多元函数的Taylor公式与极值问题

n元泰勒公式摘要：一、引言二、泰勒公式的定义与性质三、n 元泰勒公式的推导四、n 元泰勒公式的应用领域五、总结与展望正文：一、引言元泰勒公式，作为多元函数微积分中的重要理论，广泛应用于数学、物理、工程等多个领域。

本文将重点介绍n 元泰勒公式的相关知识。

二、泰勒公式的定义与性质泰勒公式（Taylor formula）是一种用多项式逼近函数的方法。

给定一个函数f(x)，如果存在一个正数r 和多项式P_n(x)，使得在区间[a, a+r] 上，有|f(x) - P_n(x)| < ε（ε为任意小的正数），那么我们可以用泰勒公式表示该函数在这个区间内的近似值，即f(x) ≈ P_n(x)。

泰勒公式具有如下性质：多项式系数与函数的各阶导数有关，系数具有递推关系。

三、n 元泰勒公式的推导元泰勒公式是泰勒公式的推广。

设f(x) = (f_1(x_1), f_2(x_2), ...,f_n(x_n))，对于任意一点(a_1, a_2, ..., a_n) 在定义域内，我们可以得到n 元泰勒公式：f(x) ≈ (f_1(a_1), f_2(a_2), ..., f_n(a_n)) + ∑[(x_1 - a_1)^k *(f_1^{(k)}(a_1), f_2^{(k)}(a_2), ..., f_n^{(k)}(a_n))]其中，k 从0 到∞，f_i^{(k)}(a_i) 表示f_i(x_i) 关于x_i 的k 阶导数。

四、n 元泰勒公式的应用领域元泰勒公式在多元函数微积分中具有广泛的应用，例如求解多元函数的极值、证明多元函数的性质、建立多元函数的近似模型等。

此外，在实际问题中，如机器学习、数据挖掘、图像处理等领域，n 元泰勒公式也发挥着重要作用。

五、总结与展望元泰勒公式作为多元函数微积分中的重要理论，对于理解和分析多元函数具有重要的意义。

多元泰勒公式
多元泰勒公式是数学中的一个重要概念，它用于描述一个函数在某一点附近的近似值。

通过多元泰勒公式，我们可以将一个函数在某一点处的导数、二阶导数、三阶导数等信息整合在一起，从而得到一个更加准确的函数近似值。

在实际应用中，多元泰勒公式常常被用来进行函数的近似计算，尤其是在数值分析和优化问题中起到至关重要的作用。

多元泰勒公式的推导过程并不复杂，但是其应用却是非常广泛的。

在实际问题中，我们常常会遇到需要对某个函数在某一点进行近似计算的情况。

这时，多元泰勒公式就可以派上用场了。

通过多元泰勒公式，我们可以将一个函数在某一点处的值用该点处的导数、二阶导数、三阶导数等信息来近似表示，从而得到一个更加精确的近似值。

多元泰勒公式的应用范围非常广泛，几乎涉及到了所有需要进行函数近似计算的领域。

比如，在数值分析中，我们常常需要对某个函数进行数值逼近，以便进行数值计算。

而多元泰勒公式恰好可以提供这样的近似计算方法。

此外，在优化问题中，我们也经常会遇到需要对某个目标函数进行近似求解的情况。

而多元泰勒公式可以帮助我们更好地理解目标函数在某一点处的性质，从而为优化算法的设计提供更加准确的参考。

总的来说，多元泰勒公式是数学中一个非常有用的工具，它可以帮
助我们更好地理解函数的性质，并且为实际问题的近似计算提供了便利。

通过多元泰勒公式，我们可以将一个函数在某一点的值用该点处的导数、二阶导数、三阶导数等信息来近似表示，从而得到一个更加准确的近似值。

在数值分析、优化问题等领域，多元泰勒公式的应用将极大地方便了我们的工作，为数学建模和计算科学的发展提供了重要的支持。

泰勒公式及其应用前言：泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，它的理论方法已成为研究函数极限和估计误差等方面的不可或缺的工具，它集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算方面有着得天独厚的优势，利用它可以将复杂问题简单化，可以将非线性问题化为线性问题，并且能满足相当高的精确度要求。

它是微积分中值定理的推广，亦是应用高阶导数研究函数性态的重要工具。

正文：18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor），于1685 年8月18日在米德尔塞克斯的埃德蒙顿出生。

