泰勒公式与极值问题.

§ 4 Taylor 公式和极值问题(一) 教学目的：掌握二元函数的高阶偏导数与泰勒公式的定义，掌握二元函数的极值的必要条件与充分条件． (二) 教学内容：二元函数的高阶偏导数；中值定理与泰勒公式；二元函数的极值的必要条件与充分条件． 基本要求：(1)掌握二元函数的高阶偏导数与泰勒公式的定义，能够根据二元函数的极值的必要条件与充分条件寻找二元函数的极值与最大(小)值．(2) 较高要求：掌握混合偏导数与求导次序无关的定理的证明以及二元函数的极值的必要条件充分条件定理的证明．(三) 教学建议：(1) 布置适量的求二元函数的高阶偏导数和求二元函数的极值与最值的习题． (2) 讨论混合偏导和与求导次序无关的多种定理证明的习题有一定的难度，只对较好学生布置有关习题．————————————————————一． 高阶偏导数:1. 高阶偏导数的定义、记法：例9 ,2yx ez += 求二阶偏导数和23xy z ∂∂∂.例10 xy arctg z =. 求二阶偏导数.上面两个例子中，关于y x 和,的不同顺序的两个二阶偏导数都相等，，但是这个结论并不对任何函数都成立，例如⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(2222y x y x yx yx xy y x f ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-+=)0,0(),(,0)0,0(),(,)(4(),(2224224y x y x y x y y x x y y x f x⎪⎩⎪⎨⎧=≠+--=)0,0(),(,0)0,0(),(,)(4(),(2224224y x y x y x y y x x x y x f y1lim)0,0(),0(lim)0,0(00-=∆∆-=∆-∆=→∆→∆yy yf y f f y x x y xy1lim)0,0()0,(lim)0,0(0=∆∆=∆-∆=→∆→∆xx xf x f f y y y x yx由此可知，),(y x f 关于y x 和,的不同顺序的两个二阶混合偏导数与求次序有关。

浅谈泰勒公式及其应用摘要：大学泰勒公式在数学分析中是极其重要的公式，并且在经济领域中也占有一席之地。

泰勒公式是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，在近似计算上有着独特的优势，在微积分的各个方面有着重要的应用。

本文主要对泰勒公式在求极限、估计误差、证明求解积分、经济学计算等几个方面的应用给予举例说明进行研究。

关键词：泰勒公式 求极限 不等式 行列式泰勒公式的应用1、利用泰勒公式求极限对于待定型的极限问题，一般可以采用洛比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具。

利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项。

当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限。

例1 求2240cos limx x x e x -→-分析：此题分母为4x ，如果用洛比达法则，需连用4次，比较麻烦.而用带佩亚诺余项的泰勒公式解求较简单。

解： 因为2211()2!x e x x o x =+++ 将x 换成22x -有222222211()()(())22!22x x x x eo -=+-+-+-又244cos 1()2!4!x x x o x =-++所以 24442111cos ()()()2484x x ex o x o x --=-+-441()12x o x =-+ 故2442441()cos 112limlim 12x x x x o x x e x x -→∞→∞-+-==- 例2 求极限2240cos limsin x x x ex-→-解： 因为分母的次数为4，所以只要把cos x ，22x e -展开到x 的4次幂即可。

24411cos 1()2!4!x x x o x =-++ 22224211()()22!2x x x eo x -=-+-+故 2240cos limsin x x x e x-→-444011()()4!8lim x x o x x →-+=112=-带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具 ,运用得当会使求函数的极限变得十分简单。

泰勒公式与函数极值——极值判定的充分条件泰勒公式是利用多项式函数在某一点处的极限，展开它(函数)成无穷多个加和，使得函数值在这一点变得更加精确，或让这一点附近的计算更加容易，从而计算出更接近函数真实值的近似值。

泰勒公式是在多项式函数中提出来的极大极小值判定的一种常用充分条件。

一、泰勒公式泰勒公式通常用来计算多项式函数在某一特定点处的极限值，也可以用来估计函数的值。

它由物理学家、数学家泰勒提出，展开它一般有两种形式，即展开到第n项，前n项和后n项各自构成一种展开形式。

1. 展开到第n项：f(x)=f(a)+[f'(a)](x-a)+[f”(a)]/2!(x-a)2+……+[f(n)(a)]/n!(x-a)n。

2. 前n项展开：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f"/2!(x-a)2+……+f(n)(a)(x-a)n-o(x-a)n+1。

