高考物理大一轮复习 第一章 专题强化一 运动学图像 追及相遇问题讲义(含解析)教科版-教科版高三全册

运动图像追及与相遇问题(1)x-t 图像和v-t 图像都表示物体运动的轨迹。

(×)(2)x-t 图像和v-t图像都只好描绘直线运动。

(√)(3)x-t 图像上两图线的交点表示两物体此时相遇。

(√)(4)v-t 图像上两图线的交点表示两物体此时相遇。

(×)(5) 同向来线上运动的两物体，后者假定追上前者，后者速度一定大于前者。

(√) (6) 同向来线上运动的两物体，速度相等时，两物体相距最远或近来。

(√)(7) 两物体同向运动恰巧不相碰，那么此时两物体速度相等。

(√)打破点(一) 三类运动图像的比较1．位移—时间 (x-t) 图像(1)位移—时间图像反应了做直线运动的物体的位移随时间变化的规律，并不是物体运动的轨迹。

(2)位移—时间图像只好描绘物体做直线运动的状况， 这是由于位移—时间图像只好表示物(3) 体运动的两个方向：t 轴上方代表正方向， t 轴下方代表负方向。

位移—时间图线上每一点的斜率表示物体该时辰的速度，斜率的大小表示速度的大小，斜率的正负表示速度的方向。

[例1] [多项选择](2021·南师大附中模拟 )以下列图为一个质点运动的位移 的图像，由此可知质点在 0～4s 内( )A ．先沿x 轴正方向运动，后沿 x 轴负方向运动x随时间t 变化B．向来做匀变速运动C．t＝2s时速度必定最大D．速率为5m/s的时辰有两个[A错误；图像的斜率分析]从题图中可知正向位移减小，故质点向来朝着负方向运动，表示速度大小，故斜抢先增大后减小，说明质点速抢先增大后减小，做变速运动，但不可以判断能否是做匀变速直线运动，t＝2s时，斜率最大，速度最大，B错误C正确；由于斜抢先增大后减小，而且均匀速度为5m/s，故增大过程中有一时辰速度大小为5m/s，减小过程中有一时刻速度大小为5m/s，共有两个时辰速度大小为5m/s，D正确。

[答案] CD2．地点坐标(x-y) 图像表示物体地点的坐标图，图线表示物体实质运动轨迹的路线，在座标图上能表示出物体运动的位移。

专题一运动图象追及相遇问题突破1 对运动图象的理解和应用1．(2018·全国卷Ⅲ)(多选)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动．甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示．下列说法正确的是( CD )A．在t1时刻两车速度相等B．从0到t1时间内，两车走过的路程相等C．从t1到t2时间内，两车走过的路程相等D．在t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等解析：本题考查x­t图象的应用．在x­t图象中，图线的斜率表示物体运动的速度，在t1时刻，两图线的斜率关系为k乙>k甲，两车速度不相等，在t1到t2时间内，存在某一时刻甲图线的切线与乙图线平行，如图所示，该时刻两车速度相等，选项A错误、D正确．从0到t 1时间内，乙车走过的路程为x 1，甲车走过的路程小于x 1，选项B 错误．从t 1到t 2时间内，两车走过的路程都为x 2－x 1，选项C 正确．2．(2019·山东泰安统考)甲、乙两辆汽车在一平直公路上同向行驶．在t ＝0到t ＝t 1的时间内，它们的v ­t 图象如图所示，已知t ＝t 1时刻，两辆汽车并排行驶，则在这段时间内( C )A ．甲、乙两辆汽车的位移相同B ．两辆汽车的平均速度均为v 1＋v 22C ．t ＝0时刻，汽车乙在汽车甲前方D ．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大解析：v ­t 图线与时间轴围成的面积表示位移大小，故汽车甲的位移大于汽车乙的位移，而在t ＝t 1时刻两车相遇，所以t ＝0时刻，汽车乙在汽车甲前方，A 错误，C 正确；如图所示，两虚线分别表示匀加速和匀减速直线运动，其平均速度大小均等于v 1＋v 22，而匀加速直线运动的位移小于汽车甲变加速直线运动的位移，故甲的平均速度大于v 1＋v 22，匀减速直线运动的位移大于汽车乙变减速直线运动的位移，故乙的平均速度小于v 1＋v 22，故B 错误；图线的斜率表示加速度，可知两车的加速度都在减小，故D 错误．3．(2019·安徽六安检测)一个物体沿直线向右运动，t ＝0时刻物体的速度为2 m/s 、加速度为1 m/s 2，规定向右为正方向，物体的加速度随时间的变化规律如图所示，则下列判断正确的是( D )A ．物体做匀加速直线运动B ．物体的加速度与时间成正比C ．t ＝5 s 时刻物体的速度为6.25 m/sD ．t ＝8 s 时刻物体的速度为13.2 m/s解析：从题图可知，物体的加速度在不断变化，显然A 错．加速度与时间成一次函数关系，没有过坐标原点，因此不是正比关系，B 错．题图中的图线与坐标轴所围的面积代表速度的改变量，由于a ＝1＋0.1t (m/s 2)，Δv ＝a 0＋a t 2t ＝2＋0.1t2t (m/s)，当t ＝5 s 时，Δv＝6.25 m/s ，v ＝v 0＋Δv ＝8.25 m/s ，C 错．同理知D 对．读懂图象三步走第一 关注横、纵坐标(1)确认横、纵坐标对应的物理量各是什么．(2)注意横、纵坐标是否从零刻度开始． (3)坐标轴物理量的单位不能忽视． 第二 理解斜率、面积、截距的物理意义(1)图线的斜率：通常能够体现某个物理量的大小、方向及变化情况．(2)面积：由图线、横轴，有时还要用到纵轴及图线上的一个点或两个点到横轴的垂线段所围图形的面积，一般都能表示某个物理量．如v ­t 图象中的面积，表示位移．(3)截距：图线在纵轴上以及横轴上的截距． 第三 分析交点、转折点、渐近线 (1)交点：往往是解决问题的切入点．(2)转折点：满足不同的函数关系式，对解题起关键作用． (3)渐近线：往往可以利用渐近线求出该物理量的极值．考向2 运动学其他图象4．小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞后回到原高度再次下落，重复上述运动，取小球的落地点为原点建立坐标系，竖直向上为正方向，下列速度v 和位置x 的关系图象中，能描述该过程的是( A )解析：设小球下落的高度为H ，依据题意，小球下落过程的位移为x 1＝H －v 22g ，速度为负值；弹回上升过程的位移为x 2＝H －v 22g，速度为正值，选项A 正确．5．(2019·湖北天门模拟)(多选)如图所示是某物体做直线运动的v 2­x 图象(其中v 为速度，x 为位置坐标)，下列关于物体从x ＝0处运动至x 0处的过程分析，其中正确的是( BC )A ．该物体做匀加速直线运动B ．该物体的加速度大小为v 202x 0C ．该物体在位移中点的速度大于12v 0D ．该物体在运动中间时刻的速度大于12v 0解析：根据v 2＝v 20＋2ax ，对比题图可知，物体做匀减速直线运动，选项A 错误；该物体的加速度大小为a ＝v 202x 0，选项B 正确；该物体在位移中点时v 2＝12v 20，则v ＝v 02>v 02，选项C 正确；物体做匀减速运动，初速度为v 0，末速度为零，故物体在中间时刻的速度等于12v 0，选项D 错误．故选BC.解决这类问题时，首先要将题目给出的情景分析透彻，然后根据情景分析图象中物理量之间的关系，或者直接将图象与题目所描述的情景相对照，看是否吻合进行判断.考向3 运动图象的应用6．某同学欲估算飞机着陆时的速度，他假设飞机在平直跑道上做匀减速运动，飞机在跑道上滑行的距离为x ，从着陆到停下来所用的时间为t ，实际上，飞机的速度越大，所受的阻力越大，则飞机着陆时的速度应是( C )A ．v ＝x tB ．v ＝2x tC ．v >2x tD.x t<v <2x t解析：该同学假设飞机做匀减速运动，所用的时间为t ，画出相应的v ­t 图象大致如图所示的虚线．根据图象的意义可知，虚线下方的“面积”表示位移．因为位移为x ，则得出初速度为2xt.实际上，当飞机的速度减小时，所受的阻力减小，因而它的加速度会逐渐变小，v ­t 图象切线的斜率减小，画出相应的v ­t 图象大致如图所示的实线．根据图象的意义可知，实线下方的“面积”表示位移．所以飞机着陆的速度v >2xt，故选项C 正确．7．(2019·江苏联考)某科学小组研制了一种探测器，其速度大小可随运动情况进行调节．如图所示，在某次实验中，该探测器从原点O 一直沿x 轴正向移动，且其速度大小与位移大小成反比．已知探测器在A 、B 两点的速度分别为4 m/s 和2 m/s ，O 点到B 点的位移为2 m ，则探测器从A 点运动到B 点的时间为( A )A.38 s B.18 s C.34 s D.14s 解析：根据题述的速度大小与位移大小成反比，可画出1v随位移x 变化的图线，如图所示，根据v A x A ＝v B x B 可得O 点到A 点的位移为x A ＝1 m ．根据1v随位移x 变化的图线与x 轴围成的面积等于探测器运动的时间，可得探测器从A 点运动到B 点的时间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14×(2－1)×12 s ＝38 s ，选项A 正确．(1)对于实际问题在无法运用物理公式解答的情况下，用图象法则会使思路豁然开朗. (2)运用图象法时，要结合具体的物理过程和相应的物理规律作出函数图象，再结合相应的数学工具(即方程)求出相应的物理量.突破2 追及、相遇问题的解题方法考向1 速度小者追速度大者恰在这时一人骑自行车以v 0＝6 m/s 的速度匀速驶来，从后边超过汽车，试问：(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？最远距离是多大？(2)当汽车追上自行车时汽车的速度是多大？ 【解析】 解法1：用临界条件求解(1)当汽车的速度为v ＝6 m/s 时，二者相距最远，所用时间为t ＝v a＝2 s 最远距离为Δx ＝v 0t －12at 2＝6 m.(2)汽车追上自行车时有v 0t ′＝12at ′2解得t ′＝4 s汽车的速度为v ＝at ′＝12 m/s.解法2：用图象法求解(1)汽车和自行车的v ­t 图象如图所示，由图象可得t ＝2 s 时，二者相距最远．最远距离等于图中阴影部分的面积，即Δx ＝12×6×2 m＝6 m.(2)两车距离最近时，即两个v ­t 图线下方面积相等时，由图象得此时汽车的速度为v ＝12 m/s解法3：用数学方法求解(1)由题意知自行车与汽车的位移之差为Δx ＝v 0t －12at 2因二次项系数小于零，当t ＝－v 02×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝2 s 时有最大值，最大值Δx m ＝v 0t －12at 2＝6×2m －12×3×22m ＝6 m (2)当Δx ＝v 0t －12at 2＝0时相遇得t ＝4 s ，汽车的速度为v ＝at ＝12 m/s【答案】 (1)2 s 6 m (2)12 m/s(1)临界法：寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离.(2)函数法：设两物体在t 时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t 的方程f (t )＝0，若方程f (t )＝0无正实数解，则说明这两个物体不可能相遇；若方程f (t )＝0存在正实数解，则说明这两个物体能相遇.(3)图象法：①用位移图象求解时，分别作出两物体的位移图象，如果两物体的位移图象相交，则说明两物体相遇.②用速度图象求解时，注意比较速度图线与时间轴包围的面积.1．(多选)在平直轨道上甲、乙两物体相距为s ，同时同向开始运动，乙在前，甲在后，甲以初速度v 1、加速度a 1做匀加速直线运动；乙做初速度为0、加速度a 2的匀加速直线运动，假定甲能从乙旁边通过而互不影响，下列情况可能发生的是( ACD )A ．当a 1＝a 2时，甲、乙只能相遇一次B ．当a 1>a 2时，甲、乙可能相遇两次C ．当a 1>a 2时，甲、乙只能相遇一次D ．当a 1<a 2时，甲、乙可能相遇两次解析：甲从乙的旁边通过，说明相遇时甲的速度大于乙的速度，若a 1＝a 2，则以后甲的速度将都大于乙的速度，故只能相遇一次，选项A 正确；若a 1>a 2，甲经过乙的旁边以后，甲的速度增加更快，速度一直大于乙的速度，故甲将一直在乙的前面，只能相遇一次，选项B 错误、C 正确；若a 1<a 2，则此后某一时刻乙的速度一定会大于甲的速度．若甲追上乙时，两者速度恰好相等，则两者只能相遇一次；若第一次甲追上乙时，甲的速度大于乙的速度，则甲、乙还会相遇一次，故能相遇两次，选项D 正确．考向2 速度大者追速度小者受台风影响，广东多地暴雨，严重影响了道路的交通安全，在某公路的同一直线车道上同向匀速行驶的轿车和货车，其速度大小分别为v 1＝40 m/s 、v 2＝25 m/s ，当轿车与货车距离为s 0＝22 m 时才发现前方有货车，若此时轿车立即刹车，则轿车要经过s ＝160 m 才能停下来，两车均可视为质点．(1)求轿车刹车后匀减速运动的加速度大小；(2)若轿车刹车过程中货车仍以v 2匀速行驶，请分析判断两车是否会相撞；(3)若轿车在刹车的同时给货车发信号，货车司机经t 0＝2 s 收到信号并立即以大小为a 2＝2.5 m/s 2的加速度加速前进，请分析判断两车是否会相撞．【解析】 (1)对轿车经过s ＝160 m 停下来的过程，设轿车刹车过程的加速度大小为a 1，则0－v 21＝－2a 1s解得a 1＝5 m/s 2(2)恰好不相撞时两车的速度相等，设时间为t 1，则v 1－a 1t 1＝v 2轿车前进的距离s 1＝v 1＋v 22t 1货车前进的距离s 2＝v 2t 1联立解得s 1＝97.5 m ，s 2＝75 m ，相对位移s 1－s 2＝22.5 m ，由于s 1－s 2>s 0，两车会相撞(3)假设两车经过时间t 速度相等， 即v 1－a 1t ＝v 2＋a 2(t －t 0) 轿车前进的距离s 3＝v 1t －12a 1t 2货车前进的距离s 4＝v 2t 0＋v 2(t －t 0)＋12a 2(t －t 0)2解得s 3＝8009 m ，s 4＝6059m由于s 3－s 4≈21.7 m<s 0，所以两车不会相撞 【答案】 (1)5 m/s 2(2)会相撞 (3)不会相撞(1)分析追及问题的方法技巧可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”.①一个临界条件：速度相等.它往往是物体能否相遇或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点.②两个等量关系：时间关系和位移关系.通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系. (2)若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断追上前该物体是否已经停止运动.2．(多选)甲、乙两车在一平直道路上同向运动，其v ­t 图象如图所示，图中△PQR 和△MNR 的面积分别为s 1和s 2(s 1>s 2)．初始时，甲车在乙车前方s 0处．则( AC )A ．若s 0＝s 1＋s 2，两车一定不会相遇B ．若s 0<s 1，两车一定相遇2次C ．若s 0＝s 2，两车可能相遇1次D ．若s 0＝s 1，两车可能相遇2次解析：若s 0＝s 1＋s 2，即s 0>s 1，由题图可知，甲、乙两车速度相同时，甲车在乙车前方，故两车一定不会相遇，选项A 正确；若s 0<s 1，两车可能相遇2次，也可能相遇1次，选项B 错误；若s 0＝s 2，两车速度相同前一定相遇1次，速度相同后可能相遇一次，选项C 正确；若s 0＝s 1，两车只能在速度相同时，相遇1次，选项D 错误．学习至此，请完成课时作业3。

