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江苏省2015年高考文科数学复习课件 数学思想方法篇 专题3 关于分类讨论的再研究

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高考数学复习 分类讨论思想课件 苏教版

高考数学复习 分类讨论思想课件 苏教版


可得 Q(0,2 t 2 ), R(8,2 2t t 2 ).
8
8
当 QR 2 1时6 ,tQ2、, R两点分别在AB、AD上，
84 3 t 4
第十八页，共35页。
对方程(fāngchéng)①分别令x=0和y=4,
可得
t2 8 t
Q(0,2 ), R( ,4).
这时
8 t2
QR (8 t )2 (2 t 2 )2 ;
可得a1=S1>0,q≠0,
当q=1时，Sn=na1>0;
当q
1时，s
n
a1(1 qn ) 1 q
0,
即1 qn 0(n 1,2,3,) , 1 q
第十一页，共35页。
上式等价(děngjià)1于①q 1 q
0 (n
n 0
1,2,3,)
或②
1 1
q0
qn
(n 0
1,2,3,)
解①式得q>1；
第二十二页，共35页。
3.分类讨论产生的时机： （1）涉及的数学概念是分类定义的. （2）运算公式、法则、性质是分类给出的. （3）参数的不同取值会导致不同的结果. （4）几何图形的形状、位置的变化会引起不同的 结果. （5）所给题设中限制条件与研究(yánjiū)对象不同的性
质 引发不同的结论.
解②式，由于n可为奇数，可为偶数，
故-1<q<1,q≠0.
综上，q的取值范围是(-1，0)∪(0，+∞).
第十二页，共35页。
(2)由bn
an2
3 2
an1
,
得bn
an (q2
3 2
q),Tn
(q2
3 2
2015年高考数学(文)一轮课件：3-6对数与对数函数

2015年高考数学(文)一轮课件：3-6对数与对数函数


通关训练1
1 1 (1)若2 ＝5 ＝10，则 ＋ 的值为_________． a b
a b
－
(2)若xlog34＝1，则4x＋4 x的值为__________．
解析：(1)由已知a＝log210，b＝log510， 1 1 则a＋b＝lg2＋lg5＝lg10＝1. (2)由已知x＝log43， 则4 ＋4
答案：B
4．函数f(x)＝ 1－2log6x的定义域为__________．
1 解析：由1－2log6x≥0，解得log6x≤2⇒0＜x≤ 6，故所求定 义域为(0， 6 ]．
答案：(0， 6 ]
5．已知函数f(x)＝lgx，若f(ab)＝1，a＞0，b＞0，则f(a2)＋ f(b2)＝__________.
(3)对数的运算法则 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么 13 __________________； ①loga(MN)＝□ M 14 ____________________； ②loga N ＝□ 15 __________________(n∈R)； ③logaMn＝□ 16 ________________________. ④logamMn＝□
答案：(1)D (2)C
点评： 作一些复杂函数的图像，首先应分析它可以从哪一 个基本函数的图像变换过来，一般是先作出基本函数的图像，通 过平移、对称、翻折等方法，得出所求函数的图像．
通关训练2
若不等式(x－1)2<logax在x∈(1,2)内恒成立，则
实数a的取值范围是__________．
解析：设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1,2)时，不 等式(x－1)2<logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图像在 f2(x)＝logax图像的下方即可． 当0<a<1时，显然不成立； 当a>1时，如图，
高三数学专题三 分类整合的思想方法课件

高三数学专题三 分类整合的思想方法课件


返回目录
模拟训练
4.直角坐标系xOy中，i，j分别是与x，y轴正方向同向的 单位向量.在直角三角形ABC中，若 AB =2i+j, AC =3i+kj，则 k的可能值个数是 A.1 B.2 ( ) C.3 D.4
［解析］ ∵ AB =(2,1), AC =(3,k)，则 BC ＝(1,k－1).
若 AB AC , 则AB· AC 0, 即有6＋k＝0,即k＝－6；
第一部分 常用数学思想方法 专题三 分类整合的思想方法
专题概览 ……………………………………………（3） 模拟训练 ……………………………………………（5） 规律总结 ……………………………………………（17）
专题概览
在研究与解答某些数学问题时，数学对象的本质属性存
在相同点与不同点，或研究问题时出发点的原因，情况进行讨论 .有关几何问题
中，由于几何元素的形状、位置关系不确定常常需要讨论. ［答案］ B
返回目录
模拟训练
5. 设集合 I={1,2,3,4,5}, 选择 I 的两个非空子集 A 和 B ， 要使B中最小的数大于 A中最大的数，则不同的选择方法 共有 ( )
A. 50种
应对数函数的单调性有影响，因此，应就a的不同取值进行
分类求解. ［答案］ C 返回目录
模拟训练
3.求和Sn =a+a2+…+an= .
［解析］ 当a=0时，Sn=0;当a≠0时，为等比数列求和.
a(1 a n ) ①若a≠1，则由求和公式得 S n ； 1 a
a(1 a n ) (a 1), ②若a=1时，Sn=n.综合得 S n 1 a n (a 1).
时出现不定性，这样，对象就划分为不同的种类或多种情况， 不同种类或不同情况的解法又不完全相同，必然要对不同种
2015年高考数学(文)一轮课件：3-8函数与方程

