2018线性代数A1期中考试

一．计算题（共50分）1．（6分）设200111313A⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,计算（1）TAA，（2）T A A.2. （6分）计算行列式100 010 000 5432 xxxx+.3.（6分）计算行列式12222 22222 2232222212 2222nn-.《线性代数》课程期中考试卷学院＿＿＿年级＿＿姓名＿＿＿＿学号＿＿＿＿主考教师：试卷类型：（A卷）4. （6分）设1231212011311042025k A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()3R A =,求k .. 5.（6分）设123,,,,αβγγγ都是4维列向量，矩阵123,,,5,A αγγγ==矩阵123,,,2B βγγγ==-，求2A B +.6. （10分）设A,B,C,D 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，A 是可逆矩阵. 如果分块矩阵110,,0E A B E A B P Q R CA E C D E --⎡⎤-⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， （1）计算PQR,（2）证明矩阵Q 可逆的充分必要条件是1D CA B --是可逆的.7（10分）已知矩阵11101123351Aa⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与矩阵11101023151Baa⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦等价，确定常数a的取值范围.二. （10分）证明cos112cos1cos12cos112cosnD nααααα==.三.（15分）设A,B,C 为4阶矩阵，满足1132TA BC AB --+=，其中0100101100101101,0001111010000111B C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 求A .四. （20分）设1012,2,211aαβγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，若,T TA Bαββα==，求解方程22A x Bxγ=+.五.(5分) 设 []12,,,n A ααα=是n 阶矩阵，满足T A A E =且1A =，又[]12,,,Tn c c c β=满足1T n βα=，证明[]121,,,,n B αααβ-=可逆，并求B .二． 计算题（共50分）1．（6分）设200111313A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,计算（1）T AA ，（2）T A A . 解（1）T AA =4264228210-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，（2）T A A =14484228210-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦。

第 1 页 共 4 页 背面有试题华东交通大学2017—2018学年第一学期考试卷课程名称： 线性代数A 考试时间： 120 分钟 考试方式：闭卷 （A ）卷一、填空题(每题 3 分，共 15 分)1、设矩阵A ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛--4321，则矩阵A 的伴随矩阵A *＝ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13242、设方阵A 满足A 3-2A+E=0，则21(A 2E)-- = -A .3、已知向量),,(211-=α与向量),,(x 22-=β正交，则=x -2. 4、如果n 元齐次线性方程组0=Ax 的基础解系含有)(n s s <个解向量， 那么矩阵的秩为()=A R s n - 5、设 123,,λλλ为方阵270056004A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的三个特征值，则123λλλ＝ 40 二、选择题(每题3 分，共15 分)6、若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛λ--=05021311A 为奇异矩阵，则=λ( C ).(A) 1 (B) 2 (C) -3 (D) -4 7、B A ,是n 阶方阵，则下列结论成立的是( C ).(A)000==⇔=B A AB 或 (B)00=⇔=A A (C)000==⇔=B A AB 或 (D).1=⇔=A E A 8、若向量组s ααα,,, 21的秩为r ，则( D ).(A)必定s r < (B)向量组中任意小于r 个向量的部分组线性无关(C)向量组中任意r 个向量线性无关 (D)向量组中任意1+r 个向量必定线性相关9、设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（B ） (A)111)(---+=+B A B A (B)111)(---=A B AB(C)111---=)()(T T B A AB (D)11--=kA kA )(（其中k 为非零常数）第 2 页 共 4 页 背面有试题2装O订O线O10、设1234,,,αααα都是3维向量，则必有( B )(A) 1234,,,αααα线性无关 (B) 1234,,,αααα线性相关 (C) 1α可由234,,ααα线性表示 (D) 1α不可由234,,ααα线性表示三、解答题(每题8分，共40分)11、求行列式21021001201002。