专题强化二追及相遇问题目标要求 1.掌握处理追及相遇问题的方法和技巧.2.会在图像中分析追及相遇问题.3.熟练运用运动学公式结合运动学图像解决追及相遇的综合问题．题型一追及相遇问题追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置．追及相遇问题的基本物理模型：以甲追乙为例．1．二者距离变化与速度大小的关系(1)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲<v乙，甲、乙的距离就不断增大．(2)若v甲＝v乙，甲、乙的距离保持不变．(3)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲>v乙，甲、乙的距离就不断减小．2．分析思路可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”．(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点；(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系．通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口．3．常用分析方法(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图．(2)二次函数法：设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离Δx与时间t的二次函数关系，Δx＝0时，表示两者相遇．①若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；②若Δ＝0，一个解，说明刚好追上或相遇；③若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇．当t＝－b2a时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值．(3)图像法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像．位移－时间图像的交点表示相遇，分析速度－时间图像时，应抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系．4．常见追及情景(1)速度小者追速度大者：当二者速度相等时，二者距离最大．(2)速度大者追速度小者(避碰问题)：二者速度相等是判断是否追上的临界条件，若此时追不上，二者之间有最小值．物体B 追赶物体A ：开始时，两个物体相距x 0，当v B ＝v A 时，若x B >x A ＋x 0，则能追上；若x B ＝x A ＋x 0，则恰好追上；若x B <x A ＋x 0，则不能追上．特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动．例1 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a ＝3 m/s 2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s 的速度匀速驶过，从后边超过汽车．则汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？ 答案 2 s 6 m解析 解法一(分析法)：汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t ，两车间的距离为Δx ，则有v ＝at 所以t ＝v a ＝2 s ，Δx ＝v t －12at 2＝6 m.解法二(二次函数法)：设汽车在追上自行车之前经过时间t 两车相距最远，则Δx ＝v t －12at 2代入已知数据得Δx ＝6t －32t 2由二次函数求极值的条件知：t ＝2 s 时，Δx 有最大值为6 m 所以t ＝2 s 时两车相距最远，为6 m.解法三(图像法)：自行车和汽车的v －t 图像如图所示，由图可以看出，在相遇前，t 1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，v 1＝6 m/s所以有t 1＝v 1a ＝63 s ＝2 s ，Δx ＝v 1t 12＝6×22m ＝6 m.例2 汽车A 以v A ＝4 m/s 的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x 0＝7 m 处，有以v B ＝10 m/s 的速度同向运动的汽车B 正开始刹车做匀减速运动直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a ＝2 m/s 2.从刚刹车开始计时．求： (1)A 追上B 前，A 、B 间的最远距离；(2)经过多长时间A 恰好追上B . 答案 (1)16 m (2)8 s解析 汽车A 和B 的运动过程如图所示．(1)当A 、B 两汽车速度相等时，两车间的距离最远，即v B －at ＝v A ，解得t ＝3 s 此时汽车A 的位移x A ＝v A t ＝12 m 汽车B 的位移x B ＝v B t －12at 2＝21 m故最远距离Δx max ＝x B ＋x 0－x A ＝16 m. (2)汽车B 从开始减速直到静止经历的时间 t 1＝v Ba＝5 s运动的位移x B ′＝v B 22a ＝25 m汽车A 在t 1时间内运动的位移 x A ′＝v A t 1＝20 m此时相距Δx ＝x B ′＋x 0－x A ′＝12 m 汽车A 需再运动的时间t 2＝Δxv A＝3 s 故A 追上B 所用时间t 总＝t 1＋t 2＝8 s.[拓展延伸] (1)若某同学应用关系式v B t －12at 2＋x 0＝v A t ，解得经过t ＝7 s(另一解舍去)时A 恰好追上B .这个结果合理吗？为什么？(2)若汽车A 以v A ＝4 m/s 的速度向左匀速运动，其后方相距x 0＝7 m 处，有以v B ＝10 m/s 的速度同方向运动的汽车B 开始刹车做匀减速运动直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小为a ＝2 m/s 2，则经过多长时间两车恰好相遇？ 答案 见解析解析 (1)这个结果不合理，因为汽车B 运动的时间最长为t ＝v Ba ＝5 s<7 s ，说明汽车A 追上B时汽车B 已停止运动．(2)由位移时间关系公式有：v B t －12at 2＝x 0＋v A t ，解得t 1＝(3－2) s ，t 2＝(3＋2) s.例3 (2023·江西赣州市高三模拟)在赣州市南河大桥扩建工程中，双向桥梁已完成了某一通车方向的建设，为保持双向车辆正常通行，临时将其改成双向车道．如图所示，引桥与桥面对接处，有两车道合并一车道的对接口，A 、B 两车相距s 0＝4 m 时，B 车正以v B ＝4 m/s 速度匀速行驶，A 车正以v A ＝7 m/s 的速度借道超越同向行驶的B 车，此时A 车司机发现前方距离车头s ＝16 m 处的并道对接口，A 、B 两车长度均为L ＝4 m ，且不考虑A 车变道过程的影响．(1)若A 车司机放弃超车，且立即驶入与B 车相同的行驶车道，A 车至少以多大的加速度刹车匀减速，才能避免与B 车相撞．(2)若A 车司机加速超车，A 车的最大加速度为a ＝3 m/s 2，请通过计算分析A 车能否实现安全超车．答案 (1)98m/s 2 (2)见解析解析 (1)A 车减速到与B 车同速时，若恰未与B 车相碰，则A 车将不会与B 车相碰，设经历的时间为t ，则A 车位移x A ＝v A ＋v B2t ① B 车位移x B ＝v B t ② x A －x B ＝s 0③由①②③式联立解得t ＝83s则A 车与B 车不相碰，刹车时的最小加速度 a min ＝v A －v B t ＝7－483m/s 2＝98m/s 2. (2)设A 车加速t ′时间后车尾到达B 车车头，则s 0＋2L ＝v A t ′＋12at ′2－v B t ′，解得t ′＝2 s在此时间内，A 车向前运动了x A 1＝v A t ′＋12at ′2计算可得x A 1＝20 m>s ＝16 m ，说明在离并道对接口16 m 的距离上以3 m/s 2的加速度加速不能实现安全超车．题型二图像法在追及相遇问题中的应用1．x－t图像、v－t图像中的追及相遇问题：(1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算．(2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解．2．利用v－t图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作出v－t图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷．3．若为x－t图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体相遇；若为a－t图像，可转化为v－t图像进行分析．考向1x－t图像、v－t图像中的追及相遇问题例4(2023·山东泰安市月考)如图所示为甲、乙两车在平直公路上做直线运动的位移－时间(x－t)或速度－时间(v－t)图像，t1时刻两车恰好到达同一地点．关于两车在t1～t2时间内的运动，下列说法正确的是()A．若是x－t图像，则当甲车速度为零时，两车的距离最大B．若是x－t图像，则甲、乙两车的速度相等时，两车间的距离最小C．若是v－t图像，则两车间的距离先增大后减小D．若是v－t图像，则两车间的距离不断增大答案 D解析若是x－t图像，当甲、乙两车的速度相同时，相对速度为零，距离最远，故A、B错误；若是v－t图像，因为图像与横轴所围图形面积表示位移，则在t1～t2时间内，两车间的距离不断增大，故C错误，D正确．例5(多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v－t图像如图所示．已知两车在t＝3 s 时并排行驶，则()A．在t＝1 s时，甲车在乙车后B．在t＝0时，甲车在乙车前方7.5 m处C ．两车另一次并排行驶的时刻是t ＝2 sD ．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m 答案 BD解析 根据v －t 图像知，甲、乙两车都沿正方向运动．t ＝3 s 时，甲、乙两车并排行驶，此时v 甲＝30 m/s ，v 乙＝25 m/s ，由v －t 图线与时间轴所围“面积”表示位移知，0～3 s 内甲车位移x 甲＝12×3×30 m ＝45 m ，乙车位移x 乙＝12×3×(10＋25) m ＝52.5 m ，故t ＝0时，甲、乙两车相距Δx 1＝x 乙－x 甲＝7.5 m ，即甲车在乙车前方7.5 m 处，选项B 正确；0～1 s 内，x 甲′＝12×1×10 m ＝5 m ，x 乙′＝12×1×(10＋15) m ＝12.5 m ，Δx 2＝x 乙′－x 甲′＝7.5 m ＝Δx 1，说明在t ＝1 s 时甲、乙两车第一次并排行驶，选项A 、C 错误；甲、乙两车两次并排行驶的位置之间的距离为x ＝x 甲－x 甲′＝45 m －5 m ＝40 m ，选项D 正确．考向2 利用v －t 图像分析追及相遇问题例6 假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶．甲车在前，乙车在后，速度均为v 0＝30 m/s.甲、乙相距x 0＝100 m ，t ＝0时刻甲车遭遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化关系分别如图甲、乙所示．取运动方向为正方向．下列说法正确的是( )A ．t ＝3 s 时两车相距最近B ．t ＝6 s 时两车速度不相等C ．t ＝6 s 时两车距离最近，且最近距离为10 mD ．两车在0～9 s 内会相撞 答案 C解析 由题给图像画出两车的v －t 图像如图所示，由图像可知，t ＝6 s 时两车等速，此时距离最近，图中阴影部分面积表示0～6 s 内两车位移之差，即Δx ＝[12×30×3＋12×30×(6－3)] m＝90 m<x 0＝100 m ，即两车在t ＝6 s 时距离最近，最近距离为x 0－Δx ＝10 m ，故A 、B 错误，C 正确；t ＝6 s 时，两车相距10 m ，且甲车在前、乙车在后，在6～9 s 内，甲车速度大于乙车速度，两车间距离越来越大，故在0～9 s 内，甲车一直在前，两车不会相撞，故D 错误．课时精练1.