陕西省西安市长安区第一中学2020-2021学年高三上学期第二次月考数学(文)试题

2020-2021学年陕西省西安市长安一中高三（上）第一次质检数学（文科）试题一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知z1=sinθ﹣i，z2=﹣cosθi，若z1﹣z2是纯虚数，则tanθ=（）A．B．C．D．2．（5分）若集合A={1，3，x}，B={1，x2}，A∪B={1，3，x}，则满足条件的实数x的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（5分）已知平面向量满足||=3，||=2，，的夹角为60°，若，则实数m的值为（）A．1 B．C．2 D．34．（5分）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=05．（5分）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A．19 B．20 C．21.5 D．236．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．8．（5分）如果执行如图的程序框图，输入x=﹣2，h=0.5，那么输出的各个数的和等于（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.59．（5分）已知sin2α=，则cos2（α+）=（）A．B．C．D．10．（5分）随机地向半圆0＜y＜（a为正常数）内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x轴的夹角小于的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知f（x）=x2+3x+1，g（x）=+x，若h（x）=f（x）﹣g（x）恰有两个零点，则实数a 的取值为（）A．1 B．C．1或D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+2x，若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是．14．（5分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asinA+bsinB＜csinC，则△ABC的形状是．15．（5分）若函数f（x）=2sin（x+）（2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与f（x）的图象交于B、C两点，O为坐标原点，则（+）•= ．16．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是．三、解答题：（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+c2=b2﹣ac．（1）求B的大小；（2）设∠BAC的平分线AD交BC于D，AD=2，BD=1，求cosC的值．18．（12分）在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表1：男生表2：女生等级优秀合格尚待改进等级优秀合格尚待改进频数15 x 5 频数15 3 y（1）从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；（2）由表中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．男生女生总计优秀非优秀总计参考数据与公式：K2=，其中n=a+b+c+d．临界值表：P（K2＞k0）0.05 0.05 0.01k0 2.706 3.8416.63519．（12分）如图1，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2作如图2折叠；折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF．（1）证明：CF⊥平面MDF；（2）求三棱锥M﹣CDE的体积．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），离心率是，原点与C直线x=1的交点围成的三角形面积是．（1）求椭圆方程；（2）若直线l过点（，0）与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），D是椭圆C的右顶点，求∠ADB是定值．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．[选修4-4；坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知实数m，n满足：关于x的不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|的解集为R（1）求m，n的值；（2）若a，b，c∈R+，且a+b+c=m﹣n，求证：++．2020-2021学年陕西省西安市长安一中高三（上）第一次质检数学（文科）试题参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知z1=sinθ﹣i，z2=﹣cosθi，若z1﹣z2是纯虚数，则tanθ=（）A．B．C．D．【分析】z1﹣z2=﹣i是纯虚数，可得sinθ﹣=0，﹣cosθ≠0，再利用同角三角函数基本关系式即可得出．【解答】解：z1﹣z2=﹣i是纯虚数，∴sinθ﹣=0，﹣cosθ≠0，∴sinθ=，cosθ=，则tanθ==﹣．故选：B．【点评】本题考查了纯虚数的定义、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（5分）若集合A={1，3，x}，B={1，x2}，A∪B={1，3，x}，则满足条件的实数x的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由A∪B={1，3，x}得到集合B是集合A的真子集，所以得到x2，等于3或x，分别求出x的值，经检验即可得到满足题意x的个数．【解答】解：因为A∪B={1，3，x}，A={1，3，x}，B={1，x2}，所以x2=3或x2=x，解得x=±或x=0，x=1（舍去），即满足条件的有3个．故选C．【点评】此题考查学生掌握并集的定义，以及理解集合元素的互异性，是一道基础题．3．（5分）已知平面向量满足||=3，||=2，，的夹角为60°，若，则实数m的值为（）A．1 B．C．2 D．3【分析】由两个向量的数量积的定义求出，再由可得=0可求m【解答】解：∵||=3，||=2，，的夹角为60°∴=||||cos60°=3×2cos60=3又∵∴==9﹣3m=0∴m=3故选D【点评】本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，两个向量垂直的性质．4．（5分）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0【分析】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程．【解答】解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，所以=，所以b=±5，所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y﹣5=0故选：A．【点评】本题考查两条直线平行的判定，圆的切线方程，考查计算能力，是基础题．5．（5分）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A．19 B．20 C．21.5 D．23【分析】根据中位数的定义进行求解即可．【解答】解：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，则中位数为，故选：B【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数的定义是解决本题的关键．比较基础．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为，高为1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右侧是半圆柱，底面半径为1，高为2，所求几何体的体积为：=．故选：A．【点评】本题考查三视图与直观图的关系，组合体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．7．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选A【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．8．（5分）如果执行如图的程序框图，输入x=﹣2，h=0.5，那么输出的各个数的和等于（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.5【分析】按照程序框图的流程，判断出x的值是否满足判断框中的条件，求出所有输出的y值，再将各值加起来．【解答】解：第一次输出y=0；第二次输出y=0；第三次输出0；第四次输出y=0；第经过第五次循环输出y=0；第六次输出y=0.5；第七次输出y=1；第八次输出y=1；第九次输出y=1各次输出的和为0+0+0+0+0+0.5+1+1+1=3.5故选B【点评】本题考查解决程序框图的循环结构，常用的方法是求出前几次循环的结果找规律．9．（5分）已知sin2α=，则cos2（α+）=（）A．B．C．D．【分析】所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用诱导公式变形，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵sin2α=，∴cos2（α+）=[1+cos（2α+）]=（1﹣sin2α）=×（1﹣）=．故选A【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．10．（5分）随机地向半圆0＜y＜（a为正常数）内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x轴的夹角小于的概率为（）A．B．C．D．【分析】因为点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，【解答】解：半圆0＜y＜（a为正常数）内掷一点，原点与该点的连线与x轴的夹角小于的区域如图：点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则；故选A．【点评】本题考查了几何概型的概率求法，首先正确画出满足条件的区域，利用面积比求概率是关键．11．（5分）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用双曲线的定义和已知即可得出|PF1|，|PF2|，进而确定最小内角，再利用余弦定理和离心率计算公式即可得出．【解答】解：不妨设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=6a，解得|PF1|=4a，|PF2|=2a．则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角为30°，∴﹣，∴（2a）2=（4a）2+（2c）2﹣，化为=0，解得．故选C．【点评】熟练掌握双曲线的定义、离心率计算公式、余弦定理是解题的关键．12．（5分）已知f（x）=x2+3x+1，g（x）=+x，若h（x）=f（x）﹣g（x）恰有两个零点，则实数a 的取值为（）A．1 B．C．1或D．【分析】问题转化为a=x3+x2﹣x（x≠1）的交点问题，令h（x）=x3+x2﹣x，（x≠1），画出函数h（x）的图象，结合图象求出a的值即可．【解答】解：联立y=f（x）和y=g（x）得 x2+3x+1=+x，整理可得 a=x3+x2﹣x，且 x≠1．令函数h（x）=x3+x2﹣x，可得函数h（x）的极值点在﹣1和处，画出h（x）的草图，如图示：当x=﹣1时，h（x）=1；当x=时，h（x）=﹣，故当a=1时，y=a和y=h（x）1个交点，因为（1，1）不在h（x）上，不满足条件．故当a=﹣时，结合图象可得y=a和y=h（x）恰有2个交点．综上，只有当a=﹣时，才能满足y=a和y=h（x）恰有2个j交点，故选：B．【点评】本题考查了函数的交点问题，考查数形结合思想以及转化思想，是一道中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+2x，若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（﹣2，1）．【分析】题意可先判断出f（x）=x2+2x=（x+1）2﹣1在（0，+∞）上单调递增，根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，从而可比较2﹣a2与a的大小，解不等式可求a的范围．【解答】解：∵f（x）=x2+2x=（x+1）2﹣1在（0，+∞）上单调递增，又∵f（x）是定义在R上的奇函数，根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，∴f（x）在R上单调递增．∵f（2﹣a2）＞f（a），∴2﹣a2＞a，解不等式可得，﹣2＜a＜1，故答案为：（﹣2，1）．【点评】本题主要考查了奇函数在对称区间上的单调性相同（偶函数对称区间上的单调性相反）的性质的应用，一元二次不等式的求解，属于基础试题．14．（5分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asinA+bsinB＜csinC，则△ABC的形状是钝角三角形．【分析】利用正弦定理化简已知不等式可得a2+b2＜c2，进而利用余弦定理可求cosC＜0，结合C的范围即可判断得解．【解答】解：△ABC中，由正弦定理可得＞0，∴sinA=，sinB=，sinC=．∵asinA+bsinB＜csinC，∴+＜，即a2+b2＜c2．∴cosC=＜0．∵0＜C＜π，∴＜C＜π．∴角C为钝角．∴△ABC的形状是钝角三角形．故答案为：钝角三角形．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，余弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，熟练掌握正弦定理和余弦定理是解题的关键，属于基础题．15．（5分）若函数f（x）=2sin（x+）（2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与f（x）的图象交于B、C两点，O为坐标原点，则（+）•= 32 ．【分析】根据“f（x）=2sin（x+）（2＜x＜10）的图象与x轴交于点A”求出A点坐标，设B（x1，y1），C（x2，y2），由正弦函数的对称性可知B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0，代入向量的数量积的坐标表示即可求解【解答】解：由f（x）=2sin（x+）=0，可得x+=kπ，∴x=6k﹣2，k∈Z∵2＜x＜10∴x=4即A（4，0）设B（x1，y1），C（x2，y2）∵过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点∴B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0∴（+）•=（x1+x2，y1+y2）•（4，0）=4（x1+x2）=32故答案为：32．【点评】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键正弦函数对称性质的应用．16．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n=x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围．【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，∴圆心到直线的距离d==1，整理得：m+n+1=mn≤（）2，设m+n=x，则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，∵x2﹣4x﹣4=0的解为：x1=2+2，x2=2﹣2，∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，解得：x≥2+2或x≤2﹣2，则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．故答案为：（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，基本不等式，以及一元二次不等式的解法，利用了转化及换元的思想，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．三、解答题：（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+c2=b2﹣ac．（1）求B的大小；（2）设∠BAC的平分线AD交BC于D，AD=2，BD=1，求cosC的值．【分析】（1）利用余弦定理可得：cosB=﹣，B∈（0，π），可得B．（2）在△ABD中，由正弦定理可得：=，解得sin∠BAD．cos∠BAC=cos2∠BAD=1﹣2sin2∠BAD．可得sin∠BAC=．可得cosC=cos（60°﹣∠BAC）．【解答】解：（1）在△ABC中，∵a2+c2=b2﹣ac，即a2+c2﹣b2=﹣ac．∴cosB==﹣=﹣，B∈（0，π），可得B=．（2）在△ABD中，由正弦定理可得：=，解得sin∠BAD==．cos∠BAC=cos2∠BAD=1﹣2sin2∠BAD=1﹣×2×=．∴sin∠BAC===．∴cosC=cos（60°﹣∠BAC）=+=．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、同角三角函数基本关系式、角平分线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表1：男生表2：女生等级优秀合格尚待改进等级优秀合格尚待改进频数15 x 5 频数15 3 y（1）从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；（2）由表中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．男生女生总计优秀非优秀总计参考数据与公式：K2=，其中n=a+b+c+d．临界值表：P（K2＞k0）0.05 0.05 0.01k0 2.706 3.8416.635【分析】（1）由题意可得非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a，b，c，尚待改进的2人为A，B，则从这5人中任选2人的所有可能结果为10个，设事件C表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，则C的结果为6个，根据概率公式即可求解．（2）由2×2列联表直接求解即可．