泰勒公式与极值问题

泰勒公式与函数极值——极值判定的充分条件泰勒公式是利用多项式函数在某一点处的极限，展开它(函数)成无穷多个加和，使得函数值在这一点变得更加精确，或让这一点附近的计算更加容易，从而计算出更接近函数真实值的近似值。

泰勒公式是在多项式函数中提出来的极大极小值判定的一种常用充分条件。

一、泰勒公式泰勒公式通常用来计算多项式函数在某一特定点处的极限值，也可以用来估计函数的值。

它由物理学家、数学家泰勒提出，展开它一般有两种形式，即展开到第n项，前n项和后n项各自构成一种展开形式。

1. 展开到第n项：f(x)=f(a)+[f'(a)](x-a)+[f”(a)]/2!(x-a)2+……+[f(n)(a)]/n!(x-a)n。

2. 前n项展开：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f"/2!(x-a)2+……+f(n)(a)(x-a)n-o(x-a)n+1。

二、极值判定的充分条件极值判定的充分条件是当函数的一阶导数或二阶导数等于零时，函数就可能有极值。

根据极值的定义，可以得出三类极值判定充要条件:1. 一阶导数判定：f′(x)=0或无限大无限小，则此点可能是极大值点，或者极小值点。

2. 二阶导数判定：当二阶导数f″(x)存在，若此点是极大值点，则f″(x)<0，反之，若此点是极小值点，则f″(x)>0。

3. 三阶导数判定：当函数的三阶导数f‴(x)存在，若此点是极大值点，则f‴(x)>0；反之，若此点是极小值点，则f‴(x)<0。

总结：1. 泰勒公式是一种可以解决多项式函数某一特定点处极限值的计算方法，展开形式有展开到第n项和前n项展开两种形式。

2. 极值判定的充分条件是函数的一阶导数或双阶导数等于零时，函数就可能有极值，根据此定义，可以得出判定极值的一阶，二阶及三阶导数判定条件。

泰勒公式及其应用等价无穷小在求函数极限中的应用及推广泰勒公式及其应用１ 引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. ２ 预备知识定义2.1]1[ 若函数f 在0x 存在n 阶导数,则有'''200000()()()()()()1!2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+()000()()(())!n n n f x x x o x x n +-+-（1）这里))((0n x x o -为佩亚诺型余项,称(1)f 在点0x 的泰勒公式.当0x =0时,（1）式变成)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n nn x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义2.2]2[ 若函数 f 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则''()'20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++-+ ,（2）这里()n R x 为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=++,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式.当0x =0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!n nn f f f x f f x x x R x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ .)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnn x x x x x o x n =-+-++-+.)(1)1(32)1ln(1132++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x . )(1112n n x o x x x x+++++=- +-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m . 定理2.1]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得00)(μ=x f .3 泰勒公式的应用 3.1 利用泰勒公式求极限为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出.例3.1 求极限2240cos lim x x x e x -→-.分析：此为0型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和22x e -分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解 由244cos 1()2!4!x x x o x =-++,222242()21()22x x x e o x --=-++得 2444422111cos ()()()4!22!12x x ex o x x O x --=-+=-+⋅, 于是244244001()cos 112limlim 12x x x x O x x e x x -→→-+-==-. 例3.2极限1sin 2lim sin cos xx xx x x x xe →0---- .分析：此为0型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sinx,xe分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解： 由1sin 2xx x x e---=233331()())2626x x o o x x x x x ++++-1-x-(x-+=34333()()6126o o x xxx x ++=+,3233sin cos ()(1())62x x x o x o x x x x -x =-+--+33()3o xx =+于是1sin 2lim sin cos x x x x x x x x e →0----3333()162()3o o x x x x +==+例3.3利用泰勒展开式再求极限 。

第三节 泰勒定理，函数极值判定§3.1 泰勒定理当一个函数给出了具体表达式后，有的函数值并不是很容易计算，例如f(x)＝e x，f(0.312)＝e0^312，若用十进制表示，如果不借助计算器或查表是很难计算出来的。

如何解决这一难题，多项式函数是各类函数中最简单的一种，因为它只需用到四则运算，从而使我们想到能否用多项式近似表达一般函数，实际上这是近似计算与理论分析的一个重要内容。

若函数为n 次多项式f(x)＝a ０+a 1（x-x ０）＋a ２（x-x０）２＋……＋a n (x-x ０)n (1) 逐次求它在x=x ０处的各阶导数，有f(x ０)＝a ０，f ′（x ０）＝a １，f ″（x ０）＝2!，a２，……，f(n) (x ０)＝n!a n即 a ０＝f(x ０)，a １＝f ′（x ０），a ２＝!2)x ("f 0……，a n ＝!n )x (f 0)n ( 因而(1)式可写为f(x)=f(x ０)+f ′（x ０）（x －x ０）＋!2)x ("f 0 (x －x ０)２＋……＋!n )x (f 0)n ( (x －x ０)n(2)所以多项式f(x)的各项系数由其各阶导数值唯一确定对一般函数f(x)，若存在直到n 阶导数，则按(2)式右端也可以相应地写出一个多项式，记作P n (x)，则P n (x)＝f(x ０)＋!1)x ('f 0 (x-x ０)＋!2)x ("f 0 (x-x ０)２＋……＋!n )x (f 0)n ( (x-x ０)n那么f(x)与P n (x)之间有什么关系呢， 由拉格朗日定理知，若f(x)在x ０的邻域内存在一阶导数，则f(x)－f(x ０)＝f ′(ζ)(x －x ０) 即 f(x)＝f(x ０)＋f ′（ζ）(x －x ０) 若f(x)在x ０的邻域内存在n+1阶导数，则 f(x)=P n (x)＋Ｋ（x －x ０）n ＋１ k 与f（n+1）（ζ）有关，因此，我们猜想f(x)=P n (x)＋)!1n ()(f )1n (+ξ+ (x-x ０)n+1因此，有定理(泰勒( Taloyr )定理) 设函数f(x)在区间X 上存在n ＋1阶导数，对每一个x ０∈X ，则任给x ∈X,有f(x)＝P n (x)＋)!1n ()(f )1n (+ξ+ (x －x ０)n＝f(x ０)＋f ′（x ０）（x －x ０）＋!2)x ("f 0 (x －x０)２＋……＋!n )x (f 0)n ( (x －x ０)n ＋)!1n ()(f )1n (+ξ+ (x-x ０)n (1)ζ介与x ０，x 之间的某一点。

泰勒公式极限泰勒公式极限数学中，泰勒公式是一种重要的公式，在微积分和数学分析中被广泛地应用。

其本质是利用函数在某个点的各阶导数与函数在该点的极限值之间的关系，来近似表示函数在该点附近的值。

而泰勒公式的极限是一个有趣的话题。

泰勒公式的类型泰勒公式分为多项式型和幂级数型两种类型。

多项式型泰勒公式是指用n 阶多项式近似表示函数的值，具体表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x-a)ⁿ/n!。

当 n 取值较大时，该近似表示的精度越高。

而一阶泰勒公式时，相当于是对函数做一次线性近似。

幂级数型泰勒公式是指利用某个点的无限阶导数来表示函数的无限项幂级数。

在数学分析中，幂级数是一种连续的函数。

具体的幂级数公式为：f(x) = Σf⁽ⁿ⁾(a)(x-a)ⁿ/n!。

泰勒公式的极限极限是微积分的一个关键概念，泰勒公式的极限即为函数在某个点处的极限值。

当在某个点a 处用多项式或幂级数来近似表示函数f(x) 时，通过取极限可以得到函数在该点a 的精确值。

对于多项式型泰勒公式，当 n 取无穷大时，其极限即为 f(a)。

而对于幂级数型泰勒公式，在无限项求和的情况下，如果幂级数在某个范围内收敛，那么极限即为函数在该点的值。

泰勒公式的应用泰勒公式是微积分和数学分析的重要工具，并且在理论和实际应用中都有广泛的用途，如：1. 极值问题：通过泰勒公式，可以求得函数在某个点的各阶导数，进而计算函数在该点处的极值。

2. 近似计算：利用泰勒公式，可以将函数在某个点处的值近似为一阶或多阶导数的线性组合。

3. 系数计算：幂级数型泰勒公式将函数展开成无限项幂级数，提供了一种求函数系数的重要方法。

4. 函数逼近：泰勒公式可以在不需要求解函数在某个点的极限值的情况下，通过对各项导数的计算，逼近函数在该点的值。

总结泰勒公式是微积分和数学分析的重要工具，其极限是近似表示函数在某个点的精确值。

--泰勒公式与极值问题页课件 (一)泰勒公式与极值问题是高等数学中的重要内容，它们分别是函数求导和函数逼近的重要工具。

在数学的各个领域中都有广泛的应用，本文将从以下几个方面进行探讨。

一、泰勒公式泰勒公式是将一个函数表示为无穷阶可导的多项式，从而用一系列简单的函数来逼近原函数，而泰勒公式的基本形式为：$$ f(x)=f(a)+f\prime(a)(x-a)+\frac{1}{2!}f^{\prime\prime}(a)(x-a)^2+\cdots+\frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^n+R_n(x) $$其中$R_n(x)$是余项，表示当x在[a,x]之间时，函数f(x)与其在a点处的$n$阶泰勒多项式之差，可以用拉格朗日余项公式来计算。