(多选)如图，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位移－时间(x－t)图线，由图可知()A．在t1时刻，a车追上b车B．在t2时刻，a、b两车运动方向相反C．在t1到t2这段时间内，b车的速率先减小后增大D．在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车大答案BC解析t1时刻，a、b两车的位置相同，此前a车在前、b车在后，此后b车在前、a车在后，因此是b车追上a车．由于x－t图像的斜率表示速度的大小及方向，因此a车速度不变，做匀速直线运动，b车先做减速运动，速度减至零后又开始反方向做加速运动．t2时刻两图像的斜率一正一负，两车速度方向相反，选项A、D错误，B、C正确．2.(2023·四川南充市模拟)某车型在红绿灯停启、无保护左转、避让路口车辆、礼让行人、变道等方面都能无干预自动驾驶．某次试乘时，甲、乙两车同时并排出发，沿着同一平直路面行驶，它们的速度v随时间t变化的图像如图所示．则下列说法中正确的是()A．t1～t2时间内，甲、乙两车的加速度不可能相同B．t1～t2时间内，甲、乙两车间的距离始终增大C．t1～t2时间内，甲、乙两车相遇两次D．t1～t2时间内，甲车的平均速度大于乙车的平均速度答案 D解析由于v－t图像的斜率表示加速度，则由题图可看出，图线甲的斜率先减小后反向增大，存在某一时刻图线甲的斜率与图线乙的斜率相同，故在t 1～t 2时间内，存在甲、乙两车加速度相同的时刻，A 错误；由题图可看出在0 ～ t 1时间内，乙的速度一直大于甲的速度，又根据题知甲、乙两车同时从同一位置出发，则二者距离先增大，且在t 1时刻乙在甲前面，t 1后甲的速度大于乙的速度，则二者越来越近，最后相遇，但甲的速度依然大于乙的速度，则二者的距离再增大，到t 2时甲在乙前面，故在t 1～t 2时间内，甲、乙两车间的距离先减小后增大，甲、乙两车相遇一次，B 、C 错误；根据平均速度的计算公式有v ＝xt ，由于v －t 图像与横轴围成的面积表示位移，则在t 1～t 2时间内，x 甲 > x 乙，则甲车的平均速度大于乙车的平均速度，D 正确．3.(多选)在2017年匈牙利航海模型帆船项目世界锦标赛上，中国选手获得遥控帆船(F5－10)冠军．若a 、b 两个遥控帆船从同一位置向同一方向做直线运动，它们的v －t 图像如图所示，则下列说法正确的是( )A ．b 船启动时，a 船在其前方2 m 处B ．运动过程中，b 船落后a 船的最大距离为1.5 mC ．b 船启动3 s 后正好追上a 船D ．b 船超过a 船后，两船不会再相遇 答案 BCD解析 根据v －t 图线与时间轴包围的面积表示位移，可知b 在t ＝2 s 时启动，此时a 的位移为x ＝12×2×1 m ＝1 m ，即a 在b 前方1 m 处，故A 错误；两船的速度相等时相距最远，最大距离为Δx ＝12×(1＋3)×1 m －12×1×1 m ＝1.5 m ，故B 正确；由于两船从同一地点向同一方向沿直线运动，当位移相等时两船才相遇，由题图可知，b 船启动3 s 后位移x b ＝12×(1＋3)×2 m ＝4 m ，此时a 的位移x a ＝12×(5＋3)×1 m ＝4 m ，即b 刚好追上a ，故C 正确；b 船超过a 船后，由于b 的速度大，所以不可能再相遇，故D 正确．4．(多选)近期，一段特殊的“飙车”视频红遍网络，视频中，一辆和谐号动车正和一辆复兴号动车互相追赶(如图甲)．两车并排做直线运动，其v －t 图像如图乙所示，t ＝0时，两车车头刚好并排，则( )A ．10 s 末和谐号的加速度比复兴号的大B ．图乙中复兴号的最大速度为78 m/sC ．0到32 s 内，在24 s 末两车车头相距最远D ．两车头在32 s 末再次并排 答案 BC解析 v －t 图像的斜率表示加速度，可得和谐号的加速度为a 1＝72－6024 m/s 2＝12 m/s 2，复兴号的加速度为a 2＝72－6024－8 m/s 2＝34 m/s 2，则10 s 末和谐号的加速度比复兴号的小，故A 错误；题图乙中复兴号的最大速度为v m ＝72 m/s ＋a 2×(32－24) m/s ＝78 m/s ，故B 正确；因t ＝0时两车车头刚好并排，在0到24 s 内和谐号的速度大于复兴号的速度，两者的距离逐渐增大，速度相等后两者的距离缩小，则在24 s 末两车车头相距最远，故C 正确；由v －t 图像中图线与t 轴所围的面积表示位移，则在0～24 s 两者的最大距离为Δx ＝8×(72－60)2 m ＝48 m ，而在24～32 s 内缩小的距离为Δx ′＝(78－72)×(32－24)2 m ＝24 m<Δx ，即32 s 末复兴号还未追上和谐号，故D 错误．5.(多选)(2023·福建省三明一中模拟)甲、乙两车在平直的公路上同时从同一地点同向行驶，两车的速度v 随时间t 的变化关系如图所示，其中两阴影部分的面积相等(S 1＝S 2)，则( )A ．甲、乙两车均做直线运动B ．在0～t 2时间内，甲、乙两车相遇两次C ．在0～t 2时间内，甲的加速度先减小后增大D ．在0～t 2时间内(不包括t 2时刻)，甲车一直在乙车前面 答案 AD解析 甲、乙两车均做直线运动，A 正确；从图像可知，在0～t 2时间内，甲、乙两车图线与t 轴所包围的“面积”相等，即两车的位移相等，所以t 2时刻，甲、乙两车相遇且只相遇一次，B 错误；在0～t 2时间内，甲车的v －t 图线斜率不断增大，所以加速度不断增大，C 错误；在0～t 2时间内(不包括t 2时刻)，甲车图线与t 轴所包围的“面积”大于乙车图线与t 轴所包围的“面积”，即甲车的位移大于乙车的位移，且甲、乙两车在平直的公路上同时从同一地点出发，所以甲车一直在乙车前面，D 正确．6.(2023·湖南怀化市模拟)甲、乙两辆汽车同时同地出发，沿同方向做直线运动，两车速度的平方v 2随位移x 的变化关系图像如图所示，下列说法正确的是( )A ．汽车甲停止前，甲、乙两车相距最远时，甲车的位移为8 mB ．汽车甲的加速度大小为4 m/s 2C ．汽车甲、乙在t ＝4 s 时相遇D ．汽车甲、乙在x ＝6 m 处的速度大小为3 m/s 答案 A解析 根据v 2－v 02＝2ax 并根据题给图像可推知甲、乙两车的初速度大小分别为v 0甲＝6 m/s ，v 0乙＝0，v 2－x 图像的斜率的绝对值表示汽车加速度大小的2倍，所以甲、乙两车的加速度大小分别为a 甲＝2 m/s 2，a 乙＝1 m/s 2，且甲做匀减速直线运动，乙做匀加速直线运动，故B 错误；汽车甲停止前，甲、乙两车相距最远时二者速度相同，设共经历时间为t 1，则a 乙t 1＝v 0甲－a 甲t 1，解得t 1＝2 s ，此时甲车的位移为x 甲＝v 0甲t 1－12a 甲t 12＝8 m ，故A 正确；甲车总运动时间为t 2＝v 0甲a 甲＝3 s ，甲停下时位移为9 m ，而此时乙车的位移为x 乙＝12a 乙t 22＝92 m<9 m ，所以甲、乙两车相遇一定发生在甲车停下之后，设相遇时刻为t ，则有12a 乙t 2＝9 m ，解得t ＝3 2 s ，故C 错误；汽车甲、乙在x ＝6 m 处的速度大小为v ＝2a 乙x ＝v 0甲2－2a 甲x ＝2 3 m/s ，故D 错误．7．(2023·浙江省模拟)甲、乙两名运动员在泳池里训练，t ＝0时刻从泳池的两端出发，甲、乙的速度－时间图像分别如图甲、乙所示，若不计转向的时间且持续运动，两运动员均可视为质点，下列说法正确的是( )A．泳池长50 mB．两运动员一定不会在泳池的两端相遇C．从t＝0时刻起经过1 min，两运动员共相遇了3次D．在0～30 s内，甲、乙运动员的平均速度大小之比为8∶5答案 C解析根据v－t图线与时间轴围成的面积表示位移，可知泳池长度L＝1.25×20 m＝25 m，故A错误；如图所示，由甲、乙的位移－时间图线的交点表示相遇可知，甲、乙在t＝100 s 时在泳池的一端相遇，故B错误；在0～60 s内甲、乙相遇3次，故C正确；在0～30 s内，甲的位移大小为x1＝1.25×20 m－1.25×10 m＝12.5 m，乙的位移大小为x2＝1.0×25 m－1.0×5 m＝20 m，在0～30 s内，甲、乙运动员的平均速度大小之比为v1∶v2＝x1t′∶x2t′＝5∶8，故D错误．8．(2023·广东省华南师大附中模拟)如图甲所示，A车原来临时停在一水平路面上，B车在后面匀速向A车靠近，A车司机发现后启动A车，以A车司机发现B车为计时起点(t＝0)，A、B两车的v－t图像如图乙所示．已知B车在第1 s内与A车的距离缩短了x1＝12 m.(1)求B车运动的速度v B和A车的加速度a的大小．(2)若A、B两车不会相撞，则A车司机发现B车时(t＝0)两车的距离x0应满足什么条件？答案(1)12 m/s 3 m/s2(2)x0>36 m解析(1)在t1＝1 s时，A车刚启动，两车间缩短的距离为B车的位移，可得x1＝v B t1，解得B车的速度大小为v B＝12 m/s，图像斜率表示加速度，可得A车的加速度大小为a＝v Bt2－t1，其中t2＝5 s，解得A车的加速度大小为a＝3 m/s2.(2)两车的速度达到相同时，两车的距离达到最小，对应v－t图像的t2＝5 s时刻，此时两车已发生的相对位移为梯形的面积，则x ＝12v B (t 1＋t 2)，代入数据解得x ＝36 m ，因此，若A 、B 两车不会相撞，则两车的距离应满足条件为x 0>36 m.9．(2023·山东省实验中学月考)足球比赛中，经常使用“边路突破，下底传中”的战术，即攻方队员带球沿边线前进，到底线附近进行传中，某标准足球场长105 m ，宽68 m ．攻方前锋在中线处将足球沿边线向前路踢出，足球的运动可视为在地面上做初速度为12 m/s 的匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s 2，试求：(1)足球从开始做匀减速运动到停下来的位移为多大；(2)足球开始做匀减速直线运动的同时，该前锋队员沿边线向前追赶足球．他的启动过程可以视为初速度为零、加速度为2 m/s 2的匀加速直线运动，他能达到的最大速度为8 m/s ，该前锋队员至少经过多长时间能追上足球．答案 (1)36 m (2)6.5 s解析 (1)依题意，足球做匀减速运动，到停下来，由速度与时间关系得v 1＝a 1t 1，代入数据得t 1＝6 s ，根据x 1＝v 12t 1，代入数据得x 1＝36 m. (2)前锋队员做匀加速直线运动达到最大速度的时间和位移分别为t 2＝v 2a 2＝4 s ，x 2＝v 22t 2＝16 m ，之后前锋队员做匀速直线运动，到足球停止运动，其位移为x 3＝v 2(t 1－t 2)＝16 m ，由于x 2＋x 3<x 1，故足球停止运动时，前锋队员没有追上足球，然后前锋队员继续以最大速度匀速运动追赶足球，根据x 1－(x 2＋x 3)＝v 2t 3，解得t 3＝0.5 s ，故前锋队员追上足球的时间为t ＝t 1＋t 3＝6.5 s.10．货车A 正在该公路上以20 m/s 的速度匀速行驶，因疲劳驾驶司机注意力不集中，当司机发现正前方有一辆静止的轿车B 时，两车距离仅有64 m.(1)若此时B 车立即以2 m/s 2的加速度启动，通过计算判断：如果A 车司机没有刹车，是否会撞上B 车；若不相撞，求两车相距最近时的距离；若相撞，求出从A 车发现B 车开始到撞上B 车的时间；(2)若A 车司机发现B 车，立即刹车(不计反应时间)做匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s 2(两车均视为质点)，为避免碰撞，在A 车刹车的同时，B 车立即做匀加速直线运动(不计反应时间)，问：B 车加速度a 2至少多大才能避免事故发生．(这段公路很窄，无法靠边让道) 答案 (1)相撞 4 s (2)1.125 m/s 2解析 (1)当两车速度相同时，所用时间为t 0＝v A a＝10 s ，在此10 s 内A 车的位移为x A ＝v A t 0＝20×10 m ＝200 m ，B 车的位移为x B ＝12at 02＝12×2×102 m ＝100 m ，此时A 、B 两车间的位移差为Δx ＝x A －x B ＝100 m ＞64 m ，所以两车必定相撞；设两车相撞的时间为t ，则相撞时有v A t －12at 2＝64 m ，代入数据解得t ＝4 s(另一值不合题意舍去)所以A 车撞上B 车的时间为4 s ；(2)已知A 车的加速度a A ＝－2 m/s 2，初速度v A ＝20 m/s ；B 车的加速度为a 2，设B 车运动经过时间为t ′时，两车相遇，则有v A t ′＋12a A t ′2＝12a 2t ′2＋L ，代入数据有⎝⎛⎭⎫1＋a 22t ′2－20t ′＋64＝0，要避免相撞，则上式无实数解，根据数学关系知a 2＞1.125 m/s 2，所以B 的加速度的最小值为1.125 m/s 2.。