线性代数期中考试试题+答案.⼀、填空题（共30分，每填对⼀空得3分）1、函数23u xy z =在点(1,1,1)P 处沿⽅向(1,2,3)有最⼤⽅向导数，最⼤⽅向导数等于．2、设arctan x y z x y -=+，则 z x ?=?22y x y+， 22z x ?=?()2222xyx y -+．.3、函数(,)z z x y =由⽅程230zx y z e ++-=确定；则 z x ?=?21z x e -， z y ?=?231z y e -．4、微分⽅程d 2d y xy x=的通解为2x y ce =；0d ()d yx y x xx -=>的通解为 ln y x x cx =+．.5、设函数(,)f x y 连续，(,)(,)d d Df x y xy f u v u v =+??，其中D 由直线0y =，1x =和y x =所围，则(,)d d Df u v u v =??14，(,)f x y =14xy +．⼆、单项选择题（共20分，每题4分）=+，则点=的全微分d d dz f x yO(D) ．(0,0)(A) 不是(,)f x y的连续点；(B) 不是(,)f x y的极值点；(C) 是(,)f x y的极⼤值点；(D) 是(,)f x y的极⼩值点．..2、设函数(,)f x y =，则 (B) ．(A) (0,0)x f '存在，(0,0)y f '不存在； (B) (0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在； (C) (0,0)x f '和(0,0)y f '都存在； (D) (0,0)x f '和(0,0)y f '都不存在．.3、设积分域D ：221x y +≤，221sin()d d DI x y x y =+??，332sin()d d DI x y x y =+??，443sin()d d DI x y x y =+??，则 (B) ． (A) 123I I I >>； (B) 132I I I >>； (C) 213I I I >>； (D) 231I I I >>．.4、设函数()f u 连续，D ={}22(,)2x y x y y +≤，则()d d D．(A)11d ()d x f xy y -??； (B) 2002d ()d y f xy x ??；(C) 2sin 20d (sin cos )d f r r πθθθθ??； (D)2sin 2d (sin cos )d r f r r πθθθθ??．.5、函数(,)f x y 在点(0,0)O 处可微的⼀个充分条件是 (D) ． (A) (,)(0,0)lim(,)(0,0)x y f x y f →=；(B) 0(,0)(0,0)lim 0x f x f x →-=, 0(0,)(0,0)lim 0y f y f y→-=；(C) 0lim (,0)(0,0)x x x f x f →''= 且 0lim (0,)(0,0)y y y f y f →''=；(D) (,)(0,0)(,)(0,0)0x y f x y f →-=．.三、（10分）求微分⽅程 2(34)xy y x e ''-=+ 通解．解特征⽅程 210λ-=，特征根 121,1λλ=-=；------2分对应的齐次⽅程的通解 12x xy c e c e -=+ -----5分设原⽅程的特解* 2()xy ax b e =+并代⼊原⽅程，解得: *2xy xe = -----9分原⽅程的通解: 212xxxy c e c e xe -=++ -----10分四、（10分）求曲线L：2226x y zx y z++=++=在点(1,2,1)P-处的切线和法平⾯⽅程．解对x求导，得2220 10x yy zzy z''++=?''在点(1,2,1)P-处，211y zy z''-+=-''+=-，得0y'=，1z'=-------6分切线⽅程：121101x y z-+-==------8分法平⾯⽅程：0x z-=-----10分..五、（10分）计算⼆重积分 2(3)d d DI x y x y =+??，其中D ：221x y +≤．22(96)d d (9)d d DDI x y xy x y x y x y =++=+（奇偶性+对称性）-------2分2222221(9)(9)d d 5()d d 2D Dx y x y x y x y x y ??=+++=+ （轮换对称性） -------4分213055d d 2r r πθπ==?------10分.六、（10分）在曲⾯S ：22221x y z ++=上求距离平⾯26x y z +-=的最近点、最远点．解点(,,)x y z 到平⾯的距离26x y z +--，---2分设 2222(,,,)(26)(21)L x y z x y z x y z λλ=+--+++-------2分.令 2224(26)402(26)202(26)20210xyz L x y z x L x y z y L x y z z L x y z λλλλ'=+--+=??'=+--+=??'=-+--+=??'=++-=? ------6分解得最近点1111(,,)222P -，最远点2111(,,)222P -- -----10分.六、（10分）在曲⾯S ：22221x y z ++=上求距离平⾯∏：26x y z +-=的最近点、最远点．解令 0000(,,)P x y z S ∈, 椭球⾯S 过0P 切平⾯⽅程1000:2 1.x x y y z z ∏++=令12//∏∏，有:0002211x y z ==-， (1)⼜： 22221x y z ++=， (2)解得最近点1111(,,)222P -，最远点2111(,,)222P --.定理设0000(,,)P x y z S ∈，⽽S 为实⼆次曲⾯22222 2 A x B xy C x z Dy E y z F z +++++2 2 20,G x H y I z J ++++=若 Ax 0 + By 0 + Cz 0 + G,Bx 0 + Dy 0 + Ez 0 + H, Cx 0 + Ey 0 + Fz 0 + I ,不全为零, P 0 称为S 的寻常点. 则⼆次曲⾯S 在0000(,,)P x y z 处的切平⾯⽅程为:()()()00000000 A x x B x y xy C x z x z Dy y E y z y z +++++++()()()0000 0.F z z G x x H y y I z z J ++++++++=.七、（10分）设函数()f u 在(0,)+∞内⼆阶连续可微，(1)0f =，(1)1f '=，且z f =满⾜22220z zx y+=，求()f u ．解u =，则()z xf u x u'=，222232()()z y x f u f u x u u ?'''=+?； ()z y f u y u'=，222232()()z x y f u f u y u u ?'''=+?. --4分.代⼊原⽅程并化简，得 1()()0f u f u u'''+=，即()()(())0u f u f u u f u '''''+==， ------5分从⽽ 1()u f u c '=。

