线性代数期中试卷2011s

中南大学考试试卷答案2011——2012学年第二学期（2012.4） 时间：100分钟《线性代数》 课程 32 学时 2 学分 考试形式：闭卷专业年级：2011级 总分：100分一、填空题（本题15分，每题3分）1、0；2、8132（练习册P99）； 3、3-； 4、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--12333212312113311n n A ；5、12+⎪⎪⎭⎫⎝⎛λA （练习册P113）。

二、选择题（本题15分，每题3分）1、D ；2、B （练习册P106）；3、C ；（教材P55）4、D ；5、A （练习册P120）。

三、（本题10分） （练习册P102）解：解： D n ====+++c c c c c c n 131121000120012201222=2n –1， 设D n 展开式中正、负项总数分别为x 1, x 2， 则x 1+x 2=n !，x 1–x 2=2n –1，于是正项总数为x 1=1221(!)n n -+。

四、（本题10分）（典型题解P121）解：由X A E AX +=+2，得：E A X E A -=-2)(，)(,010********E A E A -∴≠-==- 可逆，故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A X ；由于09≠=X ，()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛===∴---*-201030102911)(1111X X X X X 。

五、（本题14分）解：将矩阵()4321,,,αααα化为最简形阶梯形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000011003101032001000011001030101121306014211035271，（1）()3,,,4321=ααααR ；（2）321,,ααα为所求的一个最大线性无关组，且32143132αααα++=。

六、（本题14分）解：()0311********--=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==λλλααA E A T，(1)A 的特征值为0,0,3；由0=AX 得对应0的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101011l k ，l k ,为不全为零的任意常数，由0)3(=-X A E 得对应3的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111c ，c 为任意非零常数。

2011级材料 学院《线性代数》期中考试试卷时间：120分钟 满分：100分一、单项选择题 (共10小题，每小题3分，共30分)1. 在下列构成5阶行列式展开式的各项中，取“－”的为 ( )(A) 5144322315a a a a a (B) 5344322511a a a a a (C) 3442155321a a a a a (D) 2544133251a a aa a2. 已知矩阵34 6 2 4 2 1 6 3 1 1 2 3- 0 21 1 1 1 1 =A ，则.)(=A r；1 )(A；2 )(B；3 )(C5 )(D3. 设四阶行列式111201110011111------=x D ，则其中x 的一次项的系数为 ( )(A) 1 (B) －1 (C) 2 (D) －24. 行列式0=nD 的一个必要条件是 ( )(A) D n 中各行元素之和等于零 (B) D n 中有一行(列)元素全为零(C) D n 中有两行(列)元素对应成比例 (D) 系数行列式为D n 的齐次线性方程组有非零解5. 设A , B 皆为n 阶方阵，且A 可逆，则下列运算一定正确的是 ( ) (A)kk kBA AB =)( (B)AA -=- (C)))((22A B A B AB-+=- (D)1**1)()(--=A A6. 设A , B 皆为n 阶方阵，则必有 ( )(A)BAAB = (B)AB B A -=- (C)BA B A +=+ (D)BA B A ⋅=⋅7. 设分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=231A AO AA ，其中的子块A 1, A 2为方阵，O 为零矩阵，若A 可逆，则 ( )(A) A 1可逆，A 2不一定可逆 (B) A 2可逆，A 1不一定可逆 (C) A 1,A 2都可逆(D) A 1,A 2都不一定可逆 8. 用初等矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01100001左乘矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=642113112A ，相当于对A 进行如下何种初等变换( )(A)21r r ↔ (B)32r r ↔ (C)21c c ↔ (D)32c c ↔9. 设A 为5×3矩阵，且2)(=A R ，下三角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=424212347437221P ，则)(PA R 等于 ( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 5 10. 非齐次线性方程组bx A=⨯55在以下哪种情形下有无穷多解. ( )(A)5),( ,4)(==b A A R R (B)4),( ,3)(==b A A R R (C)4),( ,4)(==b A A R R (D)5),( ,5)(==b A A R R二、填空题 (共5小题，每空3分，共15分)1. 设x 1,x 2,x 3,x 4是四次方程0234=+++c bxaxx的根，则行列式=0752340000014321x x x x ________.2. 若n 阶下三角行列式1111111111=nD)2(≥n ，则所有．．元素的代数余子式之和等于_____.3. 设A , B 皆为n 阶方阵，2=A ，3=B，则=-1*3BA_____.4. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=004300002000010A ，则=-1A.5. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a212221212111A ，且02121≠n n b b b a aa ，则________)(=A R .三、计算题 (共5小题，每小题6分，共30分)1.yy x x x y y xyy x =+++x2. 设五次多项式1111111111111111111111111)(+++++=x x x x x x f ，求：①x 5的系数；②x 4的系数；③常数项.3. 设四阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1612841296386424321A ，求A 99=__________4. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21110001A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=322154B ，利用矩阵的初等变换．．．．．．．求矩阵X ，使得AX =B .5. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=k k 12115210611A 的秩等于2，求k 的值.四、证明题 (共2小题，每小题6分，共12分)1. 已知TTA ααββ=+，Tα为α的转置，Tβ为β的转置.（1）求证2≤)(A R ；（2）若,αβ线性相关，则2<)(A R .2. 设A 为n 阶矩阵，且AA =2，证明：n R R =-+)()(A E A .五、解答题 (13分)用克莱姆法则解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x xx x x x x x x x x x x x x x一、单项选择题 (10×3=30分) 1. (D)；解：选项(A)和(B)的行标排列为标准次序，列标排列的逆序数分别为8和4(偶排列)；选项(C)的行标、列标排列都不是标准次序，调整相乘元素的次序，使行标排列为标准次序，则列标排列的逆序数为6(偶排列)；选项(D)的列标排列为标准次序，行标排列的逆序数分别为7(奇排列)，故选项(D)正确。

