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令 L x, y, x2 y x2 y2 1 ,
Lx
2 xy
2 x
0,
Ly x2 2 y 0,
L
x2
y2
1
0,
x
y
2, 3 1,
பைடு நூலகம்
3
2
2
z2 3
3 , z3 3
. 3
与D内驻点处的函数值 z1 0,a 0 比较知
z的最大值为
z2
2, 33
最小值为
2
z3 3
最大与最小距离。
解 设( x, y, z)为椭圆上的任一点，它到原点的
距离为
r x2 y2 z2 下求 r 2 在条件
x2
y2
z2
1
3 2
x y z 0
下的极值。
作函数
L x2 y2 z2 ( x2 y2 z2 1) ( x y z)
32
Lx
2x
2 3
在条件( x, y) 0下, 求函数z f ( x, y)的极值 . 如方法 1 所述 设 ( x, y) 0 可确定隐函数 y y( x),
则, 问题等价于一元函数 z f ( x, y( x)) 的极值问题,
故极值点必满足
dz
dy
d x fx fy d x 0
因 d y x ,故有 dx y
x
S xy 且 x2 y2 4R2 .
问题的实质：求 函数 S xy ( x 0, y 0)
在约束条件 x2 y2 4R2 0 下的极值．
有约束极值：对自变量有附加条件的极值．
求函数 f (x, y) 在条件(x, y) = 0下的极值问题， f (x, y) 称为目标函数；(x, y) = 0 称为约束条件。
x
0
(1)
令
Ly 2 y y 0
Lz
2z
2 z
0
(2) (3)
L
x2 3
y2 2
z2
1
0
(4)
L
x
y
z
0
(5)
(1)x (2) y (3)z ，并将(4) 、(5)两式代入得
2( x2 y2 z2 ) 2 0
即有 ( x2 y2 z2 ) r 2
将上式分别代入(1) ,(2),(3)得
第四节 多元函数的泰勒公式 与极值问题
多元函数的Taylor公式 无约束极值,最大值与最小值 有约束极值,拉格朗日(Lagrange)乘数法 小结
4.3有约束极值, 拉格朗日(Lagrange)乘数法
问题的提出
一矩形内接于半径为 R 的圆，
求该矩形最大的面积. 设矩形的长与宽分别为x, y
2R
y
面积为 S, 则有
例9 确定函数 z x2 y 在区域D : x2 y2 1上的 最大值与最小值.
解 （1）求函数 z x2 y在区域 D 内的驻点
z x
2 xy
0,
z
x2
0,
y
x 0,
y
a,
| a | 1.
z1 z1 0,a 0.
（2）求 z x2 y 在边界 x2 y2 1上的最值
x
3
2(r 2
3)
,
y
r2
2
,
z
2(r 2 1)
,
代入(5)得
3
2(r 2 3) r 2 2 2(r 2 1) 0
3
1
1
2(r 2 3) r 2 2 2(r 2 1) 0
解此方程得 r 2 11 13 6
r 0,
r1,2
11 13 6
因为r 一定存在最大与最小值，所以
r1
11 13 , 6
r2
11 13 6
分别为所求椭圆的长短半轴。
小结
有约束极值问题，Lagrange乘数法。 步骤： （1）由题意确定目标函数与约束条件； （2）作Lagrange 函数； （3）求偏导数得方程组； （4）解方程组得Lagrange 函数在讨论范围内 的驻点，并根据题意确定极值.
. 3
例10* 求椭球面 x2 y2 z2 1 被平面 32
x y z 0 截得的椭圆的长半轴与短半轴
之长。
分析：椭球面的中心在原点，平面 x y z 0
也过原点，所以椭圆的中心在原点。从而问题 即求椭圆
x2
y2
z2
1
3 2
x y z 0
上的点( x, y, z)到原点的
叫Lagrange乘数. 利用拉格朗日函数求极值的方法
称为拉格朗日乘数法.
推广 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 个约束条件的情形.
例如, 求函数 u f ( x, y, z) 在条件 ( x, y, z) 0,
( x, y, z) 0 下的极值.
作拉格朗日函数
L f ( x, y, z) 1 ( x, y, z) 2 ( x, y, z)
有时约束条件不止一个，可能由几个方程联合给出。
条件极值的求法: 方法1 代入法. 例如 ,
在条件( x, y) 0 下 , 求函数z f ( x, y)的极值
转
化 从条件( x, y) 0中解出y y( x)
求一元函数 z f ( x, y( x)) 的无条件极值问题.
方法2 拉格朗日乘数法. 例如,
解方程组
即 L 0. 可得到条件极值的可疑点 . 再由具体问题确定最值.
例8. 要设计一个容量为 V0 的长方体开口水箱, 试问
水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？
解 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 则问题为求x , y , z 使在条件 xyz V0 下水箱表面积
S 2( xz yz) xy 最小.
令 F 2( xz yz) xy ( xyz V0 )
2z y yz 0
解方程组
2z x xz 0 2( x y) x y 0
z y x
x y z V0 0
得唯一驻点
x
y 2z
3 2V0 ,
4 3 2V0
由题意可知合理的设计是存在的,
因此
,
当高为
3
V0 4
,
长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.
z
思考:
y
1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何? x
提示: 利用对称性可知, x y z 3 V0 2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价
最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何?
提示: F 2( xz yz) 2 xy ( xyz V0 )
长、宽、高尺寸相等 .
fx
f
y
x y
0
记
fx
x
fy
y
极值点必满足
fx x 0 fy y 0 (x, y) 0
引入辅助函数 L( x, y, ) f ( x, y) ( x, y)
L( x, y, ) f ( x, y) ( x, y)
则极值点满足:
即 L 0
辅助函数L 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 数
