正余弦定理学案

江苏正弦定理和余弦定理教案一、教学目标：1. 让学生了解正弦定理和余弦定理的定义及应用。

2. 培养学生运用正弦定理和余弦定理解决实际问题的能力。

3. 通过对正弦定理和余弦定理的学习，提高学生的数学思维能力和创新能力。

二、教学内容：1. 正弦定理的定义及证明。

2. 余弦定理的定义及证明。

3. 正弦定理和余弦定理的应用。

4. 相关例题解析。

5. 实践练习。

三、教学重点与难点：1. 正弦定理和余弦定理的推导过程。

2. 灵活运用正弦定理和余弦定理解决实际问题。

四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解正弦定理和余弦定理的定义、证明及应用。

2. 利用多媒体展示相关例题，进行解析。

3. 开展小组讨论，让学生互动交流，巩固所学知识。

4. 布置实践练习题，巩固所学内容。

五、教学过程：1. 引入：通过回顾三角形的基本知识，引导学生思考正弦定理和余弦定理的定义。

2. 讲解：详细讲解正弦定理和余弦定理的定义、证明及应用。

3. 例题解析：利用多媒体展示相关例题，进行解析，让学生掌握解题技巧。

4. 小组讨论：让学生围绕例题展开讨论，互相交流解题思路。

5. 实践练习：布置实践练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。

6. 总结：对本节课的内容进行归纳总结，强调重点知识点。

7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学内容。

8. 课后反思：教师对本节课的教学效果进行反思，为下一步教学做好准备。

六、教学评价：1. 课后作业：通过课后作业的完成情况，评估学生对正弦定理和余弦定理的理解和应用能力。

2. 课堂练习：通过课堂练习的实时反馈，了解学生在学习过程中的掌握情况，及时调整教学方法。

3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的参与程度和思考深度，评估他们的合作能力和问题解决能力。

4. 期中期末考试：通过期中期末考试的正弦定理和余弦定理部分，全面评估学生的学习成果。

七、教学资源：1. 教材：选用权威的数学教材，提供正弦定理和余弦定理的基础知识。

2. 多媒体课件：制作精美的多媒体课件，通过动画、图像等形式直观展示正弦定理和余弦定理的应用。

解三角形学案一、“我学习，我主动，我参与，我收获！”1、正弦定理（1）在一个三角形中，各边和它所对角的_______________的比相等，即在ABC ∆中,___________=__________=____________=2R (其中R 为外接圆半径)（2）a ：b ：c=____________________2、三角形常用面积公式：11sin sin ____________22ABC S ab C ac B ∆=== 3、余弦定理： a 2＝__ ______ b 2＝_ _______ c 2＝___ _____余弦定理的推论：cosA=____ ___ _ cosB=___ ____ cosC ＝__ _____二、“我探究，我分析，我思考，我提高！”1、已知两角及一边解三角形典型例题1：已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,1000===∆变式训练：在△ABC 中，b B A c 求边,60,45,3 ===2、已知两边及其中一边的对角解三角形典型例题2：根据已知条件解三角形 60,65,10===C c b 。

变式训练：已知在△ABC 中，,45,2,3 ===B b a 求A 及c3、求三角形面积典型例题3：在ABC ∆中，已知2=a ，3=b ，︒=150C ，求ABC S ∆；变式训练：在ABC ∆中，已知30,ABC B AB ∆∠==面积S 试求BC 。

4、已知两边及其夹角求第三边典型例题4：已知060,1,3===A c b ，求a ；5、已知三边求角典型例题4：已知6,5,4===c b a ，求A基础自测：1、在ABC ∆中，已知14=a ，7=b ，︒=30B ，则=A _________.2、在ABC ∆中，已知6=a ，︒=45A ，︒=75B ，则=c _________.3、已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则::a b c =4、在ABC ∆中，若6:2:1::=c b a ，则最大角的余弦值等于________________5、在ABC ∆中，已知3=b ，33=c ， 30=B ，则=a __________________6、在ABC ∆中，已知222a b ab c ++=，求C 的大小。

正弦定理教案优秀5篇《正弦定理、余弦定理》教学设计篇一一、教学内容：本节课主要通过对实际问题的探索，构建数学模型，利用数学实验猜想发现正弦定理，并从理论上加以证实，最后进行简单的应用。

二、教材分析：1、教材地位与作用：本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书。

数学必修5》（A 版）第一章中，是在高二学生学习了三角等知识之后安排的，显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，而定理本身的应用（定理应用放在下一节专门研究）又十分广泛，因此做好该节内容的教学，使学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证实，感受“类比--猜想--证实”的科学研究问题的思路和方法，体会由“定性研究到定量研究”这种数学地思考问题和研究问题的思想，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。

