高二数学三角函数的定义精选课件PPT

创设情境
y
·P
· · O
Ax
新知探究
1 已知∠α的度数，如何求角的终边与单位圆交点P的坐标？
y
Mx
2 计算：当∠α变化的时候，点P的坐标情况
y
M
x
y
M
x
3 思考：任意给定一个角，它的终边与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？
当角确定时，点P的横坐标和纵坐标都是唯一确定的 点P的横坐标x、纵坐标y都是关于∠α的函数
tanα对应的函数值分别等于什么？
y
α
M M0
O
x
·P0x0, y0 Px, y
三角函数定义的推广：
课堂检测
y
B
O
C A1,0 x
例1.求 5 的正弦、余弦和正切值．
3
解：在直角坐标系中，如图作∠ AOB 5 。
3
可知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为
1 2
，
3 2
所以
sin 5 3
3
2
cos5 1
32
tan 5 3
3
y
5
3
O
Ax
B
常见角的三角函数值
无
思考：若点P（x，y）为角α终边上任意一点，那么sinα，cosα，
知识梳理
正切函数 正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数.
知识梳理
三角函数都是以角为自变量，以单位圆上点的
坐标或坐标的比值为函数值的函数。
角
实数 (角的弧度)
三角 函数值
思考：在初中我们学习了锐角三角函数，知道它们以锐角为 自变量，以比值为函数值的函数。与按本节三角函数定义求 得的三角函数值相等吗？
5.2.1三角函数的概念

三角函数的定义
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
(A) 2
5
(C) 2 或 － 2
5
5
(B) － 2
5
(D) 不确定
3. 设A是第三象限角，且|sin A |= －sin A ,则
2
2
A 2
是(D
)
(A)第一象限角
(B) 第二象限角
(C)第三象限角
(D) 第四象限角
4. sin2·cos3·tan4的值 ( B )
(A)大于0
(B)小于0
(C)等于0
1. 内容总结： ①三角函数的概念. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号.
2 .方法总结： 运用了定义法、公式法、数形结合法解题.
3 .体现的数学思想： 化归的思想，数形结合的思想.
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
1.2.1任意角的三角函数
复习回顾
在初中我们是如何定义锐角三角函数的？
P c
b
Oa M
b

当a＜0时，r＝－5a，角α为第四象限角，所以
sin α＝yr＝－3a5a＝－35，cos α＝xr＝－－54aa＝45， tan α＝xy＝－3a4a＝－34.
[一点通] 已知角α终边上任意一点的坐标，求其三角函
数值的步骤是：①求r＝|OP|＝
x2＋y2 ；②利用sin
α＝
y r
，
cos α＝xr，tan α＝xy求值．
5．正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切 函数的几何表示，三角函数线的长度等于三角函数值的绝 对值．方向表示三角函数值的正负．
[例 1] 根据下列条件求 sin α，cos α，tan α.
π (1)α＝- 3 ； (2)角 α 的终边经过点 P(－4a，3a)(a≠0)．
π [思路点拨] (1)求出－ 3 的终边与单位圆的交点坐标，再 用三角函数的定义求解． (2)用 a 表示 r 即|OP|，因 为 a 的符号不确定，所以要分 a ＞0 和 a＜0 讨论．
∴ sin α＞0，cos α＜0，
∴sin α·cos α＜0.
(5分)
(2)∵π2 ＜3＜π，π＜4＜3π 2 ，
∴sin 3＞0，cos 4＜0.
∵－234π＝－6π＋π4 ，∴tan(－234π)＞0，ห้องสมุดไป่ตู้
∴sin 3·cos 4·tan(－243π)＜0.
(10分)
[一点通] 判断三角函数的符号时，首先要准确确定 角所在的象限，另外准确记忆三角函数值在各象限的符号是 解决这类问题的关键，这个问题是以后解决三角函数求值问 题的基础．
反向延长线于T，有向线段 AT 即为正切线
1．三角函数也是一种函数，它是从一个角的集合到一 个比值的集合的对应．因为角的集合与实数集之间可以建 立一一对应关系，因此三角函数可以看成是自变量为实数 的函数．

