 【详解】解：A.与2非常接近的数不确定，∴不能构成集合； B.“很著名”，怎么算很著名，不确定，∴不能构成集合； C.某教室内的桌子是确定的，∴可构成集合；D.“相差很小”，怎么算相差很小是不确定的，∴不能构成集合. 故选：C.2、下列各组对象不能构成集合的是（ ）A．上课迟到的学生B．2020年高考数学难题C．所有有理数D．小于π的正整数【答案】B【详解】上课迟到的学生属于确定的互异的对象，所以能构成集合；2020年高考数学难题界定不明确，所以不能构成集合；任意给一个数都能判断是否为有理数，所以能构成集合；小于π的正整数分别为1,2,3，所以能够组成集合.故选：B3、下列各组对象不能构成集合的是（）A．所有的正方形B．方程210x-=的整数解C．我国较长的河流D．出席十九届四中全会的全体中央委员【答案】C【详解】对于A选项，“所有的正方形”对象是明确的，故能构成集合；对于B选项，“方程210x-=的整数解”的对象是明确的，故能构成集合；对于C选项，“较长”不是一个确定的范围，“我国较长的河流”的对象不明确，故不能构成集合；对于D选项，“出席十九届四中全会的全体中央委员”的对象是明确的，故能构成集合.故选：C.4、下列判断正确的个数为（）（1）所有的等腰三角形构成一个集合；（2）倒数等于它自身的实数构成一个集合；（3）质数的全体构成一个集合；（4）由2，3，4，3，6，2构成含有6个元素的集合．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】在（1）中，所有的等腰三角形构成一个集合，故（1）正确；在（2）中，若1aa=，则a2＝1，∴a＝±1，构成的集合为{1，﹣1}，故（2）正确；在（3）中，质数的全体构成一个集合，任何一个质数都在此集合中，不是质数的都不在，故（3）正确；在（4）中，集合中的元素具有互异性，构成的集合为{2，3，4，6}，含4个元素，故（4）错误． 故选：C5、已知集合A 中的元素为22,2a a ++，若3A ∈，则实数a 的值为（ ）A ．1或1-B ．1C ．1-D ．1-或0【答案】C 【详解】当23a +=时，得1a =，此时223a +=，不满集合中元素的互异性，不合题意；当223a +=时，得1a =±，若1a =，则23a +=，不满集合中元素的互异性，不合题意；若1a =-，则21a +=，满足{}232,2a a ∈++.故选：C6、下列关系中，正确的个数为（ ）R ；②13Q ∈；③0=∅；④0N ∉；⑤Q π∈；⑥3Z -∈.A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】D 【详解】R ，故①正确；在②中，13Q ∈，故②正确；在③中，0=∅，故③错误；在④中，0∈N ，故④错误； 在⑤中，π∉Q ，故⑤错误；在⑥中，3-∈Z ，故⑥正确. 故选：D.7、集合A 中的元素x 满足6,3x x∈∈-N N ，则集合A 中的元素为______________． 答案：0,1,2解析 ∵63－x ∈N ，∴3－x ＝1或2或3或6，即x ＝2或1或0或－3.又x ∈N ，故x ＝0或1或2.即集合A 中的元素为0,1,2.8、设数集A 由实数构成，且满足：若x A ∈（1x ≠且0x ≠），则11A x∈-．（1）若2A ∈，则A 中至少还有几个元素？（2）集合A 是否为双元素集合？请说明理由．（3）若A 中元素个数不超过8，所有元素的和为143，且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A 中的元素．【答案】（1）A 中至少还有两个元素；（2）不是双元素集合，答案见解析；（3）112,2,1,,3,223--． 【详解】（1）2A ∈，1112A ∴=-∈-． 1A -∈，()11112A ∴=∈--． 12A ∈，12112A ∴=∈-． A ∴中至少还有两个元素为1-，12； （2）不是双元素集合．理由如下：x A ∈，11A x ∴∈-，11111x A x x-=∈--， 由于1x ≠且0x ≠，22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，则210x x -+≠， 则()11x x -≠，可得11x x ≠-，由221x x x -+≠-，即()21x x -≠-，可得111x x x -≠-， 故集合A 中至少有3个元素，所以，集合A 不是双元素集合．（3）由（2）知A 中有三个元素为x 、11x -、1x x-（1x ≠且0x ≠）， 且1111x x x x-⋅⋅=--， 设A 中有一个元素为m ，则11A m ∈-，1m A m -∈，且1111m m m m -⋅⋅=--， 所以，A 中的元素为1111,,,,,11x m x m x x m m----，且集合A 中所有元素之积为1. 由于A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，设2111x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭或211x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得0x =（舍去）或2x =或12x =． 此时，2A ∈，1A -∈，12A ∈， 由题意得1111421213m m m m -+-+++=-，整理得3261960m m m -++=， 即()()()621320m m m -+-=，解得12m =-或3或23， 所以，集合A 中的元素为112,2,1,,3,223--．。

高一数学暑假第一讲 集合概念与表示一、集合中的相关概念：1、元素与集合的概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体 形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个_____，也简称____。

集合中的每个 对象叫做这个集合的_______。

. 2、集合与元素的表示方法（1）集合通常用大写的英文字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q …… （2）元素通常用小写的英文字母表示，如a 、b 、c 、p 、q …… 3、元素与集合的关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉注意: 一些元素构成的集合必须具有以下两个特点：一是整体性，二是确定性，其中“整体”一语， 说明集合是指某些对象的整体而不是指其中的个别对象，这就是集合的整体性．一个对象要么是 集合的元素，要么不是集合的元素，二者必居其一，这是集合的确定性． 4、空集一般地，我们把不含任何元素的集合叫做__________，记作________。

5、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可 （2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出） 6、集合的分类（1）按元素的属性分类：数集（元素是数）、点集（元素是点）、序数对（元素是有序数对）等。

（2）按元素中元素的个数分类：有限集（元素的个数是有限个）；无限集（元素的个数是无数个）； 空集（不含任何元素），记做φ 7、常用数集及表示符号（1）N ，{} ,2,1,0=N （2）N *或N + {} ,3,2,1*=N （3）Z , {} ，，，210±±=Z （4）Q , {}整数与分数=Q （5）R {}数数轴上所有点所对应的=R （6） 奇数集 {}21,x x n n N =+∈ （7） 偶数集 {}2,x x n n N =∈二、集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合注意： ① 元素间用分隔号“，”； ② 元素不重复； ③ 不考虑元素顺序； ④ 对于含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须 把元素间的规律显示清楚后方能用省略号. ⑤ 无限集有时也可用列举法表示。

第一讲集合的概念与表示考点1：集合的概念【知识点的认识】1.(1)集合的含义：集合是一定范围的,确定的,可以区别的事物,当作一个整体来看待,就叫做集合,简称集,其中各事物叫做集合的元素或简称元,是具有某种特定性质的事物的总体．(2)一般情况下,集合用英文大写字母,,,a b c表A B C表示．元素用英文小写字母,,,示；(3)不含任何元素的集合叫做空集,记作∅．2．元素与集合的关系：∈；如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作a A∉．如果a不是集合A中的元素,就说a不属于A,记作a A3．某些常见的数集(数集即元素是数的集合)的写法：4①确定性：集合中的元素是确定的,不能模棱两可．②互异性：集合中的元素是互不相同的,相同的元素在集合中只能算作一个．③无序性：集合中的元素是无次序关系的．题型一：判断能否构成集合例1：下列研究对象能否构成一个集合？如果能,采用适当的方式表示它．(1)小于5的自然数；(2)某班所有个子高的同学；(3)不等式2x+1＞7的整数解．【解答】:(1)小于5的自然数为0,1,2,3,4,元素确定,所以能构成集合．为{0,1,2,3,4}．(2)个子高的标准不确定,所以集合元素无法确定,所以不能构成集合．(3)由2x +1＞7得x ＞3,因为x 为整数,集合元素确定,但集合元素个数为无限个,所以用描述法表示为{x |x ＞3,且x ∈Z }．例2.(1)(2018秋•兴庆区校级期末)下面给出的四类对象中,能组成集合的是( ) A ．高一某班个子较高的同学 B ．比较著名的科学家 C ．无限接近于4的实数D ．到一个定点的距离等于定长的点的全体【解答】解：选项A ,B ,C 所描述的对象没有一个明确的标准,故不能构成一个集合, 选项D 的标准唯一,故能组成集合． 故选：D ．(2)(2018秋•玉山县校级月考)下列给出的命题正确的是( ) A ．高中数学课本中的难题可以构成集合 B ．有理数集Q 是最大的数集 C ．空集是任何非空集合的真子集 D ．自然数集N 中最小的数是1【解答】解：A 、难题不具有确定性,不能构造集合,故本选项错误；B 、实数集R 就比有理数集Q 大,故本选项错误；C 、空集是任何非空集合的真子集,故本选项正确；D 、自然数集N 中最小的数是0,故本选项错误；故选：C ．题型二：元素与集合关系例3.用∈,∉填空．①1-___N ；②3-___*N ；③12__Z ；④3.14___Q ___Q ；⑥___R ；⑦π___R ；【解答】∉；∈；∉；∈；∉；∈；∈．例4.(1)(2018秋•泸州期末)下列关系中,正确的是( )A ．0N +∈B ．32Z ∈C ．Q π∉D ．0∈∅【考点】12：元素与集合关系的判断 【解答】解：选项:0A N +∉,错误；选项C ,Q π∉,正确； 选项D ,0∉∅,错误； 故选：C ．(2)(2018秋•兴庆区校级期末)下列元素与集合的关系表示正确的是( )①*0N ∈； Z ； ③32Q ∈； ④Q π∈A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【解答】解：①0不是正整数,*0N ∴∈错误；④π是无理数,Q π∴∈错误；∴表示正确的为②③．故选：B ．题型三：元素的性质例5.(1)(2016秋•昌江区校级期末)若集合中三个元素为边可构成一个三角形,则该三角形一定不可能是( ) A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【解答】解：若集合中三个元素为边可构成一个三角形, 则由集合元素的互异性可得,三个元素互不相等, 故该三角形一定不可能是等腰三角形, 故选：D ．(2)若221x x +，，是一个集合中的三个元素,实数x 应满足什么条件？ 【解答】1x ≠±且2x ≠．(3)(2017秋•莲湖区校级月考)以实数x ,x -,||x 有( )个元素． A ．0B ．1C ．2D ．3故选：C ．(4)下列叙述中正确的个数是( )①若a -∈Z ,则a ∈Z ；②若a -∉N ,则a ∈N ；③a ∈Z ,若a -∉N ,则a ∈N ；④a ∈Z ,若a ∈N ,则a -∉N ． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解答】C ．考点2：集合的表示法——列举法与描述法5．集合的表示法⑴ 列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表,其它元素用省略号表示,并写在大括号“{ }”内的表示集合的方法．例如：{12345}，，，，,{12345}，，，，，． ⑵ 描述法(又称特征性质描述法)：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法,形如{|()}x A p x ∈,()p x 称为集合的特征性质,x 称为集合的代表元素．A 为x 的范围,有时也写为{|()}x p x x A ∈，． 例如：大于3的所有整数用描述法表示为{|3}x x ∈>Z ． 方程260x x +-=的实根用描述法表示为2{|60}x x x ∈+-=R ．题型四：集合的表示方法例6.(1)将下列用描述法表示的集合用列举法表示出来：①2{|10}A x x =∈-=R ；②2{|10}B x x =∈-=Z ；③2{|10}C x x =∈-=N ； ④22{()|0}D x y x y =+=，；⑤{()|1E x y y x ==-，，且2}y x =． 【解答】①{11}-，；②{11}-，；③{1}；④{(00)}，；⑤{(12)}--，． (2)用通俗的语言(即自然语言)描述下面集合表示的含义：①{|21}x x k k ∈=-∈R Z ，；②{|2}x x k k ∈=∈R Z ，；③21()|y x x y y x ⎧⎫=+⎧⎪⎪⎨⎨⎬=⎪⎪⎩⎩⎭， 【解答】①由所有的奇数构成的集合；②由所有的偶数构成的集合；③直线与抛物线的交点．例7.(1)(2017秋•内蒙古期末)下列集合表示正确的是( ) A ．{2,4}B ．{2,4,4 }C ．{1,3,3}D ．{漂浪女生}【解答】解：在A 中,{2,4}表示集合,正确； 在B 中,{2,4,4}不满足集合中元素的互异性,错误； 在C 中,{1,3,3}不满足集合中元素的互异性,错误； 在D 中,{漂浪女生},不满足集合中元素的确定性,错误． 故选：A ．(2)(2017秋•桂林期末)集合2{|}A x x x ==中所含元素为( ) A ．0,1B ．1-,1C ．1-,0D ．1【解答】解：根据题意,20x x x =⇒=或1, 则{0A =,1},其中的元素为0、1, 故选：A ．(3)(2018秋•南康区校级月考)把集合2{|450}x x x --=用列举法表示为( ) A ．{1x =-,5}x =B ．{|1x x =-或5}x =C ．2{450}x x --=D ．{1-,5}【解答】解：根据题意,解2450x x --=可得1x =-或5, 用列举法表示可得{1-,5}； 故选：D ．(4)(2018秋•江岸区校级月考)下列叙述正确的是( ) A ．方程2210x x ++=的根构成的集合为{1-,1}-B ．{}22102030x x R x x Rx ⎧+>⎫⎧⎪⎪∈+==∈⎨⎨⎬+<⎪⎪⎩⎩⎭C ．集合{(,)|5M x y x y =+=,6}xy =表示的集合是{2,3}D ．集合{1,3,5}与集合{3,5,1]是不同的集合 【解答】解：选项A ：集合中的元素互异,故错误；错误,选项D ：元素相同即集合相等,故错误． 故选：B ．例8.(1)(2018•江西二模)设集合{1A =,2,3},{2B =,3,4},{|M x x ab ==,a A ∈,}b B ∈,则M 中的元素个数为( ) A ．5B ．6C ．7D ．8【解答】解：集合{1A =,2,3},{2B =,3,4},{|M x x ab ==,a A ∈,}b B ∈, {2M ∴=,3,4,6,8,9,12}．M ∴中的元素个数为7．故选：C ．(2)（2020•章丘区校级模拟）若集合{1A =，2，3}，{(,)|40B x y x y =+->，x ，}y A ∈，则集合B 中的元素个数为( ) A ．9B ．6C ．4D ．3【解答】解：通过列举，可知x ，y A ∈的数对共9对，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共9种，{(,)|40B x y x y =+->，x ，}y A ∈，∴易得(2,3)，(3,2)，(3,3)满足40x y +->， ∴集合B 中的元素个数共3个．故选：D ．（3）（2020•南昌一模）已知集合{0A =，1，2)，{}B x N A =∈，则(B = )A ．{0}B ．{0，2}C ．{0，12，2} D ．{0，2，4}解：集合{0B ∴=，2}． 故选：B ．例9.(1)(2018•山西一模)已知单元素集合2{|(2)10}A x x a x =-++=,则(a = ) A ．0B ．4-C ．4-或1D ．4-或0【解答】解：单元素集合2{|(2)10}A x x a x =-++=,∴△2[(2)]4110a =-+-⨯⨯=,解得4a =-或0a =． 故选：D ．(2)(2018秋•太原期中)已知集合2{|320}A x ax x =-+=中有且只有一个元素,那么实数a 的取值集合是( ) A ．9{}8B ．{0,9}8C ．{0}D ．{0,2}3【解答】解：集合2{|320}A x ax x =-+=中有且只有一个元素, 0a ∴=或0980a a ≠⎧⎨=-=⎩,故选：B ．考点3：集合的表示法——图示法与区间表示法⑶ 图示法：用平面内的一个封闭曲线的内部表示一个集合,这个区域通常叫做维恩(Venn)图．图示法常用在表示集合的相互关系与运算中．⑷ 区间表示法：设a b ∈R ，,且a b <,实数a 与b 都叫做相应区间的端点；“+∞”读作“正无穷大”, “-∞”读作“负无穷大”．实数集R 也可以用()-∞+∞，表示． 例10.将下面的集合表示成区间：(1){|12}x x -<≤；(2){|240}x x ->；(3){|420}x x -≥． 【解答】⑴(12]-，；⑵(2)+∞，；⑶(2]-∞，． 例11.把下列集合表示成区间。