线性代数期终考试卷一、 试卷一1)填空题（每小题4分，共20分）（1）设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡300220111,则A T A= （2）在分块矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡O C B O 中，已知1-B 、1-C 存在，则=-1A（3）设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡963042321，B 为三阶非零矩阵，满足AB=O ，则r(B)= （4）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡3152X=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1264，则X= （5）三次代数方程321842184211111x x x--=0的根是2）选择题（每小题3分，共15分）（1）设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231332221131211a a a a a a a a a ,B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a P 1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001010，P 2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101010001，则必有（ ） (A)AP 1P 2=B (B)AP 2P 1=B(C)P 1P 2A=B (D)P 2P 1A=B(2)设A 是三阶矩阵，A*是其转置伴随矩阵，又k 为常数k ≠0,1±，则(kA)*=( ) (A)kA* (B)k 2A* (C)k 3A* (D)31A* (3)若r(A)=r<n,则n 元线性代数方程Ax=b ( ) （A ） 又无穷多个解 (B)有唯一解 (C)无解 (D)不一定有解(4)下列说法中正确的是（ ）(A ）对向量组kαα,,1Λ，若有全不为零的数k c c ,,1Λ使011=++k k c c ααΛ，则k αα,,1Λ线性无关(B) 若有全不为零的数k c c ,,1Λ使011≠++k k c c ααΛ，则kαα,,1Λ线性无关(C)若向量组kαα,,1Λ线性相关，則其中每个向量皆可由其余向量线性表示 (D)任何n+2个n 维向量必线性相关(5)矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100的特征值是（ ） (A)1，1，0 (B)-1，1，1 (C)1，1，1 (D) 1，-1，-13）（每小题6分，共12分）（1）计算行列式D= ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+y y x x1111111111111111 （2）已知q 1=T⎥⎦⎤⎢⎣⎡313131,q 2=T⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21021，求q 3，使Q=[]321q q q为正交阵。