专题强化一运动学图象追及相遇问题专题解读1.本专题是匀变速直线运动规律和运动学图象的综合应用，为高考必考内容，多以选择题形式命题．2．学好本专题，可以提高同学们通过画运动情景示意图和v－t图象分析和解决运动学问题的能力．3．用到的知识有：x－t图象和v－t图象的理解，匀变速直线运动的规律，临界条件的确定，求解极值等数学方法．1．x－t图象与v－t图象的比较2.三点说明(1)x－t图象与v－t图象都只能描述直线运动，且均不表示物体运动的轨迹；(2)分析图象要充分利用图象与其所对应的物理量的函数关系；(3)识图方法：一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点．例1(多选)(2018·全国卷Ⅲ·18)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动．甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图1所示．下列说法正确的是()图1A．在t1时刻两车速度相等B．从0到t1时间内，两车走过的路程相等C．从t1到t2时间内，两车走过的路程相等D．在t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等答案CD解析x－t图象的斜率表示速度，则可知t1时刻乙车速度大于甲车速度，A错误；由两图线的纵截距知，出发时甲在乙前面，t1时刻图线相交表示两车相遇，可得0到t1时间内乙车比甲车多走了一段距离，B项错误；t1和t2时刻两图线都相交，表明两车在这两个时刻均处于同一位置，从t1到t2时间内，两车走过的路程相等，在t1到t2时间内，两图线有斜率相等的一个时刻，该时刻两车速度相等，C、D项正确．[听课感悟]____________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________变式1(2019·湖北鄂南高中、华师一附中等八校第一次联考)A、B两质点在同一平面内同时向同一方向做直线运动，它们的位置—时间图象如图2所示，其中A是顶点过原点的抛物线的一部分，B是过点(0,3)的一条直线，两图象相交于坐标为(3,9)的P点，则下列说法不正确．．．的是()图2A ．质点A 做初速度为零、加速度为2 m/s 2的匀加速直线运动B ．质点B 以2 m/s 的速度做匀速直线运动C ．在前3 s 内，质点A 比B 向前多前进了9 mD ．在3 s 前某时刻质点A 、B 速度相等 答案 C解析 质点A 的运动方程为x ＝12at 2，则初速度为零，加速度a ＝2 m/s 2，故A 正确；x －t 图象的斜率表示速度，故质点B 做匀速直线运动，质点B 的速度为v ＝Δx Δt ＝9－33 m/s ＝2 m/s ，故B 正确；在前3 s 内，质点B 的位移为6 m ，质点A 的位移为9 m ，质点A 比B 多前进了3 m ，故C 错误；t ＝1 s 时刻，质点A 的速度为2 m/s ，质点B 以v ＝2 m/s 的速度做匀速直线运动，故D 正确．例2(多选)(2018·全国卷Ⅱ·19)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图象分别如图3中甲、乙两条曲线所示．已知两车在t2时刻并排行驶．下列说法正确的是()图3A．两车在t1时刻也并排行驶B．在t1时刻甲车在后，乙车在前C．甲车的加速度大小先增大后减小D．乙车的加速度大小先减小后增大答案BD解析t1～t2时间内，甲车位移大于乙车位移，且t2时刻两车并排行驶，则t1时刻甲在乙的后面，A项错误，B项正确；由题图图象的斜率知，甲、乙两车的加速度均先减小后增大，C 项错误，D项正确．[听课感悟]____________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________变式2(2019·广西桂林市、贺州市、崇左市3月联合调研)甲、乙两辆汽车在同一平直公路上行驶，在t＝0时刻两车正好相遇，在之后一段时间0～t2内两车速度—时间图象(v－t图象)如图4所示，则在0～t2这段时间内有关两车的运动，下列说法正确的是()图4A ．甲、乙两辆车运动方向相反B ．在t 1时刻甲、乙两车再次相遇C ．乙车在0～t 2时间内的平均速度小于v 1＋v 22D ．在t 1～t 2时间内乙车在甲车前方 答案 C解析 由题图可知，二者速度均为正值，即二者均向正方向运动，故甲、乙两辆车运动方向相同，故选项A 错误；由题图可知，在0～t 1时间内，二者位移不相等，即在t 1时刻甲、乙两车没有相遇，在该时刻二者速度相等，二者之间的距离是最大的，故选项B 错误；若乙车在0～t 2时间内做匀变速运动，则平均速度为v 1＋v 22，如图所示：由v －t 图象与t 轴所围面积代表位移可知，匀变速运动的位移较大，故乙车在这段时间内的平均速度小于v 1＋v 22，故选项C 正确；由于甲的初速度大于乙的初速度，所以开始时甲车在乙车前面，由v －t 图象与t 轴所围面积代表位移可知在0～t 2时间内甲的位移大于乙的位移，故整个过程中甲车一直在乙车前面，故选项D 错误．拓展点1 非常规图象1．四类图象 (1)a －t 图象由v ＝v 0＋at 可知图象与横轴所围面积表示速度变化量Δv ，如图5甲所示． (2)xt－t 图象 由x ＝v 0t ＋12at 2可得x t ＝v 0＋12at ，图象的斜率为12a ，如图乙所示．图5(3)v 2－x 图象由v2－v02＝2ax可知v2＝v02＋2ax，图象斜率为2a.(4)x－v图象x与v的关系式：2ax＝v2－v02，图象表达式：x＝12av2－12a v02.2．解题技巧(1)用函数思想分析图象：图象反映了两个变量(物理量)之间的函数关系，因此要由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系，来分析图象的意义．(2)要注意应用解析法和排除法，两者结合提高选择题图象类题型的解题速度和准确率．例3(2019·福建三明市期末质量检测)如图6所示四幅图为物体做直线运动的图象，下列说法正确的是()图6A ．甲图中，物体在0～t 0这段时间内的位移小于v 0t 02B ．乙图中，物体的加速度为2 m/s 2C ．丙图中，阴影面积表示t 1～t 2时间内物体的加速度变化量D ．丁图中，t ＝3 s 时物体的速度为25 m/s 答案 D解析 题图甲中，因v －t 图象与t 轴围成的面积等于位移，可知物体在0～t 0这段时间内的位移大于v 0t 02，选项A 错误；题图乙中，根据v 2＝2ax 可知2a ＝1515 m/s 2＝1 m/s 2，则物体的加速度为0.5 m/s 2，选项B 错误；题图丙中，根据Δv ＝a Δt 可知，阴影面积表示t 1～t 2时间内物体的速度变化量，选项C 错误；题图丁中，由x ＝v 0t ＋12at 2可得x t ＝v 0＋12at ，由图象可知12a＝102 m/s 2＝5 m/s 2，v 0＝－5 m/s ，则a ＝10 m/s 2; 则t ＝3 s 时物体的速度为v 3＝v 0＋at 3＝25 m/s ，选项D 正确．[听课感悟] ____________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________变式3(2016·江苏卷·5)小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞后回到原高度再次下落，重复上述运动，取小球的落地点为原点建立坐标系，竖直向上为正方向．下列速度v和位置x的关系图象中，能描述该过程的是()答案 A解析由运动学公式可得小球与地面碰撞后速度v与位置x的关系为v＝v02－2gx，从最高点下落时二者的关系为v＝－2g(x0－x)，对比图象可知A项正确．拓展点2图象信息提取问题有些图象问题的分析和解决，要充分挖掘图象的隐含信息(比如图象的斜率、截距、包围面积及特殊点坐标等)才能顺利解题．例4(多选)(2019·吉林省名校第一次联合模拟)做直线运动的某质点的位移—时间图象(抛物线)如图7所示，P(2,12)为图线上的一点．PQ为过P点的切线，与x轴交于点Q(0,4)．已知t＝0时质点的速度大小为8 m/s，则下列说法正确的是()图7A ．质点做匀减速直线运动B ．质点经过P 点时的速度大小为6 m/sC ．质点的加速度大小为2 m/s 2D ．0～1 s 时间内，质点的位移大小为4 m 答案 AC解析 由题知图象为抛物线，结合匀变速直线运动的位移公式x ＝v 0t ＋12at 2，而v 0＝8 m/s ，t＝2 s 时的位移x ＝12 m ，代入解得a ＝－2 m/s 2，则函数表达式为x ＝8t －t 2，即质点做匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s 2，故A 、C 正确；由题图知v P ＝x P －x Q t P ＝12－42m/s ＝4 m/s ，故B 错误；由位移公式可得0～1 s 时间内质点的位移x 1＝8×1 m －12 m ＝7 m ，故D 错误． [听课感悟] ____________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________变式4(多选)(2020·云南昆明市质检)汽车在限速为40 km/h的道路上匀速行驶，驾驶员发现前方斑马线上有行人，于是减速礼让，汽车到达斑马线处时行人已通过斑马线，驾驶员便加速前进，监控系统绘制出该汽车的速度v随时间t变化的图象如图8所示，下列说法正确的是()图8A ．减速前该车已超速B ．汽车在加速阶段的加速度大小为3 m/s 2C ．驾驶员开始减速时距斑马线18 mD ．汽车在3.5～5.5 s 时间内的位移为10 m 答案 BD解析 由题图可知，汽车减速前的行驶速度为v 0＝10 m/s ＝36 km/h<40 km/h ，未超速，故A 错误；汽车在加速阶段的加速度大小为：a ＝ΔvΔt ＝8－25.5－3.5 m/s 2＝3 m/s 2，故B 正确；由题图可知，汽车减速过程不是做匀减速运动，因此由速度—时间图象不能精确求解汽车开始减速时距斑马线的距离，故C 错误；v －t 图象与t 轴所围面积表示位移，则3.5～5.5 s 时间内，x ＝2＋82×2 m ＝10 m ，故D 正确．1．分析思路可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”．(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点；(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口．2．临界法寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离．3．函数法设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0无正实数解，则说明这两个物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解，说明这两个物体能相遇．4．图象法(1)若用位移图象求解，分别作出两个物体的位移图象，如果两个物体的位移图象相交，则说明两物体相遇．(2)若用速度图象求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积．5．特别提醒若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动．例5 甲、乙两车在同一直线轨道上同向行驶，甲车在前，速度为v 1＝8 m/s ，乙车在后，速度为v 2＝16 m/s ，当两车相距x 0＝8 m 时，甲车因故开始刹车，加速度大小为a 1＝2 m/s 2，为避免相撞，乙车立即开始刹车，则乙车的加速度至少为多大？ 