第一讲集合的概念与表示考点1：集合的概念【知识点的认识】1.(1)集合的含义：集合是一定范围的,确定的,可以区别的事物,当作一个整体来看待,就叫做集合,简称集,其中各事物叫做集合的元素或简称元,是具有某种特定性质的事物的总体．(2)一般情况下,集合用英文大写字母,,,a b c表A B C表示．元素用英文小写字母,,,示；(3)不含任何元素的集合叫做空集,记作∅．2．元素与集合的关系：∈；如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作a A∉．如果a不是集合A中的元素,就说a不属于A,记作a A3．某些常见的数集(数集即元素是数的集合)的写法：4①确定性：集合中的元素是确定的,不能模棱两可．②互异性：集合中的元素是互不相同的,相同的元素在集合中只能算作一个．③无序性：集合中的元素是无次序关系的．题型一：判断能否构成集合例1：下列研究对象能否构成一个集合？如果能,采用适当的方式表示它．(1)小于5的自然数；(2)某班所有个子高的同学；(3)不等式2x+1＞7的整数解．【解答】:(1)小于5的自然数为0,1,2,3,4,元素确定,所以能构成集合．为{0,1,2,3,4}．(2)个子高的标准不确定,所以集合元素无法确定,所以不能构成集合．(3)由2x +1＞7得x ＞3,因为x 为整数,集合元素确定,但集合元素个数为无限个,所以用描述法表示为{x |x ＞3,且x ∈Z }．例2.(1)(2018秋•兴庆区校级期末)下面给出的四类对象中,能组成集合的是( ) A ．高一某班个子较高的同学 B ．比较著名的科学家 C ．无限接近于4的实数D ．到一个定点的距离等于定长的点的全体【解答】解：选项A ,B ,C 所描述的对象没有一个明确的标准,故不能构成一个集合, 选项D 的标准唯一,故能组成集合． 故选：D ．(2)(2018秋•玉山县校级月考)下列给出的命题正确的是( ) A ．高中数学课本中的难题可以构成集合 B ．有理数集Q 是最大的数集 C ．空集是任何非空集合的真子集 D ．自然数集N 中最小的数是1【解答】解：A 、难题不具有确定性,不能构造集合,故本选项错误；B 、实数集R 就比有理数集Q 大,故本选项错误；C 、空集是任何非空集合的真子集,故本选项正确；D 、自然数集N 中最小的数是0,故本选项错误；故选：C ．题型二：元素与集合关系例3.用∈,∉填空．①1-___N ；②3-___*N ；③12__Z ；④3.14___Q ___Q ；⑥2-___R ；⑦π___R ；【解答】∉；∈；∉；∈；∉；∈；∈．例4.(1)(2018秋•泸州期末)下列关系中,正确的是( )A ．0N +∈B ．32Z ∈C ．Q π∉D ．0∈∅【考点】12：元素与集合关系的判断 【解答】解：选项:0A N +∉,错误；选项C ,Q π∉,正确； 选项D ,0∉∅,错误； 故选：C ．(2)(2018秋•兴庆区校级期末)下列元素与集合的关系表示正确的是( )①*0N ∈； Z ； ③32Q ∈； ④Q π∈A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【解答】解：①0不是正整数,*0N ∴∈错误；④π是无理数,Q π∴∈错误；∴表示正确的为②③．故选：B ．题型三：元素的性质例5.(1)(2016秋•昌江区校级期末)若集合中三个元素为边可构成一个三角形,则该三角形一定不可能是( ) A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【解答】解：若集合中三个元素为边可构成一个三角形, 则由集合元素的互异性可得,三个元素互不相等, 故该三角形一定不可能是等腰三角形, 故选：D ．(2)若221x x +，，是一个集合中的三个元素,实数x 应满足什么条件？ 【解答】1x ≠±且2x ≠．(3)(2017秋•莲湖区校级月考)以实数x ,x -,||x ( )个元素． A ．0B ．1C ．2D ．3故选：C ．(4)下列叙述中正确的个数是( )①若a -∈Z ,则a ∈Z ；②若a -∉N ,则a ∈N ；③a ∈Z ,若a -∉N ,则a ∈N ；④a ∈Z ,若a ∈N ,则a -∉N ． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解答】C ．考点2：集合的表示法——列举法与描述法5．集合的表示法⑴ 列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表,其它元素用省略号表示,并写在大括号“{ }”内的表示集合的方法．例如：{12345}，，，，,{12345}，，，，，． ⑵ 描述法(又称特征性质描述法)：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法,形如{|()}x A p x ∈,()p x 称为集合的特征性质,x 称为集合的代表元素．A 为x 的范围,有时也写为{|()}x p x x A ∈，． 例如：大于3的所有整数用描述法表示为{|3}x x ∈>Z ． 方程260x x +-=的实根用描述法表示为2{|60}x x x ∈+-=R ．题型四：集合的表示方法例6.(1)将下列用描述法表示的集合用列举法表示出来：①2{|10}A x x =∈-=R ；②2{|10}B x x =∈-=Z ；③2{|10}C x x =∈-=N ； ④22{()|0}D x y x y =+=，；⑤{()|1E x y y x ==-，，且2}y x =． 【解答】①{11}-，；②{11}-，；③{1}；④{(00)}，；⑤{(12)}--，． (2)用通俗的语言(即自然语言)描述下面集合表示的含义：①{|21}x x k k ∈=-∈R Z ，；②{|2}x x k k ∈=∈R Z ，；③21()|y x x y y x ⎧⎫=+⎧⎪⎪⎨⎨⎬=⎪⎪⎩⎩⎭， 【解答】①由所有的奇数构成的集合；②由所有的偶数构成的集合；③直线与抛物线的交点．例7.(1)(2017秋•内蒙古期末)下列集合表示正确的是( ) A ．{2,4}B ．{2,4,4 }C ．{1,3,3}D ．{漂浪女生}【解答】解：在A 中,{2,4}表示集合,正确； 在B 中,{2,4,4}不满足集合中元素的互异性,错误； 在C 中,{1,3,3}不满足集合中元素的互异性,错误； 在D 中,{漂浪女生},不满足集合中元素的确定性,错误． 故选：A ．(2)(2017秋•桂林期末)集合2{|}A x x x ==中所含元素为( ) A ．0,1B ．1-,1C ．1-,0D ．1【解答】解：根据题意,20x x x =⇒=或1, 则{0A =,1},其中的元素为0、1, 故选：A ．(3)(2018秋•南康区校级月考)把集合2{|450}x x x --=用列举法表示为( ) A ．{1x =-,5}x =B ．{|1x x =-或5}x =C ．2{450}x x --=D ．{1-,5}【解答】解：根据题意,解2450x x --=可得1x =-或5, 用列举法表示可得{1-,5}； 故选：D ．(4)(2018秋•江岸区校级月考)下列叙述正确的是( ) A ．方程2210x x ++=的根构成的集合为{1-,1}-B ．{}22102030x x R x x Rx ⎧+>⎫⎧⎪⎪∈+==∈⎨⎨⎬+<⎪⎪⎩⎩⎭C ．集合{(,)|5M x y x y =+=,6}xy =表示的集合是{2,3}D ．集合{1,3,5}与集合{3,5,1]是不同的集合 【解答】解：选项A ：集合中的元素互异,故错误；误,选项D ：元素相同即集合相等,故错误． 故选：B ．例8.(1)(2018•江西二模)设集合{1A =,2,3},{2B =,3,4},{|M x x ab ==,a A ∈,}b B ∈,则M 中的元素个数为( ) A ．5B ．6C ．7D ．8【解答】解：集合{1A =,2,3},{2B =,3,4}, {|M x x ab ==,a A ∈,}b B ∈, {2M ∴=,3,4,6,8,9,12}．M ∴中的元素个数为7．故选：C ．(2)(2017•陆川县校级模拟)已知集合{0A =,1,2},{|B z z x y ==+,x A ∈,}y A ∈,则(B =)A ．{0,1,2,3,4}B ．{0,1,2}C ．{0,2,4}D ．{1,2}【解答】解：{0A =,1,2},{|B z z x y ==+,x A ∈,}y A ∈,①当0x =,0y =；1x =,1y =；2x =,2y =时,0x y +=,2,4, ②当0x =,1y =；1x =,2y =时,1x y +=,3, ③当1x =,0y =；2x =,1y =时,1x y +=,3, ④当0x =,2y =时,2x y +=, ⑤当2x =,0y =时,2x y +=,综上,集合B 中元素有：{0,1,2,3,4}． 故选：A ．考点3：集合的表示法——图示法与区间表示法⑶ 图示法：用平面内的一个封闭曲线的内部表示一个集合,这个区域通常叫做维恩(Venn)图．图示法常用在表示集合的相互关系与运算中．⑷ 区间表示法：设a b ∈R ，,且a b <,实数a 与b 都叫做相应区间的端点；“+∞”读作“正无穷大”, “-∞”读作“负无穷大”．实数集R 也可以用()-∞+∞，表示． 例10.将下面的集合表示成区间：(1){|12}x x -<≤；(2){|240}x x ->；(3){|420}x x -≥． 【解答】⑴(12]-，；⑵(2)+∞，；⑶(2]-∞，． 例11.把下列集合表示成区间(1){|1}x x ≤；(2)2{|2}y y x x =-+；(2)2{|22111}y y x x x =++-<<，．课后综合巩固1.(2018秋•玉山县校级月考)下列给出的命题正确的是( )A ．高中数学课本中的难题可以构成集合B ．有理数集Q 是最大的数集C ．空集是任何非空集合的真子集D ．自然数集N 中最小的数是1【解答】解：A 、难题不具有确定性,不能构造集合,故本选项错误；B 、实数集R 就比有理数集Q 大,故本选项错误；C 、空集是任何非空集合的真子集,故本选项正确；D 、自然数集N 中最小的数是0,故本选项错误；故选：C ． 2.用∈,∉填空．①1-___N ；②3-___*N ；③12__Z ；④3.14___Q ___Q ；⑥___R ；⑦π___R ；【解答】∉；∈；∉；∈；∉；∈；∈．3.(2017秋•莲湖区校级月考)以实数x ,x -,||x ()个元素． A ．0B ．1C ．2D ．3故选：C ．4.(2017•陆川县校级模拟)已知集合{0A =,1,2},{|B z z x y ==+,x A ∈,}y A ∈,则(B =)A ．{0,1,2,3,4}B ．{0,1,2}C ．{0,2,4}D ．{1,2}【解答】解：{0A =,1,2},{|B z z x y ==+,x A ∈,}y A ∈,。

01集合及其表示法(9种题型)【课程细目表】一、知识梳理二、考点剖析1.集合的含义2.元素与集合关系的判断3.集合的确定性、互异性、无序性4.集合相等5.有限集与无限集.6.集合的表示法--描述法7.集合的表示法--列举法8.集合的表示法--区间法9.集合的表示法--综合应用三、过关检测【知识梳理】一、集合的意义1.集合的概念我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集．集合中的各个对象叫做这个集合的元素．对于一个给定的集合，集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．确定性是指一个对象要么是给定集合的元素，要么不是这个集合的元素，二者必居其一．比如“著名的数学家”、“较大的数”、“高一一班成绩好的同学”等都不能构成集合，因为组成集合的元素不确定．互异性是指对于一个给定的集合，集合中的元素是各不相同的，也就是说，一个给定的集合中的任何两个元素都是不同的对象，集合中的元素不重复出现．例如由元素1，2，1组成的集合中含有两个元素：1，2．无序性是指组成集合的元素没有次序，只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．2.集合与元素的字母表示、元素与集合的关系集合常用大写字母A、B、C⋯来表示，集合中的元素用a、b、c⋯表示，如果a是集合A的元素，就记作a∈A，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，就记作a∉A，读作“a不属于A”3.常用的数集及记法数的集合简称数集，我们把常用的数集用特定的字母表示：全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N，不包含零的自然数组成的集合，记作N*全体整数组成的集合，即整数集，记作Z全体有理数组成的集合，即有理数集，记作Q全体实数组成的集合，即实数集，记作R常用的集合的特殊表示法：实数集R(正实数集R+)、有理数集Q(负有理数集Q-)、整数集Z(正整数集Z+)、自然数集N(包含零)、不包含零的自然数集N*；4.集合相等如果两个集合A与B的组成元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A=B．5.集合的分类我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集我们引进一个特殊的集合--空集，规定空集不含元素，记作∅，例如，方程x2+1=0的实数解所组成的集合是空集，又如，两个外离的圆，它们的公共点所组成的集合也是空集．6.空集我们把不含任何元素的集合，记作φ。