二、极值判定的充分条件极值判定的充分条件是当函数的一阶导数或二阶导数等于零时，函数就可能有极值。

根据极值的定义，可以得出三类极值判定充要条件:1. 一阶导数判定：f′(x)=0或无限大无限小，则此点可能是极大值点，或者极小值点。

2. 二阶导数判定：当二阶导数f″(x)存在，若此点是极大值点，则f″(x)<0，反之，若此点是极小值点，则f″(x)>0。

3. 三阶导数判定：当函数的三阶导数f‴(x)存在，若此点是极大值点，则f‴(x)>0；反之，若此点是极小值点，则f‴(x)<0。

总结：1. 泰勒公式是一种可以解决多项式函数某一特定点处极限值的计算方法，展开形式有展开到第n项和前n项展开两种形式。

2. 极值判定的充分条件是函数的一阶导数或双阶导数等于零时，函数就可能有极值，根据此定义，可以得出判定极值的一阶，二阶及三阶导数判定条件。

第三节 泰勒定理，函数极值判定§3.1 泰勒定理当一个函数给出了具体表达式后，有的函数值并不是很容易计算，例如f(x)＝e x，f(0.312)＝e0^312，若用十进制表示，如果不借助计算器或查表是很难计算出来的。

如何解决这一难题，多项式函数是各类函数中最简单的一种，因为它只需用到四则运算，从而使我们想到能否用多项式近似表达一般函数，实际上这是近似计算与理论分析的一个重要内容。

若函数为n 次多项式f(x)＝a ０+a 1（x-x ０）＋a ２（x-x０）２＋……＋a n (x-x ０)n (1) 逐次求它在x=x ０处的各阶导数，有f(x ０)＝a ０，f ′（x ０）＝a １，f ″（x ０）＝2!，a２，……，f(n) (x ０)＝n!a n即 a ０＝f(x ０)，a １＝f ′（x ０），a ２＝!2)x ("f 0……，a n ＝!n )x (f 0)n ( 因而(1)式可写为f(x)=f(x ０)+f ′（x ０）（x －x ０）＋!2)x ("f 0 (x －x ０)２＋……＋!n )x (f 0)n ( (x －x ０)n(2)所以多项式f(x)的各项系数由其各阶导数值唯一确定对一般函数f(x)，若存在直到n 阶导数，则按(2)式右端也可以相应地写出一个多项式，记作P n (x)，则P n (x)＝f(x ０)＋!1)x ('f 0 (x-x ０)＋!2)x ("f 0 (x-x ０)２＋……＋!n )x (f 0)n ( (x-x ０)n那么f(x)与P n (x)之间有什么关系呢， 由拉格朗日定理知，若f(x)在x ０的邻域内存在一阶导数，则f(x)－f(x ０)＝f ′(ζ)(x －x ０) 即 f(x)＝f(x ０)＋f ′（ζ）(x －x ０) 若f(x)在x ０的邻域内存在n+1阶导数，则 f(x)=P n (x)＋Ｋ（x －x ０）n ＋１ k 与f（n+1）（ζ）有关，因此，我们猜想f(x)=P n (x)＋)!1n ()(f )1n (+ξ+ (x-x ０)n+1因此，有定理(泰勒( Taloyr )定理) 设函数f(x)在区间X 上存在n ＋1阶导数，对每一个x ０∈X ，则任给x ∈X,有f(x)＝P n (x)＋)!1n ()(f )1n (+ξ+ (x －x ０)n＝f(x ０)＋f ′（x ０）（x －x ０）＋!2)x ("f 0 (x －x０)２＋……＋!n )x (f 0)n ( (x －x ０)n ＋)!1n ()(f )1n (+ξ+ (x-x ０)n (1)ζ介与x ０，x 之间的某一点。