【解答】解：（1）设从高一年级男生中抽出m人，则=，m=25，∴x=25﹣20=5，y=20﹣18=2，表2中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a，b，c，尚待改进的2人为A，B，则从这5人中任选2人的所有可能结果为：（a，b）（a，c）（b，c）（A，B）（a，A），（a，B），（b，A）（，b，B），（c，A）（c，B），共10种．设事件C表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，则C的结果为：（a，A），（a，B），（b，A）（，b，B），（c，A）（c，B），共6种．∴P（C）==，故所求概率为．男生女生总计优秀15 15 30非优秀10 5 15总计25 20 45（2）∵1﹣0.9=0.1，p（k2＞2.706）=0.10，而K2====1.125＜2.706，所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．思路点拨（1）由题意可得非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a，b，c，尚待改进的2人为A，B，则从这5人中任选2人的所有可能结果为10个，设事件C表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，则C的结果为6个，根据概率公式即可求解．（2）由2×2列联表直接求解即可．【点评】本考查了独立检验思想在实际问题中的应用，属于中档题．19．（12分）如图1，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2作如图2折叠；折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF．（1）证明：CF⊥平面MDF；（2）求三棱锥M﹣CDE的体积．【分析】（1）要证CF⊥平面MDF，只需证CF⊥MD，且CF⊥MF即可；由PD⊥平面ABCD，得出平面PCD⊥平面ABCD，即证MD⊥平面PCD，得CF⊥MD；（2）求出△CDE的面积S△CDE，对应三棱锥的高MD，计算它的体积V M﹣CDE．【解答】解：（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面ABCD；又平面PCD∩平面ABCD=CD，MD⊂平面ABCD，MD⊥CD，∴MD⊥平面PCD，CF⊂平面PCD，∴CF⊥MD；又CF⊥MF，MD、MF⊂平面MDF，MD∩MF=M，∴CF⊥平面MDF；（2）∵CF⊥平面MDF，∴CF⊥DF，又∵Rt△PCD中，DC=1，PC=2，∴∠P=30°，∠PCD=60°，∴∠CDF=30°，CF=CD=；∵EF∥DC，∴=，即=，∴DE=，∴PE=，∴S△CDE=CD•DE=；MD===，∴V M﹣CDE=S△CDE•MD=××=．【点评】本题考查了空间中的垂直关系的应用问题，解题时应结合图形，明确线线垂直、线面垂直以及面面垂直的相互转化关系是什么，几何体的体积计算公式是什么，是中档题．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），离心率是，原点与C直线x=1的交点围成的三角形面积是．（1）求椭圆方程；（2）若直线l过点（，0）与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），D是椭圆C的右顶点，求∠ADB是定值．【分析】（1）由椭圆的离心率公式e===，点P（1，y）（y＞0），根据三角形的面积公式即可求得y值，代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）当l斜率不存在时，，；当l斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理y1+y2及y1•y2，求得=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），•=x1•x2﹣2（x1+x2）+y1•y2+4=0，，∠ADB是定值．．【解答】解：（1）由题意可知：e===，整理得：a2=b2，由直线x=1与椭圆相交，交点P（1，y）（y＞0），由题意可知：•1•2y=，解得：y=，将P（1，）代入椭圆方程，，解得b2=3，a2=4，∴椭圆的方程为：，．（2）当l斜率不存在时，，∴，∴；当l斜率存在时，设直线，由得（196+147m2）y2+84my﹣576=0，∵l与C有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），∴△＞0，且，∴，∵=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），•=x1•x2﹣2（x1+x2）+y1•y2+4，=+，==0，∴，综上．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及向量数量积的坐标表示，考查计算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，讨论当a≥0时，a＜﹣时，a=﹣时，﹣＜a＜0，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）的单调区间，对a讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，可得f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①当a≥0时，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，即有f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增；②当a＜0时，若a=﹣，则f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上递增；若a＜﹣时，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（﹣2a）；由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．即有f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增；在（1，ln（﹣2a））递减；若﹣＜a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜ln（﹣2a）或x＞1；由f′（x）＜0，可得ln（﹣2a）＜x＜1．即有f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（1，+∞）递增；在（ln（﹣2a），1）递减；（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得当a＞0时，f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增，且f（1）=﹣e＜0，x→+∞，f（x）→+∞；x→﹣∞，f（x）→+∞．f（x）有两个零点；②当a=0时，f（x）=（x﹣2）e x，所以f（x）只有一个零点x=2；③当a＜0时，若a＜﹣时，f（x）在（1，ln（﹣2a））递减，在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增，又当x≤1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点；当a≥﹣时，f（x）在（1，+∞）单调递增，又x≤1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点．综上可得，f（x）有两个零点时，a的取值范围为（0，+∞）．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点的判断，注意运用分类讨论的思想方法和函数方程的转化思想，考查化简整理的运算能力，属于难题．[选修4-4；坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．【分析】解法一：（Ⅰ）由参数方程消去参数α，得椭圆的普通方程，由极坐标方程，通过两角和与差的三角函数转化求解出普通方程即可求出直线l的倾斜角．（Ⅱ）设出直线l的参数方程，代入椭圆方程并化简，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，利用参数的几何意义求解即可．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）利用直线l的普通方程与椭圆的方程联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式求解即可．【解答】解法一：（Ⅰ）由消去参数α，得，即C的普通方程为．（2分）由，得ρsinθ﹣ρcosθ=2，…（*）（3分）将代入（*），化简得y=x+2，（4分）所以直线l的倾斜角为．（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数），即（t为参数），（7分）代入并化简，得．（8分）．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，所以t1＜0，t2＜0，（9分）所以．（10分）解法二：（Ⅰ）同解法一．（5分）（Ⅱ）直线l的普通方程为y=x+2．由消去y得10x2+36x+27=0，（7分）于是△=362﹣4×10×27=216＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，所以x1＜0，x2＜0，（8分）故．（10分）【点评】本小题考查直线的极坐标方程和参数方程、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等[选修4-5：不等式选讲]23．已知实数m，n满足：关于x的不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|的解集为R（1）求m，n的值；（2）若a，b，c∈R+，且a+b+c=m﹣n，求证：++．【分析】（1）若不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|的解集为R，故3x2﹣6x﹣9=0时，x2+mx+n=0，进而由韦达定理得到答案；（2）运用重要不等式a+b≥2，结合累加法和三个数的完全平方公式，即可得证．【解答】（1）解：∵不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|的解集为R，令3x2﹣6x﹣9=0，得x=﹣1，或x=3，故x=﹣1，或x=3时，x2+mx+n=0，则x=﹣1和x=3为方程x2+mx+n=0的两根，故﹣1+3=2=﹣m，﹣1×3=﹣3=n，解得：m=﹣2，n=﹣3，当m=﹣2，n=﹣3时，不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|即为|x2﹣2x﹣3|≤3|x2﹣2x﹣3|，即有|x2﹣2x﹣3|≥0，则解集为R，故m=﹣2，n=﹣3；（2）证明：若a，b，c∈R+，且a+b+c=m﹣n=1，由a+b≥2，b+c≥2，c+a≥2．累加得，2a+2b+2c≥2+2+2，两边同时加a+b+c，可得3（a+b+c）≥a+b+c+2+2+2，即有3（a+b+c）≥（++）2，即++≤=．（当且仅当a=b=c时取得等号）则++≤成立．【点评】本题考查不等式的解法和运用，主要考查不等式的恒成立转化为求函数的最值，同时考查二次方程的韦达定理的运用，运用均值不等式和累加法是证明不等式的关键．。

长安一中2020学年度第一学期第二次质量检测高一数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中，有且只有一个正确选项.1.函数2()log f x =（x+3）） A ．(3,1)- B ．(3,1]- C ．[3,1)- D ．[3,1]- 2.下列说法正确的是( )A.有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C.有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 3.下列选项中，表示的是同一函数的是（ ）A．2=y与=y B ．lg =y x 与21lg 2=y x C ．=y x 与,0,0>⎧=⎨-≤⎩x x y x x D ．211-=+x y x 与1=-y x4.球面上有,,,A B C D 四个点，若,,AB AC AD 两两垂直，且4AB AC AD ===，则该球的表面积为（ ）A ．80π3B ．32π C. 42π D ．48π5.已知函数2()1f x ax x a =-++在()-,2 ∞上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．[]0,4B ．[)+∞,2 C.10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦6.如图在三棱锥A-BCD 中,E ､F 是棱AD 上互异的两点,G ､H 是棱BC 上互异的两点,由图可知： ①AB 与CD 互为异面直线；②FH 分别与DC ､DB 互为异面直线 ； ③EG 与FH 互为异面直线； ④EG 与AB 互为异面直线. 其中叙述正确的是( )A.①③B.②④C.①②④D.①②③④7.已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()()()()114116f g f g -+=+-=，， 则()1g 等于( )A ．6B ．5C ．4D ．38.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．π+3B ．32π+3 C. 2π+3 D ．3π+39.函数2()(3)ln()=-f x x x 的图象大致是（ ）10.设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( ) A. 若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B. 若l α⊥，l m //，则m α⊥ C. 若l α//，m α⊂，则l m // D. 若l α//，m α//，则l m //11.已知正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于E 点，将ACD ∆沿对角线折起，使得平面ABC ⊥平面ADC （如图），则下列命题中正确的是（ ） A.直线AB ⊥直线CD ，且直线AC ⊥直线BDB.直线AB ⊥平面BCD ，且直线AC ⊥平面BDEC.平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ACD ⊥平面BDED.平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ACD ⊥平面BDE12.对于定义域为R 的函数()f x ，若存在非零实数0x ，使函数()f x 在0(,)-∞x 和0(,)+∞x 上与x 轴都有交点，则称0x 为函数()f x 的一个“界点”.则下列四个函数中，不存在“界点”的是（ ）A ．2()2=-xf x x B ．2()2()R =+-∈f x x bx bC ．()12=--f x xD ．3()=f x x二、本大题共4小题，每小题6分，共24分.请将答案填写在答题卡对应题号的位置上. 13.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为ο45,腰和上底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是________．14.设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________．15.已知集合1A={x|x=(21),}9k k Z +∈，41B={x|x=,}99k k Z ±∈，则集合A ，B 之间的关系为________．16.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1BD 的一个平面交1AA 于点E ，交1CC 于点F .①四边形1BFD E 一定是平行四边形； ②四边形1BFD E 有可能是正方形；③四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形； ④四边形1BFD E 有可能垂直于平面1BB D ．以上结论正确的为________．（写出所有正确结论的编号）三、解答题：本大题共5小题，共66分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算过程.（注意：在试卷上作答无效）17.（本小题12分）已知集合+11={|216}8≤≤x A x ，={|+13-1}≤≤B x m x m . （1）求集合A ；（2）若⊆B A ，求实数m 的取值范围.18.（本小题12分）设()log (1)log (3)(1,1)a a f x x x a a =++->≠,且(1)2f =. (1)求a 的值及()f x 的定义域；(2)求()f x 在区间302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值.19.（本小题14分）如图所示，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M,N 分别为AB,PC 的中点，平面PAD I 平面PBC ＝l .(1)求证：BC ∥l ；(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．20.（本小题14分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA AB ⊥，PA BC ⊥，AB BC ⊥，2PA AB BC ===，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．（Ⅰ）求证：PA BD ⊥；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；（Ⅲ）当PA ∥平面BDE 时，求三棱锥E BCD -的体积．21.（本小题14分）已知定义域为R 的函数2()21x x af x -+=+是奇函数.（1）求实数a 的值；（2）判断()f x 的单调性并用定义证明；（3）已知不等式3(log )(1)04mf f +->恒成立, 求实数m 的取值范围.长安一中2020学年度第一学期第二次质量检测高一数学答案一、选择题1-5： BBCDC 6-10：ABDAB 11-12：CD 二、填空题13. 22+ 14.(]-8∞，15. A=B 16. ①③④三、解答题 17解：（1）由已知：，，.（2）若时符合题意；若时有，即；综上可得：的取值范围为.18解：解 (1)∵f (1)＝2， ∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2. 由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)，∴函数f (x )的定义域为(－1,3). (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在[0，32]上的最大值是f (1)＝log 24＝2.19(1)证明 因为BC∥AD ，AD 平面PAD ，BC 平面PAD ，所以BC∥平面PAD. 又平面PAD∩平面PBC ＝l ，BC 平面PBC ，所以BC∥l. (2)解 MN∥平面PAD.证明如下：如图所示，取PD 中点E.连接EN 、AE 、MN.∵N 为PC 中点，∴EN 12AB ，∴EN AM ，∴四边形ENMA 为平行四边形，∴AE∥MN. 又∵AE 平面PAD ，MN 平面PAD ，∴MN∥平面PAD.20．（Ⅰ）因为PA AB ⊥，PA BC ⊥，所以PA ⊥平面ABC ， 又因为BD ⊂平面ABC ，所以PA BD ⊥．（Ⅱ）因为AB BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥， 由（Ⅰ）知，PA BD ⊥，所以BD ⊥平面PAC ． 所以平面BDE ⊥平面PAC ．（Ⅲ）因为PA ∥平面BDE ，平面PAC I 平面BDE DE =， 所以PA DE ∥．因为D 为AC 的中点，所以112DE PA ==，2BD DC == 由（Ⅰ）知，PA ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ． 所以三棱锥E BCD -的体积111363DBC V S DE BD DC DE ∆=⨯⨯=⋅⋅= 21解：（1）()f x Q 是R 上的奇函数()00f ∴=，得1a =（2）()f x 减函数，证明如下：设12,x x 是R 上任意两个实数，且12x x <，()()12121221212121x x x x f x f x -+-+-=-++ ()()()()()()211212211221122121x x x x x x +--+-=++()()()21122222121x x x x -=++12x x <Q 2122x x ∴>，即21220x x ->， 1210x +>，2210x +>()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >()f x ∴在R 上是减函数 （3）Q 不等式()3log 104mf f ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭恒成立 ()3log 14m f f ⎛⎫∴>-- ⎪⎝⎭()f x Q 是奇函数 ()()11f f ∴--=即不等式()3log 14m f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭恒成立又Q ()f x 在R 上是减函数∴不等式3log 14m<恒成立 当01m <<时，得34m < 304m ∴<<当1m >时，得34m > 1m ∴>综上，实数m 的取值范围是()30,1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U。

