泰勒公式与极值问题.37页PPT

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第三节泰勒公式-PPT精选文档

从几何上来讲，就是在 x0 点的附近可以用曲线在该点处的切线来拟合曲线。--------以直代曲不足: 1、精确度不高；2、误差不能估计。
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因此对于精确度要求较高且需要估计误差时候就必须用高次多项式来近似表达函数同时给出误差公式。问：若f (x)在 x0 处二阶可导, 会不会有一个二次多项式来近似表示？若f (x)在 x0 处 n 阶可导, 结果又会如何？
π
π
x
O
-1
p2(x)
. p8( x)比 p2(在更大的范围内更接近余弦函数 x)
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lim f( x )f( x ) (1) 若 f (x )在 x 连续 , 则有 x 0 0 x
0
由极限和无穷小量间的关系
f ( x ) f ( x ) 0
f( x )f( x ) 用常数代替函 0
第三章
第三节泰勒公式
一、问题的提出二、泰勒公式
三、麦克劳林公式
四、泰勒公式的应用
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一、问题的提出
1、关于多项式
2 n 1 n ( x ) a a x a x a x a x 多项式 P 是最 n 01 2 n 1 n
简单的一类初等函数. 由于它本身的运算仅是有限项加减法和乘法，所以在数值计算方面，多项式是人们乐于使用的工具. 因此我们经常用多项式来近似表达函数
O
x
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八次逼近
2 8 p ( x ) a a x a x a x 八次多项式 8 逼近 0 1 2 8 y1 p y=1 1( x) f ( x ) cos x p (x) p ( 0 ) f ( 0 ) 令： ,求出a0 1 8

多元函数的Taylor公式与极值问题课件

实际应用中的考虑因素
实际问题的背景
在应用极值理论时，需要考虑实际问题的背景和限制条件，如物理定律、约束条件等。
数据的不确定性
在实际问题中，数据往往存在不确定性，需要考虑这些不确定性对极值分析的影响。
模型的适用性
在应用极值理论时，需要考虑模型的适用性，确保模型能够准确地反映实际情况。
07
与望
05
利用Taylor公式求解极
方法概述
定义
Taylor公式是用于近似表达一个多元函数在某点附近的行为
的公式。
形式
Taylor公式的一般形式为 f(x)≈f(a)+f'(a)(x−a)+12f''(a) (x−a)2+…+1n!f(n)(a)(x−a)n
+…。
应用
利用Taylor公式，我们可以找到函数在某点的极值。
06
极求解的注事与技巧
常见错误分析
忽视函数的定义域
在求解极值问题时，必须先确定函数的定义域，否则可能导致错误的结论。
对导数的理解不足
导数描述了函数在某一点的切线斜率，若对导数的理解不准确，可能导致错误的极值点判断。
未考虑多极值点的情况
在某些情况下，函数可能有多个极值点，需要全面考虑，避免遗漏。
定义
一元函数在某点的Taylor公式是该函数在该点附近的一个多项式近似表示。
形式
一元函数的Taylor公式的一般形式为 f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + f^(n)(a)(x -a)^n/n! + Rn(x)

§4泰勒公式与极值问题

为使 fx y ( x0, y0 ) f y x ( x0, y0 ) 成立，必须使 (1)、(2)
这两个累次极限相等. 下述定理给出了使 (1) 与 (2)
相等的一个充分条件．
定理 17.7 若 f x y ( x, y) 与 f y x ( x, y) 都在点 ( x0, y0 ) 连续，则
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一切 (0 1), 恒有 P( x1 ( x2 x1), y1 ( y2 y1) ) D.
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D
•
P1 •
•
P2
P D
凸
图 17 - 6
• P2 P D
•
D
P1•
非凸
定理17.8 ( 中值定理 ) 设 f ( x, y) 在凸区域 D R2 上连续, 在 D 的所有内点都可微, 则对 D 内任意两点 P(a,b), Q(a h,b k) int D , (0 1),使得
y s
z y
s
y s
2z x 2z y x z 2x
x2
s
x
y
s
s
x
s2
2z yx
x s
2z y2
y s
y s
z y
2y s2
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2z x 2
2z x y
x2
s
2
xy s s
2z y2
y s
2
z x
2x s2
1 y2
2 f v2
,
2z xy
y
f u
1 y
f v
2 f u 2 f v 1 f
u2
y
uv
y
y2
v
1 y