泰勒公式极限泰勒公式极限数学中，泰勒公式是一种重要的公式，在微积分和数学分析中被广泛地应用。

其本质是利用函数在某个点的各阶导数与函数在该点的极限值之间的关系，来近似表示函数在该点附近的值。

而泰勒公式的极限是一个有趣的话题。

泰勒公式的类型泰勒公式分为多项式型和幂级数型两种类型。

多项式型泰勒公式是指用n 阶多项式近似表示函数的值，具体表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x-a)ⁿ/n!。

当 n 取值较大时，该近似表示的精度越高。

而一阶泰勒公式时，相当于是对函数做一次线性近似。

幂级数型泰勒公式是指利用某个点的无限阶导数来表示函数的无限项幂级数。

在数学分析中，幂级数是一种连续的函数。

具体的幂级数公式为：f(x) = Σf⁽ⁿ⁾(a)(x-a)ⁿ/n!。

泰勒公式的极限极限是微积分的一个关键概念，泰勒公式的极限即为函数在某个点处的极限值。

当在某个点a 处用多项式或幂级数来近似表示函数f(x) 时，通过取极限可以得到函数在该点a 的精确值。

对于多项式型泰勒公式，当 n 取无穷大时，其极限即为 f(a)。

而对于幂级数型泰勒公式，在无限项求和的情况下，如果幂级数在某个范围内收敛，那么极限即为函数在该点的值。

泰勒公式的应用泰勒公式是微积分和数学分析的重要工具，并且在理论和实际应用中都有广泛的用途，如：1. 极值问题：通过泰勒公式，可以求得函数在某个点的各阶导数，进而计算函数在该点处的极值。