长安一中2020～2021学年度第一学期第二次质量检测高三年级 数学（文科）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 全集{}{}{}213,13,20U x Z x A x Z x B x Z x x =∈-≤≤=∈-<<=∈--≤，则()U C A B =（ ）A.{}1-B.{}1,2-C.{}12x x -<< D.{}12x x -≤≤2．设p ∶10||2x <-，q ∶260x x +-<，则p 是q 的 ( ) A 充要条件. B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件3. 圆2220x y x +-=上的动点P 到直线30x y --=的最短距离为（ ）A.2B.2C.21+D. 21-4.一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.24π+B.28π+C.44π+D.48π+ 5.函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到x x g 2sin )(=的图像，则只要将()f x 的图像 ( )A ．向右平移6π个长度单位 B ．向右平移12π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移12π个长度单位 6. 从某商场十月份30天每天的销售额记录中任取10天的销售额记录（单位：万元），用茎叶图表示如图，则由此估计该商场该月份销售总额约为（ ）A. 240万元B. 540万元C. 720万元D. 900万元7. 函数)(x f y =满足 (2)()f x f x +=-，当(]2,2x ∈-时，2()1f x x =-，则()f x 在[0,2020]上零点值的个数为（ ） A.1009 B.1010 C.2019 D.2020 8. 函数y ＝lncos x (-2π＜x ＜)2π的图象是( )2006419832109. 数列{}n a 满足)(11,211++∈-+==N n a a a a nnn ，则2021321...a a a a ⋅⋅⋅⋅的值为( ) A. 2 B. -6 C. 3 D. 110.B A ,是过抛物线y x 42=的焦点的动弦，直线21,l l 是抛物线两条分别切于B A ,的切线，则21,l l 的交点的纵坐标为（ ）A.1-B. 4-C. 14-D. 116- 11. 已知ABC ∆中 ，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AH 为BC 边上的高， 以下结论: ① ()0AH AC AB ⋅-=；② 0AB BC ABC ⋅<⇒∆为锐角三角形；③ ||AHAC AH ⋅sin c B =；④ 22()2cos BC AC AB b c bc A ⋅-=+-其中正确的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 412.已知函数32()(,,)f x x ax bx c a b c R =+++∈，若函数)(x f 在区间[1,0]-上是单调减函数，则22b a +的最小值为( )A ．54 B ．57 C ．59 D ．511第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

12021届陕西省西安市长安区第一中学高三上学期第二次检测数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．已知全集U =R ，集合A ={x|−2<x <2},B ={x|(x +1)(x −3)>0}，则A ∩B 等于 A ．(−1,2) B ．(−2,−1] C ．(−2,−1) D ．(2,3) 2．已知i 为虚数单位，若复数z =1−ti 1+i在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为A ．[−1,1]B ．(−1,1)C ．(−∞,−1)D ．(1,+∞)3．要计算1+12+13+⋯+12017的结果，如图程序框图中的判断框内可以填A ．n ＜2017B ．n ≤2017C ．n ＞2017D ．n ≥20174．2017年3月2日至16日，全国两会在北京召开，甲、乙两市近5年与会代表名额数统计如图所示，设甲、乙的数据平均数分别为x 1,x 2，中位数分别为y 1，y 2，则A ．x 1>x 2，y 1＞y 2B ．x 1>x 2，y 1=y 2C ．x 1<x 2，y 1=y 2D ．x 1<x 2，y 1＜y 25．已知函数f (x )={m −3x ,x ≤0−x 2,x >0给出下列两个命题，p ：存在m ∈(−∞,0)，使得方程f （x ）=0有实数解；q ：当m =13时，f （f （1））=0，则下列命题为真命题的是A ．p ∧qB ．（￢p ）∧qC ．p ∧（￢q ）D ．p ∨（￢q ） 6．若方程x 2k−2−y 25−k=1表示双曲线，则实数k 的取值范围是A ．2<k <5B ．k >5C ．k <2或k >5D ．以上答案均不对 7．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为A ．2π3B ．π3C ．2π9D ．16π98．如图所示，已知菱形ABCD 是由等边△ABD 与等边△BCD 拼接而成，两个小圆与△ABD 以及△BCD 分别相切，则往菱形ABCD 内投掷一个点，该点落在阴影部分内的概率为A ．√39πB ．√318πC ．√3π18D ．√3π99．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足当x ≥0时，f (x )=log (x +2)2+x +b ，则|f (x )|>3的解集为A ．(−∞,−2)∪(2,+∞)B ．(−∞,−4)∪(4,+∞)C ．(−2,2)D ．(−4,4) 10．将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为 A ．72 B ．120 C ．192 D ．240 11．椭圆x 25+y 24=1的左焦点为F ，直线x =a 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是A ．√55 B ．6√55C ．8√55D ．4√55此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号2 12．定义在R 上的函数f(x)满足f(x +2)=2f(x)，且当x ∈[2,4]时，f(x)={−x 2+4x,2≤x ≤3,x 2+2x,3<x ≤4,g(x)=ax +1，对∀x 1∈[−2,0]，∃x 2∈[−2,1]，使得g(x 2)=f(x 1)，则实数a 的取值范围为A ．(−∞,−18)∪[18,+∞) B ．[−14,0)∪(0,18] C ．(0,8] D ．(−∞,−14]∪[18,+∞)二、填空题13．正项等比数列{a n }中，a 1+a 4+a =72,a 3+a 6+a 9=18，则{a n } 的前9项和S 9=_____．14．面积为4√3的等边三角形ABC 中，D 是AB 边上靠近B 的三等分点，则CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =_____． 15．已知实数x ，y 满足不等式组{x −y −2≤0,x +2y −5≥0,y −2≤0,且z =2x −y 的最大值为a ，则∫acos2x 2d x π=_____．16．等腰△ABC 中，AB =AC ，BD 为AC 边上的中线，且BD =3，则△ABC 的面积最大值为_____．三、解答题17．已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，2sin 7π6sin (π6+C )+cosC =−12（1）求C ；（2）若c =√13，且△ABC 面积为3√3，求sinA +sinB 的值．18．如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB =2，∠BAD =60°．（1）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；（2）若PA =AB ，求PC 与平面PBD 所成角的正弦值．19．大学生小王自主创业，在乡下承包了一块耕地种植某种水果，每季投入2万元，根据以往的经验，每季收获的此种水果能全部售完，且水果的市场价格和这块地上的产量具有随机性，互不影响，具体情况如表：（1）设X 表示在这块地种植此水果一季的利润，求X 的分布列及期望； （2）在销售收入超过5万元的情况下，利润超过5万元的概率．20．已知椭圆：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，圆x 2+y 2−2y =0的圆心与椭圆C 的上顶点重合，点P 的纵坐标为53．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若斜率为2的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，探究：在椭圆C 上是否存在一点Q ，使得PA⃑⃑⃑⃑⃑ =BQ ⃑⃑⃑⃑⃑ ，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 21．已知函数f (x )=xlnx −x , g (x )=a2x 2−ax (a ∈R )．（1）若f (x )和g (x )在（0，+∞）有相同的单调区间，求a 的取值范围；（2）令ℎ(x )=f (x )−g (x )−ax (a ∈R )，若ℎ(x )在定义域内有两个不同的极值点． ①求a 的取值范围；②设两个极值点分别为x 1,x 2，证明：x 1⋅x 2>e 2．22．已知曲线C 的极坐标方程是ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ−12，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为{x =2−12ty =1+√32t(t 为参数）. （1）写出直线l 的一般方程与曲线C 的直角坐标方程，并判断它们的位置关系；（2）将曲线C 向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到曲线D ，设曲线D 经过伸缩变换{x′=x,y′=2y,得到曲线E ，设曲线E 上任一点为M (x,y )，求√3x +12y 的取值范围.23．设函数f (x )=|x −a |,a ∈R . （1）当a =5时，解不等式f (x )≤3；（2）当a =1时，若∃x ∈R ，使得不等式f (x −1)+f (2x )≤1−2m 成立，求实数m 的取值范围2019届陕西省西安市长安区第一中学高三上学期第二次检测数学（理）试题数学答案参考答案1．C【解析】【分析】先求得集合B元素的取值范围，然后求A,B的交集.【详解】对于集合B，解集为{x|x<−1,x>3}，所以A∩B=(−2,−1).所以选C.【点睛】本小题考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的求法，考查运算求解能力，属于基础题. 2．B【解析】由题z=1-ti1+i =(1-ti)(1-i)(1+i)(1-i)=1-t2-1+t2i．又对应复平面的点在第四象限，可知1−t2>0且−1+t2<0，解得−1<t<1．故本题答案选B．3．B【解析】从算法流程图中提供的运算程序可知：当n=2017时，运算程序结束，所以判断框内应填n≤2017，应选答案B。

长安一中2020—2021学年度第一学期第一次质量检测高三年级数学(文科)一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数2(23)(1)z x x x i =+-+-为纯虚数，则实数x 的值为 A. 3 B. 1C. -3D. 1或-3C试题分析：由题意得2230{10x x x +-=-≠3x ∴=- 考点：纯虚数概念点评：a bi +是纯虚数需满足0,0a b =≠2. 已知数列{}n a 为等差数列，若1598a a a ++=π，则()28cos +a a 的值为（ ）A. -12B. C.12D.2A利用等差数列的性质可知,1952a a a += ,求出5a ,再由2852a a a +=即可求解. ∵数列{}n a 为等差数列，1598a a a ++=π， ∴由等差数列的性质可得,1952a a a +=， 所以538a π=，即583a π=, 因为2852a a a +=,所以28163a a π+=， ∴281621cos()cos cos 332a a ππ+===-. 故选：A本题考查等差数列的性质和三角函数的诱导公式;属于基础题.3. 若椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为22221y x a b -=的离心率为（ ）A. B.C.D. 2B利用椭圆的离心率，可得a ，b 的关系，然后转化求解双曲线的离心率即可．解：椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，可得22234a b a -=，即12b a =， 双曲线22221y x a b-=的离心率为：2221514c a b a a +==+=． 故选：B ．4. 函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，2πϕ<)的图象如图所示，为了得到()sin 2g x x =的图像，则只需将()f x 的图像（ ）A. 向右平移6π个长度单位 B. 向右平移12π个长度单位 C. 向左平移6π个长度单位 D. 向左平移12π个长度单位A由图计算A 和ω，再将712x π=代入()()sin f x A x ωϕ=+计算得ϕ，所以可得 ()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后即可判断出函数()g x 是由函数()f x 向右平移6π个单位得到.由图可知，1A =，44T π=，得T π=，所以22πωπ==，将712x π=代入可得， 7322,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，得23k πϕπ=+，又2πϕ<，所以3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，为了得到()sin 2g x x =，所以将函数()f x 向右平移6π个单位.故选：A.5. 设p ∶2102x x -<-，q ∶260x x +->，则p 是q 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件B试题分析：不等式2102x x -<-的解集为()()(),21,11,-∞-⋃-⋃+∞，不等式260x x +->的解集为()(),32,-∞-⋃+∞，命题q 的解集是命题p 的解集的真子集，所以p 是q 的必要不充分条件考点：解不等式及充分条件与必要条件点评：若p q ⇒则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件 6. 函数21()log f x x x=-的零点所在区间（ ） A. (1,2) B. (2,3)C. 1(0,)2D. 1(2，1)A根据函数零点存在性定理即可得到结论.函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且函数()f x 单调递增，f （1）2log 1110=-=-<，f （2）2111log 210222=-=-=>， ∴在(1,2)内函数()f x 存在零点，故选：A .本题主要考查函数零点存在区间的判断，根据函数的单调性以及函数零点的判断条件是解决本题的关键.7. 执行如图所示的程序框图，输出的S =（ ）A. 5100B. 2550C. 5050D. 100B由程序框图确定框图功能，再利用求和公式求和. 由程序框图可知246...100S =++++， 根据等差数列求和公式可知()50210025502S +==. 故选：B8. 已知直线x y a +=与圆224x y +=交于,A B 两点，且OA OB OA OB +=-（其中O 为坐标原点），则实数a 的值为 A. 2 B. 6C. 2或2-D. 6或6-C分析：利用OA ⊥OB ，OA=OB ，可得出三角形AOB 为等腰直角三角形，由圆的标准方程得到圆心坐标与半径R ，可得出AB ，求出AB 的长，圆心到直线y=﹣x+a 的距离为AB 的一半，利用点到直线的距离公式列出关于a 的方程，求出方程的解即可得到实数a 的值． 