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二向应力状态分析--解析法和图解法资料讲解

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二向应力状态分析——解析法

二向应力状态分析——解析法

对应力σ、τ和角度α的正负号，作这样的规定：正应力σ以拉应力为正，压应力为负；切应力τ以对单元体内的任一点作顺时针转向时为正，反时针转向时为负（这种规定与第八章中对剪力所作的规定是一致的）；角度α以从x轴出发量到截面的外法线n是反时针转时为正，顺时针转时为负。

按照上述正负号的规定可以判断，在图10-6中的是正值，τx是正值，τy是负值，α是正值。

当杆件处于静力平衡状态时，从其中截取出来的任一单元体也必然处于静力平衡状态，因此，也可以采用截面法来计算单元体任一斜截面上的应力。

取bef为脱离体如图10-6c所示。

对于斜截面ef上的未知应力
[例7—2] 试计算图10-8a所示的矩形截面简支梁，在点k处α= - 30的斜截面上的应力的大小和方向。

二向应力状态分析--解析法和图解法-PPT

二向应力状态分析--解析法和图解法-PPT

d d
( x y )cos2 2 xysin2
0
由此得出另一特征角，用α1表示
tan
21＝
x
2τ xy
y
tan
21＝
x
2τ xy
y
得到α 的极值
x
y
2
sin21
xycos21
max
min
(x
y
2
)2
2 xy
特别指出：
上述切应力极值仅对垂直于xy坐标面的方向面而言， 因而称为面内最大切应力与面内最小切应力
x
y
)2
2
xy
2
排序??
48.3MPa
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
2 面内最大切应力
y xy
x
x 60MPa， xy 30MPa,
y 40MPa,
max
(
x
y
)2
2
xy
2
3400
3 主平面的位置
y xy
x
代入 表达式可知
x 60MPa， y 40MPa,
状态下的应力圆
的应力圆
o
结论：二向等值拉伸下,
习题7-5 P253-254 所有的面 都是主平面
要求 一、 应力圆方程
二、 应力圆的画法 三、 应力圆的应用 四、 几种特殊应力状态的应力圆
y
y yx
x
xy x
x
求任意斜截面上的应力 （斜截面的位y 置？？）
解决问题的方法 平衡 的思想
2、单元体的局部平衡
y
y yx
n+
x
xy
x
x
x

二向应力状态分析—图解法

二向应力状态分析—图解法
§7–4 二向应力状态分析—图解法
x
2
y
x
2
y
cos 2
x
sin
2
x
2
y
sin
2
x
cos 2
1、 莫尔圆的概念
(
x
y 2
)2
2
(x
y )2 2
2 x
(
x
y 2
)2
2
(x
y 2
)2
2x
当斜截面随方位角 变化时, 其上的应力 ， 在 - 直角坐标系内的轨迹是一个圆 。
圆心的坐标为(the coordinates of MOHR circle’s center)
y
xm
900
t
450
k
D
y
xm
900
t
450
k
D
y
3
τ max
x
τ max
k
450
1
解: 从圆筒表面 k 点处取出单元体, 其各面上的应力分量如图 所示
可求得
y 1 max 80MPa
x 3 max 80MPa
z 0
k点处的线应变 x , y 为
y
x
1 E
(x
y )
1 E
(max
z
x
二、纯剪的本构关系
xy
xy
G
i 0 ( i x,y,z ) yz zx 0
y
xy
z
x
三、复杂状态下的本构关系
y
依叠加原理,得
y
z
z
x
xy
x
x
x
E
y
E

理论力学14应力状态分析

理论力学14应力状态分析


T
Wt

16M e πd3
联立解得扭转外力偶矩
Me

πd 3E45o
161

π
50103 3 210109
161 0.28
300 106
试求该扭转外力偶矩。
解： 在测点截取单元体
该点为纯剪切应力状态，与母线成45° 方向即为主方向，其主应力
1 2 0
根据广义胡克定律
3
45oBiblioteka 11 E
1

