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§ 4泰勒公式与极值问题教学计划：6课时.教学目的：让学生掌握多元函数高阶偏导数的求法；二元函数的中值定理和泰勒公式；二 元函数取极值的必要和充分条件.教学重点：高阶偏导数、泰勒公式和极值的判定条件.教学难点：复合函数高阶偏导数的求法；二元函数的泰勒公式. 教学方法：讲授法. 教学步骤： 一 高阶偏导数由于z = f(x, y)的偏导函数f x (x, y), f y (x, y)仍然是自变量x 与y 的函数，如果它们 关于x 与y 的偏导数也存在，则说函数f 具有二阶偏导数，二元函数的二阶偏导数有如下四种情形：.:x : yfy ；：x但这个结论并不对任何函数都成立，例如函数22 x - y22xy 飞 2，x y - 0, x y0,x 2 +y 2 =0.它的一阶偏导数为y(x 4 +4x 2y 2 _y 4 )2 + 2」o (x 2+ y 2 2,x y ,. 0,x 2+y 2=0,,仪4 _4x 2y 2 _ y 4 ) 2 + 2* (x 2 + y 22 ,x 『2 2L 0,x +y =0, 进而求f 在(0, 0)处关于x 和y 的两个不同顺序的混合偏导数，得f x 0, y - f x 0,0y 4f xy O,o =啊— 厂 啊可=7以0,0)=慎 ------------ Zx ------------ 瓦"由此看到，这里的f x, y 在原点处的两个二阶混合偏导数与求导顺序有关，那么，在什么 条件下混合偏导数与求导顺序无关呢？为此， 我们按定义先把f xy x 0, y 0与f yx x 0, y 0表成极限形式•由于；2Z.\jy ?z -：y ；：x -y 2 2创 l x +yx * +这些函数关于一 x 2 y 2 2,2 2x - y =~ (2 . 22 ,x y -2xy.:y : y注意 从上面两个例子看到， 种既有关于x 又有关于y 的高阶偏导数称为 已2z 2_ro 2 x 和y 的不同顺序的两个二阶偏导数都相等(这 混合偏导数),即-2 :zf x x, y =f y x, y =f x X o ,y ° L y - f x x o , y o也yf X o ：x, y ° ：y _ f （x o ,y o ：y ）△xf x o xy 。
887§7 多元函数Taylor 公式和极值问题练习参考解答1. 下列函数极值（1） )2(),(22y y x e y x f x ++=； （2） )4)(6(),(22y y x x y x f −−=； （3） )0(333>−−=a y x axy z ； （4）2. 都很小时，将超越函数当z y x , ,z y x z y x z y x f cos cos cos )cos(,,(−++=）.,y x,的多项式近似表示z解 二阶偏导数），有展成马克劳林公式（到将函数),,(z y x f）），，（0,0,0()0,0,0()0,0,0(000),,('z y x f z f y f x f z y x f ′+′+′+= []0,0,0( )0,0,0(2)0,0,0(2)0,0,0(20,0,0()0,0,0(0,0,0(''21222=′′+′′+′′+′′+′′++）））！f f zx f yz f xy f z f y f x zx yz xy zz yy xx []()[]()0cos cos cos )cos()0,0,0( 0)0,0,0( 00,0,0( 0cos cos sin )sin()0,0,0( 0,0,00,0,0=+++−=′=′=′=+++−=′z y x z y x f f f z y x z y x f xxz y x ）同样[]())(),,( 10,0,0( 1)0,0,0( 1cos sin sin )cos()0,0,0( 0)0,0,0( 00,0,0( 0,0,0zx yz xy z y x f f f z y x z y x f f f zx yz xyzz yy ++−=−=′′−=′′−=−++−=′′=′′=′′于是，）同样，）同样，即 )(cos cos cos cos(zx yz xy z y x z y x ++−=−++） 3. 求函数x y x y x y x f 933),(2233−++−=的极值。
多元函数的Taylor公式一、引言多元函数的Taylor公式是一种重要的多元函数在某一点附近进行近似展开的方法，在数学和物理领域具有广泛的应用。
本文将介绍多元函数的Taylor公式的推导过程以及其在实际问题中的应用。
二、一元函数的Taylor公式回顾在介绍多元函数的Taylor公式之前，我们先回顾一下一元函数的Taylor公式。
