用图像法解追及问题

物理追急相遇问题讲解一、公式法1.确定两物体的初始位置和速度。

通常设追赶的物体为A，被追赶的物体为B。

2.判断两物体是否能够相遇。

如果A的速度大于B的速度，并且A的初始位置在B的后面，那么两物体一定能够相遇。

否则，两物体不会相遇。

3.如果两物体能够相遇，计算相遇时的时间和位置。

根据公式，两物体的相对速度为VA-VB（VA为A的速度，VB为B的速度），相对距离为两物体初始位置之间的距离。

因此，相遇时间t=相对距离/相对速度。

相遇位置可以根据A或B的位移公式计算。

4.如果两物体不能够相遇，计算它们之间的最小距离。

最小距离出现在A的速度等于B的速度时，此时A和B的相对位移达到最大。

最小距离可以根据相对位移公式计算。

二、图像法1.画出两物体的运动图像，通常是速度-时间图像或位移-时间图像。

2.根据图像判断两物体是否能够相遇。

如果A的图像在B的图像的上方，并且两图像有交点，那么两物体一定能够相遇。

否则，两物体不会相遇。

3.如果两物体能够相遇，根据图像计算相遇时的时间和位置。

相遇时间可以通过找到两图像的交点来得到，相遇位置可以根据交点处的位移来计算。

4.如果两物体不能够相遇，根据图像计算它们之间的最小距离。

最小距离可以通过找到两图像之间的垂直距离来得到。

在具体求解过程中，需要注意以下几点：1.分析问题是，一个条件，两个关系。

一个条件是：两物体速度相等时满足的临界条件，如两物体的距离是最大还是最小及是否恰好追上等。

两个关系是：时间关系和位移关系。

时间关系是指两物体运动时间是否相等，两物体是同时运动还是一先一后等；而位移关系是指两物体同地运动还是一前一后等，其中通过画运动示意图找到两物体间的位移关系是解题的突破口，因此在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯，对帮助我们理解题意，启迪思维大有好处。

2.追及问题中速度相等是能否追上、刚好追上、最大距离或最小距离的临界条件。

3.此类问题的解题关键是：充分理解题意、分析题意、挖掘题目中的隐含条件（如“刚好”、“最大”、“至少”等词语），找出临界条件并利用好临界条件。

用图像法解追及问题 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020用图像法解追及问题（说明：六种情况下，两物同时、同地、同向出发）题：甲、乙两质点同时开始在彼此靠近的两水平轨道上同向运动，甲在前，乙在后，相距为x。

甲的初速度为零，加速度为a，做匀加速直线运动。

关于两质点在相遇前的运动，某同学作如下分析：设两质点相遇前，它们韹距离为x ∆，则2012x at x v t ∆=+-，当0v t a=时，两质点的的距离x ∆有最小值，也就是两质点速度相等时，两质点间的距离最近。

你觉得他的分析是否正确？如果认为是正确的，请求出它们间的最小距离；如果不正确，请说明理由，并作出正确分析。

思维导图：）若此时202v a<时，前，距离变大直到A 点，A 点后，v 甲乙＞v ，距离又变小直到二次相遇；（3）若202v x a >时，两者具有相同速度，甲仍在前，乙在后，还没有相遇，距离还是202v x a -，以后v 甲乙＞v ，就更不能相遇了。

相同速度时有最小距离，即202v x a-。

注意：弄清追及和被追物体因速度变化而引起两者间距离的变化过程，是解追及和相遇问题的关键，而两者速度相等是相距最远（或最近）的临界条件。

此题也可用解析法：根据题意：甲、乙相遇的须满足：2012x at v t +=, 即20102at v t x -+=（1） 当2214402b ac v ax -=-⨯>，即满足202v x a <，方程有两解，即甲、乙相遇两次；（2） 当2214402b ac v ax -=-⨯=，即202v x a =时，甲、乙相遇一次；（3） 当2214402b ac v ax -=-⨯<，即202v x a >时，方程无解，甲、乙不能相遇。