2、教学重点和难点：重点是正弦定理的发现和证实；难点是三角形外接圆法证实。

三、教学目标：1、知识目标：把握正弦定理，理解证实过程。

2、能力目标：（1）通过对实际问题的探索，培养学生数学地观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。

（2）增强学生的协作能力和数学交流能力。

（3）发展学生的创新意识和创新能力。

3、情感态度与价值观：（1）通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的爱好。

（2）通过实例的社会意义，培养学生的爱国主义情感和为祖国努力学习的责任心。

四、教学设想：本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以四周世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己→←所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。

让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。

「高中数学必修5正余弦定理教案」教案：高中数学必修5正余弦定理教学目标：1.了解正弦定理和余弦定理的概念和公式。

2.能够根据给定的边长和角度，求解三角形的其他边长和角度。

3.能够应用正弦定理和余弦定理解决实际问题。

教学重点：1.理解正弦定理和余弦定理的概念和原理。

2.掌握正弦定理和余弦定理的应用方法。

教学难点：1.将实际问题转化为三角形求解问题。

2.独立应用正弦定理和余弦定理解决问题。

教学准备：1.教科书《高中数学必修5》。

2.教具：直尺、三角板。

3. PowerPoint课件和多媒体设备。

教学过程：一、导入（10分钟）1.引入三角形的概念，复习三角形的基本性质。

2.引出正弦定理和余弦定理的背景和重要性。

二、系统学习（30分钟）1.正弦定理的概念和公式的讲解。

a. 引出正弦定理的公式：a/sinA = b/sinB = c/sinC。

b.通过示例和图示讲解正弦定理的应用方法。

c.引导学生推导正弦定理的公式。

2.余弦定理的概念和公式的讲解。

a. 引出余弦定理的公式：c² = a² + b² - 2abcosC。

b.通过示例和图示讲解余弦定理的应用方法。

c.引导学生推导余弦定理的公式。

三、案例分析与练习（40分钟）1.结合教科书上的例题，解析应用正弦定理和余弦定理解决问题的步骤和方法。

2.给学生提供一些练习题，让他们独立应用正弦定理和余弦定理解决问题。

a.从实际生活中选取一些与角度和边长相关的问题。

b.引导学生分析问题，设计求解方案。

c.学生独立解答问题，并讲解自己的解题思路和方法。

d.教师给予指导和点评，纠正错误。

四、总结与拓展（10分钟）1.总结正弦定理和余弦定理的概念及其应用方法。

2.引导学生思考其他情境中可以应用正弦定理和余弦定理的问题。

五、课堂小结（5分钟）1.学生回答课堂小结问题，检查掌握程度。

2.教师对本节课的教学进行总结，评价学生的表现。

六、作业布置（5分钟）1.布置练习题目，要求学生通过应用正弦定理和余弦定理计算求解。

江苏正弦定理和余弦定理教案一、教学目标1. 让学生掌握正弦定理和余弦定理的定义及表达式。

2. 培养学生运用正弦定理和余弦定理解决实际问题的能力。

3. 引导学生通过观察、分析、归纳和验证等方法，深入理解正弦定理和余弦定理的内在联系。

二、教学内容1. 正弦定理：在三角形中，各边的长度与其对角的正弦值成比例。

2. 余弦定理：在三角形中，各边的平方和等于其他两边平方和与这两边夹角余弦值的乘积的两倍。

三、教学重点与难点1. 教学重点：正弦定理和余弦定理的定义及应用。

2. 教学难点：正弦定理和余弦定理的推导过程及其在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、分析、归纳和验证等方法，探索正弦定理和余弦定理。

2. 利用多媒体课件，直观展示正弦定理和余弦定理的推导过程。

3. 设计具有代表性的例题，讲解正弦定理和余弦定理在解决实际问题中的应用。

4. 组织学生进行小组讨论和探究，提高学生的合作能力和解决问题的能力。

五、教学过程1. 导入新课：通过展示三角形模型，引导学生思考三角形中的几何关系。

2. 探究正弦定理：让学生观察三角形模型，引导学生发现各边长度与对角正弦值的关系，进而总结出正弦定理。

3. 验证正弦定理：让学生运用正弦定理解决具体问题，验证其正确性。

4. 探究余弦定理：引导学生观察三角形模型，发现各边平方和与夹角余弦值的关系，总结出余弦定理。

5. 验证余弦定理：让学生运用余弦定理解决具体问题，验证其正确性。

6. 总结正弦定理和余弦定理：引导学生对比总结两个定理的异同点。

7. 巩固练习：设计具有针对性的练习题，让学生巩固正弦定理和余弦定理的应用。

8. 拓展与应用：引导学生运用正弦定理和余弦定理解决实际问题，提高学生的应用能力。

六、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对正弦定理和余弦定理的理解程度，以及运用这两个定理解决问题的能力。