2
3

1
E
1
E

45o
1
E

圆轴表面的最大扭转切应力
2
MPa
80 MPa
第六节 广义胡克定律
一、二向应力状态下的胡克定律
x

1 E
x
y


y

1 E
y
x


二、三向应力状态下的胡克定律
x

1 E
x

y z


y

1 E
y

z
x


x


2
y
2


2 xy
切应力最大值
max

1
3
2
注意：切应力极大值不一定就是切应力最大值
四、纯剪切应力状态
1. 斜截面上的应力

sin 2
cos 2
2. 主平面和主应力
主平面： 45°斜截面
主应力： 1

《材料力学 第2版》_顾晓勤第09章第2节 二向应力状态分析

《材料力学 第2版》_顾晓勤第09章第2节 二向应力状态分析

第 2 节 二向应力状态分析 第九章 复杂应力状态和强度理论
最大主应力和最小主应力的计算式
max m in
x
y
2
x
2
y
2
2 x
确定 max 和 min 所在平面的方法
1）若x>y，则所求的两个角度0 和 90º+0 中， 绝对值较小的一个确定max 所在的平面；
2）若x <y，则所求的两个角度0 和 90º+0 中， 绝对值较小的一个确定min 所在的平面；
2
及
2sin cos sin 2 对以上二式进行整理得到：
x
y
2
x
y
2
cos2
x
sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos2
第 2 节 二向应力状态分析 第九章 复杂应力状态和强度理论
x
y
2
x
y
2
cos2
x
sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos2
利用上述两式可以求得 de 斜截面上的正应力和切
设 de 斜截面面积为 dA，则 ae 面的面积为 dAsin ， ad面的面积为 dAcos 。取 t 和 n 为参考轴，建立棱
柱体 ade 的受力平衡方程如下：
dA ( xdAcos ) sin ( xdAcos ) cos ( ydAsin ) cos ( ydAsin ) sin 0
y
2
2 x
105 MPa
第 2 节 二向应力状态分析 第九章 复杂应力状态和强度理论
0
1 2
arctan(
2 x x

应力分析

应力分析
第九章
§9.1 §9.2 §9.3 §9.4 §9.5 §9.6 §9.7 §9.8 §9.9
应力分析 强度理论
应力状态概述 二向和三向应力状态的实例 二向应力状态分析--解析法 二向应力状态分析--图解法 三向应力状态 广义胡克定律 复杂应力状态的变形比能 强度理论概述 四种常用强度理论
1
§9.1 应力状态概述
已知如图，设ef 面积为dA
F
n
0
dA ( xy dAcos ) sin ( x dAcos ) cos ( yx dAsin ) cos ( y dAsin ) sin 0
F 0
dA ( xy dAcos ) cos ( x dAcos ) sin ( yx dAsin ) sin ( y dAsin ) cos 0
为二向应力状态
7
㈡三向应力状态的实例 如滚珠轴承、火车车轮与钢轨的接触点
例：A3钢制成的锅炉，t=10mm，内径D=1m，
p=3Mpa，求锅炉壁内任意点处的三个主应力。
解：
pD 3 10 6 1 75 MPa 2 4t 4 110
'
pD 2 ' 150 MPa 2t
+
z
E
1 [ x ( y z )] E 1 y [ y ( x z )] E 1 z [ z ( x y )] E
x
xy
xy
G
, yz
yz
G
, xz
广义胡克定律 xz G
2
⒊平行于σ2的斜截面上的应力
只有σ1、σ3对该斜截面上的应力产生影响

二向应力

二向应力
2
(a)当 (a)当σx>σy时,
− 2τ xy 2α0 = arctg σ −σ y x
此时, 2α = 2α0 +180° 得到 σmin (主应力） 主应力）
σmin
σx +σ y = − 2
σx −σ y 2
2 +τ xy
f
t
t
由
∑n = 0
即
可得
σα dA − (σxdAcosα)cosα + (τ xdAcosα)sin α −
(σ ydAsin α)sin α + (τ ydAsin α) cosα = 0
σα = σ x cos2 α +σ y sin 2 α − 2τ x sin α cosα
1 cos2 α = (1+ cos 2α) 2 1 2 sin α = (1− cos 2α) 2
α1 = ±45°
具体是正负可由力的合成定理直接判断. 具体是正负可由力的合成定理直接判断.
（1）最小主应力及作用平面 由
σx +σy σx −σy σα = cos 2α −τ xy sin2α + 2 2
作三角变换得
σx +σ y σα = + 2
当
σx −σ y 2
二、主应力和主平面 主平面: 主平面 一点处剪应力等于零的平面称为主平面 主应力: 主应力 主平面上的正应力称为主应力 说明: 一点处必定存在这样的一个单元体, 说明 一点处必定存在这样的一个单元体 三个相互垂直 的面均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为 σ1 ,σ2 , σ3 的面均为主平面 且规定按代数值大小的顺序来排列 即 且规定按代数值大小的顺序来排列, 值大小的顺序来排列