使用泰勒公式可以方便地求解函数的导数、高阶导数，也可以用于解决一些复杂的极限问题，因此其在数学和科学中的应用非常广泛。

二、极值问题极值问题是函数研究中的重要方向之一，其主要研究对象是函数的最大值和最小值，通过研究函数的极点、导数等性质来确定其极值。

在求解一元函数的极值问题时，我们需要通过求导的方法来获得该函数的导函数，然后通过求导函数的零点来确定原函数的极值点。

而对于多元函数的极值问题，我们需要通过偏导数的方法来求解，求得函数在某一点的偏导数为0时，则该点为该函数的驻点，通过进一步研究可确定该点的极值。

在实际生活中，极值问题也有着广泛的应用，比如在工程中的优化设计问题中，可以通过求解函数的极值来确定最优解，提高工程的效率和经济效益。

三、泰勒公式与极值问题的应用泰勒公式和极值问题在工程、物理、生物、经济等领域都有着广泛的应用。

比如在金融领域中，我们需要通过泰勒公式来进行股票的预测分析，同时可以通过极值问题来寻找最优的投资方案。

在物理学中，我们需要通过泰勒公式来求解物质运动的轨迹，而极值问题则可以用于求解一些多维度的物理模型，深入研究物理运动的规律。

第十七章 多元函数微分学4泰勒公式与极值问题一、高价偏导数概念1：二元函数z=f(x,y)的二阶偏导数有如下四种情形： (1)⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x z x =22x z ∂∂=f xx (x,y); (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x z y =yx z 2∂∂∂=f xy (x,y); (3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂y z x =x y z 2∂∂∂=f yx (x,y); (4)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂y z y =22y z ∂∂=f yy (x,y). 二元函数z=f(x,y)的三阶偏导数有共有八种情形，如：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂22x z x =33x z ∂∂=3x f (x,y)；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂22x z y =y x z 23∂∂∂=y x 2f (x,y)；……例1：求函数z=e x+2y 的所有二阶偏导数和23xy z ∂∂∂. 解：∵z x =e x+2y ; z y =2e x+2y ;∴z xx =ex+2y ; z xy =2e x+2y ; z yx =2e x+2y ; z yy =4e x+2y ;23x y z ∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂x y z x 2=2e x+2y .例2：求函数z=arctan xy 的所有二阶偏导数.解：∵z x =22x y 1xy -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-22y x y +; z y =2x y 1x1⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22y x x +; ∴z xx =222)y (x 2x y +; z xy =-222222)y (x y 2y x +-+=22222)y (x x y +-; z yx =222222)y (x x 2y x +-+=22222)y (x x y +-; z yy =-222)y (x 2x y +.注：既有关于x又有关于y的高阶偏导数，称为混合偏导数.定理17.7：若f xy(x,y)和f yx(x,y)都在点(x0,y0)连续，则f xy(x0,y0)=f yx(x0,y0). 证：令F(△x,△y)=f(x0+△x,y0+△y)-f(x0+△x,y0)-f(x0,y0+△y)+f(x0,y0)，φ(x)=f(x,y0+△y)-f(x,y0)，则F(△x,△y)=φ(x0+△x)-φ(x0).∵f存在关于x的偏导数，∴φ可导，应用一元函数的中值定理，有φ(x0+△x)-φ(x0)=φ’(x0+θ1△x)△x=[f x(x0+θ1△x,y0+△y)-f x(x0+θ1△x,y0)]△x, (0<θ1<1).又由f x存在关于y的偏导数，∴对以y为自变量的函数f x(x0+θ1△x,y) 应用一元函数的中值定理，又有φ(x0+△x)-φ(x0)=f xy(x0+θ1△x,y0+θ2△y)△x△y, (0<θ1,θ2<1).∴F(△x,△y)=f xy(x0+θ1△x,y0+θ2△y)△x△y, (0<θ1,θ2<1).若令ψ(y)=f(x0+△x,y)-f(x0,y)，则有F(△x,△y)=ψ(y0+△y)-φ(y0).同理可得F(△x,△y)=f yx(x0+θ3△x,y0+θ4△y)△x△y, (0<θ3,θ4<1).当△x,△y不为零时，就有f xy(x0+θ1△x,y0+θ2△y)=f yx(x0+θ3△x,y0+θ4△y), (0<θ1,θ2,θ3,θ4<1).又f xy(x,y)和f yx(x,y)都在点(x0,y0)连续，∴当△x→0,△y→0时，上式两边极限存在且相等，∴f xy(x0,y0)=f yx(x0,y0).注：n元函数m阶混合偏导数在某点都连续时，则与顺序无关.概念2：设z 是通过中间变量x,y 而成为s,t 的函数，即z=f(x,y), 其中x=φ(s,t), y=ψ(x,t). 若函数f,φ,ψ都具有连续的二阶偏导数，则作为复合函数z 对s,t 同样存在二阶连续偏导数，即由一阶偏导数： s z ∂∂=s x x z ∂∂∂∂+s y y z ∂∂∂∂，t z ∂∂=t x x z ∂∂∂∂+ty y z ∂∂∂∂，可得二阶偏导数： 22s z ∂∂=s x x z s ∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⋅∂∂s x s x z +s y y z s ∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⋅∂∂s y s y z =s x x z 22∂∂ ⎝⎛∂∂+s x s y y x z 2∂∂⎪⎭⎫∂∂∂∂∂+22s x x z ∂∂⋅∂∂+s y y z 22∂∂ ⎝⎛∂∂+s y s x x y z 2∂∂⎪⎭⎫∂∂∂∂∂+22s y y z ∂∂⋅∂∂ =222s x x z ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+2s x s y y x z 2∂∂∂∂∂∂∂+222s y y z ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+22s x x z ∂∂⋅∂∂+22s y y z ∂∂⋅∂∂. 同理可得： 22t z ∂∂=222t x x z ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+2t x t y y x z 2∂∂∂∂∂∂∂+222t y y z ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+22t x x z ∂∂⋅∂∂+22t y y z ∂∂⋅∂∂. t s z 2∂∂∂=t x s x x z 22∂∂∂∂∂∂+t y s x y x z 2∂∂ ⎝⎛∂∂∂∂∂+⎪⎭⎫∂∂∂∂s y t x +t y s y y z 22∂∂∂∂∂∂+t s x x z 2∂∂∂⋅∂∂+t s y y z 2∂∂∂⋅∂∂=s t z 2∂∂∂.例3：设z=f(x,y x ), 求22x z ∂∂,yx z 2∂∂∂. 解：记z=f(u,v), u=x, v=yx ，由复合函数求导公式有：x z ∂∂=x u u f ∂∂∂∂+x v v f ∂∂∂∂=u f ∂∂+vf y 1∂∂， ∴22xz ∂∂= ⎝⎛∂∂∂∂u f x +⎪⎭⎫∂∂v f y 1=x u u f 22∂∂∂∂+x v v u f 2∂∂∂∂∂+ ⎝⎛∂∂∂∂∂x u u v f y 12+⎪⎭⎫∂∂∂∂x v v f 22 =22uf ∂∂+v u f y 22∂∂∂+222v f y 1∂∂. y x z 2∂∂∂= ⎝⎛∂∂∂∂u f y +⎪⎭⎫∂∂v f y 1=y u u f 22∂∂∂∂+y v v u f 2∂∂∂∂∂-v f y 12∂∂+ ⎝⎛∂∂∂∂∂y u u v f y 12+⎪⎪⎭⎫∂∂∂∂y v v f 22=-v u f y x 22∂∂∂-v f y 12∂∂-223vf y x ∂∂.二、中值定理和泰勒公式概念3：若区域D 上任意两点的连线都含于D ，则称D 为凸区域，即 若D 为凸区域，则对任意两点P 1(x 1,x 2), P 2(x 2,y 2)∈D 和一切λ(0≤λ≤1), 恒有P(x 1+λ(x 2-x 1),y 1+λ(y 2-y 1))∈D.定理17.8：(中值定理)设二元函数f 在凸开域D ⊂R 2上连续，在D 的所有内点都可微，则对任意两点P(a,b),Q(a+h,b+k)∈D ，存在θ(0<θ<1), 使得f(a+h,b+k)-f(a,b)=f x (a+θh,b+θk)h+f y (a+θh,b+θk)k.证：令φ(t)=f(a+th,b+tk)，它是定义在[0,1]上的一元函数；∵φ(t)在[0,1]上连续，在(0,1)上可微；∴根据一元函数中值定理， 存在θ(0<θ<1), 使得φ(1)-φ(0)=φ’(θ). 由复合函数的求导法则知， φ’(θ)=f x (a+θh,b+θk)h+f y (a+θh,b+θk)k. 又由D 为凸区域知，(a+θh,b+θk)∈D, ∴f(a+h,b+k)-f(a,b)=f x (a+θh,b+θk)h+f y (a+θh,b+θk)k.注：对闭凸域D ，任意两点P 1(x 1,x 2), P 2(x 2,y 2)∈D 和一切λ(0<λ<1),都有 P(x 1+λ(x 2-x 1),y 1+λ(y 2-y 1))∈intD ，则对D 上连续，intD 内可微的函数f ， 只要P ,Q ∈intD ，也存在θ∈(0,1)使中值定理成立. 如，若D 为圆域{(x,y)|(x-ξ)2+(y-ζ)2≤r 2}, f 在D 上连续，在intD 内可微，则中值定理成立；若D 为矩形区域[a,b]×[c,d]，则不能保证对D 上任意两点P ,Q 都有中值定理成立.