2. 近似计算：利用泰勒公式，可以将函数在某个点处的值近似为一阶或多阶导数的线性组合。

3. 系数计算：幂级数型泰勒公式将函数展开成无限项幂级数，提供了一种求函数系数的重要方法。

4. 函数逼近：泰勒公式可以在不需要求解函数在某个点的极限值的情况下，通过对各项导数的计算，逼近函数在该点的值。

总结泰勒公式是微积分和数学分析的重要工具，其极限是近似表示函数在某个点的精确值。

《高等数学》课程中泰勒公式的应用泰勒公式是高等数学中一个非常重要的数学工具，它是数学中用来近似计算的一种方法。

泰勒公式的应用涉及到很多方面，下面将讨论一些常见的应用。

1. 函数的近似计算：泰勒公式可以用来对函数进行近似计算，在给定的点附近用一个多项式来近似表示函数的值。

我们可以用泰勒公式来近似计算三角函数、指数函数等复杂函数在某个点的值，从而在数值计算时得到较为准确的结果。

2. 极值问题：泰勒公式可以用来解决极值问题。

对于一个函数，在极值点附近，其函数值相对于极值点的位置是一个关键因素。

通过泰勒公式，我们可以计算函数在极值点附近的表现，从而判断函数在极值点附近的走势。

3. 曲线拟合：泰勒公式可以用来进行曲线拟合。

当我们有一些离散的数据点，想要找到一个函数曲线来拟合这些点时，可以利用泰勒公式来实现。

通过构建泰勒多项式，我们可以将一条曲线与离散数据点进行匹配，从而达到拟合的效果。

4. 数值逼近：泰勒公式可以用来进行数值逼近。

当一个函数在某个点的导数很难计算时，可以利用泰勒公式来逼近这个导数的值。

将泰勒公式展开到适当的阶数，可以得到一个近似值，用来代替实际值进行计算。

5. 工程应用：泰勒公式在工程中有很多实际应用。

在电子电路中，可以利用泰勒公式对电路中的信号进行近似计算，从而优化电路的设计。

在材料力学中，可以利用泰勒公式进行应力分析和变形分析，从而提高材料的性能和使用效果。

泰勒公式作为数学中的一种重要工具，广泛应用于各个领域。

通过泰勒公式，我们可以对复杂的函数进行近似计算，解决一些数值计算中的难题，同时还可以优化工程设计和提高产品性能。

了解和掌握泰勒公式的应用是非常有意义的。

§4 泰勒公式与极值问题教学目的 掌握二元函数的高阶偏导数与泰勒公式的定义，掌握二元函数的极值的必要条件与充分条件．教学要求(1)掌握二元函数的高阶偏导数与泰勒公式的定义，能够根据二元函数的极值的必要条件与充分条件寻找二元函数的极值与最大(小)值．(2)掌握混合偏导数与求导次序无关的定理的证明以及二元函数的极值的必要条件充分条件定理的证明．教学建议(1) 布置适量的求二元函数的高阶偏导数和求二元函数的极值与最值的习题．(2) 讨论混合偏导和与求导次序无关的多种定理证明的习题有一定的难度，只对较好学生布置有关习题．教学程序一、中值定理：定理 设二元函数f 在凸区域D 2R ⊂上连续 , 在D 的所有内点处可微 . 则对D 内任意两点int ) , ( , ),(∈++k b h a Q b a P D , 存在) 10 ( <<θθ, 使 k k b h a f h k b h a f b a f k b h a f x ) , () , (),() , (θθθθ+++++=-++.证: 令()( , ) , t f a th b tk Φ=++然后利用一元函数的中值定理.推论 若函数f 在区域D 上存在偏导数 , 且x f ≡y f ≡0, 则f 是D 上的常值函数.二、 Taylor 公式:定理 (Taylor 公式) 若函数f 在点),(000y x P 的某邻域)(0P 内有直到1+n 阶连续偏导数 , 则对)(0P 内任一点) , (00k y h x ++,存在相应的) 1 , 0(∈θ, 使∑=+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=++n i n i k y h x f y k x h n y x f y k x h i k y h x f 00010000). , ()!1(1),(!1 ) , (θθ证 略例1 求函数y x y x f =),(在点) 4 , 1 (的Taylor 公式 ( 到二阶为止 ) . 并用它计算 .) 08.1 (96.3三、 极值问题:（一）、极值的定义: 注意只在内点定义极值.（二）、极值的必要条件：与一元函数比较 .定理 设0P 为函数)(P f 的极值点 . 则当)(0P f x 和存在时 , 有)(0P f x =)(0P f y 0=. ( 证 )函数的驻点、不可导点 ， 函数的可疑点 .（三）、极值的充分条件:代数准备: 给出二元( 实 )二次型 222),(cy bxy ax y x g ++=. 其矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b b a .1 ),(y x g 是正定的,⇔ 顺序主子式全0 >,),(y x g 是半正定的,⇔ 顺序主子式全 0 ≥;2 ),(y x g 是负定的,⇔ 0||) 1(1>-k ij k a , 其中k ij a 1||为k 阶顺序主子式. ),(y x g 是半负定的, ⇔ 0||) 1(1≥-k ij k a .3 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b b a < 0时, ),(y x g 是不定的.充分条件的讨论 设函数),(y x f 在点),(000y x P 某邻域有二阶连续偏导数 . 由Taylor 公式 , 有)()(!21)(),() , (20200000ρ +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=-++P f y k x h P f y k x h y x f k y h x f=)(0P f x h +)(0P f y k + [])()()(2)(!21220020ρ +++k P f hk P f h P f yy xy xx . 令 )(0P f A xx = , )(0P f B xy =, )(0P f C yy =, 则当0P 为驻点时, 有[])(221),() , (2220000ρ +++=-++Ck Bhk Ah y x f k y h x f . 其中22k h +=ρ. 可见式),() , (0000y x f k y h x f -++的符号由二次型222Ck Bhk Ah ++完全决定.称该二次型的矩阵为函数),(y x f 的Hesse 矩阵. 于是由上述代数准备, 有1 0 , 02>->B AC A , 0 P ⇒为 ( 严格 ) 极小值点 ;2 0 , 02>-<B AC A , 0 P ⇒为 ( 严格 ) 极大值点 ;3 0 2<-B AC 时, 0P 不是极值点;4 0 2=-B AC 时, 0P 可能是极值点 , 也可能不是极值点 .综上 , 有以下定理 :定理 设函数)(P f 在点0P 的某邻域内有连续的二阶偏导数 , 0P 是驻点 . 则1 ()0)( , 0)(020>->P f f f P f xy yy xx xx 时 , 0P 为极小值点;2 ()0)( , 0)(020>-<P f f f P f xy yy xx xx 时 , 0P 为极大值点;3 ()0)( 02<-P f f f xy yy xx 时 , 0P 不是极值点;4 ()0)( 02=-P f f f xy yy xx 时 , 0P 可能是极值点 , 也可能不是极值点 .四、 函数的最值：例8 求函数),(y x f y x y xy x 4102422+--+=在域D = } 4 , 0 , 0 |),( {≤+≥≥y x y x y x 上的最值 .解 令 ⎩⎨⎧=+-==-+=.04 44),(,01042),(y x y x f y x y x f y x 解得驻点为) 2 , 1 (. 1) 2 , 1 (-=f .在边界) 40 ( 0≤≤=y x 上 , y y y f 42),0(2+-=, 驻点为1=y ,2)1,0(=f ;在边界) 40 ( 0≤≤=x y 上 , x x x f 10)0,(2-=, 没有驻点; 在边界) 40 ( 4≤≤-=x x y 上 , 16185)4 , (2-+-=-x x x x f , 驻点为8.1=x , 2.0)8.14 , 8.1(=-f .又24)0,4( , 16)4,0( , 0)0,0(-=-==f f f .于是 , ==)}0,4( , )4,0( , )0,0( , )2.2 , 8.1( , )1,0( , )2,1(max{),(max f f f f f f y x f D2.0} 24 , 16 , 0 , 2.0 , 2 , 1 max{=---=. ),(min y x f D24} 24 , 16 , 0 , 2.0 , 2 , 1 min{-=---=. 作业 教材P140-141:1-11。