应力状态概述二向和三向应力状态的实例二向

应力状态概述二向和三向应力状态的实例二向

解：（1）易知 30
x 40MPa y 20MPa
xy 10MPa
，
1 2 (xy ) 1 2 (xy )c2 o s xs2 in 2 .4 M 6
1 2(x y)si2 n xco 2 s1.6 3M 6 Pa
Ox


2 xy

材料力学 第七章 应力和应变分析 1; 20; 3 tg202xxyy 045
m mianx（ x 2y） 2x2y tg212xxyy010
破坏分析
低:碳 s 2 钢 M 40 ;s P 2 aM 00Pa低碳钢

材料力学 第七章 应力和应变分析
二、极值应力
令 :d d 0 xys2 in 0 2xc y o 20 s 0
由此的两个驻点：
01、
（0
1

）和
2
两
各
极
值
：tg20
2xy x y
m m a in xx2 y± （ x2 y） 2x 2 y
xy)
且转向一致。
两半径夹角2 ；
O
B( y ,yx)
材料力学 第七章 应力和应变分析
四、在应力圆上标出极值应力
a
max
x
2a1
A(x , xy)
OC
32
2a0
1 a
B( y , yx)
min

1 3
OC

R半径


x

2
y

（
x

2
y）2
014 ,即极值剪应力面成与 450主面

工程力学第2节 二向应力状态分析

工程力学第2节 二向应力状态分析

例12-1 已知构件内某点处的应力单元体如图所示，
试求斜截面上的正应力 和切应力 。
解：按正负号规定则有：
x 60 MPa x 120 MPa y 80 MPa 300
代入公式得：


x
y
2
x
y
2
cos2
x
sin 2
78.9MPa
低碳钢试件扭转破坏是被剪断的，且其抗剪能力
低于其抗拉能力。
铸铁试件扭转破坏是被拉断的，且其抗拉能力低 于其抗剪能力。
例12-3 图示单元体，x=100MPa，x= –20MPa，
y=30MPa。试求：1） = 40º的斜截面上的 和 ； 2）确定A点处的max、max和它们所在的位置。


x
y
2
sin 2
x
cos2

121MPa
二、主应力和极限切应力
1、主应力和主平面


x
y
2
x
y
2
cos2
x
sin 2


x
y
2
sin 2
x
cos2
将公式 对 求一阶导数、并令其为0：
d d


x

2
y
(2 sin
由切应力互等定理有x=y，并利用三角关系：
sin2 1 cos2 、 cos2 1 cos2 及
2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2sin cos sin 2 对以上二式进行整理得到：


x
y
2

x
y
2

第二十讲 应力状态解析法、图解法 (之一)

第二十讲 应力状态解析法、图解法 (之一)

PP
MM
TT
AA
((bb)) ττyy
σσ11
AA ττσσxx11
((dd))
始单元体如图（c）、(d)所示：
FFNN
σσxx
ττyy AA
σσxx ττxx
AA 3333..9(9(3c3cO)O)
σσ==4488..77((ee))
x
P A
4
(0.05
20 103 2 0.002)2
0.052
x
y 2
x
y 2
cos2
x
sin 2
x
y 2
sin 2
x
cos2
方向:
tan 20
2 x x y
2 (60) 40 0
3 0
35.78o
（3）最大切应力
大小:
max min
max
min 2
83.25 (43.25) 2
63.3MPa
45o 45o
40 40 cos 90o (60) sin 90o 80MPa 22
1 y
σx x
若x<y，0 对应不为零的较小主应力
3 0 x y 0, x 0
x
y
0,
x
0
σ
x
3
y
3
A x σx tan 20 0
y 1
tan 20 0
x
1 y
1
σx
0
x 3
1
σx
x
y 3
x
x y 0, x 0
σ0 x tan 20 0
3 y
x y 0,x 0 σx x
50
20