2017-20181 线性代数一、填空题（每小题4分，共20分）1．四阶行列式中含有441221a a a 的项为__________；2．设1221304012107301---=D ,则D 的代数余子式=23A ； 3． 设 1112131111121321222321212223313233313132333403434a a a a a a a a a a M a a a a a a a a a a a --=≠--=--，则 _________； 4．设A 为3阶方阵，且4A =，则*126A A --=_______________；5．已知()()()T T T123=1,-2,-1,1=2,0,,0=-4,5,2t ααα-，，0,，且3α能由12, αα线性表示，则t =______________；二、选择题（每小题4分，共20分）1.设n 阶方阵A 满足220A A E --=，则必有（ ）A. 2A E =B. A E =-C. A 不可逆D. A E -可逆 2.行列式01221≠--k k 的充分不必要条件是（）（A ）-1k ≠（B ）3k ≠（C ）3k -1k ≠≠且（D ）3k -1k ≠≠或3.设A , B 均为n 阶方阵，则下列正确的是（ ）A. B A B A +=+B. BA AB =C. BA AB =D. 111)(---+=+B A B A4. 两个n 阶初等矩阵的乘积一定为 （ ）（A ）初等矩阵；（B ） 单位矩阵；（C ） 可逆阵；（D ） 不可逆阵。

5.向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是 ；)A s ααα,,,21 均不为零向量)B s ααα,,,21 中任意两个向量对应分量不成比例)C s ααα,,,21 中任意一个向量均不能由其余1-s 个向量线性表出)D s ααα,,,21 中有一部分线性无关期中考试试题 学期 学年三．（13分）（1计算行列式D=ab b b ba b b b b a b bb b a（2）计算行列式D= y y x x-+-+1111111111111111四．（10分）设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=4321,6063324208421221b A ，求矩阵A 及矩阵),(b A B =的秩。

