同济大学《高等数学》9.1节 二重积分的概念与性质

第九章 重积分Chapter 9 Multiple Integrals9.1 二重积分的概念与性质 (The Concept of Double Integrals and ItsProperties)一、二重积分的概念 (Double Integrals)定义 ( 二重积分的定义 ) 设 D 是xy 平面的有界闭区域 ,f 是定义在 D 上的函数。

将 D 任意分成 n 个小区域i σ,它们的面 积用(1,2,)ii n σ∆=L 表示。

在每个(1,2,)i i n σ=L 上任取一点(,)i i ξη，并作和1(,)n i i i i f ξησ=∆∑。

假设存在一个确定的数I 满足：任给0ε>，存在0δ>，使得当各小区域i σ的直径中的最大值λ小于δ时，就有 1(,)ni i i i f I ξησε=∆-<∑ 不管区域D 的分法如何，(,)i i ξη的取法如何。

这样就称f 在D 上可积，I 称为f 在D 上的二重积分，记作(,)D f x y d I σ=⎰⎰或01(,)lim (,)λσξησ→==∆∑⎰⎰n i i i i D f x y d f Definition (The Double Integral) Let D be a bounded closed region in the 巧 1 plane and f a function defined on D. Partition D arbitrarily into ｎsubregions i σ，whose area is denoted by(1,2,)i i n σ∆=L Choose arbitrarily a point (,)i i ξη in (1,2,)i i n σ=L and then form the sum 1(,)n i i i i f ξησ=∆∑。

Supposethat there exists a fixed number I such that for any 0ε>, thereexists a 0δ>such that if the length λ of the longest diameter of those subregions i σ in a partition of D is less than δ, then 1(,)n i i i i f I ξησε=∆-<∑，no matter how the partition is and how those points (,)i i ξηare chosen from (1,2,)i i n σ=L Then f is said to be integrable over D and I is the double integral of f over D ,written (,)D f x y d I σ=⎰⎰,or 01(,)lim (,)λσξησ→==∆∑⎰⎰n i i i i D f x y d f 二、二重积分的性质 (Properties of Double Integrals)性质 1 两个函数和 ( 或差 ) 的二重积分等于它们二重积分的和 ( 或差 ), 即((,)(,))(,)(,)D D D f x y g x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰.Property 1 The double integral of the sum(or difference) of two functions is equal to the sum( or difference) of their double integrals, that is((,)(,))(,)(,)D D D f x y g x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 性质 2 被积函数前面的常数因子可以提到积分号前面 , 即(,)(,)D D kf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰,若k 为常数。

二重积分的概念及性质前面我们已经知道了，定积分与曲边梯形的面积有关。

下面我们通过曲顶柱体的体积来引出二重积分的概念，在此我们不作详述，请大家参考有关书籍。

二重积分的定义设z=f(x,y)为有界闭区域(σ)上的有界函数：(1)把区域(σ)任意划分成n个子域(△σk)(k=1,2,3,…,n）,其面积记作△σk(k=1,2,3,…,n）；(2)在每一个子域(△σk)上任取一点，作乘积；(3)把所有这些乘积相加,即作出和数(4)记子域的最大直径d.如果不论子域怎样划分以及怎样选取,上述和数当n→＋∞且d→0时的极限存在,那末称此极限为函数f(x,y)在区域(σ)上的二重积分.记作:即：=其中x与y称为积分变量，函数f(x,y)称为被积函数,f(x,y)dσ称为被积表达式,(σ)称为积分区域.关于二重积分的问题对于二重积分的定义,我们并没有f(x,y)≥0的限.容易看出,当f(x,y)≥0时,二重积分在几何上就是以z=f(x,y)为曲顶，以(σ)为底且母线平行于z轴的曲顶柱体的体积。