应力分析.ppt

应力分析.ppt


m m
ax in



(
x

2
y
)2


2 xy
m in
max
tg 2 0


1 tg 21
ctg21 tg20 ctg(900 20 )
1

0


4
例题
13
铸铁扭转破坏动画
15
§9.4 二向应力状态分析--图解法
㈠应力圆,莫尔圆
⒈应力圆方程

(
x

y
,0)
半径:
2
应力圆方程

(
x

2
y
)2


2 xy
17
⒉应力圆的作法 设 x y
⑴建立στ坐标系 ⑵按一定的比例尺量取，横坐标OA=σx， AD=τxy，确定D点。 ⑶按一定的比例尺量取，纵坐标OB=σy， BD=τyx，确定D点。 ⑷连接DD与横坐标交于C点。 ⑸以C为圆心，CD为半径作圆。
xy cos 2
10
? ㈡σmax、σmin
d d


2[
x
y
2
sin 2 xy cos 2 ]
若当


0时,
d d
0

x

2
y
sin
20
xy
cos 20

0
min
tg20



2 xy x
y
解出两各极值点α0,α0=90+α0
各面应力：均布，一对平行平面应力相同。

二向应力状态分析的解析法

二向应力状态分析的解析法

二向应力状态分析的解析法二向应力状态分析的解析法[知识回顾]基本变形下的强度条件:(板书)FNmax1、拉压 ,,,[,]maxA 正应力强度条件Mmax2、弯曲 ,,,[,]maxW*FSsz ,,,[,]maxbIz3、扭转剪应力强度条件T,,,[,]max Wt[教学导入]特点:以上强度条件考虑了危险点上只有正应力或只有剪应力的情况，即单向应力状态;当考虑的点上既有正应力又有剪应力时，就不能用单向应力状态理论来建立强度条件，需要用强度理论来建立强度条件[新课教学]材料力学教案力学教研室于月民二向应力状态分析的解析法一、应力状态的概述(一)一点处的应力状态(ppt)1、不同截面上,各点的应力不同F2F ,,,,12AA2、横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明:同一横截面上,不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。

3、F横截面上: ,,,,0AF22,,cos,,,cos,,斜截面上: A,F,,sin2,,sin2,, 2A2同一点在不同方位截面上，它的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。

点的应力状态:(State of the Stresses of a Given Point)通过受力构件内某一点的不同方向面上的应力的集合，称之为这一点的应力状态1材料力学教案力学教研室于月民 (二)点的应力状态的表示(板书)1、单元体:围绕所考查的点，取三方向上尺寸无穷小的正六面体。

特点:1、各面上应力均匀分布2、相互平行的面上应力值相等如:轴向拉伸杆中过A取单元体，1)横、纵取F左右二面是杆横截面的一部分: ,,xA,,0上下和前后面都平行轴线:2)若与横纵成α角截取四个侧面与轴线即不平行也不垂直是斜截面，其上有正应力和剪应力2,,,cos,,x,x ,,sin2,,2由此可见:单元体的应力状态实质上代表一个点的应力状态，研究研究过一点的不同截面上应力变化情况，就是应力分析的内容。