详解：∵OA ⊥OB ，OA=OB ， ∴△AOB 为等腰直角三角形， 又圆心坐标为（0，0），半径R=2， ∴AB=222R =∴圆心到直线y=﹣x+a 的距离d=12AB=2=2，∴|a|=2， ∴a=±2． 故答案为C ．点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理和垂径定理.9. 已知22a ＜＜，则函数22()2f x a x x =--+的零点个数是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4D将问题转化为求解函数22y a x =-和2y x =-的图象在同一坐标系内有几个交点，采用数形结合法，画出两个函数的图象，根据图象判断即可．当22()20f x a x x =--+=时，222a x x -=-，即只需求解函数22y a x =-和2y x =-的图象有几个交点即可，如图所示，函数22y a x =-的图象为圆心在原点，半径为a 的上半圆， 又原点()0,0到直线2y x =-的距离为2a <，所以当22a ＜＜时，函数函数22y a x =-和2y x =-的图象有4个交点， 即函数22()2f x a x x =--+零点的个数为4． 故选：D ．本题考查函数零点个数的判断，一把地判断函数零点的个数的解答方法有： （1）直接法：令()0f x =直接求解，判断方程的根的个数；（2）利用零点的存在性定理：若函数()f x 在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，则可结合函数的图象与性质判断函数零点的个数；（3）数形结合法：作出函数图象，利用函数图象交点的个数判断．10. 在抛物线()250y x ax a =+-≠上取横坐标为14x =-，22x =的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与该抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线的顶点坐标是（ ） A. ()2,9-- B. ()0,5- C. ()2,9- D. ()1,6-A求出两个点的坐标，利用两点连线的斜率公式求出割线的斜率；利用导数在切点处的值为切线的斜率求出切点坐标；利用直线方程的点斜式求出直线方程；利用直线与圆相切的条件求出a ，求出抛物线的顶点坐标．解：两点坐标为(4,114)a --；(2,21)a -， 两点连线的斜率11421242a a a --+==---，对于25y x ax =+-，2y x a '=+，22x a a ∴+=-解得1x =-，在抛物线上的切点为(1,4)a ---， 切线方程为(2)60a x y ---=，该切线与圆相切，圆心(0,0)到直线的距离=圆半径，=解得4a =或0(0舍去），抛物线方程为245y x x =+-顶点坐标为(2,9)--． 故选：A ．本题考查两点连线的斜率公式、考查导数在切点处的值为切线的斜率、考查直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径．11. 已知点12,F F 是椭圆2222x y +=的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12PF PF +的最小值是（ ）A. 2B. 22C. 0D. 1A椭圆2222x y +=，即为2212x y +=，则椭圆的2,1a b ==，则由OP 为12PF F ∆的中线，即有()1212PO PF PF =+，则122PF PF PO +=，可设(),P x y ，则2212x y +=，即有2222211122x x PO x y x =+=+-=+≥，当0x =时，取得最小值1，则12PF PF +的最小值为2，故选A.12. 已知函数()f x 对任意x R ∈都有(4)()2(2)f x f x f +-=，若(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称，且(1)2f =，则(2013)f = A. 2 B. 3 C. 4 D. 0A试题分析：由(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称知函数()f x 为偶函数，当2x =-时，(2)0f =，所以(4)()f x f x +=，函数的周期为4，所以(2013)(50341)(1)2f f f =⨯+==.考点：1.函数的周期性；2.函数的奇偶性；3.赋值法求值.二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填写在题中的横线上. 13. 下图中的三个直角三角形是一个体积为320cm 的几何体的三视图，则h =______cm .4由三视图可知，几何体的底面为直角三角形，且一边垂直于底面，再根据公式求解即可． 解：根据三视图可知，几何体的体积为：1156532V h h =⨯⨯⨯⨯= 又因为20V =，所以4h =故答案为：4 14. 已知222233+=，333388+=，44441515+=，，类比这些等式，若88a ab b+=（a ，b 均为正整数），则a b +=________. 71 2222223321+==-，23333338831+==-244444151541+==-利用归纳推理求解. 2222223321+==-23333338831+==-244444151541+==-……， 288881a b +=- 所以8,63a b == 所以71a b += 故答案为：71本题主要考查归纳推理，属于基础题.15. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且2c =，60C =︒，则sin sin a bA B +=+__________.433根据正弦定理边角互化，计算求值.根据正弦定理可知2sin a R A =，2sin b R B =，所以()2sin sin 2sin sin sin sin R A B a bR A B A B++==++，而432sin 33c RC ===， 所以43sin sin a b A B +=+. 故答案为：43316. 函数()()210()2ln 0x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩的零点个数为_________.2分段求函数零点个数，当0x >时，利用零点存在性定理判断. 当0x ≤时，210x -=，解得：1x =-，当0x >时，()2ln f x x x =-+单调递增，并且()112ln110f =-+=-<，()222ln 20f =-+>，()()120f f <，所以在区间()1,2内必有一个零点，所以零点个数为2个. 故答案：2三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知函数2()2sin()cos()23cos ()3222f x x x x ααα=++++-偶函数， 且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若x 为三角形 ABC 的一个内角，求满足()1f x =的 x 的值. （Ⅰ）6πα=（Ⅱ）566x x ππ==或 试题分析：（Ⅰ）2()2sin()cos()23()3222f x x x x ααα=++++sin(2)3)2sin(2)3x x x πααα=++=++由()f x 为偶函数得,32k k Z ππαπ+=+∈,6k k Z παπ∴=+∈ 又 [0,]6παπα∈∴=（Ⅱ）由()1f x = 得 1cos 22x =,又 x 为三角形内角，(0,)x π∈ 566x x ππ∴==或 考点：三角函数二倍角公式，函数奇偶性点评：基本公式的考查，难度不大，要求学生熟记掌握的基础上加强练习18. . 如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面， 2,22AD PA CD ===，E 、F 分别是AB 、PD 的中点.（1）求证：平面PCE ⊥平面PCD ； （2）求三棱锥P-EFC 的体积． （Ⅰ）见解析；(Ⅱ）22试题分析：（Ⅰ）2,PA AD AF PD ==∴⊥PA ABCD CD ABCD ∴⊥⊆平面，平面,PA CDAD CD PA AD A CD PAD AF PAD AF CDPD CD D AF PCD GE PCD GE PEC PCE PCD ∴⊥⊥⋂=∴⊥⊆∴⊥⋂=∴⊥∴⊥⊆∴⊥，平面，平面，，平面，平面，平面，平面平面；（Ⅱ）由（2）知GE PCD EG PEFC ⊥平面，所以为四面体的高，//12122133PCF PCF GF CD GF PDEG AF GF CD S PD GF PEFC V S EG ∆∆⊥=====⋅==⋅=又，所以得四面体的体积 考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，体积计算．点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离的计算．在计算问题中，有“几何法”和“向量法”．利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用向量则能简化证明过程．19. 数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意*n N ∈，总有n a ，n S ，2n a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1n nT n >+. （1）()*n a n n N =∈；（2）证明见解析.（1）根据对于任意*n N ∈，总有n a ，n S ，2n a 成等差数列，得到对于*n N ∈，总有22n n nS a a =+成立，然后利用数列通项与前n 项和的关系11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解.（2）由（1）知21n b n =，又21111(1)1n n n n n >=-++，然后利用裂项相消法求解.（1）因对于*n N ∈，总有22n n n S a a =+①成立∴()211122n n n S a a n ---+≥=②①-②得22112n n n n n a a a a a --=+--，∴()()111n n n n n n a a a a a a ---+=+-，∵n a ，1n a -均为正数，∴()112n n a a n --=≥， ∴数列{}n a 是公差为1的等差数列， 又1n =时，21112S a a =+，解得11a =，∴()*n a n n N =∈.（2）由（1）可知21n b n =， ∵21111(1)1n n n n n >=-++， ∴11111122311n n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 方法点睛：求数列的前n 项和的方法 (1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．20. 已知ABC 的边AB 所在直线的方程为360x y --=，()2,0M 满足BM MC =，点()1,1T -在AC 所在直线上且0AT AB ⋅=.（1）求ABC 外接圆的方程；（2）一动圆过点()2,0N -，且与ABC 的外接圆外切，求此动圆圆心的轨迹Γ的方程； （3）过点A 斜率为k 的直线与曲线Γ交于相异的P ，Q 两点，满足6OP OQ ⋅>，求k 的取值范围.（1）()2228x y -+=；（2）221(0)22x y x -=<；（3）()2,1-.（1）可由垂直关系求出直线AC 的斜率和方程，与AB 方程联立可求出圆上一点A 的坐标.直角三角形外心就是斜边的中点M .求出半径即可得外接圆方程.（2）分析线段间的关系，满足22PM PN -=.（3）考查直线与双曲线的位置关系.联立方程后，列出所有要满足的条件，求范围即可. 解：（1）∵0AT AB ⋅=，∴AT AB ⊥，从而直线AC 的斜率为-3. 所以AC 边所在直线的方程为()131y x -=-+.即320x y ++=.由360320x y x y --=⎧⎨++=⎩，得点A 的坐标为()0,2-， ∵BM MC =，∴()2,0M 为Rt ABC 外接圆的圆心， 又()()22200222r AM ==-++=.所以ABC 外接圆的方程为：()2228x y -+=.（2）设动圆圆心为P ，因为动圆过点N ，且与ABC 外接圆M 外切， 所以22PM PN =+22PM PN -=故点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，实轴长为22c =的双曲线的左支.从而动圆圆心的轨迹方程Γ为221(0)22x y x -=<.（3）PQ 直线方程为：2y kx =-，设()11,P x y ，()22,Q x y ，由222(0)2x y x y kx ⎧-=<⎨=-⎩得()221460(0)k x kx x -+-=<， ∴()222122122212122101624104016012261k k k k x x k x x k k OP OQ x x y y k ⎧-≠⎪∆=+->⎪⎪⎪+=<⎪-⎨⎪=>⎪-⎪+⎪⋅=+=>⎪-⎩，解得：1k <<-. 故k的取值范围为()1-. 求轨迹方程的一般方法：1.直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标(),x y 表示该等量关系式，即可得到轨迹方程.2.定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程.3.参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标,x y 与该参数t 的函数关系()(),x f t y g t ==，进而通过消参化为轨迹的普通方程(),0F x y =.4.代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点'P 的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出(),P x y ，用(),x y 表示出相关点P'的坐标，然后把'P 的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。

陕西省西安市长安一中【最新】高三上学期第一次质量检测数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}11A x N x =∈-<≤，{}11B x Z x =∈-≤<，则AB =（ ） A ．{}1,0- B ．∅C ．{}0D ．()1,1- 2．已知复数1i z =--（i 为虚数单位），z 为复数z 的共轭复数，则2z z +的虚部为（ ） A ．i B ．3 C ．1 D ．3i 3．如图，有四个形状的游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，要想增加中奖机会，则应选择的游戏盘是（ ） A ． B ． C ．D ．4．已知著名的狄利克雷函数()1,0,R x Q f x x Q ∈⎧=⎨∈⎩，其中R 为实数集，Q 为有理数集，若m R ∈，则()()()ff f m 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．无法求5．以()0,02p F p ⎛⎫> ⎪⎝⎭为焦点的抛物线C 的准线与双曲线()2220x y a a -=>两条渐近线相交于M 、N 两点，若OMN ∆的面积为4，则抛物线C 的标准方程为（ ）A ．28y x =B ．28x yC ．24x y =D ．28x y = 6．已知,x y 的对应值表为：且,x y 线性相关，由于表格污损，y 的对应值看不到了，若6119.2i i y==∑，且线性回归直线方程为0.6y x a =+，则8x =时，y 的预报值为（ ）A ．6.1B ．22.1C ．12.6D ．3.57．则判断框中应填入（ ）A ．1i ≥B ．5i ≤C ．5i >D ．7i ≤8．已知命题:p x R ∀∈，40x x +≥，则下列判断正确的是（ ）A ．:p x R ⌝∀∈，40x x +<是真命题B ．:p x R ⌝∀∈，40x x +≤是假命题C ．0:p x R ⌝∃∈，4000x x +≥是真命题D ．0:p x R ⌝∃∈，4000x x +<是假命题 9．如图所示，是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．83π- B ．283π- C ．8π- D ．82π-10．已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且面积2S =，2c a=，则角B 等于（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π11．已知函数()2cos 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，将()f x 的图象向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象，()g x 的图象与y 轴交于点A ，与x 轴在y 右侧的第一个交点为B ，则AOB ∆（O 为坐标原点）的面积为（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．1412．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点为1F 、2F ，O 为坐标原点，M 为椭圆上一点，1F M 与y 轴交于一点N ，且2OM OF ==，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．13BCD 1二、填空题13．已知平面内的点()2,0A ，(),B x y ，()1,3C，若四边形OABC （O 为坐标原点）是平行四边形，则向量OB 的模为______. 14．设不等式组11y x y x ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩表示的平面区域为M ，则M 的面积是______. 15．sin 75tan195=______.16．已知函数()1y f x =-的图象关于()1,0对称，且函数()y f x =在[)0,+∞上单调递减，若[]1,x e ∈时，不等式()()()2ln 121ln 12f m x f f x m --≤++-恒成立，则实数m 的取值范围是______.三、解答题17．在“互联网+”时代的今天，移动互联快速发展，智能手机（Smartphone ）技术不断成熟，尤其在5G 领域，华为更以1970件专利数排名世界第一，打破了以往由美、英、日垄断的前三位置，再次荣耀世界，而华为的价格却不断下降，远低于苹果；智能手机成为了生活中必不可少的工具，学生是对新事物和新潮流反应最快的一个群体之一，越来越多的学生在学校里使用手机，为了解手机在学生中的使用情况，对某学校高二年级100名同学使用手机的情况进行调查，针对调查中获得的“每天平均使用手机进行娱乐活动的时间”进行分组整理得到如下的数据：（1）求表中a 的值；（2）从该学校随机选取一名同学，能否根据题目中所给信息估计出这名学生每天平均使用手机进行娱乐活动小于3.5小时的概率？若能，请算出这个概率；若不能，请说明理由；（3）若从使用手机1小时和7小时的两组中任取两人，调查问卷，看看他们对使用手机进行娱乐活动的看法，求这2人都使用7小时的概率.18．