2018考研线代真题答案2018年考研数学一真题中的线性代数部分是许多考生关注的焦点。

在这一部分中，考生需要通过解答一系列的选择题和计算题来展示他们对线性代数知识的掌握程度。

接下来，我们将对2018年考研数学一线性代数真题进行分析，并给出相应的答案和解析。

第一题是关于矩阵的秩的计算。

考生需要计算一个给定矩阵的秩。

这个问题涉及到线性代数中的重要概念，即矩阵的秩。

矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。

通过计算矩阵的行阶梯形式，我们可以得到该矩阵的秩。

对于这道题，我们可以将矩阵化简为行阶梯形式，然后计算非零行的个数即可得到秩的答案。

第二题是关于矩阵的特征值和特征向量的计算。

考生需要计算一个给定矩阵的特征值和特征向量。

特征值和特征向量是矩阵在线性代数中的重要概念。

特征值是指矩阵在某个方向上的伸缩比例，而特征向量是指在该方向上的不变向量。

通过求解矩阵的特征方程，我们可以得到特征值。

然后，通过代入特征值，我们可以求解对应的特征向量。

对于这道题，我们可以先求解特征值，然后代入特征值求解特征向量。

第三题是关于线性空间的子空间的判断。

考生需要判断给定的子集是否构成一个线性空间的子空间。

线性空间是指满足加法和数乘运算封闭性的集合。

对于这道题，我们需要验证子集是否满足加法和数乘运算封闭性。

如果满足，则该子集构成一个线性空间的子空间。

第四题是关于线性方程组的求解。

考生需要求解一个给定线性方程组的解集。

线性方程组是线性代数中的基础知识，解线性方程组是线性代数中的重要技巧。

对于这道题，我们可以通过高斯消元法或矩阵的逆来求解线性方程组的解集。

第五题是关于向量空间的基和维数的计算。

考生需要计算一个给定向量空间的基和维数。

向量空间是指满足加法和数乘运算封闭性以及满足向量空间公理的集合。

对于这道题，我们需要找到向量空间的一个线性无关组，然后通过计算线性无关组的个数来得到向量空间的维数。

通过对2018年考研数学一线性代数真题的分析，我们可以看到这一部分涉及到线性代数的基本概念和计算技巧。

全国2018年10月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198第一部分 选择题试卷说明：A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式。

一、单项选择题(本大题共14小题，每小题2分，共28分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

1．设矩阵A =(1,2,3)，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛201，则AB 为（ ）A. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛642000321B.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛601C.（1,0,6）D.7 2．n 阶行列式0000000000000000121-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n a a a a 的值为（ ） A.a 1a 2…a nB.-a 1a 2…a nC.(-1)n -1a 1a 2…a nD.(-1)n a 1a 2…a n 3．设行列式01110212=-k k ，则k 的取值为（ ）A.2B.-2或3C.0D.-3或24．设-2是3阶方阵A 的一个特征值，则A 2必有一个特征值为（ ）A.-8B.-4C.4D.85．设A 、B 均为n 阶矩阵，且A 可逆，则下列结论正确的是（ ）A.若AB ≠0，则B 可逆B.若AB =0，则B =0C.若AB ≠0，则B 不可逆D.若AB=BA ，则B =E6．向量组（Ⅰ）：α1,α2,…, αr 和向量组（Ⅱ）：β1，β2，…βs 等价的定义是向量组（ ） A.（Ⅰ）和（Ⅱ）可互相线性表示B.（Ⅰ）和（Ⅱ）中有一组可由另一组线性表示C.（Ⅰ）和（Ⅱ）中所含向量的个数相等D.（Ⅰ）和（Ⅱ）的秩相等7．下列矩阵中，不是．．二次型矩阵的为（ ） A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100000000B.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-200010001C.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--562640203D. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321 8．设3阶方阵A 的元素全为1，则秩(A )为（ ）A.0B.1C.2D.39．设A 为3阶方阵，且行列式|A |=1，则|-2A |之值为（ ）A.-8B.-2C.2D.810．同阶方阵A 、B 相似的充分必要条件是（ ）A.存在可逆矩阵P ，使P -1AP =BB.存在可逆矩阵P ，使P T AP =BC.存在两个可逆矩阵P 和Q ，使PAQ =BD.A 可以经过有限次初等变换变成B11．若线性方程组⎩⎨⎧=λ+-=+-212321321x x x x x x 无解．．，则λ等于（ ） A.2 B.1C.0D.-112．设α1、α2和β1、β2是方程组Ax =0的两个不同．．的基础解系，则下列结论中正确的是（ ）A.向量组α1,α2,β1的秩小于向量组β1,β2的秩 B.向量组α1,α2,β1的秩等于向量组β1,β2的秩 C.向量组α1,α2,β1的秩大于向量组β1,β2的秩D.向量组α1,α2,β1,β2的秩大于向量组β1,β2的秩13．设A 为n(n ≥2)阶方阵，且A 的行列式|A |=a ≠0，则|A *|等于（ ）A.a -1B.aC.a n -1D.a n14．设向量α1=（1,a ,a 2），α2=(1,b ,b 2),α3=(1,c ,c 2)，则向量组α1,α2,α3线性无关的充分必要条件是（ ）A.a ,b ,c 全不为0B.a ,b ,c 不全为0C.a ,b ,c 不全相等D.a ,b ,c 互不相等第二部分 非选择题二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。