2. 练习题：通过布置练习题，检验学生对正弦定理和余弦定理的掌握情况。

《正弦定理和余弦定理》教案6（新人教A版必修5）讲义一正弦定理和余弦定理以及其应用知识与技能：掌握正弦定理和余弦定理，并能加以灵活运用。

一、知识引入与讲解：Ⅰ、正弦定理的探索和证明及其基本应用：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即=2R例1．（1）、已知ABC中，A，,求 (=2)（2）、已知ABC中，，求（答案：1：2：3）Ⅱ、余弦定理的发现和证明过程及其基本应用：例2．（1）、在ABC中，已知，，，求b及A （）（2）、在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。

例3．在ABC中，已知，，，判断ABC的类型。

分析：由余弦定理可知（注意：）解：，即，∴。

练习：（1）在ABC中，已知，判断ABC的类型。

（2）已知ABC满足条件，判断ABC的类型。

（答案：（1）；（2）ABC是等腰或直角三角形）例4．在ABC中，，，面积为，求的值分析：可利用三角形面积定理以及正弦定理解：由得，则=3，即，从而例题5、某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。

公路的走向是M站的北偏东40。

开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米。

问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处。

在ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得cosC==,则sinC =1- cosC =,sinC =,所以 sinMAC = sin（120-C）= sin120cosC - cos120sinC = 在MAC中，由正弦定理得 MC ===35从而有MB= MC-BC=15 答：汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站。

练习题：1、判断满足下列条件的三角形形状，（1）、acosA = bcosB（等腰三角形或直角三角形）（2）、sinC = （直角三角形）2、如图，在四边形ABCD中，ADB=BCD=75，ACB=BDC=45，DC=，求：（1） AB的长（2）、求四边形ABCD的面积解（1）因为BCD=75，ACB=45，所以ACD=30 ，又因为BDC=45，所以 DAC=180-（75+ 45+ 30）=30，所以AD=DC=在BCD中，CBD=180-（75+ 45）=60，所以= ，BD = =在ABD中，AB=AD+ BD-2ADBDcos75= 5,所以得 AB=（2） S= ADBDsin75= 同理， S=所以四边形ABCD的面积S=。