答案 6 m/s 2解析 方法一：临界法设两车减速后速度相同时为v ，所用时间为t ，乙车的加速度大小为a 2，则v 1－a 1t ＝v 2－a 2t ＝v ，v 1＋v 2t ＝v 2＋v 2t －x 0，解得t ＝2 s ，a 2＝6 m/s 2，即t ＝2 s 时，两车恰好未相撞，显然此后到停止运动前，甲的速度始终大于乙的速度，故可避免相撞．满足题意的条件为乙车的加速度至少为6 m/s 2.方法二：函数法甲运动的位移x甲＝v1t－12，乙运动的位移x乙＝v2t－12a2t22a1t避免相撞的条件为x乙－x甲≤x0即12＋(v1－v2)t＋x0≥02(a2－a1)t代入数据有(a2－2)t2－16t＋16≥0由数学知识得，不等式成立的条件是162－4×16(a2－2)≤0，且a2－2>0解得a2≥6 m/s2.变式5(2020·广东深圳市调研)可视为质点的甲、乙两小车分别沿同一平直路面同向行驶，t＝0时，甲在乙前方16 m处，它们的v－t图象如图9所示，则下列说法正确的是()图9A ．甲、乙在t ＝2 s 和t ＝10 s 时刻并排行驶B ．甲、乙在t ＝4 s 和t ＝8 s 时刻并排行驶C ．在t ＝6 s 时刻，乙车在甲车前8 m 处D ．在t ＝6 s 时刻，乙车在甲车前18 m 处 答案 B解析 由题图图象可知，甲做初速度为0，加速度为a 1＝126 m/s 2＝2 m/s 2的匀加速运动；乙做初速度为v 0＝6 m/s ，加速度为a 2＝12－66 m/s 2＝1 m/s 2的匀加速运动；两车相遇时满足：v 0t ＋12a 2t 2＝s 0＋12a 1t 2，即6t ＋12×1×t 2＝16＋12×2t 2，解得t 1＝4 s ，t 2＝8 s ，即甲、乙在t ＝4 s和t ＝8 s 时刻并排行驶，选项A 错误，B 正确．v －t 图象与t 轴所围面积表示位移，在t ＝6 s 时，甲的位移：x 1＝12×6×12 m ＝36 m ；乙的位移：x 2＝(6＋12)×6×12 m ＝54 m ，Δx ＝x 2－x 1－s 0＝54 m －36 m －16 m ＝2 m ，可知此时乙在甲的前面，选项C 、D 错误．1．(x －t 图象)(多选)一遥控玩具汽车的位移－时间图象如图10所示，则( )图10A ．5 s 末汽车的速度为3 m/sB ．15 s 末汽车的位移为300 mC ．15～25 s 内汽车的平均速度大小为1 m/sD ．前20 s 内汽车做单向直线运动 答案 AC解析 0～10 s 汽车做匀速直线运动，v ＝Δx Δt ＝3010 m/s ＝3 m/s ，A 正确；由题图知15 s 末汽车的位移为30 m ，B 错误；15～25 s 汽车运动方向反向，做匀速直线运动，v ＝20－3025－15 m/s＝－1 m/s ，故C 正确，D 错误．2．(v －t 图象)(多选)质点做直线运动的v －t 图象如图11所示，规定向右为正方向，则该质点在前8 s 内( )图11A ．总路程为2 mB ．平均速度为0.25 m/s ，方向向左C ．总路程为8 mD ．平均速度为1 m/s ，方向向左 答案 BC解析 由题可知，质点前3 s 内的位移x 1＝12×2×3 m ＝3 m ，方向向右.3～8 s 内的位移x 2＝－12×5×2 m ＝－5 m ，负号表示位移方向向左，则该质点在前8 s 内的总路程s ＝x 1＋|x 2|＝8 m ，所以A 错误，C 正确；该质点在前8 s 内的平均速度v ＝x 1＋x 2t ＝3－58 m/s ＝－0.25 m/s ，负号表示方向向左，所以B 正确，D 错误．3．(非常规图象)(2019·山东菏泽市下学期第一次模拟)一辆汽车以20 m/s 的速度在平直的公路上行驶，当驾驶员发现前方有险情时，立即进行急刹车，刹车后的速度v 随刹车位移x 的变化关系如图12所示，设汽车刹车后做匀减速直线运动，则当汽车刹车后的速度减小为12 m/s 时，刹车的距离x 1为( )图12A ．12 mB ．12.8 mC ．14 mD ．14.8 m 答案 B解析 由于汽车做匀减速直线运动，设加速度为a ，由v 2－v 02＝2ax ，解得a ＝－10 m/s 2，当v 1＝12 m/s 时，汽车刹车的距离x 1＝v 12－v 022a＝12.8 m ，B 项正确．4.(图象信息题)(多选)一物体从一行星表面的某高度处自由下落(不计表层大气阻力)．自开始下落计时，得到物体离行星表面的高度h 随时间t 变化的图象如图13所示，则( )图13A ．行星表面的重力加速度大小为8 m/s 2B ．行星表面的重力加速度大小为10 m/s 2C ．物体落到行星表面时的速度大小为20 m/sD ．物体落到行星表面时的速度大小为25 m/s 答案 AC解析 由题图提供的信息可知，物体开始下落时的高度为h ＝25 m ，下落时间为t ＝2.5 s ，由h ＝12g ′t 2可得g ′＝2ht 2＝8 m/s 2，故A 正确，B 错误；物体落到行星表面时的速度大小v ＝gt ＝8×2.5 m/s ＝20 m/s ，C 正确，D 错误．5．(追及相遇问题)(2019·山东烟台市期末)甲、乙两辆汽车在平直的高速公路上行驶，某时刻两车正好并排行驶，从该时刻起两车的速度－时间图象如图14所示，则下列说法正确的是( )图14A ．t 0时刻两车相遇B ．0～t 1时间内，甲、乙两车的加速度大小均逐渐减小且方向相同C ．0～t 0时间内，甲车的平均速度小于乙车的平均速度D ．t 1时刻甲、乙两车一定再次相遇，之后甲车将一直在乙车前方 答案 C解析 根据速度－时间图象与时间轴所围的“面积”表示位移，知0～t 0时间内乙车的位移比甲车的大，则t 0时刻两车没有相遇，故A 错误；0～t 1时间内，甲、乙两车图象斜率的绝对值均逐渐减小，则它们的加速度大小均逐渐减小，甲图象切线斜率为正，乙图象切线斜率为负，则加速度方向相反，故B 错误；0～t 0时间内甲车的位移比乙车的小，则甲车的平均速度小于乙车的平均速度，故C 正确；0～t 1时间内，甲车的位移比乙车的大，则甲、乙两车没有在t 1时刻相遇，之后甲车的速度比乙车的大，则甲车将一直在乙车前方，故D 错误．(限时：20分钟)1．(2020·辽宁沈阳市质检)如图1为一个质点做直线运动的v－t图象，该质点在前2 s内向西运动，则该质点()图1A．在前2 s内加速度方向也向西B．在前4 s内加速度方向始终向东C．在4～6 s内加速度方向始终向东D．在0～6 s内加速度方向始终不变答案 B解析由题意结合图象可知向西为负方向，而向东为正方向，该质点在前2 s内向西减速运动，则该段时间加速度方向向东，而2～4 s向东做加速运动，则加速度方向仍然向东，故选项A错误，B正确；由题图图象可知质点在4～5 s内向东做减速运动，而5～6 s内向西做加速运动，所以在4～6 s这段时间内加速度方向一直向西，故选项C、D错误．2．(2019·山东潍坊市第二次模拟)甲、乙两辆货车在平直公路上从同一位置同向行驶，两车的v－t图象如图2所示，则在0～4 s时间内()图2A．甲车做曲线运动B．乙车一直在甲车的后方C．甲车的平均速度小于6 m/sD．乙车位移的大小为8 m答案 C解析由题图可知，甲车做加速度减小的减速直线运动，乙车做匀加速直线运动，故选项A 错误；开始时乙的速度小于甲的速度，由图线与时间轴所围的“面积”代表位移可知，开始一段时间内乙车在甲车后方，但是在0～4 s内，通过“面积”分析可知乙车位移大于甲车位移，即乙车没有一直在甲车的后方，故选项B错误；若甲车一直做匀减速直线运动，则图象如图所示：则此时平均速度为：v ＝v 0＋v 42＝10＋22m/s ＝6 m/s ，但是通过图形“面积”可知，甲车的实际位移小于其匀减速直线运动的位移，故甲车实际的平均速度小于6 m/s ，故选项C 正确；由图形的“面积”代表位移可知，在0～4 s 时间内，乙车的位移为：x ＝12×(2＋10)×4 m ＝24 m ，故选项D 错误．3．(多选)(2019·河北唐山市第一次模拟)如图3所示的x －t 图象反映了甲、乙两车在同一平直公路上行驶的位移随时间变化的关系，已知乙车做匀变速直线运动，其图线与t 轴相切于10 s 处，则0～10 s 过程中( )图3A ．甲车的速度大小为4.0 m/sB ．乙车的平均速度大小为4.0 m/sC ．甲车的位移大小为40 mD ．乙车的位移大小为80 m答案 ACD解析 甲车做匀速直线运动，速度v 甲＝x 1t 1＝205m/s ＝4 m/s ，在0～10 s 内的位移为：x 甲＝v 甲t ＝4×10 m ＝40 m ，故A 、C 正确；乙车做匀变速直线运动，其图线与t 轴相切于10 s 处，则t ＝10 s 时，速度为零，根据逆向思维法，乙车匀减速到速度为0的减速过程，其逆过程为初速度为0的匀加速直线运动，则根据位移与时间关系x ＝12at 2，结合图象有：x 0＝12at 2＝12a · (10 s)2,20 m ＝12at 12＝12a ·(5 s)2，解得：a ＝1.6 m/s 2，x 0＝80 m ，则乙车的平均速度大小为：v乙＝x0t＝8010m/s＝8 m/s，故B错误，D正确．4.(2019·江苏南京、盐城市二模联考)某次实验中，通过传感器获得小车的速度v与时间t的关系图象如图4所示，则小车()图4A．在0～1.0 s内位移先增大后减小B．在0～1.0 s内加速度先增大后减小C．在0～1.0 s内位移约为0.52 mD．在0～0.5 s内平均速度约为1.04 m/s答案 C解析在0～1.0 s内小车的速度均为正值，则小车的位移一直增大，选项A错误；v－t图线斜率的绝对值等于加速度大小，则在0～1.0 s内小车的加速度先减小到零后增大，选项B错误；v－t图线与t轴围成的面积表示位移，则由题图可知，在0～1.0 s内小车的位移约为0.52 m，选项C正确；在0～0.5 s内小车的位移约为0.22 m，则小车的平均速度为v＝xt≈0.44 m/s，选项D错误．5．(2020·安徽合肥市质检)甲、乙两物体由同一点沿同一条直线运动，它们的v－t图象如图5所示，则在0～4 s内()图5A．两物体始终同向运动B．2 s末两物体相距最远C．两物体平均速度相等D．4 s末两物体相遇答案 A解析0～4 s内，甲、乙两物体的v－t图象均在横轴的上方，速度均为正，故两物体始终同向运动，A正确；由题意可知，甲、乙两物体同时同地沿同向运动，在0～4 s内，甲在前，乙在后，甲的速度大于乙的速度，两物体距离越来越大，在4 s时速度相同，此时两物体相距最远，B、D错误；0～4 s内，由图象可知，甲的位移大于乙的位移，即x甲>x乙，根据v ，两物体的平均速度v甲>v乙，故C错误．＝xt6．(2019·贵州省部分重点中学质量评测卷(四))甲、乙两物体从同一地点出发沿同一直线运动，它们的位移—时间图象如图6所示，则()图6A．前3 s内甲、乙的平均速度相等B．3 s末时甲、乙两物体的速度相同C．前3 s内甲、乙的运动方向始终相同D．前3 s内甲、乙两物体的最大距离为1 m答案 A解析因为两物体同时同地出发，开始时甲的速度大于乙的速度，在第3 s末两图线相交，则位移相等，所以前3 s内甲、乙的平均速度相等，故A正确；由题图可知，3 s末时甲、乙两物体的速度方向相反，故B错误；由题图可知，甲在位移达到3 m时速度减小为零，然后反方向运动，故C错误；由题图可知，前3 s内甲、乙两物体的最大距离大于1 m，故D错误．7.某人驾驶汽车在平直公路上以72 km/h的速度匀速行驶，某时刻看到前方路上有障碍物，立即进行刹车，从看到障碍物到停下(刹车后做匀减速直线运动)，位移随速度变化的关系如图7，图象由一段平行于x轴的直线与一段曲线组成．求：图7(1)该人刹车的反应时间；(2)刹车的加速度大小及刹车的时间．答案(1)0.6 s(2)8 m/s2 2.5 s解析(1)在人的反应时间内汽车做匀速直线运动，由题图可知，反应时间内的位移x1＝12 m，速度v＝72 km/h＝20 m/s反应时间t1＝x1v＝1220s＝0.6 s(2)开始刹车时，速度v＝72 km/h＝20 m/s刹车过程中的位移x2＝(37－12) m＝25 m由v2＝2ax2解得a＝v22x2＝8 m/s2刹车的时间t2＝va ＝208s＝2.5 s.。