x
x
三角函数的概念
设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆相交于点P(x，y)，
那么 y sin，x cos，y tan (x 0).
x
可以看出，当 k ,k Z 时，α的终边始终在y轴上，这时P点的横
坐标x等于0，所以
y
2
tan无意义.除此之外，正切tanα与实数α是一一对应
么z1与y1相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？
y
利用锐角三角函数概念可得：
P(x，y)
sin MP y y; cos OM x x; tan MP y
OP 1
OP 1
OM x
α
O M 1x
与按本节三角函数定义求得的结论是相同的．
三角函数的概念
【例1】求 5 的正弦、余弦和正切值．
三角函数的概念
锐角α的正弦、余弦和正切叫做角α的锐角三角函数，分别记作sinα， cosα，tanα.
sin
对边 BC
斜边 AB
B
cos
邻边 斜边
=
AC AB
α
tan
对边 BC 邻边 AC
A
C
02
新知探索
New Knowledge explore
三角函数的概念
角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立了一一 对应的关系，下面借助这些知识研究上一节开头提出的问题，即研究单位 圆上点的运动．
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合
S { | k 360 o, k Z}
象限角与轴线角：
把角的顶点固定在原点，角的终边始终与x轴的非负半轴重合.那么，角α的终边在第
几象限，就说这个角是第几象限的角. 如果角的终边落在坐标轴上,这个角称轴线角.

x
{| k , k Z }
2
教学过程
图形展示结论——形象记忆
y
++ x
_O _
_
y
+
x
_O +
sinα的符号
cosα的符号
总结归纳——口诀记忆
_
y
+
x
O
+
_
tanα的符号
一全正、二正弦、三正切、四余弦
巩固练习
例4：确定下列各三角函数值的符号：
(1) cos 2600；(2) sin( )；(3) tan(672020')；(4) tan 10 .
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
3
3
负
负
正
正
归纳小结
1.三角函数的定义
角的余弦：cos x
r
角的正弦：sin y
r
角的正切：tan y
x
2.三角函数在各象限的符号
一全正、二正弦、 三正切、四余弦
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
y
余弦cos = x
r
正割：sec r
x
正切tan = y ，
x
余切：cot x
y
教学过程
【问题5】三角函数的自变量是什么？根据 三角函数定义，确定它们的定义域。

命题方向3 ⇨诱导公式(一)的应用
典例 3 求下列各式的值． (1)cos235π＋tan(－145π)； (2)sin810°＋tan765°－cos360°．
[思路分析] 利用诱导公式(一)，将任意角的三角函数转化为 0～2π(或 0°～ 360°)角的三角函数．
已知角
公―诱式―导→一
找在0～2π0°～360°上 与已知角终边相同的角
[错解二] 由题意可得，|OP|＝ －3m2＋m2＝ 10m，
所以
sinα＝
－3m ＝－3 10m
1010.故填－3 1010．
[错因分析] 错解一误认为只有 m>0 的情况而得到 1100，错解二对正弦与余 弦函数定义中比的顺序颠倒而得 sinα＝－130mm＝－31010．
[正解] 由题意可得，
比值yx叫做
α
的正切，记作
tanα，即
y tanα＝__x____．
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为
函数值的函数，我们将它们统称为三角函数(trigonometric function)．
● [知识点拨](1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意 义的实数集．
三特角―殊函 ―角→数的值
结果
[解析] (1)原式＝cos(8π＋π3)＋tan(－4π＋π4)＝cosπ3＋tanπ4＝12＋1＝32． (2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)－cos(360°＋0°)＝1＋1－1＝ 1．
分类讨论思想在化简三角函数式中的应用
②我们也可以利用角 α 终边上任意一点的坐标来定义三角函数．
设 α 是一个任意角，α 的终边上任意一点 P 的坐标是(x，y)，它与原点的距