2015年高考数学(文)一轮课件：3-8函数与方程


1 f(x)＝0 答案：□ (a，b) ＜0
2 x轴 □ 3 零点 □ 4 f(a)· 5 □ f(b)＜0 □
6 f(c)＝0 □ 7 c □ 8 两个 □ 9 一个 □ 10 f(a)· □ f(b)
11 一分为二 □ 12 零点 □ 13 f(a)· 14 f(x1)＝0 □ f(b)＜0 □
第三章 函数与基本初等函数Ⅰ
第八节
函数与方程
教材回归 自主学习
核心考点 引领通关
考题调研 成功体验
开卷速查 规范特训
【考点分析】 (1)考查函数零点的个数和取值范围；(2)利用 函数零点求解参数的取值范围；(3)利用二分法求方程近似解． 【复习指导】 (1)准确理解函数零点与方程的根，函数图像
与 x 轴交点之间的关系，能根据零点存在性定理和二分法求方程 近似解；(2)会利用函数值域求解“a＝f(x)有解”型问题；(3)利用 数形结合思想解决有关函数零点的个数问题．
通关训练 1 ( ) A．(0,1) C．(2,3)
函数 f(x) ＝ log3x ＋ x － 3 的零点一定在区间
B．(1,2) D．(3,4)
解析：方法一：函数 f(x)＝log3x＋x－3 的定义域为(0，＋∞)， 并且在(0，＋∞)上递增连续，又 f(2)＝log32－1＜0，f(3)＝1＞0， ∴函数 f(x)＝log3x＋x－3 有唯一的零点且零点在区间(2,3)内．
教材回归 自主学习
必考必记 夯基固本
(1)函数零点的定义： 1 ________成立的实数 x 叫做函 对于函数 y＝f(x)， 我们把使□ 数 y＝f(x)的零点． (2)几个等价关系： 2 ______有交 方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图像与□ 3 ______. 点⇔函数 y＝f(x)有□
2015届高考数学二轮复习专题讲解 课件 第三讲 分类讨论思想

2015届高考数学二轮复习专题讲解 课件 第三讲 分类讨论思想

若该曲线为双曲线，则有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a，|F1F2| ＝3t＝2c，e＝ac＝22ac＝32tt＝32.所以选 A
高考专题辅导与测试·数学
第十一页，编辑于星期五：十点 三分。
创新方案系列丛书
角度二
由参数变化引起的 分类讨论
[例 2] 已知函数 f(x)＝x－aln x(a∈R)，求函数 f(x)的极 值．
角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等．
高考专题辅导与测试·数学
第三页，编辑于星期五：十点 三分。
创新方案系列丛书
(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程
、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值 要运用不同的求解或证明方法．
(6)由实际意义引起的讨论：此类问题常常出现在应用题中． 3．分类讨论解题的步骤
所以函数 f(x)无极值．
当 a>0 时，由 f′(x)＝0，解得 x＝a.因为当 x∈(0，a)
时，f′(x)<0，当 x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以 f(x)在 x
＝a 处取得极小值，且极小值为 f(a)＝a－aln a，无极大值．
综上：当 a≤0 时，函数 f(x)无极值；
当 a>0 时，f(x)在 x＝a 处取得极小值 a－aln a，无极大
线斜率、指数函数、对数函数等．
高考专题辅导与测试·数学
第二页，编辑于星期五：十点 三分。
创新方案系列丛书
(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式 、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前 n项和公式、函数的单调性等． (3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零， 偶次方根被开方数为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底 数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域 等． (4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如
高考文科数学知识整合专项复习课件 分类讨论思想

