2019-2020学年高一数学 正余弦定理应用3学案.doc

2019-2020年高中数学必修5正弦、余弦定理及应用一．课标要求：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

二．命题走向对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。

今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用。

题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度的解答题。

三．要点精讲1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。

（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A ＝cos B ＝，cos A ＝sin B ＝，tan A ＝。

2．斜三角形中各元素间的关系：如图6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。

（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

R Cc B b A a 2sin sin sin ===。

（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。

3．三角形的面积公式：（1）△＝ah a ＝bh b ＝ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）△＝ab sin C ＝bc sin A ＝ac sin B ；（3）△＝＝＝；（4）△＝2R 2sin A sin B sin C 。

2019-2020学年高中数学 1.1正弦定理和余弦定理的应用举例教案新人教A版必修5教学目的：掌握正弦定理和余弦定理及其应用教学重点：掌握正弦定理和余弦定理及其应用教学难点：应用教学过程：一、知识梳理：1、正弦定理和余弦定理1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．2．方位角从正北方向顺时针转到目标方向线的角(如图②，B点的方位角为α)．3．方向角相对于某一正方向的角(如图③)．(1)北偏东α：指从正北方向顺时针旋转α到达目标方向．(2)东北方向：指北偏东45°.(3)其他方向角类似．二、课前热身1．若点A在点B的北偏西30°，则点B在点A的( )A．北偏西30°B．北偏西60° C．南偏东30° D．南偏东60°2．在某次测量中，在A处测得同一平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角为70°，则∠BAC等于( )A．10° B．50° C．120° D．130°3．一船向北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( ) A．5海里B．5 3 海里C．10海里D．10 3 海里4．在相距2千米的A，B两点处测量目标C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C 两点之间的距离为______千米．三、考点剖析：1、考点一测量距离例1、如图，隔河看两目标A 与B ，但不能到达，在岸边先选取相距3千米的C ，D 两点，同时，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，求两目标A ，B 之间的距离．[规律方法]练习1.郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC 、△ABD ，经测量AD ＝BD ＝7米，BC ＝5米，AC ＝8米，∠C ＝∠D .求AB 的长度．2、考点二 测量高度例2、要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，求电视塔的高度．[规律方法]练习： 2.如图，测量河对岸的旗杆高AB 时，选与旗杆底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .测得∠BCD ＝75°，∠BDC ＝60°，CD ＝a ，并在点C 测得旗杆顶A 的仰角为60°，则旗杆高AB 为________．3、考点三 测量角度例3、 如图，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．[规律方法]练习 3.如图，甲船以每小时30 2 海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？4、拓展延伸： 4）．如图，在△ABC 中，已知B ＝π3，AC ＝4 3，D为BC 边上一点．若AB ＝AD ，则△ADC 的周长的最大值为________．四、课堂小结：画思维导图五、当堂落实：1．(2015·龙岩模拟)已知A 、B 两地的距离为10 km ，B 、C 两地的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地的距离为( )A ．10 kmB ．103 kC ．105 kmD ．107 km2.两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°3.如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．4．如图所示，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A ，B ，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝75°，∠CBA ＝45°，且AB ＝100 m ．求该河段的宽度．。

2019-2020学年高考数学总复习正弦定理和余弦定理的应用学案
新人教A版
（一）教学目标
1．知识与技能：初步运用正弦定理、余弦定理解决某些与测量有关的实际问题。

2．过程与方法：通过解决“测量一个底部不能到达的建筑物的高度”或“测量平面上两个不能到达的地方之间的距离”的问题，初步掌握将实际问题转化为解斜三角形问题的方法，提高运用数学知识解决实际问题的能力。