泰勒公式在极值点偏移问题中的应用已知函数y=f(x)是连续的函数，f(x)在区间(x1,x2)内只有一个极值点x0，且f(x1)=f(x2)，由于函数在极值点左右两边的增减速度不同，函数的图像会呈现不对称性，即极值点x0≠(x1+x2)/2。

直接上题目我们已知f(x)如下，并且已经知道有两个零点，且x1<x2。

如何证明两个零点和小于0呢？f(x)=e e−x+b (b<−1)f(x)=ex−x+b(b<−1)首先分析一下为什么要证明他小于0。

我们对f(x)，进行求导，不难发现，x=0是导数的驻点，同时也是原函数的极值点。

所以这道题目的本质就是一道极值点偏移问题，求证x1+x2<2x0，而正好极值点x0=0，所以这道问题的本质就这样被我们发现了。

如何去做？方法很多，常规方法太繁琐。

先说一个容易理解和解释的方法。

我们要证明x1+x2<0，即转换为求证x1<-x2，我们不难发现，x1和-x2都应该在y轴的左边，而左边则是函数递减区间。

那我们可以转换证明f(x1)>f(-x2)我们又知道f(x1)=f(x2)，因为他们都是函数的零点。

所以再次转换为f(x2)-f(-x2)>0，这时候我们的方向已经很清晰了。

构建函数g(x)=f(x)-f(-x)可得，g(x)=e e−e−e−2x g(x)=ex−e−x−2x求导微分可得，e′(x)=e e+e−e−2g′(x)=ex+e−x−2根据均值不等式可以很快算出g’(x)≥0得g(x)在(0,+∞)上递增。

最小值就是g(x)min=g(0)=0，可得f(x2)>f(-x2)，此时我们已经证明结束了。

这个方法类似于构造准对称来证明，那么我们有没有办法直接改变一个对称函数呢？泰勒公式在极值点偏移问题中的应用 12最在行e e=1+x+e22!+e33!+⋯+e en!ex=1+x+2!x2+3!x3+⋯+n!xn这是我们这题使用的泰勒公式在极值点偏移问题中的应用12，别看它已经扩展到N级数，但是我们只需要下面这个。

