二向应力状态分析--解析法和图解法.

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应力状态概述二向和三向应力状态的实例二向

2．作应力圆主应力为 1 , 3 ，并可确定主平面的法线。
材料力学
第七章
应力和应变分析
3．分析纯剪切应力状态的两个主应力绝对值相等，但一为拉应力，另一为压应力。由于铸铁抗拉强度较低，圆截面铸铁构件扭转时构件将沿倾角为 45º 的螺旋面因拉伸而发生断裂破坏。
材料力学
第七章
2 2
x y
xy

n

材料力学
y a xy
y On D( x , ) a a
a
第七章
n
应力和应变分析
二、应力圆的画法
建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）在坐标系内画出点A( x， xy)和B(y，yx)

x
C O
2a
AB与a 轴的交点C便是圆 A( x , xy) 心。
150°
第七章
应力和应变分析
x y 2 2 1 x y （） xy 2 2 2
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
95
60°
y 45MP a yx 25 3MP a xy
25 3
x ?
y O x
60 95MPa 60 25 3MPa
材料力学
第七章
应力和应变分析
应力表示——单元体：
①dx、dy、dz（微小的正六面体） ②单元体某斜截面上的应力就代表了构件内对应点同方位截面上的应力。
B P
dz
dx
dy
A
C
பைடு நூலகம்
B
D
C
B、C——单向受力，τ ＝0 A——纯剪切， σ ＝0
D
D——既有 σ ，又有τ

材料力学第七章应力状态和强度理论

2
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y

x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2

x
y

2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c

x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2

40

x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )

C
C

C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa

应力圆概念

σ1
例题7-1 从水坝体内某点处取出的单元体如图所示, sx= - 1MPa , sy= - 0.4MPa , tx= - 0.2MPa , ty= 0.2MPa , （1）绘出相应的应力圆（2）确定此单元体在 a =30°和a = - 40°两斜面上的应力。
σy τy
σ x = -1
σx τx
C
D1 (-1,-0.2)
B2
s
(2) 确定 a = 30°斜截面上的应力将半径 CD1 逆时针转动 2a = 60°到半径 CE, E 点的坐标就
代表 a = 30°斜截面上的应力。
(-0.4,0.2) t D2 B1 C o
B2
D1 (-1,0.2)
s
σ 30 = -0.68 MPa
0
60
C
D1 (-1,0.2)
B2
σ -40 = -0.95 MPa
0
τ -40 = 0.26 MPa
0
σ 30 = -0.68 MPa
0
τ 30 = -0.36 MPa
0
σ -40 = -0.95 MPa
0
τ -40 = 0.26 MPa
0
y
α =30
0
x
α = 400
例题 7-2 两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图 a , b 所示,
0
τ 30
E
τ 30 = -0.36 MPa
0
0
σ 30
0
(3) 确定 a = - 40°斜截面上的应力将半径 CD1 顺时针转 2a = 80°到半径 CF, F 点的坐标就代表a = - 40°斜截面上的应力。 F
σ -40
-80

应力状态的概念

t xy 10MPa
600
600
n
s
40 (20) 2
40 (20) cos(1200 ) (10) sin(1200 ) 2
13.67MPa
t
40 (20) sin(1200 ) (10) cos(1200 ) 21MPa 2
20MPa
10MPa
300
40MPa
300
xn
解： s x 20MPa
P
A
P sx
sx
A
y
B
C z
P
sx B sx
Mx
tzx
txz
课堂练习
t yx
t C
xy
用单元体表达圆轴受扭时，轴表面任一点旳应力状态。
用单元体表达矩形截面梁横力弯曲时，梁顶、梁底及其他各
点旳应力状态。
七、主平面、主应力：
sy
y
主平面(Principal Plane)：剪应力为零旳截面。
sx
sz
z
1 2 3
体积应变与应力分量间旳关系:
1 2
E
(s 1
s2
s3)
例5 已知一受力构件自由表面上某一点处于表面内旳主应变分别
为：1=24010-6， 3=–16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为 =0.3，试求该点处旳主应力及另一主应变。
1 E
s
z
s
x s
y
xy
t
xy
G
yz
t
yz
G
zx
t zx
G
上式称为广义胡克定律
主应力 --- 主应变关系
s1 s3
1
1 E

