[中学联盟]江苏省无锡市长安中学苏科版七年级数学上：有理数复习(一).doc

第二章《有理数复习（一）》导学案【教学重点、难点】1、熟练运用基本概念及分类研讨法、数形结合法等方法解决问题． 2、计算的正确性【教学过程】 『知识点回顾』 1． 大于零的数叫 , 小于零的数叫 , 既不是负数,也不是正数．2． 和 统称为有理数．叫做无理数． 有理数的分类为：3． 规定了 、 和 的直线叫数轴．数轴上的原点表示数________，原点左边的数表示_____，原点及原点右边的数表示 ． 4． 有理数的大小比较：⑴在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 ． ⑵正数都 0，负数都 0，正数 一切负数； ⑶两个负数比较大小， ．5． 数a 的相反数是 ． 的相反数大于它本身， 的相反数小于它本身， 的相反数等于它本身．6． 一个数a 的绝对值是指数轴上表示数a 的点与 距离，记作 .①一个正数的绝对值是 ； 即：如果a>0，则|a|= ； ②一个负数的绝对值是 ； 如果a<0，则|a|= ；③0的绝对值是 ． 如果a=0，则|a|= ． 反之：若一个数的绝对值是它本身，则这个数是 ；若一个数的绝对值是它相反数，则这个数是 ；即若|a|=a ，则a 0；若|a|=－a ，则a 0．7． 有理数的加法法则：⑴同号两数相加，取 的符号，并把 ；⑵绝对值不等的异号两数相加，取 的加数的符号，并⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数用 ；⑶互为相反数的两数相加得 ；⑷一个数同0相加，仍得 ． 即：⑴若a ＞0，b ＞0，则a+b 0；⑵若a ＜0，b ＜0，则a+b 0；⑶若a ＞0，b ＜0，且a ＜b 则a+b 0．8、有理数减法法则： 『例题讲评』例1、把下列各数在数轴上表示出来，并且用“＞”号把它们连结起来：－3，－(－4)，0，—｜－2.5｜，－121例2.把下列各数填入相应的集合里： -3，∣-5∣， +(-31)，-3.14, 0，－1.2121121112…， - (-2.5)，43，-∣-54∣, 3π 正数集合：｛ ｝ 整数集合：｛ ｝ 负分数集合：｛ ｝无理数集合：｛ ｝ 例3、填空：（1） －131的相反数是_____，绝对值是_____。

苏教版七年级上数学期中复习知识点2.1 有理数有理数是指可以表示为分数形式的数，包括正整数、负整数、正分数、负分数和零。

其中正数表示比零大的数，负数表示比零小的数，零表示没有数。

2.2 数轴数轴是一条直线，规定了原点、正方向和单位长度。

数轴上的点与有理数可以一一对应，正有理数表示原点右侧的点，负有理数表示原点左侧的点，零表示原点。

利用数轴可以比较两个数的大小，右侧的数总比左侧的数大，正数大于负数，两个负数比较时距离原点远的数比距离原点近的数小。

数轴上有一些特殊的数，如最小的自然数是1，最小的正整数是1，最大的负整数是-1，没有最大的自然数和最小的负整数。

移动数轴上的点可以得到所需的位置，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几。

2.3 绝对值和相反数绝对值是一个数在数轴上的距离，记作|a|。

一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是0.相反数是指与一个数绝对值相等但符号相反的数，如3和-3是一对相反数。

1.相反数的定义和求法相反数是指两个数互为相反数，它们的和为0.求一个数的相反数，只需要在它前面加上负号“-”即可，例如5的相反数是-5.如果需要求多个数的和或差的相反数，需要用括号将它们括起来，再在前面加上负号“-”，例如5a+b的相反数是-（5a+b），化简后为-5a-b。

如果需要求一个带负号的数的相反数，同样需要先用括号括起来，再在前面加上负号“-”，例如-5的相反数是-（-5），化简后为5.2.相反数的表示方法对于任意有理数a，它的相反数是-a。