推论：若函数f 在区域D 上存在偏导数，且f x ≡f y ≡0，则f 在区域D 上为常量函数.证：设P 和P ’是区域D 上任意两点，由于D 为区域，可用一条完全在D 内的折线连接PP ’. 设x 1为折线上第一个折点， 直线段Px 1上每一点P 0(x 0,y 0), 存在邻域U(P 0)⊂D, 由中值定理知， 在U(P 0)内任一点M(x m ,y m )有f(M)-f(P 0)=f x (θ1)(x m -x 0)+f y (θ1)(y m -y 0), ∵f x ≡f y ≡0，∴f(M)-f(P 0)=0, 即f(M)=f(P 0)，∴在U(P 0)内f 是常数函数. 由Px 1上每一点都有这样的邻域U(P 0)，使得f(x,y)=常数.由有限覆盖定理知，存在有限个邻域U(P 1),…,U(P N )覆盖Px 1, ∴f(P)=f(x 1), 以x 1,…,x n 表示折线上的所有折点，同理有f(P)=f(x 1)=…=f(x n )=f(P ’). 又由P ,P ’在区域D 内的任意性，知在D 内,f(x,y)=常数.例4：对f(x,y)=1xy 2x 12+-应用微分中值定理，证明存在θ(0<θ<1),使得1-2=2(1-3θ)(1-2θ+3θ2)-3/2.解：f 定义在E={(x,y)|x 2-2xy+1>0}上，凸区域D={(x,y)|x 2+y 2≤1}⊂E. 又f x =-()321xy 2x y-x +-; f y =()321xy 2x x+-，且f,f x ,f y 都在D 上连续，取(1,0),(0,1)∈D ，根据微分中值定理，存在θ(0<θ<1), 使得 f(1,0)-f(0,1)=f x (θ,1-θ)-f y (θ,1-θ), 即21-1=-[]321θ)-θ(12θθ)-(1-θ+--[]321θ)-θ(12θθ+-=(1-3θ)(1-2θ+3θ2)-3/2，∴1-2=2(1-3θ)(1-2θ+3θ2)-3/2.定理17.9：(泰勒定理)若函数f 在点P 0(x 0,y 0)的某邻域U(P 0)上有直到n+1阶的连续偏导数，则对U(P 0)内任一点(x 0+h,y 0+k), 存在相应的 θ∈(0,1)，使得有二元函数f 在点P 0的n 阶泰勒公式：f(x 0+h,y 0+k)=f(x 0,y 0) + ⎝⎛∂∂x h +⎪⎪⎭⎫∂∂y k f(x 0,y 0)+ ⎝⎛∂∂x h !21+2y k ⎪⎪⎭⎫∂∂f(x 0,y 0)+… + ⎝⎛∂∂x h !n 1+n y k ⎪⎪⎭⎫∂∂f(x 0,y 0)+ ⎝⎛∂∂+x h !1)(n 1+1n y k +⎪⎪⎭⎫∂∂f(x 0+θh,y 0+θk).证：令φ(t)=f(x 0+th,y 0+tk),其定义域为[0,1],且满足一元函数泰勒条件； ∴φ(1)=φ(0)+φ’(0)+!21φ”(0)+…+!n 1φ(n)(0)+!)1(n 1+φ(n+1)(θ), (0<θ<1). 应用复合函数求导法则，可求得φ(t)的各阶导数：φ(m)(t)= ⎝⎛∂∂xh +m y k ⎪⎪⎭⎫∂∂f(x 0+th,y 0+tk), (m=1,2,…,n+1). 当t=0时，则有 φ(m)(0)= ⎝⎛∂∂x h +m y k ⎪⎪⎭⎫∂∂f(x 0,y 0), (m=1,2,…,n) 及φ(n+1)(θ)= ⎝⎛∂∂x h +1n y k +⎪⎪⎭⎫∂∂f(x 0+θh,y 0+θk)，将φ(m)(0), φ(n+1)(θ)代入φ(1)，得f(x 0+h,y 0+k)=f(x 0,y 0)+ ⎝⎛∂∂x h +⎪⎪⎭⎫∂∂y k f(x 0,y 0)+ ⎝⎛∂∂x h !21+2y k ⎪⎪⎭⎫∂∂f(x 0,y 0)+… + ⎝⎛∂∂x h !n 1+n y k ⎪⎪⎭⎫∂∂f(x 0,y 0)+ ⎝⎛∂∂+x h !1)(n 1+1n y k +⎪⎪⎭⎫∂∂f(x 0+θh,y 0+θk), (0<θ<1).注：1、中值公式为泰勒公式在n=0时的特列情形；2、若只要求余项R n =o (ρn ) (ρ=22k h +)，则仅需f 在U(P 0)内存在直到n 阶连续偏导数，便有f(x 0+h,y 0+k)=f(x 0,y 0)+∑= ⎝⎛∂∂n 1p x h !p 1+py k ⎪⎪⎭⎫∂∂f(x 0,y 0)+o (ρn ).例5：求f(x,y)=x y 在点(1,4)的泰勒公式(到二阶)，并用它计算(1.08)3.96. 解：∵f(1,4)=1; f x (1,4)=yx y-1|(1,4)=4; f y (1,4)=x y lnx|(1,4)=0;f xx (1,4)=y(y-1)x y-2|(1,4)=12; f yy (1,4)= x y (lnx) 2|(1,4)=0;f xy (1,4)=f yx (1,4)=x y-1+yx y-1lnx|(1,4)=1.∴x y =1+4(x-1)+6(x-1)2+(x-1)(y-4)+ o (ρ2). 当x=1.08, y=3.96时，有 (1.08)3.96≈1+4×0.08+6×0.082-0.08×0.04=1.3552.三、极值问题定义：设函数f 在点P 0(x 0,y 0)的某邻域U(P 0)内有定义，若对于任何点P(x,y)∈U(P 0)，有f(P)≤f(P 0)或f(P)≥f(P 0)，则称f 在点P 0取得极大(或极小)值，统称为极值. 极大值点、极小值点统称极值点.注：1、极值点只限于定义域的内点;2、若f 在点(x 0,y 0)取得极值，则当固定y=y 0时，一元函数f(x,y 0)必定在x=x 0取相同的极值；同理，一元函数f(x 0,y)在y=y 0也取相同的极值.例6：设f(x,y)=2x 2+y 2, g(x,y)=22y -x -1，h(x,y)=xy ，讨论原点(0,0)是不是它们的极值点.解：∵f(x,y)=2x 2+y 2≥f(0,0)=0，∴原点(0,0)是f 的极小值点； 又对任何(x,y)∈{(x,y)|x 2+y 2≤1}，有 g(x,y)=22y -x -1≤g(0,0)=1，∴原点(0,0)是g 的极大值点；但在原点的任意邻域内，对I,III 象限的任意点有h(x,y)>h(0,0)=0; 对II, IV 象限中的任意点有h(x,y)<h(0,0)=0; ∴(0,0)不是h 的极值点.定理17.10：(极值必要条件)若函数在点P 0(x 0,y 0)存在偏导数，且在P 0取得极值，则有f x (x 0,y 0)=0, f y (x 0,y 0)=0. 反之，若函数在点P 0满足上式，则称点P 0为f 的稳定点.注：1、极值点一定是稳定点，但稳定点不一定是极值点. 如例6中的函数h ，原点为其稳定点，但不是其极值点.2、函数在偏导数不存在的点也有可能取得极值，如f(x,y)=22y x +在原点没有偏导数，但f(0,0)=0是f 的极小值.概念4：假定f 具有二阶连续偏导数，并记H f (P 0)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)(P f )(P f )(P f )(P f 0y y 0y x 0xy 0xx =0P y y y x xy xx f f f f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，称之为P 0的黑赛矩阵.定理17.11：(极值充分条件)设二元函数f 在点P 0(x 0,y 0)的某邻域U(P 0)上具有二阶连续偏导数，且P 0是f 的稳定点，则当H f (P 0)是正定矩阵时，f 在点P 0取得极小值；当H f (P 0)是负定矩阵时，f 在点P 0取得极大值；当H f (P 0)是不定矩阵时，f 在点P 0不取极值.证：由f 在点P 0的二阶泰勒公式，及f x (P 0)= f y (P 0)=0，得f(x,y)-f(x 0,y 0)=21(△x,△y)H f (P 0)(△x,△y)T +o (△x 2+△y 2).当H f (P 0)正定时，对任何(△x,△y)≠(0,0)，恒有二次型Q(△x,△y)=(△x,△y)H f (P 0)(△x,△y)T >0，∴存在一个与△x,△y 无关的正数q, 使得Q(△x,△y)≥2q(△x 2+△y 2). 从而对充分小的U(P 0), 只要(x,y)∈U(P 0), 就有f(x,y)-f(x 0,y 0)≥q(△x 2+△y 2)+o (△x 2+△y 2)=(△x 2+△y 2)(q+o (1))≥0, 即f 在点P 0取得极小值；同理, 当H f (P 0)负定时，f 在点P 0取得极大值； 当H f (P 0)不定时，若f 取极值，不妨设取极大值，则沿任何过P 0的直线x=x 0+t △x, y=y 0+t △y, f(x,y)=f(x 0+t △x,y 0+t △y)=φ(t) 在t=0亦取得极大值. 由一元函数取极大值的充分条件知 φ”(0)≤0. 而φ’(t)=f x △x+f y △y, φ”(t)=f xx △x 2+2f xy △x △y+f yy △y 2,又φ”(0)=(△x,△y)H f (P 0)(△x,△y)T , 即H f (P 0)必须为负半定，矛盾！ 同理，若f 取极小值，则H f (P 0)必须为正半定，亦矛盾！∴当H f (P 0)是不定矩阵时，f 在点P 0不取极值.注：根据正半定或负半定对称阵所属主子行列式的符号规则，定理17.11又可写成为：若函数f 如定理所设，P 0是f 的稳定点，则有：(1)当f xx (P 0)>0, (f xx f yy -f xy 2)(P 0)>0时，f 在点P 0 取得极小值；(2)当f xx (P 0)<0, (f xx f yy -f xy 2)(P 0)>0时，f 在点P 0取得极大值；(3)当(f xx f yy -f xy 2)(P 0)<0时，f 在点P 0不能取得极值；(4)当(f xx f yy -f xy 2)(P 0)=0时，不能肯定f 在点P 0是否取得极值.例7：设f(x,y)=x2+5y2-6x+10y+6的极值.解：当f x=2x-6=0, f y=10y+10=0时, x=3, y=-1，即点(3,-1)是f的稳定点. ∵f xx=2>0, f yy=10, f xy=0, 即有(f xx f yy-f xy2)(3,-1)=20>0，∴f在点(3,-1)取得极小值f(3,-1)=9+5-18-10+6=-8.又f在R2上处处存在偏导数，∴(3,-1)是f唯一的极值点.例8：讨论f(x,y)=x2+xy是否存在极值.解：当f x=2x+y=0, f y=x=0时, x=0, y=0，即点(0,0)是f的稳定点.