一、填空题（每小题5分，共30分）1、三阶方阵A=1230 0 0 0 0 0λλλ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭（其中1230 λλλ≠）的逆矩阵A -1 = 。

2、已知A= 3 5 01-1 -2 02 0 0 2⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，A*是矩阵A 的伴随矩阵，则 (A*)-1 = 。

3、n 阶方阵A ，B 满足A+B=AB ，则B-E 可逆且（B-E ）-1 = 。

4、A 为三阶方阵， 1A =，则 1*(2) A A -- =________ 。

5、A 为n 阶可逆方阵，将A 的第i 行和第j 行对调得到矩阵B ，则 AB -1 = 。

6、111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，121111132221212332313133 a a a a B a a a a a a a a +⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭，10 1 01 0 00 0 1P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2 1 0 10 1 00 0 1P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则B = 。

（用12,,A P P 表示B ）答案：1、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0 0 /10 1/ 0 1/ 0 0 123λλλ 2、⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2 0 0 0 2- 1-0 5 3 2 3、A-E 4、-1/8 5、E n (i,j ) 6、A P 2P 1二、（30分）1、计算行列式123410123110125D =--- （10分）解：7014101231107-25D =---327 1 4 (1)(1) 1 1 2 7 -2 -5+=-- 6 0 21 1 2 9 0 -1=226 2(1)-249 -1+=-=2、计算行列式D n = a a a b a a b aa b a a b a a a----(a ≠-b ) (10分)解：将第2、3、…、n 列同时加到第一列，并提取公因子，得n 1 a a b 1 a b aD [(n 1)a b] .................................1 b a a 1 a a a--=---0 0 0 -b-a 0 0 -b-a 0[(n 1)a b] .................................0 -b-a 0 0 1 a a a=--n(n 1)n 1n 12(1)(1)(b a)[(n 1)a b]---=--+--(n 1)(n 2)n 12(1)(a b)[(n 1)a b]-+-=-+--3、求下列矩阵的逆矩阵（10分）11000130000020********001A ⎛⎫⎪- ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭答案： 341400014140000012000001200001-⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎪- ⎪ ⎪⎝⎭三、（40分）1. 已知011111010A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，112113B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且满足AX +B =X ，用初等变换法求X （10分） 解：由AX +B =X 知 B =X -AX =(E -A )X()100011111010111101001010011E A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭且10E A -=≠所以E -A 可逆，由此得1()XE A B -=-()111111012101113E A B ---⎛⎫ ⎪-=- ⎪⎪⎝⎭010121012101113---⎛⎫⎪−−→-⎪⎪⎝⎭ 010121002200101---⎛⎫ ⎪−−→⎪ ⎪⎝⎭ 100220101200101⎛⎫ ⎪−−→ ⎪⎪⎝⎭2、已知矩阵A =0 1 01 2 00 0 -1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，A *是矩阵A 的伴随矩阵，若矩阵B 满足（B-E ）-1 =A *-E ， 求矩阵B 。