§1.2应用举例—①测量距离学习目标能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题学习过程一、课前准备复习1：在△ABC中，∠C＝60°，a＋b ＝232+，c＝22，则∠A为.复习2：在△ABC中，sin A＝sin sincos cosB CB C++，判断三角形的形状.二、新课导学※典型例题例1. 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=51︒，∠ACB=75︒. 求A、B两点的距离(精确到0.1m).提问1：∆ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边.新知1：基线在测量上，根据测量需要适当确定的叫基线.例2. 如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法.分析：这是例1的变式题，研究的是两个的点之间的距离测量问题.首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点.根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离.变式：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得∠BCA=60°，∠ACD=30°，∠CDB=45°，∠BDA =60°.三、总结提升 学习小结1. 解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解 （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解. 2．基线的选取：测量过程中，要根据需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.当堂检测1. 水平地面上有一个球，现用如下方法测量球的大小，用锐角45︒的等腰直角三角板的斜边紧靠球面，P 为切点，一条直角边AC 紧靠地面，并使三角板与地面垂直，如果测得PA =5cm ，则球的半径等于（ ）. A ．5cm B ．52cmC ．5(21)cm +D ．6cm2. 台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为（ ）.A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时 3. 在ABC ∆中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，则ABC ∆的形状（ ）.A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形 4.在ABC ∆中，已知4a =，6b =，120C = ，则sin A 的值是 ．5. 一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60 ，行驶４h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15 ，这时船与灯塔的距离为 km ．6. 隔河可以看到两个目标，但不能到达，在岸边选取相距3km 的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，A 、B 、C 、D 在同一个平面，求两目标A 、B 间的距离.7 某船在海面A 处测得灯塔C 与A 相距103海里，且在北偏东30︒方向；测得灯塔B 与A 相距156海里，且在北偏西75︒方向. 船由A 向正北方向航行到D 处，测得灯塔B 在南偏西60︒方向. 这时灯塔C 与D 相距多少海里？PA C§1.2应用举例—②测量高度学习目标1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题；2. 测量中的有关名称. 学习过程 一、课前准备 复习1：在∆ABC 中，cos 5cos 3A bB a ==，则∆ABC 的形状是怎样？复习2：在∆ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，若::a b c =1:1:3，求A:B:C 的值.二、新课导学 学习探究新知：坡度、仰角、俯角、方位角方位角---从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角 ； 坡度---沿余坡向上的方向与水平方向的夹角；仰角与俯角---视线与水平线的夹角当视线在水平线之上时，称为仰角； 当视线在水平线之下时，称为俯角. 探究：AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法.分析：选择基线HG ，使H 、G 、B 三点共线， 要求AB ，先求AE在ACE ∆中，可测得角 ，关键求AC 在ACD ∆中，可测得角 ，线段 ，又有α 故可求得AC※ 典型例题 例1. 如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=5440'︒，在塔底C 处测得A 处的俯角β=501'︒.已知铁塔BC 部分的高为27.3 m ，求出山高CD (精确到1 m )例2. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15︒的方向上，行驶5km 后到达B 处，测得此山顶在东偏南25︒的方向上，仰角为8︒，求此山的高度CD .问题1： 欲求出CD ，思考在哪个三角形中研究比较适合呢？问题2：在∆BCD 中，已知BD 或BC 都可求出CD ，根据条件，易计算出哪条边的长？变式：某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A 、B 两个目标，测得目标A 在南偏西57°，俯角是60°，测得目标B 在南偏东78°，俯角是45°，试求山高.三、总结提升 学习小结利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化. 知识拓展在湖面上高h 处，测得云之仰角为α，湖中云之影的俯角为β，则云高为sin()sin()h αβαβ+- .当堂检测1. 在∆ABC 中，下列关系中一定成立的是（ ）.A ．sin a b A >B ．sin a b A =C ．sin a b A <D ．sin a b A ≥ 2. 在∆ABC 中，AB =3，BC =13，AC =4，则边AC 上的高为（ ）.A ．322B ．332C ．32D ．333. D 、C 、B 在地面同一直线上，DC =100米，从D 、C 两地测得A 的仰角分别为30 和45 ，则A 点离地面的高AB 等于（ ）米． A ．100 B ．503 C ．50(31)- D ．50(31)+4. 在地面上C 点，测得一塔塔顶A 和塔基B 的仰角分别是60︒和30︒，已知塔基B 高出地面20m ，则塔身AB 的高为_________m ．5. 在∆ABC 中，22b =，2a =，且三角形有两解，则A 的取值范围是 ．6. 为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30°，测得塔基B 的俯角为45°，则塔AB 的高度为多少m ？7. 在平地上有A 、B 两点，A 在山的正东，B 在山的东南，且在A 的南25°西300米的地方，在A 侧山顶的仰角是30°，求山高.§1.2应用举例—③测量角度学习目标能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.学习过程 一、课前准备复习1：在ABC △中，已知2c =，3C π=，且1sin 32ab C =，求a b ，.复习2：设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A =60 ，3c =，求ac的值.二、新课导学 典型例题例1. 如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75︒的方向航行67.5 n mile 后到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东32︒的方向航行54.0 n mile 后达到海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C ，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离?(角度精确到0.1︒，距离精确到0.01n mile)分析：首先由三角形的内角和定理求出角∠ABC ， 然后用余弦定理算出AC 边，再根据正弦定理算出AC 边和AB 边的夹角∠CAB .例2. 某巡逻艇在A 处发现北偏东45︒相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75︒的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？三、总结提升 学习小结1. 