黑龙江省大庆中学2018届高三考前仿真模拟考试数学(文)试题

2018年黑龙江省大庆市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知全集为R，集合A={x|x≥1}，那么集合∁R A等于（）A．{x|x＞1} B．{x|x＞﹣1}C．{x|x＜1} D．{x|x＜﹣1}2．复数﹣的实部与虚部的和为（）A．﹣B．1 C．D．3．如图，设，为互相垂直的单位向量，则向量﹣可表示为（）A．2﹣B．3﹣2C．2﹣ D．﹣24．已知a＜0，0＜b＜1，则下列结论正确的是（）A．a＞ab B．a＞ab2C．ab＜ab2D．ab＞ab25．某校高一年级开设了校本课程，现从甲、乙两班各随机抽取了5名学生校本课程的学分，5名学生学分的标准差，则（）1212C．s1=s2 D．s1，s2大小不能确定6．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A．12πB．6πC．4πD．2π7．已知函数f（x）=﹣x3+x2﹣ax+1是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（）A．[﹣3，+∞）B．（﹣∞，﹣]C．[，+∞）D．（﹣∞，]8．直线y=k（x+1）（k∈R）与不等式组 ，表示的平面区域有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）9．执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）A．﹣B．5 C．D．410．若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=，c=e lnx，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c11．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（）A．B．C．D．12．抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线C上一点，且P在第一象限，PM⊥l于点M，线段MF与抛物线C交于点N，若PF的斜率为，则=（）A．B． C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，则此双曲线的离心率为______．14．已知数列{a n}是公差为3的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，则a10=______．15．已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为______．16．已知a＞0且a≠1，f（x）=x2﹣a x．当x∈（﹣1，1），均有f（x）＜，则实数a取值范围是______．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ccosA，bcosB，acosC 成等差数列．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）设函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x，求f（A）的取值范围．18．某单位利用周末时间组织员工进行一次“健康之路，携手共筑”徒步走健身活动，有n人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为[25，30），[30，35]，[35，40），[40，45），[45，50），[50，55]六组，其频率分布直方图如图所示．已知[35，40）岁年龄段中的参加者有8人．（1）求n的值并补全频率分布直方图；（2）从[30，40）岁年龄段中采用分层抽样的方法抽取5人作为活动的组织者，其中选取2人作为领队，在选取的2名领队中至少有1人的年龄在[35，40）内的概率．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A1A=AB=2，BC=3．（1）求证：AB1∥平面BC1D；（2）求四棱锥B﹣AA1C1D的体积．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为4+2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．21．已知函数f（x）=lnx+（a≥0）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线（1﹣e）x﹣y+1=0平行，求a的值；（2）若不等式f（x）≥a对于x＞0的一切值恒成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是⊙O的直径．（1）求证：AC•BC=AD•AE；（2）过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，若AF=4，CF=6，求AC的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），圆C的方程是x2+y2﹣2x﹣4y=0，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l与圆C的极坐标方程；（2）设直线l与圆C的两个交点为M，N，求M，N两点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π），以及△MON的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x﹣a|+5x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=5时，求不等式f（x）≥5x+1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．2018年黑龙江省大庆市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知全集为R ，集合A={x |x ≥1}，那么集合∁R A 等于（ ） A ．{x |x ＞1} B ．{x |x ＞﹣1} C ．{x |x ＜1} D ．{x |x ＜﹣1} 【考点】补集及其运算．【分析】根据全集R 及A ，求出A 的补集即可． 【解答】解：∵全集为R ，集合A={x |x ≥1}， ∴∁R A={x |x ＜1}． 故选：C ．2．复数﹣的实部与虚部的和为（ ）A ．﹣B ．1C ．D ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求得实部和虚部，然后作和得答案．【解答】解：由﹣=，得复数﹣的实部与虚部分别为，1，∴数﹣的实部与虚部的和为．故选：D ．3．如图，设，为互相垂直的单位向量，则向量﹣可表示为（ ）A ．2﹣B ．3﹣2C ．2﹣D ．﹣2【考点】向量的三角形法则．【分析】以，为互相垂直的单位向量所在的直线分别为x轴和y轴，建立直角坐标系，求出向量的终点坐标以及的终点坐标，可得向量﹣的坐标，从而得到答案．【解答】解：以，为互相垂直的单位向量所在的直线分别为x轴和y轴，建立直角坐标系，则向量的终点坐标为（3，﹣1），的终点坐标为（2，1），故向量﹣可表示为：（3，﹣1）﹣（2，1）=（1，﹣2）=﹣2，故选D．4．已知a＜0，0＜b＜1，则下列结论正确的是（）A．a＞ab B．a＞ab2C．ab＜ab2D．ab＞ab2【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵a＜0，0＜b＜1，∴a＜ab，故A错误；b2＜1，a＜ab2，故B错误；ab＜0，ab＜ab2，故C正确，D错误；故选：C5．某校高一年级开设了校本课程，现从甲、乙两班各随机抽取了5名学生校本课程的学分，5名学生学分的标准差，则（）1212C．s1=s2 D．s1，s2大小不能确定【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据表中数据，计算甲、乙两班的平均数、方差与标准差，即可得出结论．【解答】解：根据表中数据，计算甲班的平均数为=×（8+11+14+15+22）=14，乙班的平均数为=×（6+7+10+23+24）=14；甲班的方差为=×[（8﹣14）2+（11﹣14）2+（14﹣14）2+（15﹣14）2+（22﹣14）2]=，乙班的方差为=×[（6﹣14）2+（7﹣14）2+（10﹣14）2+（23﹣14）2+（24﹣14）2]=，∴＜，标准差为s1＜s2．故选：B．6．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A．12πB．6πC．4πD．2π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为半圆柱，根据三视图判断半圆柱的高与底面半径，把数据代入半圆柱的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体为半圆柱，且半圆柱的高为3，底面半径为2，∴几何体的体积V=×π×22×3=6π．故选：B．7．已知函数f（x）=﹣x3+x2﹣ax+1是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（）A．[﹣3，+∞）B．（﹣∞，﹣]C．[，+∞）D．（﹣∞，]【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出f′（x），由题意f′（x）≤0在R上恒成立，利用二次函数的性质求出a的取值范围即可得到满足题意的a范围．【解答】解：f（x）=﹣x3+x2﹣ax+1，∴f′（x）=﹣3x2+2x﹣a，由题意f′（x）≤0在R上恒成立，∴△≤0，即4﹣4×3a≤0，解得：a≥，∴实数a的取值范围为[，+∞），故答案选：C．8．直线y=k（x+1）（k∈R）与不等式组 ，表示的平面区域有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，k表示过定点（﹣1，0）的直线y=k（x+1）的斜率，数形结合可得．【解答】解：作出不等式组所对应的可行域（如图△ABC），k表示过定点（﹣1，0）的直线y=k（x+1）的斜率，数形结合可得当直线经过点A（0，2）时，直线的斜率取最大值2，当直线经过点B（0，﹣2）时，直线的斜率取最小值﹣2，故选：A．9．执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）A．﹣B．5 C．D．4【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当n=1时，满足执行循环的条件，故a=，n=2，当n=2时，满足执行循环的条件，故a=5，n=3，当n=3时，满足执行循环的条件，故a=，n=4，当n=4时，满足执行循环的条件，故a=，n=5，…当n=2018时，满足执行循环的条件，故a=5，n=2018，当n=2018时，满足执行循环的条件，故a=，n=2018当n=2018时，不满足执行循环的条件，故输出的a值为，故选：C．10．若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=，c=e lnx，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c【考点】有理数指数幂的化简求值；对数值大小的比较．【分析】依题意，由对数函数与指数函数的性质可求得a＜0，b＞1，＜c＜1，从而可得答案．【解答】解：∵x∈（e﹣1，1），a=lnx∴a∈（﹣1，0），即a＜0；又y=为减函数，∴b=＞==1，即b＞1；又c=e lnx=x∈（e﹣1，1），∴b＞c＞a．故选B．11．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（）A．B．C．D．【考点】数列的应用．【分析】设{a n}的公比为q（q＞0），由等比数列的通项公式化简a7=a6+2a5，求出q，代入a m a n=16a12化简得m，n的关系式，由“1”的代换和基本不等式求出式子的范围，验证等号成立的条件，由m、n的值求出式子的最小值．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q，且q＞0，由a7=a6+2a5得：a6q=a6+，化简得，q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），因为a m a n=16a12，所（a1q m﹣1）（a1q n﹣1）=16a12，则q m+n﹣2=16，解得m+n=6，+=×（m+n）×（+）=×（17++）≥×（17+2）=，当且仅当=，解得：m=，n=，因为m n取整数，所以均值不等式等号条件取不到， +＞，验证可得，当m=1、n=5时，取最小值为．故答案选：B．12．抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线C上一点，且P在第一象限，PM⊥l于点M，线段MF与抛物线C交于点N，若PF的斜率为，则=（）A．B． C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|，|PF|=|PM|，于是∠PFM=∠PMF=∠MFO=∠MNQ，设=λ，则cos∠MNQ=，利用二倍角公式求出cos∠PFx，列出方程解出λ．【解答】解：过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|，设=λ，则，∴cos∠MNQ=．∴cos∠MFO=．∵|PM|=|PF|，∴∠PMF=∠PFM，∴∠PFM=∠MFO，∴cos∠PFx=﹣cos2∠MFO=1﹣2cos2∠MFO=1﹣．∵tan∠PFx=，∴cos∠PFx=，∴1﹣=，解得λ2=10．即．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，则此双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线方程，进而可知a和b的关系，利用c=进而求得a 和c的关系式，则双曲线的离心率可得．【解答】解：∵中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，∴=，即b=∴c== a∴e==故答案为：；14．已知数列{a n}是公差为3的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，则a10=．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知，利用等比数列的性质列式求得首项，代入等差数列的通项公式得答案．【解答】解：在等差数列{a n}中，d=3，且a1，a2，a5成等比数列，∴，即，解得：．∴．故答案为：．15．已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为25π．【考点】球的体积和表面积．【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PE上，求出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，PE为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心O必在正四棱锥的高线PE所在的直线上，延长PE交球面于一点F，连接AE，AF，由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF，根据平面几何中的射影定理可得PA2=PF•PE，因为AE=2，所以侧棱长PA==2，PF=2R，所以20=2R×4，所以R=，所以S=4πR2=25π故答案为：25π．