上述就是二重积分的几何意义。

如果被积函数f(x,y)在积分区域(σ)上连续，那末二重积分必定存在。

二重积分的性质(1).被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去.(2).有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和.(3).如果把积分区域(σ)分成两个子域(σ1)与(σ2),即(σ)=(σ1)+(σ2),那末:(4).如果在(σ)上有f(x,y)≤g(x,y),那末:≤(5).设f(x,y)在闭域(σ)上连续,则在(σ)上至少存在一点(ξ,η),使其中σ是区域(σ)的面积.二重积分的计算法直角坐标系中的计算方法这里我们采取的方法是累次积分法。

也就是先把x看成常量，对y进行积分，然后在对x进行积分，或者是先把y看成常量，对x进行积分，然后在对y进行积分。

为此我们有积分公式，如下：或在这里我们可能会有这个问题：累次积分的上下限是怎么确定的呢？累次积分上下限的确定方法我们先来对区域作些补充说明：如果经过区域(σ)内任意一点(即不是区域边界上的点)作平行于y轴(或x 轴)的直线,且此直线交(σ)的边界不超过两点，那末称(σ)为沿y轴(x轴)方向的正规区域.如果(σ)即是沿y轴方向也是沿x轴方向的正规区域,那末(σ)就称为正规区域.下图所示的即为正规区域:关于累次积分上下限的取法如下所述:(1).如果(σ)为沿y轴方向的正规区域，那末二重积分可化为先对y再对x的累次积分.其中对y的积分下限是(σ)的下部边界曲线所对应的函数y1(x)，积分上限是上部边界曲线所对应的函数y2(x).对x的积分下限与上限分别是(σ)的最左与最右点的横坐标a与b.(2).如果(σ)为沿x轴方向的正规区域,那末二重积分可化为先对x再对y的累次积分.其中对x的积分下限是(σ)的左部边界曲线所对应的函数x1(y)，积分上限是右部边界曲线所对应的函数x2(y).对y的积分下限与上限分别是(σ)的最低与最高点的横坐标c与d.(3).如果(σ)为正规区域，那末累次积分可以交换积分次序。

第九章 重积分Chapter 9 Multiple Integrals9.1 二重积分的概念与性质 (The Concept of Double Integrals and Its Properties) 一、二重积分的概念 (Double Integrals)定义 ( 二重积分的定义 ) 设 D 是xy 平面的有界闭区域 ,f 是定义在 D 上的函数。

将 D 任意分成 n 个小区域i σ,它们的面 积用(1,2,)i i n σ∆= 表示。

在每个(1,2,)i i n σ=上任取一点(,)i i ξη，并作和1(,)ni i i i f ξησ=∆∑。

假设存在一个确定的数I 满足：任给0ε>，存在0δ>，使得当各小区域i σ的直径中的最大值λ小于δ时，就有 1(,)ni i i i f I ξησε=∆-<∑ 不管区域D 的分法如何，(,)i i ξη的取法如何。

这样就称f 在D 上可积，I 称为f 在D上的二重积分，记作(,)Df x y d I σ=⎰⎰或01(,)lim (,)λσξησ→==∆∑⎰⎰ni i i i Df x y d fDefinition (The Double Integral) Let D be a bounded closed region in the 巧1 plane and f a function defined on D. Partition D arbitrarily into ｎsubregionsi σ，whose area is denoted by (1,2,)i i n σ∆= Choose arbitrarily a point (,)i i ξηin (1,2,)i i n σ= and then form the sum 1(,)ni i i i f ξησ=∆∑。