对于一元函数f(x)在x=a处的n次Taylor展开式为：$$ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \\cdots +\\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x) $$其中R n(x)是余项。
三、多元函数的Taylor公式推导现在考虑多元函数$f(x_1, x_2, \\cdots, x_n)$在点$\\mathbf{a}=(a_1, a_2,\\cdots, a_n)$附近的Taylor展开式。
多元函数在点$\\mathbf{a}$处的Taylor公式可以表示为：$$ f(\\mathbf{x}) = f(\\mathbf{a}) + \ abla f(\\mathbf{a}) \\cdot(\\mathbf{x}-\\mathbf{a}) + \\frac{1}{2!}(\\mathbf{x}-\\mathbf{a})^THf(\\mathbf{a})(\\mathbf{x}-\\mathbf{a}) + \\cdots + R_n(\\mathbf{x}) $$其中$\ abla f(\\mathbf{a})$是$f(\\mathbf{x})$在$\\mathbf{a}$处的梯度，$Hf(\\mathbf{a})$是$f(\\mathbf{x})$在$\\mathbf{a}$处的Hessian矩阵。
四、多元函数的Taylor公式的应用多元函数的Taylor公式在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。
泰勒公式与函数极值——极值判定的充分条件泰勒公式是利用多项式函数在某一点处的极限，展开它(函数)成无穷多个加和，使得函数值在这一点变得更加精确，或让这一点附近的计算更加容易，从而计算出更接近函数真实值的近似值。
泰勒公式是在多项式函数中提出来的极大极小值判定的一种常用充分条件。
一、泰勒公式泰勒公式通常用来计算多项式函数在某一特定点处的极限值，也可以用来估计函数的值。
它由物理学家、数学家泰勒提出，展开它一般有两种形式，即展开到第n项，前n项和后n项各自构成一种展开形式。
1. 展开到第n项：f(x)=f(a)+[f'(a)](x-a)+[f”(a)]/2!(x-a)2+……+[f(n)(a)]/n!(x-a)n。
2. 前n项展开：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f"/2!(x-a)2+……+f(n)(a)(x-a)n-o(x-a)n+1。
二、极值判定的充分条件极值判定的充分条件是当函数的一阶导数或二阶导数等于零时，函数就可能有极值。
根据极值的定义，可以得出三类极值判定充要条件:1. 一阶导数判定：f′(x)=0或无限大无限小，则此点可能是极大值点，或者极小值点。
2. 二阶导数判定：当二阶导数f″(x)存在，若此点是极大值点，则f″(x)<0，反之，若此点是极小值点，则f″(x)>0。
3. 三阶导数判定：当函数的三阶导数f‴(x)存在，若此点是极大值点，则f‴(x)>0；反之，若此点是极小值点，则f‴(x)<0。
总结：1. 泰勒公式是一种可以解决多项式函数某一特定点处极限值的计算方法，展开形式有展开到第n项和前n项展开两种形式。
2. 极值判定的充分条件是函数的一阶导数或双阶导数等于零时，函数就可能有极值，根据此定义，可以得出判定极值的一阶，二阶及三阶导数判定条件。
--泰勒公式与极值问题页课件 (一)泰勒公式与极值问题是高等数学中的重要内容，它们分别是函数求导和函数逼近的重要工具。
在数学的各个领域中都有广泛的应用，本文将从以下几个方面进行探讨。
一、泰勒公式泰勒公式是将一个函数表示为无穷阶可导的多项式，从而用一系列简单的函数来逼近原函数，而泰勒公式的基本形式为：$$ f(x)=f(a)+f\prime(a)(x-a)+\frac{1}{2!}f^{\prime\prime}(a)(x-a)^2+\cdots+\frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^n+R_n(x) $$其中$R_n(x)$是余项，表示当x在[a,x]之间时，函数f(x)与其在a点处的$n$阶泰勒多项式之差，可以用拉格朗日余项公式来计算。
使用泰勒公式可以方便地求解函数的导数、高阶导数，也可以用于解决一些复杂的极限问题，因此其在数学和科学中的应用非常广泛。
二、极值问题极值问题是函数研究中的重要方向之一，其主要研究对象是函数的最大值和最小值，通过研究函数的极点、导数等性质来确定其极值。
在求解一元函数的极值问题时，我们需要通过求导的方法来获得该函数的导函数，然后通过求导函数的零点来确定原函数的极值点。
而对于多元函数的极值问题，我们需要通过偏导数的方法来求解，求得函数在某一点的偏导数为0时，则该点为该函数的驻点，通过进一步研究可确定该点的极值。
在实际生活中，极值问题也有着广泛的应用，比如在工程中的优化设计问题中，可以通过求解函数的极值来确定最优解，提高工程的效率和经济效益。