16．已知a＞0且a≠1，f（x）=x2﹣a x．当x∈（﹣1，1），均有f（x）＜，则实数a取值范围是[，1）∪（1，2]．【考点】函数恒成立问题．【分析】化简不等式f（x）＜为x2﹣＜a x，构造函数h（x）=x2﹣，g（x）=a x，根据图象建立不等式组，求解不等式组即可得到a的取值范围．【解答】解：∵f（x）=x2﹣a x，∴f（x）＜可化为x2﹣a x＜，即x2﹣＜a x，令h（x）=x2﹣，g（x）=a x，则如图，当x∈（﹣1，1），不等式f（x）＜等价于h（x）=x2﹣恒在g（x）=a x下方，即g（﹣1）≥h（﹣1），且g（1）≥h（1）．∴．解得，又a＞0且a≠1，即实数a取值范围是[，1）∪（1，2]．故答案为：[，1）∪（1，2]．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ccosA，bcosB，acosC 成等差数列．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）设函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x，求f（A）的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由等差数列及正弦定理，得到B（Ⅱ）化简f（x），由B的值，得到A的取值范围，由此得到f（A）的范围．【解答】解：（I）∵ccosA，bcosB，acosC成等差数列，∴2bcosB=ccosA+acosC．在△ABC中，由正弦定理a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，R为△ABC外接圆的半径，可得：2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC，∴2sinBcosB=sin（A+C），又A+C=π﹣B，∴2sinBcosB=sin（π﹣B）=sinB，∵，∴sinB≠0，∴，∴．（II）=．∴，∵，∴，又，∴，∴，∴，∴，故f（A）的取值范围为．18．某单位利用周末时间组织员工进行一次“健康之路，携手共筑”徒步走健身活动，有n人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为[25，30），[30，35]，[35，40），[40，45），[45，50），[50，55]六组，其频率分布直方图如图所示．已知[35，40）岁年龄段中的参加者有8人．（1）求n的值并补全频率分布直方图；（2）从[30，40）岁年龄段中采用分层抽样的方法抽取5人作为活动的组织者，其中选取2人作为领队，在选取的2名领队中至少有1人的年龄在[35，40）内的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（I）先求出年龄在[35，40）之间的频率，从而求出n，进而得到第二组的频率及矩形高，由此能作出频率分布直方图．（II）由已知得[30，35）之间的人数为12，[35，40）之间的人数为8，从而采用分层抽样抽取5人，其中[30，35）内有3人，[35，40）内有2人，由此利用列举法能求出选取的2名领队中至少有1人的年龄在[35，40）内的概率．【解答】解：（I）年龄在[35，40）之间的频率为0.18×5=0.2，∵，∴．…∵第二组的频率为：1﹣（0.18+0.18+0.18+0.18+0.01）×5=0.3，∴矩形高为．…所以频率分布直方图如右图所示．…（II）由（I）知，[30，35）之间的人数为0.18×5×40=12，又[35，40）之间的人数为8，因为[30，35）之间的人数与[35，40）之间的人数的比值为12：8=3：2，所以采用分层抽样抽取5人，其中[30，35）内有3人，[35，40）内有2人．…记年龄在[30，35）岁的3人分别为a1，a2，a3，记年龄在[35，40）岁的2人为b1，b2．选取2名领队的情况有10种：（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a2，b1），（a1，b2），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）；其中至少有1人的年龄在[35，40）内的情况有7种：（a1，b1），（a2，b1），（a1，b2），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）．…∴选取的2名领队中至少有1人的年龄在[35，40）内的概率为．…19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A1A=AB=2，BC=3．（1）求证：AB1∥平面BC1D；（2）求四棱锥B﹣AA1C1D的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）欲证AB1∥平面BC1D，根据线面平行的判定定理可知只需证AB1与平面BC1D 内一直线平行，连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，根据中位线定理可知OD ∥AB1，OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，满足定理所需条件；（2）根据面面垂直的判定定理可知平面ABC⊥平面AA1C1C，作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA1C1C，然后求出棱长，最后根据四棱锥B﹣AA1C1D的体积求出四棱锥B﹣AA1C1D的体积即可．【解答】解：（1）证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O为B1C的中点．∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥AB1．∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D．（2）∵AA1⊥平面ABC，AA1⊂平面AA1C1C，∴平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC∩平面AA1C1C=AC．作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA1C1C，∵AB=BB1=2，BC=3，在Rt△ABC中，，，∴四棱锥B﹣AA1C1D的体积==3．∴四棱锥B﹣AA1C1D的体积为3．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为4+2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设椭圆的半焦距为c，由已知得，又，a2=b2+c2，联立解出即可得出．（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），P （x1，y1），Q（x2，y2），与椭圆方程联立消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，△＞0，即4k2﹣m2+1＞0．由直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，可得•=k2．解得k．利用弦长公式与三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）设椭圆的半焦距为c，由已知得，又，a2=b2+c2，解得，∴椭圆C的标准方程为．（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，则△=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，即4k2﹣m2+1＞0，且，，故．∵直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，∴．即，又m≠0，∴，即，又∵4k2﹣m2+1＞0，∴0＜m2＜2，由于直线OP，OQ的斜率存在，∴m2≠1．故=．令t=m2，则0＜t＜2，且t≠1，记f（t）=t（2﹣t）=﹣t2+2t，∴f（t）的值域为（0，1）．故△OPQ面积的取值范围为（0，1）．21．已知函数f（x）=lnx+（a≥0）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线（1﹣e）x﹣y+1=0平行，求a的值；（2）若不等式f（x）≥a对于x＞0的一切值恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）对函数求导，f'（1）=3﹣a﹣e，由题意得3﹣a﹣e=1﹣e，即可求a的值；（2）将所要证明的式子变形，建立一个函数，求导后再建立一个新的函数，再求导．需要用到两次求导．再来通过最值确定正负号，再来确实原函数的单调性．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），，…f'（1）=3﹣a﹣e，由题意得3﹣a﹣e=1﹣e，…解得a=2．…（2）不等式f（x）≥a对于x＞0的一切值恒成立，等价于xlnx+a+e﹣2﹣ax≥0对于x＞0的一切值恒成立．记g（x）=xlnx+a+e﹣2﹣ax（x＞0），则g'（x）=lnx+1﹣a．…g'x=0x=e a﹣1x g'（x），g（x）的变化情况如下表：e a﹣1．…记h（a）=a+e﹣2﹣e a﹣1（a≥0），则h'（a）=1﹣e a﹣1，令h'（a）=0，得a=1．a h'a h a，即g（x）在（0，+∞）上的最小值h（a）＞0，满足题意．…当1≤a≤2时，函数h（a）在[1，2]上为减函数，h（a）≥h（2）=0，即g（x）在（0，+∞）上的最小值h（a）≥0，满足题意．当a＞2时，函数h（a）在（2，+∞）上为减函数，h（a）＜h（2）=0，即g（x）在（0，+∞）上的最小值h（a）＜0，不满足题意．综上，所求实数a的取值范围为[0，2]．…请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是⊙O的直径．（1）求证：AC•BC=AD•AE；（2）过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，若AF=4，CF=6，求AC的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）首先连接BE，由圆周角定理可得∠C=∠E，又由AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，可得∠ADC=∠ABE=90°，则可证得△ADC∽△ABE，然后由相似三角形的对应边成比例，即可证得AC•AB=AD•AE；（Ⅱ）证明△AFC∽△CFB，即可求AC的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接BE，∵AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，∴∠ADC=∠ABE=90°，∵∠C=∠E，∴△ADC∽△ABE．∴AC：AE=AD：AB，∴AC•AB=AD•AE，又AB=BC…故AC•BC=AD•AE…（Ⅱ）解：∵FC是⊙O的切线，∴FC2=FA•FB…又AF=4，CF=6，从而解得BF=9，AB=BF﹣AF=5…∵∠ACF=∠CBF，∠CFB=∠AFC，∴△AFC∽△CFB…∴…∴…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），圆C的方程是x2+y2﹣2x﹣4y=0，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l与圆C的极坐标方程；（2）设直线l与圆C的两个交点为M，N，求M，N两点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π），以及△MON的面积．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）直线l的参数方程是（t为参数），消去t可得直角坐标方程：x﹣2y+3=0，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程．圆C的方程是x2+y2﹣2x﹣4y=0，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程．（2）联立，消去ρ可得：可得，由ρ≥0，0≤θ＜2π，可得极坐标．进而得出△MON的面积S．【解答】解：（1）直线l的参数方程是（t为参数），消去t可得直角坐标方程：x﹣1=2（y﹣2），即x﹣2y+3=0，可得极坐标方程：ρcosθ﹣2ρsinθ+3=0．圆C的方程是x2+y2﹣2x﹣4y=0，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程：ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ=0，即ρ=2cosθ+4sinθ．（2）联立，消去ρ可得：2（cos2θ﹣4sin2θ）+3=0，可得，由ρ≥0，0≤θ＜2π，可得：，或．∴点M，N的极坐标分别为：，．∴∠MON=，∴△MON的面积S==3．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x﹣a|+5x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=5时，求不等式f（x）≥5x+1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=5时，不等式f（x）≥5x+1，即|2x﹣5|≥1，即2x﹣5≤﹣1，或2x﹣5≥1，由此求得x的范围．（Ⅱ）把要解的不等式等价转化为与之等价的两个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得不等式的解集，再根据不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求得a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=5时，不等式f（x）≥5x+1，即|2x﹣5|+5x≥5x+1，即|2x﹣5|≥1，即2x﹣5≤﹣1，或2x﹣5≥1．求得x≤2，或x≥3，故原不等式的解集为{x|x≤2，或x≥3}．（Ⅱ）∵a＞0，不等式f（x）≤0，即①，或②．解①可得≤x＜，故①无解；解②可得x≤，故原不等式的解集为{x|x≤}．再根据已知原不等式的解集为{x|x≤﹣1}，可得=﹣1，∴a=﹣3．2018年9月19日。