硕士建筑与土木工程专业初试专业课目(材料力学)考试大纲 (1

西京学院2015年
一、基本内容
1. 绪论
材料力学的任务,变形固体的基本假设,外力及其分类,内力、截面法和应力的概念, 变形与应变,杆件变形的基本形式。

2. 拉伸、压缩与剪切
直杆轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力,直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力,材料拉伸时的力学性能,材料压缩时的力学性能,失效、安全因数和强度计算,杆件轴向拉伸或压缩时的变形,拉伸、压缩的超静定问题,温度应力和装配应力,应力集中的概念,剪切和挤压的实用计算。

3. 扭转
外力偶矩，扭矩和扭矩图,纯剪切,圆轴扭转时的应力、变形，薄壁杆件的自由扭转。

4．弯曲内力
弯曲的概念，受弯杆件的简化，剪力和弯矩，剪力方程和弯矩方程，剪力图和弯矩图，载荷集度、剪力和弯矩之间的关系，平面曲杆的弯曲内力。

5．弯曲应力
纯弯曲，弯曲正应力，弯曲切应力，强度条件，提高弯曲强度的措施。

6．弯曲变形
挠曲线的微分方程，积分法求弯曲变形，叠加法求弯曲变形，简单超静定梁，减小弯曲变形的一些措施。

7．应力和应变分析、强度理论
应力状态概述，二向应力状态分析——解析法，二向应力状态分析——图解法，三向应力状态。

位移与应变分量，平面应变状态分析，广义胡克定律，复杂应力状态下的应变能密度，四种常用强度理论，莫尔强度理论，构件含裂纹时的断裂准则。

8．组合变形
组合变形和叠加原理，拉伸或压缩与弯曲的组合，偏心压缩和截面核心，扭转与弯曲的组合，组合变形的普遍情况。

9．压杆稳定
压杆稳定的概念，两端铰支细长压杆的临界压力，其他支座条件下细长压杆的临界压力，欧拉公式的适用范围，经验公式，压杆的稳定校核，提高压杆稳定性的措施
10.动载荷、交变应力。

材料力学08应力状态分析_2图解法

x

2
y
2

2 xy
OC

1
一、应力圆的画法
1. 在 - 坐标系中确定两点： D (x , xy )、D′(y , yx )
2. 连接 D、D′，交轴于
C点 3. 以 C 点为圆心、CD 为半
径作圆即得
2

二、由图解法（应力圆）确定斜截面上的应力
将 CD 沿同样的转向旋转 2 至 CE ，则 E 点的横坐标、纵坐标即为斜截面上的正应力、切应力，即有
在主平面。
11
[例3] 在过 A 点的两个截面上的应力如图所示，试用图解法确定其主应力以及主平面位置。

D
20 MPa 60 MPa
20 MPa
C B1 O
D
20 20

A1
60
解： 1）画应力圆
按选定比例尺，由 y = 20 MPa、yx = -60 MPa 确定 D′点，由 = -20 MPa、 = 0 确定 B1 点。由于B1、 D′均在应力圆的圆周上，故作 B1D′的垂直平分线，交轴于点 C ；以点 C 为圆心、CD′为半径
故在单元体上，从 x 轴以顺时针转向量取 0 = 33.5°，即得 1
所在主平面。
主应力单元体如图所示
14
作出应力圆。
12

D
20 MPa 60 MPa
20 MPa
C B1 O
2）确定主应力和主平面
D
20 20 70 110
根据应力圆，按选定比例尺，量得主应力
60
A1