高考文科数学知识整合专项复习课件 分类讨论思想

设A(x1，y1)，B(x2，y2 )，
ⅰ( )当l不垂直x轴时，设l的方程为y k x 1，
C上的点P使OP OA OB成立的充要条件是P点 的坐标为(x1 x2，y1 y2 )，
则2 x1 x2 2 3 y1 y2 2 6，
整理，得2x12 3y12 2x22 3y22 4x1x2 6y1 y2 6. 又A、B在C上，即2x12 3y12 6, 2x22 3y22 6， 故2x1x2 3y1 y2 3 0.①
段函数，然后分别求其最值．
解析：1 若f
0
1，则 a
a
1
a 0
a2
1
a 1.故a的取值范围是(，1]．
2当x a时，f x 3x2 2ax a2，
f a
则f
x min
f
a 3
a 0 2a2
a
0
2a 3
2
当x a时，f x x2 2ax a2，
a 0
； a 0
2
2
所以f x在[0， )，( ， ]上递增，在[，3 )，(3 ，2 ]上递减．
22
22
选A.
考点2 由运算的要求或性质、定理、 公式的条件引起的分类讨论
例2.已知数列an的前n项和Sn 2n2 2n， 数列bn的前n项和Tn 2 bn，则数列an
的通项公式为an ______________，数列
当0＜a 1时，1 1，此时g x 0在区间0,1上
a
恒成立，所以g x ax 1 在区间0,1上单调
2 2x 递增．
当x 1时，g x取得最大值，最大值为g 1
a 1，所以b a 1.
2
2
综上，当a＞1时，b a；当0＜a 1时，b a 1. 2
高考数学大二轮专题复习 第一编 数学思想方法 第三讲 分类讨论思想课件 理

高考数学大二轮专题复习 第一编 数学思想方法 第三讲 分类讨论思想课件 理


(2)设数列{an}前n项和为Sn， 因为d<0，所以d＝－1，an＝－n＋11，则 由an≥0，即－n＋11≥0得n≤11. 所以当n≤11时，an≥0，n≥12时，an<0. 所以n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－12n2＋221 n；
n≥12时，|a1|＋|a2|＋…＋|a11|＋|a12|＋…＋|an|＝a1＋a2
a>0， 又b＝c－a，所以247a3－a＋c>0 a<0， 或247a4－a＋c<0， 设g(a)＝247a3－a＋c，因为函数f(x)有三个零点时，a的 取值范围恰好是(－∞，－3)∪1，32∪32，＋∞，
则在(－∞，－3)上g(a)<0， 且在1，32∪23，＋∞上g(a)>0均恒成立， 从而g(－3)＝c－1≤0， 且g23＝c－1≥0，因此c＝1. 此时，f(x)＝x3＋ax2＋1－a＝(x＋1)[x2＋(a－1)x＋1－ a]， 因函数有三个零点，则x2＋(a－1)x＋1－a＝0有两个 异于－1的不等实根，
所以Sn＝n2a1，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2a1－(n－
1)2a1＝(2n－1)a1，当n＝1时，适合上式，
所以bn＝
an＋1 an
＋
an an＋1
＝
2n＋1 2n－1
＋
2n－1 2n＋1
＝1＋
2 2n－1
＋1－
2n2＋1＝2＋22n1－1－2n1＋1，
所以Tn＝2n＋2 1－13＋13－15＋…＋2n1－1－2n1＋1 ＝2n ＋21－2n1＋1＝2n＋2n4＋n 1＝42nn2＋＋61n.
所以Δ＝(a－1)2－4(1－a)＝a2＋2a－3>0，且(－1)2－ (a－1)＋1－a≠0，
高三数学复习学案：第3讲 分类讨论思想