当a>0时，-a0；当a=0时，-a=0.3.多重符号的化简多重符号的化简规律是，“+”号的个数不影响化简结果，可以直接省略；而“-”号的个数决定最后化简结果。

如果“-”的个数是奇数，结果为负；如果“-”的个数是偶数，结果为正。

4.有理数的加法和减法有理数的加法法则包括同号两数相加、绝对值不相等的异号两数相加、互为相反数的两数相加和一个数与零相加。

苏教版七年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《有理数》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1．理解有理数及其运算的意义，发展运算能力；了解无理数的概念，会判断无理数.2．能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小；借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值．3．体会转化、归纳等思想；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算并能解决简单的实际问题．4．会用科学记数法表示较大的数，能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断，发展数感．【知识网络】【要点梳理】要点一、有理数与无理数1．有理数的分类：（1）按定义分类：（2）按性质分类：要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数表示没有3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示表示某种状态0C表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数2．无理数：无限不循环小数叫做无理数．要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限．无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式．（2）目前常见的无理数有两种形式：①含π类．②看似循环而实质不循环的数，如：1．313113111……（相邻两个3之间1的个数逐渐增加）．3.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如π．（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．4．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号即可．（3）多重符号的化简：数字前面“-”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．5．绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．数a的绝对值记作a．（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．要点二、有理数的运算1 ．法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·1b(b≠0) ．（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： 2(3)9-=， 3(3)27-=-． 2．运算律：（1）交换律: ①加法交换律:a+b=b+a ； ②乘法交换律:ab=ba ；（2）结合律: ①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab ）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．要点四、科学记数法把一个大于10的数表示成10na ⨯的形式（其中110a ≤<，n 是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=5210⨯．【典型例题】 类型一、有理数与无理数的相关概念1．若一个有理数的：(1)相反数；（2）倒数；(3)绝对值；(4)平方；(5)立方，等于它本身．则这个数分别为(1)________；(2)________；(3)________；(4)________；（5）________．【答案】（1）0； (2)1和-1；(3)正数和0；(4)1和0；(5)-1、0和1【解析】根据定义，把符合条件的有理数写全．【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念．举一反三：【有理数专题复习 357133 概念的理解与应用】【变式】(1)321-的倒数是 ；321-的相反数是 ；321-的绝对值是 ； -（-8）的相反数是 ；21-的相反数的倒数是_____. (2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5．8元的意义是 _ ；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是 ．