二向应力状态下的应力分析(应力圆)

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应力圆

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点面对应--应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和切应力；转向对应--半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；二倍角对应--半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍。有这三个对应关系，画应力圆和从应力圆得到一些重要关系就比较方便。首先是点面对应。如图是一个平面应力状态，建立图示坐标系，图中的应力圆圆周上a点对应于微元的一个方向面A，A面上的正应力和切应力就对应着应力圆上a点的坐标。
应力圆
• 数字转换是很麻烦的，但若是把数学公式加以简单的变换，可以发现任意方向面上的应力所满足的方程可以转换为一个圆的方程，这个圆就叫做应力圆。
பைடு நூலகம்
• • • •
应力圆方程几种对应关系应力圆的画法应力圆的应用
•
利用三角恒等式，可以将前面所得的关于和的方程写成：
•
利用三角恒等式进行转换，于是写成如图上面的两个方程，再经过简单的数学转换，就得到图中最下的方程。 • 应力圆的圆心坐标是（σx +σy）/2，半径为R，因此应力圆就是如图所示的圆。
•
通过求圆心坐标和半径的画法比较复杂，所以利用上面的三种对应关系来画。首先建立坐标系，在坐标系中，标定与微元垂直的A、D面上应力对应的点a和d，连d交轴于c点， c即为圆心，cd或ca为应力圆半径。
例题

应力状态概述二向和三向应力状态的实例二向

2．作应力圆主应力为 1 , 3 ，并可确定主平面的法线。
材料力学
第七章
应力和应变分析
3．分析纯剪切应力状态的两个主应力绝对值相等，但一为拉应力，另一为压应力。由于铸铁抗拉强度较低，圆截面铸铁构件扭转时构件将沿倾角为 45º 的螺旋面因拉伸而发生断裂破坏。
材料力学
第七章
2 2
x y
xy

n

材料力学
y a xy
y On D( x , ) a a
a
第七章
n
应力和应变分析
二、应力圆的画法
建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）在坐标系内画出点A( x， xy)和B(y，yx)

x
C O
2a
AB与a 轴的交点C便是圆 A( x , xy) 心。
150°
第七章
应力和应变分析
x y 2 2 1 x y （） xy 2 2 2
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
95
60°
y 45MP a yx 25 3MP a xy
25 3
x ?
y O x
60 95MPa 60 25 3MPa
材料力学
第七章
应力和应变分析
应力表示——单元体：
①dx、dy、dz（微小的正六面体） ②单元体某斜截面上的应力就代表了构件内对应点同方位截面上的应力。
B P
dz
dx
dy
A
C
பைடு நூலகம்
B
D
C
B、C——单向受力，τ ＝0 A——纯剪切， σ ＝0
D
D——既有 σ ，又有τ

应力圆概念

σ1
例题7-1 从水坝体内某点处取出的单元体如图所示, sx= - 1MPa , sy= - 0.4MPa , tx= - 0.2MPa , ty= 0.2MPa , （1）绘出相应的应力圆（2）确定此单元体在 a =30°和a = - 40°两斜面上的应力。
σy τy
σ x = -1
σx τx
C
D1 (-1,-0.2)
B2
s
(2) 确定 a = 30°斜截面上的应力将半径 CD1 逆时针转动 2a = 60°到半径 CE, E 点的坐标就
代表 a = 30°斜截面上的应力。
(-0.4,0.2) t D2 B1 C o
B2
D1 (-1,0.2)
s
σ 30 = -0.68 MPa
0
60
C
D1 (-1,0.2)
B2
σ -40 = -0.95 MPa
0
τ -40 = 0.26 MPa
0
σ 30 = -0.68 MPa
0
τ 30 = -0.36 MPa
0
σ -40 = -0.95 MPa
0
τ -40 = 0.26 MPa
0
y
α =30
0
x
α = 400
例题 7-2 两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图 a , b 所示,
0
τ 30
E
τ 30 = -0.36 MPa
0
0
σ 30
0
(3) 确定 a = - 40°斜截面上的应力将半径 CD1 顺时针转 2a = 80°到半径 CF, F 点的坐标就代表a = - 40°斜截面上的应力。 F
σ -40
-80

