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§4 泰勒公式与极值问题教学计划：６课时．教学目的:让学生掌握多元函数高阶偏导数的求法；二元函数的中值定理和泰勒公式;二元函数取极值的必要和充分条件．教学重点：高阶偏导数、泰勒公式和极值的判定条件．教学难点：复合函数高阶偏导数的求法；二元函数的泰勒公式．教学方法：讲授法．教学步骤：一 高阶偏导数由于),(y x f z =的偏导函数),(),,(y x f y x f y x 仍然是自变量x 与y 的函数,如果它们关于x 与y 的偏导数也存在，则说函数f 具有二阶偏导数,二元函数的二阶偏导数有如下四种情形：(),22222222y x y x y x y y y x z +--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂=∂∂∂ (),22222222yx y x y x x x x y z +--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=∂∂∂().22222222y x xyy x x y y z +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=∂∂ □注意从上面两个例子看到，这些函数关于x 和y 的不同顺序的两个二阶偏导数都相等（这种既有关于x 又有关于y 的高阶偏导数称为混合偏导数),即.22xy z y x z ∂∂∂=∂∂∂ 但这个结论并不对任何函数都成立，例如函数()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=.0,0,0,,22222222y x y x y x y x y x y x f它的一阶偏导数为()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-+=,0,0,0,4,22222224224y x y xy x y y x x y y x f x()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++--=,0,0,0,4,22222224224y x y xy x y y x x x y x f y进而求f 在（0，0）处关于x 和y 的两个不同顺序的混合偏导数,得 ()()(),1lim 0,0,0lim0,000-=∆∆-=∆-∆=→∆→∆y yyf y f f y x x y xy()()()1lim 0,00,lim0,000=∆∆=∆-∆=→∆→∆x xxf x f f x y y x yx ． 由此看到，这里的()y x f ,在原点处的两个二阶混合偏导数与求导顺序有关，那么，在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢？为此，我们按定义先把()()0000,,y x f y x f yx xy 与表示成极限形式．由于()()(),,,lim ,0xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆因此有()()()yy x f y y x f y x f x x y xy ∆-∆+=→∆0000000,,lim,()-⎢⎣⎡∆∆+-∆+∆+∆=→∆→∆x y y x f y y x x f y x y ),(,lim 1lim000000()⎥⎦⎤∆-∆+→∆x y x f y x x f x ),(,lim 00000 ()().),(,),(,limlim 0000000000yx y x f y x x f y y x f y y x x f x y ∆∆+∆+-∆+-∆+∆+=→∆→∆()1 类似地有()00,y x f yx()().),(,),(,limlim 0000000000yx y x f y y x f y x x f y y x x f y x ∆∆+∆+-∆+-∆+∆+=→∆→∆()2为使()()0000,,y x f y x f yx xy =成立,必须使)2(),1(这两个累次极限相等，即以交换累次极限的极限次序。