20 MPa
1 OA1 110 MPa 2 0 3 OB1 20 MPa

二向应力

2
(a)当 (a)当σx>σy时,
− 2τ xy 2α0 = arctg σ −σ y x
此时, 2α = 2α0 +180° 得到 σmin (主应力）主应力）
σmin
σx +σ y = − 2
σx −σ y 2
2 +τ xy
f
t
t
由
∑n = 0
即
可得
σα dA − (σxdAcosα)cosα + (τ xdAcosα)sin α −
(σ ydAsin α)sin α + (τ ydAsin α) cosα = 0
σα = σ x cos2 α +σ y sin 2 α − 2τ x sin α cosα
1 cos2 α = (1+ cos 2α) 2 1 2 sin α = (1− cos 2α) 2
α1 = ±45°
具体是正负可由力的合成定理直接判断. 具体是正负可由力的合成定理直接判断.
（1）最小主应力及作用平面由
σx +σy σx −σy σα = cos 2α −τ xy sin2α + 2 2
作三角变换得
σx +σ y σα = + 2
当
σx −σ y 2
二、主应力和主平面主平面: 主平面一点处剪应力等于零的平面称为主平面主应力: 主应力主平面上的正应力称为主应力说明: 一点处必定存在这样的一个单元体, 说明一点处必定存在这样的一个单元体三个相互垂直的面均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为 σ1 ,σ2 , σ3 的面均为主平面且规定按代数值大小的顺序来排列即且规定按代数值大小的顺序来排列, 值大小的顺序来排列

理论力学14应力状态分析

2
2

2 xy
在 - 坐标系下，其对应一圆，称为应力圆。
该应力圆的圆心坐标为
半径为
C

x
2

y
,
0

R

x

2
y
2

2 xy
30
x y
2

x
y
2
cos 2
xy
sin
2
30 50 30 50 cos 60 20sin 60 52.3 MPa
2
2
30

x

2
y
sin
2

xy
cos
2
30

30 50 sin 60 20cos 60 18.66 MPa
3
3. 切应力最大值
max
五、单向应力状态
1. 斜截面上的应力

2

2
cos 2

2
sin 2

2. 主平面和主应力
主平面：主应力：
0 0
1 1 0
2 0 2 0
3 0 3
3. 最大切应力及其所在平面
最大切应力所在平面：最大切应力：
45°斜截面
max

2
[例1] 试求图示单元体指定斜截面上的正应力和切应力（图中应力单位为 MPa）
解：对于图示单元体，有 x 30 MPa y 50 MPa xy 20 MPa 30 代入相应公式，即得指定斜截面上的正应力和切应力

材料力学第9章应力分析强度理论

已知如图，设ef 面积为dA
F
n
0
F 0

dA ( xydAcos ) sin ( x dAcos ) cos ( yxdAsin ) cos ( y dAsin ) sin 0
dA ( xydAcos ) cos ( x dAcos ) sin ( yxdAsin ) sin ( y dAsin ) cos 0
2
2 xy
xy
min
y
yx
23
⒉主方向
应力圆：D点顺时针转2α0到A1点
单元体：x轴顺时针转α0到主平面法线
证明：
xy 2 xy AD tg 2 0 CA x y x y 2
24
㈣利用应力圆求剪应力极值应力圆上最高点、最低点的纵坐标值，为剪应力的极大、极小值。证明：
2
?
min
tg 2 0
2 xy
max
yx
x
x y
xy
解出两各极值点α0,α0=90+α0 最大、最小应力即为主应力
max x y x y 2 2 ( ) xy min 2 2
y
σmax、σmin为三个主应力中的两个。
11
讨论： ⑴若代数值σx≥σy，则α0、α0中，绝对值较小者是
σx与σmax之间夹角，且小于45。 ⑵若代数值 σx≤σy ，则α0 、α0 中，绝对值较小者是 σx 与 σmin之间夹角，且小于45。
min
max
yx
x
xy
12
y
㈢τmax、τmin(与z轴平行的任意斜截面上的)

材料力学

50 100 50 100 cos60 70sin 60
2
2
73.1MPa
30
x
y 2
sin 2
xy cos2
50 100 sin 60 70cos60 2
30MPa
（2）主应力及主平面的方位