2018-2019第一学期理科高等代数期中模拟试题答案与评分标准：一、1、0=r .2、4. 前4行每行乘上1/2加到最后一行。

3、F k k T∈=,)1,....,1,1(η.4、3.1,cos ,cos 2x x 线性无关，x x x x 222cos 21)2cos(,cos 1sin -=-=。

5、4.二、1、A2、D. 其余3项系数和为1；D 是导出方程组的一个解。

3、C. 显见两者都是子空间且其交集为零子空间（并非空集）。

4、D.5、B. (1)显然错；（2）错，反例0,021≠=αα; (3),(4)正确。

三、答案: 极大线性无关部分组321,,ααα ，秩为3答题概要：把4321,,,αααα写成列向量排成矩阵，作初等行变换化为阶梯形（6分），从阶梯形矩阵看出那些列向量构成极大线性无关部分组，并且求秩（4分）四、解题概要：写出增广矩阵，作初等变换化为阶梯形(4分）系数矩阵与增广矩阵的秩都是2。

求原方程组的特解T )0,0,0,6,4(0-=γ（3分）求导出方程组的基础解系123(1,-2,1,0,0),(1,-2,0,1,0),(5,-6,0,0,1)T T T ηηη===通解为F k k k k k k ∈+++3213322110,,,ηηηγ(8分）五、对矩阵),,,(2121ββαα进行初等行变换得121,,βαα线性无关，（3分）且 1212767879βααβ++-=，（3分）故21V V +维数为3，21V V ⋂维数为1，（2分） 2121767879ββααγ+-=+-=是21V V ⋂的一组基。

（2分）六、证明：假设21V V ⊆不成立，证明必有21V V ⊇。

由假设必有向量21,V v V v ∉∈. 对任意2V w ∈，由于21,V V w v ⋃∈且21V V ⋃是子空间，所以21V V w v ⋃∈+即1V w v ∈+或2V w v ∈+。