黑龙江省大庆市2018届高三考前冲刺模拟数学（文）试题一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.）1. 已知集合{}4,3,2,1=A ,集合{}6,5,4,3=B ,集合B A C ⋂=，则集合C 的真子集．．．的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 42.已知复数1z i =+，则下列命题中正确的个数是（ ）①z =②1z i =- ； ③z 的虚部为i ； ④z 在复平面上对应的点位于第一象限.A. 1B. 2C. 3D. 4 3. 命题“[]1,0∈∀m ，21≥+xx ”的否定形式是（ ） A. []1,0∈∀m ，21<+x x B. []1,0∈∃m ，21≥+xx C. ()()+∞∞-∈∃,00, m ,21≥+x x D. []1,0∈∃m ，21<+xx4．已知ABC ∆中，=A 6π，=B 4π，a 1=，则b 等于（ ） A ．2 B ．1 C ．3 D ．25．在区间（0，4）上任取一实数x ，则22<x的概率是（ ） A ．43B ．21 C ．31 D ．41 6. 若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥32320y x y x x ，则y x z -=的最小值是（ ）A ． 0B ． 3-C ．23D ．3 7.{}n a 是公差不为0的等差数列，满足27262524a a a a +=+，则该数列的前10项和10S =（ ） A ．10- B ．5- C ．0 D ．58.已知()222,03,0x x f x x x ⎧-≥=⎨-+<⎩，若()2f a =，则a 的取值为（ ）A ．2B ． -1或2 C. 1±或2 D ．1或29.双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线与圆()()11322=-+-y x 相切，则此双曲线的离心率为（ ） A. 2B.C.D.10. 某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面 积为（ ）A ． 4πB ． 283πC ．443πD ． 20π11．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()m n N mod ≡，例如()3mod 211≡．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于（ ） A ．21B ．22C ．23D ．2412.若函数()()()2122ln 02ax f x a x x a =-++>在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内有极大值，则a 的取值范围是（ ）A ． 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．()1,+∞ C. ()1,2 D ．()2,+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13、已知平面向量→a =（k ，3），→b =（1，4），若→→⊥b a ，则实数k ＝ .14．设ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若ABC ∆222，则C = .15. 将1,2,3,4…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为 .正视图俯视图216．设函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->++--≤⎪⎭⎫⎝⎛-=1,3234311,2log 22x x x x x x f ，若()f x 在区间[],4m 上的值域为[]1,2-，则实数m 的取值范围为 .三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分）已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，首项11=a ，且421,,a a a 成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足n an n a b 2+=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18.（本题满分12分）“微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：（Ⅰ）若采用样本估计总体的方式，试估计小王的所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率； （Ⅱ）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？ 附： ()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++，18.（本题满分12分）在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1=A 1C=AC=AB=BC=2，且点O 为AC 中点．（Ⅰ）证明：A 1O ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求三棱锥C 1﹣ABC 的体积．19.（本题满分12分）已知直线01034:=++y x l ，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的上方． （Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点()0,1M 的直线与圆C 交于B A ,两点（A 在x 轴上方），问在x 轴正半轴上是否存在点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．21.（本题满分12分） 已知函数()()211ln ,.2f x x a x a x a R =+--∈ （Ⅰ）若()f x 存在极值点1，求a 的值； （Ⅱ）若()f x 存在两个不同的零点，求证：2ea > （e 为自然对数的底数，ln 20.6931=）请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C的直角坐标方程为22220x y x y ++-=，直线l 的参数方程为1x t y t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数），射线OM 的极坐标方程为34πθ=． （Ⅰ）求圆C 和直线l 的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线OM 与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知()13++-=x x x f ，()a a x x x g -+-+=1.（Ⅰ）解不等式()6f x ≥；（Ⅱ）若不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.黑龙江省大庆市2018届高三考前冲刺模拟数学（文）试题答案一、选择题二、填空题13. ____-12_________ 14. _____6π_____________ 15.______91_________ 16. ______[]1-8-，___________ 三、解答题17．(本题满分12分)解：（Ⅰ）设数列{a n }的公差为d ，由题设，，…（2分）即（1+d ）2=1+3d ，解得d=0或d=1…（4分） 又∵d ≠0，∴d=1，可以求得a n =n…（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）得，=（1+2+3+…+n ）+（2+22+ (2)）=…（12分）18.解：（Ⅰ）由题知，40人中该日走路步数超过5000步的有35人，频率为4035，所以估计他的所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率为7； （Ⅱ）()22401412684038412020221811K ⋅⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯ ，故没有95%以上的把握认为二者有关. 19.证明：（Ⅰ）∵AA 1=A 1C ，且O 为AC 的中点， ∴A 1O ⊥AC ，…（2分）又∵平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ， 平面AA 1C 1C ∩平面ABC=AC …（4分） 且A 1O ⊂平面AA 1C 1C ， ∴A 1O ⊥平面ABC …（6分）（Ⅱ）∵A 1C 1∥AC ，A 1C 1⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴A 1C 1∥平面ABC ，即C 1到平面ABC 的距离等于A 1到平面ABC 的距离…（8分） 由（Ⅰ）知A 1O ⊥平面ABC 且，…（9分）∴三棱锥C 1﹣ABC 的体积：…（12分）20.解：（Ⅰ）设圆心5(,0)()2C a a >-，则4102055a a a +=⇒==-或（舍去）． ·················· 2分所以圆C 的标准方程为224x y +=． ···················· 4分 （Ⅱ）当直线AB x ⊥轴，在x 轴正半轴上任一点，都可使x 轴平分ANB ∠； ·· 5分 当直线AB 斜率存在时，设直线AB 方程为(1)y k x =-，1122(,0),(,),(,),N t A x y B x y ··········· 6分 联立圆C 的方程和直线AB 的方程得，2222224,(1)240(1)x y k x k x k y k x ⎧+=⇒+-+-=⎨=-⎩， ················ 7分 故2212122224,11k k x x x x k k -+==++， ····················· 8分 若x 轴平分ANB ∠，则12121212(1)(1)00AN BN y y k x k x k k x t x t x t x t--=-⇒+=⇒+=---- 221212222(4)2(1)2(1)()2020411k k t x x t x x t t t k k -+⇒-+++=⇒-+=⇒=++.当点N 的坐标为(4,0)时，能使得ANM BNM ∠=∠成立． ············ 12 21.解：(1) ()1'=+--af x x a x，因为()f x 存在极值点为1，所以(1)0'=f ，即220,1-==a a ，经检验符合题意，所以1=a . ······················ （4分）(2) ()1(1)(1)(0)'=+--=+->a af x x a x x x x①当0≤a 时，()0'>f x 恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上为增函数，不符合题意； ②当0>a 时，由()0'=f x 得=x a ， 当>x a 时，()0'>f x ，所以()f x 为增函数， 当0<<x a 时，()0'<f x ，所()f x 为增函减数， 所以当=x a 时，()f x 取得极小值()f a又因为()f x 存在两个不同零点，所以()0<f a ，即21(1)ln 02+--<a a a a a 整理得1ln 12>-a a ，令1()ln 12h a a a =+-，11()02h a a '=+>，()h a 在定义域内单调递增，()()(ln 1)(ln 1)(ln 2)224224e e e e e eh h e e ⋅=+-+-=-， 由ln 20.6931, 2.71828e ≈≈知ln 204e -<，故2ea >成立. （12分）22.解（1）∵222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，圆C 的普通方程为22220x y x y ++-=， ∴22cos 2sin 0ρρθρθ+-=， ∴圆C的极坐标方程为)4πρθ=-.1x ty t=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）消去t 后得1y x =+， ∴直线l 的极坐标方程为1sin cos θθρ-=.（2）当34πθ=时，3||sin()44OP ππ=-=P的极坐标为3)4π，||2OQ ==，所以点Q的极坐标为3()24π，故线段PQ的长为2，23.解：（1）()22,34,1322,1x x f x x x x -≥⎧⎪=-<<⎨⎪-+≤-⎩，当3x ≥时，226x -≥解得4x ≥，当13x -<<时，46≥无解，当1x ≤-时，226x -+≥解得2x ≤-.∴()6f x ≥的解集为{}|24x x x ≤-≥或.（2）由已知311x x x x a a -++≥+-+-恒成立， ∴3x x a a -++≥-恒成立，又3333x x a x x a a a -++≥---=--=+，∴3a a +≥-，解得32a ≥-，3,2a ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭时，不等式()()f x g x ≥恒成立.。

2018年高考真题模拟卷（含答案）文科数学 2018年高三黑龙江省第一次模拟考试文科数学单选题（本大题共12小题，每小题____分，共____分。

）己知集合,则=A.B.C.D.已知i为虚数单位，复数z满足，则z =A.B.C.D.下面四个推理中，属于演绎推理的是（）A. 观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72015的末两位数字为43B. 观察，可得偶函数的导函数为奇函数C. 在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似的，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积之比为1：8D. 已知碱金属都能与水发生还原反应，钠为碱金属，所以钠能与水发生反应A. AB. BC. CD. D在等差数列中，，,则（）A. 7B. 8C. 9D. 10在等比数列中，已知，则（）A. 1B. 3C. ±1D. ±3命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是( )A. ∃x0∈ (0，＋∞)，ln x0≠x0－1B. ∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1C. ∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1D. ∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则△ABC的形状为(B)A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定已知a为函数的极小值点，则a=（C）A. -4B. -2C. 2D. 4已知函数的部分图像如图所示，则（）A.B.C.D.若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx－2在x＝1处有极值，则ab的最大值是( )A. 2B. 3C. 6D. 9已知，则a，b，c的大小关系为（）A. a＜b＜cB. a＜c＜bC. b＜a＜cD. b＜c＜a已知函数在区间上单调递增，则实数b的取值范围是（）A.B.C.D.填空题（本大题共9小题，每小题____分，共____分。