三、泰勒公式与极值问题的应用泰勒公式和极值问题在工程、物理、生物、经济等领域都有着广泛的应用。
比如在金融领域中，我们需要通过泰勒公式来进行股票的预测分析，同时可以通过极值问题来寻找最优的投资方案。
在物理学中，我们需要通过泰勒公式来求解物质运动的轨迹，而极值问题则可以用于求解一些多维度的物理模型，深入研究物理运动的规律。
高数考研难点解析多元函数的泰勒展开与极值问题高数考研难点解析：多元函数的泰勒展开与极值问题多元函数的泰勒展开与极值问题在高等数学中属于较为复杂的知识点，需要细致的分析和推导。
本文将针对这一难点进行解析，帮助读者更好地理解和掌握该知识点。
1. 泰勒展开在高等数学中，泰勒展开是将函数在某一点附近用无穷次求导得到的多项式来逼近原函数的方法。
对于单变量函数，泰勒展开公式如下：f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)(x - a)^2/2! + ..., 其中a为展开点。
而对于多元函数，泰勒展开的公式也进行了相应的推广。
设f(x, y)为二元函数，展开点为(a, b)，则泰勒展开公式为：f(x, y) = f(a, b) + (∂f/∂x)(a, b)(x - a) + (∂f/∂y)(a, b)(y - b) + ...,其中第二项为一阶偏导数的乘积，第三项为二阶偏导数的乘积，依此类推。
2. 泰勒展开的应用泰勒展开在数学的各个领域都有广泛的应用，特别是在物理学和工程学中。
在高等数学中，泰勒展开常用于求函数的极值或近似计算。
对于多元函数的泰勒展开，在求取函数的极值问题时也扮演着重要角色。
3. 多元函数的极值问题多元函数在极值问题中，需要判断函数的极值点是否为极大值或极小值，亦或是鞍点。
泰勒展开可以帮助我们来判断和求解这些问题。
首先，我们需要求得函数的一阶和二阶偏导数，并找到函数的临界点（即一阶偏导数为零的点）。
在临界点的基础上，我们利用泰勒展开来近似描述函数在这些点附近的变化情况。
对于二元函数f(x, y)来说，函数在临界点(a, b)附近的泰勒展开式为：f(x, y) ≈ f(a, b) + (∂f/∂x)(a, b)(x - a) + (∂f/∂y)(a, b)(y - b) + ...根据泰勒展开的一般性质，我们可以通过二阶偏导数的符号来确定该点的性质。
§ 4 Taylor 公式和极值问题(一) 教学目的：掌握二元函数的高阶偏导数与泰勒公式的定义，掌握二元函数的极值的必要条件与充分条件． (二) 教学内容：二元函数的高阶偏导数；中值定理与泰勒公式；二元函数的极值的必要条件与充分条件． 基本要求：(1)掌握二元函数的高阶偏导数与泰勒公式的定义，能够根据二元函数的极值的必要条件与充分条件寻找二元函数的极值与最大(小)值．(2) 较高要求：掌握混合偏导数与求导次序无关的定理的证明以及二元函数的极值的必要条件充分条件定理的证明．(三) 教学建议：(1) 布置适量的求二元函数的高阶偏导数和求二元函数的极值与最值的习题． (2) 讨论混合偏导和与求导次序无关的多种定理证明的习题有一定的难度，只对较好学生布置有关习题．————————————————————一． 高阶偏导数:1. 高阶偏导数的定义、记法：例9 ,2yx ez += 求二阶偏导数和23xy z ∂∂∂.例10 xy arctg z =. 求二阶偏导数.上面两个例子中，关于y x 和,的不同顺序的两个二阶偏导数都相等，，但是这个结论并不对任何函数都成立，例如⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(2222y x y x yx yx xy y x f ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-+=)0,0(),(,0)0,0(),(,)(4(),(2224224y x y x y x y y x x y y x f x⎪⎩⎪⎨⎧=≠+--=)0,0(),(,0)0,0(),(,)(4(),(2224224y x y x y x y y x x x y x f y1lim)0,0(),0(lim)0,0(00-=∆∆-=∆-∆=→∆→∆yy yf y f f y x x y xy1lim)0,0()0,(lim)0,0(0=∆∆=∆-∆=→∆→∆xx xf x f f y y y x yx由此可知，),(y x f 关于y x 和,的不同顺序的两个二阶混合偏导数与求次序有关。
那么在什么条件下两个二阶混合偏导数与求次序无关呢？定理17。
7 若),(),(y x f y x f yx xy 和都在),(00y x 连续，则),(),(0000y x f y x f yx xy =约定：今后除特别指出外，都假定相应的混合偏导数连续。