第一章 运动的描述 匀变速直线运动匀变速直线运动图像和追及相遇问题【考点预测】1.匀变速直线运动的v －t 图像、a －t 图像、xt －t 图像、v 2－x 图像等2. 追及相遇问题 【方法技巧与总结】 (1)a －t 图像由Δv ＝aΔt 可知图像中图线与横轴所围面积表示速度变化量，如图甲所示． (2)xt－t 图像 由x ＝v 0t ＋12at 2可得x t ＝v 0＋12at ，截距b 为初速度v 0，图像的斜率k 为12a ，如图乙所示．(3)v 2－x 图像由v 2－v 02＝2ax 可知v 2＝v 02＋2ax ，截距b 为v 02，图像斜率k 为2a ，如图丙所示．(4)追及相遇问题可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”．(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点；(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系．通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口． 【题型归纳目录】题型一： 区分x －t 图像和v －t 图像 题型二：用函数思想分析图像 题型三：图像间的相互转化 题型四： 公式法求解追及相遇问题题型五：图像法在追及相遇问题中的应用 【题型一】区分x －t 图像和v －t 图像 【典型例题】例1．（2023·西藏日喀则·统考一模）图（a ）所示的医用智能机器人在巡视中沿医院走廊做直线运动，图（b ）是该机器人在某段时间内的位移时间图像（后10s 的图线为曲线，其余为直线）。