普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(三)文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知中全集，根据补集的性质及运算方法，先求出，再求出其补集，即可求出答案.【详解】全集，集合，，，，故选：A.【点睛】本题考查的知识点是交、并、补的混合运算，其中将题目中的集合用列举法表示出来，是解答本题的关键.2. 设为复数的共轭复数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，从而求出的值即可.【详解】，共轭复数，则.故选：A.【点睛】本题考查复数的运算性质以及共轭复数，是一道基础题. 3. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）A.是偶函数，递增区间是B.是偶函数，递减区间是C.是奇函数，递增区间是 D.是奇函数，递增区间是【答案】D 【解析】【分析】由奇偶性的定义可得函数为奇函数，去绝对值结合二次函数可得单调性.【详解】由题意可得函数定义域为R ，函数，，为奇函数，当时，，由二次函数可知，函数在单调递增，在单调递减；由奇函数的性质可得函数在单调递增，在单调递减.综合可得函数的递增区间为.故选：D.【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，涉及奇偶性的判定，属基础题.4. 已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为，则双曲线方程为（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，得到关系式，求出、，即可得到双曲线方程.【详解】双曲线的一条渐近线方程是，可得，它的一个焦点坐标为，可得，即，解得，所求双曲线方程为：.故选：C.【点睛】本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.5. 从数字，，，，中任取个，组成一个没有重复数字的两位数，则这个两位数大于的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】可以构成的两位数的总数为20种,因为是“任取”两个数,所以每个数被取到的概率相同,可以采用古典概型公式求解,其中大于40的两位数有以4开头的:41,42,43,45共4种;以5开头的:51,52,53,54共4种.所以所求概率为.本题选择B选项.6. 已知函数的部分图象如图所示，且，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由图象可得A值和周期，由周期公式可得，代入点可得值，从而得解析式，再由和同角三角函数基本关系可得.【详解】由图象可得，，解得，故，代入点可得，，即有，，又，，故.又，.，.故选：D.【点睛】根据y＝A sin(ωx＋φ)＋k的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A的确定：根据图象的最高点和最低点，即；②k的确定：根据图象的最高点和最低点，即；③ω的确定：结合图象，先求出周期T，然后由(ω>0)来确定ω；④φ的确定：由函数y＝A sin(ωx＋φ)＋k最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为 (即令ωx＋φ＝0，x＝)确定φ.7. 我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有坦厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自信，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的的值，当，满足条件，退出循环，输出的值为4，从而得解.【详解】模拟执行程序，可得，，不满足条件，执行循环体，，不满足条件，执行循环体，，不满足条件，执行循环体，，满足条件，退出循环，输出的值为4.故选：A.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，模拟执行程序正确写出每次循环得到的的值是解答的关键，属于基础题.8. （）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：原式．考点：三角恒等变换.9. 不等式组的解集为，下列命题中正确的是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】试题分析：如下图所示，画出不等式组所表示的区域，作直线：，平移，从而可知当，时，，即，故只有B成立，故选B．【考点】本题主要考查线性规划系．10. 已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（ ）A.B. C.D.【答案】A 【解析】【分析】设与x 轴的交点为M ，过Q 向准线作垂线，垂足为N ，由，可得，又，根据抛物线的定义即可得出.【详解】设与x 轴的交点为M ，过Q 向准线作垂线，垂足为N ，，，又，，，.故选：A.【点睛】本题考查了抛物线的定义及其性质、向量的共线，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.11. 设函数，若存在，使，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数，通过讨论的范围，确定函数的单调性，求出的最大值，得到关于的不等式，解出即可.【详解】的定义域是，，当时，，则在上单调递增，且，故存在，使；当时，令，解得，令，解得，在上单调递增，在上单调递减，，解得.综上，的取值范围是.故选：D.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题.12. 已知，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先将用两角和正弦公式化开，然后与合并后用辅助角公式化成一个三角函数，最后再由三角函数的诱导公式可得答案.【详解】，，，.故选：D.【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式和三角函数的诱导公式，三角函数部分公式比较多，容易记混，对公式一定要强化记忆与应用.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知单位向量，的夹角为，则向量与的夹角为__________．【答案】【解析】【分析】分别求出，，，从而代入求余弦值，从而求角.【详解】单位向量，的夹角为，，，，设向量与的夹角为，则，.故答案为：.【点睛】(1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对要引起足够重视，它是求距离常用的公式．(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系．在向量的运算中，灵活运用运算律，就会达到简化运算的目的．14. 在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀，当他们被问到谁得到了优秀时，丙说：“甲没有得优秀”；乙说：“我得了优秀”；甲说：“丙说的是真话”．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是__________．【答案】丙【解析】【分析】利用反证法，即可得出结论.【详解】假设丙说的是假话，即甲得优秀，则乙也是假话，不成立；假设乙说的是假话，即乙没有得优秀，又甲没有得优秀，故丙得优秀.故答案为：丙.【点睛】反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等．15. 已知函数则__________．【答案】【解析】【分析】根据分段函数由里到外逐步求解即可.【详解】∵∴f（﹣3）=e﹣3+2=e﹣1，f（f（﹣3）=f（e﹣1）=lne﹣1=﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．16. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，当取最大值时，角的值为__________．【答案】【解析】试题分析：由正弦定理得，即，，，故最大角为.考点：解三角形.【思路点晴】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变形等解三角形的知识，还考查了基本不等式的应用，考查了两角差的正切公式.对于题目给定的式子，一般用正弦定理，将边转化为角，再利用三角形内角和定理，消去角，得到的关系后，代入的表达式，然后利用基本不等式来求最值.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列中，，又数列是首项为、公差为的等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1），又数列是首项为，公差为的等差数列，可得，即可得出数列的通项公式；（2）由，利用“裂项求和”即可得出.【详解】（1）∵数列是首项为，公差为的等差数列，∴，解得.（2）∵.∴.【点睛】利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．18. 某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间（个月）和市场占有率（）的几组相关对应数据：123450.020.050.10.150.18（1）根据上表中的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（2）根据上述回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过（精确到月）.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）根据表中数据求出和，写出线性回归方程；（2）根据回归方程得出上市时间与市场占有率的关系，列出不等式求出解集即可预测结果．【详解】（1）经计算，，所以线性回归方程为；（2）由上面的回归方程可知，上市时间与市场占有率正相关，即上市时间每增加个月，市场占有率都增加个百分点；由，解得，【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.19. 如图，矩形和梯形所在的平面互相垂直，，，.（1）若为的中点，求证：平面；（2）若，求四棱锥的体积.【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）设EC与DF交于点N，连结MN，由中位线定理可得MN∥AC，故AC∥平面MDF；（2）取CD中点为G，连结BG，EG，则可证四边形ABGD是矩形，由面面垂直的性质得出BG⊥平面CDEF，故BG⊥DF，又DF⊥BE得出DF⊥平面BEG，从而得出DF⊥EG，得出Rt△DEG～Rt△EFD，列出比例式求出DE，代入体积公式即可计算出体积．【详解】（1）证明：设与交于点，连接，在矩形中，点为中点，∵为的中点，∴，又∵平面，平面，∴平面.（2）取中点为，连接，，平面平面，平面平面，平面，，∴平面，同理平面，∴的长即为四棱锥的高，在梯形中，，∴四边形是平行四边形，，∴平面，又∵平面，∴，又，，∴平面，.注意到，∴，，∴.【点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法.①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．20. 已知椭圆的离心率为，其左顶点在圆上.（1）求椭圆的方程；（2）若点为椭圆上不同于点的点，直线与圆的另一个交点为.是否存在点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1) (2)不存在直线，使得【解析】【分析】（1）由题意求出a，通过离心率求出c，然后求解椭圆的标准方程；（2）设点，，设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用弦长公式求出，利用垂径定理求出，从而整理即可得到结果.【详解】（1）因为椭圆的左顶点在圆上，令，得，所以，又离心率为，所以，所以，所以，所以的方程为.（2）设点，，设直线的方程为，与椭圆方程联立得化简得到，因为为方程的一个根，所以，所以，所以.因为圆心到直线的距离为，所以，因为，代入得到，显然，所以不存在直线，使得.【点睛】对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果.21. 设函数.（1）讨论的单调性；（2）若为正数，且存在使得，求的取值范围.【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）求出函数的定义域，求导，讨论k的取值，分别解出，即可得出；（2）由（1）可求得函数的最小值，，将其转化成，构造函数，判断其单调性，即可求得的取值范围.【详解】（1），（），①当时，，在上单调递增；②当时，，；，，所以在上单调递减，在上单调递增.（2）因为，由（1）知的最小值为，由题意得，即.令，则，所以在上单调递增，又，所以时，，于是；时，，于是.故的取值范围为.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性及函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离常数的方法，转化为求函数的值域问题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）.（1）以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；（2）已知，，圆上任意一点，求面积的最大值.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：直角坐标系与极坐标系的转换时满足关系式，圆的直角坐标方程为，将其中的利用前面的关系式换作，即可得到极坐标方程；先求出点到直线：的距离，再求的面积，然后求最值。

2018年黑龙江省大庆市高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数z =2i(1−i)（i 为虚数单位），z 的共轭复数为z ，则z +z =( ) A.4i B.−4i C.4 D.−42. 已知集合A ={x|y =√x −1}，B ={x|y =ln(2x −x 2)}，则A ∩B =( ) A.(2, +∞) B.[1, 2) C.(0, 2) D.[1, 2]3. 已知向量a →=(√3,1)，b →=(0,−1)，c →=(k,√3)，若(a →−2b →)与c →互相垂直，则k 的值为（ ） A.−3 B.−1 C.1D.34. 已知命题p:∃x ∈R ，cosx >sinx ，命题q:∀x ∈(0, π)，sinx +1sinx >2，则下列判断正确的是（ ） A.命题p ∨q 是假命题 B.命题p ∧q 是真命题 C.命题p ∨(￢q)是假命题 D.命题p ∧(￢q)是真命题5. 已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0, b >0)两条渐近线的夹角为60∘，则该双曲线的离心率为（ ） A.2√33B.43C.2√33或2D.46. 已知函数f(x)={2x ,(x <1)f(x −1),(x ≥1) ，则f(log 29)的值为（ ）A.9B.92C.94D.987. 函数f(x)=xlog a |x||x|(0<a <1)图象的大致形状是( )A.B.C.D.8. 若直线y=2x上存在点(x, y)满足条件{x+y−3≤0x−2y−3≥0x≥m.，则实数m的最大值为（）A.−2B.−1C.1D.39. 圆柱形容器内盛有高度为6cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是（）A.67cm B.2cm C.3cm D.4cm10. 《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（即百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁分别分得100，60，36，21.6，递减的比例为40%，那么“衰分比”就等于40%，今共有粮a(a>0)石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙分得36石，乙、丁所得之和为75石，则“衰分比”与a的值分别是（）A.75%，5254B.25%，5254C.75%，175D.25%，17511. 某组合体的三视图如图示，则该组合体的表面积为（）A.(6+2√2)π+12B.8(π+1)C.4(2π+1)D.