8.4 泰勒公式与极值一 教学目的与要求１、了解二元函数的泰勒公式、二元函数的极值的求法 ２、熟练掌握高阶偏导数的求法 ３、掌握二元函数极值的判定方法 二 重点与难点偏导数与全微分及复合函数偏导数与全微分的求法三 教学过程8.4.1 高阶偏导数由于函数(,)z f x y =的偏导数'(,)x f x y 、'(,)y f x y 仍然是自变量x 与y 的函数.如果它们关于x 与y 的偏导数也存在,则称它们的偏导数是函数(,)z f x y =的二阶偏导数.二元函数的二阶偏导数有如下四种情形2''''2(,)x x x x z z f x y z x x x∂∂∂⎛⎫=== ⎪∂∂∂⎝⎭ 2''''(,)xy xy z z f x y z y x x y∂∂∂⎛⎫=== ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 2''''(,)yx yx z z f x y z x y y x⎛⎫∂∂∂=== ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 2''''2(,)yy yy z z f x y z y y y⎛⎫∂∂∂=== ⎪∂∂∂⎝⎭ 其中''(,)xy f x y 和''(,)yx f x y 称为二阶混合偏导数.同样,假如这四个二阶偏导数又有对x 与y 的偏导数,这种二阶偏导数的偏导数就叫做函数(,)z f x y =的三阶偏导数.三阶偏导数的符号与而界二阶偏导数的符号类似,例如:用3z x y z∂∂∂∂或'''(,)xyx f x y 或'''xyx z 来表示2z x x y ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂∂⎝⎭用32z x y ∂∂∂或2'''(,)x y f x y 或2'''x y z 来表示22z y x ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂⎝⎭用33z x∂∂或3'''(,)x f x y 或3'''x z 来表示22z x x ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂⎝⎭等共有八种情形.依次类推,函数(,)z f x y =的1n -阶偏导数的偏导数称为函数(,)z f x y =的n 阶偏导数,共有2n 种情形.二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数,其中既有关于x 又有关于y 的高阶偏导数称为高阶混合偏导数.[例 4.1] 求函数222273z x y xy y =-+-的二阶偏导数. [解]322222347zzxy y x y xy x y∂∂=-=-+∂∂ 22322264z zy xy y x x y∂∂==-∂∂∂ 222226464zz xy y x y x y xy∂∂=-=-∂∂∂ [例 4.2] 求arctanyz x=的二阶偏导数. [解]2222z y z xx x y y x y ∂∂=-=∂+∂+ 22222222()z y xyx x x y x y ⎛⎫∂∂=-= ⎪∂∂++⎝⎭ 22222222()z yx y x y y x y x y ⎛⎫∂∂-=-=- ⎪∂∂∂++⎝⎭22222222()z xx y y x x x y x y ⎛⎫∂∂-==- ⎪∂∂∂++⎝⎭22222222()z x xyy y x y x y ⎛⎫∂∂==- ⎪∂∂++⎝⎭ 上述两例中,二阶混合偏导数2z x y ∂∂∂与2zy x∂∂∂都是相等的,这种现象的发生并非偶然,而是许多函数都具有的性质.但这个结论并不对任何函数都成立.例如,函数222222220(,)00x y xy x y x yf x y x y ⎧-+≠⎪+=⎨⎪+=⎩它的一阶偏导数为422422222'22(4)0()(,)00x y x x y y x y x y f x y x y ⎧+-+≠⎪+=⎨⎪+=⎩422422222'22(4)0()(,)00y x x x y y x y x y f x y x y ⎧--+≠⎪+=⎨⎪+=⎩于是''''00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1x x xyy y f y f yf y y∆→∆→∆--∆===-∆∆''''00(0,)(0,0)(0,0)limlim1y y yx x x f x f xf xx∆→∆→∆-∆===∆∆这说明(,)f x y 在点(0,0)处的两个二阶混合偏导数与求导顺序有关.那么在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢?下面从偏导数定义出发分析这个问题.因 '0(,)(,)(,)l i m x x f x x y f x y f x y x∆→+∆-=∆所以有''''0000000(,)(,)(,)lim x x xyy f x y y f x y f x y y∆→+∆-==∆00000000000(,)(,)1lim[lim (,)(,)lim ]y x x f x x y y f x y y y xf x x y f x y x∆→∆→∆→+∆+∆-+∆-∆∆+∆-=∆00000000001lim lim[(,)(,)(,)(,)]y x f x x y y f x y y x y f x x y f x y ∆→∆→+∆+∆-+∆-∆∆+∆-同理有''0000000000001(,)lim lim[(,)(,)(,)(,)]yx x y f x y f x x y y f x y y x y f x x y f x y ∆→∆→=+∆+∆-+∆-∆∆+∆+ 因此, ''''0000(,)(,)xy yx f x y f x y =成立,实质上是上述两个二次极限相等.[定理 4.1] 若函数(,)f x y 在点000(,)P x y 的邻域0()U P 存在二阶混合偏导数''''0000(,)(,)xy yx f x y f x y 与,并且它们在的000(,)P x y 处连续,则''''0000(,)(,)x y y x f x y f x y =[证] 当||x ∆与||y ∆充分小时, 000(,)()x x y y U P +∆+∆∈,于是00(,)x x y +∆与000(,)()x y y U P +∆∈.