追及相遇问题解题技巧引言在解题过程中，我们经常会遇到追及相遇问题。

这类问题描述了两个物体以不同的速度运动，我们需要求解它们何时相遇。

追及相遇问题在数学和物理领域中都有很重要的应用。

在本文中，我们将介绍几种常见的解题技巧，以帮助读者更好地理解和解决此类问题。

问题背景假设有两个物体A和B，分别以速度Va和Vb在同一直线上运动。

物体A的初始位置为Xa，物体B的初始位置为Xb。

我们需要找到它们相遇的时间点T。

方法一：使用代数方程一种常见的解决追及相遇问题的方法是使用代数方程。

假设物体A相对于物体B的速度为Vr（Vr = Va - Vb），物体A的初始位置相对于物体B的初始位置为Xr （Xr = Xa - Xb）。

那么，我们可以得到以下方程：Xr + Vr * T = 0解这个方程，可以得到T的值，即可求得相遇时间。

方法二：使用相对速度另一种解决追及相遇问题的方法是使用相对速度概念。

相对速度表示两个物体相对于彼此的速度差。

假设相对速度为Vr，相对位置为Xr。

我们可以得到以下方程：Xr = Vr * T同样地，解这个方程即可得到T的值。

方法三：使用图像解法除了代数方程和相对速度方法，我们还可以使用图像解法解决追及相遇问题。

我们可以根据速度和位置的关系绘制出物体A和物体B的运动图像。

两个物体相遇的位置即为它们的交点。

示例问题让我们通过一个具体的示例问题来演示上述的解题技巧。

问题：物体A从位置0出发，以每秒2米的速度向正方向运动。

物体B从位置10出发，以每秒3米的速度向负方向运动。

它们何时相遇？方法一解答：物体A相对物体B的速度为2米/秒 - (-3米/秒) = 5米/秒。

物体A相对物体B的初始位置为0米 - 10米 = -10米。

根据代数方程 Xr + Vr * T = 0，我们可以得到 -10米 + 5米/秒 * T = 0。

解这个方程，我们可以得到T = 2秒，即它们在2秒后相遇。

方法二解答：相对速度为5米/秒，相对位置为-10米。

V〇1.50 No.2Feb.2021教学参考习题研究图像妙解追及相遇问题张晓琳张石友孟岩(北京市第一七一中学北京100013)文章编号：1002-218X(2021)02-0049-01中图分类号：G632.479 文献标识码：B图像的“斜率”代表加速度，“面积”代表位移，“交点”表示同一时刻不同质点的速度相同。

由于图像的直观结论，可以解决物理过程相对复杂的问题.尤其是追及相遇问题，因此，受到中学物理 教师的追捧，而常常把s-t图像搁置一旁，忽视它的 存在。

本文介绍用.w图像妙解一类看似复杂的追及相遇问题。

在某段高速公路上设有前、后两个超声波测速仪测量车速，如图1甲所示。

图1乙是两个测速仪中其中一个的测速情况。

其中h和P2是测速仪发出的超声波信号，和〜行驶方向4前测速仪甲后测速仪0 1K 2 3 4 5 6K K KP.nx Pi n2乙图：例题利用超声波遇到物体的反射，可测定物体 运动的有关参量。

测速仪可发出周期性超声波脉冲信号，并接收车辆反射回的信号，根据发出和接收到的时间差，反馈给运算单元，测出汽车的速度。

一般分别是由汽车反射回来的信号。

设测速仪均匀发出扫描信号，之间的时间间隔1^ =1.0 s，超声波 在空气中传播的速度是u=340m/s。

假如汽车在高 速公路上是匀速行驶的，则根据上述情况，求：速直线运动的位移时，利用匀速直线运动的公式，采 用微元法细分时间段，在微小的时间段内，匀变速直 线运动的速度可看成为匀速直线运动的速度，当定性 推导出匀变速直线运动的位移等于速度与时间所围成的梯形面积。

在计算梯形面积时，采用逆微元法思 想即为简单的梯形面积求解法，所以，在同样可推出 变加速直线运动的位移即等于速度图像与时间轴所围图形的面积。

物理学家在推导匀变速直线运动的位移时采用微元法，而在实际计算时采用了逆微元法。

3.微元法在“物体沿曲线运动重力做功”中的应用当质量为m的物体垂直地面下落高度为h时,重力做功为mg/M，如图3所示。

专题课2运动学图像和追及相遇问题题型一运动学图像的理解和应用x－t图像与v－t图像的比较x－t图像v－t图像①表示物体做匀速直线运动(斜率表示速度v)①表示物体做匀加速直线运动(斜率表示加速度a)②表示物体静止②表示物体做匀速直线运动③表示物体向反方向做匀速直线运动，初始位置为x0③表示物体做匀减速直线运动，初速度为v0④交点的纵坐标表示三个物体相遇时的位置④交点的纵坐标表示三个运动物体某时刻有共同速度⑤t1时间内物体的位移为x1⑤t1时刻物体的速度为v1(图中阴影部分面积表示物体在0～t1时间内的位移)如图所示的是一个运动质点的x－t图像，则下列图中与之对应的v－t图像为()[解析]根据位移—时间图像可知，第1 s内质点做匀速运动，第2 s内质点静止，后3 s反向匀速运动。

