二向应力状态分析--解析法和图解法资料讲解

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二向应力状态分析——解析法

对应力σ、τ和角度α的正负号，作这样的规定：正应力σ以拉应力为正，压应力为负；切应力τ以对单元体内的任一点作顺时针转向时为正，反时针转向时为负（这种规定与第八章中对剪力所作的规定是一致的）；角度α以从x轴出发量到截面的外法线n是反时针转时为正，顺时针转时为负。

按照上述正负号的规定可以判断，在图10-6中的是正值，τx是正值，τy是负值，α是正值。

当杆件处于静力平衡状态时，从其中截取出来的任一单元体也必然处于静力平衡状态，因此，也可以采用截面法来计算单元体任一斜截面上的应力。

取bef为脱离体如图10-6c所示。

对于斜截面ef上的未知应力
[例7—2] 试计算图10-8a所示的矩形截面简支梁，在点k处α= - 30的斜截面上的应力的大小和方向。

二向应力状态分析--解析法和图解法-PPT

d d
( x y )cos2 2 xysin2
0
由此得出另一特征角，用α1表示
tan
21＝
x
2τ xy
y
tan
21＝
x
2τ xy
y
得到α 的极值
x
y
2
sin21
xycos21
max
min
(x
y
2
)2
2 xy
特别指出：
上述切应力极值仅对垂直于xy坐标面的方向面而言，因而称为面内最大切应力与面内最小切应力
x
y
)2
2
xy
2
排序??
48.3MPa
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
2 面内最大切应力
y xy
x
x 60MPa， xy 30MPa,
y 40MPa,
max
(
x
y
)2
2
xy
2
3400
3 主平面的位置
y xy
x
代入表达式可知
x 60MPa， y 40MPa,
状态下的应力圆
的应力圆
o
结论：二向等值拉伸下,
习题7-5 P253-254 所有的面都是主平面
要求一、应力圆方程
二、应力圆的画法三、应力圆的应用四、几种特殊应力状态的应力圆
y
y yx
x
xy x
x
求任意斜截面上的应力（斜截面的位y 置？？）
解决问题的方法平衡的思想
2、单元体的局部平衡
y
y yx
n+
x
xy
x
x
x

二向应力状态分析—图解法

§7–4 二向应力状态分析—图解法
x
2
y
x
2
y
cos 2
x
sin
2
x
2
y
sin
2
x
cos 2
1、莫尔圆的概念
(
x
y 2
)2
2
(x
y )2 2
2 x
(
x
y 2
)2
2
(x
y 2
)2
2x
当斜截面随方位角变化时, 其上的应力，在 - 直角坐标系内的轨迹是一个圆。
圆心的坐标为(the coordinates of MOHR circle’s center)
y
xm
900
t
450
k
D
y
xm
900
t
450
k
D
y
3
τ max
x
τ max
k
450
1
解: 从圆筒表面 k 点处取出单元体, 其各面上的应力分量如图所示
可求得
y 1 max 80MPa
x 3 max 80MPa
z 0
k点处的线应变 x , y 为
y
x
1 E
(x
y )
1 E
(max
z
x
二、纯剪的本构关系
xy
xy
G
i 0 ( i x,y,z ) yz zx 0
y
xy
z
x
三、复杂状态下的本构关系
y
依叠加原理,得
y
z
z
x
xy
x
x
x
E
y
E

理论力学14应力状态分析

T
Wt

16M e πd3
联立解得扭转外力偶矩
Me

πd 3E45o
161

π
50103 3 210109
161 0.28
300 106
试求该扭转外力偶矩。
解：在测点截取单元体
该点为纯剪切应力状态，与母线成45° 方向即为主方向，其主应力
1 2 0
根据广义胡克定律
3
45oBiblioteka 11 E
1