已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之.；2．已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解. 当堂检测1. 从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为（ ）. A ．α>β B ．α=β C ．α+β=90 D ．α+β=1802. 已知两线段2a =，22b =，若以a 、b 为边作三角形，则边a 所对的角A 的取值范围是（ ）. A ．(,)63ππ B ．(0,]6π C ．(0,)2π D ．(0,]4π3. 关于x 的方程2sin 2sin sin 0A x B x C ++= 有相等实根，且A 、B 、C 是∆的三个内角，则三角形的三边a b c 、、满足（ ）.A ．b ac =B ．a bc =C ．c ab =D ．2b ac =4. △ABC 中，已知a :b :c =(3+1) :(3-1): 10，则此三角形中最大角的度数为 .5. 在三角形中，已知:A ，a ，b 给出下列说法:(1)若A ≥90°，且a ≤b ，则此三角形不存在 (2)若A ≥90°，则此三角形最多有一解 (3)若A ＜90°，且a =b sin A ，则此三角形为直角三角形，且B =90° (4)当A ＜90°，a <b 时三角形一定存在(5)当A ＜90°，且b sin A <a <b 时，三角形有两解 其中正确说法的序号是 .6. 我舰在敌岛A 南偏西50︒相距12海里的B 处，发现敌舰正由岛沿北偏西10︒的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？7. 甲、乙两船同时从B 点出发，甲船以每小时10(3＋1)km 的速度向正东航行，乙船以每小时20km 的速度沿南60°东的方向航行，1小时后甲、乙两船分别到达A 、C 两点，求A 、C 两点的距离，以及在A 点观察C 点的方向角.8. 某渔轮在A 处测得在北45°的C 处有一鱼群，离渔轮9海里，并发现鱼群正沿南75°东的方向以每小时10海里的速度游去，渔轮立即以每小时14海里的速度沿着直线方向追捕，问渔轮应沿什么方向，需几小时才能追上鱼群？§1.2应用举例—④解三角形学习目标1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题；2. 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用；3. 能证明三角形中的简单的恒等式． 学习过程 一、课前准备复习1：在∆ABC 中（1）若1,3,120a b B ===︒，则A 等于 ．（2）若33a =，2b =，150C =︒，则c = _____． 复习2：在ABC ∆中，33a =，2b =，150C =︒，则高BD = ，三角形面积= ．二、新课导学 学习探究探究：在∆ABC 中，边BC 上的高分别记为h a ，那么它如何用已知边和角表示？h a =b sin C =c sin B根据以前学过的三角形面积公式S =12ah ，代入可以推导出下面的三角形面积公式，S =12ab sin C ， 或S = ，同理S = ．新知：三角形的面积等于三角形的任意两边以及它们夹角的正弦之积的一半．典型例题例1. 在∆ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.1cm 2）： （1）已知a =14.8cm ，c =23.5cm ，B =148.5︒； （2）已知B =62.7︒，C =65.8︒，b =3.16cm ；（3）已知三边的长分别为a =41.4cm ，b =27.3cm ， c =38.7cm ．变式：在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成室内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m ，88m ，127m ，这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm 2）例2. 在∆ABC 中，求证：（1）222222sin sin sin a b A B c C++=；（2）2a +2b +2c =2（bc cos A +ca cos B +ab cos C ）．小结：证明三角形中恒等式方法： 应用正弦定理或余弦定理，“边”化“角”或“角”化“边”．三、总结提升 学习小结1. 三角形面积公式：S =12ab sin C = = ． 2. 证明三角形中的简单的恒等式方法：应用正弦定理或余弦定理，“边”化“角”或“角”化“边”． 三角形面积()()()S p p a p b p c =---，这里1()2p a b c =++，这就是著名的海伦公式．当堂检测1. 在ABC ∆中，2,3,60a b C ︒===，则ABC S ∆=（ ）.A. 23B.32C. 3D.32 2. 三角形两边之差为2，夹角的正弦值为35，面积为92，那么这个三角形的两边长分别是（ ）.A. 3和5B. 4和6C. 6和8D. 5和73. 在ABC ∆中，若2cos sin sin B A C ⋅=，则ABC ∆一定是（ ）三角形． A. 等腰 B. 直角 C. 等边 D. 等腰直角4. ABC ∆三边长分别为3,4,6，它的较大锐角的平分线分三角形的面积比是 ．5. 已知三角形的三边的长分别为54a cm =，61b cm =，71c cm =，则∆ABC 的面积是 ．6. 在∆ABC 中，已知28a cm =，33c cm =，45B = ，则∆ABC 的面积是 ．7. 在∆ABC 中，求证： 22(cos cos )c a B b A a b -=-．8.已知在∆ABC 中，∠B =30︒，b =6，c =63，求a 及∆ABC 的面积S ．9. 在△ABC 中，若sin sin sin (cos cos )A B C A B +=⋅+，试判断△ABC 的形状.第一章 解三角形（复习）学习目标能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题． 学习过程一、课前准备复习1： 正弦定理和余弦定理 （1）用正弦定理：①知两角及一边解三角形；②知两边及其中一边所对的角解三角形（要讨论解的个数）． （2）用余弦定理：①知三边求三角；②知道两边及这两边的夹角解三角形． 复习2：应用举例 ① 距离问题，②高度问题， ③ 角度问题，④计算问题．练：有一长为2公里的斜坡，它的倾斜角为30°，现要将倾斜角改为45°，且高度不变. 则斜坡长变为___ ． 二、新课导学 典型例题例1. 在ABC ∆中tan()1A B +=，且最长边为1，tan tan A B >，1tan 2B =，求角C 的大小及△ABC 最短边的长．例2. 如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30 ，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1 ）？例3. 在∆ABC 中，设tan 2,tan A c bB b-= 求A 的值．北2010 A B ••C三、总结提升 学习小结1. 应用正、余弦定理解三角形；2. 利用正、余弦定理解决实际问题（测量距离、高度、角度等）； 3．在现实生活中灵活运用正、余弦定理解决问题. （边角转化）．设在ABC ∆中，已知三边a ，b ，c ，那么用已知边表示外接圆半径R 的公式是()()()abcR p p a p b p c =---当堂检测1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，则△ABC 的面积为（ ）. A ．9 B ．18 C ．9 D ．1832.在△ABC 中，若222c a b ab =++，则∠C =（ ）. A ． 60° B ． 90° C ．150° D ．120°3. 在∆ABC 中，80a =，100b =，A =30°，则B 的解的个数是（ ）. A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．不确定的4. 在△ABC 中，32a =，23b =，1cos 3C =，则ABC S =△_______5. 在∆ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，若2222sin a b c bc A =+-，则A =___ ____.6. 在△ABC 中，b ＝10，A ＝30°，问a 取何值时，此三角形有一个解？两个解？无解？7. 已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若1cos cos sin sin 2B C B C -=．（1）求A ；（2）若23,4a b c =+=，求ABC ∆的面积．8. 在△ABC 中，,,a b c 分别为角A 、B 、C 的对边，22285bca cb -=-，a =3， △ABC 的面积为6， （1）求角A 的正弦值； （2）求边b 、c .。