(3) 上海浦东磁悬浮铁路全长30km ，单程运行时间约为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为 m ／min ．(4) 若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，则=++)(323b a cd ____ ． （5）下列各数：2π，0， 0.23，227，0.3000333…，中无理数个数为 个． 【答案】（1）35-； 213； 213；-8；2 （2）降价5．8元，70．2 元；（3）33.7510⨯；（4）3；（5）2．2．（2015春•射洪县月考）如果|x+3|+|y ﹣4|=0，求x+2y 的值．【思路点拨】根据非负数的性质，可求出x 、y 的值，然后将x 、y 的值代入代数式化简计算即可．【答案与解析】解：∵|x+3|+|y ﹣4|=0，∴x+3=0，y ﹣y=0，解得，x=﹣3，y=4，x+2y=﹣3+4×2=5．【总结升华】本题考查了绝对值的性质和非负数的性质，掌握有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零是解题的关键．3．在下列两数之间填上适当的不等号：20052006________20062007． 【思路点拨】根据“a-b ＞0，a-b ＝0，a-b ＜0分别得到a ＞b ，a ＝b ，a ＜b ”来比较两数的大小．【答案】 ＜【解析】法一：作差法由于20052006200520072006200610200620072006200720062007⨯-⨯-==-<⨯⨯，所以2005200620062007< 法二：倒数比较法：因为2006112007112005200520062006=+>+= 所以2005200620062007< 【总结升华】比较大小常用的有五种方法，要根据数的特征选择使用． 举一反三：【变式】比较大小：(1)199-________0．001； (2)23-________-0．68 【答案】（1）＜ （2）＞类型二、有理数的运算4．（2016•厦门）计算：．【思路点拨】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．【答案与解析】解：原式=10+8×﹣2×5=10+2﹣10=2．【总结升华】有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行计算，然后利用各种运算法则计算，有时可以利用运算律来简化运算．举一反三：【变式】计算：（1）11(2)(2)22-⨯÷⨯- （2）()20064261031-+--⨯- 【答案】（1）111(2)(2)(1)(2)(1)2(2)4222-⨯÷⨯-=-÷⨯-=-⨯⨯-= （2）()20064261031-+--⨯-=-16+4-3×1 =-15类型三、数学思想在本章中的应用5．（1）数形结合思想：有理数a 在数轴上对应的点如图所示，则a ，-a ，1的大小关系．A ．-a ＜a ＜1B ．1＜-a ＜aC ．1＜-a ＜aD ．a ＜1＜-a（2）分类讨论思想：已知|x|＝5，|y|＝3．求x-y 的值．（3）转化思想：计算：3135()147⎛⎫-÷- ⎪⎝⎭ 【答案与解析】（1）将-a 在数轴上标出，如图所示，得到a ＜1＜-a ，所以大小关系为：a ＜1＜-a ． 所以正确选项为：D ．（2）因为| x|＝5，所以x 为-5或5因为|y|＝3，所以y 为3或-3．当x ＝5，y ＝3时，x-y ＝5-3＝2当x ＝5，y ＝-3时，x-y ＝5-(-3)＝8当x ＝-5，y ＝3时，x-y ＝-5-3＝-8当x ＝-5，y ＝-3时，x-y ＝-5-(-3)＝-2故（x-y ）的值为±2或±8（3）原式=33135(7)357724614142⎛⎫--⨯-=⨯+⨯= ⎪⎝⎭【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段．数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为“已知”．举一反三：【变式】（2015•宁德）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（）A．a+b＜0 B．a﹣b＜0 C．a•b＞0 D．＞0【答案】B．类型四、规律探索6．将1，12-，13，14-，15，16-，…，按一定规律排列如下：请你写出第20行从左至右第10个数是________．【思路点拨】通过观察题目所给的图形、表格或一段语言叙述，然后归纳总结，寻找规律．【答案】1 200 -【解析】认真观察可知，第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，……，所以第20行有20个数，从第1行到第20行共有1+2+3+…+20＝210个数，所以第20行最后一个数的绝对值应是1210；又由表中可知，凡是分母是偶数的分数是负数，故第20行最后一个数是1210-，以此类推向前10个，则得到第20行第10个数是1 200 -．【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并将规律表示出来．。