∵f xx=2, f yy=0, f xy=1, 即有(f xx f yy-f xy2)(0,0)=-1<0，∴(0,0)不是f的极值点. 又f在R2上处处存可微，∴f不存在极值.例9：设f(x,y)=(y-x2)(y-2x2)，试用定理17.11能否判定f在原点是否取得极值？如果不能，请试用其它方法判定？解：∵f x(0,0)=8x3-6xy|(0,0)=0, f y(0,0)=2y-3x2|(0,0)=0, ∴原点是f的稳定点. 又f xx=24x2-6y, f yy=2, f xy=-6x, 即有(f xx f yy-f xy2)(0,0)=0，∴由定理17.11无法判定f在原点是否取得极值.但当x2<y<2x2时，有f(x,y)<f(0,0)，而当y>2x2或y<x2时，f(x,y)>f(0,0)，∴f不可能在原点取得极值.例10：证明：圆的所有外切三角形中，以正三角形的面积为最小. 证：记圆的半径为1，任一外切三角形切点间弧长分别为α,β,γ，其中γ=2π-(α+β)，则外切三角形的面积可以表示为：S=tan 2α+tan 2β+tan 2γ= tan 2α+tan 2β-tan2β+α, 0<α,β<π.当S α=21(sec 22α-sec 22β+α)=0, S β=21(sec 22β-sec 22β+α)=0时，α=β=32π,即S 有稳定点(32π,32π). ∵S αα(32π,32π)=43>0, S ββ(32π,32π)=23,S αβ(32π,32π)=43, 即有(S ααS ββ-S αβ2)(32π,32π)=36>0,∴S 在(32π,32π)取得极小值. 又S 在定义域内处处存在偏导数，∴(32π,32π)是S 唯一的极小值点，∴当α=β=32π, γ=2π-(α+β)=32π,即外切三角形为正三角形时,面积最小.例11：(最小二乘法问题)设通过观测或实验得到一列点(x i ,y i ),i=1,2,…,n.它们大体上在一条直线上，即大体上可用直线方程来反映变量x 与y 之间的对应关系. 现要确定一直线使得与这n 个点的偏差平方和最小(最小二乘方).解：设所求直线方程为y=ax+b ，则这n 个点的偏差平方和可表示为： f(a,b)=∑=+n 1i 2i i )y -b (ax .当f a =2∑=+n 1i i i i )y -b (ax x =0, f b =2∑=+n1i i i )y -b (ax =0时,整理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∑∑∑∑∑=====n1i i n 1i i n1i i i n 1i i n 1i 2i y bn x a y x x b x a , 解方程组，得f(a,b)的稳定点： a 0=∑∑∑∑∑=====⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 1i 2n 1i i 2i n 1i i n 1i i n1i i i x x n y x y x n , b 0=2n1i i n 1i 2i n 1i i n 1i i i n 1i i n 1i 2i x x n x y x y x ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∑∑∑======. 又A=f aa =2∑=n 1i 2ix >0, B=f ab =2∑=n1i i x , C=f bb =2n, D=AC-B 2=4n ∑=n1i 2ix -4(∑=n1i i x )2>0,从而f(a,b)在点(a 0,b 0)取得极小值，根据实际可知该极小值就是最小值.习题1、求下列函数的高阶偏导数.(1)z=x 4+y 4-4x 2y 2, 二阶偏导数；(2)z=e x (cosy+xsiny), 二阶偏导数；(3)z=xln(xy), y x z 23∂∂∂,23y x z ∂∂∂；(4)u=xyze x+y+z , r q p r q p zy x z ∂∂∂∂++； (5)z=f(xy 2,x 2y), 二阶偏导数；(6)u=f(x 2+y 2+z 2), 二阶偏导数； (7)z=f(x+y,xy,yx), z x ,z xx ,z xy .解：(1)z x =4x 3-8xy 2, z y =4y 3-8x 2y, z xx =12x 2-8y 2, z yy =12y 2-8x 2, z xy =z yx =-16xy. (2)z x =e x (cosy+xsiny)+e x siny=e x (cosy+siny+xsiny), z y =e x (xcosy-siny), z xx =e x (cosy+siny+xsiny)+e x siny=e x (cosy+2siny+xsiny), z yy =-e x (xsiny+cosy), z xy =z yx =e x (cosy-siny+xcosy).(3)∵x z ∂∂=ln(xy)+1, 22x z ∂∂=x 1, y x z 2∂∂∂=y 1, ∴y x z 23∂∂∂=0; 23yx z∂∂∂=-2y 1. (4)方法一：∵x u ∂∂=(yz+xyz)e x+y+z, ∴p p xu ∂∂=(pyz+xyz)e x+y+z ；∵y x u p 1p ∂∂+=(pz+pyz+xz+xyz)e x+y+z, ∴q p q p y x u ∂∂+=(qpz+pyz+qxz+xyz)e x+y+z ,∵zy x uq p q p ∂∂+=(qp+qpz+py+pyz+qx+qxz+xy+xyz)e x+y+z , ∴r q p r q p zy x z∂∂∂∂++=(rqp+qpz+rpy+pyz+rqx+qxz+rxy+xyz)e x+y+z . 方法二：u=xyze x+y+z =xe x ·ye y ·ze z . 由归纳法知： (xe x )(p)=(x+p)e x , (ye y )(q)=(y+q)e y , (ze z )(r)=(z+r)e x ,∴r q p r q p zy x z∂∂∂∂++=(xe x )(p)(ye y )(q)(ze z )(r)=(x+p)(y+q)(z+r)e x+y+z . (5)∵z x =y 2f 1+2xyf 2, z y =2xyf 1+x 2f 2,∴z xx =y 4f 11+4xy 3f 12+4x 2y 2f 22+2yf 2, z yy =2xf 1+4x 2y 2f 11+4x 3yf 21+x 4f 22, z xy =z yx =2yf 1+y 2(2xyf 11+x 2f 12)+2xf 2+2xy(x 2f 22+2xyf 21) =2yf 1+2xf 2+2xy(x 2f 22+y 2f 11)+5x 2y 2f 21.(6)设w=x 2+y 2+z 2, 则u=f(w). ∵u x =2xf ’(w), u y =2yf ’(w), u z =2zf ’(w), ∴u xx =2f ’(w)+4x 2f ”(w), u yy =2f ’(w)+4y 2f ”(w), u zz =2f ’(w)+4z 2f ”(w), u xy =u yx =4xyf ”(w); u yz =u zy =4yzf ”(w); u zz =u zx =4xzf ”(w). (7)z x =f 1+yf 2+y1f 3,z xx =f 11+yf 12+y 1f 13+y(f 21+yf 22+y 1f 23)+y 1(f 31+yf 32+y1f 33) =f 11+f 23+f 32+y(f 12+f 21)+y 2f 22+y 1(f 13+f 31)+2y 1f 33 = f 11+2yf 12+y2f 13+y 2f 22+2f 23+2y1f 33. z xy =f 11+xf 12-2y x f 13+f 2+y(f 21+xf 22-2y x f 23)-2y 1f 3+y 1(f 31+xf 32-2y x f 33) =f 11+(x+y)f 12+ ⎝⎛y 1-⎪⎪⎭⎫2y x f 13+xyf 22 -3y x f 33+f 2-2y 1f 3.2、设u=f(x,y), x=rcos θ, y=rsin θ, 证明：22ru ∂∂+r u r 1∂∂+222θu r 1∂∂=22x u ∂∂+22y u∂∂.证：∵r u ∂∂=r x x u ∂∂∂∂+r y y u ∂∂∂∂=cos θxu ∂∂+sin θy u∂∂,θu ∂∂=θx x u ∂∂∂∂+θy y u ∂∂∂∂=rcos θy u ∂∂-rsin θxu ∂∂;∴22r u ∂∂=cos 2θ22x u ∂∂+2sin θcos θy x u 2∂∂∂+sin 2θ22yu ∂∂, 22θu ∂∂=r 2cos 2θyu 22∂∂-rsin θy u ∂∂+r 2sin 2θ22x u ∂∂-rcos θx u ∂∂-2r 2sin θcos θy x u 2∂∂∂; 又r u r 1∂∂=r 1cos θx u ∂∂+r1sin θy u∂∂,222θu r 1∂∂= cos 2θy u 22∂∂-r1sin θy u ∂∂+sin 2θx u ∂∂-r 1cos θx u ∂∂-2sin θcos θy x u 2∂∂∂; ∴22r u ∂∂+r u r 1∂∂+222θu r 1∂∂=22x u ∂∂+22yu∂∂.3、设u=f(r), r2=x 12+x 22+…+x n 2,证明：212x u ∂∂+222x u ∂∂+…+2n 2x u ∂∂=22dru d +dr dur 1-n .证：记∵k x u ∂∂=k x r dr du ∂∂=dr du r x k , ∴2k 2x u ∂∂=dr du rx r 132k⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+r d u d r x 2222k , k=1,2,…,n ∴∑=∂∂n1k 2k2x u =212x u ∂∂+222x u ∂∂+…+2n 2x u ∂∂=22dr u d +dr du r 1r n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22dr u d +dr dur 1-n .4、设v=r 1g ⎪⎭⎫ ⎝⎛-c r t , c 为常数，r=222z y x ++. 证明：v xx +v yy +v zz =2c1v tt .