3．情感、态度与价值观：通过解决“测量”问题，体会如何将具体的实际问题转化为抽象的数学问题。

培养学生的数学应用意识和探索问题、解决问题的能力，学习用数学的思维方式去解决问题，认识世界。

（二）教学重点、难点
重点是如何将实际问题转化为数学问题，并利用解斜三角形的方法予以解决。

难点是分析并确定将实际问题转化为数学问题的思路。

（三）教学方法
自主探究与教师指导相结合。

工具来测量角度。

（图片展示）
岸，如何求两个码头间的距离？最后加上三角架的高度即可分析：测量者在与B
怎样测量一个底部不能到达的
探
点
A , B
ACB=α
间的距离，飞机沿水指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）。

A CB D高一数学必修5导学案 正弦定理、余弦定理的应用一、学习目标（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题；（2）体会数学建摸的基本思想，掌握求解实际问题的一般步骤；（3）能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力．二、学习重点，难点重点：（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题；（2）掌握求解实际问题的一般步骤．难点：综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题。

三、自主预习：1.实际问题中常用的角：（1）仰角和俯角：在视线和水平线所成角中，视线在水平线___________的角叫仰角，在水平线_____________的角叫俯角（如图①）（2）指从正北方向____________转到目标方向线的水平角，如B 点的方位叫为α（如图②）。

（3）坡度：坡度是指路线纵断面上同一坡段两点间的高度差与其水平距离的比值的百分率.四、能力技能检测：活动一、测量距离问题：例1．如图1-3-1，为了测量河对岸两点,A B 之间的距离，在河岸这边取1km 长的点CD ，并测得90ACD ∠=，60BCD ∠=，75BDC ∠=︒，30ADC ∠=，试求,A B 之间的距离.【总结】变式训练1、海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，那么B 岛和C 岛间的距离是 。

变式训练2.如图,一艘船以32海里/时的速度向正北航行, 铅垂线视线① 水平线 视线仰角俯角东西在A 处看灯塔S 在船的北偏东20°, 30分钟后航行到B处,在B 处看灯塔S 在船的北偏东65°方向上,求灯塔S和B 处的距离.（其中sin20°=0.342，结果保留到0.1）活动二、方位角问题：例2 一艘渔船在我海域遇险，且最多只能坚持45分钟，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45° 、距离为10海里的C 处，并测得渔船以9海里/时的速度沿方位角为105°的方向航行，我海军舰艇立即以21海里/时的速度前去营救。

2019-2020年高一数学必修4《正弦定理与余弦定理的综合应用》最新导学案设计【学习目标】1、能推导并证明三角形的面积公式（已知两边和夹角），并会用之求三角形的面积；2、能综合应用正弦定理或余弦定理来求解三角形。

【课前导学】复习：1、请在草稿纸上默写出正弦定理、余弦定理及余弦定理的变式。

2、正余弦定理分别可以解哪些类型的三角形？ 【知识拓展】 1、三角形面积公式：（1）如图1.1—5中，三角形中，已知和角，试证明：（2）类似地你还可以得出计算三角形面积的其他两个公式吗？（3）你可以用这些公式证明正弦定理吗？2、（1）、预备知识：同弧（或等弧）所对的圆周角相等。

（2）、如图1.1—4中，的外接圆的半径为，试证明： （提示：通过作辅助线构造直角三角形）（3）类似可证明：，故有 （4）正弦定理的常见变式：①② ③【知识应用】例1、 锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,若a=4,b=5,且面积S=5,求边c 的长度.图1.1—5a例2、在△ABC中,∠A=120°,AB=5,BC=7,求△ABC的面积S.例3、在△ABC中,BC=33,, 求AC.【总结提升】1、你能写出今天学习的三角形的面积公式吗？会证明吗？2、正弦定理有哪些证明方法？有哪些变式？3、如何恰当选择正、余弦定理来解三角形？【课后作业】1.在△ABC中,a=3,c=5,B=, 则.2.在△ABC中,a=2,A=30°,C=45°,则△ABC的面积为.3.在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,则三角形是( )A.直角三角形；B.钝角三角形；C.等边三角形；D.等腰直角三角形4.在△ABC中,若a=7,b=3,c=8,求△ABC的面积.5.在△ABC中,边a,b的长是方程x2-5x+2=0的两个根,C=60°,求边c的长.6（选做）.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知a-b=4,a-c=8,且最大角为120°,求△ABC的面积.。