x r
l
y r
m
y x

m l
因为A、P在同一象限内，所以它们的坐标 符号相同，因此得
y P r y A m x l O
x l r
y m x l
y m r

x
不论点P在终边上的位置如何，它们都是
定值，它们只依赖于α的大小，与点P在α终
边上的位置无关。即当点P在α的终边上的位
置变化时，这三个比值始终等于定值。
变2:已知角α 的终边与函数 y 2 x 的图象重 合，求α 的三角函数值。
求下列各角的六个三角函数值 例2： （1） 0 ；（2）
；（3）
3 ． 2
补充练习
1.若点P（－3,y）是角α终边上一点，且 2 6 5 。 sin α＝ ，则y的值是 5 3 2.已知角θ的终边上一点P（x,－2）（x≠0），
作业:习题1.2 A组第1,2题
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰· B· 塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔· 卡内基] 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯· 瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士· 雷德非] 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰] 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿· 休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯· 奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰· 纳森· 爱德瓦兹] 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰· 拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉· 班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳] 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔· 普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉· 彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔· 卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰· 罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳· 厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝· C· 科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔· 卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟· 倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克· 佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根· 皮沙尔· 史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。 ――[阿萨· 赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉· 海兹利特] 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯· 里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可· 汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰· 夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯· 米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子] 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。――[怀特曼] 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。――[G.K.Chesteron] 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。――[马克吐温] 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。――[约翰· 鲁斯金]

tan cos = × +1× = .



数学
方法总结
诱导公式一的实质是:终边相同的角,其同名三角函数的值相等.因为这些
角的终边都是同一条射线,根据三角函数的定义可知这些角的三角函数值
相等.其作用是可以把任意角转化为0°～360°之间的角.






因为 a<0,所以 a=- ,所以 P 点的坐标为( ,- ),



所以 sin α=- ,cos α= ,






所以 sin α+2cos α=- +2× = .
数学
[变式训练1-1] 若将本例中“a<0”删掉,其他条件不变,结果又是什么?



解:因为点 P 在单位圆上,则|OP|=1,即 (-) + () =1,解得 a=± .
②若 a<0,则 r=-5a,且 sin α=
-





-

-
=- ,cos α=
所以 sin α+2cos α=- +2× = .
= .
数学
方法总结
由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值
(1)已知角α的终边在直线上时,常用的解题方法有以下两种:
①先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正弦函数、余
弦函数、正切函数的定义求出相应三角函数值.

②在α的终边上任选一点 P(x,y),P 到原点的距离为 r(r>0),则 sin α= ,

由此可判断角 α
终边在第三象限．] (2)[解] ①∵156°是第二象限角，
∴sin 156°＞0. ②∵156π 为第三象限角，
∴cos 156π＜0.
5.2.1 三角函数的概念
1
2
3
4
5
情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 数学阅读·拓视野 课后素养落实
③∵－450°＝－720°＋270°是终边落在 y 轴的非正半轴上的角，
1
2
3
4
5
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NO.2
合作探究·释疑难
类型1 三角函数的定义及应用 类型2 三角函数值符号的运用 类型3 诱导公式一的应用
5.2.1 三角函数的概念
1
2
3
4
5
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判断三角函数值在各象限符号的攻略 (1)基础：准确确定三角函数值中各角所在象限． (2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号． (3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致 象限判断错误． 提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号．
5.2.1 三角函数的概念
1
2
3
4
5
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－ α＝ t
3t＝－
3.
5.2.1 三角函数的概念
1
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3
4
5
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利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况 (1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即 可求出各三角函数值． (2)若已知角 α 终边上一点 P(x，y)(x≠0)是单位圆上一点，则 sin α ＝y，cos α＝x，tan α＝yx.