2
3

1
E
1
E

45o
1
E

圆轴表面的最大扭转切应力
2
MPa
80 MPa
第六节广义胡克定律
一、二向应力状态下的胡克定律
x

1 E
x
y

y

1 E
y
x

二、三向应力状态下的胡克定律
x

1 E
x

y z

y

1 E
y

z
x

x

2
y
2

2 xy
切应力最大值
max

1
3
2
注意：切应力极大值不一定就是切应力最大值
四、纯剪切应力状态
1. 斜截面上的应力

sin 2
cos 2
2. 主平面和主应力
主平面： 45°斜截面
主应力： 1

《材料力学第2版》_顾晓勤第09章第2节二向应力状态分析

第 2 节二向应力状态分析第九章复杂应力状态和强度理论
最大主应力和最小主应力的计算式
max m in
x
y
2
x
2
y
2
2 x
确定 max 和 min 所在平面的方法
1）若x>y，则所求的两个角度0 和 90º+0 中，绝对值较小的一个确定max 所在的平面；
2）若x <y，则所求的两个角度0 和 90º+0 中，绝对值较小的一个确定min 所在的平面；
2
及
2sin cos sin 2 对以上二式进行整理得到：
x
y
2
x
y
2
cos2
x
sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos2
第 2 节二向应力状态分析第九章复杂应力状态和强度理论
x
y
2
x
y
2
cos2
x
sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos2
利用上述两式可以求得 de 斜截面上的正应力和切
设 de 斜截面面积为 dA，则 ae 面的面积为 dAsin ， ad面的面积为 dAcos 。取 t 和 n 为参考轴，建立棱
柱体 ade 的受力平衡方程如下：
dA ( xdAcos ) sin ( xdAcos ) cos ( ydAsin ) cos ( ydAsin ) sin 0
y
2
2 x
105 MPa
第 2 节二向应力状态分析第九章复杂应力状态和强度理论
0
1 2
arctan(
2 x x

应力分析

第九章
§9.1 §9.2 §9.3 §9.4 §9.5 §9.6 §9.7 §9.8 §9.9
应力分析强度理论
应力状态概述二向和三向应力状态的实例二向应力状态分析--解析法二向应力状态分析--图解法三向应力状态广义胡克定律复杂应力状态的变形比能强度理论概述四种常用强度理论
1
§9.1 应力状态概述
已知如图，设ef 面积为dA
F
n
0
dA ( xy dAcos ) sin ( x dAcos ) cos ( yx dAsin ) cos ( y dAsin ) sin 0
F 0
dA ( xy dAcos ) cos ( x dAcos ) sin ( yx dAsin ) sin ( y dAsin ) cos 0
为二向应力状态
7
㈡三向应力状态的实例如滚珠轴承、火车车轮与钢轨的接触点
例：A3钢制成的锅炉，t=10mm，内径D=1m，
p=3Mpa，求锅炉壁内任意点处的三个主应力。
解：
pD 3 10 6 1 75 MPa 2 4t 4 110
'
pD 2 ' 150 MPa 2t
+
z
E
1 [ x ( y z )] E 1 y [ y ( x z )] E 1 z [ z ( x y )] E
x
xy
xy
G
, yz
yz
G
, xz
广义胡克定律 xz G
2
⒊平行于σ2的斜截面上的应力
只有σ1、σ3对该斜截面上的应力产生影响

二向应力

2
(a)当 (a)当σx>σy时,
− 2τ xy 2α0 = arctg σ −σ y x
此时, 2α = 2α0 +180° 得到 σmin (主应力）主应力）
σmin
σx +σ y = − 2
σx −σ y 2
2 +τ xy
f
t
t
由
∑n = 0
即
可得
σα dA − (σxdAcosα)cosα + (τ xdAcosα)sin α −
(σ ydAsin α)sin α + (τ ydAsin α) cosα = 0
σα = σ x cos2 α +σ y sin 2 α − 2τ x sin α cosα
1 cos2 α = (1+ cos 2α) 2 1 2 sin α = (1− cos 2α) 2
α1 = ±45°
具体是正负可由力的合成定理直接判断. 具体是正负可由力的合成定理直接判断.
（1）最小主应力及作用平面由
σx +σy σx −σy σα = cos 2α −τ xy sin2α + 2 2
作三角变换得
σx +σ y σα = + 2
当
σx −σ y 2
二、主应力和主平面主平面: 主平面一点处剪应力等于零的平面称为主平面主应力: 主应力主平面上的正应力称为主应力说明: 一点处必定存在这样的一个单元体, 说明一点处必定存在这样的一个单元体三个相互垂直的面均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为 σ1 ,σ2 , σ3 的面均为主平面且规定按代数值大小的顺序来排列即且规定按代数值大小的顺序来排列, 值大小的顺序来排列

应力状态概述二向和三向应力状态的实例二向

解：（1）易知 30
x 40MPa y 20MPa
xy 10MPa
，
1 2 (xy ) 1 2 (xy )c2 o s xs2 in 2 .4 M 6
1 2(x y)si2 n xco 2 s1.6 3M 6 Pa
Ox