2019-2020年高三数学 第34课时 正、余弦定理及应用教案教学目标：使学生掌握正、余弦定理及其变形；能够灵活运用正、余弦定理解题.教学重点：正、余弦定理的灵活应用（一） 主要知识： 正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===， 余弦定理：222222222222222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .2b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab ⎧+-=⎪⎧⎪=+-+-⎪⎪=+-⇒=⎨⎨=+-⎪⎪⎩+-⎪=⎪⎩推论：正余弦定理的边角互换功能① ，，②，，③ ==④::sin :sin :sin a b c A B C =⑤222sin sin sin 2sin sin cos A B C B C A =+-222sin sin sin 2sin sin cos B C A C A B =+-222sin sin sin 2sin sin cos C A B A B C =+- 三角形中的基本关系式：sin()sin ,cos()cos ,sin cos ,cos sin 2222B C A B C A B C A B C A +=+=-++== （二）主要方法：通过对题目的分析找到相应的边角互换功能的式子进行转换.利用正余弦定理可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系 。

（三）典例分析：问题1．在中，分别是三个内角的对边．如果且.求证：为直角三角形问题2．求22sin 20cos 8020cos80︒+︒︒︒在中，角、、对边分别为、、，求证：问题3．在中，分别是三个内角的对边,且求角的度数；若求的值问题4．(天津)在中，所对的边长分别为，设满足条件和，求和的值（四）课后作业：(届孝昌二中高三质检) 在中，已知222sin sin sin sin B C A A C --=，则的大小为（届高三西安中学月月考）已知锐角中，角的对边分别为，且；求；求函数()sin 2sin cos f x x B x =+的最大值已知的面积，且，求面积的最大值（五）走向高考：（江苏）中，，，则的周长为（全国）中，分别是三个内角的对边，.如果成等差数列，，的面积为，那么（北京春）在中，、、分别是的对边长，已知、、成等比数列，且，求的大小及的值（湖南）已知在中，()sin sin cos sin 0A B B C +-=,,求角的大小.（上海） 在中，分别是三个内角的对边．若，，求的面积．，量积及其运算法则，理解向量共线的充要条件.会用向量的代数运算法则、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题．不断培养并深化用数形结合的思想方法解题的自觉意识.教学重点：向量的概念和向量的加法和减法法则．（一） 主要知识：向量的概念及向量的表示； 向量的加法、减法与实数乘向量概念与运算律；两向量共线定理与平面向量基本定理．（二）主要方法：充分理解向量的概念和向量的表示； 数形结合的方法的应用；用基底向量表示任一向量唯一性； 向量的特例和单位向量，要考虑周全．用好“封闭折线的向量和等于零向量”;由共线求交点的方法:待定系数.（三）典例分析：问题1．判断下列命题是否正确，不正确的说明理由.若向量与同向，且，则；若向量，则与的长度相等且方向相同或相反；对于任意向量若且与的方向相同，则；由于零向量方向不确定，故不能与任意向量平行；向量，则向量与方向相同或相反；向量与是共线向量，则四点共线；起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量.若，且，则问题2．（洛阳模拟）设是两个不共线的向量，若与共线，则实数若点为的外心，且，则的内角(新课程)是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点 满足(),[0,)||||AB AC OP OA AB AC λλ=++∈+∞，则的轨迹一定通过的 外心 内心 重心 垂心（广东）是的边上的中点，则向量问题3．（湖南）如图, , 点在由射线, 线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且,则的取值范围是 ；当时, 的取值范围是（陕西）如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，．若，则的值为问题4． (届高三石家庄模拟)如图，在中， 点是的中点，点在边上，且，与相交于点，求的值（四）课后作业：考查下列四个命题：①对于实数和向量，恒有；②对于实数和向量，若，则；③，则；④，，则，⑤若，则存在唯一的，使得；⑥以为起点的三个向量的终点在同一直线上的充要条件是.则其中正确的命题的序号分别是A OB C已知中，是内的一点，若则是的 重心 垂心 内心外心若是平面内的任意四点，给出下列式子：①；②；③.其中正确的有：设为非零向量，则下列命题中,真命题的个数是______①与有相等的模；②与的方向相同；③与的夹角为锐角；④||||||||||a b a b a b +=-⇔≥且与方向相反．若非零向量满足，则与所成的角的大小为向量，则的最大值和最小值分别是设是不共线的向量，与共线，则实数的值是已知是两个不共线的非零向量，它们的起点相同，且三个向量的终点在同一条直线上，求实数的值.已知四边形的两边的中点分别是，求证：（五）走向高考：(全国Ⅰ)设平面向量、、的和如果向量、、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则；；；（山东）已知向量，且,,则一定共线的三点是：（全国Ⅱ）在中，已知是边上一点，若，则（北京）已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（全国Ⅰ）的外接圆的圆心为，两条边上的高的交点为，，则实数（江西）已知等差数列的前项和为，若，且三点共线（该直线不过点），则等于（福建）已知，,,点在内，且，设 ，则（上海文）在平行四边形中，下列结论中错误的是（安徽文）在平行四边形中，,,3AB a AD b AN NC ===，为的中点，则 （用表示）（江西）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的值为。