新高一衔接教材数学新版高一暑期衔接数学课程第1讲数与式1910+⨯的正整数n ，有1(1)n n ++第2讲一元二次函数与二次不等式第3讲一元二次方程与韦达定理第4讲基本不等式【内容概述】基本不等式2a bab +≤1、若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号.2、如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 变形： 有:a+b ≥ab 2；ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ,当且仅当a=b 时取等号.3、如果a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值42S .注：1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． 2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 4、常用不等式有：1）2222211a b a b ab a b++≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； 2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）； 3）若0,0a b m >>>，则b b ma a m+<+（糖水的浓度问题）。

变式1: 变式：（配凑项与系数） 1. 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

2. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

3.（耐克函数型）求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()af x x x=+的单调性。

4.（用耐克函数单调性）求函数2254x y x +=+的值域。

5.（条件不等式）1）若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 .2）已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。

考点1：集合的概念1．⑴ 集合的含义：一些能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）．如：现在我们班上的所有同学，构成了一个集合，其中每个同学都是这个集合中的一个元素． ⑵ 一般情况下，集合用英文大写字母,,,A B C 表示．元素用英文小写字母,,,a b c 表示； ⑶ 不含任何元素的集合叫做空集，记作∅．2．元素与集合的关系：如果a 是集合A 中的元素，就说a 属于A ，记作a A ∈； 如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于A ，记作a A ∉．3．某些常见的数集（数集即元素是数的集合）的写法：自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集N *N 或N + Z Q R练习1： 用∈，∉填空．①1-___N ；②3-___*N ；③12__Z ；④3.14___Q ；⑤5___Q ；⑥22-___R ；⑦π___R ；4．元素的性质①确定性：集合中的元素是确定的，不能模棱两可．②互异性：集合中的元素是互不相同的，相同的元素在集合中只能算作一个． ③无序性：集合中的元素是无次序关系的．1.1 集合的概念与表示第1讲集 合【例1】 ⑴ 若221x x +，，是一个集合中的三个元素，实数x 应满足什么条件？⑵设R x ∈，将对象x ，x -，2x ，33x -，44x -，24x 组成集合M ，则集合M 中元素最多时有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 ⑶下列叙述中正确的个数是（ ）①若a -∈Z ，则a ∈Z ；②若a -∉N ，则a ∈N ；③a ∈Z ，若a -∉N ，则a ∈N ；④a ∈Z ，若a ∈N ，则a -∉N ． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个考点2：集合的表示法——列举法与描述法5．集合的表示法⑴ 列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，并写在大括号“{ }”内的表示集合的方法．例如：{12345}，，，，，{12345}，，，，，．【注意】列举法既可以表示有限集（集合中元素个数是有限多个的），也可以表示元素呈现一定规律的无限集，如不大于100的自然数，可以表示为{0123100}，，，，，，自然数集可以表示成{0123}，，，，．有了列举法，我们就很容易将一些语言翻译成集合语言，如方程260x x +-=的解集可以写成{23}-，；直线2y x =与直线2y x =的交点集合可以写成{(00)(24)}，，，．⑵ 描述法（又称特征性质描述法）：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如{|()}x A p x ∈，()p x 称为集合的特征性质，x 称为集合的代表元素．A 为x 的范围，有时也写为{|()}x p x x A ∈，． 例如：大于3的所有整数用描述法表示为{|3}x x ∈>Z ． 方程260x x +-=的实根用描述法表示为2{|60}x x x ∈+-=R ．【注意】①描述法给出了一个客观的标准，用{|}表示，竖线前面表示集合描述的是谁，竖线后面表示集合中描述的元素具有什么特点．如：{3000}x x 是山峰｜的高度在米以上；{|}x x 是人物角色是《红楼梦》中出现的人； {|}x x 是人是《西游记》中出现的人，老师讲到此处时，可以调节一下课堂气氛，问一下学生： 孙悟空在这个集合中吗？不在，他不是人；猪八戒在吗？不在，他也不是人．李世民在吗？在；天篷元帅在吗？……{|3}x x ∈R ≥，说明集合描述的是实数x ，这个实数具有大于等于3的特点． 若元素范围为R ，在不致发生误解时，x ∈R 也可以省略，直接写成{|3}x x ≥． 但对于集合{|3}x x ∈Z ≥，则x ∈Z 一定不能省略．②除了数集外，还有一类集合是点集，集合中的元素是点，竖线前面的代表元素为()x y ，．如：2{()|}x y y x x =∈R ，，，说明集合是点集，点()x y ，满足2y x =，故集合中的点在抛物线2y x =上，即此集合表示抛物线2y x =上所有的点．③描述法需要注意集合描述与字母选取无关，即{|2}x x >与{|2}y y >表示的是同一个集合．字母只是一个代号，是浮云，后面学到函数我们还会强调这一点．就相当于不管你怎么改名字，你还是你．练习2：将下列用描述法表示的集合用列举法表示出来：①2{|10}A x x =∈-=R ；②2{|10}B x x =∈-=Z ；③2{|10}C x x =∈-=N ；④22{()|0}D x y x y =+=，；⑤{()|1E x y y x ==-，，且2}y x =．练习3：用通俗的语言（即自然语言）描述下面集合表示的含义：①{|21}x x k k ∈=-∈R Z ，；②{|2}x x k k ∈=∈R Z ，；③21()|y x x y y x ⎧⎫=+⎧⎪⎪⎨⎨⎬=⎪⎪⎩⎩⎭，．【例2】 请指出以下几个集合间的区别，有等价集合的写出其等价集合（即给出集合的另一种写法）．2{|1}A x y x =∈=+R ，2{|1}B y y x =∈=+R ，2{()|1}C x y y x ==+，．【例3】 ⑴已知集合{1234}A =，，，，集合{()|}M a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，，用列举法表示集合M =_________________．⑵已知集合2010|5M a a a *⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N N ，，集合20102010|55N a a a *⎧⎫=∈∈⎨⎬--⎩⎭N N ，，则用列举法表示集合M =________，集合N =_______________．⑶集合{}|2A x x k k ==∈Z ，，{}|21B x x k k ==+∈Z ，，{}|41C x x k k ==+∈Z ，，又a A ∈，b B ∈，则有（ ）A ．a b A +∈B ．a b B +∈C ．a b C +∈D ．a b +不属于A ，B ，C 中任意1个【备选】 集合{}222(,,)432,,,A x y z x y z xy y z x y z =+++=++∈R 中有（ ）个元素．A ．0B ．1C ．2D ．无数列举法与描述法是我们最常用，也是最普遍的两种集合的表示方法．前者简单直观，一个对象是否在其中一目了然，但只能表示一些比较简单的集合．后者具有普遍的意义，有时解读起来并不容易，高考压轴题有些具有集合背景，首先就需要对一个由描述法给出的集合进行解读，我们会在秋季时再看．除了这两种表示方法之后，还有两种集合的特殊的表示方法，一种是在后面讲的集合的相互关系中常常遇到，称为图示法，也叫维恩图．还有一种方法—区间表示法可以表示一类特殊的连续数集．考点3：集合的表示法——图示法与区间表示法⑶ 图示法：用平面内的一个封闭曲线的内部表示一个集合，这个区域通常叫做维恩（Venn ）图．图示法常用在表示集合的相互关系与运算中．见板块1.2与板块1.3．⑷ 区间表示法：设a b ∈R ，，且a b <，定义 名称 符号 数轴表示{|}x a x b ≤≤ 闭区间 []a b ， x ba{|}x a x b << 开区间 ()a b ， a b x {|}x a x b <≤ 左闭右开区间 [)a b ， a b x {|}x a x b <≤ 左开右闭区间(]a b ， a b x {|}x x a ≥ 一类特殊的区间[)a +∞， ax{|}x x a ≤(]a -∞，ax{|}x x a > ()a +∞， ax{|}x x a <()a -∞，ax实数a 与b 都叫做相应区间的端点；“+∞”读作“正无穷大”， “-∞”读作“负无穷大”． 实数集R 也可以用()-∞+∞，表示．练习4：将下面的集合表示成区间：⑴{|12}x x -<≤；⑵{|240}x x ->；⑵{|420}x x -≥．【例4】 把下列集合表示成区间⑴{|1}x x ≤；⑵2{|2}y y x x =-+；⑶2{|22111}y y x x x =++-<<，．**************************************************************************************** 这里补充一个初高衔接的内容：配方法（学生版不出现，课件出现，以后同）配方法是针对二次函数或者换元后是二次函数的函数求取值范围或最大最小值常用的一种方法，是高中需要熟练掌握的一种方法．【例题】求出下列函数的最大值、最小值和对应的x 值．⑴2241y x x =+-；⑵2261y x x =-++；⑶2241y x x =+-，22x -≤≤；⑷2261y x x =-++，12x -≤≤．【练习】求下列函数的最值：⑴221y x x =++，11x -≤≤；⑵227y x x =---，2x -≤≤1．****************************************************************************************考点4：子集、真子集与集合相等1．子集：对于两个集合A B ，，如果集合A中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作 “A 包含于B ”（或“B 包含A ”）．规定：∅是任意集合的子集．如果集合A 中存在着不是集合B 中的元素，那么集合A 不包含于B ，记作A B 或B A ．2．真子集：如果集合A B ⊆，且存在元素x B ∈，但x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B （或B A ），读作A 真包含于B （B 真包含A ）． 规定：∅是任意非空集合的真子集．练习5：下列四个命题中正确的有_______．①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集；③空集的元素个数为零； ④任何一个集合必有两个或两个以上的子集．3．集合相等：如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊆），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，我们说集合A 与集合B 相等，记作A =B ．【例5】 ⑴ 下面关系式中，正确的是_______．①0{}∈∅；②{}∅∅；③{0}∅；④{}a a ⊆；⑤{}{}a a ；⑥{}a ∅∈．⑵用=≠，，，填空：①{1}______2{|320}x x x -+=；②{12}，______2{|320}x x x -+= ③∅______2{|20}x x ∈+=R ；④{|32}x x +>______{|10}y y ->；1.2集合的关系⑤2{()|1}x y y x =+，_____2{|1}y y x =+；⑥2{|1}x y x =+_____2{|1}y y x =+； ⑦{(2,3)}______{(3,2)}；⑧{23}，______{(23)}，．考点5：交集、并集与补集交集的引入直观上，现在你有两个集合，这两个集合的公共部分就是一个新的集合，这就是交运算．例：{我们班所有男生}和{我们班所有戴眼镜的同学}，它们的公共部分就是{我们班所有戴眼镜的男生}，这是一个新的集合，这个过程就是交的运算过程．而{我们班所有的男生}和{我们班所有的女生}，它们的公共部分没有任何元素，就是空集．A 与B 的交集用A B 表示．给一些数学上的例子： 例：⑴{123}{234}A B ==，，，，，，则{23}A B =，；⑵A B ==Z N ，，则A B =N ； ⑶{|2}A x x k k ==∈Z ，，{|21}B x x k k ==+∈Z ，，则A B =∅；交集的严格数学定义即：{}|A B x x A x B =∈∈且．我们可以注意到AA A A =∅=∅，，若AB ⊆，则A B A =．1．交集：对于两个给定的集合A 、B ，属于A 又属于B 的所有元素构成的集合叫做A 、B 的交集，记作“A B ”．集合A B 用符号语言表示为：{}|A B x x A x B =∈∈且，用维恩（Venn ）图表示为：A B =∅ A B B = AB 为其公共部分并集的引入直观上，现在你有两个集合，你把两个集合中的元素放到一块，就得到一个新的集合．例：{我们班所有男生}和{我们班所有女生}两个集合放一块，就是{我们班所有同学}，这个过程就叫做并的运算过程．A 与B 的并集用A B 表示．可以给一些数学上的小例子： 例：⑴{123}{456}A B ==，，，，，，则{123456}A B =，，，，，；⑵{|2}A x x k k ==∈Z ，表示所有偶数，{|21}B x x k k ==+∈Z ，表示所有奇数，则A B =Z 为所有整数； ⑶{|41}A x x k k ==+∈Z ，，{|43}B x x k k ==+∈Z ，，则A B ={|21}x x k k =+∈Z ，．在并的运算过程中，注意元素相同的只需要考虑一个就行，不能重复出现，这是由集合中元素的1.3集合的运算BA互异性决定的．例{123}{234}A B ==，，，，，时，{1234}A B =，，，；A B ==Z N ，，则A B =Z ； 我们可以注意到A A A A A =∅=，，若A B ⊆，则A B B =． 有了并的运算后，很多写法就非常简单了，如2320x x -+>的解集可以写成{|1x x <或2}x >，可以用区间与并集符号写成(1)(2)-∞+∞，，．2．并集：对于两个给定的集合A 、B ，由两个集合所有元素构成的集合叫做A 与B 的并集，记作“A B ”．集合A B 用符号语言表示为{}|A B x x A x B =∈∈或;用维恩（Venn ）图表示如下： 或 或补集的引入一般情况下，把我们所描述对象的所有全体当作一个对象，这个对象就是全集．把在全集U 中不属于A 的那些元素构成的集合，叫到A 在U 中的补集，直观上，就是从U 中把A 挖掉剩下的部分．如：U ={我们班同学}，A ={我们班男生}，A 的补集就是{我们班女生}；U ={我们班人}，A ={我们班同学}，A 的补集就是{老师}．A 在U 中的补集记为U A ．例：{12345}U =，，，，，{123}A =，，，则{45}UA =，；ZN 就是所有的负整数；R Q 就是所有的无理数；{|21}A x x k k ==+∈Z ，，则{|2}A x x k k ==∈ZZ ，；[55]A =-，，[01]B =，，[50)(15]A B =-，，．3．补集： ①全集：如果所研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，常用U 表示． ②补集：如果给定集合A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合，叫做A 在U 中的补集，记作“U A ”．读作“A 在U 中的补集”．A 在U 中的补集的数学表达式是{}|UA x x U x A =∈∉，且．用维恩（Venn ）图表示：【例题】用集合的运算表示下面阴影部分的集合．⑴UBA ⑵A BU⑶A BU【例6】 ⑴已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合UAB 等于（ ）A ．}{|24x x -≤≤B ．{}|34x x x 或≤≥C ．{}|21x x -<-≤D ．{}|13x x -≤≤⑵设集合{}21|2|12A x x B x x ⎧⎫=-<<=⎨⎬⎩⎭，≤，则A B =（ ）A ．{}|12x x -<≤B ．1|12x x ⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭≤C ．{}|2x x <D ．{}|12x x <≤⑶集合{}{}2|03|9P x x M x x =∈<,=∈Z R ≤≤，则PM =（ ）A ．{}12,B ．{}012,,C ．{}|03x x <≤D ．{}|03x x ≤≤ ⑷已知集合{}2|1P x x =≤，{}M a =，若P M P =，则a 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．[)1+∞，C ．[]11-，D ．(][)11-∞-+∞，，【例7】 ⑴集合222{|320}{|2(1)(5)0}A x x x B x x a x a =-+==+++-=，，若{2}A B =，求实数 a 的值； ⑵集合2{|10}{|320}A x ax B x x x =-==-+=，，且A B B =，求实数a 的值．【备选】（复旦大学2006年自主招生考试）若非空集合{|135}X x a x a =+-≤≤，{|116}Y x x =≤≤，则使得X X Y ⊆成立的所有a 的集合是（ ）A ．{|07}a a ≤≤B ．{|37}a a ≤≤C ．{|7}a a ≤D ．空集****************************************************************************************【演练1】用最恰当的符号（∈∉=≠，，，，，）填空 ⑴___{0}∅； ⑵2___{(1,2)}； ⑶0___2{|250}x x x -+= ⑷{35}，____2{|8150}x x x -+=； ⑸{35}，___N ；⑹{|2}x x k k =∈N ，______{|6}x x ττ=∈N ， ⑺{|41}x x k k =+∈Z ，____{|43}x x k k =-∈Z ，．【演练2】已知集合{123}A =，，，用列举法表示下面集合⑴{()|}M a b a A b A =∈∈，，；⑵{()|}N a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，．【演练3】已知{}2|1M y y x x ==-∈R ，，{}|1P x x a a ==-∈R ，，则集合M 与P 的关系是（ ） A ．M P = B ．P M ∈ C ．MP D ．M P【演练4】⑴ 已知2{|43}A y y x x x ==-+∈R ，，2{()|22}B x y y x x x ==--+∈R ，，，则A B等于（ ）A ．∅B ．{(1,3)}-C ．RD ．[13]-，⑵ 已知2{|43,}A y y x x x ==-+∈R ，2{|22,}B y y x x x ==--+∈R ，则A B 等于（ ）A ．∅B ．{1,3}-C ．RD ．[13]-， ⑶已知(){}2|43,A x y y xx x ==-+∈R ，，(){}2|22,B x y y x x x ==--+∈R ，，则AB 等于（ ）A ．∅B ．{(1,3)}-C ．RD ．[13]-，实战演练【演练5】设集合{|(3)()0,}=--=，求A B A B，．B x x x=--=∈R，{|(4)(1)0}A x x x a a概念要点回顾1．集合中的元素具有______性、______性、______性；2．常用数集的符号：自然数集____；正整数集____；整数集____；有理数集____；实数集_____．3．集合的表示法：把集合中的元素一一列举出来的方法叫做______；把集合中的元素用一个代表元素表示，并注明满足的条件的方法叫做______；通常用来表示集合与集合之间的关系的方法叫做_______．用来表示连续数集的方法叫做______．4．用来表示元素与集合的关系的符号有_______，用来表示集合与集合的关系的符号有_____________．5．空集是______的子集、空集是___________的真子集．6．两个集合的运算有______、______与______，用这些运算的符号表示下列集合:∈，且}x A∉=______．∈=___B,{|x x Ux B A∈，且}x B A∈=___B；{|x x A∈，或}{|x x A考点2：函数的概念函数的概念：设集合A 是非空的数集，对于A 中的任意实数x ，按照确定的对应法则f ，都有唯一确定的实数值y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数．记作()y f x x A =∈，．其中，x 叫做自变量，自变量的取值范围（数集A ）叫做这个函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{()|}y f x x A =∈叫做函数的值域．函数()y f x =也常写作函数f 或函数()f x ．练习2：已知函数2()f x x x=+．⑴(1)f =_______，(4)f =_______；⑵当0a >时，()f a =_____________，(1)f a +=______________．【例8】已知函数221()1222x x f x x x x x +-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩，≤，，≥，⑴求(π)f ； ⑵若()3f a =，求a ．【例9】 求下列函数的定义域．①32y x x =+-；②1x y x =-；③21x y x -=-；④()1231f x x x =-⋅-；⑤01()(3)2f x x x =+--；⑥2()2f x x x =+-．2.2函数的概念与三要素知识点睛经典精讲第2讲函数及其表示****************************************************************************************初高衔接——解一元二次不等式求定义域问题中会遇到很多解一元二次不等式的问题，这部分内容初中有所提及，但有些同学掌握的还不太好，可以在这里再复习巩固一下．