Supposethat there exists a fixed number I such that for any 0ε>, there exists a0δ>such that if the length λ of the longest diameter of those subregionsi σ in a partition of D is less than δ, then 1(,)ni i i i f I ξησε=∆-<∑，no matter how the partition is and how those points (,)i i ξηare chosen from (1,2,)i i n σ= Then f is said to be integrable over Dand I is the double integral of f over D ,written (,)Df x y d I σ=⎰⎰,or1(,)lim (,)λσξησ→==∆∑⎰⎰ni i i i Df x y d f 二、二重积分的性质 (Properties of Double Integrals)性质 1 两个函数和 ( 或差 ) 的二重积分等于它们二重积分的和 ( 或差 ), 即((,)(,))(,)(,)DDDf x yg x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰.Property 1 The double integral of the sum(or difference) of two functions is equal to the sum( or difference) of their double integrals, that is((,)(,))(,)(,)D D D f x y g x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰性质 2 被积函数前面的常数因子可以提到积分号前面 , 即 (,)(,)D D kf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰,若k 为常数。

第九章1二重积分的概念和性质高数二重积分的概念和性质在一元函数积分学中,我们已经知道, 在一元函数积分学中,我们已经知道,定积分是定义在某一区间上的一元函数的某种特定形式的和式的极限, 式的和式的极限,由于科学技术和生产实践的发需要计算空间形体的体积,曲面的面积, 展,需要计算空间形体的体积,曲面的面积,空间物体的质量,重心,转动惯量等, 间物体的质量,重心,转动惯量等,定积分已经不能解决这类问题,另一方面, 不能解决这类问题,另一方面,从数学逻辑思维的规律出发,必然会考虑定积分概念的推广, 的规律出发,必然会考虑定积分概念的推广,从而提出了多元函数的积分学问题. 而提出了多元函数的积分学问题.高数当人们把定积分解决问题的基本思想――“分分当人们把定积分解决问题的基本思想近似代替,求和,取极限" 割,近似代替,求和,取极限"用于解决这类问题时发现是完全可行的. 题时发现是完全可行的.把解决的基本方法抽象概括出来,就得到多元函数积分学. 概括出来,就得到多元函数积分学. 具体地说就是推广到: 具体地说就是推广到:定义在平面区域上的二元函数,定义在空间区域上的三元函数, 函数,定义在空间区域上的三元函数,定义在一段平面曲线弧上的二元函数, 平面曲线弧上的二元函数,定义在空间一段曲线弧上的三元函数,定义在空间曲面上的三元函数, 上的三元函数,定义在空间曲面上的三元函数,从而得到二重积分,三重积分,曲线积分和曲面积分. 而得到二重积分,三重积分,曲线积分和曲面积分. 这就是多元函数积分学的内容. 这就是多元函数积分学的内容. 本章将讨论重积分,包括二重积分, 本章将讨论重积分,包括二重积分,三重积分的概念,性质,计算和应用. 概念,性质,计算和应用.高数重积分的计算方法,交换累次积分次序. 重点:重积分的计算方法,交换累次积分次序. 选择坐标系,确定积分次序,定积分限. 难点:选择坐标系,确定积分次序,定积分限.