已知数列{}n a ，{}n b ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2n S n =，12b =，1112n n b a a b a +=+-.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若n T 是数列{}n b 的前n 项和，是否存在正整数n ，使2019n n S T +=，若存在，求出正整数n 的值；若不存在，说明理由.19．如图，在半圆柱W 中，12,O O 分别为两底面半圆的圆心，平面ABCD 是半圆柱的轴截面，M 、N 分别是两底面半圆弧的中点.（1）求证：平面BMC ⊥平面2MNO ；（2）求半圆柱的体积与四棱锥M ABCD -的体积的比值.20．已知函数()()1x f x x e =-，()()21g x a x =+，a R ∈. （1）令()()()h x f x g x =+，若函数()h x 在点()()0,0h 处的切线方程为2y kx =+，求函数()h x 的单调区间；（2）当1a =时，令()()()ln F x g x g x t x '=-+（t 为常数），若函数()F x 有两个极值点(),m n m n <，求证：()11ln 2042F n -<<. 21．已知圆()22:11F x y +-=，动点(),M x y ()0y ≥，线段FM 与圆F 交于点N ，MH x ⊥轴，垂足为H ，MN MH =.（1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）设()()000,2P x y y >为曲线C 上的一点，过点P 作圆F 的两条切线，12,k k 分别为两切线的斜率，若12311k k =，求点P 的坐标. 22．直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为24x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆2C 的极坐标方程为24cos 2sin 40ρρθρθ+-+=.（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）过曲线2C 的圆心且倾斜角为4π的直线l 交曲线1C 于A 、B 两点，求22C A C B ⋅的值.23．已知函数()223x a a f x x -+++=. （1）当0a =时，若()f x m ≥恒成立，求m 的最大值；（2）()15f -<，求实数a 的取值范围.参考答案1．C【分析】化简集合A，B，求交集即可.【详解】{}{}110,1A x N x=∈-<≤=，{}11={1,0}B x Z x=∈-≤<-，{0}A B∴=，故选：C.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题.2．B【分析】根据复数的乘法及加法运算化简，由复数概念即可求解.【详解】1iz=--,22(1)(1)13z z i i i∴+=--+-+=-+,∴复数的虚部为3，故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的运算，复数的概念，属于容易题.3．B【分析】根据几何概型的概率公式，要使中奖率增加，则转盘的阴影面积与转盘面积比最大即可．【详解】根据几何概型的概率公式可知，中奖的概率等于阴影部分面积与游戏转盘面积之比，由图形知，则A转盘的中奖概率小于12，B转盘的中奖概率是34，C转盘的中奖概率是58，D转盘的中奖概率是23，故选：B．【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，属于容易题．4．B【分析】分别讨论m Q ∈和R m Q ∈可求解．【详解】若m Q ∈，则()1f m =，()()()()()()111f f f m f f f ∴===，若R m Q ∈，则()0f m =， ()()()()()()011f f f m f f f ∴===，故选：B ．【点睛】本题以狄利克雷函数为载体，考查了函数的概念与性质的应用问题，属于容易题. 5．D【分析】根据抛物线的准线方程，以及双曲线的渐近线方程，得出OMN 为等腰直角三角形，根据面积为4列式计算，得出p 的值，即可得出抛物线的标准方程．【详解】抛物线C 的准线为2p y =-，双曲线222(0)x y a a -=>， 两条渐近线为y x =±， OMN ∴为等腰直角三角形， 则2114224OMN p S p p =⋅⋅==， 4p ∴=，抛物线C 的标准方程为28x y =，故选：D ．【点睛】本题主要考查了双曲线和抛物线的性质及几何意义，属于容易题．6．A【分析】 求出,x y ，由线性回归方程必经过点（,x y ）即得a ，代入8x =求解即可.【详解】 由表格知，196x =，6119.2i i y ==∑3.2y ∴=，代入0.6y x a =+得：193.20.66a =⨯+，1.3a ∴=，则回归方程为0.6 1.3y x =+，当8x =时，0.68 1.3 6.1y =⨯+=，故选：A ．【点睛】本题主要考查了线性回归方程，线性回归方程的性质、应用，属于中档题. 7．B【分析】根据框图，模拟程序的运算即可求解.【详解】由程序框图得，S =1i =，满足条件得S =3i =，满足条件得S =5i =，满足条件S =，7i =，否，输出S 的值，结束程序，因此判断框应该是5i ≤，故选：B ．【点睛】本题主要考查了算法的程序框图，基本逻辑结构中的循环结构，属中档题.8．D【分析】根据命题p 的真假及含量词的命题的否定即可求解.【详解】命题p 是真命题，p ∴⌝是假命题，且命题的否定为：，4000x x +<， 故选：D .【点睛】 本题考查了全称量词命题的否定及真假判定,属于容易题.9．B【分析】根据三视图可得几何体的形状及数据，计算即可求值.【详解】由三视图知，该几何体为一个正方体挖去两个半圆锥得到的几何体，∴体积为3211222128323V ππ=-⨯⨯⋅⨯=-， 故选：B ．【点睛】本题考查由三视图求体积，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键属于中档题. 10．C【分析】由三角形面积公式得211csin sin24S a B c B ==，又由2S =可得221sin4c B =化简得sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭即可． 【详解】2c a=， 211csin sin 24S a B c B ∴==，又2S =，221sin4c B ∴= 即221sin4c B =，cos 2B B +=，sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 7666B πππ<+<， 62B ππ∴+=，则3B π=，故选：C ． 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，辅助角公式，三角形面积公式，考查运算化简的能力，属于中档题． 11．A 【分析】根据题目条件，逐步分析，首先得出()f x 的解析式，再变换为()g x 的解析式，求出点A 、B ，易得AOB 的面积． 【详解】由题设知，()f x 的周期为π，22ππωω∴=⇒=，则()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向右平移6π个单位得到，()2cos 22cos 263g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ()02g ∴=，即()0,2A ，()g x 的图象与x 轴在y 右侧的第一个交点为B ，,04B π⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，1122244AOBSOA OB ππ=⋅=⨯⨯=， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了函数sin()y A x ωϕ=+的图像与性质，属于中档题． 12．D 【分析】由椭圆的性质可先求得3ON =，故可得130NF O ∠=︒，再由椭圆的定义得a ，c 的关系，故可得答案． 【详解】21||OM OF OF ==，1290F MF ∴∠=︒，又2OF =，3ON c ∴=，则11tan ON NFO OF ∠==， 130NF O ∴∠=︒，则2MF c =，1MF =，2c a +=， 1e ∴=，故选：D . 【点睛】本题主要考查椭圆的离心率，考查椭圆定义的运用，属于中档题. 13．【分析】由OB OA OC =+得出向量的坐标，再求模即可． 【详解】由向量的平行四边形法则知，()()()2,01,33,3OB OA OC =+=+=，23OB ∴==故答案为： 【点睛】本题考查了向量的模和平面向量的坐标运算，属于容易题. 14．2 【分析】作出不等式组所表示的区域，即可求解. 【详解】作出不等式组11y x y x ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩表示的可行域如图所示，则M 为正方形ABCD ，M ∴的面积是2．故答案为：2． 【点睛】本题考查线性规划所表示的可行域面积问题，属于中档题．15．4【分析】根据诱导公式化简即可求值. 【详解】sin 75tan195cos15tan15sin15=︒︒=︒,sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 30︒=︒-︒=︒︒-︒︒=, 6sin 75tan195-∴=故答案为：4- 【点睛】本题主要考查了诱导公式，两角差的正弦公式，属于容易题. 16．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性，可得12ln 111ln 2m x m x --≥⇒≥+在[]1,x e ∈时恒成立，故解得m 的取值范围． 【详解】函数()1y f x =-的图象关于()1,0对称，∴函数()y f x =的图象关于()0,0对称，即函数()y f x =为奇函数，不等式()()()212112f m lnx f f lnx m --≤++-变为:()()()211221f m lnx f lnx m f ---+-≤，即()()()212121f m lnx f m lnx f --+--≤，()()211f m lnx f --≤，又()f x 函数在[)0,+∞上单调递减，()f x ∴在R 上单调递减，则12ln 111ln 2m x m x --≥⇒≥+在[]1,x e ∈时恒成立， 11ln 2y x =+在[]1,e 上递增，max 131ln 22y e ∴=+=，故32m ≥．故答案为：3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，属于难题.17．（1）25％（2）抽取到高二的学生能估计，概率为0.53，抽取到高一高三的学生不能估计（3）115【分析】()1由已知易知100410311612225a =------=％％％％％％％％；()2分情况讨论，当抽到的是高二年级时可以估计，若抽到高一、高三的同学则不能估计；()3抽取6人中编号，写出所有基本事件，找出满足事件A 的结果数，求解．【详解】()1由题设知，100410311612225a =------=％％％％％％％％． ()2样本是从高二年级抽取的，∴根据抽取的样本只能估计该校高二年级学生每天使用手机进行娱乐活动的平均时间，不能估计全校学生情况．若抽取的同学是高二年级的学生，则可以估计这名同学每天平均使用手机小于3.5小时的概率大约为：0.040.10.310.080.53+++=；若抽到高一、高三的同学则不能估计；()3由题设知，使用1小时的人共有：10044⨯=％人，设为A ，B ，C ，D ，使用7小时的共有10022⨯=％人，设为a ，b ，从中任选2人有：AB ，AC ，AD ，Aa ，Ab ，BC ，BD ，Ba ，Bb ，CD ，Ca ，Cb ，Da ，Db ，ab 共15种情况，其中，这2人都使用7小时的只有ab ，∴所求概率为115P =．【点睛】本题考查样本估计总体，古典概型求概率，属容易题． 18．（1）24n b n =-+（2）存在正整数n 的值为673. 【分析】()1取1n =，2时求得首项1a ，2a ，代入1112n n b a a b a +=+-，整理得到数列{}n b 是等差数列，再求通项公式;()2由等差数列求和公式求得数列{}n b 的前n 项和为T n ，结合2n S n =，再带入数值可求． 【详解】()21n S n =，11a ∴=，221413a S S =-=-=，代入1112n n b a a b a +=+-得，12n n b b +=-，又12b =，∴数列{}n b 是以2为首项，以2-为公差的等差数列，故24n b n =-+；()2由()1知，()()12224322n n n b b n n T n n +-+===-，又2n S n =，2233n n S T n n n n ∴+=+-=，由2019n n S T +=得，32019n =，673n ∴=，故存在正整数n 的值为673． 【点睛】本题考查了数列递推式，考查了数列的函数特性，属于中档题． 19．（1）证明见解析（2）34π【分析】（1）由面面垂直的判定定理可得；（2）根据圆柱、四棱锥的体积公式计算即可求解. 【详解】()1证明：M 、N 分别是上下底面圆弧的中点，//MN AB ∴，又平面ABCD 是半圆柱的轴截面，∴四边形ABCD 是矩形，则BC AB ⊥，BC MN ∴⊥，2O 为底面半圆的圆心，N 是底面半圆弧的中点， 2BC O N ∴⊥，又2MN O N N ⋂=，BC ∴⊥平面2MNO ，BC BMC ⊂平面， ∴平面BMC ⊥平面2MNO ；()2设半圆柱的底面半径为r ，圆柱的高为AB ，∴半圆柱的体积为2112V r AB π=⋅，连结1MO ，由题设知，1MO ⊥平面ABCD ，∴四棱锥M ABCD -的体积为2211122333ABCD V S MO r AB r r AB =⋅=⋅⋅⋅=⋅， 则半圆柱的体积与四棱锥M ABCD -的体积的比值为：2122132243r AB V V r AB ππ⋅==⋅． 【点睛】本题考查了面面垂直的判定、棱柱、圆柱体积的计算，考查推理能力和计算能力，属中档题． 20．（1）单调递减区间(),0-∞和()2,ln +∞，单调递增区间()0,ln2（2）证明见解析 【分析】()1通过函数()h x 在点()()0,0h 处的切线方程求解的出()'2x h x xe x =-+，讨论x 的取值范围可确定()f x 的单调区间；()2函数()F x 由两个极值点m ，n 等价于()2220G x x x t =-+=有两个相异实根m ，n ，得出112n <<，()()222121222F n n n tlnn n n n n lnn =+-+=+-+-+，利用单调性即可证明不等式． 【详解】()1由题设知，()()()211x h x x e a x =-++，函数()h x 在点()()0,0h 处的切线方程为2y kx =+，∴(0)12h a =+=，即1a =()()()'1222x x x x h x e x e x xe x x e ∴=-+-+=-+=-，x ∈R ，令()'0h x =，则0x =或ln2x =，∴当0x <或ln 2x >时，()0h x '<，当0ln 2x <<时，()0h x '> ∴函数()h x 在(),0-∞和()2,ln +∞上单调递减，在()0,ln2上单调递增.() 2证明：当1a =时， ()21g x x =+，()212F x x x tlnx ∴=+-+，0x >，则()222'22t x x t F x x x x-+=-+=，0x >，令()222G x x x t =-+，则()G x 为开口向上且对称轴为12x =的抛物线， 由题设知，()0G x =在()0,∞+上有两个相异实根m ，()n m n <，102m >> 即2220n n t -+=且112n <<，222t n n ∴=-+，112n <<，()()222121222F n n n tlnn n n n n lnn =+-+=+-+-+，()()()'22422242F n n n lnn n n lnn ∴=-+-+-+=-+，112n <<， ()420n lnn ∴-+>，则函数()F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则()()112F F n F ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即()11ln2042F n -<<．【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题．21．（1）24x y =（2）()±【分析】()1利用抛物线的概念及标准方程直接得结论;()2 设过点P 的切线方程为()00y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=，则圆心()0,1F到切线的距离为1d ==，化简后利用根与系数的关系即可求解． 【详解】()1圆F 的圆心为()0,1F ，半径为1，1MF MN ∴=+，又MH x ⊥轴，垂足为H ，MN MH =，∴动点()(),0M x y y ≥到点()0,1F 等于到直线1y =-的距离．故动点()(),0M x y y ≥的轨迹是以()0,1F 为焦点的抛物线， 则12p=， 2p ∴=，则动点M 的轨迹C 的方程是24x y =；()2设过点P 的切线方程为()00y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=，则圆心()0,1F到切线的距离为1d ==，化简得，()()2220000012120x k x y k y y ---+-=，两切线斜率分别为1k ，2k ，200122021y yk k x -∴=-，由题设知，2002023111y y x -=-，又()00,P x y 为曲线C 上的一点， 由()1知，2004x y =，2000234111y y y -∴=-，即20113430y y -+=， 解得，0111y =或03y =， 02y >，03y ∴=，则0x =± ∴点P的坐标为()±．【点睛】本题考查了抛物线的概念及标准方程和定点与定值问题．属于中档题.22．（1）24y x =；22(2)(1)1x y ++-=（2）152【分析】()1消去参数及利用极坐标与直角坐标互化方法，写出曲线1C ，2C 的普通方程； ()2由直线l 的参数方程代入24y x =整理得22150t +=，再运用几何意义可得答案． 【详解】()1由24x t y t =⎧⎨=⎩消去参数t 得，曲线1C 的普通方程为24y x =； 222x y ρ=+，x cos ρθ=，y sin ρθ=，∴圆2C 的直角坐标方程为224240x y x y ++-+=，即22(2)(1)1x y ++-=；()2曲线2C 的圆心为()2,1-，直线l 的倾斜角为4π， ∴直线l的参数方程为2(1x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)， 将其代入24y x =整理得，221502t t -+=， 设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ， 则2212152C A C B t t ⋅==． 【点睛】本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查圆的标准方程的法，直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，属于中档题.23．（1）3（2）11a <<-+【分析】 ()1当0a =时，()3f x x x =++，根据绝对值三角不等式可得()3f x ≥，则3m ≤；()()221122f a a -=+++，原不等式即为24220a a -++<，讨论1a ≤-，1a >-两种情况分别求解即可．【详解】()1当0a =时，()3f x x x =++，()333x x x x ++≥-+=，()3f x ∴≥，则3m ≤，m 的最大值为3；()()22211123122f a a a a -=--+-++=+++， ()15f ∴-<即为24220a a -++<，当1a ≤-时，24220a a ---<，即2260a a --<，解得11a <<，11a ∴<-，当1a >-时，24220a a -++<，即2220a a +-<，解得11a -<<-11a ∴-<<-，综上，实数a 的取值范围是11a <<-+【点睛】本题考查绝对值不等式及不等式恒成立问题,属于中档题.。