证：∵v x =-r x r 12g+r 1⎪⎭⎫⎝⎛-cr x g ’=-3r x g-2cr x g ’, v y =-3r y g-2cr y g ’, v z =-3r z g-2crz g ’; ∴v xx =522r r -3x g+42cr x g ’+422cr r -2x g ’+322r c x g ” =522r r -3x g+422cr r -3x g ’+322r c x g ”, v yy =522r r -3y g+422cr r -3y g ’+322r c y g ”, v zz =522rr -3z g+422cr r -3z g ’+322r c z g ”,∵522r r -3x +522r r -3y +522r r -3z =0, 422cr r -3x +422cr r -3y +422cr r -3z =0, 322r c x +322r c y +322r c z =r c 12, ∴v xx +v yy +v zz =rc 12g ”; 又v t =r 1g ’, v tt =r 1g ”, ∴v xx +v yy +v zz =2c 1v tt .5、证明定理17.8的推论. 证：证明过程见17.8推论.6、通过对F(x,y)=sinxcosy 施用中值定理，证明对某θ∈(0,1)，有43=3πcos 3πθcos 6πθ-6πsin 3πθsin 6πθ. 证：F x =cosxcosy, F y =-sinxsiny. 对点(3π,6π)和(0,0)运用中值定理知，存在某θ∈(0,1)，有F(3π,6π)-F(0,0)=3πF x (3πθ,6πθ)+6πF y (3πθ,6πθ)，即sin 3πcos 6π-sin0cos0=3πcos 3πθcos 6πθ-6πsin 3πθsin 6πθ， 又sin 3πcos 6π-sin0cos0=43，∴43=3πcos 3πθcos 6πθ-6πsin 3πθsin 6πθ.7、求下列函数在指定点处的泰勒公式：(1)f(x,y)=sin(x 2+y 2)在点(0,0) (至二阶)；(2)f(x,y)=yx在点(1,1) (至三阶)； (3)f(x,y)=ln(1+x+y)在点(0,0)；(4)f(x,y)=2x 2-xy-y 2-6x-3y+5在点(1,-2). 解：(1)∵f(0,0)=sin0=0, f x (0,0)=2xcos(x 2+y 2)|(0,0)=0, f y (0,0)=0, f xx (0,0)=[2cos(x 2+y 2)-4x 2sin(x 2+y 2)]|(0,0)=2, f yy (0,0)=2, f xy (0,0)=f yx (0,0)=-4xysin(x 2+y 2)|(0,0)=0, f xxx (θx,θy)=[-12xsin(x 2+y 2)-8x 3cos(x 2+y 2)]|(θx,θy)=-4θxsin(θ2x 2+θ2y 2)-8θ3x 3cos(θ2x 2+θ2y 2), f xxy (θx,θy)=[-4ysin(x 2+y 2)-8x 2ycos(x 2+y 2)]|(θx,θy) =-4θysin(θ2x 2+θ2y 2)-8θ3x 2ycos(θ2x 2+θ2y 2), f yyx (θx,θy)=-4θxsin(θ2x 2+θ2y 2)-8θ3xy 2cos(θ2x 2+θ2y 2), f yyy (θx,θy)=-12θysin(θ2x 2+θ2y 2)-8θ3y 3cos(θ2x 2+θ2y 2), ∴sin(x 2+y 2)=x 2+y 2+R 2(x,y)，其中R 2(x,y)=61[x 3f xxx (θx,θy)+3x 2yf xxy (θx,θy)+3xy 2f yyx (θx,θy) +y 3f yyy (θx,θy)] =-32[3θ(x 2+y 2)2sin(θ2x 2+θ2y 2) +2θ3(x 2+y 2)3cos(θ2x 2+θ2y 2)]. (2)∵f(1,1)=1, f x (1,1)=y1|(1,1)=1, f y (1,1)=-2y x|(1,1)=-1, f xx =0, f yy (1,1)=3y 2x |(1,1)=2, f xy (1,1)=f yx (1,1)=-2y1|(1,1)=-1, f xxx =f xxy =0, f yyx (1,1)=3y 2|(1,1)=2, f yyy (1,1)=-4y 6x|(1,1)=-6, f xxxx =f xxxy =f xxxy =f xxyy =0, f yyyx (1+θx,1+θy)=-4θy)(16+, f yyyy (1+θx,1+θy)=5θy)(1θx )24(1++. ∴yx=1+(x-1)-(y-1)-(x-1)(y-1)+(y-1)2+(x-1)(y-1)2-(y-1)3+R 3(x,y)，其中 R 3(x,y)=241[4(x-1)(y-1)3f yyyx (1+θx,1+θy)+(y-1)4f yyyy (1+θx,1+θy)] =-431)]-θ(y [11)-1)(y -(x ++51)]-θ(y [11)-θ(x 1++(y-1)4. (3)∵k k x f ∂∂=k 1-k y)x (11)!-(k (-1)++=k k yf ∂∂, ∴k k x f(0,0)∂∂=kk y f(0,0)∂∂=(-1)k-1(k-1)!; ∵p -n p n y x f ∂∂∂=n1-n y)x (11)!-(n (-1)++, ∴p -n p n yx f(0,0)∂∂∂=(-1)n-1(n-1)!;∴ ⎝⎛∂∂x x p!1+py y ⎪⎪⎭⎫∂∂f(0,0)=∑=p 0i p iC p!1(-1)p-1(p-1)!x i y p-i =p (-1)1-p (x+y)p. ⎝⎛∂∂+x x 1)!(n 1+py y ⎪⎪⎭⎫∂∂f(θx,θy)=1n n 1-n 0p p 1n θy)θx (1n!)1(C 1)!(n 1+=+++-+∑x p y n-p =1n n θy)θx 1)(1(n )1(++++- (x+y)n+1. ∴ln(1+x+y)=p y)(x )1(p n1p 1-p +-∑=+(-1)n1n 1n θy)θx 1)(1(n )y x (++++++, (0<θ<1). (4)∵f(1,-2)=5, f x (1,-2)=(4x-y-6)|(1,-2)=0, f y (1,-2)=(-x-2y-3)|(1,-2)=0, f xx =4, f yy =-2, f xy =f yx =-1, ∴f 的三阶偏导数都为0, ∴2x 2-xy-y 2-6x-3y+5=5+2(x-1)2-(x-1)(y+2)-(y+2)2.8、求下列函数的极值点：(1)z=3axy-x 3-y 3 (a>0)；(2)z=x 2-xy+y 2-2x+y ；(3)z=e 2x (x+y 2+2y). 解：(1)当z x =3ay-3x 2=0, z y =3ax-3y 2=0时,x=y=0或x=y=a, ∴函数z 有稳定点(0,0)和(a,a).又z xx (a,a)=-6a<0, z yy (a,a)=-6a, z xx (0,0)=0, z yy (0,0)=0, z xy =z yx =3a, 即有 (z xx z yy -z xy 2)(a,a)=27a 2>0; (z xx z yy -z xy 2)(a,a)=-9a 2<0, ∴(a,a)是极大值点, (0,0)不是极值点.(2)当z x =2x-y-2=0, z y =-x+2y +1=0时,x=1, y=0,∴函数z 有稳定点(1,0). 又z xx =2>0, z yy =2, z xy =z yx =-1, 即有z xx z yy -z xy 2=3>0;∴(1,0)是极小值点. (3)当z x =e 2x (2x+2y 2+4y+1)=0, z y =e 2x (2y+2)=0时,x=21, y=-1,∴函数z 有稳定点(21,-1). 又z xx =e 2x (4x+4y 2+8y+4), z xx (21,-1)=2e>0; z yy =2e 2x , z yy (21,-1)=2e; z xy =z yx =e 2x (4y+4), z xy (21,-1)=z yx (21,-1)=0, 即有(z xx z yy -z xy 2)(21,-1)=4e 2>0; ∴(21,-1)是极小值点.9、求下列函数在指定范围内的最大值与最小值：(1)z=x 2-y 2, {(x,y)|x 2+y 2≤4}；(2)z=x 2-xy+y 2, {(x,y)||x|+|y|≤1}； (3)z=sinx+siny-sin(x+y), {(x,y)|x ≥0,y ≥0,x+y ≤2π}.解：(1)当z x =2x=0, z y =-2y=0时,x=0, y=0,∴函数z 有稳定点(0,0). 又z xx =2>0, z yy =-2, z xy =z yx =0, 即有z xx z yy -z xy 2=-4<0;∴(0,0)不是极值点. 当x 2+y 2=4时，y 2=4-x 2，∴z=2x 2-4. 由z ’=4x=0，得稳定点x=0, y=±2, z(0,2)=z(0,-2)=-4. 又x 2=4-y 2,∴z=4-2y 2.由z ’=-4y=0,得稳定点y=0, x=±2, z(2,0)=z(-2,0)=4. ∴在(2,0),(-2,0)取最大值4, 在(2,0),(-2,0)取最小值-4. (2)当z x =2x-y=0, z y =2y-x=0时,x=0, y=0,∴函数z 有稳定点(0,0). 又z xx =2>0, z yy =2, z xy =z yx =-1, 即有z xx z yy -z xy 2=3>0;∴z(0,0)=0是极小值. 当x+y=1, 即y=1-x 时, z=x 2-x(1-x)+(1-x)2=3x 2-3x+1, 由z ’=6x-3=0, 得稳定点x=21, y=21, z(21,21)=41;当x-y=1, 即y=x-1时, z=x 2-x(x-1)+(x-1)2=x 2-x+1, 由z ’=2x-1=0, 得 稳定点x=21,y=-21, z(21,-21)=43;当-x-y=1, 即y=-x-1时, z=x 2-x(-x-1)+(-x-1)2=3x 2+3x+1, 由z ’=6x+3=0, 得 稳定点x=-21,y=-21, z(-21,-21)=43; 又z(1,0)=z(0,1)=z(-1,0)=z(0,-1)=1, ∴函数在(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)取最大值1, 在(0,0)取最小值0. (3)当z x =cosx-cos(x+y)=0, z y =cosy-cos(x+y)=0时,cosx=cosy, ∴函数的稳定点在x=y 或x+y=2π上.当x=y 时cosx-cos2x=-2cos 2x+cosx+1=0, ∴cosx=cosy=-21或1,∴x=y=32π或x=y=0, z(32π,32π)=233, z(0,0)=0. 