浙江财经学院2011～2012学年第一学期 《 线性代数 》课程期中考试试卷 ( A 试卷)适用专业、班级：一.填空题 （每题3分）1 .若1112132122233132331a a a D a a a a a a ==则 1111121312121222331313233423423423a a a a D a a a a a a a a -=-=-12)3(4333231232221131211-=-⨯a a a a a a a a a 2. 由数码1,2,,1,2n n n + 构成的一个排列2,1,21,2,1,n n n n -+ 的逆序数是 (2n-1)+(2n-3)+…+1=n 23.11 n n i i x a aa x aD A a a x===∑ 则1)(0000001111--=--=n a x ax a x a a a x a a a a x a a a （其中11i i A D a 是中元素的代数余子式1,2,i n = ）4. 若方程组123123230020x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩有非零解，则λ=-1或4 0)4)(1(1121111=-+=--λλλλ5 ()()()3 1,1,0,1,3,1,5,3,t ααα==-=12若向量组线性相关，则t =1 035131011=-t()()()3 1,2,1,1,2,0,,0, 2t ααα=-=126. 若向量组=0,-4,5,-2的秩为，则t=37．若向量组123,,ααα与向量组12ββ，等价，则向量组123, , ααα线性 相关8．若 m n ⨯矩阵A 的n 个列向量线性无关，则r(A)= n9 3,,ααα12设是某四元非齐次线性方程组的三个解向量,方程组的系数矩阵为A ，()()122330123T αααα+=+=T r(A)=3,1,0,1，，，，，，则该方程组的全部解为T T c c )0,1,1,1()23,21,0,21()(23121--+=-++αααα10.设矩阵34()ij A a ⨯=，()2r A =且则它在初等变换下的等价标准形为⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000100001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--↓⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00030011020120151402021t t二.计算行列式（每题6分）22404135 D=31232051-----71305100461211203840553002112-----=-----= 2707135102-=----==n 111222D a an nn a++=+ a n nn a a n n a n n a n n ++++++++=2222)1(2)1(2)1( 12)1(00001112)1(2221112)1(-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=n a a n n aa a n n a n n n a a n n122110000100000001nn n xx x xa a a a a x----=-+n D nn n n n n n n n n nn n n nn n n n n nn n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x x a a x a x a D x a x a D x a a xD x a xD a D x ++++++=++++++=++++=++=++=+=--+-=----------------+-12322111232221133221221211112)(][)1()1()1(nn n n n nn n n n n a x a x a x a x xx x x x a xx x a x x x a x xx a +++++=---++----++---+----=----+-+122112112221100000010001)1)((1000000010001)1(1000000010000)1(1000000010001)1(三．确定向量间线性关系（每题8分）1．设向量组()()()()1231,4,0,2, 2,7,1,3, 0,1,1,, =3,10,b,4a αααβ===- 问（1）当, b a 取何值时，β不能由123,,ααα线性表示。

杉达专科2011级线性代数期中考试讲评一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，每小题2分，共16分。

）1. 设D=|a ij |为5阶行列式，问D 的展开式中，下列哪一项取负号 ( )A 、a 15a 24a 33a 42a 51B 、a 12a 23a 34a 45a 51C 、a 11a 23a 34a 45a 52D 、a 51a 42a 33a 24a 15【讲评】考点：D=|a ij |的展开式中项a 1j 1 a 2j 2 …a nj n 的符号为 (-1)N(j 1,j 2,…,j n )，排列的逆序数的计算。

N(j 1,j 2,…j n )=m 1+m 2+…+m n ,其中m k 表示数码k 前面比k 大的数码的个数。

本题：N(54321)=4+3+2+1+0=10, N(23451)=4+0+0+0+0=4,N(13452)=0+3+0+0+0=3, D 与A 一样。

选：C 。

2.三阶行列式 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪20 40 40201 401 399 1 2 3= ( ) A 、-20 B 、70 C 、-70 D 、20【讲评】考点：行列式计算的性质。

行列式可依行(列)提出公因子；将行列式某行(列)乘以一个数加到另一行(列)上去，行列式的值不变。

本题：D=⎪⎪⎪⎪⎪⎪20 40 40201 401 399 1 2 3=20×⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 2 21 1 -11 2 3=20×(3-2+4 –2-6+2)= -20 选：A 。

3. 行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 0 0 a0 b a 00 a b 0a 0 0 b = ( )A 、a 4- b 4B 、(b 2-a 2)2C 、b 4- a 4D 、a 4b 4 【讲评】考点：四阶行列式计算无对角线法则，必须用展开与降阶的方法。

本题：第一行展开⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 0 0 a 0 b a 00 a b 0a 0 0 b = b ⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a 0a b 00 0 b - a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪0 b a 0 a b a 0 0=b 2(b 2-a 2) – a 2(b 2-a 2)= (b 2-a 2)2 选：B 。

一、填空题（每小题5分，共30分）1、三阶方阵A=1230 0 0 0 0 0λλλ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭（其中1230 λλλ≠）的逆矩阵A -1 = 。