高中解一元二次不等式多借助一元二次函数的图象，知识点如下：解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有），再结合一元二次函数的图象写出不等式的解集：大于0时两根之外，小于0时两根之间．一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表 （以0a >为例）：【例题】解下列一元二次不等式⑴ 2420x x -->；⑵ 2613280x x --<；⑶2(11)3(21)+++x x x x ≥； ⑷ 2450x x ++>；⑸ 220x x -+->．【练习】解下列一元二次不等式⑴22320x x -->；⑵240x x ->；⑶210x x -+≤．⑷2233312x x x -+>-．【拓展】若01a <<，则不等式1()0x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭的解集是______________．****************************************************************************************考点3：同一函数同一函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，我们就称这两个函数是同一函数．【例10】 下列各组函数中，表示同一函数的有________．①1y =与x y x= ；②y x =与33y x = ③y x =与2()y x =；④y x =与2y x = ⑤y x =与00x x y x x ⎧=⎨-<⎩，≥，；⑥11y x x =+-21y x =-11y x x =+-21y x =-考点4：复合函数及其定义域复合函数的概念：如果y 是u 的函数，记作()y f u =，u 是x 的函数，记为()u g x =，且()g x 的值域与()f u 的定义域的交集非空，则通过u 确定了y 是x 的函数[()]y f g x =，这时y 叫做x 的复合函数，其中u 叫做中间变量，()y f u =叫做外层函数，()u g x =叫做内层函数．⑴ 只有当外层函数()f u ()g x [()]f g x ．⑵ 理解函数符号()f x ，及[()]f g x 与[()]g f x 的区别．⑶ 复合函数的定义域是由外层函数的定义域、内层函数的值域与定义域共同决定的．【例11】⑴已知()21f x x =+，()21g x x =-，求[()]f f x ，[()]f g x ，[()]g f x 与[()]g g x ．⑵已知()f x 与()g x 分别由下表给出：x 12 34x 1 2 3 4()f x2 34 1 ()g x 2 1 43 那么()()2f f =＿＿，()()2f g =＿＿，()()2g f =＿＿，()()2g g =＿＿；满足()()f g x g f x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的x 的值是＿＿．【例12】⑴若()f x 的定义域为(1,3]，求(2)f x +的定义域；⑵若(2)f x +的定义域是(1,3]，求()f x 的定义域； ⑶若(2)f x +的定义域是(2,5]，求2(3)f x +的定义域．考点5：函数的值域1．部分常见函数的值域：常见函数的值域问题都可以借助函数的草图解决． ⑴一次函数：(0)y kx b k =+≠，图象为一条直线． 不加限制时，定义域为R ，值域为R ． 若定义域发生限制，21y x =+，[31]x ∈-，，值域为[53]-，，就是把端点值代入． 若是取不到端点，如12y x =-，(2]x ∈-∞，，结合图象易知答案为[3)-+∞，． ⑵二次函数：2(0)y ax bx c a =++≠，图象为抛物线． 进入高中后，要习惯性把0a ≠写上．若定义域无限制，值域为从最小值到正无穷（0a >）或从负无穷到最大值(0)a <． 若定义域有限制，需要判断对称轴是否在区间内，并考虑端点离对称轴的远近，结合图象得到结果．⑶反比例函数：ky x=（0k ≠），图象为双曲线．0k >，图象在第一、三象限：0k <，图象在第二、四象限： 如果定义域无其它限制，值域为(0)(0)-∞+∞，，；如果定义域有其它限制，结合图象得到结果．遇到这三种函数的值域问题，我们应该首先画这些函数的草图，然后再看看函数对应的是图象的哪一段，最后得到所求函数的值域．2．简单复合函数的值域：先求定义域，再自内而外一层一层求值域．练习3：求函数2()1f x x =-的值域．【铺垫】求下列函数的值域：⑴21y x =--，[13]x ∈-，；⑵21y x x =++，[13]x ∈-，；⑶1[13]1y x x =∈+，，； 【例13】求下列函数的值域．⑴2y =-，[21]x ∈--，；⑵1212y x x =->-+，；⑶21y x =-+ ⑷232y x x =-+；⑸282y x x =--【拓展】2()245f x x x =-+集合的表示方法 列举法 描述法 图示法 优点 简单、直观 严谨 直观 缺点 不能表示复杂的集合 抽象 很难表示规则 函数的表示方法 列表法解析法图象法优点 不需要计算、直观 简明概括，易求值 直观，能反映大趋势缺点 不能表示复杂的函数不直观 不够精细考点6：函数的表示法函数的三种表示法⑴ 列表法：列出自变量与对应函数值的表格来表达两个变量之间的关系的方法． 优点：不需要计算就可以直接得到与自变量的值相对应的函数值，对于由统计数据得到的函数关系，列表法很适用．⑵ 图象法：把一个函数定义域内的每个自变量x 的值和它对应的函数值()f x 构成的有序实数(())x f x ，对作为点的坐标，所有这些点的集合就称为函数()y f x =的图象，即{()|()}F P x y y f x x A ==∈，，．这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法．优点：能够直观形象地表示与自变量的变化相应的函数值的变化趋势，方便通过数形结合研究函数的相关性质．⑶ 解析法：用代数式（或解析式）表示两个变量之间的函数对应关系的方法，如26y x =-．优点：一是简明、全面地概括了变量之间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．练习4：赵小雪同学开了一个小店，里面有5件商品，每个商品的定价都为2元，x 表示卖出商品的数量，y 表示销售收入，用三种方法表示y 关于x 的函数．【例14】 求下列函数解析式⑴已知2()1f x x =+，求(21)f x +； ⑵已知2(1)3f x x x -=+-，求()f x ；⑶已知(32f x x x =-()f x ．已知函数()21f x x =+的定义域为[22]-，，求函数(2)()f x f x -的值域．【演练1】已知集合A *=N ，{}21Z B a a n n ==-∈，，映射:f A B →，使A 中任一元素a 与B 中元素21a -对应，则与B 中元素17对应的A 中元素是（ ） A ．3 B ．5C ．17D ．9【演练2】下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．1y x =-和211x y x -=+ B ．0y x =和1y =C ．()2f x x =和()()21g x x =+ D ．()()2x f x x=和()()2xg x x =【演练3】已知函数()34f x x =--的值域为[]105-，，则它的定义域为 ．【演练4】已知()f x 的定义域为[12)-，，则(||)f x 的定义域为（ ）．A ．[12)-，B ．[11]-，C ．(22)-，D ．[22)-，【演练5】 ⑴已知()123f x x +=+，则()3f = ．⑵设(2)23g x x +=+，则()g x =_______．【演练6】已知210()20x x f x x x ⎧+=⎨->⎩≤，，，若()10f a =，求a ．实战演练概念要点回顾1．函数的概念：设集合A是非空的数集，对于A中的____实数x，按照确定的对应法则f，都有_____的实数值y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数．记作，．y f x x A=∈()2．函数的三要素是：________、________与________，其中________与________一致的函数就称为同一函数；3．函数的表示方法有______、_______与_______．4．对于复合函数[()]f g x，内层函数是______，外层函数是______，求复合函数的值域需要先求_____，再________一层一层求值域．第3讲函数的单调性考点1：单调性的概念1．一般地，设函数()y f x =的定义域为D ，区间I D ⊆：⑴ 增函数：如果对于I 上的任意两个自变量的值12x x ，，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就称函数()f x 在区间I 上是增函数； ⑵ 减函数：如果对于I 上的任意两个自变量的值12x x ，，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就称函数()f x 在区间I 上是减函数；2．单调性：如果函数()y f x =在某个区间I 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这个区间上具有单调性，区间I 叫做()y f x =的单调区间．【例15】 已知定义在区间[44]-，上的函数()y f x =的图象如下，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．O yx431124【解析】 函数()y f x =的单调区间有：[42]--,，[21]--,，[11]-，，[13]，，[34]，．其中在区间[21]--,，[13]，上是减函数，在区间[42]--,，[11]-，，[34]，上是增函数．考点2：单调性的严格证明用定义法证明函数单调性的一般步骤：①取值：即设1x ，2x 是该区间内的任意两个值，且12x x <．②作差变形：通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．③定号：确定差12()()f x f x -（或21()()f x f x -）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论．④下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间．练习1：()21f x x =+，证明()f x 在R 上单调递增．3.1函数单调性的定义与判别【例16】⑴证明：函数2()f x x =在(0]-∞，上单调递减；⑵证明：函数1()f x x=在(0)+∞，上单调递减．【例17】⑴证明：函数3()f x x =在定义域上是增函数．⑵证明：函数2()3x g x x =-在区间[12]，上是减函数．****************************************************************************************初高衔接——立方和与立方差公式⑴立方和公式 3322()()a b a b a ab b +=+-+； ⑵立方差公式 3322()()a b a b a ab b -=-++．【例题】⑴已知12x x +=，则331x x +=_____．⑵已知1x y +=，则333x y xy ++的值为_________．【练习】已知12x x-=，则331x x -=_____．【拓展】实数a b ，满足3331a b ab ++=，则a b += ．****************************************************************************************【拓展】讨论函数2()1axf x x =-（110x a -<<≠，）的单调性．考点3：利用单调性解简单的函数不等式【例18】 ⑴已知函数()f x 为R 上的增函数，且(21)(2)f m f m ->+，则m 的取值范围是_______．⑵函数()f x 在(0)+∞，上为减函数，那么2(23)f a a -+与(1)f 的大小关系是________．【拓展】已知函数()f x 为R 上的减函数，则下列各式正确的是（ ）A ．()(2)f a f a >B ．2()()f a f a <C ．2()()f a a f a +<D ．2(1)()f a f a +<考点4：常见函数的单调性常见函数的单调性：1．一次函数()f x kx b =+（0k ≠），单调性由k 决定，12x x <，()()()1212f x f x k x x -=-， 当0k >时，()f x 在R 上单调递增；当0k <时，()f x 在R 上单调递减．2．二次函数()()20f x ax bx c a =++≠， 当0a >时，()f x 在2b a ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦，上单调递减，在2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增； 当0a <时，()f x 在2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，上单调递增，在2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递减．3.2常见函数单调性练习2：一个二次函数在()05，上单调递增，在()30-，上单调递减，则它的对称轴为_____．3．反比例函数()kf x x=，0k ≠．当0k >时，()f x 在()0-∞，和()0+∞，上分别单调递减；当0k <时，()f x 在()0-∞，和()0+∞，上分别单调递增． 【例19】⑴已知函数y ax =和by x=-在区间(0)+∞，上都是减函数，则函数1by x a=+在R 上的单 调性是_____________．(填增函数或减函数或非单调函数)⑵已知函数2()(1)2f x a x =-+在()-∞+∞，上为减函数，则a 的取值范围为________．⑶若函数2()2012f x x ax =++在(2)-∞，上单调递减，在(2)+∞，上单调递增，则a =___．⑷若函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(4)-∞，上为减函数，则a 的取值范围是 ．【拓展】已知函数()()213f x ax a x a =+-+在区间[)1+∞，上递增，则a 的取值范围是 ．考点5：复合函数单调性对于复合函数[()]y f g x =的单调性，必须考虑函数()y f u =与函数()u g x =的单调性， 函数[()]y f g x =的单调性如下表：()y f u = 增函数 增函数 减函数 减函数 ()u g x = 增函数 减函数 增函数 减函数 [()]y f g x = 增函数 减函数 减函数 增函数小结：同增异减．练习3：判断函数1y x =+的单调性．【例20】判断下列函数的单调性．⑴1y x =- ⑵15y x=- ⑶2145y x x =++ ⑷232y x x =-+．【例21】 判断函数324y x=--的单调性．【拓展】判断函数2312y x=--的单调性．1．若函数()f x 在区间[13)，上是增函数，在区间[35]，上也是增函数，则函数()f x 在区间[15]，上（ ）A ．必是增函数B ．不一定是增函数C ．必是减函数D ．一定是增函数或减函数若函数211()21x x f x ax x ⎧+=⎨-<⎩，≥，在R 上是单调递增函数，则a 的取值范围为__________．2．如果函数2y ax =+在()1-+∞，上单调递增，求a 的取值范围．【演练1】关于函数()(0)kf x k x=<的下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在(0)+∞，上单调递减B ．()f x 在(0)-∞，上单调递减C ．()f x 的单调增区间为(0)(0)-∞+∞，，D ．()f x 的单调增区间为(0)-∞，和(0)+∞，【演练2】函数2()21f x x x =-+-在区间[2011]a -，上是增函数，则a 的取值范围为________．【演练3】证明：函数()f x x =-在定义域上是减函数．【演练4】已知()f x 为R 上的减函数，则满足1(1)f f x⎛⎫> ⎪⎝⎭的实数x 的取值范围是（ ） 实战演练A ．(1)-∞，B ．(1)+∞，C ．(0)(01)-∞，，D ．(0)(1)-∞+∞，，【演练5】判断下列函数的单调性：⑴15y x=+；⑵42y x =-；⑶243y x x =--．1．函数的单调性的定义：如果对于区间I 上的________12x x ，，当12x x <时，都有________，那么就称函数()f x 在区间I 上是增函数；如果对于区间I 上的________12x x ，，当12x x <时，都有________，那么就称函数()f x 在区间I 上是减函数；2．常见函数的单调性：⑴一次函数y kx b =+：0k >时，在____上是____函数；0k <时，在____上是____函数； ⑵二次函数2y ax bx c =++：0a >时，在_________上单调递增，在________上单调递减；0a <时，在_________上单调递增，在________上单调递减；⑶反比例函数k y x=：0k >时，在_________________上单调______；0k <时，在_________________上单调______；3．复合函数的单调性概念要点回顾当()f g x单调递增；f x与()g x的单调性______时，[()]当()f x与()f g x单调递减．g x的单调性______时，[()]第4讲函数的奇偶性考点1：函数奇偶性的定义与判定1．奇函数：如果对于函数()y f x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数；2．偶函数：如果对于函数()y g x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，且()()g x g x -=，那么函数()g x 就叫做偶函数．3．图象特征：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数； 如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数．练习1：⑴证明：()4211f x x x =++是偶函数．⑵证明：31()g x x x=+是奇函数．【铺垫】判断下列函数的奇偶性：①()3f x x =；②()31f x x =-；③4()1f x x =+；④1()f x x x=-；⑤2()1f x x x =-+；⑥2()1f x x x =-+．【例22】将下列函数按照奇偶性分类：①(]2()11f x x x =∈-，，；②()()011f x x =∈-，，；③1()1f x x =-； ④()11f x x x =-+-；⑤22()11f x x x =-+-；⑥32()1x xf x x +=-； ⑦()212|2|x f x x -=-+； ⑧1()(1)1xf x x x +=⋅--；⑨10()10x f x x ⎧=⎨-<⎩≥，，； ⑩10()10x x f x x x ->⎧=⎨+<⎩，，．⑴ 是奇函数但不是偶函数的有__________________；⑵ 是偶函数但不是奇函数的有___________________； ⑶ 既不是奇函数也不是偶函数的有__________________；⑷ 既是奇函数又是偶函数的有 （填相应函数的序号）．4.1函数奇偶性的定义与判别【拓展】函数29|4||3|x y x x -=++-的图象关于（ ）A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线0x y -=对称【例23】 ⑴若函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则()f x 的递减区间是 ．⑵已知函数22()(1)(1)2f x m x m x n =-+-++，当m = ，n = 时，()f x 是奇函数．【例24】 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()g x 是定义在R 上的偶函数，且23()()1f x g x x x -=--，则()g x 的解析式为（ ）A ．21x -B ．222x -C ．21x -D ．222x -【例25】 ⑴已知()()f x g x ，都是定义在R 上的函数，下列说法正确的是（ ）A ．若()f x 为奇函数，()g x 为奇函数，则()()f x g x ⋅为奇函数B ．若()f x 为奇函数，()g x 为奇函数，则()()f x g x +为奇函数C ．若()f x 为奇函数，()g x 为奇函数，则[()]f g x 为偶函数D ．若()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，则[()]f g x 为奇函数 ⑵设函数3()(1)()f x x x x a =++是奇函数，则a =_______． 考点2：函数奇偶性的简单应用练习2：()f x 是偶函数，且在[)0+∞，上，()21f x x =+，则在()0-∞，上，()f x =_______．【例26】 ⑴()f x 是偶函数，在[)0+∞，上，()243f x x x =-+，则在()0-∞，上()f x =________．⑵()f x 是偶函数，在()0+∞，上，()31f x x x=+，则在()0-∞，上，()f x = ．⑶已知函数()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，21()f x x x=-．求函数()f x 的解析式．．单调性：若一个偶函数在()0+∞，上单调递增，则在()0-∞，上单调递减；若一个奇函数在()0+∞，上单调递增，则在()0-∞，上单调递增．说明：偶函数在对应区间上单调性相反，奇函数在对应区间上单调性相同．4.2单调性与奇偶性综合练习3：已知()1f x x x=+，它是奇函数，已知它在()01，上单调递减，在()1+∞，上单调递增，那么可以得到它在(0)-∞，上的单调情况为______________．【例27】⑴定义在R 上的偶函数()f x 满足在[0)+∞，上单调递增，则（ ）A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<- ⑵设()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0)-∞，上是增函数，则(1)f -与2(23)f a a -+（a ∈R ）的大小关系是__________．⑶()f x 是偶函数，在[)0+∞，上单调递增，且()10f =，解不等式()220f x -<． ⑷()f x 是奇函数，在()0+∞，上单调递增，且()10f =，解不等式()220f x -<．【拓展】已知定义在R 上的奇函数()f x 是一个减函数，且120x x +<，230x x +<，310x x +<，则()()()123f x f x f x ++的值（ ）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．以上均有可能已知定义在[22]-，上的奇函数()f x 是增函数，求使(21)(1)0f a f a -+->成立的实数a 的取值范围．【演练1】定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且()0f x ≠，则2()1()F x x f x =--⋅（ ）A ．是奇函数但非偶函数B ．是偶函数但非奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．为非奇非偶函数实战演练。