一．学习目标
1.通过具体实例探索问题隐含的数学模型
2.针对各自的模型正确使用正余弦定理解决问题。

完成本学案只需写出必要的解题步骤，不必查表计算结果
二、自学探究:
三﹑合作探究：
例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是60m，∠BAC=︒
45，∠ACB=︒
75。

求A、B两点的距离
例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。

例3、AB是底部B不可到达的一个建筑物，
A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物
高度AB的方法。

四、巩固练习：（教材第15页1题，19页6题，7题）
五、师生总结：
六．课后作业：（教材第15页2，3题，第20页8题）。

1.3 正弦定理、余弦定理的应用1．巩固正、余弦定理的应用，熟练掌握解三角形的步骤与过程．(重点) 2．能够运用正、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．(难点)3．方向角与方位角的区分及应用．(易混点)[基础·初探]教材整理方位角例2的有关内容，完成下列问题．阅读教材P18方位角是从指北方向顺时针转到目标方向线的角．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)方位角和方向角是同一个概念．( )(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α＝β.( )(3)从C地看A，B二人的方位角分别为30°，45°，则∠ACB为75°.()(4)甲看乙南偏东30°，则乙看甲北偏西30°.()【答案】(1)×(2)√(3)×(4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问2：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问3：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问4：_________________________________________________解惑：_________________________________________________[小组合作型]10 N，且OA，OB都是细杆，只受沿杆方向的力．试求杆OA，OB所受的力．图1­3­1【精彩点拨】 先借助向量的合成与分解画出图示，然后借助正弦定理求解． 【自主解答】 如图，作OE →＝F ，将F 沿A 到O ，O 到B 两个方向进行分解，即作▱OCED ，则OD →＝CE →＝F 1，OC →＝F 2.由题设条件可知，|OE →|＝10，∠OCE ＝50°，∠OEC ＝70°，所以∠COE ＝180°－50°－70°＝60°.在△OCE 中，由正弦定理， 得|F |sin 50°＝|F 1|sin 60°，|F |sin 50°＝|F 2|si n 70°，因此，|F 1|＝10sin 60°sin 50°≈11.3，|F 2|＝10 sin 70°sin 50°≈12.3.答：灯杆OA 所受的拉力为11.3 N ，灯杆OB 所受的压力为12.3 N.在运用正弦定理、余弦定理解决力的合成与分解问题时，通常涉及平行四边形，根据题意，选择一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解．[再练一题]1．作用于同一点的三个力F1，F2，F3平衡．已知F1＝30 N，F2＝50 N，F1与F2之间的夹角是60°，求F3的大小与方向(精确到0.1°)．【解】F3应和F1，F2的合力F平衡，所以F3和F在同一直线上，并且大小相等，方向相反．如图，在△OF1F中，由余弦定理，得F＝302＋502－2×30×50cos 120°＝70(N)，再由正弦定理，得sin∠F1OF＝50sin 120°70＝5314，所以∠F1OF≈38.2°，从而∠F1OF3≈141.8°.答：F3为70 N，F3和F1间的夹角为141.8°.如图1­3­2，某公园内有一块边长为2的等边△ABC的三角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两份，点D在AB上，点E在AC上．设AD＝x(x≥0)，DE＝y，求用x表示y的函数关系式．图1­3­2【精彩点拨】 由S △ADE ＝12S △ABC 得出AE ，再在△ADE 中由余弦定理求DE .【自主解答】 ∵AB ＝BC ＝AC ＝2，∴S △ABC ＝12×2×2sin 60°＝3，∴S △ADE ＝12S △ABC ＝32.又S △ADE ＝12AD ·AE sin 60°＝34x ·AE ，由34x ·AE ＝32，得AE ＝2x. 在△ADE 中，由余弦定理得y 2＝x 2＋4x 2－2·x ·2x ·cos 60°＝x 2＋4x2－2，∴y ＝x 2＋4x2－2.又由AE <2可知2x<2，即x >1，∴1<x <2.∴y 关于x 的函数为：y ＝x 2＋4x2－2(1<x <2)．1．