《泰勒公式》PPT课件

Rn ( x)
M (n 1) !
x x0
n1
二、泰勒定理
f (x)
f (x0 )
f ( x0 )( x
x0)
f ( x0 ) ( x 2!
x0 )2
Hale Waihona Puke f (n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
Rn ( x)
其中
Rn ( x)
f (n1) ( )
( (n 1) !
x
x0
)n1
(
)
(n 1)! (n 1)!
在x与x0之间
二、泰勒定理
若 f (x)在包含 x0的某开区间 (a,b) 内具有
直到 n 1 阶的导数 , 则当 x (a , b) 时, 有
f (x)
f (x0)
f ( x0 )( x
x0)
f ( x0 ) ( x 2!
x0 )2
f (n)( x0 ) ( x n!
如何确定Pn ( x)？——确定系数a0 , a1 , , an
f (k ) ( x0 ) Pn(k ) ( x0 ) (k 0,1, 2, , n)
设
函
数
f
(
x
)在
含
有
x
的
0
开
区
间(
a
,
b
)内
具
有
1至
(
n
1)阶
导
数
f ( x0 ) Pn ( x0 ) a0
f ( x0 ) Pn ( x0 ) a1
x0 )n
Rn ( x)
①
其中
Rn ( x)
f (n1) ( )

泰勒公式ppt课件精选全文完整版

令n=2m，于是有
sin x
x
x3 3!
x5 5!
(1)m1 x2m1 (2m 1)
!
R2m
(
x)
其中 R2m (x)
s(in1()mxcos2(m2x1) ) x2m1 (0 1)
(2m 1) !
精选编辑ppt
18
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类似地,可得
cos x
1 x2 2!
x4 4!
f (k)( x0 )
n!an f (n) ( x0 ). (k 0,1,2,, n)
代入 Pn ( x)中得
Pn ( x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2f(n)( x n!)(x
x0
)n
精选编辑ppt
10
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三、泰勒(Taylor)中值定理
泰勒(Taylor)中值定理如果函数 f ( x) 在含有 x0 的某个开区间(a, b) 内具有直到(n 1) 阶的导数,则
当 x在(a,b)内时, f ( x)可以表示为( x x0 )的一个 n次多项式与一个余项Rn ( x)之和:
f (x)
f ( x0 )
精选编辑ppt
16
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例1:求函数 f (x) ex 的n阶麦克劳林展开式.
解:因为 f'x f''x fn x e x ，
所以 f0 f'0 f''0 fn 0 1 .
故
ex
1 x x2

--泰勒公式与极值问题页课件 (一)

--泰勒公式与极值问题页课件 (一)泰勒公式与极值问题是高等数学中的重要内容，它们分别是函数求导和函数逼近的重要工具。

在数学的各个领域中都有广泛的应用，本文将从以下几个方面进行探讨。

一、泰勒公式泰勒公式是将一个函数表示为无穷阶可导的多项式，从而用一系列简单的函数来逼近原函数，而泰勒公式的基本形式为：$$ f(x)=f(a)+f\prime(a)(x-a)+\frac{1}{2!}f^{\prime\prime}(a)(x-a)^2+\cdots+\frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^n+R_n(x) $$其中$R_n(x)$是余项，表示当x在[a,x]之间时，函数f(x)与其在a点处的$n$阶泰勒多项式之差，可以用拉格朗日余项公式来计算。

使用泰勒公式可以方便地求解函数的导数、高阶导数，也可以用于解决一些复杂的极限问题，因此其在数学和科学中的应用非常广泛。

二、极值问题极值问题是函数研究中的重要方向之一，其主要研究对象是函数的最大值和最小值，通过研究函数的极点、导数等性质来确定其极值。

在求解一元函数的极值问题时，我们需要通过求导的方法来获得该函数的导函数，然后通过求导函数的零点来确定原函数的极值点。

而对于多元函数的极值问题，我们需要通过偏导数的方法来求解，求得函数在某一点的偏导数为0时，则该点为该函数的驻点，通过进一步研究可确定该点的极值。

在实际生活中，极值问题也有着广泛的应用，比如在工程中的优化设计问题中，可以通过求解函数的极值来确定最优解，提高工程的效率和经济效益。

三、泰勒公式与极值问题的应用泰勒公式和极值问题在工程、物理、生物、经济等领域都有着广泛的应用。

比如在金融领域中，我们需要通过泰勒公式来进行股票的预测分析，同时可以通过极值问题来寻找最优的投资方案。

在物理学中，我们需要通过泰勒公式来求解物质运动的轨迹，而极值问题则可以用于求解一些多维度的物理模型，深入研究物理运动的规律。

泰勒公式与极值问题

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f 22 x y
二、中值定理和泰勒公式
凸区域：若区域 D 上任意两点的连线都含于 D 内，则称 D 为凸区域. 若 D 为区域，则对任何 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) D 0 1 恒有 P( x1 , ( x2 x1 ), y1 ( y2 y1 )) D
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r2
注意：多元抽象复合函数的高阶导数在偏微分
方程变形与验证解的问题中经常遇到, 下列几个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
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x z z 例3 设z f ( x , )，求 2 ， . y x xy x 解设 u x , v , 于是 z f (u, v ), y
x x 1 2 f12 3 f 22 2 f 2 y y y
f11 0 f12 1 1 f2 2 ( f 0 f x ) 21 22 y 2 y y
x 2 y
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x u x, v y
例设 2 w . 求 xz 解:
高阶偏导数中值定理和泰勒公式
极值问题
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一、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
若这两个偏导函数仍存在偏导数，四个二阶偏导数:
z f x ( x, y) , x
z f y ( x, y) y
则称它们是
z = f ( x , y )的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列
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高中数学(人教版)泰勒公式课件PPT课件演示文稿