高三数学复习学案：第3讲 分类讨论思想

1．分类讨论的思想是一种重要的数学思想方法．其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．2．分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．(6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．3．分类讨论的原则(1)不重不漏．(2)标准要统一，层次要分明．(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．变式训练1 设0<x <1，a >0且a ≠1，比较|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小．题型二 根据公式、定理、性质的条件分类讨论例2 设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n >0 (n ＝1,2,3，…)．(1)求q 的取值范围；(2)设b n ＝a n ＋2－32a n ＋1，记{b n }的前n 项和为T n ，试比较S n 与T n 的大小．变式训练2 在等比数列{a n }中，设前n 项和为S n ，x ＝S 2n ＋S 22n ，y ＝S n (S 2n ＋S 3n )，求证：x ＝y .题型三 根据变量式参数的取值情况分类讨论例3 已知m ∈R ，求函数f (x )＝(4－3m )x 2－2x ＋m 在区间[0,1]上的最大值．变式训练3已知函数f (x )＝ax 3－32x 2＋1(x ∈R)，其中a >0. (1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)若在区间[－12，12]上，f (x )>0恒成立，求a 的取值范围．第3讲 分类讨论思想(推荐时间：60分钟)一、填空题1．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对于x ∈R 恒成立，那么a 的取值范围是____________．2．过双曲线2x 2－y 2＝2的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若AB ＝4，则这样的直线有________条．3．设集合A ＝{x |x 2＋x －12＝0}，集合B ＝{x |kx ＋1＝0}，如果A ∪B ＝A ，则由实数k 组成的集合中所有元素的和与积分别为____________．4．在△ABC 中，已知A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则S △ABC ＝__________.5．设一双曲线的两条渐近线方程为2x －y ＝0,2x ＋y ＝0，则双曲线的离心率是________．6．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为____________．7．设常数a >0，椭圆x 2－a 2＋a 2y 2＝0的长轴长是短轴长的2倍，则a ＝________.8．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝32，S 3＝92，则a 1的值为__________．14.已知函数f (x )＝2a sin 2x －2 3a sin x cos x ＋a ＋b (a ≠0)的定义域是⎣⎡⎦⎤0，π2，值域是[－5,1]，求常数a ，b 的值．15．已知函数f (x )＝－2x 2－x ，求m 、n 的值，使f (x )在区间[m ，n ]上值域为[2m,2n ] (m <n )．。

江苏省2015年高考文科数学复习课件 数学思想方法篇 专题2 再谈数形结合

江苏省2015年高考文科数学复习课件 数学思想方法篇 专题2 再谈数形结合


题型三
数形结合在不等式中的应用
破题切入点
例3
x＋2y－5≤0， x≥1， 已知实数 x，y 满足 y≥0， x＋2y－3≥0，
先根据题意，
画出可行域，再
根据目标式的几
何意义求解．
y 则 的最大值为________． x
题型三
数形结合在不等式中的应用
解析 画出不等式组
x＋2y－5≤0， x≥1， y≥0， x＋2y－3≥0，
底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数 学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义； 第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数， 做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围． 数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合．如：锐角 三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角 函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的．
典例剖析
精题狂练
典例剖析 题型一 数形结合在方程根的个数中的应用
题型二 数形结合在函数中的应用
题型三 题型四 数形结合在不等式中的应用 数形结合在解析几何中的应用
题型一
数形结合在方程根的个数中的应用
x 的解的个数是________． 4
例1 方程sin πx＝
破题切入点
x 把方程根的问题转化为两个函数y＝sin πx和y＝ 的图象的 4 交点问题，借助图象观察函数有几个交点，方程的根的个
解 从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋ 4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，
题型四
数形结合在解析几何中的应用
1 1 直角三角形 PAC 的面积 SRt△PAC＝ PA· AC＝ PA 越来越大， 2 2 从而 S 四边形 PACB 也越来越大；
2015年高考数学(文)一轮课件：3-5指数与指数函数

2015年高考数学(文)一轮课件：3-5指数与指数函数


误区警示：对于指数函数的底数a，必须时刻注意底数a>0， 且a≠1.在不清楚其取值范围时，应树立分类讨论的数学思想，分 a>1和0<a<1两种情况进行讨论，以便确定其性质.
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得分的保证；(2)掌握两种情况下指数函数的图像和性质，在解题 中要善于分析，灵活使用；(3)对有关的复合函数要搞清函数的结 构．
教材回归 自主学习
必考必记 夯基固本
1．根式 (1)根式的概念. 根式的概念 1 ________，那 如果□ 么x叫做a的n次方根 符号表示 备注 n＞1且n∈N*
根式的概念 当n是奇数时，正数的n次方根是一个 2 □ 3 ______，负数的n次方根是一个 □
解析：(1)当a>0，b>0时，任取x1，x2∈R，x1＜x2，则f(x1)－ f(x2)＝a(2x1－2x2 )＋b(3x1－3x2) ∵2x1<2x2，a>0⇒a(2x1－2x2)<0， 3x1<3x2，b>0⇒b(3x1－3x2)<0， ∴f(x1)－f(x2)<0，函数f(x)在R上是增函数． 当a<0，b<0时，同理，函数f(x)在R上是减函数． (2)f(x＋1)－f(x)＝a· 2x＋2b· 3x>0，
通关训练2
函数f(x)＝ax－b的图像如图所示，其中a、b为 )
常数，则下列结论正确的是(
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0
高考数学二轮复习第二部分方法篇类型3分类讨论思想求解数学问题最简便的技巧课件理

