第8课时——正、余弦定理的应用(2)(教、学案)

《正弦定理和余弦定理的实际运用举例》教学设计正弦定理和余弦定理的实际运用举例教学设计简介本教学设计旨在教授正弦定理和余弦定理的实际运用方法。

通过实例演示和练题的形式，帮助学生理解和掌握这两个几何定理的应用场景。

教学目标- 理解正弦定理和余弦定理的概念和原理- 掌握正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用方法- 进一步发展解决几何问题的能力教学内容正弦定理- 介绍正弦定理的概念和公式（a/sinA = b/sinB = c/sinC）- 解释正弦定理的几何意义和运用场景- 演示实际问题中如何利用正弦定理求解未知变量余弦定理- 介绍余弦定理的概念和公式（c² = a² + b² - 2abcosC）- 解释余弦定理的几何意义和运用场景- 演示实际问题中如何利用余弦定理求解未知变量实际运用举例- 提供几个实际问题的案例，涉及三角形的边长和角度- 分步引导学生运用正弦定理和余弦定理解决这些问题- 给予学生充足的练机会，以加深对定理应用的理解和熟练度教学步骤1. 引入：复三角形的基本概念和知识点2. 正弦定理：- 介绍正弦定理的公式和使用方法- 演示一个实际问题的解决过程，利用正弦定理求解未知变量- 学生模仿演示并完成相关练题3. 余弦定理：- 介绍余弦定理的公式和使用方法- 演示一个实际问题的解决过程，利用余弦定理求解未知变量- 学生模仿演示并完成相关练题4. 实际运用举例：- 提供几个实际问题的案例，涉及三角形的边长和角度- 分组或个人完成案例分析和解决过程- 学生通过小组或个人报告展示解决思路和结果5. 总结与讨论：- 综合讨论学生的解决思路和方法的优劣- 引导学生总结出正弦定理和余弦定理在解决实际问题中的重要性和应用价值教学评估1. 参与度评估：观察学生在课堂中的积极参与程度和问题解答能力2. 练成绩评估：通过练题的完成情况和准确度，进行学生对正弦定理和余弦定理的理解和应用评估3. 案例分析评估：评估学生在实际问题解决中的思考能力和解决方法的合理性参考资源1. 《高中数学教材》2. 互动教学软件和课件3. 个人和小组练习题。

正余弦定理的应用举例教案一、教学目标1. 理解正余弦定理的概念及其在几何中的应用。

2. 学会运用正余弦定理解决实际问题，提高解决问题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。

二、教学内容1. 正余弦定理的定义及公式。

2. 正余弦定理在直角三角形中的应用。

3. 正余弦定理在非直角三角形中的应用。

4. 正余弦定理解决实际问题举例。

三、教学重点与难点1. 教学重点：正余弦定理的定义及公式，正余弦定理在几何中的应用。

2. 教学难点：正余弦定理在非直角三角形中的应用，解决实际问题。

四、教学方法1. 采用讲授法讲解正余弦定理的定义及公式。

2. 利用案例分析法讲解正余弦定理在直角三角形和非直角三角形中的应用。

3. 利用小组讨论法解决实际问题。

五、教学过程1. 引入：通过讲解正弦、余弦的概念，引导学生理解正余弦定理的背景。

2. 讲解：详细讲解正余弦定理的定义及公式，结合实际例子，让学生理解并掌握定理的应用。

3. 练习：布置练习题，让学生运用正余弦定理解决直角三角形和非直角三角形的问题。

4. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用正余弦定理进行解决，培养学生的解决问题的能力。

5. 小组讨论：让学生分组讨论，分享各自的解题思路和方法，培养学生的团队协作能力。

6. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调正余弦定理在几何中的应用及其重要性。

7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂练习：通过课堂练习，了解学生对正余弦定理的理解和应用情况。