取单元体的方位不同，表示出的形态不同，但二者等价。

二向应力状态分析图解法ppt课件

二向应力状态分析图解法ppt课件

3 1
u
1 2E
2 1
2 2
2 3
2
1
2
3
2
1
3
1 20( )2200( ) 2E
1 2
E
G
E
21
因此, 该圆筒变形后的厚度并无变化, 仍然为 t =10mm .
P1
P2
A
y x
P2 z
b z
a
l
b=50mm h=100mm
A
P2 A
20KN
（拉伸）
A
3FS 2A
30MPa
（负）
§7–9 复杂应力状态的应变能密度
一、应变能密度计算公式
1 、 单轴应力状态下, 物体内所积蓄的比能为
2
v
1
平行于3的方向面－其上之应力与3无关， 于是由1 、 2可作出应力圆.
y
1
max
2
3
z
x
3
2
图a
1
图b
（1）弹性理论证明，图 a 单元体内任意一点任意截面 上的应力都对应着图 b 的应力圆上或阴影区内的一点
（2）整个单元体内的最大剪应力为
max
1
2
3
最大正应力和最大剪应力
从三向应力圆中可以看出，最大正应力，最小 正应力及最大剪应力分别为
2
a1 1
a2 3
a3
五、体积应变与应力分量间的关系
V dx dy dz
V1 dx(1 1 )dy(1 2 )dz(1 3 ) dx dy dz(1 1 2 3 )
体积应变：
V1 V V
1 2 3
代入本构关系，得到体积应变与应力 分量间的关系:

材料力学--第2讲

材料力学--第2讲

所以：上述的9个应力分量就变成了6个应力分量
4、应力状态分类

三向应力状态：亦称空间应力状态，是最一般最复杂的； 二向应力状态：单元体只有两对面上承受应力并且作用线均在同一 平面内，另外一对面上没有任何应力，亦称平面应力状态；

单向应力状态：当平面应力状态中切应力为0，且只在一个方向上 有正应力作用时，称为——


而过一点各方向截面上应力矢量的集合称为该点的应
力状态。
2.3 一点的应力状态 切应力互等定律

1、单元体：（对连续均匀介质用极限的概念）来要描述构件上 一点a，就围绕a取一微小的六面体，当三个垂直的棱边趋近于0 时的极性时，即点a，称此微小六面体为——; 用截面外法线方向来命名截面，x面是指该截面的外法线法线沿x 轴，或者说该截面垂直于x轴；

斜面ABC上总应力矢量pn在x，y，在， 三个方向分量为：
pnx，pny，pnz，四面体处于平衡状态，在x轴方向则有：

斜面ABC上正应力
为总应力矢量pn在法线N上的投影，即是
pn的三个分量pnx，pny，pnz，在法线N上的投影的代数和：

2、主应力与主方向
过点O的斜面A*B*C*就是主平面，其方向余弦l* 、 m* 、 n*就是一 个主方向。因为主平面无切应力，则A*B*C*面上的全应力就是正 应力分量。该面上的全应力在坐标轴上的投影为：
△Ｐ
ｐ称为总应力或全应力。
应力求法
常用的表示方法是把p分解为两个分量:
垂直于截面的分量：正应力，用σ表示 沿截面的切向分量：切应力，用τ表示
正应力或法向应力σ : 剪应力或切应力τ :
总结：

Ｋ点的总应力p与截面方向有关。过Ｋ点在另外方向取 一截面，可定义另外一个不同的总应力矢量。过Ｋ点 可以有无限多个不同方向的截面，相应可得无限多个 不同的总应力矢量。 仅有一个方向截面的应力矢量，不能全面描述一点的 应力特性。