例11 ) , (y x x f z =. 求22x z∂∂和y x z∂∂∂2.验证或化简偏微分方程: 例12 22lnyx z +=. 证明22xz ∂∂ +22yz ∂∂0=. ( Laplace 方程 )例13 将方程0=∂∂-∂∂xu yyu x变为极坐标形式.解 xy arctgy x r r y r x =+=⇒==θθθ , .sin , cos 22.rx yx x xr =+=∂∂22,ry yr =∂∂ ,2ry x-=∂∂θ ,2rx y =∂∂θ.θθθ∂∂-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂u ry ru r x xu xr r u xu 2,θθθ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂u rx r u r y y u y r r u yu 2;因此, θθθθ∂∂=∂∂+=∂∂+∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂u u ry x u ry ru r xy u rx ru r xy xu yyu x2222222 .方程化简为0=∂∂θu .例5试确定a 和b , 利用线性变换 by x t ay x s +=+= , 将方程03422222=∂∂+∂∂∂+∂∂yu yx u xu化为02=∂∂∂ts u .解 tu su xt t u xs s u xu ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ ,tu bsu ayt t u ys s u yu ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂.22xu ∂∂=x ∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂t u s u 22s u ∂∂x s ∂∂+t s u ∂∂∂2x t ∂∂+s t u ∂∂∂2x s ∂∂+22t u ∂∂xt ∂∂= =22su ∂∂+2ts u ∂∂∂2+22tu ∂∂.y x u∂∂∂2=y ∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂t u s u 22s u ∂∂y s ∂∂+t s u ∂∂∂2y t ∂∂+s t u ∂∂∂2y s ∂∂+22t u ∂∂yt ∂∂= =22su a∂∂+)(b a +ts u ∂∂∂2+b22tu ∂∂.22yu ∂∂=y ∂∂==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂ t u b s u a 222s u a ∂∂+ab 2t s u ∂∂∂2+2b 22tu ∂∂. 因此 ,=∂∂+∂∂∂+∂∂2222234yu yx u xu)341(2a a ++=22su ∂∂ + ()6442ab b a +++ts u ∂∂∂2+ )341(2b b ++22tu ∂∂.令 03412=++a a , 1 , 31, 03412-=-=⇒=++b a b b 或31 , 1-=-=b a或 ……, 此时方程03422222=∂∂+∂∂∂+∂∂yu yx u xu 化简为02=∂∂∂ts u .二 中值定理和泰勒公式.定理17.8 设二元函数f 在凸区域D 2R ⊂上连续 , 在D 的所有内点处可微 . 则对D 内任意两点int ) , ( , ),(∈++k b h a Q b a P D , 存在) 10 ( <<θθ, 使k k b h a f h k b h a f b a f k b h a f x ) , () , (),() , (θθθθ+++++=-++.证 令 ) , ()(tk b th a f t ++=Φ，则)(t Φ是定义在]1,0[上的一元函数，满足一元函数中值定理，…对于闭凸区域上的情况: 见p.134 注意.推论 若函数f 在区域D 上存在偏导数 , 且x f ≡y f ≡0, 则f 是D 上的常值函数. Taylor 公式:定理17.9 (Taylor 公式) 若函数f 在点),(000y x P 的某邻域)(0P 内有直到1+n 阶连续偏导数 , 则对)(0P 内任一点) , (00k y h x ++,存在相应的) 1 , 0(∈θ, 使∑=+++⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=++ni n i k y h x f y k x h n y x f y k x h i k y h x f 00010000)., ()!1(1),(!1 ) , (θθ例4 求函数yx y x f =),(在点) 4 , 1 (的Taylor 公式 ( 到二阶为止 ) . 并用它计算.)08.1 (96.3三. 