（5分）若2V w v ∈+，则2)()(V w w v v ∈-++=与2V v ∉矛盾。

⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎪2017-2018 第一学期 线代期中试卷一、填空题（每小题 5 分，共 35 分）x a a1. 行列式 ax a = ．a a x 2. 已知一 个 三 阶 行 列 式 的 第 二 行 元 素 全 为 1 ，第 三 行 的 余 子 式 分 别 为 a ,a +1,a + 2，则a =.2 - 13 ． 设 D = 3 0 -14 - ， A i j 为 D 的 (i , j ) 元 的 代 数 余 子 式 ， 则-2A 12 - 4A 22 + 2A 32 =. 4．设 A , B 为 3 阶方阵， A = 1, B = -2, ，则 (2A )*(2B )-1 =. ⎛ 1 2 4 ⎫5．设 A -1 = 0 3 5 ⎪ ，则 A * = ．0 0 6 ⎪ 6.设 A = (α1, 2α2,α3), B = (α1, 4α3,α3) ，其中α1,α2,α3 都是 3 维列向量，已知 A = 2 ， 则 A + B = ．⎛ 2 2 0 ⎫ 7. 已知 A = 3 4 0 ⎪ ，那么 A -1 = . 0 0 5 ⎪ 二、选择题（每小题 5 分，共计 25 分） 1. 设 A , B ,C 为n 阶方阵，且 ABC = E ，则下列等式必成立的是（）(A ) ) BCA =E(B ) BAC = E (C ) ACB = E (D ) CBA = E2、设 A , B 为n 阶方阵，且 AB = O ，则必有（）．( A ) A = O 或 B = O(B ) | A | + | B |= 0(C ) 若 A ≠ O ，则 B = O(D ) 若| A |≠ 0 ，则 B = O⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎪ 1 2 3 2 ⎛ a 11 a 12 a 13 ⎫ ⎛ a 21 a 22 a 23 ⎫ ⎛ 0 1 0 ⎫ 3. 设 A = a a a ⎪ ， B = a a a ⎪ ， P = 1 0 0 ⎪ ， 21 22 23 ⎪ 11 12 13 ⎪ 1 ⎪ a a a ⎪ a + a a + a a + a ⎪ 0 0 1 ⎪⎝ 31 32 33 ⎭ ⎝ 31 11 32 12 33 13 ⎭ ⎝ ⎭⎛ 1 0 0 ⎫P = 0 1 0 ⎪ ， 1 0 1 ⎪ 则必有（）．( A ) AP 1P 2 = B(B ) AP 2P 1 = B (C ) P 1P 2 A = B (D )P 2 P 1 A = B⎛ 1 0 0⎫⎛ 1 1 0 ⎫ 4. 设 A = 0 2 0⎪ ， B = 1 2 2 ⎪ ， C = AB -1 ，则矩阵C -1 中第三行、第二列的元 ⎪ 0 0 3⎪ ⎪ 0 1 3 ⎪ 素是( )． (A ) ) 12 (B ) 13 (C ) 1 (D ) 3 25.以下结论正确的是( )( A )若方阵 A 的行列式 A = 0 , 则 A = 0 (B ) 若 A 为对称矩阵, 则 A 2 也是对称矩阵 (C )若 A 2 = 0 , 则 A = 0 (D ) 对n 阶方阵 A , B , 有(A + B )(A - B ) = A 2 - B 2⎧x + ax + a 2 x = d , ⎪ 1 2 3 三、（10 分）解方程组⎨ x + bx + b 2 x = d , 其中a , b , c 互异． ⎪ x + cx + c 2 x = d .⎩ 12 3 ⎛ 0 2 -1⎫ 四、（10 分）求 A = 1 1 2 ⎪ 的逆矩阵． -1 -1 -1⎪⎝ ⎭T ⎛ 1 1 ⎫T五、（10 分）已知α = (1, 2,3) , β = 1, , ⎪ , 若A = αβT ,求A 2017.⎝ 2 3 ⎭六、（10 分）设n 阶方阵 A 满足方程 A 3 + A 2 - 2A - 2E = 0 ，证明 A 及 E - A 都可逆，并求 A -1 及(E - A )-1 ．。