二向应力状态分析—图解法

§7–4 二向应力状态分析—图解法
x
2
y
x
2
y
cos 2
x
sin
2
x
2
y
sin
2
x
cos 2
1、莫尔圆的概念
(
x
y 2
)2
2
(x
y )2 2
2 x
(
x
y 2
)2
2
(x
y 2
)2
2x
当斜截面随方位角变化时, 其上的应力，在 - 直角坐标系内的轨迹是一个圆。
圆心的坐标为(the coordinates of MOHR circle’s center)
y
xm
900
t
450
k
D
y
xm
900
t
450
k
D
y
3
τ max
x
τ max
k
450
1
解: 从圆筒表面 k 点处取出单元体, 其各面上的应力分量如图所示
可求得
y 1 max 80MPa
x 3 max 80MPa
z 0
k点处的线应变 x , y 为
y
x
1 E
(x
y )
1 E
(max
z
x
二、纯剪的本构关系
xy
xy
G
i 0 ( i x,y,z ) yz zx 0
y
xy
z
x
三、复杂状态下的本构关系
y
依叠加原理,得
y
z
z
x
xy
x
x
x
E
y
E

应力圆的画法课件

实例三：多向应力圆
多向应力圆，考虑多种受力方向和大小
输入标题
详细描述
当物体受到多个方向的力和力矩作用时，应力圆呈现多向性，圆心位于所有力和力矩的合力矩中心，半径表示各方向应力的合力大小。
总结词
公式
F表示合力，F_i表示各方向力，M表示合力矩，M_i表示各方向力矩。
解释
F=ΣF_i, M=ΣM_i
应力圆的应用
应力圆被广泛应用于工程和科学领域，特别是在材料力学、结构分析和机械设计中。通过应力圆，工程师可以直观地了解应力的分布和变化，从而优化设计、提高结构的稳定性和安全性。
对未来研究的展望
01
应力圆理论的发展
随着科学技术的发展，对应力圆理论的深入研究有望进一步揭示其内在
规律和性质，为解决更复杂的应力问题提供更有效的工具。
02
应力圆与其他领域的交叉研究
可以探索应力圆与其他领域（如物理学、生物学等）的交叉研究，以发
现新的应用和研究方向。
03
应力圆的计算机辅助分析
随着计算机技术的发展，利用计算机辅助分析工具进行应力圆的分析和
模拟将成为一个重要的研究方向，有助于提高分析的效率和准确性。
THANK YOU
应力圆的画法课件
目录
• 应力圆的基本概念 • 应力圆的画法 • 应力圆的应用 • 应力圆的实例分析 • 总结与展望
01
应力圆的基本概念
定义与特性
定义
应力圆是一种表示平面应力状态的工具，通过将平面内的应力分量表示为圆周上的角度，以直观地展示应力分布。
特性
应力圆具有直观性、易理解性、易绘制性等特点，是工程中常用的应力分析工具。
公式ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

应力状态的概念

t xy 10MPa
600
600
n
s
40 (20) 2
40 (20) cos(1200 ) (10) sin(1200 ) 2
13.67MPa
t
40 (20) sin(1200 ) (10) cos(1200 ) 21MPa 2
20MPa
10MPa
300
40MPa
300
xn
解： s x 20MPa
P
A
P sx
sx
A
y
B
C z
P
sx B sx
Mx
tzx
txz
课堂练习
t yx
t C
xy
用单元体表达圆轴受扭时，轴表面任一点旳应力状态。
用单元体表达矩形截面梁横力弯曲时，梁顶、梁底及其他各
点旳应力状态。
七、主平面、主应力：
sy
y
主平面(Principal Plane)：剪应力为零旳截面。
sx
sz
z
1 2 3
体积应变与应力分量间旳关系:
1 2
E
(s 1
s2
s3)
例5 已知一受力构件自由表面上某一点处于表面内旳主应变分别
为：1=24010-6， 3=–16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为 =0.3，试求该点处旳主应力及另一主应变。
1 E
s
z
s
x s
y
xy
t
xy
G
yz
t
yz
G
zx
t zx
G
上式称为广义胡克定律
主应力 --- 主应变关系
s1 s3
1
1 E

应力与应力状态分析

应力与应力状态分析拉伸模量拉伸模量是指材料在拉伸时的弹性，其计算公式如下：拉伸模量（㎏/c ㎡)=△f/△h(㎏/c ㎡)其中，△f 表示单位面积两点之间的力变化，△h 表示以上两点之间的应变化。