高考数学二轮复习第二部分方法篇类型3分类讨论思想求解数学问题最简便的技巧课件理


第十八页，共20页。
方法 (fāngfǎ)3
试题(shìtí解) 析(jiě
方法1
方法2 方法3
9．若不等式|x|＋|2x＋3|≤a 的解集为空集，求实数 a 的取值范围．
第十九页，共20页。
方法 (fāngfǎ)3
方法1 方法2 方法3
试题(shìt解í)析(jiě
不等式|x|＋|2x＋3|≤a 可转化为x＜－32，
试题(shìt解í析) (jiě
方法1
方法2
方法3
x3－3x，x≤a， 8．(2016·高考北京卷)设函数 f(x)＝－2x，x>a. (1)若 a＝0，则 f(x)的最大值为____2____； (2)若 f(x)无最大值，则实数 a 的取值范围是__a_<_－__1__．
第十三页，共20页。
方法 (fāngfǎ)2
∴(a－1)(a－b)<0，(b－1)(a－1)>0，(b－1)(b－a)>0.(分类讨论得
结论)
综上可知，选 D.
第十一页，共20页。
方法 (fāngfǎ)2
方法(fāngfǎ)1
方法(fāngfǎ)2 方法3
对于底数不确定的指数对数问题要分类讨论.
第十二页，共20页。
方法 (fāngfǎ)2
类型(lèixíng)3
第一页，共20页。
分类讨论思想的含义
1
分类讨论的思想是将一 个较复杂的数学问题分解 (或分割)成若干个基础性问 2 题，通过对基础性问题的解 答来实现解决原问题的思想 策略．对问题实行分类与整 合，分类标准等于增加一个 3 已知条件，实现了有效增设， 将大问题(或综合性问题)分解 4 为小问题(或基础性问题)，优 化解题思路，降低问题难度.