1709年后移居伦敦，获法学硕士学位。

他在1712年当选为英国皇家学会会员，并于两年后获法学博士学位。

同年（即1714年）出任英国皇家学会秘书，四年后因健康理由辞退职务。

1717年，他以泰勒定理求解了数值方程。

最后在1731年1 2月29日于伦敦逝世。

泰勒的主要着作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书内以下列形式陈述出他已于1712年7月给其老师梅钦（数学家、天文学家）信中首先提出的着名定理——泰勒定理：式内v为独立变量的增量，及为流数。

他假定z随时间均匀变化，则为常数。

上述公式以现代形式表示则为：这公式是从格雷戈里－牛顿插值公式发展而成的，当x＝0时便称作马克劳林定理。

1772年，拉格朗日强调了此公式之重要性，而且称之为微分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有考虑级数的收敛性，因而使证明不严谨，这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成。

十七世纪中叶，随着近代微积分的蓬勃发展，极限作为数学中的一个概念也就被明确地提了出来。

但是最初提出的极限概念是含糊不清的，相关的许多理论常常难以自圆其说，甚至自相矛盾。

极限理论的确立使得数学中出现了暂时混乱的局面，直到十九世纪才有了改善，首次给出极限严格定义的是捷克斯洛伐克的数学家贝尔纳·波尔查诺，但对他来说有点遗憾的是，他的数学著作多半没有受到他同时代的人的重视，他的许多成果等到后来才被人们重新发现，但是此时功劳已经被别人抢占。

环境工程高等数学教材目录【环境工程高等数学教材目录】前言1. 数学在环境工程中的作用2. 本教材的编写目的和特点第一章：函数与极限1. 函数的概念和性质2. 初等函数与复合函数3. 无穷小与无穷大4. 极限的定义与性质5. 极限的运算法则6. 一些重要的极限公式第二章：导数与微分1. 导数的定义与几何意义2. 导数的基本运算法则3. 高阶导数与Leibniz公式4. 隐函数与参数方程的导数5. 微分的概念和应用第三章：一元函数的微分学1. 函数的单调性与极值2. 函数的凹凸性与拐点3. 函数的曲线及其切线方程4. 微分中值定理与Taylor公式5. 常用的近似计算方法第四章：多元函数的微分学1. 多元函数的概念与性质2. 多元函数的偏导数与全微分3. 多元函数的极值与条件极值4. 多元函数的隐函数和参数方程的导数5. 多元函数的最值问题第五章：重积分与曲线积分1. 重积分的概念与性质2. 二重积分的计算方法3. 三重积分的计算方法4. 曲线积分的概念与性质5. 线积分的计算方法第六章：级数与无穷级数1. 级数的概念与性质2. 常见级数的求和方法3. 收敛级数的性质4. 收敛级数的运算5. 正项级数的收敛判别附录1. 常用数学函数表2. 常用数学公式表3. 习题答案与解析结语1. 环境工程高等数学教材的学习建议2. 数学在环境工程中的应用案例3. 推荐相关参考书目注意：以上仅为一个示例目录，实际教材目录可能根据具体内容和编写要求略有差异。

编写教材目录时，需要根据实际情况进行相应调整和完善。

同时，在文章中不提供具体章节内容，目录仅展示了教材的整体结构和章节安排。

2021年第08期256高教论坛多元函数Taylor公式及其应用刘心蕾西南石油大学，四川资阳000000一、课题背景：于一七一二年，泰勒公式由布瑞科泰勒所提出，他是英国的一位伟大的数学家.泰勒公式后来经过了拉格朗日以及柯西等数学家的进一步补充后，为数学理论未来的发展提供了非常有效的工具.近几年来关于公式的研究非常繁多，对泰勒公式在一些近似计算、向量值函数、等式与不等式、判断函数的敛散性和极限中都有特别深刻的研究.下面就我对其在几篇文章中的应用的理解为，在其中有一篇名为泰勒公式及其余项的证明中，主要研究的内容是先理解泰勒公式的一般型，在理解泰勒公式基本概念后，对泰勒公式的一般型进行一些推导，就可以分别得到佩诺型、拉格朗日型以及积分型三种不同形式的余项。