暑假新高一数学衔接课程第一讲：代数式及恒等变形第二讲：方程与方程组第三讲：不等式与不等式组第四讲：函数及其表示第五讲：二次函数的图像与性质第六讲：二次函数在给定区间上的最值第七讲：二次方程根的分布问题第八讲：常见函数图像与性质第九讲：函数图像变换第十讲：方法篇第十一讲：思想篇第十二讲：集合附件：两套衔接教材测试卷第一讲 代数式及恒等变形1、乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+。

（3）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（4）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-。

2、二次根式：0)a ≥的代数式叫做二次根式，化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。

3、指数运算法则及推广①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n( N *）n 个 2）)0(10≠=a a ；3）11(ppp ap a a -⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭R ） ②性质：1）(0,rsr sa a a a r +⋅=>、∈s R ）；2）r a aa sr sr ,0()(>=⋅、∈s R ）；3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a rrr ,0,0()( R ）。

4、n 次根式：若存在实数x ，使得a x n =，则称n a x =为a 的n 次方根。

在实数范围内,正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数,零的奇次方根是零，负数没有偶次方根。

5、分数指数幂：nma =6、因式分解（1）提取公因式法； （2）运用公式法； （3）分组分解法；典型例题讲解1、乘法公式的应用例1：已知2=x ，计算22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++的值。