x
它们只依赖于α的大小，与点P在α终边上的位置无关。
终边相同的角，三角函数值分别相等。
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6
角α的其他三种函数：
角α的正割：
sec 1 r cos x
角α的余割：
csc
1
sin
r y
角α的余切：
cot 1 x tan y
我们把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看 成是以角为自变量，以比值为函数值的函数，以上六种 函数统称三角函数．
6 63
练习 求下列三角函数值
tan19
3
3
tan( 31)
4
1
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27
归纳 总结
1. 内容总结： ①三角函数的概念. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. ③诱导公式一.
2 .方法总结： 运用了定义法、公式法、数形结合法解题.
3 .体现的数学思想： 化归的思想，数形结合的思想.
secα= r 1 3
x2
cscα=
r y
13 3
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11
变式1：已知角α的终边过点P（2a，－3a）(a<0)， 求α的六个三角函数值。
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12
例2. 求下列各角六个三角函数值： （1）0；（2）π；（3） 3
2
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13
变式：角的终边在直线 y2x上，求
(A) {－1，1}
(B) {－1，1，3}
(C) {－1，3}
(D) {1，3}
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21
2.已知角θ的终边上有一点P(－4a, 3a)(a≠0),则
2sinθ+cosθ的值是 ( ) C

一
二
三
提示:sin α=y,cos α=x,tan α= .这一结论可以推广到α是任意角.
一
二
三
2.填空如图,α是任意角,以α的顶点O为坐标原点,以α的始边为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系.设P(x,y)是α的终边与单位圆的交点.(1)把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数,记作sin α,即y=sin α;(2)把点P的横坐标x叫做α的余弦函数,记作cos α,即x=cos α;(3)把点P的纵坐标与横坐标的比值 叫做α的正切,记作tan α,即 =tan α(x≠0).正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.3.填空
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
判断三角函数值的符号A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角(2)判断下列各式的符号:分析:(1)由已知条件确定出sin α,cos α的符号即可确定角α的象限;(2)先判断每个因式的符号,再确定积的符号.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
(1)解析:由sin αtan α<0可知sin α,tan α异号,从而α为第二、第三象限角.由 可知cos α,tan α异号,从而α为第三、第四象限角.综上可知,α为第三象限角,故选C.答案:C(2)解:①∵105°,230°分别为第二、第三象限角,∴sin 105°>0,cos 230°<0.于是sin 105°·cos 230°<0.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
反思感悟 三角函数符号的判定:对三角函数符号的判定,首先要判断角是第几象限角,然后根据规律:“一全正、二正弦、三正切、四余弦”,即可确定三角函数的符号.

(2) 熟 记 几 组 常 用 的 勾 股 数 组 ， 如 (3,4,5) ， (5,12,13) ， (7,24,25)，(8,15,17)，(9,40,41)等，会给我们解题带来很多方便．
(3)若角 α 已经给定，不论点 P 选择在 α 的终边上的什么 位置，角 α 的三角函数值都是确定的；另一方面，如果角 α 终 边上一点坐标已经确定，那么根据三角函数定义，角 α 的三角 函数值也都是确定的.
∴角 2α 的终边在第一或第二象限或 y 轴的非负半轴上． (2)在(0，π)内终边在直线 y＝ 3x 上的角是π3， ∴终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合为 α|α＝π3＋kπ，k∈Z.
(3)∵θ＝67π＋2kπ(k∈Z)，∴θ3＝27π＋2k3π(k∈Z)． 依题意 0≤27π＋2k3π＜2π(k∈Z)⇒－37≤k＜178(k∈Z)． ∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角为27π， 2201π，3241π.
1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互 化．
2．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的含义． 3.借助单位圆中理解三角函数线。
一．角及有关概念
1.角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到
另一个位置所成的图形．旋转开始时的射线 OA 叫做角的 始边 ，旋转终止时的射线 OB 叫做角的终边 ，按逆 时针 方向旋转所形成的角叫做正角，按顺 时针方向旋转所形成的 角叫做负角．若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个零
(2)若 θ 是第二象限角，则csoinsscions2θθ的符号是什么？ [分析] (1)由点 P 所在的象限，知道 sinθ·cosθ，2cosθ 的 符号，从而可求 sinθ 与 cosθ 的符号． (2)由 θ 是第二象限角，可求 cosθ，sin2θ 的范围，进而把 cosθ，sin2θ 看作一个用弧度制的形式表示的角，并判断其所在 的象限，从而 sin(cosθ)，cos(sin2θ)的符号可定．