七年级上第1章有理数复习教案（5篇材料）第一章有理数复习教学目标：1：识记有理数的基本概念；2：能够运用相关基础知识，解决简单的数学问题；3.掌握并运用有理数的运算规则和规律进行计算。

教学中的重点和难点:有理数的基本概念和算法。

教学过程:（一）有理数的基本概念一：正数和负数1、正数：大于0的数叫做正数。

2、负数：在正数前面加上负号“-”的数,比0小的数叫做负数。

3、0：既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界。

4.同一个问题中，正数和负数分别代表意义相反的量。

二:有理数:可以写成分数的形式，这样的数叫做有理数。

有理数的两种分类三:数轴:定义原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。

数轴满足以下要求：（1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；(2)通常直线上的右(或上)方向为正方向，选择合适的长度作为单位长度。

数轴上表示的两个数中，右边的数总是大于左边的数；所有有理数都可以用数轴上的点来表示。

关于有理数和数轴的练习4:倒数绝对值相等，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

其中一个是另一个的相反数。

数a的相反数是-a，（a是任意一个有理数）；0的相反数是0.若a、b互为相反数，则a+b=0.相反数的相关练习题五：倒数乘积是1的两个数互为倒数.a的倒数是;0没有倒数；若a与b互为倒数，则ab=1.倒数相关练习题倒数、相反数区别：1：互为倒数的两个数符号相同,互为相反数的两个数符号相反。

2：0没有倒数，0的相反数是0。

3：倒数对于本身的数是1或-1。

4:两个相反数之和为0，两个倒数之积为1。

示例:六：绝对值数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。

记做|a|。

由绝对值的定义可得：|a-b|表示数轴上a点到b点的距离。

a一个正数的绝对值是它本身；若a＞0，则︱a︱= a;一个负数的绝对值是它的相反数；若a＜0，则︱a︱=-a;0的绝对值是0.若a =0，则︱a︱= 0;对任何有理数a,总有︱a︱≥0.绝对值知识的相关练习题例题：七：有理数大小的比较：1）数轴比较：在数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；正数都大于0，负数都小于0；正数大于一切负数；2)两个负数，较大的绝对值较小。

第二章复习课（1）［学习目标］1、掌握有理数的基本概念，学会由数到形的转化，会求一个数的相反数与绝对值、倒数，会比较有理数的大小。

2、掌握科学记数法的概念及相互表示，掌握单位互化。

3、掌握幂的概念及表示［知识点归纳］知识点1:相反意义的量 知识点2：正数和负数的概念,及有理数分类知识点3:数轴的概念 知识点4:相反数 知识点5:绝对值知识点6:倒数 知识点7:乘方 知识点8:多重符号的化简知识点9:科学记数法［典型例题］例1．例:收入200元记作+200,那么-100表示_____________________例2．把下列有理数按要求分类)2(--, 3.5 , 54, -.35, 5.2-- , 22-,0 这些数中 正数有________ ___ 负数有____ _______分数有______ _______整数有________________非正整数______________,非负整数有_________________ 注: 非负数指_____；非正数指_______；非负整数指_____；非正整数指___ 。

例3．相反数的表示方法,一般的数a 的相反数表示为______.2-的相反数是____例4．若x =5,那么x=_____例5．已知a 和b 两数在数轴上的位置如下图，你能利用所学知识写出一些关于a 与b 的关系式吗？例6．2)3(-= 23-= 2)3(--= 2)32(= 322= 2)32(-= 例7．用科学记数法表示250 200 000 000= 把101022.1⨯还原成原数科学计数法：a ×10n （注意a 的范围）例8．已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，m 的绝对值为3。

试求 (a +b )2013－(－cd )2013+m 的值.［当堂检测］1.下列说法正确的是 （ ）A ．整数包括正整数和负整数； B.零是整数,但不是正数,也不是负数；C.分数包括正分数、负分数和零；D.有理数不是正数就是负数.2.下列语句正确的是（ ）A.最小的有理数是0；B.最大的负数是-1；C.原点右边的数表示正数；D.最小的自然数是1。