目录第1讲集合的含义及其表示 (1)第2讲集合的子集与补集 (6)第3讲解不等式 (11)第4讲交集与并集（一） (16)第5讲交集与并集（二） (21)第6讲函数的概念及定义域 (26)第7讲函数的解析式 (31)第8讲函数的值域（一） (36)第9讲函数的值域（二） (41)第10讲函数的单调性 (46)第11讲函数的奇偶性 (51)第12讲函数习题课 (56)第13讲分数指数幂 (61)第14讲指数函数 (66)第15讲对数(一) (71)第16讲对数(二) (76)第17讲对数函数 (81)第一讲 集合的含义及其表示【知识要点】1．集合的定义2．集合元素的特征： ①确定性；②互异性；③无序性3．集合的表示方法： ①列举法；②描述法；③文氏图法；④特殊集合4．元素与集合的关系：①属于关系，用“∈”表示；②不属于关系，用“∉”表示【典型例题】例1.判断下列各组对象能否构成集合.（1）不小于2008且不大于2012的所有正整数;（2）比较矮的人（3）身高超过170cm 的人（4）方程2102x x -+=的实根;例2.元素互异性的检验问题(1)设{}24,3,A a a =-，且A ∈9，求实数a 的值．(2)已知2是集合{}21,,x x x -中的元素,试求出x 的值.例3.集合的表示方法（1）用列举法表示集合{}234A x x x =+=． （2）用列举法表示集合{}24,,B y y x x y N ==-∈． （3）用列举法表示集合(){}2,4,,C x y y x x y N ==-∈． （4）用列举法表示集合6,3D x Z x N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭． （5）用描述法表示100内被3整除余2的正整数所组成的集合P（6）平面直角坐标系内在x 轴上方的点组成的集合例4. 已知集合{}R x R a x ax x A ∈∈=++=,,0122．（1）若A 是空集，求a 的取值范围．（2）若A 是单元素集，求a 的值．（3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围．例5．设集合{},,P x y x y xy =-+，{}2222,,0Q x y x y =+-，若P Q =，求,x y 的值及集合P 、Q ．例6.(1)已知集合{}2,,0,,,1b b a Q b b a P +=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=且Q P =．求20072007b a +的值．(2)已知{}{}2,,1,21,1,1r r B d d A =++=,其中1,0≠≠r d ,当r d ,满足什么条件时, B A =?并求出这种情形下的集合A1.下列各组对象不能形成集合的是（ ）A ．高一全体女生B ．高三（1）班家长全体C ．高中所有课程D ．高一（1）班中个子较高的学生2.下列表述中正确的是( )A.{}0=∅B.{}{}1,33,1=C.{}∅=∅D.0N ∉3.定义集合运算：A ⊙B={}B y A x y x xy Z Z ∈∈+=,);(，其中{}{}3,2,1,0==B A ，则集合A ⊙B 的所有元素之和为（ ）A ．0B ．6C ．12D ．18 4.,a b 均为非零实数，且a b y a b=+，则y 可能取值的集合为 5.已知集合{}33,)1(,222++++=a a a a A ，若1A ∈，求a 的值．6.设P 、Q 为两个非空数集，定义集合{|,}P Q a b a P b Q +=+∈∈，若{0,2,5},P = }6,2,1{=Q ，则P Q +中元素的个数是1.下列给出的对象中，能表示集合的是( )A.一切很大的数B.无限接近零的数C.聪明的人D.方程22-=x 的实数根2.集合{5|<∈+x N x }的另一种表示法是（ ）A.{0，1，2，3，4}B.{1，2，3，4}C.{0，1，2，3，4，5}D.{1，2，3，4，5}3.由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是（ ）A.{x|-3<x<11,Q x ∈}B.{x|-3<x<11}C.{x|-3<x<11,x=2k,N k ∈}D.{x|-3<x<11,x=2k,Z k ∈}4.方程的解集为{}22320x x x --=，用列举法表示为_______ ____5.在平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合为______ _____ ___6.设集合A={(x,y)|x+y=6,,x N y N **∈∈} ，用列举法表示集合A=7.已知集合A=126x N N x ⎧⎫∈∈⎨⎬-⎩⎭,用列举法表示集合A= 8.已知A={28160x kx x -+=}中只有一个元素，则实数k 的取值范围为≠⊂第二讲 集合的子集与补集【知识要点】1.集合间的关系:①包含用“⊆”表示；②真包含用“ ”表示；③相等；④不相等2.子集与真子集3.全集与补集的定义【典型例题】例1．集合{,,,}a b c d 的子集有多少个？非空真子集有多少个？例2．已知{}{},,,,,a b A a b c d e ⊆⊆,求满足条件的A ．例3.非空数集{}1,2,3,4,5A ⊆,满足若A a ∈，则A a ∈-6的非空集合A 有多少个?写出这些集合例4．判断如下A 与B 之间有怎样的包含或相等关系：(1)A ＝{x ｜x ＝2k －1，k ∈Z }，B ＝{x ｜x ＝2m ＋1，m ∈Z }(2)A ＝{x ｜x ＝2m ，m ∈Z }，B ＝{x ｜x ＝4n ，n ∈Z }例5．子集综合题（1）已知集合{}}01|{,06|2=+==-+=ax x S x x x P 若P S ⊆，求实数a 的值 （2）已知集合{}{}312,35A x a x a B x x =-<<+=≤≤，若B A ⊆，求a 的范围（3）若集合{}2|10,A x x ax x R =++=∈，集合{}1,2B =，且A B ⊆，求实数a 的取值范围．例6．集合A ＝{x ｜－2≤x ≤5}，B ＝{x ｜m ＋1≤x ≤2m －1}，(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围.(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集个数.(3)当x ∈R 时，没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围.例7．已知全集{}{}{}22,3,23,1,2,3U U a a A a C A a =+-=+=+，求a 的值.【课堂练习】1.下列命题正确的是（ ）A.无限集的真子集是有限集B.任何一个集合必定有两个子集C.自然数集是整数集的真子集D.{1}是质数集的真子集2.以下五个式子中，错误的个数为（ ）①{1}∈{0，1，2} ②{1，－3}＝{－3，1} ③{0，1，2}⊆{1，0，2} ④∅∈{0，1，2} ⑤∅∈{0}A.5B.2C.3D.43.已知集合{}{}12,,A x x B x x a A B =<<=<⊆若，则实数a 的取值范围是（ ）A. 2a ≤B. 2a <C. 2a >D. 2a ≥4.满足{}{}1,21,2,3,4,5X ⊆⊆的集合X 的个数是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．45.设{}{}0,1,2,B A x x B ==⊆，是A 与B 的关系是（ ）A.A B ⊆B.B A ⊆C.A B ∈D.B A ∈6.(1)设全集{}{}22,3,1,3,2U a a A =--=，若{}1U C A =，则实数a 的值为_______ (2)集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，2m }．若B ⊆A ，则实数m ＝(3)已知{1,3,}A m =-，集合{3,4}B =,若B A ⊆,则实数m =(4)已知2{|2530}M x x x =--=，{|1}N x mx ==，若N M ⊆，则适合条件的实数m 的集合P 为 ；P 的子集有 个；P 的非空真子集有 个．7.判断正误(1)空集没有子集 （ ）(2)空集是任何一个集合的真子集 （ ）(3)任一集合必有两个或两个以上子集 （ ）(4)若B ⊆A ，那么凡不属于集合A 的元素，则必不属于B （ ）【课后作业】1.下列八个关系式①{0}=φ ②φ=0 ③φ⊆{φ} ④φ∈{φ} ⑤{0}⊇φ ⑥0∉φ ⑦φ≠{0} ⑧φ≠{φ}其中正确的个数（ ） A.4 B.5 C.6 D.72.集合{1，2，3}的真子集共有（ ）A.5个B.6个C.7个D.8个 3．满足条件{1,2,3}⊂≠M ⊂≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是（ ）A.5个B.6个C.7个D.8个4.集合A={x |x =3k -2，k ∈Z}，B={y |y=3n +1，n ∈Z}，S={y |y =6m +1，m ∈Z}之间的关系是( ) A.SBA B.S=BA C.SB=A D.SB=A5.已知A ＝｛x ｜x ＜3}，B ＝｛x ｜x ＜a } (1)若B ⊆A ，则a 的取值范围是______ (2)若A B ，则a 的取值范围是______6.设A ＝｛x ｜x 2－8x ＋15＝0｝，B ＝｛x ｜a x －1＝0｝，若B ⊆A ，则实数a 组成的集合为7.设集合A={23≤≤-x x },B={x 1212+≤≤-k x k },且A ⊇B ，则实数k 的取值范围为第三讲 解不等式【知识要点】1．你会解一元二次不等式及分式不等式吗？2．你知道一元二次不等式，一元二次函数，一元二次方程之间的关系吗？ 3．你会解绝对值不等式吗？如a x ≥及a x ≤的解集， 不等式c b ax >+或)0(><+c c b ax 的解集【典型例题】例1．解关于x 的不等式：（1）2210x x -+≥ （2）0322>-+x x例2．解关于x 的不等式：（1）0713224<--x x （2）032>-+x x （3）83402≤++≤x x例3．解关于x 的不等式：（1）2102x x ->- （2）222102x x ->+ （3）2112x x ->- (4) 2112x x +≥+例4．解关于x 的不等式：（1）37x +≤ （2）17x -≥ （3）2323x ≤-≤（4）1x x -≤ （5）123x x ->- （6）|21||2|4x x ++->例5．二次函数的恒成立问题（1）若不等式22(2)40x a x +-+>对一切x R ∈成立，求a 的取值范围（2）对于任意实数x ，不等式240mx mx ++>恒成立，求m 的取值范围．例6．绝对值不等式的恒成立问题（1）对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，则a 的取值范围是 ；（2）对任意实数x ，|1||3|x x a --+<恒成立，则a 的取值范围是 ．1．与不等式202xx-<+有相同解集的是（ ） A ．22x -<< B ．22x x ><-或 C ．2x > D ．2x < 2．集合{}25A x x =+≥，则A =（ ）A ．RB ．{}73x x x ≤-≥或 C ．{}71x x x ≤->或 D ．{}35x x ≤< 3．集合{}2650B x x x =--->，则B =（ ）A ．RB ．{}5x x >- C ．{}15x x x >-<-或 D ．{}51x x -<<- 4．不等式722xx -≥+的解集为 5．不等式25x +<的解集为 6.解下列不等式：（1）22470x x -+< （2）3222xx -≥+1.解不等式（1）24120x x --≥ （2）2650x x --≥（3）2045x x ≤+≤ （4）424120x x --≥2.解不等式 （1）203x x -≥+ （2）213xx -≥+3.解不等式（1）235x +≥ （2）1235x ≤+≤第四讲 交集与并集（一）【知识要点】1.理解交集、并集的概念2.AB A A B =⇔⊆，A B A A B =⇔⊇；3.能利用数轴或文氏图进行集合的运算4.()()()U U U C A C B C A B =, ()()()U U U C A C B C AB =【典型例题】例1．基本训练（1）已知全集{}{}{}5,4,1,5,3,0,5,4,3,2,1,0===N M ，求)(N C M ． （2）设{}{}Q x x x B N k k x x A ∈≤=∈+==,6,,15，求B A ． （3）集合{}{}2,,3,A x x K K N B x x K K N ++==∈==∈，求A B ．例2．交并集的运算(1)已知集合{}{}1 5,36A x x x B x x =≤-≥=-<<或求,AB A B(2)已知集合{}{}2|3760,|114,A x x x B x x =--≤=<+≤求,AB A B例3.已知数集{}{}}3{,1,12,3,3,1,22-=⋂+--=-+=B A a a a B a a A ，求A B .例4．已知全集U R =，{}{}2241,,23,A y y x x x R B y y x x x R ==++∈==-++∈，求B A 与()U C B A例5.数集和点集的理解(1)已知集合{}2|2,p y y x x R ==-+∈，{}|2,Q y y x x R ==-+∈，求pQ(2)已知集合{}{}1),(,2),(2+==++==x y y x B mx x y y x A ，若φ≠B A ，求m 的取值范围．例6.已知集合{}{}a x x B x x A >=≤≤-=,42． （1）若φ≠B A ，求a 的范围． （2）若A B A ≠ ，求a 的范围．（3）若φ≠B A 且A B A ≠ ，求a 的范围．例7.（1）已知集合{}|1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+≥．若AB =∅，则实数a 的取值范围为 （2）设集合3(,)12y M x y x ⎧-⎫==⎨⎬-⎩⎭，(){},5N x y y kx ==+，若M N φ=，则k =【课堂练习】1．设集合{}{}{}4,3,2,3,2,1,2,1===C B A ，则C B A )(=（ ） A.{1，2，3}B.{1，2，4}C ．{2，3，4} D.{1，2，3，4}2．若集合{}{}03,22=-=≤=x x x N x x M ，则N M =（ ） A.{3}B.{0}C ．{0，2} D.{0，3}3．设集合{}{}{}3,,1,2,2,1,2U x x x Z A B =<∈==--，则()U A C B =（ ）A.{1}B.{1，2}C ．{2} D.{0，1，2}4．设集合{}2,1=A ，则满足{}3,2,1=B A 的集合B 的个数是（ ） A.1B.3 C ．4D.85.若A 、B 、C 为三个集合，A B B C =，则一定有( )A.C A ⊆B.A C ⊆C.C A ≠D.φ=A 6.设集合{}{}12,M x x N x x a =-≤<=≤.若M N ≠∅，则a 的取值范围是（ ）A.](,2-∞ B.()1,-+∞ C.)1,-+∞⎡⎣ D.[]1,1- 7.设全集{}{}{}17,25,36U x x A x x B x x =<<=≤≤=≤≤,则()C A B =____ _ 8.全集U R =，集合{}{}|02,|13,A x x x B x x =<>=-<<或()U C AB 则=9.集合{}{}24,21,,5,1,9A a a B a a =--=--，又已知{}9AB =，求a 的值.【课后作业】1.已知集合{}}8,7,3{},9,6,3,1{,5,4,3,2,1,0===C B A ，则C B A )(等于（ ） A.{0,1,2,6} B.{3,7,8,} C.{1,3,7,8} D.{1,3,6,7,8}2.设集合{}x A ,4,1=，{}2,1x B =，且{}x B A ,4,1=⋃，则满足条件的实数x 的个数是（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个3.集合A 含有10个元素，集合B 含有8个元素，集合A∩B 含有3个元素，则集合A ∪B 的元素个数为（ ）A.10个B.8个C.18个D.15个4.设A={x 0152=+-∈px x Z },B={x 052=+-∈q x x Z },若A ⋃B={2,3,5},A 、B 分别为（ ）A.{3，5}、{2，3}B.{2，3}、{3，5}C.{2，5}、{3，5}D.{3，5}、{2，5}5.若{}23100A x x x =+-<, {}33B x x =-<<,全集U=R ，则()U A C B ⋃=6.集合M=｛y ∣y= x 2 +1,x ∈ R ｝,N=｛t ∣t=5- x 2,x ∈ R ｝,则M ∪N=7.已知集合A ={－1,1},B ={x |mx =1},且A ∪B =A ,则m 的值为8.已知集合}33|{≤≤-=x x U ，}11|{<<-=x x M ，}20|{<<=x x N C U 那么集合=N ，=⋂)(N C M U ，=⋃N M .第五讲 交集与并集（二）【知识要点】1.重要的等价关系：B A B B A A B A ⊆⇔=⋃⇔=⋂2.利用文氏图进行集合的运算3.容斥原理：card(A ∪B)= card(A)+card(B)- card(A ∩B).4.区间的概念【典型例题】例 1.{}{}22|20,|6(2)50A x x px q B x x p x q =-+==++++=，1AB=2⎧⎫⎨⎬⎩⎭若求A B例2.A ＝{x ｜a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x ｜x ＜－1或x ＞5} ①若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围. ②若A ∩B ＝A ， 求a 的取值范围.例3.已知{}250,U x x x N =<∈,(){}1,6U C M N ⋂=,(){}2,3U M C N ⋂=(){}0,4U C M N ⋃=，求M 和N例4.某班级共有48人，其中爱好体育的25名，爱好文艺的24名，体育和文艺都爱好的9名，试求体育和文艺都不爱好的有几名?例5．已知集合{}{}k x k x B x x A 21,52<<+=≤≤-=．若A B A = ，求k 的取值范围．例6. {}{}{}2222190560,280A x x ax a B x x x C x x x =-+-==-+==+-=， 且A B ≠∅，A C =∅，求实数a 的值.例7.已知集合{}{}22320,B 20A x x x x x mx =-+==-+=，且B B A=.求实数m 的取值范围.例8．U R =，{}2120,A x x px X N +=++=∈， {}250,B x x x q X N +=-+=∈且(){}2U C A B =.(){}4U A C B =.求p q +的值.1.已知集合U ={1,2,3,4,5,6,7}, A ={2,4,5,7},B ={3,4,5},则(u A )∪(u B )=（ ） A ．{1,6} B ．{4,5} C ．{1,2,3,4,5,7} D ．{1,2,3,6,7}2.已知，M ＝{3，a }，N ＝{x ｜x 2－3x ＜0，x ∈Z}，M ∩N ＝{1}，P ＝M ∪N ，则集合P 的子集的个数为（ ） A ．3B ．7C ．8D ．163.已知集合M 、N 满足，card M ＝6，card N ＝13，若card （M ∩N ）＝6，则card （M ∪N ）＝_____ _ ;若M ∩N ＝∅，则card(M ∪N )＝_______.4.已知全集U={- 4，-3，-2，-1，0}，集合M={- 2，-1，0}，N={-4，-3，0}，则()U C M N ⋂=5.已知集合{}2,A x x x x R ==∈，则满足条件AB A =的所有集合B 的个数为______6.已知U={},8,7,6,5,4,3,2,1(){},8,1=⋂B C A U (){},6,2=⋂B A C U()(){},7,4=⋂B C A C U U 则集合A=7.设U 是一个全集，A 、B 为U 的两个子集，试用阴影线在图甲和图乙中分别标出下列集合.①C U （A ∪B ）∪(A ∩B ) ②(C U A )∩B8.已知全集U ＝{x ｜x 2－3x ＋2≥0}，A ＝{x ｜x ＜1或x ＞3}，B ＝{x ｜x ≤1或x ＞2}，求C U B ，A ∪B ，（C U A ）∩（C U B ），C U (A ∪B ）.1.已知集合P M ,满足M P M = ，则一定有（ ）A.P M =B.P M ⊇C.M P M =D.P M ⊆2.设U={1，2，3，4，5}，A ，B 为U 的子集，若A ⋂B={2}，（C U A ）⋂B={4}，（C U A ）⋂（C U B ）={1，5}，则下列结论正确的是（ ）A.3B A ∉∉3,B.3B A ∈∉3,C.3B A ∉∈3,D.3B A ∈∈3, 3.全集},|),{(R y x y x U ∈=，}123|),{(=--=x y y x M ,}1|),{(+≠=x y y x N ，那么)(M C U ∩)(N C U = （ ）A.φB.{（2，3）}C.（2，3）D.}1|),{(+≠x y y x4.已知集合A 中有10个元素，B 中有6个元素，全集U 有18个元素，≠⋂B A φ。