长安一中2020～2021学年度第一学期第二次质量检测高三年级数学（文科）注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间100分钟．2.答题前，考生须将自己的学校、班级、姓名、学号填写在本试卷指定的位置上．3.选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．4.非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其他题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效． 第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.全集{}{}{}213,13,20U x Z x A x Z x B x Z x x =∈-≤≤=∈-<<=∈--≤，则()U C A B =（）A.{}1-B.{}1,2-C.{}12x x -<< D.{}12x x -≤≤ 2．设p ∶10||2x <-，q ∶260x x +-<，则p 是q 的() A 充要条件.B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件3.圆2220x y x +-=上的动点P 到直线30x y --=的最短距离为（） A.2B.2 C.21+ D.21-4.一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（） A.24π+ B.28π+ C.44π+ D.48π+5.函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到x x g 2sin )(=的图像，则只要将()f x 的图像()A ．向右平移6π个长度单位B ．向右平移12π个长度单位142214C ．向左平移6π个长度单位D ．向左平移12π个长度单位 6.从某商场十月份30天每天的销售额记录中任取10天的销售额记录（单位：万元），用茎叶图表示如图，则由此估计该商场该月份销售总额约为（） A.240万元B.540万元 C.720万元D.900万元7.函数)(x f y =满足(2)()f x f x +=-，当(]2,2x ∈-时，2()1f x x =-，则()f x 在[0,2020]上零点值的个数为（） A.1009B.1010 C.2019D.2020 8.函数y ＝lncosx(-2π＜x ＜)2π的图象是()9.数列{}n a 满足)(11,211++∈-+==N n a a a a nnn ，则2021321...a a a a ⋅⋅⋅⋅的值为() A.2B.-6C.3D.110.B A ,是过抛物线y x 42=的焦点的动弦，直线21,l l 是抛物线两条分别切于B A ,的切线，则21,l l 的交点的纵坐标为（） A.1- B.4- C.14-D.116- 11.已知中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AH 为BC 边上的高， 以下结论:①；②为锐角三角形； ③；④其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4ABC ∆()0AH AC AB ⋅-=0AB BC ABC ⋅<⇒∆||AHAC AH ⋅sin c B =22()2cos BC AC AB b c bc A ⋅-=+-020064198321012.已知函数32()(,,)f x x ax bx c a b c R =+++∈，若函数)(x f 在区间[1,0]-上是单调减函数，则22b a +的最小值为()A ．54B ．57C ．59D ．511第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

陕西省西安市长安区第一中学2020-2021学年高一上学期第二次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合22{(,)|}A x y x y x Z y Z =+≤∈∈4，，，则A 中元素的个数为（ ） A ．15B ．14C ．13D ．122．下列函数中，既是偶函数又在()0+∞，上递增的是（ ） A．y =B ．1y x x=+C ．()ln(2)ln(2)f x x x =++-D ．x y x e =+3．设函数()23xf x x =-，则在下列区间中使得()f x 有零点的是 A ．[]0,1 B ．[]1,2C ．[]2,1--D ．[]1,0-4．函数ln 2x y +=）A ．（－4，－2）B ．（－4，2）C ．（－2，1）D ．(2,1]－5．若lg lg 2-=x y ，则22lg lg 22⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x y （ ）A ．2B ．4C ．6D ．86．三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是 A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>7．函数()ln cos f x x =的一个递增区间为（ ） A ．02，B ．2ππ⎛⎫⎪⎝⎭， C ．32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭8．函数()2sin()26x f x π=+的周期为（ ） A ．πB ．2πC ．3πD ．4π9．函数f (x )=x 3+sin x +2(x ∈R )，若f (a )=4，则f (－a )的值为（ ） A ．3B ．0C ．－1D ．－210．设二次函数f (x )＝x 2－x ＋a (a >0)．若f (m )<0，则f (m －1)的值为( )A ．正数B ．负数C ．非负数D ．正数、负数和零都有可能11．比较大小，正确的是（ ）． A ．sin(5)sin3sin5-<< B ．sin(5)sin3sin5->> C ．sin3sin(5)sin5<-< D ．sin3sin(5)>sin5>-12．方程1sin x x π=-，()2,0x π∈-根的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．如果函数()f x 是定义在()3,3-上的奇函数，当03x <<时，函数()f x 的图象如图所示，那么不等式()cos 0f x x <的解集是A ．(3,)(0,1)(,3)22ππ--⋃⋃ B ．(,1)(0,1)(,3)22ππ--⋃⋃C ．(3,1)(0,1)(1,3)--⋃⋃D ．(3,)(0,1)(1,3)2π--⋃⋃14．对于实数x ，符号[x]表示不超过x 的最大整数，例如：[]3,[ 1.08]2π=-=-．如果定义函数()[]f x x x =-，那么下列命题中正确的一个是（ ） A ．(5)1f =B ．方程1()3f x =有且仅有一个解 C ．函数()f x 是周期函数 D ．函数()f x 是减函数二、填空题15．已知点(),x y 在映射:f A B →作用下的象是(),x y x y +-，x ∈R ，y R ∈，则点（5，1）的原象是________16．一个扇形的周长是9厘米，该扇形的圆心角是1弧度，该扇形的面积是___________ 17．已知1sin 83πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 8πα⎛⎫+=⎪⎝⎭_____.18．函数512sin (,)66y x x ππ=-∈-，的值域为_______19．已知函数()212log 26y x ax =-+在(,2)x ∈-∞上为增函数，则a 的范围为_______20．已知函数()f x 的定义域是R ,对任意,(2)()0x R f x f x ∈+-=,当[)1,1x ∈-时,()f x x =．关于函数()f x 给出下列四个命题：①函数()f x 是周期函数；②函数()f x 是奇函数；③函数()f x 的全部零点为2,x k k Z =∈；④当[)3,3x ∈-时,函数1()g x x=的图象与函数()f x 的图象有且只有三个公共点．其中真命题的序号为__________.三、解答题21．已知集合{}|2A x x a =-≤≤,{}|23,B y y x x A ==+∈,{}2|,C z z x x A ==∈，且C B ⊆,求a 的取值范围.22．已知α是第三象限角，且3sin()cos(2)sin()2()3cos()cos()2f ππαπαααππαα---+=---+.（1）化简()f α； （2）若31cos()25πα-=，求()f α的值； （3）若1860α=-，求()f α的值.23．是否存在实数a ，使得函数253sin cos 82y x a x a =++-在闭区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，若存在，求出对应的a 值，若不存在，请说明理由? 24．已知函数()f x x a =-.（1）若1a =，作出函数()f x 的图象； （2）当[]1,2x ∈，求函数()f x 的最小值；（3）若()()()22g x x x a f x =+-，求函数()g x 的最小值.参考答案1．C 【分析】根据列举法，确定圆及其内部整点个数即可得出结果. 【详解】224x y +≤ 24x ∴≤，x Z ∈2,1,0,1,2x ∴=--，当2x =-时，0y =； 当1x =-时，1,0,1y =-； 当0x =时，2,1,0,1,2y =-- 当1x =时，1,0,1y =-； 当2x =时，0y =； 所以共有13个， 故选：C. 2．A 【分析】根据偶函数的定义排除B 、D ，再由在()0+∞，上递增排除C ，即可求解. 【详解】对于A ，y =()0+∞，上递增，故A 选； 对于B ，1y x x=+，函数为奇函数，故B 不选； 对于C ，()ln(2)ln(2)f x x x =++-，函数为偶函数，定义域为()2,2-，在()0+∞，上不是递增，故C 不选； 对于D ，xy x e =+，函数为非奇非偶函数，故D 不选.故选：A. 3．D 【分析】由题意得()00f >，()10f -<，根据函数零点存在性定理可得出答案． 【详解】由()23x f x x =-，得()003010f =-=>，()1213103f --=-=-<， ()()0?10f f -<，根据函数零点存在性定理可得函数()f x 在区间[]1,0-上存在零点． 故选D. 【点睛】本题考查了函数零点存在性定理的应用，属于基础题． 4．C 【分析】要使函数有意义，只需220340x x x +>⎧⎨--+>⎩，解不等式即可求解.【详解】由题意可得220234041x x x x x +>>-⎧⎧⇒⎨⎨--+>-<<⎩⎩，即21x -<<，所以函数的定义域为()2,1-. 故选：C 5．B 【分析】化简lg lg lg 2-==x x y y ，再得22lg lg 2lg 22⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x y x y ，代入计算即可. 【详解】由题意，lg lg lg2-==xx y y，所以222224lg lg lg lg 2lg 4224⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭x y x x x y y y .故选：B 6．B 【详解】试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >；7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>，故正确答案为选项B ．考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法． 7．D 【分析】由复合函数的单调性可知求ln cos y x =的单调递增区间即为求cos t x =的单调递增区间，求出定义域，在定义域内求出单调递增区间即可. 【详解】解：ln y t =在()0,∞+上单调递增，所以ln cos y x =的单调递增区间即为cos t x =的单调递增区间；由条件可知cos 0x >，2,2,22x k k k Z ππππ⎛⎫∈-++∈ ⎪⎝⎭，cos t x ∴=的单调递增区间为2,2,2k k k Z πππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，所以ln cos y x =的一个单调递增区间为3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】知识点点睛：（1）复合函数的单调性，先判断内层函数和外层函数的单调性，然后再根据同增异减的原则判断即可；（2）对数型的复合函数，要注意函数的定义域. 8．D 【分析】根据正弦型函数最小正周期的结论即可得到结果.解：函数的最小正周期2412T ππ== ， 故选:D. 9．B 【分析】由函数的奇偶性可得()()3sin 2f a a a -=-++，由已知()4f a =可得3sin 2a a +=，从而可选出正确答案. 【详解】解：()()()3sin 2f a a a -=-+-+，因为3,sin y x y x ==在定义域内均为奇函数，所以()()()()333sin 2sin 2sin 2f a a a a a a a -=-+-+=--+=-++，由()3sin 24f a a a =++=，所以3sin 2a a +=，所以()220f a -=-+=，故选:B. 10．A 【分析】由函数解析式特点求出对称轴，代入相邻的对称的两个点0和1，判断函数值正负，可知使得函数值为负数的自变量范围小于1，由m 与m-1的差可判断函数值正负. 【详解】二次函数f (x )＝x 2－x ＋a (a >0)的对称轴是x ＝12，且f (0)＝f (1)＝a >0. 因为f (m )<0，所以m －1<0，所以f (m －1)>0. 【点睛】本题考查二次函数的对称轴与零点性质，要综合考虑，结合辅助图像会使得求解更加方便. 11．B 【分析】因为角5的终边位于第四象限，所以sin5是负值，然后利用诱导公式找到02，内与5-和3正弦值相等的角，根据第一象限正弦函数的单调性可得结论.因为3π52π2<<，所以sin50<． 而sin(5)sin(2π5)-=-，sin3sin(π3)=-， 由π0π32π52<-<-<，所以，sin(2π5)sin(π3)0->->． 综上，sin(5)sin(3)sin5->>，故选B ． 【点睛】本题考查了不等关系与不等式，考查了三角函数的诱导公式，同时考查了三角函数的单调性，属基础题． 12．B 【分析】画出sin y x =和1y x π=-的图像，比较特殊点，可知根的个数. 【详解】解： 在同一坐标系下分别画出sin y x =和1y x π=-的图像，可知1y x π=-在()2,0x π∈-内单调递减且小于0，sin y x =在()2,x ππ∈--上大于0，且sin 12π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，1212πππ=->--，所以1sin x x π=-在()2,0x π∈-上有两个交点.故选：B. 13．B 【详解】 试题分析：图1图2如图1为f(x)在（-3，3）的图象，图2为y=cosx 图象，要求得()cos 0f x x <的解集，只需转化为在(3,3)-寻找满足如下两个关系的区间即可：()0()0{{cos 0cos 0f x f x x x ><<>或，结合图象易知当(,1)2x π∈--时，()0,cos 0f x x ，当(0,1)x ∈时，()0,cos 0f x x ，当(,3)2x π∈时，()0,cos 0f x x ><，故选B.考点：奇函数的性质，余弦函数的图象，数形结合思想. 14．C 【分析】在解答时要先充分理解[x]的含义，从而可知针对于选项注意对新函数的最值、单调性以及周期性加以分析即可，注意反例的应用． 【详解】解：由题意可知：f （x ）=x-[x]∈[0，1），∴函数f （x ）的最大值为1，A 不对； 又知函数每隔一个单位重复一次，所以函数是以1为周期的函数．所以C 正确，B 不正确、在每个周期数单调递增，在定义域上不单调，D 不正确． 故选C ． 15．（3，2） 【分析】根据题意列出方程组即可求出原象. 【详解】解：由题意知，51x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩，所以原象是()3,2. 故答案为: ()3,2.16．92【分析】由扇形的周长和圆心角可求出扇形的半径，代入扇形的面积公式即可求出扇形的面积. 【详解】解：因为该扇形的圆心角是1弧度，所以该扇形的弧长为l r =，即周长为39r =， 解得：3r =，则该扇形的面积为21922S r α==. 故答案为：92. 17．1-3【分析】利用诱导公式化简即得解. 【详解】由题得51cos cos +=sin +82883ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：13- 18．[1,2)- 【分析】 根据5(,)66x ππ∈-得到1sin 12x -<≤，即得函数的值域. 【详解】 当5(,)66x ππ∈-时，1sin 12x -<≤， 所以22sin 1x -≤-<， 所以112sin 2x -≤-<. 所以值域为[1,2)-. 故答案为：[1,2)- 【点睛】方法点睛：求三角函数sin()y A x ωϕ=+在区间上的值域，一般根据区间结合三角函数的图象和性质逐步求出求出三角函数sin()y A x ωϕ=+在区间上的值域. 19．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据对数函数的定义域和单调性得222460a a ≥⎧⎨-+≥⎩，解之可求得答案.【详解】令226t x ax =-+，则12log y t =在()0+∞，上单调递减，要使函数()212log 26y x ax =-+在(,2)x ∈-∞上为增函数，则需226t x ax =-+在(,2)x ∈-∞上为减函数，并且恒大于0，则222460a a ≥⎧⎨-+≥⎩，解得522x ≤≤，所以a 的范围为52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查对数函数的定义域、单调性，二次函数的单调性以及复合函数的单调性，属于中档题. 20．