(12+2√2)π12. 已知P 是直线kx +y +4=0(k >0)上一动点，PA 、PB 是圆C:x 2+y 2−2y =0的两条切线，切点分别为A 、B ，若四边形PACB 的最小面积为2，则k 的值为（ ）A.3B.2C.1D.12二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．某高级中学共有学生3200人，其中高二级与高三级各有学生1000人，现采用分层抽样的方法，抽取容量为160的样本，则应抽取的高一级学生人数为________．执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为________．已知函数f(x)=x 2−ax 的图象在点A （1, f(1)）处的切线l 与直线x +3y −1=0垂直，记数列{1f(n)}的前n 项和为S n ，则S 2018的值为________．已知梯形ABCD 中，AD // BC ，∠ABC =90∘，AD =2，BC =1，P 是腰AB 上的动点，则|PC →+PD →|的最小值为________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.已知如图，△ABC 中，AD 是BC 边的中线，∠BAC =120∘，且 AB →⋅AC →=−152．(Ⅰ)求△ABC 的面积；(Ⅱ)若AB =5，求AD 的长．某人租用一块土地种植一种瓜类作物，根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如图所示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平均年产量为455kg ．已知当年产量低于450kg 时，单位售价为12元/kg ，当年产量不低于450kg 时，单位售价为10元/kg ． (Ⅰ)求图中a 、b 的值；(Ⅱ)估计年销售额大于3600元小于6000元的概率．如图，已知四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 为菱形，且∠ABC =60∘，AB =PC =2，PA =PB =√2．(Ⅰ)求证：平面PBA ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求点D 到平面APC 的距离．已知椭圆C 1:y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)与抛物线C 2:x 2=y +1有公共弦AB （A 在B 左边），AB =2，C 2的顶点是C 1的一个焦点，过点B 且斜率为k(k ≠0)的直线l 与C 1、C 2分别交于点M 、N （均异于点A 、B ）． (Ⅰ)求C 1的方程；(Ⅱ)若点A 在以线段MN 为直径的圆外，求k 的取值范围．已知函数f(x)=(x −a)lnax ，g(x)=x 2−(a +1a )x +1(a ∈R, a >1)． (Ⅰ)若函数f(x)在x =a 处的切线l 斜率为2，求l 的方程；(Ⅱ)是否存在实数a ，使得当x ∈(1a , a)时，f(x)>g(x)恒成立．若存在，求a 的值；若不存在，说明理由． 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =√3cosθy =sinθ （θ为参数）．以点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=√2． (Ⅰ)将曲线C 和直线l 化为直角坐标方程；(Ⅱ)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最大值． [选修45：不等式选讲]已知f(x)=|x +2|−|x −a|(a ∈R, a >0)， (Ⅰ) 若f(x)的最小值是−3，求a 的值；(Ⅱ)求|f(x)|≤2的解集．参考答案与试题解析2018年黑龙江省大庆市高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.【答案】 C【考点】 复数的运算 【解析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出． 【解答】复数z =2i(1−i)=2i +2， ∴ z 的共轭复数为z =2−2i ， 则z +z =2+2i +(2−2i)=(4)2.【答案】 B【考点】 交集及其运算 【解析】化简集合A 、B ，求出A ∩B 即可． 【解答】集合A ={x|y =√x −1}={x|x −1≥0}={x|x ≥1}=[1, +∞)， B ={x|y =ln(2x −x 2)}={x|2x −x 2>0}={x|0<x <2}=(0, 2)， ∴ A ∩B =[1, 2)． 3.【答案】 A【考点】平面向量的坐标运算 【解析】由(a →−2b →)与c →互相垂直，可得(a →−2b →)⋅c →=0，解出即可得出．【解答】a →−2b →=(√3,3)，∵ (a →−2b →)与c →互相垂直， ∴ (a →−2b →)⋅c →=√3k +3√3=0，解得k =−(3) 4.【答案】D【考点】逻辑联结词“或”“且”“非”复合三角函数的单调性【解析】命题p：取x=0∈R，cosx>sinx成立，即可判断出真假．命题q：取x=π2时，sinπ2+1sinπ2=2，此时不成立，即可判断出真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p:∃x=0∈R，cosx>sinx，因此是真命题．命题q:∀x∈(0, π)，sinx+1sinx>2，是假命题，取x=π2时，sinπ2+1sinπ2=2，此时不成立，因此是假命题．则下列判断正确的是：命题p∧(￢q)是真命题．故选D．5.【答案】C【考点】双曲线的离心率【解析】先根据双曲线方程求得渐近线的斜率进而根据夹角是60∘，求得ba的值，进而根据c=√a2+b2求得c，进而离心率可得．【解答】双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程为y＝±bax，渐近线斜率是±ba，而夹角是60∘，因为两直线关于x轴对称，所以和x轴夹角是30∘或60∘，即ba =tan30∘=√33或tan60∘=√3，若ba =√33，即13a2＝b2，c2＝a2+b2=43a2，e2=c2a2=43，e=2√33（负的舍去）；若ba=√3，b2＝3a2，c2＝a2+b2＝4a2，e2＝4，即e＝2．所以e=2√33，或e＝2．6.【答案】D【考点】函数的求值求函数的值【解析】由已知利用分段函数性质及对数函数性质能求出f(log29)的值．【解答】∵函数f(x)={2x,(x<1)f(x−1),(x≥1)，∴f(log29)=f(log29−3)=2log29÷23=98．7.【答案】C【考点】奇函数函数单调性的判断与证明【解析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x>0时，f(x)＝log a x(0<a<1)是单调减函数，即可得出结论．【解答】解：由题意，f(−x)=−f(x)，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D；x>0时，f(x)=log a x(0<a<1)是单调减函数，排除A．故选C.8.【答案】B【考点】简单线性规划【解析】作出约束条件中的前两个不等式表示的平面区域，求解直线y=2x与直线x−2y−3= 0的交点，得到交点的横坐标，结合直线y=2x上存在点(x, y)满足条件{x+y−3≤0x−2y−3≥0x≥m.，即可得到实数m的最大值．【解答】如图，在坐标平面内画出二元一次不等式x +y −3≤0，x −2y −3≥0所表示的平面区域， 求出直线y =2x 与直线x −2y −3=0的交点A(−1, −2)，由图可知，要使直线y =2x 上存在点(x, y)满足条件{x +y −3≤0x −2y −3≥0x ≥m. ，则m ≤−(1)即实数m 的最大值为−(1) 故选：B ． 9.【答案】 C【考点】球的体积和表面积 【解析】设出球的半径，三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可． 【解答】设球半径为r ，则由3V 球+V 水=V 柱可得3×43πr 3+πr 2×6=πr 2×6r ，解得r =(3)10.【答案】 D【考点】根据实际问题选择函数类型 【解析】设“衰分比”为x ，乙分得m 石，丁分得n 石，由题意列关于m ，n ，x 的方程组，求得m ，n ，x 的值，进一步得到甲所分得的粮食，则答案可求． 【解答】设“衰分比”为x ，乙分得m 石，丁分得n 石， 则{m +n =7536−n36=x m−36m =x，解得{m =48n =27x =0.25 ， ∴ 甲分得480.75=64石． 则a =64+36+75=175石． 11.【答案】A【考点】由三视图求体积【解析】由图形可知，对应的几何体是组合体，该组合体下面为半圆柱，上面为半圆锥，计算表面积即可．【解答】三视图对应的几何体是组合体，该组合体下面为半圆柱，上面为半圆锥，故其表面积为：12×π×22+12×2π×2×2+12×π×2×2√2+4×2+12×4×2=2π+4π+2√2π+8+4=(6+2√2)π+12．12.【答案】B【考点】直线与圆的位置关系【解析】S四边形PACB=PA⋅AC=PA=√CP2−CA2=√CP2−1，当CP⊥l时，四边形PACB的面积最小，由此能求出k的值．【解答】S四边形PACB=PA⋅AC=PA=√CP2−CA2=√CP2−1∴当|CP|最小时，即CP⊥l时，四边形PACB的面积最小，由四边形PACB的最小面积√CP2−1=2，得|CP|min=√5，由点到直线的距离公式得：|CP|min=2=√5，∵k>0，∴解得k=(2)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．【答案】60【考点】分层抽样方法【解析】用样本容量乘以学生人数所占的比例，即得应抽取学生人数．【解答】∵样本容量为160，学生人数所占的比例为1603200=120，∴应抽取学生人数为(3200−1000−1000)×120=60，【答案】6【考点】程序框图【解析】直接利用程序框图求出结果．【解答】第1步：s=1，k=2；第2步：s=2，k=3；第3步：s=6，k=4；第4步：s=15，k=5；第5步：s=31，k=6；第6步：s=56，退出循环，此时k=(6)【答案】20182019【考点】数列的求和利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求得f(x)的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，解方程可得a=−1，求出1f(n)=1n(n+1)=1n−1n+1，再由数列的求和方法：裂项相消求和，计算即可得到所求和．【解答】解：函数f(x)=x2−ax的导数为f′(x)=2x−a，可得函数f(x)图象在点A（1, f(1)）处的切线斜率k=f′(1)=2−a，由切线l与直线x+3y−1=0垂直，可得2−a=3，解得a=−1，即有f(x)=x2+x=x(x+1)，故1f(n)=1n(n+1)=1n−1n+1，则S2018=1−12+12−13+⋯+12018−12019=1−12019=20182019．故答案为：20182019．【答案】3【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】由题意画出图形，把求|PC→+PD→|的最小值转化为求直角梯形ABCD的中位线长得答案．【解答】如图，以PC、PD为邻边作平行四边形PCQD，则PC→+PD→=PQ→=2PE→，要使|PQ→|取最小值，只需|PE→|取最小值，∵E为CD的中点，故当PE⊥AB时，|PE→|取最小值，这时PE为梯形的中位线，即|PE →|min =12(|BC|+|AD|)=32，故|PQ →|min =3．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【答案】(Ⅰ)∵ AB →⋅AC →=−152，∴ AB ⋅AC ⋅cos∠BAC =−12AB ⋅AC =−152， 即AB ⋅AC =15，∴ S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sin∠BAC =12×15×√32=15√34．(Ⅱ)由AB =5得AC =3，延长AD 到E ，使AD =DE ，连结BE ， ∵ BD =DC ，∴ 四边形ABEC 为平行四边形， ∴ ∠ABE =60∘，且BE =AC =3，设AD =x ，则AE =2x ，在△ABE 中，由余弦定理得：4x 2=AB 2+BE 2−2AB ⋅BE ⋅cos∠ABE =25+9−2×5×3×12=19，解得x =√192，即AD 的长为√192．【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】(Ⅰ)由向量数量积的定义可得AB ⋅AC =15，再由三角形的面积公式可得所求值； (Ⅱ)由AB =5得AC =3，延长AD 到E ，使AD =DE ，连结BE ，运用平行四边形的性质和余弦定理，解方程可得所求值． 【解答】(Ⅰ)∵ AB →⋅AC →=−152，∴ AB ⋅AC ⋅cos∠BAC =−12AB ⋅AC =−152，即AB ⋅AC =15，∴ S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sin∠BAC =12×15×√32=15√34．(Ⅱ)由AB =5得AC =3，延长AD 到E ，使AD =DE ，连结BE ， ∵ BD =DC ，∴ 四边形ABEC 为平行四边形，∴∠ABE=60∘，且BE=AC=3，设AD=x，则AE=2x，在△ABE中，由余弦定理得：4x2=AB2+BE2−2AB⋅BE⋅cos∠ABE=25+9−2×5×3×12=19，解得x=√192，即AD的长为√192．【答案】(Ⅰ)由频率分布直方图的性质得到：100(a+0.0015+b+0.004)=1，得100(a+b)=0.45，由300×100a+400×0.4+500×100b+600×0.15=455，得300a+500b=2.05，解得a=0.0010，b=0.00(35)(Ⅱ)由(Ⅰ)结合频率分布直方图知，当年产量为300kg时，其年销售额为3600元，当年产量为400kg时，其年销售额为4800元，当年产量为500kg时，其年销售额为5000元，当年产量为600kg时，其年销售额为6000元，因为年产量为400kg的频率为0.4，即年销售额为4800元的频率为0.4，而年产量为500kg的频率为0.35，即年销售额为5000元的频率为0.35，故估计年销售额大于3600元小于6000元的概率为：0.35+0.4=0.75，【考点】频率分布直方图列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】(Ⅰ)由频率分布直方图的性质得到100(a+0.0015+b+0.004)=1，且300×100a+ 400×0.4+500×100b+600×0.15=455，由此能求出a，b．(Ⅱ)由频率分布直方图能估计年销售额大于3600元小于6000元的概率．