更具体地说，△h ＝（L-L0）/L0，其中L0表示拉伸长前的长度，L 表示拉伸长后的长度。

§4-1 几组基本术语与概念一、变形固体的基本假设1、均匀连续性假设：假设在变形固体的整个体积内均匀地、毫无空隙地充满着物质，并且各点处的力学性质完全相同。

根据这一假设，可从变形固体内任意一点取出微小单元体进行研究，且各点处的力学性质完全相同，因而固体内部各质点的位移、各点处的内力都将是连续分布的，可以表示为各点坐标的连续函数。

2、各向同性假设：假设变形固体在所有方向上均具有相同的力学性质。

3、小变形假设：认为构件的变形与构件的原始尺寸相比及其微小。

根据小变形假设，在研究构件上力系的简化、研究构件及其局部的平衡时，均可忽略构件的变形而按构件的原始形状、尺寸进行计算。

二、应力的概念1、正应力的概念分布内力的大小（或称分布集度），用单位面积上的内力大小来度量，称为应力。

由于内力是矢量，因而应力也是矢量，其方向就是分布内力的方向。

沿截面法线方向的应力称为正应力，用希腊字母σ表示。

应力的常用单位有牛/米2 （2/m N ，12/m N 称为1帕，代号a P ）、千米/米2（2/m KN ，12/m KN 称为1千帕，代号Ka P ），此外还有更大的单位兆帕（M a P ）、吉帕（G a P ）。

几种单位的换算关系为：1 K a P =310a P 1 M a P =310K a P 1 G a P =310M a P =610K a P =910a P2、切应力与全应力的概念与截面相切的应力分量称为切应力，用希腊字母τ表示。

K 点处某截面上的全应力K p 等于该点处同一截面上的正应力K σ与切应力K τ的矢量和。

材料力学08应力状态分析_2图解法

x

2
y
2

2 xy
OC

1
一、应力圆的画法
1. 在 - 坐标系中确定两点： D (x , xy )、D′(y , yx )
2. 连接 D、D′，交轴于
C点 3. 以 C 点为圆心、CD 为半
径作圆即得
2

二、由图解法（应力圆）确定斜截面上的应力
将 CD 沿同样的转向旋转 2 至 CE ，则 E 点的横坐标、纵坐标即为斜截面上的正应力、切应力，即有
在主平面。
11
[例3] 在过 A 点的两个截面上的应力如图所示，试用图解法确定其主应力以及主平面位置。

D
20 MPa 60 MPa
20 MPa
C B1 O
D
20 20

A1
60
解： 1）画应力圆
按选定比例尺，由 y = 20 MPa、yx = -60 MPa 确定 D′点，由 = -20 MPa、 = 0 确定 B1 点。由于B1、 D′均在应力圆的圆周上，故作 B1D′的垂直平分线，交轴于点 C ；以点 C 为圆心、CD′为半径
故在单元体上，从 x 轴以顺时针转向量取 0 = 33.5°，即得 1
所在主平面。
主应力单元体如图所示
14
作出应力圆。
12

D
20 MPa 60 MPa
20 MPa
C B1 O
2）确定主应力和主平面
D
20 20 70 110
根据应力圆，按选定比例尺，量得主应力
60
A1

20 MPa
1 OA1 110 MPa 2 0 3 OB1 20 MPa

应力分析

第九章
§9.1 §9.2 §9.3 §9.4 §9.5 §9.6 §9.7 §9.8 §9.9
应力分析强度理论
应力状态概述二向和三向应力状态的实例二向应力状态分析--解析法二向应力状态分析--图解法三向应力状态广义胡克定律复杂应力状态的变形比能强度理论概述四种常用强度理论
1
§9.1 应力状态概述
已知如图，设ef 面积为dA
F
n
0
dA ( xy dAcos ) sin ( x dAcos ) cos ( yx dAsin ) cos ( y dAsin ) sin 0
F 0
dA ( xy dAcos ) cos ( x dAcos ) sin ( yx dAsin ) sin ( y dAsin ) cos 0
为二向应力状态
7
㈡三向应力状态的实例如滚珠轴承、火车车轮与钢轨的接触点
例：A3钢制成的锅炉，t=10mm，内径D=1m，
p=3Mpa，求锅炉壁内任意点处的三个主应力。
解：
pD 3 10 6 1 75 MPa 2 4t 4 110
'
pD 2 ' 150 MPa 2t
+
z
E
1 [ x ( y z )] E 1 y [ y ( x z )] E 1 z [ z ( x y )] E
x
xy
xy
G
, yz
yz
G
, xz
广义胡克定律 xz G
2
⒊平行于σ2的斜截面上的应力
只有σ1、σ3对该斜截面上的应力产生影响