2. 课后作业：布置有关正余弦定理应用的作业，收集并批改，分析学生的掌握情况。

3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解他们的合作能力和问题解决能力。

七、教学反思1. 教师应根据学生的反馈，及时调整教学方法和进度。

2. 对于学生的共性问题，应加强讲解和辅导。

3. 鼓励学生积极参与课堂和课后实践，提高他们的实际应用能力。

八、拓展与延伸1. 引导学生思考正余弦定理在其他领域的应用。

中学数学余弦定理的应用教案【教案】一、教学目标通过本节课的学习，学生能够掌握余弦定理的概念和求解方法，并能够熟练运用余弦定理解决实际问题。

二、教学内容本节课的教学内容是余弦定理的应用。

三、教学重点与难点教学重点：理解余弦定理的概念和求解方法。

教学难点：能够熟练运用余弦定理解决实际问题。

四、教学过程1. 引入（5分钟）1.1 教师简要介绍余弦定理的概念和作用，激发学生的学习兴趣。

2. 讲解（20分钟）2.1 通过一个具体的实例，引出余弦定理，并解释其原理和公式。

2.2 讲解如何根据已知条件运用余弦定理求解未知边长或角度的方法。

3. 模型训练（25分钟）3.1 给出若干实际问题，要求学生根据已知条件运用余弦定理解决，并在板书上展示解题过程。

3.2 分组训练，学生进行合作探究，在小组内相互讨论、解决问题。

4. 练习与巩固（25分钟）4.1 课堂练习：教师提供一些简单的练习题，学生个人完成。

4.2 完成课堂练习后，学生将自己的答案进行互评，并与教师讨论解题方法和答案是否正确。

5. 总结与拓展（10分钟）5.1 教师进行本节课的总结，强调余弦定理的应用和作用。

5.2 提出拓展问题，激发学生对余弦定理的深入思考，并鼓励学生自主学习和拓展。

五、教学资源教学用具：黑板、粉笔、练习题。

六、教学反思通过本节课的教学，学生对余弦定理的概念和求解方法有了初步的了解，并能够在实际问题中灵活运用。

学生在小组合作讨论的过程中，积极参与，并能够相互启发、相互提醒。

在练习过程中，学生也发现了自己在应用余弦定理解决问题时的一些常见错误，并通过讨论和互评相互纠正。

通过本节课的教学，学生的数学解题能力和合作能力得到了一定的提高。

初中数学教案余弦定理与正弦定理的应用初中数学教案余弦定理与正弦定理的应用一、引言在初中数学学习中，我们经常会遇到利用几何知识解决实际问题的情况。

而余弦定理和正弦定理作为几何知识的重要部分，具有广泛的应用价值。

本教案旨在通过具体的例子，让学生理解并能够熟练应用余弦定理和正弦定理。

二、教学目标1. 掌握余弦定理和正弦定理的概念和公式；2. 理解余弦定理和正弦定理的应用场景；3. 能够灵活运用余弦定理和正弦定理解决实际问题。

三、教学内容1. 余弦定理的应用余弦定理是用来求解三角形边长或角度的定理，其公式为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos∠C示例题目1：已知三角形ABC，边长分别为a=5cm，b=7cm，∠C=60°，求边c的长度。

解答思路：根据余弦定理的公式，将已知的数值代入计算，有：c^2 = 5^2 + 7^2 - 2*5*7*cos60°c^2 = 25 + 49 - 70*cos60°c^2 = 74 - 70*0.5c^2 = 74 - 35c^2 = 39因此，c≈6.24cm示例题目2：已知三角形ABC，边长分别为a=8cm，b=9cm，c=10cm，求∠A的大小。

解答思路：根据余弦定理的公式，将已知的数值代入计算，有：8^2 = 9^2 + 10^2 - 2*9*10*cos∠A64 = 81 + 100 - 180*cos∠A180*cos∠A = 181 - 64cos∠A = 117/180∠A ≈ 51.32°2. 正弦定理的应用正弦定理是用来求解三角形边长或角度的定理，其公式为：a/sin∠A = b/sin∠B = c/sin∠C示例题目3：已知三角形ABC，∠A=45°，∠B=60°，AC=8cm，求边AB与BC的长度。

解答思路：根据正弦定理的公式，将已知的数值代入计算，有：AB/sin45° = 8/sin60°AB = 8*sin45°/sin60°AB ≈ 8*0.7071/0.8660 ≈ 6.928cmBC/sin60° = 8/sin45°AB = 8*sin60°/sin45°AB ≈ 8*0.8660/0.7071 ≈ 9.398cm四、教学方法1. 结合实际生活进行示例分析，增加学生的兴趣；2. 组织学生小组合作，共同解决问题，培养合作意识；3. 引导学生总结规律，归纳定理应用方法。