求解此类问题的关键是利用正、余弦定理建模，求解时，要分清已知哪些条件，如何把待求和已知化归到同一个三角形中．2．函数建模时，要注意函数的定义域，如本题(2)中隐含“AE＝2x∈(0,2)”．[再练一题]2.如图1­3­3所示，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝1，∠BAD＝θ，△BCD 是正三角形．图1­3­3(1)将四边形ABCD的面积S表示为θ的函数；(2)求S的最大值及此时θ角的值．【解】(1)△ABD的面积S1＝12×1×1×sin θ＝12sin θ，由于△BCD是正三角形，则△BCD的面积S2＝34BD2.在△ABD中，由余弦定理可知BD2＝12＋12－2×1×1×cos θ＝2－2cos θ，于是四边形ABCD的面积S＝12sin θ＋34(2－2cos θ)，∴S＝32＋sin⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3，0<θ<π.(2)由S＝32＋sin⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3及0<θ<π，得－π3<θ－π3<2π3，当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，S取得最大值1＋32.[探究共研型]探究1间的距离？图1­3­4【提示】在河岸这边选取点C，D，测得CD＝a，∠ACD＝α，∠BCD＝β，∠BDC＝γ，∠ADC＝δ，则在△ACB和△ACD中应用正弦定理可求AC，BC的长，进而在△ACB中应用余弦定理求AB.探究2 如图1­3­5，如何测量山顶塔AB的高？(测量者的身高忽略不记)图1­3­5【提示】测量者在山下先选择一基点P，测出此时山顶的仰角α，前进a 米后，再测出此时山顶的仰角β，则借助直角三角形的边角关系可求塔顶距地面的高h，进而利用AB＝h－H求解．(2015·湖北高考)如图1­3­6，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝______m.图1­3­6【精彩点拨】先利用正弦定理求出BC，再在Rt△BCD中求CD.【自主解答】由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600 m，故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°，解得BC＝300 2 m.在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝3002×3 3＝1006(m)．【答案】100 61．解决测量高度问题的一般步骤(1)画图：根据已知条件画出示意图；(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形；(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用．2．测量距离问题分为三种类型：两点间不可通又不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达．解决此问题的方法是，选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．[再练一题]3．为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内，飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图1­3­7中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．图1­3­7【解】①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N 的俯角α2，β2；A，B的距离d(如图所示)②第一步：计算AM.在△ABM中，由正弦定理，得AM＝d sin α2α1＋α2.第二步：计算AN.在△ABN中，由正弦定理，得AN＝d sin β2β2－β1.第三步：计算MN.在△AMN中，由余弦定理，得MN ＝AM2＋AN2－2AM×ANα1－β1.[构建·体系]1．已知两座灯塔A，B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的________．(填序号)(1)北偏东10°；(2)北偏西10°；(3)南偏东10°；(4)南偏西10°.【解析】如图，因为△ABC为等腰三角形，所以∠CBA＝12(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°，故答案为(2)．【答案】(2)2．如图1­3­8，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为________.【导学号：91730015】图1­3­8【解析】由正弦定理，得60－＝PBsin 30°，∴PB＝60×12sin 15°＝30sin 15°，∴h＝PB·sin 45°＝30sin 15°·sin 45°＝(30＋303)m.【答案】(30＋303)m3．