以下说法正确的是（ ）A ．机器人在0-30s 内的位移大小为7mB ．10-30s 内，机器人的平均速度大小为0.35m/sC ．0-10s 内，机器人做加速直线运动D ．机器人在5s 末的速度与15s 末的速度相同 【方法技巧与总结】1．无论x －t 图像、v －t 图像是直线还是曲线，所描述的运动都是直线运动，图像的形状反映了x 与t 、v 与t 的函数关系，而不是物体运动的轨迹．2．x －t 图像中两图线的交点表示两物体相遇，v －t 图像中两图线的交点表示该时刻两物体的速度相等，并非相遇．3．位置坐标x －y 图像则能描述曲线运动，图线交点表示物体均经过该位置，但不一定相遇，因为不知道时间关系．练1．（2023·河北邢台·河北巨鹿中学校联考三模）高铁改变生活，地铁改变城市！地铁站距短需要频繁启停，为缩短区间的运行时间需要较大的启动加速度。

专题解读 1. 本专题是匀变速直线运动规律和运动学图像的综合应用，为高考必考内容，多以选择题形式命题．2．学好本专题，能够提升同学们经过画运动情形表示图和v－t 图像剖析和解决运动学识题的能力．3．用到的知识有：x－t图像和v－t图像的理解，匀变速直线运动的规律，临界条件确实定，极值思想等数学方法．一、运动学图像1．直线运动的x－ t 图像(1)图像的物理意义反应了做直线运动的物体的地点随时间变化的规律．(2)图线斜率的意义①图线上某点切线的斜率大小表示物体速度的大小②图线上某点切线的斜率正负表示物体速度的方向．(3)交点两图线交点，表示两物体相遇．2．直线运动的v－ t 图像(1)图像的物理意义反应了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律．(2)图线斜率的意义①图线上某点切线的斜率大小表示物体加快度的大小．②图线上某点切线的斜率正负表示加快度的方向．(3)两种特别的 v－ t 图像①匀速直线运动的v－ t 图像是与横轴平行的直线．②匀变速直线运动的v－t 图像是一条倾斜的直线．(4) 图像与时间轴围成的面积的意义( 如图 1)图 1①图像与时间轴围成的面积表示位移．②若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为正；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为负．(5)交点两图线交点表示此时两物体速度同样．) 甲、乙两物体在同向来线上运动，其位移－时间自测 1(2018 ·四川省雅安市第三次诊疗图像如图 2 所示，由图像可知()图 2A．甲比乙运动得快B．乙开始运动时，两物体相距20mC．在前 25s 内，两物体距离先增大后减小D．在前 25s 内，两物体位移大小相等答案 C分析位移－时间图像的斜率大小等于速度大小，由题图可知甲比乙运动得慢，故 A 错误；由题图可知：乙从原点出发，乙开始运动时，甲的地点坐标大于20m，则乙开始运动时两物体相距大于20m，故 B 错误；在 0～10s 这段时间内，乙静止在原点，甲沿正向做匀速直线运动，则两物体间的距离渐渐增大，在 10～ 25s 这段时间内，甲的速度大小小于乙的速度大小，甲在乙的前方，则二者距离渐渐减小，故 C 正确；在前25s 内，甲的位移为x1＝40m－20m＝20m，乙的位移为x2＝40m－0＝40m, 故 D错误．自测 2 (2018 ·广东省湛江市第二次模拟) 某同学在展开研究性学习的过程中，利用速度传感器研究某一物体以初速度1m/s 做直线运动的速度v 随时间 t 变化的规律，并在计算机上得到了前 4s 内物体速度随时间变化的关系图像，如图 3 所示．则以下说法正确的选项是()图3A．物体在1s 末速度方向改变B．物体在 3s 末加快度方向改变C．前 4s 内物体的最大位移出此刻第3s 末，大小为 3.5mD．物体在第2s 末与第 4s 末的速度同样答案 C分析由题图可知，0～ 1s 内物体沿正方向做匀加快运动，1～3s 内沿正方向做匀减速运动，3s 末物体的速度为 0，位移最大，x＝1＋ 2 13～ 4s 内沿反方向做匀加快运动，故在第 2 ×1m＋2 ×2×2m＝ 3.5m,1s 末速度方向没有改变，图线的斜率表示加快度，故由题图可知3s 末加快度方向不变，物体在第2s 末与第 4s 末的速度大小相等，方向相反，故A、 B、 D错误， C 正确．二、追及与相遇问题1．问题概括当两个物体在同一条直线上运动时，因为两物体的运动状况不一样，所以两物体之间的距离会不停发生变化，就会波及追及、相遇或防止碰撞等问题．2．两类状况(1)若后者能追上前者，则追上时，二者处于同一地点，后者的速度必定不小于前者的速度．(2)若后者追不上前者，则当后者的速度与前者的速度相等时，二者相距近来．3．相遇问题的常有状况(1)同向运动的两物体追及并相遇：两物体位移大小之差等于开始时两物体间的距离．(2)相向运动的两物体相遇：各自觉生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离．自测 3 (2018 ·山东省济宁市上学期期末) 甲、乙两物体同时从同一地点沿同向来线运动，它们的 v－ t 图像如图4所示，以下说法正确的选项是()图 4A．t1时辰，二者相距最远B．t2时辰，乙物体追上甲C．乙物体先向负方向运动，t 1时辰此后向正方向运动D． 0～t2时间内，乙的速度和加快度大小都是先减小后增大答案 D分析在 0～t2时间内，乙的速度比甲的小，甲在乙的前方，二者间距渐渐增大．t 2时辰后，乙的速度比甲的大，二者间距减小，所以在0～t2时间内，t 2 时辰二者相距最远，乙物体未追上甲，故A、B 错误；在v－ t 图像中速度的正负表示运动方向，由题图可知乙的速度方向向来为正，运动方向没有发生改变，故C错误；依据v－ t 图像的斜率表示加快度，则0～t2 时间内，乙的速度和加快度大小都是先减小后增大，故D正确 .命题点一运动学图像的理解和应用1．x－t图像与v－t图像的比较x－ t 图像v－ t 图像图像举例意义倾斜直线表示匀速直线运动；曲线表示倾斜直线表示匀变速直线运动；曲线表变速直线运动示变加快直线运动特别两条图线的交点表示相遇图线与时间轴所围面积表示位移处运动甲做匀速直线运动，乙做速度渐渐减小丙做匀加快直线运动，丁做加快度渐渐状况的直线运动减小的变加快直线运动位移0～t1时间内甲、乙位移相等0～t2时间内丁的位移大于丙的位移均匀0～t1时间内甲、乙均匀速度相等0～t2时间内丁的均匀速度大于丙的平速度均速度2.三点说明(1)x－t 图像与 v－ t 图像都只好描绘直线运动，且均不表示物体运动的轨迹；(2)剖析图像要充足利用图像与其所对应的物理量的函数关系；(3)识图方法：一轴、二线、三斜率、四周积、五截距、六交点．例 1( 多项选择 )(2018 ·全国卷Ⅲ· 18) 甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加快直线运动，乙做匀速直线运动．甲、乙两车的地点确的是()x 随时间t 的变化如图 5 所示．以下说法正图 5A．在t1时辰两车速度相等B．从 0 到t1时间内，两车走过的行程相等C．从t1到t2时间内，两车走过的行程相等D．在t1到t2时间内的某时辰，两车速度相等答案CD分析x－ t 图像的斜率表示速度，则可知t 1时辰乙车速度大于甲车速度， A 错误；由两图线的纵截距知，出发时甲在乙前方，t 1时辰图线订交表示两车相遇，可得0 到t1时间内乙车比甲车多走了一段距离， B 项错误；t 1和t 2时辰两图线都订交，表示两车在两个时辰均在同一地点，从t 1到t 2时间内，两车走过的行程相等，在t 1到t 2时间内，两图线有斜率相等的一个时辰，该时辰两车速度相等，C、D 项正确．变式 1 (2018 ·河北省石家庄市二模) a、b、c三个物体在同一条直线上运动，它们的位移( ) －时间图像如图 6 所示，此中 a 是一条极点坐标为(0,10) 的抛物线，以下说法正确的选项是图 6A．b、c两物体都做匀速直线运动，两个物体的速度同样B．在 0～ 5s 内，a、b两个物体间的距离渐渐变大C．物体c的速度愈来愈大D．物体a的加快度为0.4m/s 2答案 B分析x－ t 图像的斜率表示速度， b 和 c 为直线，斜率恒定，b、 c 做匀速直线运动，但斜率正负不一样，即速度方向不一样，A、 C错误；a的切线的斜率为正，即速度为正， b 的斜率为负，即速度为负，所以二者反向运动，故两物体间的距离愈来愈大， B 正确；因为 a 是一条抛物0 2a 做匀加快直线运动，因为抛物线经过(0,10) 点和 (5,20) 线，即知足 x＝ x ＋ kt ，可知物体2 1 2点，故 x＝10＋0.4 t ，所以2a＝0.4，a＝0.8m/s，D错误．例 2 ( 多项选择 )(2018 ·全国卷Ⅱ· 19) 甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图像分别如图7 中甲、乙两条曲线所示．已知两车在t 2时辰并排行驶．以下说法正确的是 ( )图 7A．两车在t1时辰也并排行驶B．在t1时辰甲车在后，乙车在前C．甲车的加快度大小先增大后减小D．乙车的加快度大小先减小后增大答案BD分析t 1～ t 2时间内，甲车位移大于乙车位移，且t 2时辰两车并排行驶，则t 1时辰甲在乙的后边， A 项错误， B 项正确；由题图图像的斜率知，甲、乙两车的加快度均先减小后增大， C 项错误，D项正确．变式 2(2018 ·山东省泰安市上学期期中到 t ＝t 1的时间内，它们的v－ t 图像如图) 甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶．在t＝0 8 所示．已知t ＝ t 1时辰，两汽车并排行驶．则在这段时间内( )图 8A．两汽车的位移同样v1＋ v2B．两汽车的均匀速度均为2C．t＝0 时辰，汽车乙在汽车甲前方D．汽车甲的加快度大小渐渐减小，汽车乙的加快度大小渐渐增大答案 C分析v－ t 图像与时间轴围成的面积表示位移，故0～t1时间内甲的位移大于乙的位移，而在 t 1 时辰两汽车并排行驶，所以t ＝0时辰，汽车乙在汽车甲前方， A 错误， C 正确；如图所v1＋ v2示，因为甲车做变加快运动，其均匀速度大于，乙车做变减速运动，其均匀速度小于2v1＋ v2D 错误．2 ，故 B 错误；v－t图像的斜率表示加快度，故二者的加快度都在减小，拓展点 1特别规图像1．三类图像(1) a－t 图像：由 v＝ v ＋at 可知图像与横轴所围面积表示速度变化量v，如图9甲所示；(2) x 0 1 2 x 0 1 1t－ t 图像：由x＝ v t ＋2at 可得t ＝ v ＋2at ，图像的斜率为2a，如图乙所示．图 9(3) v 2－ x 图像：由v 22＝ 2 可知 v 22＋ 2 ，图像斜率为 2 .－＝v ax v ax a2．解题技巧图像反应了两个变量 ( 物理量 ) 之间的函数关系，所以要由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系，来剖析图像的意义．例3(2018 ·山东省临沂市上学期期中) 某质点做匀变速直线运动，运动的时间为t ，位移x 为 x ，该质点的t － t 图像如图 10 所示，以下说法错误的选项是( )图 102cA ．质点的加快度大小为 bB ． t ＝0 时，质点的初速度大小为 cC ． t ＝0 到 t ＝b 这段时间质点的均匀速度为bcD ． t ＝0 到 t ＝b 这段时间质点的行程为4答案 D分析 由＝ 012得 x＝1x图像的斜率为11 cx ＋t 0 ＋，可知 －t ，依据数学知识可得：2a＝－ ，v t2at v 2att2ab2cx ＝加快度大小为 b ，初速度为 v ＝c ，故 A 、B 正确；从 t ＝0 到 t ＝b 这段时间，质点的位移为 1 2 1 2 2C 正确；因为从 t ＝0 到 t ＝b 这 v 0t ＋ at ＝ cb ＋ ·( － c ) · b ＝ 0，则质点的均匀速度为零，故2 2 b 段时间内质点的位移为零，即质点做来回运动， 依据运动的对称性可知整个过程中的行程为从tbb 12cb 2bc＝0 到 t ＝ 内位移大小的2 倍，所以 s ＝2[ c ·＋ ·(－b )·() ] ＝，D 错误．22 222变式 3 (2019 ·安徽省巢湖市调研 )如图 11 所示为从静止开始做直线运动的物体的加快度—时间图像，对于物体的运动以下说法正确的选项是 ()图 11A ．物体在 t ＝ 6s 时，速度为 0B ．物体在 t ＝ 6s 时，速度为 18m/sC ．物体运动前 6s 的均匀速度为 9m/sD ．物体运动前6s的位移为18m 答案B分析a － t图像与 t轴所围面积为物体速度变化量，则 t ＝ 6s 时，物体的速度v ＝0＋1v ＝2×6×6m/s ＝ 18 m/s ，选项 B 正确，A 错误；因物体加快度愈来愈小，其v － t图像如下图，可知均匀速度大于9m/s ，位移大于54m ，应选项 C 、D 错误．变式4( 多项选择 )(2018 ·河北省邢台市上学期期末) 一质点以必定的初速度从A 点开始向相距8m 的B 点做直线运动， 运动过程中其速度的二次方v 2 与位移x 之间的关系图线如图12 所示，以下说法正确的选项是()图 12A ．质点做加快度增大的变加快运动B ．质点做匀加快运动，其加快度大小为2m/s 2C ．质点运动的初速度大小为2m/sD ．质点从 A 点运动到 B 点所用的时间为 8s答案 BC分析 依据v2＝ 02＋ 2ax 可知图像斜率为 2 ，则2＝ 36 m /s 2＝ 4 m/s 2，则 a ＝ 2m/s 2，故质点va a 9做匀加快直线运动，选项B 正确， A 错误；代入点 (8,36)可得， v 0＝ 2 m/s ，选项 C 正确；质v － v 0 6－ 2点末速度 v ＝ 6m/s ，质点从 A 点运动到 B 点所用的时间为 t ＝ a ＝2 s ＝ 2s ，选项 D 错误．拓展点 2 图像间的互相转变例4一物体由静止开始沿直线运动，其加快度随时间变化的规律如图13 所示．取物体开始运动的方向为正方向，则以下对于物体运动的v － t图像正确的选项是()图 13答案C命题点二追及相遇问题1．剖析思路可归纳为“一个临界条件”“两个等量关系”．(1) 一个临界条件：速度相等．它常常是物体间可否追上或二者距离最大、最小的临界条件，也是剖析判断问题的切入点；(2) 两个等量关系： 时间等量关系和位移等量关系， 经过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的打破口．2．可否追上的判断方法物体 B 追赶物体 ：开始时，两个物体相距x 0，到 v A ＝ B 时，若x A＋ 0＜ B ，则能追上；若x AAv x x＋ x 0＝x B ，则恰巧不相撞；若x A ＋ x 0＞ x B ，则不可以追上．3．特别提示若被追赶的物体做匀减速直线运动，必定要注意判断被追上前该物体能否已经停止运动．4．