设0000000(,)(,)(,)(,)(,)x y f x x y y f x y y f x x y f x y ϕ∆∆=+∆+∆-+∆-+∆+ 00()(,)(,)g x f x y y f x y =+∆- 则有00(,)()()x y g x x g x ϕ∆∆=+∆-易知()g x 在以000x x x +∆与为端点的区间可导,由拉格朗日中值定理,有'01(,)()x y g x x x ϕθ∆∆=+∆∆=''010010[(,)(,)]x x f x x y y f x x y x θθ+∆+∆-+∆∆ 1(01)θ<< 已知''(,)xy f x y 在0()U P 存在,故对以y 为自变量的函数'01(,)x f x x y θ+∆应用拉格朗日中值定理,有''010212(,)(,)(0,1)xy x y f x x y y x yϕθθθθ∆∆=+∆+∆∆∆<<再令 00()(,)(,)h y f x x y f x y =+∆- 则有 00(,)()()x y h y y h y ϕ∆∆=+∆-用前面同样的方法,可得''030434(,)(,)(0,1)yx x y f x x y y x yϕθθθθ∆∆=+∆+∆∆∆<<于是,当x ∆、y ∆不为零时,可得''''010203041234(,)(,)(0,,,1)x y y x f x x y y f x x y yθθθθθθθθ+∆+∆=+∆+∆<<已知''(,)xy f x y 与''(,)yx f x y 在点000(,)P x y 连续,故当0x ∆→、0y ∆→时,有 ''''0000(,)(,)xy yx f x y f x y =定理4.1的结论可推广到n 元函数的高阶混合偏导数上去.例如三元函数(,,)f x y z 关于,,x y z 的四阶混合偏导数42f x y z ∂∂∂∂与4fz x y x∂∂∂∂∂,如果它们连续则相等.若二元函数(,)f x y 在点(,)x y 存在直到n 阶的连续混合偏导数,则函数(,)f x y 的n 阶偏导数与求导顺序无关,都可化成(0,1,2,,)n i n ifi n x y -∂=∂∂ 的形式,这样n 阶偏导数只有1n +个了.[例 4.3] 设(,),()z F x y y x ϕ==,其中F 、ϕ都有二阶连续偏导数. [解] 由全导数公式,有'''(,)(,)()x y dzF x y F x y x dxϕ=+ 注意到'(,)x F x y 、'(,)y F x y 仍是x 、y 的二元函数,再由全导数公式,得2'''''2(,)(,)()xx xy d z F x y F x y x dxϕ=++ '''''''''[(,)(,)()]()(,)()y x y y y F x y F x y x x F x y x ϕϕϕ++= ''''''''2''(,)2(,)()(,)(())(,)()x x x y y yy F x y F x y x F x y x F x y x ϕϕϕ+++ [例 4.4] 设f 具有二阶连续偏导数,求导数(,)xu f x y=的二阶偏导数.[解] 用1、2来标记f 的两个量'''122211u u f f f x yy y ⎛⎫∂∂=+=- ⎪∂∂⎝⎭所以 2''''''''111221222''''''111222211121u f f f f x y y yf f f y y⎛⎫∂=+++=⎪∂⎝⎭++ 2'''''1222222211u x x f f f x y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂=-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭'''''122222321x x f f f y y y--- 2222''''''2222222234322u x x x x f f f f y y y y y ⎛⎫⎛⎫∂=-+=+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭[例 4.5] 设(,)f x y 和(,),(,)x u v y u v ϕψ==都有连续的二阶偏导数,且x y 和满足,(4.1)x y x y u v v u∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 求证 2222222222f f f fx x u v xy u v ⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫+=++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦[证] 由复合函数求导法得 f f x f yu x u y u∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ 所以2222222f f x x f x f y u x u u x u x y u ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂=+++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 22222f y y f x f y y u u y x u y u ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂++= ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭2222222f x f x f x y x u x u x y u u ∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫+++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭22222(4.2)f y f y y u y u ∂∂∂∂⎛⎫+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭同样有 