其次也研究了泰勒公式“中点函数”的可微性以及其余项“中间点”的渐进性.在高阶方向导数与多元泰勒定理的简单基本形式的文章中，泰勒公式对方向导数进行了推广.并且在对多元函数的研究中得到了高阶方向导数的概念及其相关方面的计算.最后，利用高阶方向导数从而推导出了多元函数泰勒公式的简单形式.泰勒是英国的一位伟大的数学家,他在函数值逼近上面做出了伟大的成就，而且他在函数值逼近上的研究结果显示:若这个函数具有一直到n + 1阶的导数，并且在某一个点的邻域中取得的值能用此函数在这一点的函数值和这个函数的各阶导数值所组成的n次多项式来近似表达出来，则由此产生的就称为泰勒公式.二、多元函数泰勒公式及其应用的发展状况:对于研究者来说，泰勒公式的证明与应用方面的研究一直都具有非常强大的吸引力.很多研究者在此领域中获得的成就很高，并且在一些优秀的文献中，有的作者在不等式和等式的证明和计算中都最大限度地利用了泰勒公式及其性质，而且使用的研究方法新颖又简便易懂，非常值得我们引以为我们学习的风向标.在泰勒提出公式后，一九九九年六月，就关于多元函数的高阶微分和泰勒共识这一篇文章的探讨中，它主要是研究了把一阶微分的微分定义为二阶微分的明确性，并且对多元函数泰勒公式也进行了一些推导，但在此文中仅仅是以二元函数来进行的展开。

887§7 多元函数Taylor 公式和极值问题练习参考解答1. 下列函数极值（1） )2(),(22y y x e y x f x ++=； （2） )4)(6(),(22y y x x y x f −−=； （3） )0(333>−−=a y x axy z ； （4）2. 都很小时，将超越函数当z y x , ,z y x z y x z y x f cos cos cos )cos(,,(−++=）.,y x,的多项式近似表示z解 二阶偏导数），有展成马克劳林公式（到将函数),,(z y x f）），，（0,0,0()0,0,0()0,0,0(000),,('z y x f z f y f x f z y x f ′+′+′+= []0,0,0( )0,0,0(2)0,0,0(2)0,0,0(20,0,0()0,0,0(0,0,0(''21222=′′+′′+′′+′′+′′++）））！f f zx f yz f xy f z f y f x zx yz xy zz yy xx []()[]()0cos cos cos )cos()0,0,0( 0)0,0,0( 00,0,0( 0cos cos sin )sin()0,0,0( 0,0,00,0,0=+++−=′=′=′=+++−=′z y x z y x f f f z y x z y x f xxz y x ）同样[]())(),,( 10,0,0( 1)0,0,0( 1cos sin sin )cos()0,0,0( 0)0,0,0( 00,0,0( 0,0,0zx yz xy z y x f f f z y x z y x f f f zx yz xyzz yy ++−=−=′′−=′′−=−++−=′′=′′=′′于是，）同样，）同样，即 )(cos cos cos cos(zx yz xy z y x z y x ++−=−++） 3. 求函数x y x y x y x f 933),(2233−++−=的极值。