一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 3 h，该船实际航程为________．【解析】v实＝22＋42－2×4×2×cos 60°＝23(km/h)．所以实际航程为23×3＝6(km)．【答案】 6 km4．某市在“旧城改造”工程中，计划在如图1­3­9所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境．已知这种草皮价格为a元/m2，则购买这种草皮需要________元．图1­3­9【解析】∵S△＝12×20×30×sin 150°＝12×20×30×12＝150(m2)，∴购买这种草皮需要150a元．【答案】150a5．如图1­3­10，A，B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此时A，B两点间的距离是多少？图1­3­10【解】在△ACD中，应用正弦定理得AC＝＋sin[180°－＋45°＋＝40sin 105°sin 45°＝40sin 75°sin 45°＝20(1＋3)(m)，在△BCD中，应用正弦定理得BC＝40sin 45°si n[180°－＋30°＋＝40sin 45°sin 45°＝40(m)．在△ABC中，由余弦定理得AB＝AC2＋BC2－2AC×BC cos 60°＝206(m)．我还有这些不足：(1)_________________________________________________(2)_________________________________________________我的课下提升方案：(1)_________________________________________________(2)_________________________________________________学业分层测评(五)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．(2016·镇江高二检测)在△ABC中，a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于________．【解析】由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝12，∴sin A＝3 2，∴S△ABC＝12bc sin A＝12×3×8×32＝6 3.【答案】6 32．有一长为10 m的斜坡，它的倾斜角是75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延伸________ m.【解析】如图，在△ABC中，由正弦定理可知：xsin 45°＝10sin 30°，∴x＝102(m)．【答案】10 23．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得这两条船的俯角分别为45°和60°，而且这两条船与炮台底部连线成30°角，则这两条船相距________ m.【导学号：91730016】【解析】设炮台顶为A，底为D，两船分别为B，C，由题意知∠BAD＝45°，∠CAD＝30°，∠BDC＝30°，AD＝30 m，∴DB＝30 m，DC＝10 3 m，在△BCD中，由正弦定理知，BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC·cos 30°＝300，∴BC＝10 3 m，即这两条船相距10 3 m.【答案】10 34．(2016·南京高二检测)为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)，如图1­3­11所示，且B＋D ＝180°，则AC的长为________ km.图1­3­11【解析】在△ABC中，由余弦定理得AC2＝82＋52－2×8×5cos B，在△ACD 中，由余弦定理得AC2＝32＋52－2×3×5cos D，由cos D＝－cos B，并消去AC2得cos B＝12，所以AC＝7.【答案】75.如图1­3­12所示，甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东________(填角度)的方向前进．图1­3­12【解析】由题意知，AC＝3BC，∠ABC＝120°，由正弦定理知，BCsin ∠CAB ＝ACsi n 120°，∴sin ∠CAB＝1 2，∴∠CAB＝30°，∴∠CAD＝60°－30°＝30°.【答案】30°6．若两人用大小相等的力F提起重为G的货物，且保持平衡，则两力的夹角θ的余弦为________．【解析】如图，由平行四边形法则可知，|OA→|＝G，在△AOB中，由余弦定理可得|OA→|2＝F2＋F2－2F·F cos(π－θ)．∵|OA→|＝G，∴2F2(1＋cos θ)＝G2，∴cos θ＝G2－2F2 2F2.【答案】G2－2F2 2F27．如图1­3­13所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别是75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于________ m.