正弦定理和余弦定理的运用教案正文：正弦定理和余弦定理的运用教案一、教学目标1. 理解正弦定理和余弦定理的含义和基本公式；2. 掌握正弦定理和余弦定理在解决三角形相关问题中的应用方法；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

二、教学重点1. 正弦定理的推导和应用；2. 余弦定理的推导和应用。

三、教学难点1. 正弦定理和余弦定理的理解和记忆；2. 通过具体问题实际运用，使学生深入理解定理的应用方法。

四、教学准备1. 教材：三角函数学科教材；2. 工具：投影仪、黑板、粉笔、直尺、量角器。

五、教学过程Ⅰ. 导入（10分钟）1. 教师简要复习三角比的概念和计算方法；2. 教师引导学生思考：在已知某一角的情况下，如何确定三角形的边长呢？Ⅱ. 正弦定理的推导和应用（20分钟）1. 教师通过投影仪展示正弦定理的基本公式：a/sinA = b/sinB =c/sinC；2. 教师讲解正弦定理的推导过程，并与学生一同完成推导；3. 教师给出具体问题，引导学生运用正弦定理解决问题，并逐步引导学生总结出应用方法。

Ⅲ. 余弦定理的推导和应用（20分钟）1. 教师通过投影仪展示余弦定理的基本公式：c² = a² + b² - 2abcosC；2. 教师讲解余弦定理的推导过程，并与学生一同完成推导；3. 教师给出具体问题，引导学生运用余弦定理解决问题，并逐步引导学生总结出应用方法。

Ⅳ. 正弦定理和余弦定理的综合应用（25分钟）1. 教师给出一些复合问题，要求学生结合正弦定理和余弦定理解决问题；2. 学生分组讨论、解答问题，并在黑板上展示解题过程；3. 教师组织学生展示解题思路和方法，并针对不同解题方法进行及时点评。

Ⅴ. 拓展应用（15分钟）1. 教师布置一些拓展性应用题，要求学生在课后完成；2. 学生自主学习拓展内容，并在下节课讲解时与教师进行互动讨论。

Ⅵ. 总结与作业（10分钟）1. 教师对本节课的要点进行总结，并强调正弦定理和余弦定理的重要性；2. 布置作业：完成课后习题，复习和巩固所学知识。

正余弦定理的应用举例教案第一章：正弦定理的应用1.1 概述介绍正弦定理的概念和基本公式解释正弦定理在几何图形中的应用1.2 三角形内角和定理证明三角形内角和定理运用正弦定理计算三角形的内角和1.3 三角形面积计算介绍三角形面积计算公式运用正弦定理计算三角形的面积第二章：余弦定理的应用2.1 概述介绍余弦定理的概念和基本公式解释余弦定理在几何图形中的应用2.2 三角形边长计算运用余弦定理计算三角形的边长举例说明余弦定理在实际问题中的应用2.3 三角形角度计算运用余弦定理计算三角形的角度举例说明余弦定理在实际问题中的应用第三章：正弦定理与余弦定理的综合应用3.1 概述介绍正弦定理与余弦定理的综合应用解释正弦定理与余弦定理在几何图形中的应用3.2 三角形全等的证明运用正弦定理与余弦定理证明三角形全等举例说明正弦定理与余弦定理在三角形全等问题中的应用3.3 三角形相似的证明运用正弦定理与余弦定理证明三角形相似举例说明正弦定理与余弦定理在三角形相似问题中的应用第四章：正弦定理与余弦定理在实际问题中的应用4.1 概述介绍正弦定理与余弦定理在实际问题中的应用解释正弦定理与余弦定理在实际问题中的重要性4.2 测量问题中的应用运用正弦定理与余弦定理解决测量问题举例说明正弦定理与余弦定理在测量问题中的应用4.3 几何问题中的应用运用正弦定理与余弦定理解决几何问题举例说明正弦定理与余弦定理在几何问题中的应用第五章：正弦定理与余弦定理的拓展与应用5.1 概述介绍正弦定理与余弦定理的拓展与应用解释正弦定理与余弦定理在其他领域中的应用5.2 在物理学中的应用介绍正弦定理与余弦定理在物理学中的应用举例说明正弦定理与余弦定理在振动、波动等问题中的应用5.3 在工程学中的应用介绍正弦定理与余弦定理在工程学中的应用举例说明正弦定理与余弦定理在建筑、航空航天等领域中的应用第六章：正弦定理与余弦定理在三角形中的应用举例6.1 概述回顾正弦定理与余弦定理的基本概念和公式。