目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Keywords (1)引言 (1)1定理中用到的定义 (2)2函数极值的判定定理.............................................................. .. (5)3多元函数极值判定定理的应用 (7)参考文献 (8)多元函数极值的判定摘要：通过引入多元函数的导数，给出了多种方法来判定多元函数的极值.关键词：极值；条件极值；偏导数；判定The judgement of the extremum of the function of manyvariablesAbstract ：This paper passes to lead into the derivative of the function of many variables, and give several methods to judge the extremum of the function of many variables and the conditional extremum of the function of many variables .Keywords : extremum; conditional ;partial derivative引言在现行的数学分析教材中，关于多元函数的极值判定，一般只讲到二元函数的极值判定，在参考文献[1]和[3]中有关多元函数极值的判定是都是在实际情况中一定有极值的问题，本文将引入多元函数的偏导数把二元函数的极值判定推广到多元函数极值问题中去.1 定理中用到的定义定义 1.1[]1 函数f 在点000(,)P x y 的某领域0()U P 有定义.若对于任何点0(,)()P x y U P ∈，成立不等式0()()f P f P ≤（或0()()f P f P ≥），则称函数f 在点0P 取得极大值（或极小值），点0P 称为f 的极大值（或极小值）点.定义1.2[]1设函数(,)z f x y =， (,)x y D ∈.若00(,)x y D ∈,且0(,)f x y 在0x 的某一领域有定义，则当极限0000000(,)(,)(,)limx xf x y f x x y f x y x x→+-=V V V V V 存在时，称这个极限为函数f 在点00(,)x y 关于x 的偏导数，记作00(,)x y fx∂∂.定义1.3[]3 设n D R ⊂为开集，12(,,,)n P x x x D ∈L ，0000122(,,,)P x x x D ∈L :f D R →，若在某个矩阵A ，使当0()P U P ∈时，有000()()()limP P f P f P A P P P P →----,则称n 元函数12(,,,)n f x x x L 在点0P 可导.称A 为在点0P 处的导数，记为0()f P '.注1：01122(,,,)T n n P P x x x x x x '''-=---L 为n 维列向量. 注2：0P P -=注3：在导数存在的条件下，可求得：012()(,,,)nf f f f P A x x x ∂∂∂'==∂∂∂L ,它是一个n 维向量函数.定义 1.4[]3（二阶导数）若n 元函数f 的一阶导数f '在D （或D 某一点）上可微，则称f 在D （或D 某一点）上二阶可微，并定义n 维向量函数()T f '的导数为f 的二阶导数，记作()f P ''，并可求得2222121122222122222212()n n nnn ff f x x x x x f f f f P x x x x x f f f x x x x x ⎛⎫∂∂∂ ⎪∂∂∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂⎪''=∂∂∂∂∂ ⎪ ⎪⎪ ⎪∂∂∂⎪∂∂∂∂∂⎝⎭L L L L L L L此矩阵为f 在P 点的Hesse 矩阵.在二阶混合偏导数连续的条件下，它是一个对称矩阵. n 元函数f 在点0P 的二阶Taylor 公式可简单地写成：00000001()()()()()()()()2T n f P f P f P P P P P f P P P O P P '=+-+--+-.2 函数极值的判定定理对于二元函数的无条件极值的判定，先给出数学分析教材中有的相应的判定定理.定理2.1[]1 （必要条件）若函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某领域偏导数存在，切点00(,)x y 是是其极值点，则0000(,)(,)0f x y f x y x y∂∂==∂∂. 定理2.2[]1 （充分条件）设点00(,)x y 是函数(,)z f x y =的驻点，且在点00(,)x y 的某领域有二阶连续偏导数存在.记222200000022(,)(,)(,),,,,f x y f x y f x y A B C AC B x x y y∂∂∂====-∂∂∂∂V 则1）当0<V 时，点00(,)x y 不是函数的极值点;2）当0>V 是，若0A >,则点00(,)x y 是函数的极小值点，若0A <,则点00(,)x y 是函数的极大指点；3)当0=V 时，该方法不能判断其是不是极值点.注3：对于二阶导数存在的二元函数的极值，这两个定理能解决绝大多数的我们碰到的问题（除了0=V 的情形）.利用定义1.3和定义1.4，我们可以将这定理2.1和定理2.2推广到二元以上的函数中去.定理2.3 （必要条件）设n D R ⊂为开集，n 元实值函数12(,,,)n y f x x x =L 在点0P D ⊂可微，且在该点取得极值，则0()0f P '=（此0表示n 维向量(0,0,,0)L ）.证明 由费马定理知当f 在0P 点取得极值时，012()(,,,)0nf f ff P x x x ∂∂∂'==∂∂∂L . 定理2.4（充分条件）设n D R ⊂为开集，n 元实函数12(,,,)n y f x x x =L 在0()U P D ⊂上存在二阶连续偏导数，且0()0f P '=，则当0()n f P 为正定或半正定时，f 在0P 点取得极小值，当0()n f P 为负定或半负定时，f 在0P 点取得极大值.证明 0P ，P 点坐标分别满足00012(,,,)n x x x L 与12(,,,)n x x x L ，且0()P U P ⊂,0i i i x x x =-V ，当0()0f P '=时，由Taylor 公式，有000000212012121211()()()()()()21(,,,)()(,,,)(())2(,,,)()T n nT nn n i i i nn i i f f P f P P P f P P P O P P x x x f P x x x o x x g x x x o x ===-=--+-=+-=+∑∑V V V L V V V L V V V L V V 当0()U P 充分小时,只要0()P U P ⊂，则该式子的符号由12(,,,)n g x x x V V L V 确定.当0()n f P 为正定时，二次型12(,,,)0n g x x x >V V L V ，当0()n f P 为半正定时，二次型12(,,,)0n g x x x ≥V V L V .故当0()n f P 为正定或半正定时，0()()0f f P f P =-≥V ，所以0()()f P f P ≥，故0P 点是f 的极小值点.同理可证，当0()n f P 为负定或半负定时，0P 点是f 的极大值点.定理 2.5[]1 设在条件12(,,,)0,1,2,,()k n x x x k m m n ϕ==<L L 的限制下，求函数12(,,,)n y f x x x =L 的极值问题，其中f 与(1,2,,)k k m ϕ=L 在区域D 有连续的一阶偏导数.若D 的点000012(,,,)n P x x x L 是上述问题的极值点，且雅可比矩阵01111n m m n P x x x x ϕϕϕϕ∂∂⎛⎫ ⎪∂∂ ⎪⎪ ⎪∂∂ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭K M O M L的秩为m ，则存在m 个常数(0)(0)(0)12,,,mλλλL ，使得000(0)(0)(0)1212(,,,,,,,)n m x x x λλλL L 为拉格朗日函数121212121(,,,,,,)(,,,)(,,,)mn m n k k n k L x x x f x x x x x x λλλλϕ==+∑L L L L的稳定点，即000(0)(0)(0)1212(,,,,,,,)n m x x x λλλL L 为下述n m +个方程： 111111112120(,,,)0(,,,)0n mmx k k mx k k n nn m n f L x x f L x xL x x x L x x x λλϕλϕλϕϕ==∂∂⎧=+=⎪∂∂⎪⎪⎪∂∂⎪=+=⎨∂∂⎪⎪==⎪⎪⎪==⎩∑∑L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 的解.此定理的证明可参阅文献[1]第二十三章的定理23.19的证明. 由定理5可见条件极值的问题都可以通过拉格朗日数乘法转化为无条件极值的形式来求解，即上述判定无条件极值的定理都可以用来判定条件极值.除此之外，我们用二阶全微分的符号来判定其是极大值还是极小值.定理 2.6[]2 设n D R ⊂为开集，n 元实值函数12(,,,)n y L x x x =L 在0()U P D ⊂存在二阶连续偏导数，且0()0L P '=,则当20()0d L P >时，12(,,,)n y L x x x =L 在0P 点取得极小值；20()0d L P <时，12(,,,)n y L x x x =L 在0P 点取得极大值.证明 11n nL LdL dx dx x x ∂∂=++∂∂L ， 2121222212121211()()n nn n L L Ld L d dL ddx d dx d dx x x x L L Ldx dx dx dx x x x x x ∂∂∂==+++∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂L L22212221222222122212()()n n n n n nL L L dx dx dx dx x x x x x L L L dx dx dx dx x x x x x ∂∂∂++++++∂∂∂∂∂∂∂∂+++∂∂∂∂∂L L L22211112221(,,)n n n nn L L x x x dx dx dx dx L L x x x ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂∂⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪∂∂ ⎪⎝⎭ ⎪∂∂∂⎝⎭K L MO M L L11(,,)()n n dx dx dx f P dx ⎛⎫⎪''= ⎪ ⎪⎝⎭L L .又因为0()0L P '=，固由定理4知当0()f P ''正定，即20()0d L P >时，0P 为L 的极小值点，当0()f P ''负定，即20()0d L P <时，0P 为L 的极小值点 .3 多元函数极值判定定理的应用由于函数的条件极值都可以通过定理5转化成无条件极值，也就是说在条件极值的判定中能充分体现无条件极值的判定.例 3.1[]2 求三元函数(,,)22f x y z x y z =-+在受约束条件2221x y z ++=限制下的极值.解 设222(,,,)22(1)L x y z x y z x y z λλ=-++++-，由0L L L L x y z λ∂∂∂∂====∂∂∂∂有：当32λ=-时，122(,,)(,,)333x y z =-，当32λ=时，122(,,)(,,)333x y z =--，现判断是极大值还是极小值 .方法1：对函数(,,)22f x y z x y z =-+用定理2，其中z 视为,x y 的函数，即(,)z z x y =，它由2221x y z ++=决定。