又在边界{(x,y)|x=0, 0≤y ≤2π}∪{(x,y)|y=0, 0≤x ≤2π}∪{(x,y)|x+y=2π}上, z=0, ∴函数在(32π,32π)取最大值233, 在边界上取最小值0.10、在已知周长为2p 的一切三角形中，求出面积为最大的三角形. 解：设三边分别为x,y,y. 则面积S=z)-y)(p -x)(p -p(p , x+y+z=2p. ∴S=p)-y y)(x -x)(p -p(p , (x,y)∈D={(x,y)|0≤x ≤p, 0≤y ≤p, x+y ≥p }. 根据S 偏导数的特点，可知S 与f=(p-x)(p-y)(x+y-p)有相同的稳定点. 又当f x =(p-y)(2p-2x-y)=0, f y =(p-x)(2p-2y-x)=0时, x=y=32p , z=2p-x-y=32p, 且S 在D 的边界上有S ≡0, ∴S 在(32p ,32p)处取得最大值，即 边长为32p 的等边三角形面积最大为S(32p ,32p)=9p 3.11、在xy 平面上求一点，使它到三直线x=0, y=0及x+2y-16=0的距离平方和最小.解：所求点(x,y)到三直线的距离平方和为：s=x 2+y 2+516)-2y +(x 2.当s x =2x+516)-2y +2(x =0, s y =2y+516)-2y +4(x =0时，x=58, y=516. ∴(58,516)是s 的稳定点. 又s 在R 2内处处存在连续的偏导数, ∴(58,516)是s 唯一的稳定点，也是s 的最小值点.12、已知平面上n 个点的坐标分别为A 1(x 1,x 1), A 2(x 2,y 2), …,A n (x n ,y n )，试求一点，使它与这n 个点距离的平方和最小.解： 设点(x,y)为所求，它与各点距离平方和为：S=∑=+n1i 2i 2i ])y -(y )x -[(x .当S x =2nx-2∑=n 1i i x =0, S y =2ny-2∑=n1i i y =0时，x=∑=n 1i i x n 1, y=∑=n1i i y n 1.又S 在R 2内处处存在连续的偏导数，∴(∑=n 1i i x n 1,∑=n1i i y n 1)是S 唯一的稳定点，也是S 的最小值点.13、证明：函数u=ta 4b)-(x 22eπta 21-(a,b 为常数)满足热传导方程：t u ∂∂=a 222xu∂∂.证：t u∂∂=-ta 4b)-(x 322e πta 41-+ta 4b)-(x 22222e t a 4b)-(x πta 21-. x u ∂∂=-ta 4b)-(x 222e ta 4b)-2(x πt a 21-, 22x u∂∂=-ta 4b)-(x 3322e πta 41+ta 4b)-(x 24222e t a 4b)-(x πt 2a 1-,∴a 222x u∂∂=-ta 4b)-(x 322e πta 41-+ta 4b)-(x 22222e t a 4b)-(x πta 21-=tu∂∂.14、证明：函数u=ln 22b)-(y a)-(x +(a,b 为常数)满足拉普拉斯方程：22x u ∂∂+22yu∂∂=0. 证：∵x u∂∂=2222b)-(y a)-(x b)-(y a)-(x a -x +⋅+=22b)-(y a)-(x a -x +, ∴22x u ∂∂=222222]b)-(y a)-[(x a)-(x 2b)-(y a)-(x +-+=22222]b)-(y a)-[(x a)-(x b)-(y +-; 同理可得22y u∂∂=22222]b)-(y a)-[(x b)-(y a)-(x +-; ∴22x u ∂∂+22yu ∂∂=0.15、证明：若函数u=f(x,y)满足拉普拉斯方程：22x u ∂∂+22yu∂∂=0；则函数v=f(22y x x +,22y x y+)也满足此方程. 证：记s=22y x x +, t=22y x y +, 则x s ∂∂=22222)y x (x y +-=-y t ∂∂,y s∂∂=-222)y x (x y 2+=xt ∂∂.x v ∂∂=x s s f ∂∂∂∂+x t t f ∂∂∂∂,22x v ∂∂=222x s s f⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+2x t x s t s f 2∂∂∂∂∂∂∂+222x t t f ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+22x s s f ∂∂∂∂+22x tt f ∂∂∂∂; 同理22y v ∂∂=222y s s f ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+2y t y s t s f 2∂∂∂∂∂∂∂+222y t t f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+22y s s f ∂∂∂∂+22y tt f ∂∂∂∂; ∵22x s ∂∂=-x y t 2∂∂∂,22y s ∂∂=y x t 2∂∂∂, ∴22x s ∂∂+22y s ∂∂=0, 同理22x t ∂∂+22yt∂∂=0. 又2x s ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2y t ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂, 2x t ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2y s ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂, x t x s ∂∂∂∂=-y t y s ∂∂∂∂,22s f ∂∂+22t f ∂∂=0, 代入上述各式子，可得22x v ∂∂+22yv∂∂=0.16、设函数u=φ(x+ψ(y))，证明y x u x u 2∂∂∂∂∂=22x uy u ∂∂∂∂.证：令s=x+ψ(y), 则∵x u ∂∂=ds d φ,y x u 2∂∂∂=dy d ψds φd 22, ∴y x u x u 2∂∂∂∂∂=dy d ψds φd ds d φ2;又y u ∂∂=dy d ψds d φ, 22x u ∂∂=22dsφd , ∴22x u y u ∂∂∂∂=dy d ψds φd ds d φ22=y x u x u 2∂∂∂∂∂.17、设f x ,f y 和f yx 在点(x 0,y 0)在某邻域内存在，f yx 在点(x 0,y 0)连续，证明：f xy 也存在，且f xy (x 0,y 0)=f yx (x 0,y 0). 证：由已知条件及中值定理得：F(△x,△y)=f(x 0+△x,y 0+△y)-f(x 0+△x,y 0)-f(x 0,y 0+△y)+f(x 0,y 0) =f yx (x 0+θ1△x,y 0+θ2△y)△x △y, 0<θ1,θ2<1，即有 f yx (x 0+θ1△x,y 0+θ2△y) =y1x )y ,f(x -)y x,f(x x y)y ,f(x -y)y x,f(x 00000000∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆+-∆∆+∆+∆+. 又f yx 在点(x 0,y 0)连续，故对上式两边取△x →0得 f yx (x 0,y 0+θ2△y)=y)y ,f(x -)y x ,f(x 0000∆∆+，再让△y →0,由f yx 在点(x 0,y 0)连续及f xy 的定义知，f xy (x 0,y 0)=f yx (x 0,y 0).18、证明：若f x ,f y 在点(x 0,y 0)在某邻域内存在且在点(x 0,y 0)可微，则有f xy (x 0,y 0)=f yx (x 0,y 0).证：由已知条件及中值定理得：F(△x,△y)=f(x 0+△x,y 0+△y)-f(x 0+△x,y 0)-f(x 0,y 0+△y)+f(x 0,y 0) =[f x (x 0+θ1△x,y 0+△y)-f x (x 0+θ1△x,y 0)]△x, 0<θ1<1. 由f x 在点(x 0,y 0)可微知F(△x,△y)=f x (x 0+θ1△x,y 0+△y)-f x (x 0,y 0)]△x-f x (x 0+θ1△x,y 0)-f x (x 0,y 0)]△x =[f xx (x 0,y 0)θ1△x+f xy (x 0,y 0)△y+o (ρ)-f xx (x 0,y 0)θ1△x-o (ρ)]△x= f xy (x 0,y 0)△x △y+o (ρ)△x. ∴yx y)x ,f(lim (0,0)y )x,(∆⋅∆∆∆→∆∆=f xy (x 0,y 0). 同理， 由f y 在点(x 0,y 0)可微得yx y)x ,f(lim (0,0)y )x,(∆⋅∆∆∆→∆∆=f yx (x 0,y 0). ∴f xy (x 0,y 0)=f yx (x 0,y 0).19、设u=222z y x z y x111, 求(1)u x +u y +u z ；(2)xu x +yu y +zu z ；(3)u xx +u yy +u zz . 解：u x =22z y 2x z y1110=2xz+y 2-2xy-z 2=(y-z)(-2x+y+z), 同理 u y =(x-z)(-2y+x+z), u z =(x-y)(-2z+x+y),∴(1)u x +u y +u z =0; (2)xu x +yu y +zu z =3(z-y)(x-y)(x-z). 又∵u xx =2(z-y), u yy =2(x-z), u zz =2(y-x),∴(3)u xx +u yy +u zz =0.20、设f(x,y,z)=Ax 2+By 2+Cz 2+Dxy+Eyz+Fzx, 试按h,k,l 的正数幂展开f(x+h,y+k,z+l).解：∵f x =2Ax+Dy+Fz, f y =2By+Dx+Ez, f z =2Cz+Ey+Fx; f xx =2A, f yy =2B, f zz =2C; f xy =f yx =D, f xz =f zx =F, f yz =f zy =E.∴f(x+h,y+k,z+l)=f(x,y,z)+(2Ax+Dy+Fz)h+(2By+Dx+Ez)k+(2By+Dx+Ez)l +Ah 2+Bk 2+Cl 2+Dhk+Ekl+Fhl= f(x,y,z)+(2Ax+Dy+Fz)h+(2By+Dx+Ez)k+(2By+Dx+Ez)l+f(h,k,l).。