[答案] B如图所示，在位移—时间图像和速度—时间图像中，给出四条图线1、2、3、4代表四个不同物体的运动情况，关于它们的物理意义，下列描述正确的是()A．图线1表示物体做曲线运动B．x－t图像中t1时刻v1>v2C．v－t图像中0至t3时间内3和4的平均速度大小相等D．两图像中，t2、t4时刻分别表示2、4开始反向运动[解析]图线1是位移—时间图像，表示物体做变速直线运动，A错误；x －t图线上某点斜率的绝对值的大小表示速度的大小，B正确；v－t图像中0至t3时间内3和4位移不同，所以平均速度大小不相等，C错误；t2时刻2开始反向运动，t4时刻4加速度方向变化但运动方向不变，D错误。

[答案] B题型二追及相遇问题1．解题关键(1)一个条件：速度相等。

这是两物体是否追上(或相撞)、距离最大、距离最小的临界点，是解题的切入点。

(2)两个关系：时间关系和位移关系。

通过画示意图找出两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口。

2．常用方法(1)物理分析法抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，建立物体运动关系的图景，并画出运动情况示意图，找出位移关系。

第一章 运动的描述 匀变速直线运动匀变速直线运动图像和追及相遇问题【考点预测】1.匀变速直线运动的v －t 图像、a －t 图像、xt －t 图像、v 2－x 图像等2. 追及相遇问题 【方法技巧与总结】 (1)a －t 图像由Δv ＝aΔt 可知图像中图线与横轴所围面积表示速度变化量，如图甲所示． (2)xt－t 图像 由x ＝v 0t ＋12at 2可得x t ＝v 0＋12at ，截距b 为初速度v 0，图像的斜率k 为12a ，如图乙所示．(3)v 2－x 图像由v 2－v 02＝2ax 可知v 2＝v 02＋2ax ，截距b 为v 02，图像斜率k 为2a ，如图丙所示．(4)追及相遇问题可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”．(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点；(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系．通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口． 【题型归纳目录】题型一： 区分x －t 图像和v －t 图像 题型二：用函数思想分析图像 题型三：图像间的相互转化 题型四： 公式法求解追及相遇问题题型五：图像法在追及相遇问题中的应用 【题型一】区分x －t 图像和v －t 图像 【典型例题】例1．（2023·西藏日喀则·统考一模）图（a ）所示的医用智能机器人在巡视中沿医院走廊做直线运动，图（b ）是该机器人在某段时间内的位移时间图像（后10s 的图线为曲线，其余为直线）。

以下说法正确的是（ ）A ．机器人在0-30s 内的位移大小为7mB ．10-30s 内，机器人的平均速度大小为0.35m/sC ．0-10s 内，机器人做加速直线运动D ．机器人在5s 末的速度与15s 末的速度相同 【方法技巧与总结】1．无论x －t 图像、v －t 图像是直线还是曲线，所描述的运动都是直线运动，图像的形状反映了x 与t 、v 与t 的函数关系，而不是物体运动的轨迹．2．x －t 图像中两图线的交点表示两物体相遇，v －t 图像中两图线的交点表示该时刻两物体的速度相等，并非相遇．3．位置坐标x －y 图像则能描述曲线运动，图线交点表示物体均经过该位置，但不一定相遇，因为不知道时间关系．练1．（2023·河北邢台·河北巨鹿中学校联考三模）高铁改变生活，地铁改变城市！地铁站距短需要频繁启停，为缩短区间的运行时间需要较大的启动加速度。

专题强化一 运动学图像 追及相遇问题【专题解读】 1.本专题是匀变速直线运动规律和运动学图像的综合应用，为高考必考内容，多以选择题形式命题。

2.学好本专题，可以提高同学们通过画运动情景示意图和v －t 图像分析和解决运动学问题的能力。

3.用到的知识有：x －t 图像和v －t 图像的理解，匀变速直线运动的规律，临界条件的确定，求解极值等数学方法。

题型一 运动学图像的理解和应用1.x －t图像与v －t 图像的比较x －t 图像v －t 图像图像 举例意义倾斜直线表示匀速直线运动；曲线表示变速直线运动倾斜直线表示匀变速直线运动；曲线表示变加速直线运动特别处 两条图线的交点表示相遇 图线与时间轴所围面积表示位移 运动 情况 甲做匀速直线运动，乙做速度逐渐减小的直线运动丙做匀加速直线运动，丁做加速度逐渐减小的变加速直线运动位移 0～t 1时间内甲、乙位移相等0～t 2时间内丁的位移大于丙的位移 平均速度0～t 1时间内甲、乙平均速度相等0～t 2时间内丁的平均速度大于丙的平均速度2.三点说明(1)x －t 图像与v －t 图像都只能描述直线运动，且均不表示物体运动的轨迹。