应力圆

•
• •
• •
点面对应--应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和切应力；转向对应--半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；二倍角对应--半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍。有这三个对应关系，画应力圆和从应力圆得到一些重要关系就比较方便。首先是点面对应。如图是一个平面应力状态，建立图示坐标系，图中的应力圆圆周上a点对应于微元的一个方向面A，A面上的正应力和切应力就对应着应力圆上a点的坐标。
•
通过求圆心坐标和半径的画法比较复杂，所以利用上面的三种对应关系来画。首先建立坐标系，在坐标系中，标定与微元垂直的A、D面上应力对应的点a和d，连d交轴于c点， c即为圆心，cd或ca为应力圆半径。
例题
应力圆
• 数字转换是很麻烦的，但若是把数学公式加以简单的变换，可以发现任意方向面上的应力所满足的方程可以转换为一个圆的方程几种对应关系应力圆的画法应力圆的应用
•
利用三角恒等式，可以将前面所得的关于和的方程写成：
•
利用三角恒等式进行转换，于是写成如图上面的两个方程，再经过简单的数学转换，就得到图中最下的方程。 • 应力圆的圆心坐标是（σx +σy）/2，半径为R，因此应力圆就是如图所示的圆。

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(
x
-s y )2
2
+
t
2 x
当斜截面随方位角 a 变化时, 其上的应力 σα , τ α 在
s - t 直角坐标系内的轨迹是一个圆 ,圆心位于横坐标轴
(
s
轴
)上,离原点的距离为
sx
+sy
2
半径为
此圆习惯上称为应力圆 , 或称为莫尔圆。
s
(
x
2
s
y
)2
+
t
2 x
(sa
-sx
+s
2
y )2
+ ta2
A1 s
α o 确定后， s1 对应的主平面方位即确定。
tg(-2a 0 )
=
B1D1 CB1
=
2t x (s x -s
y)
再根据应力圆判断α0的
合理范围
由此可定出主应力s1 所 o 在平面的位置。由于A1A2 为应力圆的直径, 则s2 所在的另一主平面与s1 所在的主平面垂直。
t
σ2
A2 B2
σy
t
o
B2
sy
D2
sx
量取 OB2=sy , B2D2= ty ,
得D2 点
(b)
D1
B1 s
连接D1D2两点的直线与 s 轴相交于C 点, 以C为圆心, CD1或CD2为半径作圆
σy τy
σx
σx
τx
τx
τy
σy
t
(b)
D1
o
B2
B1
C
s
sy
D2
sx
t
该圆的圆心 C 点到坐标
(b)
D1
250KN
A
B
C
1.6m
2m
200KN
+
50KN
+
I
Z
=
1203003
12
-
1112703
12
=
88106
mm4
(s
M
=
y
)
S Q *
(t = Z )
IZ
IZd
ya = 135mm 120
S* za
=
120
15
(150
-
7.5)
=
256000mm3
270
横截面C上a 点的应力为
t
B1 2 A1
A
s
B
o
c
t 四、利用应力圆求主应力
σ2
数值和主平面位置
主应力数值
O
A2 B2
C
A1和 A2两点为与主平面对应的点，其横坐标为主应
sy
D2
σx
σ1
力OAs11 ,=s2OC + CA1 OA2 = OC - CA1
OC = σ x +σ y 2
CA
=
1
(s
x-s
y
2
)
+t
2 x
B1 C
o
B2
s
600
D1 (-1,0.2)
τ 300
σ E
300
σ 300 = -0.68MPa τ 300 = -0.36MPa
(3) 确定 a = - 40°斜截面上的应力
将半径 CD1 顺时针转 2a = 80°到半径 CF, F 点的坐标就代表a = - 40°斜截面上的应力。
F
σ -400
2
D1
B1
s
A1
t
σ2
D1
o
A2 B2
C B1
sy
D2
σx
σ1
s
A1
s1 s2
=
sx
+sy
2
s
x
2
s
y
2
+t