《高等数学》课程中泰勒公式的应用泰勒公式是高等数学中一个非常重要的数学工具，它是数学中用来近似计算的一种方法。

泰勒公式的应用涉及到很多方面，下面将讨论一些常见的应用。

1. 函数的近似计算：泰勒公式可以用来对函数进行近似计算，在给定的点附近用一个多项式来近似表示函数的值。

我们可以用泰勒公式来近似计算三角函数、指数函数等复杂函数在某个点的值，从而在数值计算时得到较为准确的结果。

2. 极值问题：泰勒公式可以用来解决极值问题。

对于一个函数，在极值点附近，其函数值相对于极值点的位置是一个关键因素。

通过泰勒公式，我们可以计算函数在极值点附近的表现，从而判断函数在极值点附近的走势。

3. 曲线拟合：泰勒公式可以用来进行曲线拟合。

当我们有一些离散的数据点，想要找到一个函数曲线来拟合这些点时，可以利用泰勒公式来实现。

通过构建泰勒多项式，我们可以将一条曲线与离散数据点进行匹配，从而达到拟合的效果。

4. 数值逼近：泰勒公式可以用来进行数值逼近。

当一个函数在某个点的导数很难计算时，可以利用泰勒公式来逼近这个导数的值。

将泰勒公式展开到适当的阶数，可以得到一个近似值，用来代替实际值进行计算。

5. 工程应用：泰勒公式在工程中有很多实际应用。

在电子电路中，可以利用泰勒公式对电路中的信号进行近似计算，从而优化电路的设计。

在材料力学中，可以利用泰勒公式进行应力分析和变形分析，从而提高材料的性能和使用效果。

泰勒公式作为数学中的一种重要工具，广泛应用于各个领域。

通过泰勒公式，我们可以对复杂的函数进行近似计算，解决一些数值计算中的难题，同时还可以优化工程设计和提高产品性能。

了解和掌握泰勒公式的应用是非常有意义的。

§4 泰勒公式与极值问题教学目的 掌握二元函数的高阶偏导数与泰勒公式的定义，掌握二元函数的极值的必要条件与充分条件．教学要求(1)掌握二元函数的高阶偏导数与泰勒公式的定义，能够根据二元函数的极值的必要条件与充分条件寻找二元函数的极值与最大(小)值．(2)掌握混合偏导数与求导次序无关的定理的证明以及二元函数的极值的必要条件充分条件定理的证明．教学建议(1) 布置适量的求二元函数的高阶偏导数和求二元函数的极值与最值的习题．(2) 讨论混合偏导和与求导次序无关的多种定理证明的习题有一定的难度，只对较好学生布置有关习题．教学程序一、中值定理：定理 设二元函数f 在凸区域D 2R ⊂上连续 , 在D 的所有内点处可微 . 则对D 内任意两点int ) , ( , ),(∈++k b h a Q b a P D , 存在) 10 ( <<θθ, 使 k k b h a f h k b h a f b a f k b h a f x ) , () , (),() , (θθθθ+++++=-++.证: 令()( , ) , t f a th b tk Φ=++然后利用一元函数的中值定理.推论 若函数f 在区域D 上存在偏导数 , 且x f ≡y f ≡0, 则f 是D 上的常值函数.二、 Taylor 公式:定理 (Taylor 公式) 若函数f 在点),(000y x P 的某邻域)(0P 内有直到1+n 阶连续偏导数 , 则对)(0P 内任一点) , (00k y h x ++,存在相应的) 1 , 0(∈θ, 使∑=+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=++n i n i k y h x f y k x h n y x f y k x h i k y h x f 00010000). , ()!1(1),(!1 ) , (θθ证 略例1 求函数y x y x f =),(在点) 4 , 1 (的Taylor 公式 ( 到二阶为止 ) . 并用它计算 .) 08.1 (96.3三、 极值问题:（一）、极值的定义: 注意只在内点定义极值.（二）、极值的必要条件：与一元函数比较 .定理 设0P 为函数)(P f 的极值点 . 则当)(0P f x 和存在时 , 有)(0P f x =)(0P f y 0=. ( 证 )函数的驻点、不可导点 ， 函数的可疑点 .（三）、极值的充分条件:代数准备: 给出二元( 实 )二次型 222),(cy bxy ax y x g ++=. 其矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b b a .1 ),(y x g 是正定的,⇔ 顺序主子式全0 >,),(y x g 是半正定的,⇔ 顺序主子式全 0 ≥;2 ),(y x g 是负定的,⇔ 0||) 1(1>-k ij k a , 其中k ij a 1||为k 阶顺序主子式. ),(y x g 是半负定的, ⇔ 0||) 1(1≥-k ij k a .3 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b b a < 0时, ),(y x g 是不定的.充分条件的讨论 设函数),(y x f 在点),(000y x P 某邻域有二阶连续偏导数 . 由Taylor 公式 , 有)()(!21)(),() , (20200000ρ +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=-++P f y k x h P f y k x h y x f k y h x f=)(0P f x h +)(0P f y k + [])()()(2)(!21220020ρ +++k P f hk P f h P f yy xy xx . 令 )(0P f A xx = , )(0P f B xy =, )(0P f C yy =, 则当0P 为驻点时, 有[])(221),() , (2220000ρ +++=-++Ck Bhk Ah y x f k y h x f . 其中22k h +=ρ. 可见式),() , (0000y x f k y h x f -++的符号由二次型222Ck Bhk Ah ++完全决定.称该二次型的矩阵为函数),(y x f 的Hesse 矩阵. 于是由上述代数准备, 有1 0 , 02>->B AC A , 0 P ⇒为 ( 严格 ) 极小值点 ;2 0 , 02>-<B AC A , 0 P ⇒为 ( 严格 ) 极大值点 ;3 0 2<-B AC 时, 0P 不是极值点;4 0 2=-B AC 时, 0P 可能是极值点 , 也可能不是极值点 .综上 , 有以下定理 :定理 设函数)(P f 在点0P 的某邻域内有连续的二阶偏导数 , 0P 是驻点 . 则1 ()0)( , 0)(020>->P f f f P f xy yy xx xx 时 , 0P 为极小值点;2 ()0)( , 0)(020>-<P f f f P f xy yy xx xx 时 , 0P 为极大值点;3 ()0)( 02<-P f f f xy yy xx 时 , 0P 不是极值点;4 ()0)( 02=-P f f f xy yy xx 时 , 0P 可能是极值点 , 也可能不是极值点 .四、 函数的最值：例8 求函数),(y x f y x y xy x 4102422+--+=在域D = } 4 , 0 , 0 |),( {≤+≥≥y x y x y x 上的最值 .解 令 ⎩⎨⎧=+-==-+=.04 44),(,01042),(y x y x f y x y x f y x 解得驻点为) 2 , 1 (. 1) 2 , 1 (-=f .在边界) 40 ( 0≤≤=y x 上 , y y y f 42),0(2+-=, 驻点为1=y ,2)1,0(=f ;在边界) 40 ( 0≤≤=x y 上 , x x x f 10)0,(2-=, 没有驻点; 在边界) 40 ( 4≤≤-=x x y 上 , 16185)4 , (2-+-=-x x x x f , 驻点为8.1=x , 2.0)8.14 , 8.1(=-f .又24)0,4( , 16)4,0( , 0)0,0(-=-==f f f .于是 , ==)}0,4( , )4,0( , )0,0( , )2.2 , 8.1( , )1,0( , )2,1(max{),(max f f f f f f y x f D2.0} 24 , 16 , 0 , 2.0 , 2 , 1 max{=---=. ),(min y x f D24} 24 , 16 , 0 , 2.0 , 2 , 1 min{-=---=. 作业 教材P140-141:1-11。

泰勒公式在极值点偏移问题中的应用已知函数y=f(x)是连续的函数，f(x)在区间(x1,x2)内只有一个极值点x0，且f(x1)=f(x2)，由于函数在极值点左右两边的增减速度不同，函数的图像会呈现不对称性，即极值点x0≠(x1+x2)/2。

直接上题目我们已知f(x)如下，并且已经知道有两个零点，且x1<x2。

如何证明两个零点和小于0呢？f(x)=e e−x+b (b<−1)f(x)=ex−x+b(b<−1)首先分析一下为什么要证明他小于0。

我们对f(x)，进行求导，不难发现，x=0是导数的驻点，同时也是原函数的极值点。

所以这道题目的本质就是一道极值点偏移问题，求证x1+x2<2x0，而正好极值点x0=0，所以这道问题的本质就这样被我们发现了。

如何去做？方法很多，常规方法太繁琐。

先说一个容易理解和解释的方法。

我们要证明x1+x2<0，即转换为求证x1<-x2，我们不难发现，x1和-x2都应该在y轴的左边，而左边则是函数递减区间。

那我们可以转换证明f(x1)>f(-x2)我们又知道f(x1)=f(x2)，因为他们都是函数的零点。

所以再次转换为f(x2)-f(-x2)>0，这时候我们的方向已经很清晰了。

构建函数g(x)=f(x)-f(-x)可得，g(x)=e e−e−e−2x g(x)=ex−e−x−2x求导微分可得，e′(x)=e e+e−e−2g′(x)=ex+e−x−2根据均值不等式可以很快算出g’(x)≥0得g(x)在(0,+∞)上递增。

最小值就是g(x)min=g(0)=0，可得f(x2)>f(-x2)，此时我们已经证明结束了。

这个方法类似于构造准对称来证明，那么我们有没有办法直接改变一个对称函数呢？泰勒公式在极值点偏移问题中的应用 12最在行e e=1+x+e22!+e33!+⋯+e en!ex=1+x+2!x2+3!x3+⋯+n!xn这是我们这题使用的泰勒公式在极值点偏移问题中的应用12，别看它已经扩展到N级数，但是我们只需要下面这个。