二向应力状态分析--解析法和图解法

二向应力状态分析--解析法和图解法

多轴加载情况下处理方法
多轴加载定义
多轴加载是指物体在多个方向上同时受到外力的作用，导致物体 内部产生复杂的应力状态。
坐标变换法
通过坐标变换法可以将多轴加载情况下的应力状态转换到主应力 空间中进行分析，从而简化问题。
数值计算法
对于复杂的多轴加载情况，可以采用数值计算法求解应力张量和 主应力，以获得更精确的结果。
图形表示在工程中应用
01 02
复杂应力状态分析
在实际工程中，构件往往处于复杂的应力状态下。通过图解法，特别是 Mohr圆的应用，可以方便地确定构件的危险点和安全裕度，为工程设 计提供重要参考。
强度校核
在结构设计中，需要对关键构件进行强度校核。图解法可以直观地展示 受力构件的应力分布和大小，从而判断其是否满足强度要求。
VS
图解法适用范围
适用于简单的应力状态分析或者对精确度 要求不高的情况。例如，在初步设计阶段 或者课堂教学过程中，可以采用图解法进 行快速的应力状态分析和演示。
实例验证两种方法一致性
• 以某一具体实例为例，分别采用解析 法和图解法进行应力状态分析。通过 比较两种方法得到的结果，可以验证 两种方法的一致性和准确性。具体实 例可以根据实际情况选择，例如可以 选择一个简单的杆件结构或者一个复 杂的板壳结构进行分析。
优缺点分析
• 对数学知识要求低：相对于解析法，图解法对数 学知识的要求较低。
优缺点分析
精确度相对较低
由于绘图和测量过程中可能存在误差，因此图解法的精 确度相对较低。
适用范围有限
对于某些复杂的应力状态，图解法可能无法适用或者难 以得到准确结果。
适用范围讨论
解析法适用范围
适用于各种复杂的应力状态分析，特别 是需要高精度计算的情况。例如，在航 空航天、桥梁建筑等领域，对结构的安 全性要求极高，需要采用解析法进行精 确的分析和计算。

应力和应变状态培训讲学

应力和应变状态培训讲学
令 d 0 d
tg 21
x 2 xy
y
1
0
4
max
min
x
2
y
2
2 xy
4）两个导出公式：
max
min
m a x
m in
2
max min x y
例1. 已知如下单元体的应力状态，求图示斜截面上的应力和σmax、 σmin、τmax、τmin及主平面和最大剪应力所在平面的方位。
2
cos2 xy sin 2
22.2MPa
600
x
y
2
sin 2
xycos 2来自55MPa6）A点处的主应力及方位
max x y
min
2
x
2
y
2
2 xy
147.8 1.84MPa
1 147 .8MPa, 2 0, 3 1.84 MPa
tg 20
2 xy x y
解：
1）外力分析
RC
RB
P () 2
70kN
2) 内力分析(Q、M图)
3）A点横截面上的σ、τ
A
My IZ
146MPa
A
QASZ* bIZ
16.5MPa
4）在单元体上 x 146, xy A 16.5, 600, y 0
5）斜截面上的60°， 60°：
600
x y
2
x y
100 (80) sin 600 40cos600 2
97.64(MPa)
4）计算σmax、σmin及主平面方位角
max
min
x
y
2
x
2
y
2
2 xy