2 xy

材料力学第七章应力和应变分析 1; 20; 3 tg202xxyy 045
m mianx（ x 2y） 2x2y tg212xxyy010
破坏分析
低:碳 s 2 钢 M 40 ;s P 2 aM 00Pa低碳钢

材料力学第七章应力和应变分析
二、极值应力
令 :d d 0 xys2 in 0 2xc y o 20 s 0
由此的两个驻点：
01、
（0
1

）和
2
两
各
极
值
：tg20
2xy x y
m m a in xx2 y± （ x2 y） 2x 2 y
xy)
且转向一致。
两半径夹角2 ；
O
B( y ,yx)
材料力学第七章应力和应变分析
四、在应力圆上标出极值应力
a
max
x
2a1
A(x , xy)
OC
32
2a0
1 a
B( y , yx)
min

1 3
OC

R半径

x

2
y

（
x

2
y）2
014 ,即极值剪应力面成与 450主面

工程力学第2节二向应力状态分析

例12-1 已知构件内某点处的应力单元体如图所示，
试求斜截面上的正应力和切应力。
解：按正负号规定则有：
x 60 MPa x 120 MPa y 80 MPa 300
代入公式得：

x
y
2
x
y
2
cos2
x
sin 2
78.9MPa
低碳钢试件扭转破坏是被剪断的，且其抗剪能力
低于其抗拉能力。
铸铁试件扭转破坏是被拉断的，且其抗拉能力低于其抗剪能力。
例12-3 图示单元体，x=100MPa，x= –20MPa，
y=30MPa。试求：1） = 40º的斜截面上的和； 2）确定A点处的max、max和它们所在的位置。

x
y
2
sin 2
x
cos2

121MPa
二、主应力和极限切应力
1、主应力和主平面

x
y
2
x
y
2
cos2
x
sin 2

x
y
2
sin 2
x
cos2
将公式对求一阶导数、并令其为0：
d d

x

2
y
(2 sin
由切应力互等定理有x=y，并利用三角关系：
sin2 1 cos2 、 cos2 1 cos2 及
2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2sin cos sin 2 对以上二式进行整理得到：

x
y
2

x
y
2

第二十讲应力状态解析法、图解法 (之一)

PP
MM
TT
AA
((bb)) ττyy
σσ11
AA ττσσxx11
((dd))
始单元体如图（c）、(d)所示：
FFNN
σσxx
ττyy AA
σσxx ττxx
AA 3333..9(9(3c3cO)O)
σσ==4488..77((ee))
x
P A
4
(0.05
20 103 2 0.002)2
0.052
x
y 2
x
y 2
cos2
x
sin 2
x
y 2
sin 2
x
cos2
方向:
tan 20
2 x x y
2 (60) 40 0
3 0
35.78o
（3）最大切应力
大小:
max min
max
min 2
83.25 (43.25) 2
63.3MPa
45o 45o
40 40 cos 90o (60) sin 90o 80MPa 22
1 y
σx x
若x<y，0 对应不为零的较小主应力
3 0 x y 0, x 0
x
y
0,
x
0
σ
x
3
y
3
A x σx tan 20 0
y 1
tan 20 0
x
1 y
1
σx
0
x 3
1
σx
x
y 3
x
x y 0, x 0
σ0 x tan 20 0
3 y
x y 0,x 0 σx x
50
20