高一数学暑假预科讲义第一节 集合的含义与表示随堂练习1、下列说法正确的是（ ）A.若,N a ∈-则N a ∈B.方程0442=+-x x 的解集为{}2,2C.高一年级最聪明的学生可构成一个集合D.在集合N 中，1不是最小的数2、-3、集合{}2,1,12--x x 中x 不能取的值是（ ）A.2B.3C.4D.54、方程组⎩⎨⎧=-=+0,2y x y x 的解构成的集合是( ) A.{})1,1( B.{}1,1 C.()1,1 D.{}1 4、若{},1,3,132+-∈-m m m 则._______=m5、集合{}Z x x x y y x ∈≤-=,1||,1|),(2，用列举法表示为.________6、由332,|,|,,x x x x x --组成的集合，元素的个数最多为几个？7、已知集合M 满足条件：若,M a ∈则).0,1(11≠±≠∈-+a a M a a 若,3M ∈试求集合.M8、#9、已知集合{},,023|2R x x ax x A ∈=+-=若A 中的元素至多有一个，求a 的取值范围.第二节 集合间的基本关系随堂练习1、设{},62,8|=≤=a x x P 则下列关系中正确的是（ ）A.P a ⊆B.P a ∉C.{}P a ⊆D.{}P a ∈2、集合{}3,2,1=M 的真子集的个数是（ ）A.6B.7C.8D.93、~4、设集合{}{},,|),(,,|22R x x y y x Q R x x y y P ∈==∈==则P 与Q 的关系是A.Q P ⊆B.Q P ⊇C.Q P =D.以上都不正确4、已知集合A {},7,3,2且A 中至多有一个奇数，则这样的集合A 有A.3个B.4个C.5个D.6个5、已知集合{},12,3,1--=m A 集合{},,32m B =若,A B ⊆则.________=m6、设集合{}{},1212|,23|+≤≤-=≤≤-=k x k x B x x A 且,B A ⊇则实数k 的取值范围是.____________7、已知集合{}{},,01|,0158|2A B ax x B x x x A ⊆=-==+-=求实数a 的不同取值组成的集合.8、已知集合{}{},0))(1(|,31|=--=≤≤=a x x x B x x A（1）·（2）当集合B 是A 的子集时，求实数a 的取值范围；（3）是否存在实数a 使得B A =成立？第三节 集合的基本运算1、！2、设集合{}{},23|,312|<<-=<+=x x B x x A 则=B A （ ）A.{}13|<<-x xB.{}21|<<x xC.{}3|->x xD.{}1|<x x2、设集合,21|,2|⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z x x N Z x x M 则=N M （ ） A.∅ B.M C.Z D.{}03、集合{},2,1=A 则满足{}3,2,1=B A 的集合B 的个数是( )A.1B.3C.4D.84、若,,C D C A B A == 则( )A.D C B A ⊆⊆,B.D C A B ⊆⊆,C.C D B A ⊆⊆,D.C D A B ⊆⊆, 5、`6、设集合{}{},,2|||,4,3,2,1R x x x Q P ∈≤==则._______=Q P7、已知集合{}{},1|,1,1==-=mx x B A 且,A B A = 则._______=m8、设二次方程：05,01522=+-=+-q x x px x 的解集分别为B A 、且{}{},3,5,3,2==B A B A 试求B A 、及q p 、的值.9、已知全集{}{}{},9,1)()(,2,9,8,7,6,5,4,3,2,1===B C A C B A U U U{},8,6,4)(=B A C U 试确定.B A 、10、若{}{},73,22,3,4,72,4,223223++++-+-=+--=a a a a a a B a a a A 且{},5,2=B A 试求a 的值.]第四节 函数的概念随堂练习1、集合{}{},20|,40|≤≤=≤≤=y y B x x A 下列对应中不表示从A 到B 的函数的是（ ）A.x y x f 21:=→B.x y x f 31:=→C.x y x f 32:=→ D.x y x f =→: | 2、下列各组函数中表示同一个函数的是（ ）A. x x f =)(与2)()(x x g =B. x x f =)(与33)(x x g =C. x x x f =)(与⎩⎨⎧<->=)0(,)0(,)(22x x x x x g D. 11)(2--=x x x f 与)1(1)(≠+=t t t g 3、已知函数.1112)(xx x f -+-= （1）求函数)(x f 的定义域（用区间表示）；（2）求)32(),2(f f 的值.4、已知,11)(,12)(2+=-=x x g x x f 求]2)([)]([)(2+x f g x g f x f 、、 5、若函数344)(2++-=mx mx x x f 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是._ . 6、若函数862++-=a x ax y 的定义域为一切实数，求a 的取值范围.7、已知函数⎩⎨⎧>+≤-=)4(42)0(2)(2x x x x x f ，则)(x f 的定义域为___,[].____)4(=-f f 8、已知)(x f 的定义域为]2,3[-，求函数)()()(x f x f x g -+=的定义域.9、设函数)(x f 的定义域为]1,0[，求函数)1()(2-=x f x h 的定义域.10、已知)1(+x f 的定义域为]3,0[求)(x f 的定义域.11、已知)4(2+x f 的定义域为]2,1[，求)(x f 的定义域. 第五节 函数的表示、值域、解析式解法随堂练习！1、下列四个命题正确的有_________.（1）函数是定义域到值域的映射；（2）x x y -+-=23是函数；（3）函数)(2N x x y ∈=的图象是一条直线；（4）⎩⎨⎧<-≥=)0(,)0(,22x x x x y 的图象是条抛物线. 2、某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水用水量分别为x x 3,5吨.求y 关于x 的函数；3、分别画出下列函数的图象（1）.1||22--=x x y@（2）.|12|2--=x x y4、函数值域的求法（1）（观察法）求函数x y 323-+=的值域.（2）（反函数法）求函数21++=x x y 的值域.（3）（分离常数法）形如bax d cx y ++=，求函数21++=x x y 的值域. 212,2312,121,212++-=++=++=++=x x y x x y x x y x x y （4）（配方法）求函数22++-=x x y 的值域.（5）（判别式法）求函数132222+-+-=x x x x y 的值域. ,（6）（图象法）求函数2)2(|1|-++=x x y 的值域.（7）（换元法）求函数123++-=x x y 的值域.5、函数解析式的解法（1）直接法已知,22)1(2++=+x x x f 求).3(),3(),(+x f f x f（2）换元法已知,22)1(2++=+x x x f 求).3(),3(),(+x f f x f（3）待定系数法*已知)(x f 是一次函数，且满足,43)]([+=x x f f 求)(x f 的解析式.（4）赋值法设)(x f 满足关系式,3)1(2)(x xf x f =+求)(x f 的解析式.@第六节 函数的单调性与最大（小）值\随堂练习1、函数)(x f 在区间]3,2[-上是增函数,则)5(+=x f y 的递增区间是（ ）A.]8,3[B.]2,7[--C.]5,0[D.]3,2[-2、函数322--=ax x y 在区间]2,1[上是单调函数，则a 满足的条件是._3、已知函数.|34|)(2+-=x x x f 求函数)(x f 的单调区间，并指出其增减.4、判断函数1)(3+-=x x f 在)0,(-∞上是增函数还是减函数并证明.5、讨论函数的单调性，)0,11(1)(2≠<<--=a x x ax x f 6、求12)(2--=ax x x f 在区间]2,0[上的最小值.7、$8、若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是.________ 9、函数245x x y --=的递增区间是.__________（复合函数的单调性）10、已知定义在R 上的函数)(x f 对任意实数21,x x ,满足,2)()()(2121++=+x f x f x x f 且当0>x 时，有.2)(->x f 求证：)(x f 在R 上是增函数.10、定义在区间()+∞,0上的函数)(x f 满足)()()(2121x f x f x x f -=且当1>x 时，,0)(<x f 试判断)(x f 的单调性，并当1)3(-=f 时，解不等式.2|)(|-<x f· 第七节 函数的奇偶性随堂练习1、判断下列函数的奇偶性（1）;1)(3xx x f -= （2）;)(32x x x f -=（3）;11)(22x x x f -+-= （4）;2112x x y -+-=（5）.)0(2)0(0)0(2)(22⎪⎩⎪⎨⎧<--=>+=x x x x x x f 2、已知)(x f 在R 上是奇函数，且满足),()4(x f x f =+当)2,0(∈x 时，22)(x x f =，则.__________)2011(=f3、函数32)1()(2++-=mx x m x f 为偶函数，则)(x f 在区间)3,5(--上（ ） }A 、先减后增B 、先增后减C 、单调递减D 、单调递增4、已知函数)(x f y =为奇函数，若,1)2()3(=-f f 则._____)3()2(=---f f5、设函数xa x x x f ))(1()(++=为奇函数，则.______=a6、函数)(x f 在R 上为奇函数，且),0(,1)(>+=x x x f 则当0<x 时，.________)(=x f7、设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，b x x f x ++=22)(（b 为常数），则.__________)1(=-f8、若)(x f 是R 上周期为5的奇函数且满足,2)2(,1)1(==f f 则.________)4()3(=-f f9、函数)(x f 的定义域为R ，且满足：)(x f 是偶函数，)1(-x f 是奇函数，若,9)5.0(=f 则=)5.8(f ________.10、设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有).()2(x f x f -=+当∈x [0,2]时，22)(x x x f -=.；（1）求证：)(x f 是周期函数；（2）当∈x [2,4]时，求)(x f 的解析式；（3）计算)2011()2()1()0(f f f f +⋅⋅⋅+++的值. 第八节 函数单调性与奇偶性的综合运用1、定义在R 上的函数)(x f 是偶函数，且).2()(x f x f -=若)(x f 在区间[1,2]上是减函数，则)(x f 在区间[-2,-1]上是___函数，在区间[3,4]上是____函数.2、定义在R 上的偶函数)(x f ，满足),()1(x f x f -=+且在区间]0,1[-上位递增，则)2(),3(),2(f f f 的大小关系.3、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，,2)(2x x x f +=若),()2(2a f a f >-则实数a 的取值范围是._____________{4、已知)(x f 是奇函数，定义域为{},0,|≠∈x R x x 又)(x f 在),0(+∞上是增函数，且,0)1(=-f 则满足0)(>x f 的x 的取值范围.5、已知函数)(x f 对于任意R y x ∈,,总有),()()(y x f y f x f +=+且当0>x 时，.32)1(,0)(-=<f x f（1） 求证：)(x f 在R 上是减函数；（2） 求)0(f 的值；（3） 证明函数)(x f 是奇函数；（4） 求)(x f 在[-3,3]上的最大值和最小值.6、设)(x f 是R 上的偶函数，在区间)0,(-∞上递增，且有),123()12(22+-<++a a f a a f 求a 的取值范围.~7、已知)(x f y =是偶函数，且在),0[+∞上是减函数，求函数)1(2x f -的单调递增区间.第九节 高一数学第一学期学情调研第Ⅰ卷：（选择题共10小题，每题5分）1、已知集合{}{}，圆，直线==N M 则N M 中元素个数是（ ）A.0B.0或1C.0或2D.0或1或22、集合{}{}=≤∈=<≤∈=N P x Z x M x Z x P 则,9|,30|2( )A.{}2,1B.{}2,1,0C.{}3,2,1D.{}3,2,1,0 3、—4、下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ）A.2)(|,|)(x x g x x f ==B.22)()(,)(x x g x x f ==C.1)(,11)(2+=--=x x g x x x f D.1)(,11)(2-=-⋅+=x x g x x x f 5、已知函数=∈⎩⎨⎧<+≥-=)8(,,)10)](5([)10(3)(f N n n n f f n n n f 则其中（ ）A.6B.7C.2D.4 6、设集合U 是实数集R ，{}{}13|,4|2<≥=>=x x x N x x M 或 都是U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是（ ） A.{}12|<≤-x x B.{}22|≤≤-x x;C.{}21|≤<x xD.{}2|<x x7、48373)27102(1.0)972(03225.0+-++--π的值为（ ）A.99B.5399 C.100 D.531008、某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有（ ）人. A.5 B.7 C.8 D.108、设函数),()2(,32)(x f x g x x f =++=则)(x g 的表达式是（ ） A.12+x B.12-x C.32-x D.72+x9、)(x f 是定义在]6,6[-上的函数，且对任意R y x ∈,，都有),()()(y f x f y x f -=+当)1()3(f f >-时，下列各式一定成立的是（ ）!A.)6()0(f f <B.)2()3(f f >C.)3()1(f f <-D.)0()2(f f >10、设函数1)(+-=x b x x f 满足)4()1(f f =，若)(x f 的值域为],5,1[-则x 的取值范围是（ ）A.]4,2[B.]16,4[C.]16,4[]1,0[D.]4,2[]1,0[ 11、化简：.__________])()1)[(1(21212=----x x x12、函数||)3(x x y --=的递增区间是.________13、已知函数)(x f 是R 上的奇函数，当0≥x 时，).1()(+=x x x f 若,2)(-=a f 则实数.______=a14、有下列几个命题：①函数122++=x x y 在),0(+∞上不是增函数； —②函数11+=x y 在),1()1,(+∞---∞ 上是减函数；③函数245x x y -+=的单调区间是),2[+∞-； ④已知)(x f 在R上是增函数，若,0>+b a 则有).