多元函数的Taylor公式一、引言多元函数的Taylor公式是一种重要的多元函数在某一点附近进行近似展开的方法，在数学和物理领域具有广泛的应用。

本文将介绍多元函数的Taylor公式的推导过程以及其在实际问题中的应用。

二、一元函数的Taylor公式回顾在介绍多元函数的Taylor公式之前，我们先回顾一下一元函数的Taylor公式。

对于一元函数f(x)在x=a处的n次Taylor展开式为：$$ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \\cdots +\\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x) $$其中R n(x)是余项。

三、多元函数的Taylor公式推导现在考虑多元函数$f(x_1, x_2, \\cdots, x_n)$在点$\\mathbf{a}=(a_1, a_2,\\cdots, a_n)$附近的Taylor展开式。

多元函数在点$\\mathbf{a}$处的Taylor公式可以表示为：$$ f(\\mathbf{x}) = f(\\mathbf{a}) + \ abla f(\\mathbf{a}) \\cdot(\\mathbf{x}-\\mathbf{a}) + \\frac{1}{2!}(\\mathbf{x}-\\mathbf{a})^THf(\\mathbf{a})(\\mathbf{x}-\\mathbf{a}) + \\cdots + R_n(\\mathbf{x}) $$其中$\ abla f(\\mathbf{a})$是$f(\\mathbf{x})$在$\\mathbf{a}$处的梯度，$Hf(\\mathbf{a})$是$f(\\mathbf{x})$在$\\mathbf{a}$处的Hessian矩阵。

四、多元函数的Taylor公式的应用多元函数的Taylor公式在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。