《有理数》小结与思考（一）班级 姓名【教学目标】1、回顾有理数的基本概念，能熟练运用基本概念解决问题； 2、熟练运用有理数的加减法法则进行计算。

【教学重点、难点】1、熟练运用基本概念及分类研讨法、数形结合法等方法解决问题．2、计算的正确性【教学过程】 『知识点回顾』1． 大于零的数叫 , 小于零的数叫 , 既不是负数,也不是正数． 2． 和 统称为有理数． 有理数的分类为：3． 规定了 、 和 的直线叫数轴．数轴上的原点表示数________，原点左边的数表示_____，原点及原点右边的数表示 ． 4． 有理数的大小比较：⑴在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 ． ⑵正数都 0，负数都 0，正数 一切负数； ⑶两个负数比较大小， ．5． 数a 的相反数是 ． 的相反数大于它本身， 的相反数小于它本身， 的相反数等于它本身．6． 一个数a 的绝对值是指数轴上表示数a 的点与 距离，记作①一个正数的绝对值是 ； 即：如果a>0，则|a|= ； ②一个负数的绝对值是 ； 如果a a b213132--43-2-a 2+b 2356232334141312214-61431234811a ba”、“=”或“18、从数6，-，15，-3中，任取三个不同的数相加，所得到的结果中最小的是（ ） A ． -3 B ． - C ．3 D ．2 19、下列各组运算结果符号为负的有（ ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数（35）（-45），（-67）（56），（-313）0，（）（-34） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个20、计算: （1）（-423）（316）； （2）-31--16； （3）（-723）（-356）；（4）--3│-2715│； （5）312413322141-+--（6）7)1.10()41()21(1.4+-+-+++ 7 54)1.3()53(4.2+-+-- （8）8（-41）-5-（）21、初一年级共100名学生，在一次数学测试中以90分为标准，超过的记为正，不足的记为负，成绩如下：请你算出这次考试的平均成绩。

2.5有理数的加法与减法一、教材分析本章是七年级上册代数的重要章节，它是整个初中代数的基础，它直接关系到实数运算、代数式运算、解方程、研究函数等内容的学习，有理数的加法与减法（第一课时）作为有理数运算的开始，它起到一个承上启下的作用，前面所学的有理数的意义、绝对值及数轴等知识在本节课都要用到，它又是学习有理数减法、乘除的重要基础。

二、学情分析学生已经掌握了正数、负数、数轴、相反数、绝对值等概念,学习了有理数的意义，学习了加法、减法、乘法、除法等算术运算，为本节课的学习奠定基础，其知识点通过情境创设，小组讨论、分析、归纳得出，在教师的引导下和学生的积极参与，相信他们能很好完成本节课内容。

三、学习目标知识目标：（1）了解有理数加法的意义；（2）经历探索有理数加法法则的过程，理解并掌握有理数加法的法则；（3）运用有理数加法法则正确进行运算。

能力目标：（1）培养学生准确运算的能力；（2）在探索过程培养学生分类讨论的思想方法；（3）培养一定的归纳能力及语言表达能力。

情感目标：体会在总结有理数加法法则的过程中与同学合作、交流的重要性，并且意识到数学与现实生活是紧密相连的。

四、教学重点与难点重点：有理数加法法则的理解与运用难点：异号两数相加的法则的运用五、教学方法与手段（一）教学方法：采用自主探索，启发引导，合作交流展开教学，通过汽车向东，向西运动问题引起学生的思考，小组讨论、交流、总结得出有理数的加法法则。

（二）教学手段：利用投影仪辅助教学，形象、直观，提高教学效率。

（三）学法指导：在学法上，教师应引导学生积极思考，鼓励学生进行合作学习，让每个学生都动口、动手、动脑，自己归纳出运算法则，培养学生学习的主动性和积极性。

六、教学过程（一）情境创设1、创设情境，汽车在公路上行驶，规定向东为正，向西为负，据下列情况，分别列算式，并回答：汽车两次运动后方向怎样？离出发点多远？（1）向东行驶5千米后，又向东行驶2千米，（2）向西行驶5千米后，又向西行驶2千米，（3）向东行驶5千米后，又向西行驶2千米，（4）向西行驶5千米后，又向东行驶2千米，（5）向东行驶5千米后，又向西行驶5千米，（6）向西行驶5千米后，静止不动，算式向东向西运动后的位置+5 +2 （+5）+（+2）=+7-5 －2+5 -2－5 +2+5 -5-5 0师：能写出每次运动的位置吗？同学们能用算式表示汽车的变化过程吗？（由学生上黑板板书）【设计意图】：采用学生熟悉汽车向东向西运动，直观、明了，学生较容易得出变化结果。