图1­3­13【解析】由题意可知，AC＝60sin 30°＝120.∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，所以sin ∠ABC＝s in 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝6＋24.在△ABC中，由正弦定理得ACsin ∠ABC＝BC∠BAC，于是BC＝120×222＋64＝24022＋6＝120(3－1)(m)．【答案】120(3－1)8.如图1­3­14，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．图1­3­14【解析】 ∵sin ∠BAC ＝sin(90°＋∠BAD ) ＝cos ∠BAD ＝223， ∴在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ， ∴BD 2＝18＋9－2×32×3×223＝3，∴BD ＝ 3. 【答案】 3二、解答题9．如图1­3­15所示，有两条直线AB 和CD 相交成80°角，交点是O ，甲、乙两人同时从点O 分别沿OA ，OC 方向出发，速度分别是4 km/h ，4.5 km/h,3小时后两人相距多远(精确到0.1 km)?图1­3­15【解】 经过3小时后，甲到达点P ，OP ＝4×3＝12(km)，乙到达点Q ，OQ＝4.5×3＝13.5(km)，依余弦定理，知PQ＝122＋13.52－2×12×13.5cos 80°≈16.4(km)．10．如图1­3­16，在△ABC中，已知BC＝15，AB∶AC＝7∶8，sin B＝43 7，求BC边上的高AD.图1­3­16【解】在△ABC中，由已知设AB＝7x，AC＝8x，由正弦定理，得7xsin C＝8xsin B，∴sin C＝78×437＝32，∴C＝60°(C＝120°舍去，否则由8x>7x，知B也为钝角，不符合要求)．由余弦定理，得(7x)2＝(8x)2＋152－2×8x×15cos 60°，∴x2－8x＋15＝0.∴x＝3或x＝5，∴AB＝21或AB＝35.在△ABC中，AD＝AB sin B＝437AB，∴AD＝123或AD＝20 3.[能力提升]1.如图1­3­17，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min.若此人步行的速度为每分钟50 m，则该扇形的半径为________m.图1­3­17【解析】连结OC，在三角形OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理可得OC2＝1002＋1502－2×100×150×12＝17 500，∴OC＝507.【答案】5072．如图1­3­18所示，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C 在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________ m.图1­3­18【解析】在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，由正弦定理，得BCsin 45°＝CDsin 30°，BC＝CD sin 45°sin 30°＝10 2.在Rt △ABC 中，tan 60°＝ABBC，AB ＝BC tan 60°＝106(m)． 【答案】 10 63．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是________小时.【导学号：91730017】【解析】 设行驶x h 后甲到点C ，乙到点D ，两船相距y km ，则∠DBC ＝180°－60°＝120°.∴y 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )·6x cos 120°＝28x 2－20x ＋100 ＝28⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5142－257＋100，∴当x ＝514时，y 2有最小值，即两船相距最近． 【答案】5144．如图1­3­19，在△ABC 中，BC 边上的中线AD 长为3，且cos B ＝108，cos ∠ADC ＝－14.图1­3­19(1)求sin ∠BAD 的值； (2)求AC 边的长．【解】 (1)因为cos B ＝108，所以sin B ＝368. 又cos ∠ADC ＝－14，所以sin ∠ADC ＝154.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝154×108－⎝ ⎛⎭⎪⎫－14×368＝64.(2)在△ABD 中，由正弦定理，得AD sin B＝BD sin ∠BAD，即3368＝BD 64，解得BD＝2.故DC ＝2，从而在△ADC 中，由余弦定理，得AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC＝32＋22－2×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝16，所以AC ＝4.。