高中数学正余弦定理教案模板（精选7篇）作为一位杰出的老师，时常要开展教案准备工作，编写教案有利于我们准确把握教材的重点与难点，进而选择恰当的教学方法。

如何把教案做到重点突出呢？这里给大家分享一些关于高中数学余弦定理教案，方便大家学习。

下面是的为您带来的7篇《高中数学正余弦定理教案模板》，希望能够对困扰您的问题有一定的启迪作用。

余弦定理教案篇一今天我说课的内容是余弦定理，本节内容共分3课时，今天我将就第1课时的余弦定理的证明与简单应用进行说课。

下面我分别从教材分析。

教学目标的确定。

教学方法的选择和教学过程的设计这四个方面来阐述我对这节课的教学设想。

一、教材分析本节内容是江苏教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书《数学》必修五的第一章第2节，在此之前学生已经学习过了勾股定理。

平面向量、正弦定理等相关知识，这为过渡到本节内容的学习起着铺垫作用。

本节内容实质是学生已经学习的勾股定理的延伸和推广，它描述了三角形重要的边角关系，将三角形的“边”与“角”有机的联系起来，实现边角关系的互化，为解决斜三角形中的边角求解问题提供了一个重要的工具，同时也为在日后学习中判断三角形形状，证明三角形有关的等式与不等式提供了重要的依据。

在本节课中教学重点是余弦定理的内容和公式的掌握，余弦定理在三角形边角计算中的运用；教学难点是余弦定理的发现及证明；教学关键是余弦定理在三角形边角计算中的运用。

二、教学目标的确定基于以上对教材的认识，根据数学课程标准的“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者。

引导者与合作者”这一基本理念，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我认为本节课的教学目标有：1、知识与技能：熟练掌握余弦定理的内容及公式，能初步应用余弦定理解决一些有关三角形边角计算的问题；2、过程与方法：掌握余弦定理的两种证明方法，通过探究余弦定理的过程学会分析问题从特殊到一般的过程与方法，提高运用已有知识分析、解决问题的能力；3、情感态度与价值观：在探究余弦定理的过程中培养学生探索精神和创新意识，形成严谨的数学思维方式，培养用数学观点解决问题的能力和意识、三、教学方法的选择基于本节课是属于新授课中的数学命题教学，根据《学记》中启发诱导的思想和布鲁纳的发现学习理论，我将主要采用“启发式教学”和“探究性教学”的教学方法即从一个实际问题出发，发现无法使用刚学习的正弦定理解决，造成学生在认知上的冲突，产生疑惑，从而激发学生的探索新知的欲望，之后进一步启发诱导学生分析，综合，概括从而得出原理解决问题，最终形成概念，获得方法，培养能力。