①③④ 【分析】①：利用(2)()0f x f x +-=,根据函数周期的定义可以判断出本命题的真假； ②：利用奇函数的定义可以判断出本命题的真假；③：结合函数的周期性和当[)1,1x ∈-时,()f x x =,可以判断出本命题的真假； ④：根据周期性画出当[)3,3x ∈-时,函数()f x 的图象,在同一直角坐标系内画出函数1()g x x=的图象,利用数形结合思想, 可以判断出本命题的真假； 【详解】①：因为(2)()0f x f x +-=,所以()(2)f x f x =+,所以函数的周期是2,故本命题是真命题；②：因为(1)(12)(1)=1f f f -=-+=,所以不符合奇函数的定义, 故本命题是假命题； ③：当[)1,1x ∈-时,()f x x =,因此当[)1,1x ∈-时,只有(0)0f =,由①可知函数的周期是2,因此函数()f x 的全部零点为2,x k k Z =∈,故本命题是真命题；④：当[)1,1x ∈-时,()f x x =,通过周期得到当[)3,3x ∈-时,函数的图象,再画出函数1()g x x=的图象,如下图所示：通过图象可知有三个不同的交点.故本命题是真命题. 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查了函数的周期性、奇偶性、零点,考查了数形结合思想. 21．()1,2,32⎡⎤-∞-⋃⎢⎥⎣⎦【分析】先分类讨论A 是否是空集，再当A 不是空集时，分-2≤a ＜0，0≤a≤2，a ＞2三种情况分析a 的取值范围，综合讨论结果，即可得到a 的取值范围 【详解】若A=∅，则a ＜-2，故B=C=∅，满足C ⊆B ； 若A ≠∅，即a ≥-2，由23y x =+在[]2,a -上是增函数，得123y a -≤≤+，即{}123B y y a =-≤≤+ ①当20a -≤≤时，函数2z x =在[]2,a -上单调递减，则24a z ≤≤，即{}24C z a z =≤≤，要使C B ⊆,必须且只需234a +≥，解得12a ≥，这与20a -≤<矛盾； ②当02a ≤≤时，函数2z x =在[]2,0-上单调递减，在[]0,a 上单调递增，则04z ≤≤，即{}04C z z =≤≤，要使C B ⊆,必须且只需23402a a +≥⎧⎨≤≤⎩，解得122a ≤≤； ③当2a >时，函数2z x =在[]2,0-上单调递减，在[]0,a 上单调递增，则20z a ≤≤，即{}20C z z a =≤≤，要使C B ⊆,必须且只需2232a a a ⎧≤+⎨>⎩，解得23a <≤；综上所述，a 的取值范围是()1,2,32⎡⎤-∞-⋃⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了通过集合之间的关系求参数问题，考查了分类讨论的数学思想，要明确集合中的元素，对集合是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．22．（1）()cos f x α=-；（2）()f α=；（3）()12f α=-.【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）由 31cos 25απ⎛⎫-=⎪⎝⎭可得sin α，结合平方关系可求； （3）利用诱导公式一即得． 【详解】 (1) sin cos (cos )()cos (cos )(sin )f ααααααα⋅-==---.(2)∵33cos cos sin 22ααα⎛⎫⎛⎫-π=π-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又31cos 25απ⎛⎫-=⎪⎝⎭，∴1sin 5α=-.又α是第三象限角，∴cos α==，∴()5f α=. (3)1()(1860)cos(1860)cos1860cos602f f α=-︒=--︒=-︒=-︒=- 23．存在，32a =. 【分析】利用平方关系对函数解析式化简整理,进而利用x 的范围确定cos x 的范围,根据二次函数的性质对a 的范围进行分类讨论,求得函数的最大值. 【详解】2531cos cos 82y x a x a =-++-2251cos 2482a a a x ⎛⎫=--++- ⎪⎝⎭，当02x π≤≤时，0cos 1x ≤≤,若12a>，即2a >,则当cos 1x =时 max 53182y a a =+-=,20213a ∴=<(舍去)， 若012a ≤≤即02a ≤≤,则当cos 2a x =时, 2max511482a y a =+-=， 32a ∴=或4a =- (舍去).，若02a<，即0a <时， 则当cos 0x =时max 51182y a =-=， 1205a ∴=> (舍去). 综上所述,存在32a =符合题设. 【点睛】关键点点睛：该题主要考查了三角函数的求最值以及二次函数的性质，二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.24．（1）答案见解析；（2）1,1()0,122,2a a f x a a a -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩；（3）2min 22,0()2,03a a g x a a ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩. 【分析】(1)代入a 的值，讨论x 的范围，去掉绝对值号，从而可作出函数图象.(2)分(),1a ∈-∞，[]1,2a ∈，()2a ,∈+∞三种情况，结合函数的单调性即可求出最值. (3) 分x a ≥和x a ≤两种情况，去掉绝对值号，再分0,0a a ≥<两种情况，结合二次函数的性质可求出其最值. 【详解】解:(1)因为1a =，所以1,1()11,1x x f x x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩，图如下（2）,(),x a x af x x a a x x a-≥⎧=-=⎨-<⎩，在(],a -∞上递减，在[),a +∞上递增，且关于直线x a =对称，则：①当(),1a ∈-∞时，()f x x a x a =-=-， 因为()f x 在[]1,2递增，所以min ()(1)1f x f a ==-， ②当[]1,2a ∈时，当x =a 时，min ()0f x =；③当()2a ,∈+∞时，()f x x a a x =-=-，因为()f x 在[]1,2递减，所以min()(2)2f x f a ==-，综上所述1,1()0,122,2a a f x a a a -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩；（3）①当x a ≥时，22()32g x x ax a =-+，22min()2,0()2(),033g a a a g x a a g a ⎧-≥⎧⎪⎪==⎨⎨<⎪⎪⎩⎩，②当x a ≤时，22()2g x x ax a =+-，2min2(),02,0()(),02,0g a a a a g x g a a a a -≥⎧-≥⎧==⎨⎨<<⎩⎩，综上：2min22,0()2,03a a g x a a ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩. 【点睛】 关键点睛:本题第二问的关键是对a的取值进行讨论，从而去掉绝对值号，即可结合函数的单调性求最值.。

陕西省西安市长安区第一中学高三数学上学期第二次检测试卷文数学试题（文科） 时刻：120分钟一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集R U =，集合()(){|22},{|130}A x x B x x x =-<<=+->，则A B 等于( )A ．(1,2)-B ．(]1,2--C ．()1,2--D ．()3,2 2. 已知i 为虚数单位，若复数()()z 11ti i =-+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范畴为（ ）A ．[1,1]-B ．(1,1)-C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞ 3. 要运算1111++++232017的结果，如图程序框图中的判定框内能够填（ ） A ．n ＜2021B ．n ≤2017C ．n ＞2021D ．n ≥20214． 2017年3月2日至16日，全国两会在北京召开，甲、乙两市近5年与会代表名额数统计如图所示，设甲、乙的数据平均数分别为12,x x ，中位数分别为y1，y2，则（ ）A ．12x x >，y1＞y2B ．12x x >，y1=y2C ．12x x <，y1=y2D ．12x x <，y1＜y25．已知3x >，则43x x +-的最小值为（ ） A ．2 B ．4 C ．5 D ．7 6.已知函数()23,0,0x m x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩给出下列两个命题，p ：存在(),0m ∈-∞，使得方程f （x ）=0有实数解；q ：当13m =时，f （f （1））=0，则下列命题为真命题的是（ ）8. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．23π B ．3πC ．29π D ．169π9．如图所示，已知菱形ABCD 是由等边△ABD 与等边△BCD 拼接而成，两个小圆与△ABD 以及△BCD 分别相切，则往菱形ABCD 内投掷一个点，该点落在阴影部分内的概率为（ ） A ．39π B ． 318π C ． 318πD ．39π10. 已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足当x ≥0时，()()2log 2f x x x b=+++， 则()3f x >的解集为（ ）A ．()(),22,-∞-+∞B ． ()(),44,-∞-+∞C ． ()2,2-D ．()4,4-11．椭圆22154x y +=的左焦点为F ，直线x a =与椭圆相交于点M ，N ，当FMN △的周长最大时，FMN △的面积是（ ）A.55B.655C.855D.45512．定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，且当[2,4]x ∈时，224,23,()2,34,x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩()1g x ax =+，对1[2,0]x ∀∈-，2[2,1]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则实数a 的取值范畴为（ ）A ．11(,)[,)88-∞-+∞ B ．11[,0)(0,]48- C.(0,8]D ．11(,][,)48-∞-+∞二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知实数x ，y 满足不等式组20,250,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩且2z x y =-的最大值为．14. 正项等比数列{an}中，1473692,18a a a a a a ++=++=，则}{n a 的前9项和9S = ．15．面积为43的等边三角形ABC 中，D 是AB 边上靠近B 的三等分点，则CD AB ⋅= ．16. 四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，AB ＝2，BC ＝CD ＝1，∠BCD ＝60°，AB ⊥平面BCD ，则球O 的表面积为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，712sinsin +C +cos 662C ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （1）求C ；（2）若13c =，且△ABC 面积为33，求sin sin A B +的值．18. （12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2AB =，60BAD ∠=︒．（1）求证：平面PBD ⊥平面PAC ； （2）若PA AB =， M 为线段PC 的中点， 求三棱锥 C MBD -的体积。

2020-2021学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期第二次月考数学（文）试题一、单选题1．抛物线22x y =-的准线方程是（ ） A ．12yB ．12y =C ．18x =-D ．18x【答案】D【分析】把抛物线22x y =-化为212y x =-，得到抛物线的焦点在x 上，且14p =，即可求解.【详解】由题意，抛物线22x y =-，可化为212y x =-， 可得抛物线的焦点在x 上，且122p =，解得14p =， 所以抛物线的准线方程是18x . 故选：D【点睛】方法点睛：根据标准方程写出焦点坐标，准线方程：22(0)y px p =>的焦点坐标为(,0)2p F ，准线方程为:2pl x =-；22(0)y px p =->的焦点坐标为(,0)2pF -，准线方程为:2p l x =；22(0)x py p =>的焦点坐标为(0,)2p F ，准线方程为:2pl y =-；22(0)x py p =->的焦点坐标为(0,)2p F -，准线方程为:2pl y =.2．已知命题p ：“[1,]x e ∀∈，ln a x >”，命题q ：“x R ∃∈，240x x a -+=””若“p q ∧”是真命题，则实数a 的取值范围是 A ．(1,4] B ．(0,1]C ．[1,1]-D ．(4,)+∞【答案】A【分析】通过判断命题p 和q 的真假，从而求得参数的取值范围. 【详解】解：若命题p ：“,[]1e ∀∈，ln a x >，为真命题， 则ln 1a e >=，若命题q ：“x R ∃∈，240x x a -+=”为真命题，则1640a ∆=-≥，解得4a ≤， 若命题“p q ∧”为真命题， 则p ，q 都是真命题，则14a a >⎧⎨≤⎩，解得：14a <≤．故实数a 的取值范围为(1,4]． 故选A ．【点睛】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出命题p ，q 的等价条件是解决本题的关键．3．若设a 、b 为实数，且3a b +=，则22a b +的最小值是（ ）A ．6B ．8C ．D ．【答案】D【分析】2a b+≤转化为指数运算即可求解．【详解】由基本不等式可得22a b +≥3a b +=，所以22a b +≥=32a b ==等号成立） 故答案为D【点睛】本题考查了用基本不等式求指数中的最值，比较基础．4．已知平面上的定点12,F F 及动点M ，甲：12MF MF m -=(m 为常数)，乙：点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的双曲线，则甲是乙的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据双曲线的定义以及必要不充分条件的定义可得答案. 【详解】根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲乙，只有当120m F F <<时，点M 的轨迹才是双曲线. 故选：B.【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了必要不充分条件，属于基础题.5．物体运动时位移s 与时间t 的函数关系是2-28s t t =+，此物体在某一时刻的速度为0，则相应的时刻为． A ．0t = B ．1t = C ．2t = D ．4t =【答案】C【详解】480,2s t t =-+=='，选C.6．若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线1y x =-的距离的最小值为（ ） A ．1 B ．2C ．22D ．3【答案】C【分析】求出平行于直线1y x =-且与曲线2ln y x x =-相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解.【详解】设平行于直线1y x =-且与曲线2ln y x x =-相切的切点为(,)P x y ，由2ln ,0y x x x =->，则12y x x'=-， 令121x x-=，整理得(1)(21)0x x -+=，解得1x =或12x =-（舍去），由1x =，可得21ln11y =-=，即切点坐标为(1,1)P ， 又由点到直线10x y --=的距离公式，可得2211121(1)d --==+-， 即点P 到直线1y x =-的距离的最小值为22. 故选：C.7．已知函数32()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）A ．0,0,0,0a b c d >>><B ．0,0,0,0a b c d >><<C ．0,0,0,0a b c d <<>>D ．0,0,0,0a b c d >>>>【答案】C【分析】利用函数的图象经过的特殊点及单调性，判断a , b , c ，d 的范围即可.【详解】由函数的图象可知(0)0f d =>，排除选项A ，B;函数32()f x ax bx cx d =+++的导函数为232y ax bx c '=++，因为12(,),(,)x x x ∈-∞+∞上函数是减函数， 即2320ax bx c ++<的解为1x x <或2x x >， 可知a <0，排除D. 故选：C8．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()2()ln f x xf e x '=+（其中e 为自然对数的底数），则()f e '=（ ） A ．1 B ．－1 C ．e - D ．1e --【答案】D【分析】对已知条件()2()ln f x xf e x '=+求导，然后代入()f e '即可.【详解】由已知得1()2()f x f e x ''=+ (0)x >， 令x e =，可得(e)2(1e e)f f ''=+，则1()f e e=-故选：D .【点睛】本题主要考查解函数方程，正确运用函数求导.9．若函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞为增函数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1[,)e+∞ B ．1(,]e-∞C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞【答案】C【分析】求出函数()ln f x kx x =-的导数，由于函数()f x 在区间(1,)+∞为增函数，可得()0f x '≥在区间(1,)+∞上恒成立，即可求得实数k 的取值范围. 【详解】()ln f x kx x =- ∴1()f x k x'=-∵函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞为增函数 ∴()0f x '≥在区间(1,)+∞上恒成立()0f x '≥1k x∴≥又1yx=在区间(1,)+∞上单调递减 ∴101x<< 要保证()0f x '≥在区间(1,)+∞上恒成立，只需1k∴k 的取值范围是[1,)+∞故选：C.【点睛】本题主要考查了根据函数单调性求参数问题，解题关键是掌握函数导数的求法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.10．已知实数4,,9m 构成一个等比数列，则圆锥曲线221x y m+=的离心率为A ．