第22页，共27页。
例1 计算无理数的近似值,使其误差不超过
例2 在区间
上用近似公式
计算Байду номын сангаас
当用下列各式计算时,欲使误差小于0.001，
A可取多大？ (1)
y
x
x3 3!
4 yx
2
y
x
x3 3!
x5 5!
(2)
6 4 2 024 6
(3)
2
4
第23页，共27页。
三、泰勒公式的应用
(一) 近似计算
(二) 求极限 (三) 其它应用
x0 )n2
用洛必达
Rn( x0 ) 0
lim
R(n1) n
(
x)
xx0 n!( x x0 )
法
则
R(n1) n
(
x0
)
0
1 lim
n! x x0
R(n1) n
(
x)
R(n1) n
(
x0
)
x x0
1 n!
R(n) n
(
x0
)
0
第7页，共27页。
➢ 泰勒(Taylor)中值定理1
如果函数
(1在x0与x 之间)
用柯
Rn (1 ) Rn ( x0 ) (n 1)(1 x0 )n 0
(n
Rn(2 ) 1)n(2
x0
)n1
西中值
( 2在x0与1之间)
定理
R(n) n
(n
)
Rn( n )
(
x0
)
(n 1)2(n x0 ) 0
R(n1) n
(
)
(n 1) !

高等数学3(6)泰勒公式课件

)
(
x
x00
)n
f (n1) ( )
(n 1)!
(
x
x00
)n1
n阶泰勒公式 (在x0与x之间).
(5)在泰勒公式中, 若x0 0, 则介于0, x之间,故
可表为 x (0 1),这时的泰勒公式,即
按x的幂(在零点)展开的泰勒公式称为: 麦克劳林(Maclaurin,C.(英)1698-1746)公式
f (n1) ( )
(n 1)!
得
Rn ( x)
(x)
Rn(n) (n ) (n) (n )
R(n) n
(
n
(n) (n
) )
R(n) n
(
x0
)
(n)( x0 )
R(n1) n
(
)
(n1) ( )
(在x0与 n之间也在x0与x之间)
注意到
R ( n 1) n
(
x)
f
(n1) (x), (n1) (x) (n 1)!
注意:
Pn(k )( x0 ) f (k )( x0 )
11
泰勒公式
下面给出带皮亚诺(Peano)余项的泰勒公式. 定理1 (带皮亚诺(Peano)余项的泰勒公式) 设
1函数f (x)在x0点的某个邻域O x0 内有定义;
2 在此邻域内f (x)有直到n 1阶导数;
3 f n (x0)存在. 称为f ( x)按( x x0 )的幂展开的
应用
理论分析近似计算
特点(1)易计算函数值;
(2)导数与积分仍为多项式;
(3)多项式由它的系数完全确定, 而其系数
又由它在一点的函数值及导数值确定.
用怎样的多项式去逼近给定的函数

§17.4泰勒公式与极值问题

17.4 泰勒公式与极值问题
目录
• 泰勒公式的定义与性质 • 泰勒公式在极值问题中的应用 • 泰勒公式的扩展与推广 • 极值问题的实际应用 • 极值问题的求解方法总结
01
泰勒公式的定义与性质
泰勒公式的定义
泰勒公式
一个在数学分析中常用的工具，用于将一个函数展开成无穷级数。具体来说，对于一个在某点处具有n阶导数的函数f(x)，泰勒公式可以在该点的某个邻域内将f(x)表示为f(0)与该点处的前n阶导数和x的幂次的乘积之和。
弦截法
通过不断调整弦的长度和角度，逼近极值点，最终得到极值点的近似值。
符号求解方法
符号计算
利用符号计算软件（如 Mathematica、Maple等），对函数进行符号化处理，直接得到极值点的精确解。
泰勒展开
利用泰勒公式将函数展开成多项式形式，通过比较各项系数，确定极值点的位置和大小。
THANKS FOR WATCHING
泰勒公式的复数形式
复数泰勒公式
将实数域上的泰勒公式扩展到复数域，利用复数的共轭和乘法运算规则，对复数函数进行泰勒展开。
复数泰勒公式的应用
在复变函数、量子力学、信号处理等领域有重要应用，为研究复数函数的性质和行为提供了理论基础。
泰勒公式的近似计算方法
பைடு நூலகம்截断误差
在泰勒展开中，由于高阶项的省略，会产生截断误差，影响近似
供需平衡
在经济学中，供需关系是决定市场价格的重要因素。通过极值分析，可以确定在一定价格水平下，需求和供给的最大或最小值，从而预测市场价格的走势。
工程学中的极值问题
结构设计
在工程学中，结构设计需要考虑各种载荷和应力分布。极值分析可以用来确定结构在不同载荷下的最大和最小应力，以确保结构的安全性和稳定性。

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