【解答】(Ⅰ)由频率分布直方图的性质得到：100(a+0.0015+b+0.004)=1，得100(a+b)=0.45，由300×100a+400×0.4+500×100b+600×0.15=455，得300a+500b=2.05，解得a=0.0010，b=0.00(35)(Ⅱ)由(Ⅰ)结合频率分布直方图知，当年产量为300kg时，其年销售额为3600元，当年产量为400kg时，其年销售额为4800元，当年产量为500kg时，其年销售额为5000元，当年产量为600kg时，其年销售额为6000元，因为年产量为400kg的频率为0.4，即年销售额为4800元的频率为0.4，而年产量为500kg的频率为0.35，即年销售额为5000元的频率为0.35，故估计年销售额大于3600元小于6000元的概率为：0.35+0.4=0.75，【答案】证明：(Ⅰ)取AB得中点O，连结PO、CO，−−−−1分由PA=PB=√2，AB=2知△PAB为等腰直角三角形，∴PO⊥AB，PO=1，−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−2分又AB=BC=2，∠ABC=60∘，知△ABC为等边三角形，∴CO=√3，−−−3分又由PC=2，得PO2+CO2=PC2，∴PO⊥CO，−−−−−−−−−−−4分∴PO⊥平面ABC，−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−5分又∵PO⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD．−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−6分(Ⅱ)设点D到平面APC的距离为ℎ，由(Ⅰ)知△ADC是边长为2的等边三角形，△PAC为等腰三角形，由V D−PAC=V P−ADC，得13S△PAC∗ℎ=13S△ADC∗PO，−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−8分∵S△ADC =√34×22=√3，S△PAC=12×PA×√PC2−(12PA)2=√72，−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−10分∴ℎ=S△ADC∗POS△PAC =√3×1√72=2√217，故点D到平面APC的距离为2√217．−−−−−−−12分【考点】平面与平面垂直点、线、面间的距离计算【解析】(Ⅰ)取AB得中点O，连结PO、CO，推导出PO⊥AB，PO⊥CO，从而PO⊥平面ABC，由此能证明平面PAB⊥平面ABCD．(Ⅱ)设点D到平面APC的距离为ℎ，由V D−PAC=V P−ADC，能求出点D到平面APC的距离．【解答】证明：(Ⅰ)取AB得中点O，连结PO、CO，−−−−1分由PA=PB=√2，AB=2知△PAB为等腰直角三角形，∴PO⊥AB，PO=1，−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−2分又AB=BC=2，∠ABC=60∘，知△ABC为等边三角形，∴CO=√3，−−−3分又由PC=2，得PO2+CO2=PC2，∴PO⊥CO，−−−−−−−−−−−4分∴PO⊥平面ABC，−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−5分又∵PO⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD．−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−6分(Ⅱ)设点D到平面APC的距离为ℎ，由(Ⅰ)知△ADC 是边长为2的等边三角形，△PAC 为等腰三角形，由V D−PAC =V P−ADC ，得13S △PAC ∗ℎ=13S △ADC ∗PO ，−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−8分∵ S △ADC =√34×22=√3，S △PAC =12×PA ×√PC 2−(12PA)2=√72，−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−10分 ∴ ℎ=S △ADC ∗PO S △PAC=√3×1√72=2√217，故点D 到平面APC 的距离为2√217．−−−−−−−12分【答案】（1）∵ 抛物线y =x 2−1的顶点为(0, −1)，即椭圆的下焦点为(0, −1)， ∴ c =1，由AB =2，知x B =1，代入抛物线得B(1, 0)，得b =1， ∴ a 2=b 2+c 2=2， ∴ C 1的方程为y 22+x 2=1．（2）依题意知直线l 的方程为y =k(x −1)， 与联立y 22+x 2=1消去y 得：(k 2+2)x 2−2k 2x +k 2−2=0，则x M ⋅x B =k 2−2k 2+2，得x M =k 2−2k 2+2，y M =−4kk 2+2，由{y =k(x −1)x 2=y +1 ，得x 2−kx +k −1=0， 由△=k 2−4(k −1)=(k −2)2>0，得k ≠2， 则x N ⋅x B =k −1，得x N =k −1，y N =k(k −2)， ∵ 点A 在以MN 为直径的圆外，即<AM →,AN →>∈[0,π2)，∴ AM →⋅AN →>0，又A(−1, 0)，∴ AM →⋅AN →=(x M +1,y M )⋅(x N +1,y N )=2k 2k 2+2⋅k +−4k 2(k−2)k 2+2=2k 2(4−k)k 2+2>0，解得k <4，综上知k ∈(−∞, 0)∪(0, 2)∪(2, 4)． 【考点】 椭圆的离心率 【解析】(Ⅰ)由抛物线y =x 2−1的顶点为(0, −1)，可得椭圆的下焦点为(0, −1)，c ，由AB =2，可得x B =1，代入抛物线得B(1, 0)，得b ，再利用a 2=b 2+c 2，即可得出椭圆C 1的方程．(Ⅱ)依题意知直线l 的方程为y =k(x −1)，分别与椭圆、抛物线的方程联立可得点M ，N 的坐标，再利用数量积的运算性质及其根与系数的关系即可得出．【解答】（1）∵ 抛物线y =x 2−1的顶点为(0, −1)，即椭圆的下焦点为(0, −1)， ∴ c =1，由AB =2，知x B =1，代入抛物线得B(1, 0)，得b =1， ∴ a 2=b 2+c 2=2， ∴ C 1的方程为y 22+x 2=1．（2）依题意知直线l 的方程为y =k(x −1)， 与联立y 22+x 2=1消去y 得：(k 2+2)x 2−2k 2x +k 2−2=0，则x M ⋅x B =k 2−2k 2+2，得x M =k 2−2k 2+2，y M =−4kk 2+2，由{y =k(x −1)x 2=y +1 ，得x 2−kx +k −1=0， 由△=k 2−4(k −1)=(k −2)2>0，得k ≠2， 则x N ⋅x B =k −1，得x N =k −1，y N =k(k −2)， ∵ 点A 在以MN 为直径的圆外，即<AM →,AN →>∈[0,π2)，∴ AM →⋅AN →>0，又A(−1, 0)，∴ AM →⋅AN →=(x M +1,y M )⋅(x N +1,y N )=2k 2k 2+2⋅k +−4k 2(k−2)k 2+2=2k 2(4−k)k 2+2>0，解得k <4，综上知k ∈(−∞, 0)∪(0, 2)∪(2, 4)．【答案】（1）因为f ′(x)=ln(ax)−ax +1，f′(a)=2， 所以lna 2=2，解得a =e 或a =−e （舍去）． 因为f(x)=(x −e)lnex ， 所以f(e)=0，切点为(e, 0)， 所以l 的方程为y =2x −2e ．（2）由f(x)>g(x)得，(x −a)lnax >x 2−(a +1a )x +1， (x −a)lnax >(x −a)(x −1a )，又x ∈(1a ,a)，所以lnax <x −1a ，lnax −x +1a <0． 令ℎ(x)=lnax −x +1a （x ∈(1a ,a)），则ℎ(x)=1x −1=1−x x，所以，当1a <x <1时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增； 当1<x <a 时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，所以当x =1时，函数ℎ(x)取得最大值ℎ(1)=lna +1a −(1) 故只需lna +1a −1<0(∗)．令φ(x)=lnx +1x −1，(x >1)，则φ′(x)=1x −1x 2=x−1x 2，所以当x>1时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，所以φ(x)>φ(1)=(0)故不等式(∗)无解．综上述，不存在实数a，使得当x∈(1a−, a)时，f(x)>g(x)恒成立．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】(Ⅰ)求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程即可得到结论．(Ⅱ)将不等式恒成立进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数和函数最值之间的关系进行求解即可．【解答】（1）因为f′(x)=ln(ax)−ax+1，f′(a)=2，所以lna2=2，解得a=e或a=−e（舍去）．因为f(x)=(x−e)lnex，所以f(e)=0，切点为(e, 0)，所以l的方程为y=2x−2e．（2）由f(x)>g(x)得，(x−a)lnax>x2−(a+1a)x+1，(x−a)lnax>(x−a)(x−1a)，又x∈(1a ,a)，所以lnax<x−1a，lnax−x+1a<0．令ℎ(x)=lnax−x+1a （x∈(1a,a)），则ℎ(x)=1x−1=1−xx，所以，当1a<x<1时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增；当1<x<a时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，所以当x=1时，函数ℎ(x)取得最大值ℎ(1)=lna+1a−(1)故只需lna+1a−1<0(∗)．令φ(x)=lnx+1x −1，(x>1)，则φ′(x)=1x−1x2=x−1x2，所以当x>1时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，所以φ(x)>φ(1)=(0)故不等式(∗)无解．综上述，不存在实数a，使得当x∈(1a−, a)时，f(x)>g(x)恒成立．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】(Ⅰ)由曲线C的参数方程为{x=√3cosθy=sinθ（θ为参数）可得x23+y2=1，∴曲线C的直角坐标方程为x23+y2=1．由ρsin(θ+π4)=√2，得ρ(sinθcosπ4+cosθsinπ4)=√2，化简得，ρsinθ+ρcosθ=2， ∴ x +y =(2)∴ 直线l 的直角坐标方程为x +y =(2)(Ⅱ)解法1：由于点Q 是曲线C 上的点，则可设点Q 的坐标为(√3cosθ,sinθ)， 点Q 到直线l 的距离为d =√3cosθ+sinθ−2|√2=|2cos(θ−π6)−2|√2．当cos(θ−π6)=−1时，d max =√2=2√2．∴ 点Q 到直线l 的距离的最大值为2√2．解法2：设与直线l 平行的直线l ′的方程为x +y =m ， 由{x +y =mx 23+y 2=1，消去y 得4x 2−6mx +3m 2−3=0， 令△=(6m)2−4×4×(3m 2−3)=0， 解得m =±(2)∴ 直线l ′的方程为x +y =−2，即x +y +2=(0) ∴ 两条平行直线l 与l ′之间的距离为d =√2=2√2．∴ 点Q 到直线l 的距离的最大值为2√2． 【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化 【解析】(Ⅰ)由曲线C 的参数方程为{x =√3cosθy =sinθ （θ为参数）利用cos 2θ+sin 2θ=1可得曲线C的直角坐标方程．由ρsin(θ+π4)=√2，得ρ(sinθcos π4+cosθsin π4)=√2，(II)解法1：由于点Q 是曲线C 上的点，则可设点Q 的坐标为(√3cosθ,sinθ)，点Q 到直线l 的距离为d =|2cos(θ−π6)−2|√2．利用三角函数的单调性值域即可得出．解法2：设与直线l 平行的直线l ′的方程为x +y =m ，与椭圆方程联立消去y 得4x 2−6mx +3m 2−3=0，令△=0，解得m 即可得出． 【解答】(Ⅰ)由曲线C 的参数方程为{x =√3cosθy =sinθ（θ为参数）可得x 23+y 2=1，∴ 曲线C 的直角坐标方程为x 23+y 2=1．由ρsin(θ+π4)=√2，得ρ(sinθcos π4+cosθsin π4)=√2，化简得，ρsinθ+ρcosθ=2，∴ x +y =(2)∴ 直线l 的直角坐标方程为x +y =(2)(Ⅱ)解法1：由于点Q 是曲线C 上的点，则可设点Q 的坐标为(√3cosθ,sinθ)， 点Q 到直线l 的距离为d =√3cosθ+sinθ−2|√2=|2cos(θ−π6)−2|√2．当cos(θ−π6)=−1时，d max =√2=2√2．∴ 点Q 到直线l 的距离的最大值为2√2．解法2：设与直线l 平行的直线l ′的方程为x +y =m ， 由{x +y =mx 23+y 2=1 ，消去y 得4x 2−6mx +3m 2−3=0， 令△=(6m)2−4×4×(3m 2−3)=0， 解得m =±(2)∴ 直线l ′的方程为x +y =−2，即x +y +2=(0) ∴ 两条平行直线l 与l ′之间的距离为d =√2=2√2．∴ 点Q 到直线l 的距离的最大值为2√2． [选修45：不等式选讲] 【答案】（1）解法1：∵ a >0， ∴ f(x)={−(a +2)(x <−2)2x +2−a(−2≤x ≤2)a +2(x ≥a)， 当−2≤x <a 时，−2−a ≤f(x)<a +2， ∴ 当x ∈R 时，−2−a ≤f(x)<a +2， 所以：f(x)min =−(a +2)=−3， 则：a =(1)（2）由(Ⅰ)知f(x)={−(a +2)(x <−2)2x +2−a(−2≤x ≤2)a +2(x ≥a)，(a >0) 当x <−2时，f(x)=−(a +2)<−2， |f(x)|>2，不等式|f(x)|≤2解集为空集． 当x ≥a 时，f(x)=a +2>2， 不等式|f(x)|≤2解集也为空集； 当−2≤x <a 时，|f(x)|≤2， 即：−2≤2x +2−a ≤2， 解得：a2−2<x <a2， ∵ a2−2>−2，a2<a ， ∴ 当−2≤x <a 时，|f(x)|≤2的解为a2−2<x <a2．综上得所求不等式的解集为{x|a2−2<x <a2}． 【考点】绝对值不等式的解法与证明 绝对值三角不等式 【解析】(Ⅰ)直接利用分段函数的解析式求出结果． (Ⅱ)利用分类讨论思想求出结果． 【解答】（1）解法1：∵ a >0，∴ f(x)={−(a +2)(x <−2)2x +2−a(−2≤x ≤2)a +2(x ≥a) ，当−2≤x <a 时，−2−a ≤f(x)<a +2， ∴ 当x ∈R 时，−2−a ≤f(x)<a +2， 所以：f(x)min =−(a +2)=−3， 则：a =(1)（2）由(Ⅰ)知f(x)={−(a +2)(x <−2)2x +2−a(−2≤x ≤2)a +2(x ≥a) ，(a >0)当x <−2时，f(x)=−(a +2)<−2， |f(x)|>2，不等式|f(x)|≤2解集为空集． 当x ≥a 时，f(x)=a +2>2， 不等式|f(x)|≤2解集也为空集； 当−2≤x <a 时，|f(x)|≤2， 即：−2≤2x +2−a ≤2， 解得：a2−2<x <a2， ∵ a2−2>−2，a2<a ， ∴ 当−2≤x <a 时，|f(x)|≤2的解为a2−2<x <a2．综上得所求不等式的解集为{x|a2−2<x <a2}．。