8.4 泰勒公式与极值一 教学目的与要求１、了解二元函数的泰勒公式、二元函数的极值的求法 ２、熟练掌握高阶偏导数的求法 ３、掌握二元函数极值的判定方法 二 重点与难点偏导数与全微分及复合函数偏导数与全微分的求法三 教学过程8.4.1 高阶偏导数由于函数(,)z f x y =的偏导数'(,)x f x y 、'(,)y f x y 仍然是自变量x 与y 的函数.如果它们关于x 与y 的偏导数也存在,则称它们的偏导数是函数(,)z f x y =的二阶偏导数.二元函数的二阶偏导数有如下四种情形2''''2(,)x x x x z z f x y z x x x∂∂∂⎛⎫=== ⎪∂∂∂⎝⎭ 2''''(,)xy xy z z f x y z y x x y∂∂∂⎛⎫=== ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 2''''(,)yx yx z z f x y z x y y x⎛⎫∂∂∂=== ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 2''''2(,)yy yy z z f x y z y y y⎛⎫∂∂∂=== ⎪∂∂∂⎝⎭ 其中''(,)xy f x y 和''(,)yx f x y 称为二阶混合偏导数.同样,假如这四个二阶偏导数又有对x 与y 的偏导数,这种二阶偏导数的偏导数就叫做函数(,)z f x y =的三阶偏导数.三阶偏导数的符号与而界二阶偏导数的符号类似,例如:用3z x y z∂∂∂∂或'''(,)xyx f x y 或'''xyx z 来表示2z x x y ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂∂⎝⎭用32z x y ∂∂∂或2'''(,)x y f x y 或2'''x y z 来表示22z y x ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂⎝⎭用33z x∂∂或3'''(,)x f x y 或3'''x z 来表示22z x x ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂⎝⎭等共有八种情形.依次类推,函数(,)z f x y =的1n -阶偏导数的偏导数称为函数(,)z f x y =的n 阶偏导数,共有2n 种情形.二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数,其中既有关于x 又有关于y 的高阶偏导数称为高阶混合偏导数.[例 4.1] 求函数222273z x y xy y =-+-的二阶偏导数. [解]322222347zzxy y x y xy x y∂∂=-=-+∂∂ 22322264z zy xy y x x y∂∂==-∂∂∂ 222226464zz xy y x y x y xy∂∂=-=-∂∂∂ [例 4.2] 求arctanyz x=的二阶偏导数. [解]2222z y z xx x y y x y ∂∂=-=∂+∂+ 22222222()z y xyx x x y x y ⎛⎫∂∂=-= ⎪∂∂++⎝⎭ 22222222()z yx y x y y x y x y ⎛⎫∂∂-=-=- ⎪∂∂∂++⎝⎭22222222()z xx y y x x x y x y ⎛⎫∂∂-==- ⎪∂∂∂++⎝⎭22222222()z x xyy y x y x y ⎛⎫∂∂==- ⎪∂∂++⎝⎭ 上述两例中,二阶混合偏导数2z x y ∂∂∂与2zy x∂∂∂都是相等的,这种现象的发生并非偶然,而是许多函数都具有的性质.但这个结论并不对任何函数都成立.例如,函数222222220(,)00x y xy x y x yf x y x y ⎧-+≠⎪+=⎨⎪+=⎩它的一阶偏导数为422422222'22(4)0()(,)00x y x x y y x y x y f x y x y ⎧+-+≠⎪+=⎨⎪+=⎩422422222'22(4)0()(,)00y x x x y y x y x y f x y x y ⎧--+≠⎪+=⎨⎪+=⎩于是''''00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1x x xyy y f y f yf y y∆→∆→∆--∆===-∆∆''''00(0,)(0,0)(0,0)limlim1y y yx x x f x f xf xx∆→∆→∆-∆===∆∆这说明(,)f x y 在点(0,0)处的两个二阶混合偏导数与求导顺序有关.那么在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢?下面从偏导数定义出发分析这个问题.因 '0(,)(,)(,)l i m x x f x x y f x y f x y x∆→+∆-=∆所以有''''0000000(,)(,)(,)lim x x xyy f x y y f x y f x y y∆→+∆-==∆00000000000(,)(,)1lim[lim (,)(,)lim ]y x x f x x y y f x y y y xf x x y f x y x∆→∆→∆→+∆+∆-+∆-∆∆+∆-=∆00000000001lim lim[(,)(,)(,)(,)]y x f x x y y f x y y x y f x x y f x y ∆→∆→+∆+∆-+∆-∆∆+∆-同理有''0000000000001(,)lim lim[(,)(,)(,)(,)]yx x y f x y f x x y y f x y y x y f x x y f x y ∆→∆→=+∆+∆-+∆-∆∆+∆+ 因此, ''''0000(,)(,)xy yx f x y f x y =成立,实质上是上述两个二次极限相等.[定理 4.1] 若函数(,)f x y 在点000(,)P x y 的邻域0()U P 存在二阶混合偏导数''''0000(,)(,)xy yx f x y f x y 与,并且它们在的000(,)P x y 处连续,则''''0000(,)(,)x y y x f x y f x y =[证] 当||x ∆与||y ∆充分小时, 000(,)()x x y y U P +∆+∆∈,于是00(,)x x y +∆与000(,)()x y y U P +∆∈.设0000000(,)(,)(,)(,)(,)x y f x x y y f x y y f x x y f x y ϕ∆∆=+∆+∆-+∆-+∆+ 00()(,)(,)g x f x y y f x y =+∆- 则有00(,)()()x y g x x g x ϕ∆∆=+∆-易知()g x 在以000x x x +∆与为端点的区间可导,由拉格朗日中值定理,有'01(,)()x y g x x x ϕθ∆∆=+∆∆=''010010[(,)(,)]x x f x x y y f x x y x θθ+∆+∆-+∆∆ 1(01)θ<< 已知''(,)xy f x y 在0()U P 存在,故对以y 为自变量的函数'01(,)x f x x y θ+∆应用拉格朗日中值定理,有''010212(,)(,)(0,1)xy x y f x x y y x yϕθθθθ∆∆=+∆+∆∆∆<<再令 00()(,)(,)h y f x x y f x y =+∆- 则有 00(,)()()x y h y y h y ϕ∆∆=+∆-用前面同样的方法,可得''030434(,)(,)(0,1)yx x y f x x y y x yϕθθθθ∆∆=+∆+∆∆∆<<于是,当x ∆、y ∆不为零时,可得''''010203041234(,)(,)(0,,,1)x y y x f x x y y f x x y yθθθθθθθθ+∆+∆=+∆+∆<<已知''(,)xy f x y 与''(,)yx f x y 在点000(,)P x y 连续,故当0x ∆→、0y ∆→时,有 ''''0000(,)(,)xy yx f x y f x y =定理4.1的结论可推广到n 元函数的高阶混合偏导数上去.例如三元函数(,,)f x y z 关于,,x y z 的四阶混合偏导数42f x y z ∂∂∂∂与4fz x y x∂∂∂∂∂,如果它们连续则相等.若二元函数(,)f x y 在点(,)x y 存在直到n 阶的连续混合偏导数,则函数(,)f x y 的n 阶偏导数与求导顺序无关,都可化成(0,1,2,,)n i n ifi n x y -∂=∂∂ 的形式,这样n 阶偏导数只有1n +个了.[例 4.3] 设(,),()z F x y y x ϕ==,其中F 、ϕ都有二阶连续偏导数. [解] 由全导数公式,有'''(,)(,)()x y dzF x y F x y x dxϕ=+ 注意到'(,)x F x y 、'(,)y F x y 仍是x 、y 的二元函数,再由全导数公式,得2'''''2(,)(,)()xx xy d z F x y F x y x dxϕ=++ '''''''''[(,)(,)()]()(,)()y x y y y F x y F x y x x F x y x ϕϕϕ++= ''''''''2''(,)2(,)()(,)(())(,)()x x x y y yy F x y F x y x F x y x F x y x ϕϕϕ+++ [例 4.4] 设f 具有二阶连续偏导数,求导数(,)xu f x y=的二阶偏导数.[解] 用1、2来标记f 的两个量'''122211u u f f f x yy y ⎛⎫∂∂=+=- ⎪∂∂⎝⎭所以 2''''''''111221222''''''111222211121u f f f f x y y yf f f y y⎛⎫∂=+++=⎪∂⎝⎭++ 2'''''1222222211u x x f f f x y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂=-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭'''''122222321x x f f f y y y--- 2222''''''2222222234322u x x x x f f f f y y y y y ⎛⎫⎛⎫∂=-+=+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭[例 4.5] 设(,)f x y 和(,),(,)x u v y u v ϕψ==都有连续的二阶偏导数,且x y 和满足,(4.1)x y x y u v v u∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 求证 2222222222f f f fx x u v xy u v ⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫+=++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦[证] 由复合函数求导法得 f f x f yu x u y u∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ 所以2222222f f x x f x f y u x u u x u x y u ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂=+++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 22222f y y f x f y y u u y x u y u ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂++= ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭2222222f x f x f x y x u x u x y u u ∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫+++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭22222(4.2)f y f y y u y u ∂∂∂∂⎛⎫+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭同样有 22222222222222f f x fx f x fx f x y v x v xv x ux u x y v v ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭22222(4.3)f y fy y v y v ∂∂∂∂⎛⎫+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭又式（4.1）222222x yx yu v u v u v ∂∂∂∂==-∂∂∂∂∂∂ 222222y xy xu v u v u v∂∂∂∂=-=∂∂∂∂∂∂ 0x y x yu u v v∂∂∂∂⋅+⋅=∂∂∂∂ 代入(4.2)、(4.3)两式,并把两式相加,得到2222222222f f f y y fx x u v x v u u v x u v ⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫+=-+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 222222f y y fy y y v u u v yu v ⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫-+++=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦22222222fx x f y y x u v yu v ⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦又式(4.2)又有2222y y x x u v u v ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以有2222222222f f f f x x u v x y u v ⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫+=++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦8.4.2 二元函数的泰勒公式用多元多项式逼近已知多元函数的问题在理论和应用上都是重要的.为简便起见,仅就二元函数的情况进行讨论.[定理 4.2] 若函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某邻域0()U P 内有1n +阶连续的偏导数,点000(,)()x h y k U P ++∈,则有 000000(,)(,)(,)f x h y k f x y h k f x y x y ⎛⎫∂∂++=+++ ⎪∂∂⎝⎭2000011(,)(,)2!!nn h k f x y h k f x y R x y n x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂+++++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭（4.4） 其中00000(,)(,)mn mii m i m i m i i hk f x y C f x y h k xy x y --=⎛⎫∂∂∂+= ⎪∂∂∂∂⎝⎭∑,n R 称为余项 1001(,)(01)(1)!n n R h k f x h y k n x y θθθ+⎛⎫∂∂=+++<< ⎪+∂∂⎝⎭令1t =,得()(1)2(0)(0)()(1)(0)(0)2!!(1)!n n n t t t n n ϕϕϕθϕϕϕ+''=++++++注意0000(1)(,),(0)(,)f x h y k f x y ϕϕ=++=,由复合导数链导法,则有''000000(0)(,)(,)(,)x y f x y h f x y k hk f x y xy ϕ⎛⎫∂∂'=+=+ ⎪∂∂⎝⎭''2''''2000000200(0)(,)2(,)(,)(,)xx xy yy f x y h f x y hk f x y k h k f x y xy ϕ''=++=⎛⎫∂∂+ ⎪∂∂⎝⎭()00(0)(,)nn h k f x y x y ϕ⎛⎫∂∂=+ ⎪∂∂⎝⎭1(1)00()(,)n n h k f x h y k xy ϕθθθ++⎛⎫∂∂=+++ ⎪∂∂⎝⎭将上述结果代入(1)ϕ的展开式中,就得到二元函数(,)f x y 在点000(,)P x y 的泰勒公式(4.4). 在泰勒公式(4.4)中,令000,0x y ==,就得到二元函数(,)f x y 的马克劳林公式(将h 与k 分别用x 与y 表示)(,)f x y =1(0,0)(0,0)1!f x y f x y ⎛⎫∂∂+++ ⎪∂∂⎝⎭11(0,0)(0,0)2!!nx y f x y f x y n x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂+++++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 11(,)(01)(1)!n x y f x y n x y θθθ+⎛⎫∂∂+<< ⎪+∂∂⎝⎭在泰勒公式(4.4)中,令0n =,有0000(,)(,)f x h y k f x y ++-=''0000(,)(,)(01)x y f x h y k h f x h y k kθθθθθ++-++<<称为二元函数的中值公式.[例 4.6] 将函数(,)x y f x y e +=展成马克劳林公式.[解] 函数(,)x y f x y e +=在2R 存在任意阶连续偏导数,其m 阶偏导数为()(0,0)10,1,2,,m mx y i m i i m ife f i m x yx y +--∂∂===∂∂∂∂将它们代入马克劳林公式得 ()2111()()()2!!x y n ex y x y x y n +=++++++++1()1()(01)(1)!n x y x y e n θθ+++<<+[例 4.7] 设(,)y f x y x =,在点(1,4)附近寻找一个x 、y 的二次多项式来逼近(,)f x y ，并用它计算 3.96(1.08)。