三种方法(1) 临界法： 找寻问题中隐含的临界条件，比如速度小者加快追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离； 速度大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离．(2) 函数法：设两物体在t时辰相遇，而后依据位移关系列出对于 t的方程 f ( t ) ＝ 0，若方程f ( t ) ＝0无正实数解，则说明这两个物体不行能相遇；若方程f ( t ) ＝0存在正实数解，说明这两个物体能相遇．(3) 图像法①若用位移图像求解，分别作出两个物体的位移图像，假如两个物体的位移图像订交，则说明两物体相遇．②若用速度图像求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积．例5甲、乙两车在同向来线轨道上同向行驶，甲车在前，速度为v 1＝ 8m/s ，乙车在后，速度为v 2＝ 16 m/s，当两车相距x 0＝ 8m 时，甲车因故开始刹车，加快度大小为a 1＝ 2m/s 2，为防止相撞，乙车立刻开始刹车，则乙车的加快度起码为多大？答案6m/s 2分析方法一：临界法设两车减速后速度同样时为v，所用时间为t ，乙车的加快度大小为a2，则 v1－ a1t ＝ v2－a2t＝ v，v1＋vt ＝v2＋vt － x0，解得 t ＝2s， a2＝6m/s2，即 t ＝2 s时，两车恰巧未相撞，明显此2 2后到停止运动前，甲的速度一直大于乙的速度，故可防止相撞．知足题意的条件为乙车的加速度起码为 6 m/s 2.方法二：函数法甲运动的位移x 甲＝ 1t－112，乙运动的位移x乙＝ 2t－122 v 2a t v 2a t防止相撞的条件为x 乙－ x 甲≤ x01 2即2( a－a ) t ＋ ( v－v ) t＋x≥02 1 1 2 02代入数占有 ( a－2) t－ 16t＋16≥02由数学知识得，不等式建立的条件是 2 2 216 －4×16( a －2) ≤0，且a－2>0 解得2≥6m/s2.a变式 5 ( 多项选择 )(2016 ·全国卷Ⅰ· 21) 甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v－ t 图像如图 14 所示．已知两车在t ＝3s时并排行驶，则( )图 14A．在t＝ 1s 时，甲车在乙车后B．在t＝ 0 时，甲车在乙车前7.5mC．两车另一次并排行驶的时辰是t ＝2sD．甲、乙车两次并排行驶的地点之间沿公路方向的距离为40m答案BD分析由题中 v－t 图像得 a 甲＝10m/s2， a 乙＝5 m/s 2，两车在 t ＝3s时并排行驶，此时 x 甲1 2 1 2 ＝v t ＋1 2 1 2＝2a甲t ＝2×10×3 m＝45m，x乙2a乙t ＝10×3m＋2×5×3m＝ 52.5m，所以 t ＝ 0 时甲1 2车在前，距乙车的距离为L＝ x 乙－ x 甲＝7.5m，B 项正确；t＝ 1s 时， x 甲′＝2a 甲 t ′＝ 5m，x1 2乙′＝ v0t ′＋2a 乙 t ′＝12.5m，此时 x 乙′－ x 甲′＝ L，所以另一次并排行驶的时辰为t ＝1s，故 A、C 项错误；两次并排行驶的地点沿公路方向相距L′＝ x 乙－x 乙′＝40m，故D项正确．变式如图6 ( 多项选择 ) 小张和小王分别驾车沿平直公路同向行驶，在某段时间内两车的15 所示，初始时，小张在小王前方x0处．以下说法正确的选项是()v－ t 图像图 15A．若x0＝ 18m，两车相遇 1 次2 次B．若x＜ 18m，两车相遇1 次C．若x＝ 36m，两车相遇D．若x0＝ 54m，两车相遇 1 次答案AB变式 7 (2019 ·四川省德阳市质检 ) 如图 16 在后边匀速向 A车凑近， A 车司机发现后启动甲所示，A 车，以A 车原到暂时停在一水平路面上，B车A 车司机发现B 车为计时起点( t ＝0)，A、 B两车的v－t 图像如图乙所示．已知 B 车在第1s 内与A车的距离缩短了x1＝12m.图 16(1)求 B 车运动的速度 v B和 A 车的加快度 a 的大小．(2) 若A、B两车不会相撞，则 A 车司机发现 B 车时( t ＝0)两车的距离 x0应知足什么条件？答案(1)12m/s2x0>36m 3 m/s(2)分析(1) 在t 1 ＝1s 时A车刚启动，两车间缩短的距离x1＝ v B t 1代入数据解得B车的速度 v B＝12m/sv BA 车的加快度 a＝t2－t1将 t 2＝5s和其他数据代入解得A车的加快度大小2a＝3m/s(2) 两车的速度达到相等时，两车的距离达到最小，对应于v－t 图像的 t 2＝5s时辰，此时两车已发生的相对位移为梯形的面积，则 1 )x＝2v ( t ＋ tB 1 2代入数据解得x＝36m所以，若 A、 B两车不会相撞，则两车的距离x0应知足条件： x0>36m.1．(2018 ·江西省横峰中学、铅山一中等校联考) 如图 1 所示，A、B两质点同时同地沿同一直线运动，以下说法正确的选项是()图 1A．A质点沿正方向做匀加快运动B．B质点沿正方向先减速后加快C．经过 4s，A质点的位移小于B质点的位移D． 0～4s 内，两质点间的距离先增大后减小答案 D分析x－ t 图像的斜率等于质点的速度，则由题图可知， A 质点沿正方向做匀速运动， B 质点先沿正方向减速运动，后沿负方向加快运动，选项A、B 错误；经过4s，A质点的位移等于B 质点的位移，选项C 错误；由题图可知，0～ 4s 内，两质点间的距离先增大后减小，选项D 正确．2．( 多项选择 )(2018 ·广东省揭阳市学业水平) 某汽车在启用ABS刹车系统和未启用该刹车系考试统紧迫刹车时，其车速与时间的变化关系分别如图 2 中的①、②图线所示．由图可知，启用ABS后()图 2A．t1时辰车速比未启用ABS大B． 0～t1时间内的加快度比未启用ABS小C．加快度总比未启用ABS时小D．刹车后前行的距离比未启用ABS更短答案ABD分析由题图看出，启用ABS后t1时辰车速更大，故 A 正确；由v－ t 图像的斜率大小等于加快度的大小获得，启用ABS后0～t1时间内加快度比未启用ABS时小，t1～t2时间内加快度比未启用ABS时大，故 B 正确， C 错误；依据速度图像的“面积”等于位移大小瞧出，启用ABS时刹车后前行的距离比未启用ABS更短，故 D 正确．3．(2018 ·辽宁师大附中上学期期中) 质点做直线运动时的加快度随时间变化的关系如图 3 所示，该图线的斜率为k，图中暗影部分面积为S，以下说法正确的选项是()图 3A．斜率k表示速度变化的快慢B．斜率k表示速度变化的大小C．面积S表示t1～t2的过程中质点速度的变化量D．面积S表示t1～t2的过程中质点的位移答案 C分析斜率k＝a，表示加快度变化的快慢，故A、B 错误；将a－ t 图线分红无数段，每一t段加快度能够当作不变，则每一小段所围成的面积v1＝a1 t 1，v2＝ a2 t 2，v3＝ a3 t 3，则总面积为v1＋v2＋v3＋＝v.暗影部分的面积S表示速度的变化量，故 C 正确， D 错误．4．(2018 ·福建省三明市上学期期末) A、B两物体沿同一方向运动，它们的v－ t 图像如图 4 所示，以下判断正确的选项是()图 4A．在 0～t1这段时间内，B物体的位移比 A 物体的位移大B．在t1时辰前，B物体的速度一直比 A 物体增添得快C．在t1时辰前，B物体一直在 A 物体的前方D．在t1时辰两物体不行能相遇答案 A分析在 v－ t 图像中，图像与时间轴所围的面积表示物体运动的位移，故在0～t1这段时间内， B 物体的位移比 A 物体的位移大，故 A 正确；在v－ t 图像中，斜率表示加快度，在t 1时辰前， B 物体的加快度先大于 A 的加快度，后小于 A 的加快度，则 B 物体的速度先比 A 物体速度增添得快，后比A 物体速度增添得慢，故B 错误； 、出发的地点不确立，没法判断A BA 、B 的地点关系， 故C 错误；因为不知道出发时的地点关系， 故在 t 1 时辰两物体有可能相遇，故 D 错误． 5．( 多项选择 )(2018 ·四川省攀枝花市第二次统考 ) 从 t ＝ 0 时辰起， a 、b 两物体从同一地点沿同向来线运动，它们的 v －t 图像如图 5 所示，以下说法中正确的选项是( )图 5A ． 40s 时， a 、b 两物体速度同样B ． 40s 时， a 、b 两物体相遇C ． 60s 时，物体 a 在物体 b 的前方D ． a 加快时的加快度大于 b 的加快度答案AC分析在 0～ 20s 内， a 做匀加快直线运动，b 静止， a 在 b 的前方；在20～ 40s 内， a 做匀速直线运动，b 做匀加快直线运动，a 的速度大于b 的速度，二者距离渐渐增大；40～ 60s内，a 在b 的前方， a 的速度小于 b 的速度， 二者距离渐渐减小； 40s 时二者的速度同样， 则在 40s时二者相距最远，故A 正确，B 错误；由 v －t 图像与 t 轴所围面积知，60s 时 a 的位移大于b 的位移，二者又是从同一地点出发的，则物体a 在物体b 的前方，故C 正确； a 、b 加快时，a 图线的斜率小于b 图线的斜率，物体a 的加快度小于物体b 的加快度，故D 错误．6．(2018 ·山西省孝义市第一次模拟) t ＝ 0 时辰汽车a 和 b沿两条平直的平行车道以同样速度同时经过同一地址，如图6 所示，直线 a 和曲线 b 分别是这两车行驶的速度－时间图像，由图可知 ()图 6A ．在 t 1 时辰，两车运动方向相反B ．在 t 1 时辰，两车再次相遇C ．在 0～ t 1 这段时间内， b 车的速度先增大后减小，但方向不变v 1＋ v 2D ．在 0～ t 1 这段时间内， b 车的均匀速度等于答案 C2分析 在 0～ t 1 这段时间内， b 车的速度先增大后减小，两车速度方向向来同样， 且 b 的位移向来大于 a 的位移，两车不行能相遇，故 A 、 B 项错误， C 项正确．速度－时间图像与时间轴 围成的面积表示对应时间内的位移，则在0～ t 1 这段时间内x b> a . 在 0～ 1 这段时间内，a 车xt做匀变速直线运动，均匀速度x a v 1＋ v 2 ， b 车均匀速度 x b v 1＋ v 2v a ＝ ＝2v b ＝ >2 ，故 D 项错误．tt7．(2019 ·河南省新乡市模拟 ) 如图 7 所示为甲、 乙两物体做直线运动的x － t 图像，对于 0～t 1 时间内两物体的运动，以下说法中正确的选项是 ()图 7A ．甲物体加快度方向与速度方向同样B ．乙物体加快度方向与速度方向相反C ．甲物体的均匀速度大于乙物体的均匀速度D ．乙物体位移变小，速度变大答案 B分析 由 x － t 图像切线的斜率等于速度， 可知甲物体速度渐渐减小， 做减速运动， 加快度方 向与速度方向相反，选项 A 错误；由题图可知乙物体速度渐渐减小，做减速运动，加快度方 向与速度方向相反，选项 B 正确；由题图可知，两物体在0～ t 1 时间内的位移大小相等，则均匀速度大小相等，选项C 错误；乙物体位移变小，速度变小，选项D 错误．8．(2018 ·吉林省吉林市第二次调研 ) 甲、乙两物体同时从同一地址沿同一方向做直线运动的速度—时间图像如图8 所示，则以下说法中正确的选项是 ( )图 8A ．两物体两次相遇的时辰是2s 末和 6s 末B ． 4s 末甲在乙前方C ．在 0～ 6s 内，两物体相距最远的时辰是1s 末D ．乙物体先向前运动 2s ，随后向后运动答案 A分析 v － t 图像中图线与坐标轴围成图形的面积表示位移，前 2s 内乙的位移为： x ＝21×2×4m＝ 4m ，甲的位移为 x ′＝ 2×2m ＝ 4m ，二者位移同样，又是从同一地址出发，故 2s 末时二者相遇，同理可判断 6s 末二者也相遇，故 A 正确；前 4s 内甲的位移为 x 甲＝4×2m ＝ 8m ，乙的位移为： x114s 末甲在乙后边，故乙＝ 2×4×6m － 2×2×2m ＝ 10m ，甲的位移小于乙的位移，故B 错误；如下图，1s 末两物体相距的距离等于0～ 1s 之间三角形暗影的面积S ，而 4s 末1两物体相距的距离等于2～ 4s 之间三角形暗影的面积 S ，明显 S >S ，故 C 错误；乙的运动方221向一直未发生变化，故D 错误．9．(2018 ·贵州省安顺市适应性监测三 ) 如图 9 所示为谢思埸 ( 可视为质点 ) 参加跳板跳水竞赛时，其竖直方向的速度随时间变化的图像，以他走开跳板时为计时起点，不计空气阻力，则( )图 9A ． t 1 时辰开始进入水面B ． t 2 时辰开始进入水面C ． t 时辰达到最高点D ． t ～ t 2时间内速度方向竖直向上21答案 B分析 运动员起跳时的速度方向向上，则 t 1 时辰达到最高点，故 A 错误； 0～t 2 时间内 v －t图像为直线，加快度不变，所以在0～ t 2 时间内运动员在空中， t 2 时辰后进入水中，故B 正确， C 错误； 0～t 1 时间内，速度方向竖直向上，t 1～ t 2 时间内速度方向竖直向下，故D 错误．10．( 多项选择 )(2018 ·湖北省武汉市二月调研) 甲、乙两个物体在同向来线上运动， 其 x － t 图像如图 10 所示，此中直线b 与曲线 a 相切于点 (4 ，－ 15) ．已知甲做匀变速直线运动，以下说法正确的选项是 ( )图 10A ．前 4s 内两物体运动方向同样B ．前 4s 内甲的均匀速度是乙的均匀速度的157倍 C ． t ＝0 时辰，甲的速度大小为 9m/s D ．甲的加快度大小为 2m/s 2 答案 AD分析 x － t 图像的斜率的正负表示运动的方向，故前 4s 内两物体运动方向同样，均为负方向，故 A 正确；甲做匀变速直线运动，则甲的x － t 图像对应曲线 a ，前 4s 内甲的均匀速度为：v 1＝ －－ 9 m /s ＝－ 6 m/s ，乙的 x － t 图像对应直线，前 4s 内乙的均匀速度为：4bv 2＝－－ －m/s ＝－ 2 m/s ，故前 4s 内甲的均匀速度是乙的均匀速度的3 倍，故4B 错误；直线 b 与曲线 a 相切于点 (4 ，－ 15) ，则可知 t ＝ 4s 时甲的速度为 －15－ －v t ＝4＝－ 2m/s ，甲做匀变速直线运动，则0～ 4s 内有 v 1＝v 0＋ v t，v t ＝ v 0＋ at ，解得 v 0＝－ 10m/s ，2a ＝ 2 m/s 2，故 C 错误， D 正确．11.(2019 ·四川省成都市调研) 一物体由静止开始运动， 其加快度a 与位移x 的关系图线如图11 所示．以下说法正确的选项是()图 11A ．物体最后静止B ．物体的最大速度为2 0a xC ．物体的最大速度为3 0D ．物体的最大速度为 3 0 0a x2 a x 答案 C分析 物体由静止开始运动，由2＝2可得物体的最大速度的平方为－图线与坐标轴va xt所围面积的 2 倍，则物体的最大速度的平方v20 0＋10)，解得 v ＝3 0 0，故 C 项正＝2(tt确．12.(2018 ·东北三省三校一模) 、 两物体运动的 v － t 图像如图 12 所示，由图像可知 ()A B。