2018年黑龙江省高考数学仿真试卷（文科）（四）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合A＝{x|x2−3x>0}，B＝{x||x|<2}，则A∩B＝（）A.(−2, 0)B.(−2, 3)C.(0, 2)D.(2, 3)2. 已知复数z1=2−i，z2=a+2i(i为虚数单位，a∈R)，若z1z2∈R，则a=( )A.1B.−1C.4D.−43. 若向量a→，b→满足：|a→|=1，(a→+b→)⊥a→，(3a→+b→)⊥b→，则|b→|=()A.3B.√3C.1D.√334. 在△ABC中，B=π3，AB＝2，D为AB中点，△BCD的面积为3√34，则AC等于（）A.2B.√7C.√10D.√195. 已知x，y∈{1, 2, 3, 4, 5, 6}，且x+y＝7，则y≥x2的概率（）A.1 3B.23C.12D.566. 如图，网格纸上正方形小格的边长为1（单位：cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，则该零件的体积（单位：cm2）为（）A.240−24πB.240−12πC.240−8πD.240−4π7. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为1112，则判断框中填写的内容可以是（）8. 函数f(x)=e x cosx 在点（0, f(0)）处的切线斜率为（ ） A.0 B.−1 C.1 D.√229. 若x ，y 满足{x +y −3≥0kx −y +3≥0y ≥0 ，且z ＝y −x 的最小值为−12，则k 的值为（ ）A.12B.−12C.14D.−1410. 设抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，过F 且斜率为√3的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的垂直平分线与 x 轴交于点M(11, 0)，则p =( ) A.2 B.3 C.6 D.1211. 四面体的一条棱长为c ，其余棱长均为3，当该四面体体积最大时，经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（ ） A.272π B.92π C.152πD.15π12. 设f′(x)是函数f(x)的导函数，且f′(x)>2f(x)(x ∈R)，f(12)=e （e 为自然对数的底数），则不等式f(lnx)<x 2的解集为（ ） A.(0, e 2) B.(0, √e) C.(1e , e2)D.(e2, √e)二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）函数y =12sinx +√32cosx(x ∈[0,π2brack)的单调递增区间是________．已知命题：在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，△ABC 的顶点B 在椭圆上，顶点A ，C 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为e ，则sinA+sinC sinB=1e ，现将该命题类比到双曲线中，△ABC 的顶点B 在双曲线上，顶点A 、C 分别为双曲线的左、右焦点，设双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)．双曲线的离心率为e ，则有________．在一幢10m 高的房屋顶测得对面一塔顶的仰角为60∘，塔基的俯角为30∘，假定房屋与塔建在同一水平地面上，则塔的高度为________m ．设函数f(x)在[1,+∞)上为增函数，f(3)=0，且g(x)=f(x +1)为偶函数，则不等式g(2−2x)<0的解集为________．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知数列{a n }满足a 1=511，4a n =a n−1−3(n ≥2)．(Ⅰ)求证：数列{a n +1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)令b n =|log 2(a n +1)|，求数列{b n }的前n 项和S n ．(Ⅰ)求证：CF // 平面EAB ；(Ⅱ)若CF ⊥AD ，求四棱锥E −ABCD 的体积．有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由550名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为5组，各组的人数如下：委，其中从B 组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入表．(Ⅱ) 在(Ⅰ)中，若A ，C 两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．已知动圆经过定点D(1, 0)，且与直线x =−1相切，设动圆圆心E 的轨迹为曲线C (Ⅰ)求取曲线C 的方程；(Ⅱ)设过点P(1, 2)的直线l 1，l 2分别与曲线C 交于A ，B 两点，直线l 1，l 2的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB 的斜率为定值．设n ∈N ∗，函数f(x)=lnx x n，函数g(x)=e x x n(x >0)．（1）当n =1时，求函数y =f(x)的零点个数；（2）若函数y =f(x)与函数y =g(x)的图象分别位于直线y =1的两侧，求n 的取值集合A ；（3）对于∀∈A ，∀x 1，x 2∈(0, +∞)，求|f(x 1)−g(x 2)|的最小值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]已知直线l 的参数方程为{x =−1+tcosαy =1+tsinα（t 为参数），曲线C 1的参数方程为{x =2+2cost y =4+2sint（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，（2）求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0, 0≤θ<2π)[选修4-5：不等式选讲]+ax(a>0)在(1, +∞)上的最小值为15，函数g(x)=|x+a|+已知函数f(x)=ax−1|x+1|．（1）求实数a的值；（2）求函数g(x)的最小值．参考答案与试题解析2018年黑龙江省高考数学仿真试卷（文科）（四）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.【答案】 A【考点】 交集及其运算 【解析】化简集合A 、B ，再求A ∩B ． 【解答】∵ 集合A ＝{x|x 2−3x >0}＝{x|x <0或x >3}＝(−∞, 0)∪(3, +∞)， B ＝{x||x|<2}＝{x|−2<x <2}＝(−2, 2)， ∴ A ∩B ＝(−2, 0)． 2.【答案】 C【考点】 复数的运算 【解析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由虚部等于0求得a 值． 【解答】解：∵ z 1=2−i ，z 2=a +2i ，∴ z 1z 2=(2−i)(a +2i)=2a +2+(4−a)i ， 又z 1z 2∈R ，∴ 4−a =0，即a =4． 故选C . 3.【答案】 B【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】利用向量垂直的性质直接求解． 【解答】∵ 向量a →，b →满足：|a →|=1，(a →+b →)⊥a →，(3a →+b →)⊥b →，∴ {a →2+a →⋅b →=1+1⋅|b →|⋅cos <a →,b →>=03a →⋅b →+b →2=3⋅1⋅|b →|⋅<a →,b →>+|b →|2=0，解得|b →|=√3． 4.B【考点】正弦定理【解析】在△BCD中，由面积公式可得BC，再由余弦定理可得．【解答】由题意可知在△BCD中，B=π3，AD＝1，∴△BCD的面积S=12×BC×BD×sinB=12×BC×√32=3√34，解得BC＝3，在△ABC中由余弦定理可得：AC2＝AB2+BC2−2AB⋅BCcosB＝22+32−2⋅2⋅3⋅12=7，∴AC=√7，5.【答案】B【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】先列举出所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．【解答】由题基本事件空间中的元素有：(1, 6)，(2, 5)，(3, 4)，(4, 3)，(5, 2)(6, 1)，满足题意的有(1, 6)，(2, 5)，(3, 4)，(4, 3)，故则y≥x2的概率为46=236.【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】由三视图知该该零件是一个长方体在上面中心、两侧对称着分别挖去了三个相同的半圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由柱体的体积公式求出几何体的体积．【解答】根据三视图可知该零件是：一个长方体在上面中心、两侧对称着分别挖去了三个相同的半圆柱，且长方体的长、宽、高分别为：8、6、5，圆柱底面圆的半径为1，母线长是8，∴该零件的体积V＝8×6×5−3×12×π×12×8=240−12π(cm3)，7.【答案】C【考点】程序框图模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S ，n 的值，当n ＝8时，S =1112，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S 的值为1112，故判断框中填写的内容可以是n ≤6．【解答】模拟执行程序框图，可得 S ＝0，n ＝2满足条件，S =12，n ＝4 满足条件，S =12+14=34，n ＝6 满足条件，S =12+14+16=1112，n ＝8由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S 的值为1112，故判断框中填写的内容可以是n ≤6， 8.【答案】 C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】先求函数f(x)=e x cosx 的导数，因为函数图象在点（0, f(0)）处的切线的斜率为函数在x =0处的导数，就可求出切线的斜率． 【解答】∵ f′(x)=e x cosx −e x sinx ， ∴ f′(0)=e 0(cos0−sin0)=1，∴ 函数图象在点（0, f(0)）处的切线的斜率为1． 9.【答案】 D【考点】 简单线性规划 【解析】作出不等式组对应的平面区域，根据目标是的最小值建立不等式关系进行求解即可． 【解答】由z ＝y −x 得y ＝x +z ，要使z ＝y −x 的最小值为−12， 即y ＝x −12，则不等式对应的区域在y ＝x −12的上方， 先作出{y ≥0x +y −3≥0y =x −12 对应的图象，由{y =0y =x −12 得{x =12y =0 ，即C(12, 0)，则12k+3＝0，得k=−14，10.【答案】C【考点】抛物线的标准方程椭圆的定义【解析】由题意可知：抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(p2, 0)，直线AB的斜率为√3，则垂直平分线的斜率为−√33，且与x轴交于点M(11, 0)，则y=−√33(x−11)，则直线AB的方程为y=√3(x−p2)，代入抛物线方程，由韦达定理可知：x1+x2=5p3，根据中点坐标公式求得中点P坐标，代入AB的垂直平分线方程，即可求得p的值．【解答】解：由题意可知：抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(p2, 0)，直线AB的斜率为√3，则垂直平分线的斜率为−√33，且与x轴交于点M(11, 0)，则y=−√33(x−11)，设直线AB的方程为：y=√3(x−p2)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，AB的中点为P(x0, y0)，{y=√3(x−p2)y2=2px，整理得：3x2−5px+3p24=0，由韦达定理可知：x1+x2=5p3，由中点坐标公式可知：x0=5p6，则y0=√3p3，由P在垂直平分线上，则y0=−√33(x0−11)，即p=−(5p6−11)，解得：p=6.故选C.11.【答案】D【考点】球内接多面体【解析】根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】底面积不变，高最大时体积最大，所以，面ACD与面ABD垂直时体积最大，由于四面体的一条棱长为c，其余棱长均为3，所以球心在两个正三角形的重心的垂线的交点，半径经过这个四面体所有顶点的球的表面积为：S =4π(√152)2=15π；12.【答案】 B【考点】 导数的运算 【解析】 构造函数F(x)=f(x)e 2x，求出导数，判断F(x)在R 上递增．原不等式等价为F(lnx)<F(12)，运用单调性，可得lnx <12，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集． 【解答】 可构造函数F(x)=f(x)e 2x， F′(x)=f(x)e 2x −2f(x)e 2x(e 2x )2=f ′(x)−2f(x)e 2x，由f′(x)>2f(x)，可得F′(x)>0，即有F(x)在R 上递增． 不等式f(lnx)<x 2即为f(lnx)x 2<1，(x >0)，即f(lnx)e 21nx <1，x >0．即有F(12)=f(12)e=1，即为F(lnx)<F(12)，由F(x)在R 上递增，可得lnx <12，解得0<x <√e ． 故不等式的解集为(0, √e)，二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 【答案】 [0, π6] 【考点】两角和与差的三角函数 正弦函数的图象 【解析】化简可得y =sin(x +π3)，解不等式2kπ−π2≤x +π3≤2kπ+π2可得函数所有的单调递增区间，结合x ∈[0, π2]可得． 【解答】化简可得y =sinxcos π3+cosxsin π3=sin(x +π3)， 由2kπ−π2≤x +π3≤2kπ+π2可得2kπ−5π6≤x ≤2kπ+π6，k ∈Z ，当k =0时，可得函数的一个单调递增区间为[−5π6, π6]，由x ∈[0, π2]可得x ∈[0, π6]，|sinA−sinC|sinB = 1 e【考点】双曲线的离心率椭圆的离心率【解析】根据椭圆的离心率的说法可以写出推理的前提，对于双曲线的离心率可以通过定义表示出来，根据正弦定理把三角形的边长表示成角的正弦．【解答】根据椭圆的离心率的说法可以写出推理的前提，平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点A(−c, 0)和C(c, 0)，顶点B在双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上，双曲线的离心率是e．∵1e =ac=2a2c=|AB−BC|AC，∴由正弦定理可以得到1e =|sinA−sinC|sinB，【答案】40【考点】解三角形【解析】作出图示，利用30∘角的性质和勾股定理依次求出BC，CE，AC，AE，则AB=AE+ BE．【解答】解如图所示，过房屋顶C作塔AB的垂线CE，垂足为E，则CD=10，∠ACE=60∘，∠BCE=30∘，∴BE=CD=10，BC=2CD=20，EC=BD=√BC2−CD2=10√3．∵∠ACE=60∘，∠AEC=90∘，∴AC=2CE=20√3，∴AE=√AC2−CE2=30．∴AB=AE+BE=30+10=40．【答案】(0, 2)【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】本题考查函数的奇偶性与单调性．【解答】解：依题意得f(−x+1)=f(x+1)，因此f(x)的图象关于直线x=1对称．又f(x)在[1,+∞)上是增函数，因此f(x)在(−∞,1]上是减函数．