高考数学专题复习论方法专题3分类讨论思想市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件

【答案】 [0,1)
19/61
【典例 4】 求函数 f(x)＝－x(x－a)在 x∈[－1,1]上的最大值． 【答题模板】
20/61
【解析】 函数 f(x)＝－(x－a2)2＋a42的图像的对称轴为 x＝a2， 应分2a<－1，－1≤a2≤1，a2>1，即 a<－2，－2≤a≤2 和 a>2 三种 情形讨论．
【答案】 D
13/61
【对点练 2】 (2015·衡中月考)设 a，b∈R，则“a＞b”是 “a|a|＞b|b|”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14/61
【解析】 按照 b<0，b＝0，b>0 分类讨论求解． 当 b<0 时，显然有 a>b⇔a|a|>b|b|； 当 b＝0 时，显然有 a>b⇔a|a|>b|b|； 当 b>0 时，a>b 有|a|>|b|，所以 a>b⇔a|a|>b|b|. 综上可知 a>b⇔a|a|>b|b|，故选 C. 【答案】 C
34/61
类型五 三角、向量中的分类讨论 【典例 7】 (2015·太原模拟)已知 a，b，c 分别是△ABC 的 内角 A，B，C 所对的边，且 c＝2，C＝π3. (1)若△ABC 的面积等于 3，求 a，b； (2)若 sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求 A 的值．
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【解析】 (1)∵c＝2，C＝π3， ∴由余弦定理得 4＝a2＋b2－2abcosπ3＝a2＋b2－ab， ∵△ABC 的面积等于 3， ∴12absinC＝ 3，∴ab＝4， 联立aa2b＋＝b42，－ab＝4， 解得 a＝2，b＝2.
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题型四
解
分类讨论在数列求和中的应用
(1)设数列{an}的公差为d，
a1＝3， 解得 d＝－1.
3a1＋3d＝6， 由已知，得 8a1＋28d＝－4，
故an＝3－(n－1)＝4－n.
题型二
分类讨论在含参函数中的应用
(3)当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2. 综上可知，a＝－1或a＝2.
题型三
分类讨论在图象中的应用
x2 y2 例 3 设 F1、F2 为椭圆 ＋ ＝1 的两 破题切入点 9 4 直角三角形关键是确 个焦点， P 为椭圆上一点， 已知 P、 F1、 定 直 角 顶 点 ， 由 F2 是一个直角三角形的三个顶点，且 PF1>PF2 知 ， 需 分 ∠PF2F1 和 ∠F1PF2 分 别 PF1 PF1＞PF2，求 的值． PF2 为直角两种情况即可．
指数函数图象、对数函数图象等．
(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问
题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由
于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等．
2．进行分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，
标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，
不越级讨论．其中最重要的一条是“不重不漏”．
专题3 关于分类讨论的再研究
方法精要
在解某些数学问题时，我们常常会遇到这样一种情况；解到 某一步之后，发现问题的发展是按照不同的方向进行的．当 被研究的问题包含了多种情况时，就必须抓住主导问题发展 方向的主要因素，在其变化范围内，根据问题的不同发展方 向，划分为若干部分分别研究．其研究的基本方向是 “ 分 ” ， 但分类解决问题之后，还必须把它们整合在一起，这种“合— 分—合”的解决问题的思想，就是分类讨论法．
①当B≠∅时，即B＝{0}或B＝{－4}，
当x＝0时，有a＝±1； 当x＝－4时，有a＝7或a＝1. 又由Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0， 解得a＝－1，此时B＝{0}满足条件；
题型一
分类讨论在概念、计算中的应用
②当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0， 解得a<－1.
综合(1)(2)知，所求实数a的取值为a≤－1或a＝1.
分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时
也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整 的思想与归类整理的方法．有关分类讨论思想的数学问题 具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条
理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置．
1．中学数学中可能引起分类讨论的因素：
(1) 由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的
题型二 分类讨论在含参函数中的应用
题型三 分类讨论在图象中的应用
题型四 分类讨论在数列求和中的应用
题型一
例1
分类讨论在概念、计算中的应用
B⊆A 可分 B ＝ ∅ ， B A ， B＝{x∈R|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0， B ＝ A 三种情况，所以此 题需分类并结合一元二次 a∈R}，若B⊆A，求实数a的值． 方程根的情况加以研究.
定义、二次函数的定义、直线的倾斜角．
(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为
零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运
算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函
数的定义域，等比数列{an}的前n项和公式等．
(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数 的单调性、基本不等式等． (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、
题型三
分类讨论在图象中的应用
2 ∴PF1 ＋(6－PF1)2＝20，
又 PF1>PF2，∴PF1＝4，PF2＝2，
PF1 PF1 7 ∴ ＝2.综上知， ＝ 或 2. PF2 PF2 2
题型四
例4
分类讨论在数列求和中的应用
已知等差数列 {an} 的前 3 项和 破题切入点 在解决等比数列求和问题 为6，前8项和为－4. 时，要按公比q是否为1进行 (1)求数列{an}的通项公式； 讨论． (2)设bn＝(4－an)qn－1 (q≠0， n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.
题型二
例2
分类讨论在含参函数中的应用
已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]上有最大值2，
求a的值．
破题切入点
本题中函数的定义域是确定的，二次函数的对称轴是不确定的，
二次函数的最值问题与对称轴息息相关，因此需要对对称轴讨论， 分对称轴在区间内和对称轴在区间外，从而确定函数在给定区间 上的单调性，即可表示函数的最大值，从而求出a的值．
3．解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是：首先要确定 讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标 准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互 斥(没有重复)；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取 阶段性结果；最后进行归纳小结，综合典例剖析 题型一 分类讨论在概念、计算中的应用
设集合A＝{x∈R|x2＋4x＝0}， 破题切入点
解
∵A＝{0，－4}，B⊆A，于是可分为以下几种情况．
(1)当A＝B时，B＝{0，－4}， －2a＋ 1＝－4， ∴由根与系数的关系，得 2 解得 a＝1. a －1＝ 0，
题型一
(2)当B
分类讨论在概念、计算中的应用
A时，又可分为两种情况.
题型三
解
分类讨论在图象中的应用
若∠PF2F1＝90°，
2 2 则 PF2 1＝ PF2＋ F1F2，
又∵PF1＋PF2＝6，F1F2＝2 5，
14 4 PF1 7 解得 PF1＝ ，PF2＝ ，∴ ＝ . 3 3 PF2 2
若∠F1PF2＝90°，
2 2 则 F1F2 ＝ PF ＋ PF 2 1 2，
题型二
解
分类讨论在含参函数中的应用
函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a
＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为x＝a. (1)当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1－a， ∴1－a＝2，∴a＝－1. (2)当0≤a≤1时，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1，
∴a2－a＋1＝2，∴a2－a－1＝0， 1± 5 ∴a＝ (舍). 2