如有你有帮助，请购买下载，谢谢！- 1 -页 高一数学导学案必修5 第六课时 正弦定理、余弦定理的应用(2)一、学习目标（1）能熟练应用正弦定理、余弦定理解决三角形等一些几何中的问题和物理问题；（2）能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；（3）通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，应用自如.二、学习重点，难点能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题。

三、自主预习四、自主探究：在平面几何中，平行四边形的四边的平方和等于两条对角线长的平方和。

你能用余弦定理加以证明吗？五．能力技能交流活动一、解三角形在几何中的应用：【总结】例2．作用在同一点的三个力123,,F F F 平衡.已知130F N =，250F N =，1F 与2F 之间的夹角是60，求3F 的大小与方向，【总结】活动三、计算平面图形的面积例3．如图1-3-4，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2OA =，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC .问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？【总结】【回顾反思】【课时作业】8．已知ABC ∆的两边,b c 是方程2400x kx -+=的两个根，的面积是2cm ，周长是20cm ，试求A 及k 的值；9．如图，AB BC ⊥，33CD =，30ACB ∠=，75BCD ∠= ，45BDC ∠=， 求AB 的长.10.1,.(1)ABCD AD AB BAD BCD ABCD θθθ==∠=∆如图所示，在平面四边形中，，而是正三角形将四边形的面积S表示为的函数；(2)求S的最大值及此时角的值. 第9题 A B C D。

初中数学九年级下册教案：正弦定理与余弦定理的应用数学作为一门科学，无论在以前还是现在，都是社会中一个非常重要的学科。

初中数学九年级下册教案中有许多重要的知识点需要我们去学习，其中正弦定理与余弦定理的应用就是其中的一部分。

正弦定理与余弦定理在初中数学中是一个非常重要的概念，因为它们可以帮助我们解决很多实际应用问题。

正弦定理是指：在一个三角形中，三角形任意一边的长度，与这个角的正弦值成比例。

即：$\frac{a}{sin A}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$余弦定理是指：在一个三角形中，三角形任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边长度的积与这个角的余弦值的积。

即：$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc cosA$通过正弦定理与余弦定理的公式，从而可以解决很多实际应用问题。

下面我将为大家详细介绍几个具体的应用案例：一、计算高楼的高度通过正弦定理，我们可以计算出高楼的高度。

假如我们想知道一个高楼的高度，这时候我们需要找一条较长的梯子，搭在建筑物的墙壁上，而且这条梯子要够长，可以达到高楼的最高点。

然后我们可以测量梯子与地面的夹角与梯子的长度，同时我们还可以通过测量地面到建筑物外墙的距离，从而可以求得高楼的高度。

二、计算桥的长度在实际应用中，我们还可以用正弦定理与余弦定理来计算一座桥的长度。

假如我们要设计一座桥，桥的两端分别是平的，中间是拱形的，我们需要计算出拱形的长度，以便得出整座桥的长度。

这时候我们可以先测量出桥面到拱顶的高度，以及光学传感器到桥面的高度。

我们还可以测量测量拱的两端的距离，最后通过余弦定理就可以计算出拱的长度。

三、计算三角形的三个角度我们还可以利用正弦定理与余弦定理计算一个三角形的三个角度。

假如我们知道三角形中的三条边的长度，这时候我们可以通过正弦定理或余弦定理来计算三个角度。

正弦定理与余弦定理在初中数学中扮演着重要的角色，它们可以帮助我们解决很多实际应用问题。

课题：正弦定理和余弦定理及应用（教案）教学目标：1、知识与能力：掌握正、余弦定理公式的灵活运用2、过程与方法：能用正、余弦定理，结合三角恒等变换的相关知识，解决一些三角函数的边角函数转化关系的实际应用问题。