(2)分析图像要充分利用图像与其所对应的物理量的函数关系。

(3)识图方法：一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点。

【例1】 (2021·1月辽宁普高校招生适应性测试，1)甲、乙两物体沿直线同向运动，其位置x 随时间t 的变化如图1所示，甲、乙图线分别为圆弧、直线。

下列说法正确的是( ) A.甲做匀减速直线运动 B.乙做匀加速直线运动 C.第4 s 末，二者速度相等 D.前4 s 内，二者位移相等【变式1】 (2020·广东潮州市第二次模拟)如图2所示为甲、乙两个质点运动的位移—时间图像，由此可知(图中虚线与曲线相切) ( )A. 甲做匀减速直线运动，乙做变减速直线运动B.在0～t 0时间内的某时刻，甲、乙两质点的速度大小相等C.甲、乙两质点从x ＝2x 0位置同时出发，同时到达x ＝0位置D.在0～t 0时间内，乙的速度大于甲的速度，t 0时刻后，乙的速度小于甲的速度【例2】 (多选)(2020·山东济南市5月高考模拟)雨雪天气时路面湿滑，汽车在紧急刹车时的刹车距离会明显增加。

第2讲 运动图像 追及和相遇问题一、 s －t 图象和v －t 图象二、追及和相遇问题1. 追及问题的特征及处理方法：（1）初速度为零的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙，一定能追上，追上前有最大距离的条件：两物体速度相等，即v v =乙甲。

（2）匀速运动的物体甲追赶同向匀加速运动的物体乙，存在一个能否追上的问题。

判断方法是假若甲乙两物体能处在同一位置时，比较此时的速度大小，若v v >乙甲，能追上；若v v <乙甲，不能追上；如果始终追不上，当两物体速度相等时，两物体间的距离最小。

也可假定速度相等，从位移关系判断。

（3）匀减速运动的物体追赶同向的匀速运动的物体时，情形跟第二种类似。

2. 分析追及问题的注意点（1）要抓住一个条件，两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等。

两个关系是时间关系和位移关系，通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口。

（2）若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。

（3）仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意v t -图象的应用。

3. 相遇同向运动的两物体的追及问题即其相遇问题，分析同(1)相向运动的物体，当各自发生的位移绝对值的和等于开始时两物体间的距离时即相遇 题型讲解考点一、识别 s －t v —t 图象例1.甲、乙两物体的位移－时间图象如右图所示，下列说法正确的是A ．甲、乙两物体均做匀变速直线运动B ．甲、乙两物体由不同地点同时出发，t 0时刻两物体相遇C ．0～t 0时间内，两物体的位移一样大D ．0～t0时间内，甲的速度大于乙的速度；t 0时刻后，乙的速度大于甲的速度例2. 一跳水运动员向上跳起，先做竖直上抛运动，在t 1时刻速度减为零，t 2时刻落入水中，在水中逐渐减速，t 3时刻速度又变为零，其v t 图象如图1-8所示，已知t 3－t 2＝t 2－t 1，则关于该运动员的运动，下列说法正确的是( )．A ．该图中速度取向下为正方向B ．在0～t 2时间内v ＝v 0＋v 2C ．在t 1～t 2时间内的位移小于t 2～t 3时间内的位移D ．在t 1～t 2时间内的平均加速度小于t 2～t 3时间内的平均加速度例3．(2012·海南单科，6)如图1-1-0所示，表面处处同样粗糙的楔形木块abc固定在水平地面上，ab面和bc面与地面的夹角分别为α和β，且α>β.一初速度为v0的小物块沿斜面ab向上运动，经时间t0后到达顶点b时，速度刚好为零；然后让小物块立即从静止开始沿斜面bc下滑．在小物块从a运动到c的过程中，可能正确描述其速度大小v与时间t的关系的图象是()．例4.一弹性小球自4.9m高处自由落下，当它与水平地面每碰撞一次后，速度都减小为碰前的79，若图1－3－11描述的是这个弹性小球的全部运动过程，则图线反映的是下列哪个物理量随时间变化的过程()A．位移B．路程C．速度D．加速度考点二、利用图像解题：例5.一物体做加速直线运动，依次通过A、B、C三点，AB=BC。