22222222222222f f x fx f x fx f x y v x v xv x ux u x y v v ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭22222(4.3)f y fy y v y v ∂∂∂∂⎛⎫+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭又式（4.1）222222x yx yu v u v u v ∂∂∂∂==-∂∂∂∂∂∂ 222222y xy xu v u v u v∂∂∂∂=-=∂∂∂∂∂∂ 0x y x yu u v v∂∂∂∂⋅+⋅=∂∂∂∂ 代入(4.2)、(4.3)两式,并把两式相加,得到2222222222f f f y y fx x u v x v u u v x u v ⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫+=-+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 222222f y y fy y y v u u v yu v ⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫-+++=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦22222222fx x f y y x u v yu v ⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦又式(4.2)又有2222y y x x u v u v ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以有2222222222f f f f x x u v x y u v ⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫+=++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦8.4.2 二元函数的泰勒公式用多元多项式逼近已知多元函数的问题在理论和应用上都是重要的.为简便起见,仅就二元函数的情况进行讨论.[定理 4.2] 若函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某邻域0()U P 内有1n +阶连续的偏导数,点000(,)()x h y k U P ++∈,则有 000000(,)(,)(,)f x h y k f x y h k f x y x y ⎛⎫∂∂++=+++ ⎪∂∂⎝⎭2000011(,)(,)2!!nn h k f x y h k f x y R x y n x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂+++++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭（4.4） 其中00000(,)(,)mn mii m i m i m i i hk f x y C f x y h k xy x y --=⎛⎫∂∂∂+= ⎪∂∂∂∂⎝⎭∑,n R 称为余项 1001(,)(01)(1)!n n R h k f x h y k n x y θθθ+⎛⎫∂∂=+++<< ⎪+∂∂⎝⎭令1t =,得()(1)2(0)(0)()(1)(0)(0)2!!(1)!n n n t t t n n ϕϕϕθϕϕϕ+''=++++++注意0000(1)(,),(0)(,)f x h y k f x y ϕϕ=++=,由复合导数链导法,则有''000000(0)(,)(,)(,)x y f x y h f x y k hk f x y xy ϕ⎛⎫∂∂'=+=+ ⎪∂∂⎝⎭''2''''2000000200(0)(,)2(,)(,)(,)xx xy yy f x y h f x y hk f x y k h k f x y xy ϕ''=++=⎛⎫∂∂+ ⎪∂∂⎝⎭()00(0)(,)nn h k f x y x y ϕ⎛⎫∂∂=+ ⎪∂∂⎝⎭1(1)00()(,)n n h k f x h y k xy ϕθθθ++⎛⎫∂∂=+++ ⎪∂∂⎝⎭将上述结果代入(1)ϕ的展开式中,就得到二元函数(,)f x y 在点000(,)P x y 的泰勒公式(4.4). 在泰勒公式(4.4)中,令000,0x y ==,就得到二元函数(,)f x y 的马克劳林公式(将h 与k 分别用x 与y 表示)(,)f x y =1(0,0)(0,0)1!f x y f x y ⎛⎫∂∂+++ ⎪∂∂⎝⎭11(0,0)(0,0)2!!nx y f x y f x y n x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂+++++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 11(,)(01)(1)!n x y f x y n x y θθθ+⎛⎫∂∂+<< ⎪+∂∂⎝⎭在泰勒公式(4.4)中,令0n =,有0000(,)(,)f x h y k f x y ++-=''0000(,)(,)(01)x y f x h y k h f x h y k kθθθθθ++-++<<称为二元函数的中值公式.[例 4.6] 将函数(,)x y f x y e +=展成马克劳林公式.[解] 函数(,)x y f x y e +=在2R 存在任意阶连续偏导数,其m 阶偏导数为()(0,0)10,1,2,,m mx y i m i i m ife f i m x yx y +--∂∂===∂∂∂∂将它们代入马克劳林公式得 ()2111()()()2!!x y n ex y x y x y n +=++++++++1()1()(01)(1)!n x y x y e n θθ+++<<+[例 4.7] 设(,)y f x y x =,在点(1,4)附近寻找一个x 、y 的二次多项式来逼近(,)f x y ，并用它计算 3.96(1.08)。