基本要求①理解重积分概念,了解其基本性质理解重积分概念, ②熟练掌握重积分的计算方法③掌握累次积分的换序法④掌握各种坐标系及坐标系下的面积元,体积元掌握各种坐标系及坐标系下的面积元, ⑤理解重积分的实际背景,能用重积分解决立体体理解重积分的实际背景, 曲面面积,重心,转动惯量等实际问题. 积,曲面面积,重心,转动惯量等实际问题.高数一,问题的提出1.曲顶柱体的体积柱体体积=底面积× 柱体体积底面积× 高底面积特点:平顶. 特点:平顶.z = f ( x, y)柱体体积=? 柱体体积? 特点:曲顶. 特点:曲顶D高数分割,求和,取极限" 求曲顶柱体的体积采用"分割,求和,取极限"的方法步骤如下: 步骤如下:先分割曲顶柱体的底并取典型小区域, ,并取典型小区域, 用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积, 顶柱体的体积,zz = f ( x, y)oxDny(ξi ,ηi )σ i曲顶柱体的体积V = lim ∑ f (ξ i ,ηi )σ i . λ →0λ→i =1高数2.求平面薄片的质量设有一平面薄片, 设有一平面薄片,占有xoy 面上的闭区域 D , 在点( x , y ) 处的面密度为ρ ( x , y ) , 假定ρ ( x , y ) 在D 上连续,平面薄片的质量为多少? 上连续,平面薄片的质量为多少?将薄片分割成若干小块, 将薄片分割成若干小块, y 取典型小块, 取典型小块,将其近似看作均匀薄片, 看作均匀薄片, 所有小块质量之和近似等于薄片总质量o M = limλ →0n (ξ i ,ηi )σ i∑ ρ (ξ ,η )σ .i i i i =1x高数二,二重积分的概念定义设f ( x , y ) 是有界闭区域D 上的有界函数, 将闭区域 D 任意分成n 个小闭区域σ 1 ,σ 2 , , σ n ,其中σ i 表示第i 个小闭区域, 个小闭区域,也表示它的面积, 在每个σ i 上任取一点(ξ i ,η i ) ,作乘积并作和f (ξ i ,η i ) σ i ,( i = 1,2,, n) ,∑ f (ξ i ,η i )σ i ,i =1n高数如果当各小闭区域的直径中的最大值λ 趋近于零时,这和式的极限存在,则称此极限为函数上的二重积分二重积分, f ( x , y )在闭区域D 上的二重积分, 记为∫∫ f ( x , y )dσ ,D 即∫∫ f ( x , y )dσ = lim ∑ f (ξ i ,η i )σ i .Dnλ → 0 i =1积分区域被积函数积分变量被积表达式面积元素积分和高数对二重积分定义的说明: 对二重积分定义的说明: (1) 在二重积分的定义中, 对闭区域的划分是在二重积分的定义中, 任意的. 任意的(2)当 f ( x , y ) 在闭区域上连续时,定义中和式在闭区域上连续时, 当的极限必存在,即二重积分必存在. 的极限必存在,即二重积分必存在二重积分的几何意义当被积函数大于零时,二重积分是柱体的体积. 当被积函数大于零时,二重积分是柱体的体积. 当被积函数小于零时,二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时, 负值. 负值. 由二重积分的定义可知n 若二重积分∫∫ f ( x, y)dσ = lim∑ f (ξi ,ηi )σ i 存在λ →o i =1 D高数则其值与区域的分法和小区域上点的取法无关, 则其值与区域的分法和小区域上点的取法无关, 故可采用一种便于计算的划分方式在直角坐标系下, 在直角坐标系下,用平行于坐标轴的直线族把D分成一些小区域,这些小区域中除去靠的边界分成一些小区域, 分成一些小区域这些小区域中除去靠D的边界的一些不规则小区域外,绝大部分都是小矩形, 的一些不规则小区域外,绝大部分都是小矩形, 紧靠D的边界的小区域的面积紧靠的边界的小区域的面积σ i ≤ t i λ ∑ σ j ≤ λLjyDo x其中L为的围长其中为D的围长∑ f (ξ j ,η j )σ j ≤ M ∑ σ j ≤ MLλ → 0, (λ → 0) j jdσ = dxdy 则面积元素为高数故二重积分可写为∫∫ f ( x, y)dσ =∫∫ f ( x, y)dxdy D D三,二重积分的性质(二重积分与定积分有类似的性质) 二重积分与定积分有类似的性质) 性质1 性质1 性质2 性质2∫∫ kf ( x , y )dσ =k ∫∫ f ( x , y )dσ .D D∫∫ [ f ( x , y ) ± g( x , y )]dσD= ∫∫ f ( x , y )dσ ± ∫∫ g ( x , y )dσ .D D高数性质3 性质3∫∫ f ( x , y )dσ = ∫∫ f ( x , y )dσ + ∫∫ f ( x , y )dσ .