第 1 页解三角形正弦定理和余弦定理复习学案一、正、余弦定理解三角形的基本问题例1 在△ABC 中，(1)已知a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求A 、C 、c ；(2)已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3＋1)∶(3－1)∶10，求最大角．点拨 (1)已知两边及其中一边对角，先利用正弦定理求出角A ，再求其余的量． (2)先由sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ，求出a ∶b ∶c ，再由余弦定理求出最大角．解 (1)由正弦定理及已知条件有3sin A ＝2sin 45°，得sin A ＝32，∵a >b ，∴A >B ＝45°，∴A ＝60°或120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 75°sin 45°＝6＋22，当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 15°sin 45°＝6－22(2)根据正弦定理可知a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3＋1)∶(3－1)∶10， ∴边c 最大，即角C 最大．设a ＝(3＋1)k ，b ＝(3－1)k ，c ＝10k ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(3＋1)2＋(3－1)2－(10)22(3＋1)(3－1)＝－12.∵C ∈(0，π)，∴C ＝2π3回顾归纳 已知三角形的两边和其中一边的对角，应用正弦定理解三角形时，有时可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．►变式训练1 (1)△ABC 中，AB ＝1，AC ＝3，∠C ＝30°，求△ABC 的面积；(2)已知a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积．若a ＝4，b ＝5，S ＝53，求c 的长度．解 (1)1sin 30°＝3sin B ，∴sin B ＝32，∴B ＝60°或120°，当B ＝60°时，A ＝90°，∴BC ＝2，此时，S △ABC ＝32.当B ＝120°时，A ＝30°，∴S △ABC ＝12×3×1×sin 30°＝34.综上，△ABC 的面积为32或34.(2)∵S ＝12ab sin C ，∴sin C ＝32，于是C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝21，∴c ＝21；当C ＝120°时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2＋ab ＝61， ∴c ＝61.∴c 的长度为21或61. 二、正、余弦定理在三角形中的应用例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长．已知b 2＝ac 且a 2－c 2＝ac －bc .第 2 页(1)求∠A 的大；(2)求b sin Bc 的值．点拨 (1)利用cos A ＝b 2＋c 2－a22bc 求解；(2)利用正弦定理对代数式b sin Bc进行转化．解 (1)∵b 2＝ac 且a 2－c 2＝ac －bc ，∴a 2－c 2＝b 2－bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴A ＝60°.(2)方法一 在△ABC 中，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ，∵b 2＝ac ，∴b a ＝cb.∴sin B ＝b sin A a ＝c ·sin A b ，∴b sin B c ＝sin A ＝sin 60°＝32.方法二 在△ABC 中，由面积公式得：12bc sin A ＝12ac sin B∵b 2＝ac ，∴bc sin A ＝b 2sin B ，∴b sin B c ＝sin A ＝sin 60°＝32.回顾归纳 (1)在三角形的三角变换中，正、余弦定理及勾股定理是解题的基础．如果题目中同时出现角及边的关系，往往要利用正、余弦定理化成仅含边或仅含角的关系．(2)要注意利用△ABC 中A ＋B ＋C ＝π，以及由此推得的一些基本关系式：sin(B ＋C )＝sinA ，cos(B ＋C )＝－cos A ，tan(B ＋C )＝－tan A ，sin B ＋C 2＝cos A2等，进行三角变换的运算．►变式训练2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，4sin 2B ＋C 2－cos 2A ＝72.(1)求∠A 的度数；(2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 、c 的值．解 (1)∵B ＋C ＝180°－A ，∴B ＋C 2＝90°－A2.由4sin 2B ＋C 2－cos 2A ＝72，得4cos 2A 2－cos 2A ＝72，即2(1＋cos A )－(2cos 2 A －1)＝72.整理得4cos 2A －4cos A ＋1＝0.∴cos A ＝120°<A <180°，∴A ＝60°.(2)由A ＝60°，根据余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，即b 2＋c 2－a 22bc ＝12.∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∵a ＝3，∴b 2＋c 2－bc ＝3.又b ＋c ＝3，∴b 2＋c 2＋2bc ＝9，∴bc ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝3bc ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1c ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝1. 三、正、余弦定理在实际问题中的应用例3 A 、B 、C 是一条直路上的三点，AB ＝BC ＝1 km ，从这三点分别遥望一座电视发射塔P ，A 见塔在东北方向，B 见塔在正东方向，C 见塔在南偏东60°方向．求塔到直路的距离．解如图所示，过C、B、P分别作CM⊥l，BN⊥l，PQ⊥l，垂足分别为M、N 、Q.设BN=x，则PQ=x，PA=2x.∵AB=BC，∴CM=2BN=2x，PC=2x.在△PAC中，由余弦定理得AC2=PA2+PC2-2PA·PC·cos 75°，即4=2x2+4x2-42x2·624-，解得x2=2(43)13+，过P作PD⊥AC，垂足为D，则线段PD的长为塔到直路的距离．在△PAC中，由于12AC·PD=12PA·PC·sin 75°，得PD020sin7522sin752P A P C xAC⋅⋅⋅==，=2(43)62753213413+++⋅⋅=(km)．答塔到直路的距离为75313+km.回顾归纳(1)解斜三角形应用题的程序是：①准确地理解题意；②正确地作出图形(或准确地理解图形)；③把已知和要求的量尽量集中在有关三角形中，利用正弦定理和余弦定理有顺序地解这些三角形；④根据实际意义和精确度的要求给出答案．(2)利用解斜三角形解决有关测量的问题时，其关键在于透彻理解题目中的有关测量术语．►变式训练3如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，设乙船按方位角为θ的方向沿直线前往B处救援，求sin θ的值．解在△ABC中，AB=20，AC=10，∠BAC=120°，由余弦定理知：BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=202+102-2×20×10×12⎛⎫-⎪⎝⎭=700.∴BC=107第3 页第 4 页由正弦定理得sin sin A B B C A C B B A C=∠∠，∴sin ∠ACB=A B B C·sin ∠BAC=·sin 120°=7.