又g(x)=f(x+1)是偶函数，因此g(x)在[0,+∞)上是增函数，且g(2)=f(2+1)=f(3)=0，g(−2)=0， 不等式g(2−2x)<0，即g(|2−2x|)<g(2)，∴ |2−2x|<2,−2<2−2x <2，解得0<x <2． 所以不等式g(2−2x)<0的解集是(0,2)． 故答案为：(0,2)．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 【答案】（1）证明：由a n =14a n−1−34知：a n +1=14(a n−1+1)， ∴ 数列{a n +1}是以512为首项，14为公比的等比数列． 则a n +1=211−2n ，a n =211−2n −1． ( II)b n =|11−2n|，设数列{11−2n}的前n 项和为T n ，则T n =10n −n 2， 当n ≤5时，S n =T n =10n −n 2；当n ≥6时，S n =2S 5−T n =n 2−10n +50； 所以S n ={10n −n 2,n ≤5n 2−10n +50,n ≥6 ． 【考点】等比数列的通项公式 数列递推式 数列的求和 【解析】（I ）由a n =14a n−1−34知：a n +1=14(a n−1+1)，利用等比数列的通项公式即可得出； ( II)b n =|11−2n|，设数列{11−2n}的前n 项和为T n ，则T n =10n −n 2．当n ≤5时，S n =T n ；当n ≥6时，S n =2S 5−Tn ． 【解答】（1）证明：由a n =14a n−1−34知：a n +1=14(a n−1+1)， ∴ 数列{a n +1}是以512为首项，14为公比的等比数列． 则a n +1=211−2n ，a n =211−2n −1． ( II)b n =|11−2n|，设数列{11−2n}的前n 项和为T n ，则T n =10n −n 2， 当n ≤5时，S n =T n =10n −n 2；当n ≥6时，S n =2S 5−T n =n 2−10n +50； 所以S n ={10n −n 2,n ≤5n 2−10n +50,n ≥6 ． 【答案】证明：(I)取AE 中点G ，连接GF ，GB ， ∵ F 是ED 的中点， ∴ GF =∥12AD ，有∵ BC =∥12AD ，∴ GF =∥BC ，∴四边形BCFG是平行四边形，∴GB // CF，又BG⊂平面EAB，CF平面EAB，∴CF // 平面EAB，（2）∵CF⊥AD，CF // BG，∴BG⊥AD，又AB⊥AD，BG⊂平面EAB，AB⊂平面EAB，BG∩AB＝B，∴AD⊥平面EAB，∵EA⊂平面AEB，∴AD⊥EA，又平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD＝AD，EA⊂平面EAD，∴EA⊥平面ABCD，∴V E−ABCD=13S ABCD⋅EA=13×12×(1+2)×1×2=1．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算直线与平面平行【解析】（1）取AE中点G，连接GF，GB，则EF=∥12AD=∥BC，故四边形BCFG是平行四边形，于是CF // BG，得出CF // 平面EAB；（2）由CF⊥AD得出BG⊥AD，又AB⊥AD，故AD⊥平面EAB，于是AD⊥EA，由面面垂直的性质得出EA⊥平面ABCD，即EA棱锥E−ABCD的高．【解答】证明：(I)取AE中点G，连接GF，GB，∵F是ED的中点，∴GF=∥12AD，有∵BC=∥12AD，∴GF=∥BC，∴四边形BCFG是平行四边形，∴GB // CF，又BG⊂平面EAB，CF平面EAB，∴CF // 平面EAB，（2）∵CF⊥AD，CF // BG，∴BG⊥AD，又AB⊥AD，BG⊂平面EAB，AB⊂平面EAB，BG∩AB＝B，∴AD⊥平面EAB，∵EA⊂平面AEB，∴AD⊥EA，又平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD＝AD，EA⊂平面EAD，∴EA⊥平面ABCD，∴V E−ABCD=13S ABCD⋅EA=13×12×(1+2)×1×2=1．【答案】 对一空得．(Ⅱ) A 组抽取的3人中有2人支持1号歌手，则从3人中任选1人，支持1号歌手的概率为23． C 组抽取的12人中有2人支持1号歌手，则从12人中任选2人，支持1号歌手的概率为212=16． 现从抽样评委A 组3人，C 组12人中各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率p =23×212=19． ∴ 从A ，C 两组抽样评委中，各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率为19． 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【解析】(Ⅰ)利用分层抽样的性质能求出结果．(Ⅱ)A 组抽取的3人中有2人支持1号歌手，则从3人中任选1人，求出支持1号歌手的概率，C 组抽取的12人中有2人支持1号歌手，则从12人中任选2人，求出支持1号歌手的概率，由此能求出从A ，C 两组抽样评委中，各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率． 【解答】 (Ⅰ)【答案】（1）∵ 动圆经过定点D(1, 0)，且与直线x =−1相切， ∴ E 到点D(1, 0)的距离等于E 到直线x =−1的距离，∴ E 的轨迹是以D(1, 0)为焦点，以直线x =−1为准线的抛物线． ∴ 曲线C 的方程为y 2=4x ．（2）设直线l 1方程为：y =k(x −1)+2， ∵ 直线l 1，l 2的斜率存在，且倾斜角互补， ∴ l 2的方程为y =−k(x −1)+2．联立方程组{y =k(x −1)+2y 2=4x ，消元得：k 2x 2−(2k 2−4k +4)x +(k −2)2=0， 设A(x 1, y 1)，则x 1=(k−2)2k 2=k 2−4k+4k 2．同理可得x 2=k 2+4k+4k 2，∴ x 1+x 2=2k 2+8k 2，x 1−x 2=−8k k 2=−8k．∴ y 1−y 2=[k(x 1−1)+2]−[−k(x 2−1)+2]=k(x 1+x 2)−2k =2k 2+8k−2k =8k ．∴ k AB =y 1−y2x 1−x 2=−1．∴ 直线AB 的斜率为定值−1． 【考点】 轨迹方程 抛物线的性质 【解析】（I ）由抛物线的定义可知E 的轨迹为以D 为焦点，以x =−1为准线的抛物线， (II)设l 1，l 2的方程，联立方程组消元解出A ，B 的坐标，代入斜率公式计算k AB ． 【解答】（1）∵ 动圆经过定点D(1, 0)，且与直线x =−1相切， ∴ E 到点D(1, 0)的距离等于E 到直线x =−1的距离，∴ E 的轨迹是以D(1, 0)为焦点，以直线x =−1为准线的抛物线． ∴ 曲线C 的方程为y 2=4x ．（2）设直线l 1方程为：y =k(x −1)+2， ∵ 直线l 1，l 2的斜率存在，且倾斜角互补， ∴ l 2的方程为y =−k(x −1)+2．联立方程组{y =k(x −1)+2y 2=4x ，消元得：k 2x 2−(2k 2−4k +4)x +(k −2)2=0， 设A(x 1, y 1)，则x 1=(k−2)2k 2=k 2−4k+4k 2．同理可得x 2=k 2+4k+4k 2，∴ x 1+x 2=2k 2+8k 2，x 1−x 2=−8k k =−8k．∴ y 1−y 2=[k(x 1−1)+2]−[−k(x 2−1)+2]=k(x 1+x 2)−2k =2k 2+8k−2k =8k ．∴ k AB =y 1−y2x 1−x 2=−1．∴ 直线AB 的斜率为定值−1． 【答案】当n =1时，f(x)=lnx x，f′(x)=1−lnx x 2(x >0)，由f′(x)>0，可得0<x <e ，f′(x)<0，可得x >e ， ∴ 函数f(x)在(0, e)上单调递增，(e, +∞)上单调递减， ∵ f(e)=1e >0，f(1e )=−e <0， ∴ 函数f(x)在(0, e)上存在一个零点， x ∈(e, +∞)，f(x)=lnx x>0恒成立，∴ 函数f(x)在(e, +∞)上不存在零点，综上所述，函数f(x)在(0, +∞)上存在唯一零点； f(x)=lnx x，∴ f′(x)=1−nlnx x (x >0)，由f′(x)>0，可得0<x <e 1n ，f′(x)<0，可得x >e 1n ， ∴ 函数f(x)在(0, e 1n )上单调递增，(e 1n , +∞)上单调递减， ∴ x =e 1n时，函数f(x)有最大值f(e 1n)=1ne ．由g(x)=e x xn (x >0)，得g′(x)=(x−n)e x x n+1(x >0)，由g′(x)>0，可得x >n ，g′(x)<0，可得0<x <n ，∴ 函数f(x)在(0, n)上单调递减，(n, +∞)上单调递增， ∴ x =n 时，函数g(x)有最小值g(n)=(en )n ， ∵ ∀n ∈N ∗，函数f(x)有最大值f(e 1n )=1ne<1，即f(x)在直线l:y =1的上方∴ g(n)=(en )n >1， ∴ n <e ， ∴ A ={1, 2}；∀x 1，x 2∈(0, +∞)，|f(x 1)−g(x 2)|的最小值等价于(en )n −1ne ． n =1时，(en )n −1ne =e −1e ．n =2时，(en)n −1ne=e 24−12e．∵ (e −1e )−(e 24−12e)=e 2(4−e)−24e>0，∴ |f(x 1)−g(x 2)|的最小值为e 24−12e ．【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的最值 函数零点的判定定理 【解析】（1）当n =1时，f(x)=lnx x，f′(x)=1−lnx x 2(x >0)，确定函数的单调性，即可求函数y =f(x)的零点个数；（2）若函数y =f(x)与函数y =g(x)的图象分别位于直线y =1的两侧，∀n ∈N ∗，函数f(x)有最大值f(e 1n )=1ne<1，即f(x)在直线l:y =1的上方，可得g(n)=(en )n >1求n 的取值集合A ；(3)∀x 1，x 2∈(0, +∞)，|f(x 1)−g(x 2)|的最小值等价于(en )n −1ne ，发布网球场相应的函数值，比较大小，即可求|f(x 1)−g(x 2)|的最小值． 【解答】当n =1时，f(x)=lnx x，f′(x)=1−lnx x 2(x >0)，由f′(x)>0，可得0<x <e ，f′(x)<0，可得x >e ， ∴ 函数f(x)在(0, e)上单调递增，(e, +∞)上单调递减， ∵ f(e)=1e >0，f(1e )=−e <0， ∴ 函数f(x)在(0, e)上存在一个零点， x ∈(e, +∞)，f(x)=lnx x>0恒成立，∴ 函数f(x)在(e, +∞)上不存在零点，综上所述，函数f(x)在(0, +∞)上存在唯一零点； f(x)=lnxx n，∴ f′(x)=1−nlnx x n+1(x >0)，由f′(x)>0，可得0<x <e 1n ，f′(x)<0，可得x >e 1n ， ∴ 函数f(x)在(0, e 1n )上单调递增，(e 1n , +∞)上单调递减， ∴ x =e 1n 时，函数f(x)有最大值f(e 1n )=1ne．由g(x)=e x xn (x >0)，得g′(x)=(x−n)e x x n+1(x >0)，由g′(x)>0，可得x >n ，g′(x)<0，可得0<x <n ，∴ 函数f(x)在(0, n)上单调递减，(n, +∞)上单调递增， ∴ x =n 时，函数g(x)有最小值g(n)=(en )n ， ∵ ∀n ∈N ∗，函数f(x)有最大值f(e 1n )=1ne<1，即f(x)在直线l:y =1的上方∴ g(n)=(en )n >1， ∴ n <e ， ∴ A ={1, 2}；∀x 1，x 2∈(0, +∞)，|f(x 1)−g(x 2)|的最小值等价于(en )n −1ne ． n =1时，(en )n −1ne =e −1e ．n =2时，(en )n −1ne =e 24−12e ．∵ (e −1e )−(e 24−12e)=e 2(4−e)−24e>0，∴ |f(x 1)−g(x 2)|的最小值为e 24−12e．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】由直线l 的参数方程为{x =−1+tcosαy =1+tsinα （t 为参数）可得直线l 过(−1, 1)点， 当直线l 的斜率为2时，直线l 的普通方程为y −1=2(x +1)，即2x −y +3=0， 由曲线C 1的参数方程为{x =2+2costy =4+2sint （t 为参数），消参得：(x −2)2+(y −4)2=4，则曲线C 1表示以(2, 4)点为圆心，以2为半径的圆， 此时圆心到直线的距离d =5=3√55<2，故直线l 与曲线C 1相交；曲线C 2的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ， 化为普通方程为：x 2+y 2−4x =0， 由{(x −2)2+(y −4)2=4x 2+y 2−4x =0 得：{x =2y =2 ， 故C 1与C 2交点的坐标为(2, 2)， 故C 1与C 2交点的极坐标(2√2, π4)【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化 【解析】（1）利用加减消元法和平方消元法消去参数t ，可把直线l 与曲线C 1的参数方程化为普通方程，结合直线与圆的位置关系，可得结论；（2）将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的坐标，进而可化为极坐标． 【解答】由直线l 的参数方程为{x =−1+tcosαy =1+tsinα （t 为参数）可得直线l 过(−1, 1)点， 当直线l 的斜率为2时，直线l 的普通方程为y −1=2(x +1)，即2x −y +3=0， 由曲线C 1的参数方程为{x =2+2costy =4+2sint （t 为参数），消参得：(x −2)2+(y −4)2=4，则曲线C 1表示以(2, 4)点为圆心，以2为半径的圆， 此时圆心到直线的距离d =√5=3√55<2，故直线l 与曲线C 1相交；曲线C 2的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ， 化为普通方程为：x 2+y 2−4x =0， 由{(x −2)2+(y −4)2=4x 2+y 2−4x =0 得：{x =2y =2 ， 故C 1与C 2交点的坐标为(2, 2)， 故C 1与C 2交点的极坐标(2√2, π4) [选修4-5：不等式选讲] 【答案】f(x)=ax −1+ax(a >0, x >1)=a[(x −1)+1x−1+1]≥a(2√(x −1)∗1x−1+1)=3a ， 当且仅当x =2时，取得最小值3a ， 由题意可得3a =15，解得a =5；函数g(x)=|x +a|+|x +1|=|x +5|+|x +1|， 由|x +5|+|x +1|≥|(x +5)−(x +1)|=4，当且仅当(x +5)(x +1)≤0，即−5≤x ≤−1时，取得等号． 则g(x)的最小值为4． 【考点】函数的最值及其几何意义 【解析】（1）由f(x)=ax−1+ax=a[(x−1)+1x−1+1]，运用基本不等式可得最小值，解方程可得a的值；（2）运用|x+5|+|x+1|≥|(x+5)−(x+1)|=4，即可得到所求的最小值．【解答】f(x)=ax−1+ax(a>0, x>1)=a[(x−1)+1x−1+1]≥a(2√(x−1)∗1x−1+1)=3a，当且仅当x=2时，取得最小值3a，由题意可得3a=15，解得a=5；函数g(x)=|x+a|+|x+1|=|x+5|+|x+1|，由|x+5|+|x+1|≥|(x+5)−(x+1)|=4，当且仅当(x+5)(x+1)≤0，即−5≤x≤−1时，取得等号．则g(x)的最小值为4．。