一（10分）. 设()321-10332,01-1001f x x x x A ⎡⎤⎢⎥=-++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦矩阵，求()f A .解法一 令A E B =-，其中010001000B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2′计算得30B =，3′所以()32332f A A A A E =-++()()()32332E B E B E B E =---+-+3.E = 5′解法二 ()32332f A A A A E =-++()32332A A A E E E =-+-++()33A E E =-+()33B E =-+3E =.10′二（10分）. 已知2-315-157-8213461-53A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的第1列的各元素的代数余子式之和. 解 由定义可知，A 第1列的各元素的代数余子式之和=1-315157-8113411-535′=360. 5′三（10分）. 设[][]123123123123,,,1,,24,39,A A B αααααααααααα===++++++求B . 解 123123123,24,39B ααααααααα=++++++21311232323,3,28c c c c ααααααα--=++++322123233,3,2c c αααααα-=+++5′1232332,3,αααααα=+++1232,,2ααα==.5′厦门大学《线性代数I 》课程期中考试卷学院＿＿＿＿年级＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿学号＿＿＿＿＿＿主考教师： 试卷类型：（A 卷） 2018.4.14四（15分）. 设矩阵111111,111A X -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦矩阵满足*12A X A X -=+，求矩阵X .解 由*12A X A X -=+可得()*12A E X A --=，左乘A ，利用*AA A E =，2′得()2A E A X E -=，从而矩阵X 可逆，且()12X A E A -=-.3′计算得 4,A =5′222242222222A E A E A -⎡⎤⎢⎥-=-=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，故()11111110112111011.24111101X A E A ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦5′五（10分）计算()000000000000n a b b aa b b a a b D a b a b b aa b+--+--+=≠+--+其中.解该行列式的第二行至第n-1行和均为零，将其余各列均加到第一列，即0000000000000n a b a b b a a b D a b b baa b-+--+=+--+再按第一列展开有()1-1100000+10000n n n n b a b bD aD b b a b b +--+-=--+-()()111=1n n n aD b b +--+--即-1+n n n D aD b =，5′利用该行列式的结构，有类似的结论 -1+n n n D bD a =，3′因此()-1=-nnn a b D a b -，利用a b ≠可得-1-=n n n a b D a b -，即11-=n n n a b D a b++-.2′六（18分）设线性方程组()()123423412341234121232433585x x x x x x x x x a x x b x x x a x +++=⎧⎪-+=⎪⎨++++=+⎪⎪++++=⎩，问,a b 为何值时，此线性方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求通解.解 对线性方程组的增广矩阵作行初等变换，化为行阶梯形矩阵()1111101121,2324335185A a b a β⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥++⎢⎥+⎣⎦1111101121001000010r a b a ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥−−→⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦4′ （1） 当1a ≠-时，()(),4R A R A β==，线性方程组有唯一解；3′ （2） 当=1a -时()1111101121,000000000rA b β⎡⎤⎢⎥-⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 此时，若0b ≠，则()()2,3R A R A β==，线性方程组无解；3′ （3） 当=1a -且0b =时()11111102100112101121,00000000000000000000rr A β-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥−−→−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 此时，()(),23R A R A β==<线性方程组有无穷多解，3′原线性方程组的同解方程组为1342342021x x x x x x +-=⎧⎨-+=⎩，因此通解为1122123142221==x k k x k k x k x k =-+⎧⎪=-+⎪⎨⎪⎪⎩，或12210121100010x k k -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中12k k ，为任意常数. 5′七（15分）.已知 ,A B 是3阶矩阵，满足42AB A B -=。

广州大学2017-2018学年第一学期考试卷近世代数 参考答案警示：《广州大学授予学士学位工作细则》第五条：“考试作弊而被给予记过、留校察看或开除学籍处分并且被取消相应课程本次考试成绩的，不授予学士学位。

”一、简答题（每小题5分，共25分）1．集合A 上的关系是怎么定义的？答：设R 为直积A A ⨯的子集，则称R 为集合A 上的一个关系。

对于任意的元素A b a ∈,，如果R b a ∈),(，则称a 与b 具有关系R ，否则称a 与b 不具有关系R 。

评分标准：考试要点有两个，一个是：关系是直积的子集，另一个是：两个元素有没有关系的含义。

完整答出这两方面的含义给5分，其余情况酌情给分。

2．试问n 阶循环群有多少个生成元？答：n 阶循环群有)(n ϕ个生成元，其中)(n ϕ为欧拉函数，定义为集合{1,2,…,n}中与n 互素的整数的个数。

理由是：假定生成元为α，则α的阶为n ，群中每个元素都可写为i α，其中n i <≤0，元素i α为生成元当且仅当i α的阶为n ，而i α的阶等于),/(i n n ，因此i α为生成元当且仅当(n,i)=1，即i 与n 互素，故生成元的个数为)(n ϕ。

评分标准：考试要点有三个，(1) 生成元的阶为n ；(2) a k 的阶的计算方法；(3) 欧拉函数。

完整答出这三方面的含义给5分，其余情况酌情给分。

3．试说明什么是剩余类环？答：假定R 为环，I 为R 的理想。

考虑加法群，I 是R 的正规子群，R/I={a+I|a R ∈}。

在集合R/I 中定义加法(a+I)+(b+I)=(a+b)+I, 定义乘法(a+I)(b+I)=ab+I ，则R/I 关于新定义的加法和乘法构成一个环，称为剩余类环。

评分标准：考试要点有三个，(1) 由理想构造剩余类环；(2) R/I 中元素的形式；(3) 如何定义运算。

完整答出这三方面的含义给5分，其余情况酌情给分。

4．试解释什么是域的有限扩张。