高中数学三角函数专题：三角函数定义

第1页共42页【考点预测】

知识点一：三角函数基本概念

1．角的概念

(1)任意角：①高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇

专题17三角函数概念与诱导公式

定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；

②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．

(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是

ZkkS，

360．

(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说

这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．

(4)象限角的集合表示方法：

2．弧度制

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度

数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．

(2)角度制和弧度制的互化：rad180

,rad

1801

,



180

rad1．

(3)扇形的弧长公式：rl，扇形的面积公式：2

21

21

rlrS

．

3．任意角的三角函数

(1)定义：任意角α的终边与单位圆交于点)(yxP，时，则y

sin，x

cos，)0(tanx

xy



．

(2)推广：三角函数坐标法定义中，若取点P)(yxP，是角α终边上异于顶点的任一点，设点P到原点O的距

离为r，则

ry



sin，

rx



cos，)0(tanx

xy



三角函数的性质如下表：

三角函数定义域第一象

限符号第二象限

符号第三象

限符号第四象

限符号



sinR＋＋－－



cos

R＋－－＋第2页共42页



tan}

2|{Zkk，



＋－＋－

记忆口诀:三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦．

4．三角函数线

如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终

边或终边的反向延长线相交于点T．三角函数线有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线

高中数学 5.2.1 任意角三角函数的定义

【教学目标】

1. 理解并掌握任意角三角函数的定义；熟记其在各象限的符号；掌握三角函数线的定义及画法．

2．通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想．

【教学重点】

任意角三角函数的定义．

【教学难点】

单位圆及三角函数线．

【教学方法】

本节课主要采用启发引导与讲练结合的教学方法．在复习锐角三角函数定义的基础上，定义了任意角的三角函数，讲练结合，使学生牢固掌握．然后引导学生根据三角函数定义和象限内的点坐标符号导出三角函数在各象限的符号，接着把正弦值、余弦值、正切值转化为单位圆中的有向线段表示，使数与形密切结合起来，以加强学生对三角函数定义的理解．

【教学过程】

环节 教学内容 师生互动 设计意图

导

入 复习锐角三角函数定义． 师：初中时我们学过锐角三角函数，当时是怎样定义的？ 以旧引新．

新

课

1. 任意角的三角函数定义．

已知  是任意角，P(x，y)， P(x，y)是角 的终边与两个半径不同的同心圆的交点．

(r＝x2+y2 ， r'＝x'2+y'2 )

如图所示：

当角  不变时，对于角  的终边上任意一点P（x，y），不论点 P 在角 

的终边上的位置如何，三个比值xr ，yr ，问题1：当我们把锐角的概念推广为转角后，我们如何定义任意角的三角函数呢？

如左图所示，由相似三角形对应边成比例得，x r ＝x'r' ，y r ＝y'r' ，y x ＝y'x' .

由于点P，P' 在同一象限内，所以它们的坐标符号相同，

因此，xr ＝x'r' ，yr ＝y'r' ，yx ＝y'x' ，

所以三个比值 xr ，yr ，yx 只依赖于  的大小，与点 P 在 

终边上的位置无关．

说明三角函数定义的理论根据．

y

P

r

r′ y y′

O x′ x x P’

64

一、弧度制与任意角的三角函数

1．角的概念：一条射线绕着端点旋转所成的图形．按其旋转方向分为：正角，零角，负角．

2．任一已知角的弧度数的绝对值lr；180πrad，1801rad57.30π；

3．三角函数定义：在平面直角坐标系中，()Pxy，为终边上原点外的任意一点，22rxy，

的正弦：sinyr；余弦：cosxr；正切：tanyx；

4．同角三角函数的基本关系式：22sincos1xx，sintancosxxx．

5．诱导公式：

角π2k()kZ与的三角函数值的关系：奇变偶不变，符号看象限．（k的奇偶，函数名互变）

二、三角函数的图象与性质

1．正弦函数sinyxxR，

⑴图象：正弦曲线（如右）；

⑵定义域：R；值域：[11]，；周期：2π；

⑶奇偶性：奇函数；

⑷单调增区间：ππ2π,2π()22kkkZ；单调减区间：π3π2π,2π()22kkkZ．

2．余弦函数cosyxxR，的图象由正弦曲线向左平移π2个单位； 知识梳理 知识结构图 第8讲

三角函数

yxO2--2

65 3．正弦型函数sin()yAx，可由正弦函数经过平移与伸缩变换得到，可以研究它的性质；

4．正切函数πtanπ()2yxxkkZ，；

三、三角恒等变换

1．两角和与差的三角函数

正弦公式：S:sinsincoscossin， S:sinsincoscossin；

余弦公式：+C:coscoscossinsin， C:coscoscossinsin；

正切公式：tantanT:tan1tantan， tantanT:tan1tantan．

高中数学必修二 三角函数 课件

高中数学必修二—三角函数

第一章：概念介绍

三角函数是高中数学中的重要内容，它在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。本章将介绍三角函数的定义、基本性质以及常用的公式，让学生对三角函数有一个清晰的认识。

1.1 三角函数的定义

三角函数是指正弦函数、余弦函数和正切函数三者的统称。它们分别与一个角的正弦值、余弦值和正切值相关联，通过对角度的变化，可以得到不同角度下的函数值。

1.2 三角函数的基本性质

三角函数具有周期性、奇偶性、单调性等基本性质。其中周期性是指函数在一定范围内具有重复的规律性；奇偶性是指函数的对称特点，可以通过函数的公式来判断；单调性是指函数的增减规律，可以通过导数的正负来判断。

1.3 三角函数的常用公式

三角函数的公式包括和差化积、倍角、半角等多种形式。这些公式在解三角方程、化简表达式等问题中起着关键作用，学生需要掌握并灵活运用。

第二章：三角函数的图像与性质 本章将通过图像展示三角函数的变化规律，并介绍与之相关的性质，以加深学生对三角函数的理解和把握。

2.1 正弦函数的图像与性质

正弦函数是最基本的三角函数之一，它在数学和物理中都有着广泛的应用。我们将通过绘制正弦函数的图像，观察角度对函数值的影响，并探讨正弦函数的周期性、奇偶性、单调性等基本性质。

2.2 余弦函数的图像与性质

余弦函数与正弦函数具有相似的性质，但它们的图像呈现出不同的特点。我们将通过绘制余弦函数的图像，观察角度对函数值的影响，并研究余弦函数的周期性、奇偶性、单调性等基本性质。

2.3 正切函数的图像与性质

正切函数是三角函数中的最后一个，它与其他两个函数有着截然不同的图像特点。通过绘制正切函数的图像，我们可以观察到它的周期性、奇偶性以及无定义的点等特性。

第三章：三角函数的应用

三角函数在实际问题中有着广泛的应用，本章将介绍几个与角度和三角函数相关的实际问题，帮助学生将所学的知识运用到实践中。