()()()(b f a f b f a f -+->+其中正确命题的序号是.__________第Ⅱ卷（非选择题，试题70分规范评价3分，共67分） 填空题答案： 11.}12._________ 12.________ 13.________ 14.________15、（本小题满分9分）画出函数|32||1|++-=x x y 在区间)3,4[-的图象16、（本小题满分9分）函数)0)((≠=x x f y 是奇函数，且当),0(+∞∈x 时是增函数，若,0)1(=f 求不等式0)1(<-x f 的解集.，17、（本小题满分10分）已知函数a ax x x f -++-=12)(2在]1,0[∈x 时有最大值2，求a 的值..18、（本小题满分11分）设全集R I =，已知集合{}{}06|,0)3(|22=-+=≤+=x x x N x x M（1）求N M C I )(（2）记集合,)(N M C A I =已知{},,51|R a a x a x B ∈-≤≤-=若,A A B = 求实数a 的取值范围.—19、（本小题满分12分）利用函数单调性的定义谈论函数xxxf-+=2)(的单调性，并求函数在]2,2[-上的值域..第十节讲评高一数学第一学期学情调研第Ⅰ卷：（选择题共10小题，每题5分）1、—2、已知集合{}{}，圆，直线==NM则NM 中元素个数是（A）A.0B.0或1C.0或2D.0或1或23、集合{}{}=≤∈=<≤∈=N P x Z x M x Z x P 则,9|,30|2( B ) A.{}2,1 B.{}2,1,0 C.{}3,2,1 D.{}3,2,1,04、下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ A ） A.2)(|,|)(x x g x x f == B.22)()(,)(x x g x x f ==C.1)(,11)(2+=--=x x g x x x f D.1)(,11)(2-=-⋅+=x x g x x x f 5、已知函数=∈⎩⎨⎧<+≥-=)8(,,)10)](5([)10(3)(f N n n n f f n n n f 则其中（B ）￥A.6B.7C.2D.46、设集合U 是实数集R ，{}{}13|,4|2<≥=>=x x x N x x M 或 都是U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是（A ） A.{}12|<≤-x x B.{}22|≤≤-x x C.{}21|≤<x x D.{}2|<x x7、48373)27102(1.0)972(03225.0+-++--π的值为（ C ）A.99B.5399C.100D.531008、某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有（ C ）人. ）A.5B.7C.8D.108、设函数),()2(,32)(x f x g x x f =++=则)(x g 的表达式是（B ） A.12+x B.12-x C.32-x D.72+x9、)(x f 是定义在]6,6[-上的函数，且对任意R y x ∈,，都有),()()(y f x f y x f -=+当)1()3(f f >-时，下列各式一定成立的是（ C ） A.)6()0(f f < B.)2()3(f f > C.)3()1(f f <- D.)0()2(f f > 10、设函数1)(+-=x b x x f 满足)4()1(f f =，若)(x f 的值域为],5,1[-则x 的取值范围是（ B ）A.]4,2[B.]16,4[C.]16,4[]1,0[D.]4,2[]1,0[ 11、化简：421212])()1)[(1(X x x x --=----12、》13、函数||)3(x x y --=的递增区间是].23,0[14、已知函数)(x f 是R 上的奇函数，当0≥x 时，).1()(+=x x x f 若,2)(-=a f 则实数.1-=a15、有下列几个命题：①函数122++=x x y 在),0(+∞上不是增函数； ②函数11+=x y 在),1()1,(+∞---∞ 上是减函数； ③函数245x x y -+=的单调区间是),2[+∞-； ④已知)(x f 在R上是增函数，若,0>+b a 则有).()()()(b f a f b f a f -+->+其中正确命题的序号是 ④）第Ⅱ卷（非选择题，试题70分规范评价3分，共67分） 填空题答案：11._________ 12.________ 13.________ 14.________15、（本小题满分9分）画出函数|32||1|++-=x x y 在区间)3,4[-的图象⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤+<<-+-≤≤---=)31(23)123(4)234(23x x x x x x y%16、（本小题满分9分）函数)0)((≠=x x f y 是奇函数，且当),0(+∞∈x 时是增函数，若,0)1(=f 求不等式0)1(<-x f 的解集..0)1(,0110)1-(0-)()(.0)1(,211100)1(0)(<-<-<-∴=∞<-<<<-<∴=∞+x f x x f x f x f x f x x f x f 时，即当）上单调递增，，在（是奇函数，又时，即当）上单调递增，，在（ 17、（本小题满分10分）已知函数a ax x x f -++-=12)(2在]1,0[∈x 时有最大值2，求a 的值.a abx =-=2 2.a -1a 2.a 2,(1)(x)]1,0[)(,13)(251a 2,(a)(x),10(2)-1;a 2,(0)(x)]1,0[)(,0)1(max max max =====>±===<<===≤或综上所述，解得上单调递增，在时）当（；舍解得时当解得上单调递减，在时当f f x f a f f a f f x f a18、（本小题满分11分）设全集R I =，已知集合{}{}06|,0)3(|22=-+=≤+=x x x N x x M（1）}（2）求N M C I )(（3）记集合,)(N M C A I =已知{},,51|R a a x a x B ∈-≤≤-=若,A A B = 求实数a 的取值范围. (1){}2(2)A B A A B ⊆⇔=∅=B ,3,51>->-a a a 即{}2,=∅≠B B 3=a19、（本小题满分12分）利用函数单调性的定义谈论函数x x x f -+=2)(的单调性，并求函数在]2,2[-上的值域.任取]2,2[,21-∈x x 设21x x < &]49,0[]2,2[)(.2)2()(,49)47()(,]2,47[)(;0)()(,0)122(247.0)2()(,49)47()(]47,2[)(;0)()(,0)122(472-22)122)((........................22)(.......................22)()(min max 212121min max 212121212121211221221121上的值域是在上单调递减在时，当上单调递增，在时，当-∴====∴>-<--+-≤<<=-===-∴<->--+-≤<≤-+---+--=-+--+-=----+=-x f f x f f x f x f x f x f x x x x f x f f x f x f x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f第十一节 指数与指数幂的运算随堂练习1、化简：778888)()(b a b a b -+++2、若,310,210==n m 则._____2310=-nm 3、.______)3()3(22=⋅ 4、;5、.________39623223=⨯+⨯--6、设,30,5,363===c b a 则c b a ,,的大小关系为._____________7、设,21=+-x x 则._________22=+-x x8、._______2222824=⋅⋅⋅9、.________)008.0()1.88()94(31021=+-+-9、化简化简下列各式 （1）;)(65312121132ba bab a ⋅⋅⋅⋅---（2）;)4()3(6521332121231----⋅÷-⋅⋅b a b a b a)（3）.48373)27102(1.0)972(03225.0+-++--π（4）.__________)()(13212153323=⋅⋅⋅----a a a a 10、计算.________625625=++- 11、计算._______525233=-++12、设),(21,011n na a x a --=>求n x x )1(2++的值.…第十二节 指数函数及其性质随堂练习1、当0>>n m ，确定下列各组数的大小. ①m )53(与n )53( ②m )4.1(与n )4.1( ③m )25(与n )25( ④m )3(π与n )3(π2、根据下列等式决定m 是正数还是负数？ ①710=m ②43)65(=m ③25)32(=m ④6.0)47(=m 3、比较下列各组数的大小①81.0)107(与92.0)731( ②8.07.1与1.39.0 ③3.08.0-与1.09.4-{4、设,3,02121=+>-aa a 则._________11122=++++--a a a a 5、将指数函数)(x f 的图象向右平移一个单位，得到如图所示的)(x g 的图象则._________)(=x f 6、函数)1,0(≠>=a a a y x 在[1,2]上的最大值比最小值大,2a 则.______________=a7、若函数)1,0(1)(≠>-=a a a x f x 的定义域和值域都是[0,2],则实数a=____.8、已知定义域为R 的函数abx f x x ++-=+122)(是奇函数.（1）求b a ,的值；（2）若对任意的,R t ∈不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 恒成立，求k 取值范围.9、设,)52(,)52(,)53(525352===c b a 则a,b,c 的大小关系是_________.，已知函数,22)(-=x x f 则函数|22|-=x y 的图象大致为10、求函数1313)(+-=x x x f 的值域.11、求函数432)21(+--=x x y 的定义域、值域及单调区间.12、设x x eaa e x f a +=>)(,0是R 上的偶函数.（1）求a 的值；（2）求证函数)(x f 在),0(+∞上是增函数. 13、解下列不等式 （1）);1(13722>>+-a a x x —（2）).10(5213222<<>-++-a a a x x x x14、在同一直角坐标系画出x x x 4,3,2的图象 15、在同一直角坐标系画出x x x )41(,)31(,)21(的图象(第十三节 对数与对数运算随堂练习 1、<2、求下列各式的值①81log 31 ②2719log③001.0lg ④7log 71 ⑤5log 212⑥5log 2)41(3、求下列各式中的x 的值①32log 3-=x ②1)12(log -=-x ③25)(log 22=x 4、不查表计算①27lg 81lg 3lg 27lg 539lg 523lg --++ ②2lg 50lg 5lg 2⋅+ ③212222)12(log 14lg 2lg 22lg 5lg -++---+ ④245lg 8lg 344932lg 21+- ⑤).347(log )32(-+5、（6、已知,2log 3a =则.________24log 6=7、._____8log 7log 6log 5log 4log 3log 765432= 8、已知,0)](log [log log 237=x 则._________21=-x9、.______)2log 2)(log 3log 3(log 9384=++ 10、.______)223(log12=+-11、设c b a ,,都是正数，且,643c b a ==那么下列等式中成立的是（ ） A.b a c 111+= B.b a c 122+= C.b a c 221+= D.ba c 212+=[第十四节 对数函数及其性质随堂练习1、比较下列各组数的大小①4log 3.0和7.0log 2.0 ②7.4log 3.1和6.3log 9.1 ③3.02与23.0与3.0log 2 2、求下列各函数的定义域①)32(log 2--=x x y a (1,0≠>a a ) ②)13(log 5.0-=x y ③)12(log 25-=-x y x ④)54(log 22--=x x y3、设,1>a 函数x y a log =在区间]2,[a a 上的最大值与最小值之差为,21则.__=a4、设,)21(,,log ,log 3.03121231===c b a 则a,b,c 的大小关系是_________.5、解不等式 ①)65(log )32(log 22->+x x ②121log <x6、设,log ,,)(log ,log 5423545===c b a 则a,b,c 的大小关系是_________.7、设c b a ,,分别是方程x x x x x x 22121log )21(,log )21(,log 2===的实数根，则a,b,c 的大小关系是_________.8、已知])3[(log )(a x a ax f --=是其定义域上的增函数，那么a 的取值范围？ 9、已知函数),1,0(log )(≠>=a a x x f a 如果对任意的),3(+∞∈x ，都有1|)(|≥x f 成立，试求a 的取值范围.10、已知),10(|,log |)(<<=a x x f a 则)41(),2(),31(f f f 的大小关系为____. 11、在同一直角坐标系画出x x x 432log ,log ,log 的图象. 12、在同一直角坐标系画出x x x 413121log ,log ,log 的图象.第十五节 幂函数随堂练习1、比较下列各组数的大小 ①3032与2023 ②1816与16182、若,)21(,)51(,)21(313232===c b a 那么c b a ,,的大小关系为.__________3、分别指出幂函数αx y =的图象具有下列特点之一时的α的值，其中⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,2,1,21,1α①过原点递增②不过原点，不与坐标轴相交，递减 ③关于原点对称且通过原点４、幂函数)(x f 的图象经过点),3,3(则)(x f 的解析式是________.５、若函数97222)199(--+-=m m xm m y 是幂函数，且图象不过原点，求m 的值.６、若),1,0(∈x 则下列结论正确的是（ ） A. x x xlg 221>> B. 21lg 2x x x>>C. x x xlg 221>> D. x x x 2lg 21>>７、已知幂函数)()(322Z m xx f m m ∈=++-为偶函数，且)5()3(f f <，求m 的值，并确定)(x f 的解析式.８、直线1=y 与曲线a x x y +-=||2有4个交点，则a 的取值范围是_____.９、函数3x y =与xy 1=的图象的交点坐标为___________. １0、已知函数xx x f 1)(-=，求证：)(x f 在其定义域上为增函数.。