对区域具有可加性D D1( D = D1 + D2 )D DD2性质4 性质4 若σ 为D的面积, = ∫∫ 1 dσ = ∫∫ dσ . 的面积, 的面积σ 性质5 若在D上性质5 若在上 f ( x , y ) ≤ g ( x , y ), 则有∫∫ f ( x , y )dσ ≤ ∫∫ g ( x , y )dσ .D D 特殊地∫∫ f ( x , y )dσ ≤ ∫∫D Df ( x , y ) dσ .性质6 性质6 设M ,m 分别是f ( x , y ) 在闭区域D 上的最大值和最小值, 的面积, 最大值和最小值,σ 为 D 的面积,则m σ ≤ ∫∫ f ( x , y )dσ ≤ Mσ (二重积分估值不等式) 二重积分估值不等式)D高数性质7 性质7 设函数f ( x , y )在闭区域D 上连续,σ 为D 上连续, 的面积, 的面积,则在 D 上至少存在一点(ξ ,η ) 使得计算, 计例 1 不计算估I = ∫∫ e 作,D 2∫∫ f ( x , y )dσ = Df ( ξ, η) σ (二重积分中值定理) 二重积分中值定理)( x2 + y2 )值, 值dσ 的,x y2 其中D是圆区域椭闭: 2 + 2 =1 a b(0 b a).解区域D 的面积σ = abπ , 在D 上∵ 0 ≤ x 2 + y 2 ≤ a 2,∴1 = e ≤ e0x2 + y2≤e ,a2由性质6 知σ ≤ ∫∫ e2( x 2 + y2 )a2dσ ≤ σ e ,a2abπ ≤ ∫∫ eD(x +y )2π dσ ≤ abπe .D高数dσ 值, 例2 估计I = ∫∫ 2 的, 值2 x + y + 2xy + 16 D 其中D: 其中: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2.解∵ f ( x, y) =4 1 1 f ( x , y ) 的最小值m = = ( x = 1, y = 2) 2 25 3 +4 2 2故≤I≤ 0.4 ≤ I ≤ 0.5. 5 4例3 判断r≤ x + y ≤11 , 区域面积σ = 2, ( x + y )2 + 16 1 在D 上f ( x , y ) 的最大值M = ( x = y = 0)∫∫ ln( x2号. + y )dxdy的符号2高数0 x 2 + y 2 ≤ ( x + y )2 ≤ 1, 解当r ≤ x + y ≤ 1时,故ln( x + y ) ≤ 0 ;2 2又当x + y 1时,ln( x 2 + y 2 ) 0,2于是r ≤ x + y ≤1∫∫ ln( x2+ y )dxdy 0.2例4 比积∫∫ ln( x + y)dσ 与∫∫ [ln( x + y)] dσ 较分D D大, 中是角闭域三点为中D是的小其三形区, 顶各(1,0), (1,1), (2,0).解三角形斜边方程x+ y=2高数y在D 内有1 ≤ x + y ≤ 2 e ,1D故ln( x + y ) 1,o[ln( x + y )]2 , 于是ln( x + y ) 因此D D12xln( x + y )dσ ∫∫ [ln( x + y )]2 dσ . ∫∫高数四,小结二重积分的定义(和式的极限) 和式的极限)曲顶柱体的体积) 二重积分的几何意义(曲顶柱体的体积)与定积分类似) 二重积分的性质(与定积分类似)思考题将二重积分定义与定积分定义进行比较, 将二重积分定义与定积分定义进行比较, 找出它们的相同之处与不同之处. 找出它们的相同之处与不同之处高数思考题解答定积分与二重积分都表示某个和式的极限且此值只与被积函数及积分区域有关. 值,且此值只与被积函数及积分区域有关.不同的是定积分的积分区域为区间, 同的是定积分的积分区域为区间,被积函数为定义在区间上的一元函数, 定义在区间上的一元函数,而二重积分的积分区域为平面区域, 区域为平面区域,被积函数为定义在平面区域上的二元函数. 上的二元函数.。