二向应力平面应力状态

二向应力平面应力状态

二向应力平面应力状态
二向应力是指在一个平面上同时存在的两个不同方向的应力。

平面应力状态是指在某个平面上的应力分布。

所以，二向平面应力状态是指在某个平面上同时存在的两个不同方向的应力分布。

举个例子，假设在一个平面上同时存在垂直于平面的垂直应力和沿平面方向的切应力，则该平面上的应力状态就是二向平面应力状态。

这种平面应力状态在工程力学和材料科学中经常出现，对于材料的强度和变形行为等研究具有重要意义。

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900xy
x
即单元体两个相互垂直面上
的正应力之和是一个常数
-900
yx
xy y
即又一次证明了切应力的互等定理
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二 主平面、主应力与主应力方向 1 切应力为零的面为主平面?? 2 主应力
主平面上的正应力 ??
主应力是一点应力状态的最终度量
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三 面内最大切应力
不同方向面上的切应力亦随着坐标的旋转而变 化，因而切应力亦存在极值
x- 2ysin2 xcy os2
对α求一次导数，并令其等于零；
d d (x- y)co - s2 2 xsyi n 0 2
由此得出另一特征角，用α1表示
30MPa
-17.32M Pa
x- 2ysin2xycos2
30o10 230sin60o20cos60o27.32M Pa
思考 900 ？ 900 ？？
x
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yx
用 斜截面截取，此截面上的应力为
y
xy
2
- x 2 xy - - yx- 2 sy i2 c no 2 - s xx y cs yo2 i2 n s
反之为负
yx
方向角的正负号规定
由 x正向转到截面外法线
逆时针 为正 反之为负
注意：方向角的定义
y 外法线
n
x
以及正负号规定
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问题 已知原始单元体互相垂直面上的应力
y
y yx
x
xy x
x
求任意斜截面上的应力 （斜截面的 位y 置？？）
解决问题的方法 平衡 的思想
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2、单元体的局部平衡
y
y yx
n+
x
xy
x
x
x
xy
y
yx
y
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2、单元体的局部平衡
Fn 0
????
x
n
x y dA
yx
t
y
dA
+
0
-
x
(dA cos) cos
xy(dAcos) sin
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2 求正应力的极值面
x 2yx- 2yco- s2 xsyi n2
上式对α 求一次导数，并令其等于零
d d - (x- y)si n - 2 2 xc y o s02
表解明出∶的正角应度力的极ta值n2面＝ 与主－平x2-τ面xy重y 合角；度taαn与2α0＝ 0 完全－重x2合-τx。y y
3、平面应力状态任意方向面上的正应力
与切应力
x 2yx- 2yco- s2 xsyi n2
x- 2ysin2 xcy osy 2
y yx
x
xy x
x
y
例题1求斜面ab上的正应力和切应力
y
解：x 1 0 M P a, y - 3 0 M P a
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20MPa
0x- 2ysi n 0 2 xc y o 0s2 0
tan20＝
－2τxy
x -y
0 090O
该式确定了两个相互垂直的主平面的位置
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对于平面应力状态， 平行于xy坐标面的平 面，其上既没有正应 力，也没有切应力作 用，前后面是一个主 平面。
σ
σ 0
σ
这一主平面上的主应力等于零
正应力的极值就是主应力；
3 平面应力状态的三个主应力
tan20＝
－2τxy
x -y
x 2yx- 2yco 0 s- 2 xs yi n 0 2
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max
min
xy
2
(x-y
2
)2
2 xy
''' 0
将三个主应力代数值由大到小顺序排列;
123 就是所谓的应力状态的不变性
- y (dAsin) sin yx (dAsin) cos 0
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平衡方程
Ft 0
x
n
x y dA
yx
t
y
dA
-x
(dAcos) sin
- xy
(dAcos) cos
yx (dAsin) sin y (dAsin) cos 0
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tan21＝x2-τxy y
tan21＝x2-τxy y
得到α 的极值
x- 2ysin12xc y os12
max
min
(x -y
2
)2 x2y
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特别指出：
上述切应力极值仅对垂直于xy坐标面的方向面而言， 因而称为面内最大切应力与面内最小切应力
3 主应力方向 ------主平面的法线方向
要求 掌握主应力计算！！牢记公式，并进行 排序！
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二 主平面、主应力与主应力方向
x x 2 - 2 y y s ix n - 2 2 y c xcyo o - ss2 x 2syi n2
1 切应力为零的面为主平面
a
10MPa
3 0 0
30o
No x y 2 0 M P a , y x - 2 0 M P a , 30
x x 2 y x- 2 yco s2 - xysin2
Image
b
30
0
20MP3 a0 o 1 0 - 2 3 0 1 0 2 3 0 c o s6 0 o- 2 0 s in 6 0 o
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y
yx
x
xy
x
y
各量的含义 Байду номын сангаас) 左右面上的正应力 上下面上的正应力 2 ) 左 右 面 上 的 切 应力
1 方向角与应力分量的正负号规定
x' y'
正应力正负规定 拉应力为正压应力为负
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切应力正负号规定
xy
使微元或其局部顺时针方向转动为正；
自学§7-4 二向应力状态分析-图解法 自学提纲
一、 写出应力圆方程 并判断应力圆的圆心在那个轴上？
二、 应力圆的画法 1 定圆心 2 定半径 3 画圆
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三、 应力圆的应用 1 求主应力 2 面内最大切应力
四、 几种特殊应力状态的应力圆
(1)
1：单向拉伸应力状态的应力圆
2 ：纯剪切应力状态的应力圆
(1)
3：二向等拉应力状态的应力圆
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§7-3 二向应力状态分析？？---解析法
主应力（计算）、主平面（位置确 定！）
思路 ----分析任意斜截面上的应力 一 任意斜截面上的应力 要求： 1 掌握解决问题的思想 要求： 2 考研的同学理解记忆公式