A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选 B.由－π2＜α＜0 知 α 为第四象限角，
则 tan α＜0，cos α＞0，点在第二象限．
()
2．已知 sin θcos θ<0，且|cos θ|＝cos θ，则角 θ 是 A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
解得 b＝3(b＝－3 舍去)．
4．sin 780°＝________，cos94π＝________．
答案：
3 2
2 2
探究点 1 求任意角的三角函数值 (1)已知角 α 的终边与单位圆的交点为 P35，y(y<0)，求 tan α 的值．
(2)已知角 α 的终边落在射线 y＝2x(x≥0)上，求 sin α，cos α 的值．
第五章 三角函数
5．2 三角函数的概念 5．2.1 三角函数的概念
数学
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
测评案 达标反馈
04
应用案 巩固提升
教材考点
学习目标
三角函数的概念
理解三角函数的概念，会求 给定角的三角函数值
掌握各象限角的三角函数值 三角函数值的符号判断
的符号规律
诱导公式一及应用
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的纵 三角
坐标与横坐标的比值为函数值的函数，将正弦函数、余弦 函数
函数和正切函数统称为三角函数
■微思考 1 (1)初中学习的锐角三角函数的定义是什么？ 提示：如图，在 Rt△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c，则： sin B＝bc＝对 斜边 边， cos B＝ac＝斜 邻边 边， tan B＝ba＝邻 对边 边.

5．三角函数的和差化积公式 sinα＋sinβ＝2sinα＋2 βcosα－2 β； sinα－sinβ＝2cosα＋2 βsinα－2 β； cosα＋cosβ＝2cosα＋2 βcosα－2 β； cosα－cosβ＝－2sinα＋2 β＋sinα－2 β.
误区警示 (1)注意和角公式中的符号，这是最易出错的地方． (2)半角公式根号前的符号由α2所在象限确定，升降 幂公式中角与指数的关系．
∴tanα＝－34，∴tanα＋π3＝1t－antαa＋nαt·atann3ππ3
＝1－－－34＋34×3
＝19(48－25 3
3)．
• 二、学习本章要在“变”字上下功夫，在 变角变名变结构中实现对问题的突破，它 体现的就是转化与化归的思想方法．
• 1．变角：①设法产生特殊角；②将待求 角向已知角转化求值，或将已知角向待证 式中的角靠拢证明；
方法二：仍然要想着非特殊角跟特殊角的联系，并
且注意到 3＝2cos30°，于是
原式＝
3sin10°＋4sin10°cos10° cos10°
＝
3sin10°＋2sin20° cos10°
＝2cos30°scino1s01°0＋° 2sin20°(积化和差)
＝sin40°－scions2100°°＋2sin20°
＝sin40co°＋s10si°n20°(和差化积)＝2sinc3o0s°1c0o°s10°＝1.
• [点评] 从解题过程来看，本题包含了常 见的各种三角变换的技巧．函数名不同时， 化为同名，角向特殊角进行转换，特殊值 与特殊角的转换以及积化和差、和差化积 等技巧．希望能仔细琢磨．
• 三、给角求值、给值求值(或角)的化简、 计算题是最基本的考查方式．
一、熟练掌握和、差、倍角的三角公式是直接应用 公式进行三角恒等变形的先决条件、半角公式、和积互 化公式虽不要求记忆，能记住应用起来更方便些．