∴cos ∠ACB=7.∴sin θ=sin(∠ACB+30°)=sin ∠ACB ·cos 30°+cos ∠ACB ·sin 30°=7×2+7×12=14，.课堂小结：1．正弦定理揭示了三角形的两边和对角的关系，因此，可解决两类问题： (1)已知两角和其中任一边，求其他两边和一角，此时有一组解． (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他解，其解不确定． 2．余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对应边的关系，是勾股定理的推广，它能解决以下两个问题：(1)已知三边，求其他三角，其解是唯一的．(2)已知两边及它们的夹角，求第三边及其他两角，此时也只有一解．3．正、余弦定理将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角形与几何产生了联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆)提供了理论基础，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．课后作业一、选择题1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对答案 C 解析 sin B ＝b ·sin A a ＝22，且b <a ，∴B ＝45°.2．在△ABC 中，已知cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 答案 C 解析 cos A cos B >sin A sin B ⇔cos(A ＋B )>0，∴A ＋B <90°，∴C >90°，C 为钝角．3．(2008·福建)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3答案 D 解析 ∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ， ∴a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝32，即cos B ·tan B ＝sin B ＝32.∵0<B <π，∴角B 的值为π3或2π3.4．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝16，面积为2203，那么BC 的长度为( ) A ．25 B ．51 C ．49 3 D ．49第 5 页答案 D 解析 S △ABC ＝12AC ×AB ×sin 60°＝12×16×AB ×32＝2203，∴AB ＝55.∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC cos 60°＝552＋162－2×16×55×12＝2 401∴BC ＝49.5．(2012·广东东莞模拟)△ABC 中，下列结论：①a 2>b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形；②a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则A 为60°；③a 2＋b 2>c 2，则△ABC 为锐角三角形；④若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝1∶2∶3.其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A 解析 ①由a 2>b 2＋c 2知A 为钝角，①正确；②由a 2＝b 2＋c 2＋bc 知A ＝120°，②错；③由a 2＋b 2>c 2，仅能判断C 为锐角，A 、B 未知，③错；④由A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，知A ＝π6，B ＝π3，C ＝π2，∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝12∶32∶1＝1∶3∶2，④错．所以仅①正确．二、填空题6．三角形两条边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角的余弦是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是________．答案 6 cm 2解析 由5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝－35，x 2＝2.∵x 2＝2>1，不合题意．∴设夹角为θ，则cos θ＝－35得sin θ＝45，∴S ＝12×3×5×45＝6 (cm 2)．7．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则asin A＝______.答案 2393.解析 由S ＝12sin A ＝121×c ×32＝3，∴c ＝4.∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13.∴a sin A ＝13sin 60°＝2393. 8．一艘船以20 km/h 的速度向正北航行，船在A 处看见灯塔B 在船的东北方向，1 h 后船在C 处看见灯塔B 在船的北偏东75°的方向上，这时船与灯塔的距离BC 等于________．解析 如图所示，sin 45sin 30BCAC =，∴BC=sin 30A C ×sin 45°=20122⨯， (km)．9．(2012·广东广州一模)已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，第 6 页cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．解 (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，sin A ＝a sin B b ＝2×454＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4，∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×3517，∴b ＝17.10．在△ABC 中，已知AB ＝463，cos B ＝66，AC 上的中线BD ＝5，求sin A 的值．解 设E 为BC 的中点．连接DE ，则DE ∥AB ，且DE ＝12AB ＝263，设BE ＝x .在△BDE 中利用余弦定理可得：BD 2＝BE 2＋ED 2－2BE ·ED cos ∠BED ，5＝x 2＋83＋2×263×66x ，解得x ＝1，x ＝－73(舍去)．故BC ＝2，从而AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝283AC ＝2213.又sin B ＝306，故2sin A ＝2213306，sin A ＝7014.11．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a ＋b ＝5，c ＝7，且4sin 2A ＋B2－cos 2C ＝72.(1)求角C 的大小； (2)求△ABC 的面积．解 (1)∵A ＋B ＋C ＝180°，由4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72，得4cos 2C 2－cos 2C ＝72， ∴4·1＋cos C 2－(2cos 2C －1)＝72，整理，得4cos 2C －4cos C ＋1＝0，解得cos C ＝12，∵0°<C <180°，∴C ＝60°.(2)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即7＝a 2＋b 2－ab ，∴7＝(a ＋b )2－3ab ， 由条件a ＋b ＝5，得7＝25－3ab ，ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.。