2 xy
t
主平面方位
σ2
D1
由 CD1 顺时针转 2α o
o
到 CA1
所以从 x 轴顺时针转α o
（负值）即到s1对应的主平面的外法线
A2 B2
B1 C
sy
D2 2 α o
σx
σ1
以 D1 D2 为直径绘出的圆即为应力圆。 t
(-0.4,0.2) D2
B1
O
C B2
s
D1 (-1,-0.2)
(2) 确定 a = 30°斜截面上的应力
将半径 CD1 逆时针转动 2a = 60°到半径 CE, E 点的坐标就代表 a = 30°斜截面上的应力。
(-0.4,0.2) t D2
§7-3 二向应力状态下的应力分析(应力圆)
一、应力圆的概念
由
sa
=sx
+sy
2
+sx
-s y
2
cos2a
-tx
sin 2a
ta
=sx
-s y
2
sin 2a
+tx
cos2a
削去α得到
(sa
-sx
+s y )2
2
+ ta2
=
s
(
x
-s y )2
2
+
t
2 x
(sa
-sx
+s y )2
2
+ ta2
=
s
σy
sy
D2
sx
三、利用应力圆求单元体上任一 a 截面上的应力从应力圆的半径 CD 1 按方位角 a 的转向转动 2a , 得到半径 CE ,
圆周上 E 点的 s ¸t 坐标就依次为 sa ¸ta 。（证明略）
说明
点面之间的对应关系：单元体某一面上的应力，必对应于应力圆上某一点的坐标。
夹角关系：圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两截面夹角的两倍。两者的转向一致。
=
s
(
x
-s y )2
2
+
t
2 x
t
O
C
(σ
x
-σ
y
2
)
2
+τ
2 x
s
σ x +σ y
2
二、应力圆作法在 s - t 坐标系内 , 选定比例尺
量取 OB1 = s x , B1D1 = t x , 得 D1点
t D1
σy τy
σx
σx
o
B1 s sx
τx
τx
τy
σy
σy τy
σx
σx
τx
τx
τy
σy τy
σx τ x
σx
τx
x
τy σy
σ x = -1 τ x = -0.2 σ y = -0.4 τ y = 0.2
解: (1) 画应力圆
OB1 = sx= - 1MPa , B1 D1 = tx= - 0.2MPa,定出 D1点;
OB2 =sy= - 0.4MPa 和 B2D2 = ty = 0.2MPa , 定出 D2 点 .
x
α = 400
例题 7-2 两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图 a , b 所示, 梁的横截面尺寸示于图 c 中。试绘出截面 c 上 a , b 两点处的应力圆，并用应力圆求出这两点处的主应力。
120
270
250KN
9ABiblioteka BCz1.6m
a
b 2m
(a)
(c)
单位：mm
解: 首先计算支反力, 并作出梁的剪力图和弯矩图 QC左 = 200 kN MC = 80 kN•m
原点的距离为 s x + s y
2
o
B2
B1
半径为
s
(
x
2
s
y
)2
+
t
2 x
C
sy
D2
s
该圆就是相应于该单元体
sx
应力状态的应力圆
D1 点的坐标为 ( sx , tx ) 因而 D1 点代表单元体 x 平面上的应力。
t
σα
σy τy
e
σx
a
σx
E
o τα
B2
2a
D1
B1 C
s
x
τx
f τx
τy
t
τ -400
-800
B1
C
(-0.4,0.2) D2
o
B2
s
σ -400 = -0.95MPa τ -400 = 0.26MPa
D1 (-1,0.2)
σ 300 = -0.68MPa σ -400 = -0.95MPa
τ 300 = -0.36MPa τ -400 = 0.26MPa
y
α =300
C
sy
D2 2 α o
σx
σ1
D1 B1 A1 s
例题7-1 从水坝体内某点处取出的单元体如图所示, sx= - 1MPa , sy= - 0.4MPa , tx= - 0.2MPa , ty= 0.2MPa ,
（1）绘出相应的应力圆（2）确定此单元体在 a =30°和a = - 40°两斜面上的应力。