60、生活本没有导演，但我们每个人 都像演 员一样 ，为了 合乎剧 情而认 真地表 演着。 61、所谓英雄，其实是指那些无论在 什么环 境下都 能够生 存下去 的人。5、心情 就像衣 服，脏 了就拿 去洗洗 ，晒晒 ，阳光 自然就 会蔓延 开来。 阳光那 么好， 何必自 寻烦恼 ，过好 每一个 当下， 一万个 美丽的 未来抵 不过一 个温暖 的现在 。
32、任何业绩的质变，都来自于量变 的积累 。 33、空想会想出很多绝妙的主意，但 却办不 成任何 事情。 34、不大可能的事也许今天实现，根 本不可 能的事 也许明 天会实 现。 35、再长的路，一步步也能走完，再 短的路 ，不迈 开双脚 也无法 到达。
36、失败者任其失败，成功者创造成 功。 37、世上没有绝望的处境，只有对处 境绝望 的人。
2
2
变
tg()ct g
ctg ()tg
，
2
2
符 号
sin3( )cos co3 s()si n
2
2
看
tg(3)ct g ct(g3)tg
象
2
2
.
限
sin 3()cos co3 s()si n
2
2
tg(3)ct g
ct(g 3)tg
2
2
三角函数的定义
诱导公式1 诱导公式2
同角三角函数基本关系
三 角 函 数 的 公 式
不 t( g 2 k ) t g c(t2 k g ) c tg
变
， si n )(sin co s) (co s
符 号
tg ( ) t g ct( g ) c tg
看 象
sin ()sin c(o s) co s
限 tg ( ) t g c(tg ) c tg

任意角的三角函数 :
y
记作rsin叫α做，角即αs的inα正=弦，ry；
x 叫做角α的余弦，
r 记作cosα ,即cosα=
x；
r
y
P
r yA
m

x
y x
叫做角α的正切，
记于α的大小，与点P在α终边上的位置无关。
锐角三角函数的定义:
在直角三角形ABC中，角C是直角，角 A为锐角，则用角A的对边BC，邻边AC和斜 边AB之间的比值来定义角A的三角函数.
sin A BC AB
cos A AC AB
B
tan A BC AC
cot A AC BC
A
C
夫松冲掉了。现存的株是公元7年(清雍正八年)补种的。但在离开五大夫松处不远的一山坡上确有一株古松，人称“望人松”的，树龄已达岁，堪称松树年岁 之冠军。泰山普照寺内的六朝松已有4岁了。在山西五台山佛光寺大佛殿前有株古松，传系唐建中年间建寺时种的，有多岁了；树高达米，胸围米。在北岳恒 山有不少古松，多植于； 淘宝优惠劵 淘宝优惠劵 ；唐代，树龄有千年。内蒙古自治区准格尔旗神山林场，有一株罕见的油松，高达米， 胸围4.米，被称为油松王，据估算有近 岁了。马尾松在南方分布广，广西全州绍水乡有一马尾松，高达近4米，胸径米以上,树龄有千多岁。 松树不仅有古寿 星，而且有的形态奇特，安徽九华山有一古松，在主干米处，分出个分枝，中枝呈曲线上升状，侧枝之一侧微曲且平缓下伸，另一侧枝斜伸而略翘起，整个 松如凤凰展翅状 ，人称之为“凤凰松”。江苏连云港的云台山上有一奇松,树干全长约米，干粗米多，主干竟有米多是卧在地面生长的，如卧龙之状，几度扭 曲后又上升，成为一奇景。安徽黄山以有奇松闻名于世，如玉屏峰文殊院附近的迎客松，唐朝即已有记述，有多岁了，树干中部伸出7.米长两大侧枝，如展 臂迎客状。许多松都生在石缝中，树身和枝干奇形怪状。针叶又极短，这些都是黄山松。常以其形状象形而名之；如倒挂松、飞龙松、龙爪松、连理松、蒲 团松…… 形态特征编辑 松树较幼时的树冠呈金字塔形，树枝多呈轮状着生。幼苗出土、子叶展开以后，首先着生的为初生叶，单生，螺旋状排列，线状披针 形，叶缘具齿。初生叶行使叶的功能～年后， 松树照片 松树照片(张) 才出现针叶，通常、、枚成束，着生于短枝的顶端。每束针叶基部有叶鞘，早期脱落 或宿存。叶肉组织中的树脂道的位置在成年植株比较恒定，可分为外生、中生、内生种类型。 松树针叶横切面中可见或个维管束，特殊环境下可在双维管束