max m in

0
tan 21

x 2 xy
y
上式可求出相差900的两个角a 1，对应两个互相垂直的极值切应力截面。

m
ax

min

x

2
y
2

2 xy
比较公式可见所以有
tan 20

2 xy x
y
tan
21

x xy
y

max min

x
y
2

x

2
y
2

2 xy
三、最大切应力及其作用平面的位置

x
y
2
sin 2
xy cos 2
令 1 时
即
d 0 d
d d
( x
y ) cos21 2 xy sin 21
tan 2 0

1
tan 21
2a1

2a0

π 2
,
a1

a0

π 4
例图a所示为受力构件内单元体各面上的应力，试用

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自学提纲一、写出应力圆方程并判断应力圆的圆心在那个轴上？
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自学§7-4 二向应力状态分析-图解法
二、应力圆的画法 1 定圆心 2 定半径 3 画圆三、应力圆的应用 1 求主应力 2 面内最大切应力
(1)
四、几种特殊应力状态的应力圆
1：单向拉伸应力状态的应力圆 2 ：纯剪切应力状态的应力圆
y
dA - (dA cos ) sin - xy (dA cos ) cos x yx (dA sin ) sin y (dA sin ) cos 0
3、平面应力状态任意方向面上的正应力与切应力 x y x - y cos2 - xysin2
二
主平面、主应力与主应力方向 x y x - y cos2 - xysin2 2 2

1
x - y
2
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sin2 xy cos2
sin2 0 xy cos2 0 0
切应力为零的面为主平面
yx
x
y
左右面上的切应力
xy
x
各量的含义 1) 左右面上的正应力上下面上的正应力 2 )
1 方向角与应力分量的正负号规定正应力正负规定拉应力为正压应力为负切应力正负号规定
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x y
' '
xy
yx
y
外法线
使微元或其局部顺时针方向转动为正；反之为负
σ 0
σ
2 求正应力的极值面
x y

x - y
2 2 上式对α 求一次导数，并令其等于零
cos2 - xysin2
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d -( x - y )sin2 - 2 xy cos2 0 d
解出的角度

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- 90
yx
0
xy
y
即又一次证明了切应力的互等定理
二
主平面、主应力与主应力方向
1 切应力为零的面为主平面??
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2 主应力主平面上的正应力 ??
3 主应力方向 ------主平面的法线方向
要求掌握主应力计算！！牢记公式，并进行排序！
sin 2 xy cos 2
30
10 30 sin 60 20 cos 60 2
27.32MPa
思考 900 ？

90 ？？
0
x

用斜截面截取，此截面上的应力为
2
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y
dA
- x (dA cos ) cos xy (dA cos ) sin
- y (dA sin ) sin yx (dA sin ) cos 0
平衡方程
Ft 0
x

xy

t
n
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yx
dA
方向角的正负号规定
由 x正向转到截面外法线
逆时针为正反之为负
注意：方向角的定义以及正负号规定
n

x
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问题
已知原始单元体互相垂直面上的应力
y yx
y
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x
y
xy x x
求任意斜截面上的应力（斜截面的位置？？）
yx

xy
y
x y x - y cos 2 xy sin 2 2 2
-
x - y
sin 2 - xy cos 2
90 x y
0

即单元体两个相互垂直面上的正应力之和是一个常数
x

tan 2＝－
2 τ xy
x - y
角度α与α 0 完全重合。
表明∶ tan 2 0＝－正应力的极值面与主平面重合；
2 τ xy
x - y
正应力的极值就是主应力；
3 平面应力状态的三个主应力
解决问题的方法
平衡
的思想
2、单元体的局部平衡
y yx
y
n+
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x

xy x x x
y

xy

n 0
????
+ 0
x

xy

t
n
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yx
dA
2 2
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x - y
2
sin2 xy cos2
y yx
y
x
y
xy x x
例题1求斜面ab上的正应力和切应力
y
20MPa
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x 10MPa, y -30MPa 解：
a
xy 20MPa, yx -20MPa, 30

0
x - y
2
2 τ xy
tan 2 0＝－
x - y
0 0 90
O
该式确定了两个相互垂直的主平面的位置
对于平面应力状态，平行于xy坐标面的平面，其上既没有正应力，也没有切应力作用，前后面是一个主平面。这一主平面上的主应力等于零
σ
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30

10MPa
300

x y
2

x - y
2
cos 2 - xy sin 2
b
30
0
20MPa
x

30
10 - 30 10 30 cos 60 - 20sin 60 2 2

x - y
2
30MPa
-17.32MPa
(1)
3：二向等拉应力状态的应力圆
§7-3 二向应力状态分析？？---解析法
主应力（计算）、主平面（位置确定！）
----分析任意斜截面上的应力
任意斜截面上的应力
思路
一
TSINGHUA UNIVERSITY
要求： 1 掌握解决问题的思想
要求： 2 考研的同学理解记忆公式
y
TSINGHUA UNIVERSITY