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900xy
x
即单元体两个相互垂直面上
的正应力之和是一个常数
-900
yx
xy y
即又一次证明了切应力的互等定理
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二主平面、主应力与主应力方向 1 切应力为零的面为主平面?? 2 主应力
主平面上的正应力 ??
主应力是一点应力状态的最终度量
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三面内最大切应力
不同方向面上的切应力亦随着坐标的旋转而变化，因而切应力亦存在极值
x- 2ysin2 xcy os2
对α求一次导数，并令其等于零；
d d (x- y)co - s2 2 xsyi n 0 2
由此得出另一特征角，用α1表示
30MPa
-17.32M Pa
x- 2ysin2xycos2
30o10 230sin60o20cos60o27.32M Pa
思考 900 ？ 900 ？？
x
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yx
用斜截面截取，此截面上的应力为
y
xy
2
- x 2 xy - - yx- 2 sy i2 c no 2 - s xx y cs yo2 i2 n s
反之为负
yx
方向角的正负号规定
由 x正向转到截面外法线
逆时针为正反之为负
注意：方向角的定义
y 外法线
n
x
以及正负号规定
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问题已知原始单元体互相垂直面上的应力
y
y yx
x
xy x
x
求任意斜截面上的应力（斜截面的位y 置？？）
解决问题的方法平衡的思想
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2、单元体的局部平衡
y
y yx
n+
x
xy
x
x
x
xy
y
yx
y
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2、单元体的局部平衡
Fn 0
????
x
n
x y dA
yx
t
y
dA
+
0
-
x
(dA cos) cos
xy(dAcos) sin
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2 求正应力的极值面
x 2yx- 2yco- s2 xsyi n2
上式对α 求一次导数，并令其等于零
d d - (x- y)si n - 2 2 xc y o s02
表解明出∶的正角应度力的极ta值n2面＝与主－平x2-τ面xy重y 合角；度taαn与2α0＝ 0 完全－重x2合-τx。y y
3、平面应力状态任意方向面上的正应力
与切应力
x 2yx- 2yco- s2 xsyi n2
x- 2ysin2 xcy osy 2
y yx
x
xy x
x
y
例题1求斜面ab上的正应力和切应力
y
解：x 1 0 M P a, y - 3 0 M P a
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20MPa
0x- 2ysi n 0 2 xc y o 0s2 0
tan20＝
－2τxy
x -y
0 090O
该式确定了两个相互垂直的主平面的位置
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对于平面应力状态，平行于xy坐标面的平面，其上既没有正应力，也没有切应力作用，前后面是一个主平面。
σ
σ 0
σ
这一主平面上的主应力等于零
正应力的极值就是主应力；
3 平面应力状态的三个主应力
tan20＝
－2τxy
x -y
x 2yx- 2yco 0 s- 2 xs yi n 0 2
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max
min
xy
2
(x-y
2
)2
2 xy
''' 0
将三个主应力代数值由大到小顺序排列;
123 就是所谓的应力状态的不变性
- y (dAsin) sin yx (dAsin) cos 0
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平衡方程
Ft 0
x
n
x y dA
yx
t
y
dA
-x
(dAcos) sin
- xy
(dAcos) cos
yx (dAsin) sin y (dAsin) cos 0
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tan21＝x2-τxy y
tan21＝x2-τxy y
得到α 的极值
x- 2ysin12xc y os12
max
min
(x -y
2
)2 x2y
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特别指出：
上述切应力极值仅对垂直于xy坐标面的方向面而言，因而称为面内最大切应力与面内最小切应力
3 主应力方向 ------主平面的法线方向
要求掌握主应力计算！！牢记公式，并进行排序！
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二主平面、主应力与主应力方向
x x 2 - 2 y y s ix n - 2 2 y c xcyo o - ss2 x 2syi n2
1 切应力为零的面为主平面
a
10MPa
3 0 0
30o
No x y 2 0 M P a , y x - 2 0 M P a , 30
x x 2 y x- 2 yco s2 - xysin2
Image
b
30
0
20MP3 a0 o 1 0 - 2 3 0 1 0 2 3 0 c o s6 0 o- 2 0 s in 6 0 o
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y
yx
x
xy
x
y
各量的含义 Байду номын сангаас) 左右面上的正应力上下面上的正应力 2 ) 左右面上的切应力
1 方向角与应力分量的正负号规定
x' y'
正应力正负规定拉应力为正压应力为负
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切应力正负号规定
xy
使微元或其局部顺时针方向转动为正；
自学§7-4 二向应力状态分析-图解法自学提纲
一、写出应力圆方程并判断应力圆的圆心在那个轴上？
二、应力圆的画法 1 定圆心 2 定半径 3 画圆
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三、应力圆的应用 1 求主应力 2 面内最大切应力
四、几种特殊应力状态的应力圆
(1)
1：单向拉伸应力状态的应力圆
2 ：纯剪切应力状态的应力圆
(1)
3：二向等拉应力状态的应力圆
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§7-3 二向应力状态分析？？---解析法
主应力（计算）、主平面（位置确定！）
思路 ----分析任意斜截面上的应力一任意斜截面上的应力要求： 1 掌握解决问题的思想要求： 2 考研的同学理解记忆公式

二向应力状态分析--解析法和图解法资料讲解

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