6B C ．6D ．56【答案】C【详解】试题分析：因为已知实数4，m ，9构成一个等比数列，所以可得236,6,6m m m =∴==-.所以圆锥曲线为椭圆时即221x y m+=的方程为2216x y +=.所以222226,1,5a b c a b ==∴=-=.所以离心率6c e a ===.当是双曲线时.故选C.【解析】1.数列的思想.2.圆锥曲线的性质.3.离心率的计算.4.分类的思想.11．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于,A B 两点，12,AB P =为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为（ ）A ．18B ．24C ．36D ．48【答案】C【详解】解：设抛物线的解析式为y2=2px （p ＞0）， 则焦点为F （2p ，0），对称轴为x 轴，准线为x=-2p∵直线l 经过抛物线的焦点，A 、B 是l 与C 的交点， 又∵AB ⊥x 轴 ∴|AB|=2p=12∴p=6又∵点P 在准线上 ∴DP=（2p +|-2p|）=p=6 ∴S △ABP=12（DP•AB ）=12×6×12=36 故选C ．12．如图所示，已知点()()()3,0,3,0,1,0M N B -，动圆C 与直线MN 切于点B ，过,M N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为（ ）A ．()22118yx x -=>B ．()22118yx x -=<-C ．()22118yx x +=>D ．()221110yx x -=>【答案】A【分析】根据直线与圆相切的性质可得2PM PN -=，从而判断P 点的轨迹为以,M N 为焦点的双曲线的右支，即可求出方程.【详解】由题可得,,MB ME NB NF PE PF ===， 则422PM PN PE ME PF NF ME NF MB NB MN-=+--=-=-=-=<，则可得P 点的轨迹为以,M N 为焦点的双曲线的右支， 可得3,22c a ==，则2221,8a b c a ==-=，则P 点的轨迹方程为()22118yx x -=>.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的轨迹方程，解题的关键是能根据已知条件得出2PM PN -=，判断出P 点的轨迹为以,M N 为焦点的双曲线的右支.13．函数()()23103f x ax x x =->的图象存在与直线20x y -+=平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．[)1,+∞C ．(][),11,-∞-+∞D ．()(),11,-∞-+∞【答案】B【分析】求出导函数()'f x ，由()1f x '=有正数解求解即可．【详解】2()2f x ax x '=-，由题意2()21f x ax x '=-=有正数解，∵0x >，∴211+1222x x a x x +==≥=，当且仅当1x =时等号成立，∴a 的取值范围是[1,)+∞． 故选：B ．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查二次方程的根的分布问题，掌握导数的几何意义是解题基础，属于中档题．14．已知24y x =的准线交x 轴于点Q ，焦点为F ，过Q 且斜率大于0的直线交24y x=于,A B ，060AFB ∠=，则||AB = A．6B．3C ．4D ．3【答案】B【分析】首先设出,A B 两点坐标，又,,A B Q 三点共线，可以找出其坐标间的关系，然后利用060AFB ∠=可以用余弦定理列出关系式，进而求出,A B 两点坐标，即可求出弦长AB .【详解】设((12,A x B x ，210x x >>， 因为QA QB k k =21=121x x =， ()(22221||AB x x =-+，11AF x =+，21BF x =+，代入余弦定理2220||||2cos60AB AF BF AF BF =+-整理化简得：12103x x +=，又因为121x x =，所以113x =，23x =，AB ==，选B. 【点睛】圆锥曲线题目要注意题中几何关系，利用余弦定理是解决本题的关键．二、填空题15．若曲线()sin 1f x x x =+在2x π=处的切线与直线210ax y ++=互相垂直，则实数a =_______ 【答案】2【详解】试题分析：由题意得，函数的导数为()sin cos f x x x x +'=，则()sin cos 12222f ππππ='+=，即曲线()f x 在2x π=处的切线的斜率为1k =，又切线与直线210ax y ++=垂直，所以1122aa -⨯=-⇒=．【解析】利用导数研究曲线在某点的切线方程；两直线的位置关系．16．凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有()()()12n f x f x f x n+++≤f(12nx x x n+++)，已知函数y＝sinx 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sinA ＋sinB ＋sinC 的最大值为________．【详解】∵f(x)="sin" x 在区间(0,π)上是凸函数,且A,B,C ∈(0,π), ∴()()()3f A f B f C ++≤f 3A B C ++⎛⎫⎪⎝⎭=f π3⎛⎫⎪⎝⎭,即sin A+sin B+sin C≤3sinπ3,∴sin A+sin B+sin C 的最大值为2. 17．已知点P 到y 轴的距离比它到点(1,0)的距离小1，则点P 满足的方程是_______．【答案】24y x =或()00y x =<【分析】设出P 的坐标，由题意列式，对x 分类化简得答案；【详解】设(,)P x y ，则||1x +=若0x ≥，则1x +=24y x =；若0x <，则1x -，两边平方并整理得0y =．P ∴点轨迹方程为0(0)y x =<或24y x =；故答案为0(0)y x =<或24y x =【点睛】本题考查轨迹方程的求法，需注意分类讨论，属于一般题．三、双空题18．已知双曲线22:163x y C -=，则C 的渐近线方程为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．【答案】0x ±=【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中，a =b =3c ==，则双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，即0x ±=，所以，双曲线C=故答案为：0x ±=四、解答题19．已知命题p ：lg （x 2－2x －2）≥0；命题q ：0<x <4．若p 且q 为假，p 或q 为真，求实数x 的取值范围．【答案】{1xx ≤-∣或03x <<或4}x ≥ 【分析】先根据题p 是真命题，求出x 的取值范围，再由p 且q 为假，p 或q 为真知p 、q 一真一假，分别列出不等式组，求解即可． 【详解】由()2lg 220x x --≥，得2221x x --≥，∴3x ≥，或1x ≤-． 即:3p x ≥，或1x ≤-， ∴非:13p x ．又∵:04q x <<， ∴非:4q x ≥，或0x ≤，由p 且q 为假，p 或q 为真知p 、q 一真一假．当p 真q 假时，由3,14,0x x x x ≥≤-⎧⎨≥≤⎩或或，得4x ≥或1x ≤-．当p 假q 真时，由1304x x -<<⎧⎨<<⎩，得03x <<．综上知，实数x 的取值范围是{1xx ≤-∣或03x <<或4}x ≥． 20．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos Ca sin C －b －c ＝0. （1）求A ；（2）若a ＝2，ABCb ，c . 【答案】（1）A ＝3π.；（2）b ＝c ＝2. 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，再利用和差公式可求出A ； （2）面积公式和余弦定理相结合，可求出b ，c【详解】解：（1）由a cos Csin C －b －c ＝0及正弦定理得 sin A cos CA sin C －sinB －sinC ＝0. 因为B ＝π－A －C ，A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin 1()62A π-=. 又0<A <π，故A ＝3π. （2）ABC 的面积S ＝12bc sin A，故bc ＝4. 而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.【点睛】本题考查正弦定理、面积公式和余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题. 21．已知函数21()(1)? (1)2f x x a x alnx a =-++≥． （1）当1a =时，求函数()f x 的图象在点1x =处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性．【答案】（1）230y +=；（2）当1a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当1a >时，函数在(1,)a 单调递减，在(,)a +∞，(0,1)上单调递增．【分析】（1）先把1a =代入，对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；（2）先对函数求导，对a 进行分类讨论，确定导数的符号，进而可求函数的单调性． 【详解】解：（1）1a =时，21()22f x x x lnx =-+，1()2f x x x '=-+，3(1)2f ∴=-，(1)0f '=，故()f x 的图象在点1x =处的切线方程230y +=； （2）函数的定义域(0,)+∞，(1)()()(1)ax x a f x x a xx--'=-++=， 当1a =时，2(1)()0x f x x-'=≥恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递增， 当1a >时，(1,)x a ∈时，()0f x '<，函数单调递减，(,)x a ∈+∞，(0,1)时，()0f x '>，函数单调递增，综上：当1a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当1a >时，函数在(1,)a 单调递减，在(,)a +∞，(0,1)上单调递增．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及利用导数求解函数的单调性，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题. 22．（Ⅰ）计算：①若12,A A 是椭圆22194x y +=长轴的两个端点，(0,2)P ，则12PA PA k k ⋅=______；②若12,A A 是椭圆22194x y +=长轴的两个端点，4()3P ，则12PA PA k k ⋅=______；③若12,A A 是椭圆22194x y +=长轴的两个端点，(1,P ，则12PA PA k k ⋅=______．（Ⅱ）观察①②③，由此可得到：若12,A A 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的两个端点，P 为椭圆上任意一点，则12PA PA k k ⋅=？并证明你的结论．【答案】（Ⅰ）①、②、③均为49-．（Ⅱ）1222PA PA b K K a⋅=-,证明见解析【分析】（Ⅰ）根据题意分别计算出1PA k 、2PA k 从而得出12PA PA k k ⋅的值．（Ⅱ）首先不妨设0(P x ，0)y ，再由直线的斜率公式得到12PA PA k k ⋅的表达式；根据椭圆的标准方程得到0y 关于0x 的表达式，进而得出最终答案．【详解】（Ⅰ）①由题意12,A A 是椭圆22194x y +=长轴的两个端点则取()()123,0,3,0A A -(0,2)P()1202033PA k ∴-==--，2202033PA k -==--1249PA PA k k ⋅=-∴②同①取()()123,0,3,0A A -4(5,)3P -140PA k -==∴，(14033PA k --==∴ 1249PA PA k k ⋅=-∴③同①取()()123,0,3,0A A -4(1,3P-()101333PA k ---==∴，133013PA k ∴-==- 1249PA PA k k ⋅=-∴∴①、②、③均为49-． （Ⅱ）若12,A A 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的两个端点，P 为椭圆上任意一点，则1222PA PAb k k a⋅=-．证明如下：设P 点的坐标为()00,P x y 则由题意：12000000,PA PA y y k k x a x a --==+-，则1220002200000PA PA y y y k k x a x a x a--⋅=⋅=+--．又P 为椭圆上任意一点，满足2200221x y a b +=，得222002(1)x y b a=-，代入1222222220(1)PA PA x b b a k k x a a -⋅==--，得证．【点睛】本题考查椭圆的相关性质，由特殊得到一般性的结论，属于一般题． 23．设函数()ln mf x x x=+，m R ∈. （1）当m e =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的极小值； （2）讨论函数()()3xg x f x -'=零点的个数. 【答案】（1）极小值()ln 2ef e e e=+=； （2）①当23m >时，()g x 无零点， ②当23m =或0m ≤时，()g x 有且仅有1个零点， ③当203m <<时，()g x 有两个零点.【详解】试题分析：（1）要求()f x 的极小值，可以通过判断其单调性从而求得其极小值，对()f x 求导，可知()221e x ef x x x x-'=-=，再通过列表即可得当x e =时，()f x 取得极小值()ln 2ef e e e =+=；（2）令()0g x =，可得313m x x =-+，因此要判断函数()()3xg x f x '=-的零点个数，可通过画出函数31()3h x x x =-+的草图来判断，同样可以通过求导判断函数31()3h x x x =-+的单调性来画出函数图象的草图：()()()2111h x x x x =-+=-+-'，通过列表可得到()h x 的单调性，作出()h x 的图象，进而可得①当23m >时，()g x 无零点，②当23m =或0m ≤时，()g x 有且仅有1个零点， ③当203m <<时，()g x 有两个零点.试题解析：（1）当m e =时，()ln ef x x x=+，其定义域为()0,∞+，()221e x ef x x x x-'=-=，令()0f x '=，x e =，故当x e =时，()f x 取得极小值()ln 2ef e e e=+=； （2）()()322133333x m x x m x g x f x x x x --=-=--='，其定义域为()0,∞+，令()0g x =，得313m x x =-+， 设()313h x x x =-+，其定义域为()0,∞+.则()g x 的零点为()h x 与y m =的交点， ()()()2111h x x x x =-+=-+-'，故当1x =时，()h x 取得最大值()213h = 作出()h x 的图象，可得①当23m >时，()g x 无零点， ②当23m =或0m ≤时，()g x 有且仅有1个零点，③当203m <<时，()g x 有两个零点.【解析】导数的运用.。

陕西省长安一中 2021-2021学年高三第二次教学质量检测数学试题〔文科〕考试时间:100分钟 试题分值:150分一﹑选择题(5×14=70分)1．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如右图所示),那么改样本的中位数、众数、极差分别是 ( )〔 〕 A ．46,45,56 B ．46,45,53 C ．47,45,56 D ．45,47,532．某几何体的三视图如右图所示，那么它的体积是〔 〕A.283π- B.83π-C.82π-D.23π3. 函数()164x f x =-的值域是〔 〕 A.(0,)+∞ B.[]0,4 C ． [)0,4 D ．()0,44.假设tan α=3，那么2sin 2cos aα的值等于〔 〕 A ．2 B ．3 C ．4 D ．65. 袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球,2个白球和3个黑球,从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于 〔 〕 A ．15 B ．25 C ．35 D ．456.函数f 〔x 〕=20,1, 0x x x x >⎧⎨+≤⎩，假设f(a)+f(1)=0,那么实数a 的值等于〔 〕A. -3B. -1C. 1D. 37.,αβ表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，那么“αβ⊥〞是“m β⊥〞的〔 〕8.假设02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，3cos()423πβ-=，那么cos()2βα+=〔 〕A ．33 B ．33- C ．539D ．69-9.函数1()12x y =+的图象关于直线y =x 对称的图象像大致是〔 〕10.在以下区间中，函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为( ) A ．1(,0)4-B ．1(0,)4C ．11(,)42D ．13(,)2411.假设a>0, b>0, 且函数f(x)=4x 3-ax 2-2bx+2在x=1处有极值，那么ab 的最大值等于〔 〕 A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 12.设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0,||)2πωϕ><的最小正周期为π，且()()f x f x -=那么以下说法正确的选项是〔 〕A.()y f x =在(0,)2π单调递减 B.()y f x =在3(,)44ππ单调递减 C.()y f x =在(0,)2π单调递增 D.()y f x =在3(,)44ππ单调递增 13.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.假设每批生产x 件，那么平均仓储时间为8x天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品为〔 〕22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，那么p 的值为〔〕A.1B.2C.12二﹑填空题(6×5=30分)15.211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭16．()f x 为奇函数，()()9,(2)3,(2)g x f x g f =+-==则 ．17.在6和768之间插入6个数，使它们组成共有8项的等比数列，那么这个等比数列的第6项是 。