3、情感态度与价值观：通过正、余弦定理的灵活运用领会数学知识解决问题的实用性。

教学重点、难点：正、余弦定理公式的灵活运用学法指导1、利用正弦定理可以将三角形中的边角关系互化，同时要注意互补角的正弦值相等这一关系的应用；2、利用正弦定理判定三角形形状，常运用变形形式，结合三角函数有关公式，得出角的大小或边的关系。

课前准备：多媒体课件，导学案教学过程：知识点复习：1、正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 三角形外接圆半径） 变式公式：A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=. R a A 2sin =，R b B 2sin =，Rc C 2sin =. C B A c b a sin :sin :sin ::=2、余弦定理：⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222 变形公式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 222222222 3、三角形面积公式：A bc B ac C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆ 4、边角关系（1）角的关系： 180=++C B A（2）边的关系：c b a >+，c b a <-（3）边角关系：大角对大边，大边对大角课前练习：1、在ABC ∆中， 45=A ， 60=B ，4=b ，求a . （）2、已知 30=A ，4=a ，5=b ，则=B sin . （）3、已知8=b ，3=c ， 60=A ，则=a . （ 7 ）4、已知5=a ，13=b ，12=c ，求角B . （ 90 ）5、在ABC ∆中，1=AB ，4=BC ， 30=B ，则ABC ∆的面积等于 . （ 1 ） 归纳：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角，常用 正弦 定理；（2）已知两边和一边的对角，求第三边和其他两角，常用 正弦 定理或余弦定理（方程思想）；（3）已知三边求三角，常用 余弦 定理；（4）已知两边和它的夹角，求第三边和其他两个角，常用 余弦 定理.要数形结合，画图分析边角关系，合理使用公式.题型一：探究三角形中的边角运算例1 在ABC ∆中，已知4=a ，24=b ， 45=B ，求角A . 解：由B b A a sin sin =得21sin sin ==b B a A 在ABC ∆中，b a <∴ B A <， ∴ 45<A ， ∴ 30=A .变式：1、在ABC ∆中，已知4=a ，24=b ， 30=A ，求角B 2、在ABC ∆中，已知4=a ，24=b ， 150=A ，求角B . （无解） 题型二：探究三角形的面积求解例2 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且1=a ，3=b ，求ABC S ∆.解：由角A 、B 、C 依次成等差数列∴ C A B +=2 又 π=++C B A∴ 3π=B 由正弦定理B b A a sin sin =得2133sin 1sin sin =⨯==πb B a A b a < ∴6π=A ∴2π=C ∴ 2313121sin 21=⨯⨯⨯==∆C ab S ABC 变式：在ABC ∆中， 120=A ，5=AB ，7=BC ，求ABC ∆的面积.题型三：探究三角形的形状判断例3 在ABC ∆中，已知A b B a cos cos =，判断ABC ∆的形状.解：由A b B a cos cos =得A B R B A R cos sin 2cos sin 2=∴0sin cos cos sin =-B A B A即()0sin =-B A ，∴B A =，即ABC ∆为等腰三角形变式：1、在ABC ∆中，已知C c B b A a cos cos cos ==，判断ABC ∆的形状. （等边三角形） 2、已知ABC ∆的三内角A 、B 、C 成等差数列，而A 、B 、C 三内角的对边a 、b 、c 成等比数列，试证明：ABC ∆为正三角形.1、解：由Bb A a cos cos =得A b B a cos cos =，由上例可知B A =， 由Cc B b cos cos =得B c C b cos cos =，同理可得C B =， ∴C B A ==，即ABC ∆为等边三角形2、证明： A 、B 、C 成等差数列，∴C A B +=2，又 180=++C B A ，∴ 60=B ， 120=+C Aa 、b 、c 成等比数列，∴ac b =2，又由余弦定理得：acc a ac c a Bac c a b -+=-+=-+=222222260cos 2cos 2∴ac c a ac -+=22，即()02=-c a ，∴c a =又 60=B ，∴ABC ∆为正三角形.高考真题体验：（2008年高考）在ABC ∆中，B ∠，C ∠的对边分别为b ，c ，且 45=∠B ，2=b ，3=c .（1）求C ∠；（2）求ABC S ∆.课堂小结：1、解斜三角形求边角有四种可解类型：已知两角一边和两边及一边的对角时，用正弦定理；已知两边夹角和已知三边时，用余弦定理。