极值问题:1 极值的必要条件先看两个二元函数的图像一个是 椭圆抛物面 222),(y x y x f += 的图像 另一个是半球 221),(yx y x g --= 的图像x=-1:1/100:1; y=x; [x,y]=meshgrid(x,y);z1=2*x.^2+y.^2; z2=(1-x.^2-y.^2).^(1/2); z3=real(z2); subplot(1,2,1), mesh(x,y,z1) ,hold on subplot(1,2,2) , mesh(x,y,z3)椭圆抛物面在原点取得极小值 0)0,0(=f ，半球面在原点取得最大值 1)0,0(=g . 可以看出，在极值点处两个一阶偏导 ),(,),(0000y x f y x f y x 都为零，另外从二元函数极值的定义也不难看出, 若函数 ),(y x f 在点 ),(00y x 取得极值, 则一元函数),(,),(00y x f y x f 也必分别在 00,x x y y == 处取得极值，从而, 在极值点处如果偏导存在,两个一阶偏导必为零.定理 17.10 (极值必要条件) 若函数 ),(y x f 在点 ),(00y x P 存在偏导数, 且在点),(00y x P 取得极值, 则必有0),(),(0000==y x f y x f y x我们也称 ),(00y x P 为稳定点. 和一元函数极值一样(1) 这个定理只是极值存在的必要条件, 不是充分条件, 即稳定点不一定都是极值点; (2) 偏导数不存在的点也可能是极值点例 1 函数 1),(22+-=y x y x f 在原点 )0,0(两个偏导0)0,0()0,0(==y x f f但原点既不是 ),(y x f 的极大点也不是极小点 clf, x=-1:1/20:1; y=x; [x,y]=meshgrid(x,y); z=x.^2-y.^2+1; mesh(x,y,z)2 极值的充分条件:代数准备: 给出二元( 实 )二次型 222),(cy bxy ax y x g ++=. 其矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛c bb a . 1） ),(y x g 是正定的 ⇔ 顺序主子式全 0 >, ),(y x g 是半正定的,⇔ 顺序主子式全 0 ≥;2） ),(y x g 是负定的,⇔ 0||) 1(1>-kij ka , 其中kij a 1||为k 阶顺序主子式. ),(y x g 是半负定的, ⇔ 0||) 1(1≥-kij ka .3） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛c b b a < 0时, ),(y x g 是不定的. 充分条件的讨论: 设函数),(y x f 在点),(000y x P 某邻域有二阶连续偏导数 . 由Taylor 公式 , 有)()(!21)(),() , (20200000ρ +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂==-++P f y k x h P f y k x h y x f k y h x f =)(0P f x h +)(0P f y k +[])()()(2)(!21220020ρ+++kP f hk P f h P fyy xy xx.令 )(0P f A xx = , )(0P f B xy =, )(0P f C yy =, 则当0P 为驻点时, 有[])(221),() , (2220000ρo CkBhk Ahy x f k y h x f +++=-++.其中22kh +=ρ.可见式),() , (0000y x f k y h x f -++的符号由二次型222Ck Bhk Ah ++完全决定.称该二次型的矩阵为函数),(y x f 的Hesse 矩阵. 于是由上述代数准备, 有 i) 0 , 02>->B AC A , 0 P ⇒为 ( 严格 ) 极小值点 ; ii) 0 , 02>-<BAC A , 0 P ⇒为 ( 严格 ) 极大值点 ;iii) 0 2<-B AC 时, 0P 不是极值点;iv) 0 2=-B AC 时, 0P 可能是极值点 , 也可能不是极值点 .综上 , 有以下定理 .定理17.11 设函数)(P f 在点0P 的某邻域内有连续的二阶偏导数 , 0P 是驻点 . 则 i) ()0)( , 0)(020>->P f f f P f xy yy xx xx 时 , 0P 为极小值点;ii) ()0)( , 0)(020>-<P f f f P f xy yy xx xx 时 , 0P 为极大值点;iii) ()0)( 02<-P f f f xy yy xx 时 , 0P 不是极值点;iv) ()0)( 02=-P f f f xy yy xx 时 , 0P 可能是极值点 , 也可能不是极值点 .例2 求函数 5126)(23+-+-=y x x y x f 的极值。