2、已知A= 3 5 01-1 -2 02 0 0 2⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，A*是矩阵A 的伴随矩阵，则 (A*)-1 = 。

3、n 阶方阵A ，B 满足A+B=AB ，则B-E 可逆且（B-E ）-1 = 。

4、A 为三阶方阵， 1A =，则 1*(2) A A -- =________ 。

5、A 为n 阶可逆方阵，将A 的第i 行和第j 行对调得到矩阵B ，则 AB -1 = 。

6、111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，121111132221212332313133 a a a a B a a a a a a a a +⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭，10 1 01 0 00 0 1P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2 1 0 10 1 00 0 1P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则B = 。

（用12,,A P P 表示B ）答案：1、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0 0 /10 1/ 0 1/ 0 0 123λλλ 2、⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2 0 0 0 2- 1-0 5 3 2 3、A-E 4、-1/8 5、E n (i,j ) 6、A P 2P 1二、（30分）1、计算行列式123410123110125D =--- （10分）解：7014101231107-25D =---327 1 4 (1)(1) 1 1 2 7 -2 -5+=-- 6 0 21 1 2 9 0 -1=226 2(1)-249 -1+=-=2、计算行列式D n = a a a b a a b aa b a a b a a a----(a ≠-b ) (10分)解：将第2、3、…、n 列同时加到第一列，并提取公因子，得n 1 a a b 1 a b aD [(n 1)a b] .................................1 b a a 1 a a a--=---0 0 0 -b-a 0 0 -b-a 0[(n 1)a b] .................................0 -b-a 0 0 1 a a a=--n(n 1)n 1n 12(1)(1)(b a)[(n 1)a b]---=--+--(n 1)(n 2)n 12(1)(a b)[(n 1)a b]-+-=-+--3、求下列矩阵的逆矩阵（10分）11000130000020********001A ⎛⎫⎪- ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭答案： 341400014140000012000001200001-⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎪- ⎪ ⎪⎝⎭三、（40分）1. 已知011111010A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，112113B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且满足AX +B =X ，用初等变换法求X （10分） 解：由AX +B =X 知 B =X -AX =(E -A )X()100011111010111101001010011E A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭且10E A -=≠所以E -A 可逆，由此得1()XE A B -=-()111111012101113E A B ---⎛⎫ ⎪-=- ⎪⎪⎝⎭010121012101113---⎛⎫⎪−−→-⎪⎪⎝⎭ 010121002200101---⎛⎫ ⎪−−→⎪ ⎪⎝⎭ 100220101200101⎛⎫ ⎪−−→ ⎪⎪⎝⎭2、已知矩阵A =0 1 01 2 00 0 -1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，A *是矩阵A 的伴随矩阵，若矩阵B 满足（B-E ）-1 =A *-E ， 求矩阵B 。

2011《线性代数》期中考试试卷及答案详解一、单项选择题 (每小题4分，共20分)1. 在下列构成5阶行列式展开式的各项中，取“+”的为⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )(A) 5345342112a a a a a (B) 2554134231a a a a a (C) 2534511342a a a a a (D) 4223155134a a a a a解 答案为(C).根据行列式的定义，对于行列式的一般项，若行标排列是标准排列，则符号取决于列标排列的逆序数的奇偶性；若列标排列是标准排列，则符号取决于行标排列的逆序数的奇偶性；若行标、列标排列都不是标准排列，则符号取决于行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性(或者，交换一般项中的元素，使行标成为标准排列，再根据列标排列的逆序数判断)选项(A)的行标排列是标准排列，列标排列的逆序数为t (21453)=3，故(A)取“-”。

选项(B)的列标排列是标准排列，行标排列的逆序数为t (34152)=5，故 (B)取“-”。

选项(C)行标和列标排列都不是标准排列，方法一：行标和列标排列的逆序数之和t (41532)+t (23145)=6+2=8，得符号为“+”；方法二，交换相乘的元素，使行标成为标准排列，得a 13a 25a 34a 42a 51，此时列标排列的逆序数为t (35421)=8，故取“+”。

同理可得，(D)应取“-”。

2.设n 阶行列式D =1，将D 上下翻转得D~，则D~的值为⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )(A) -1 (B) (-1)n(C) (-1)n /2(D) (-1)n (n -1)/2解 答案为(D).参见教材习题一第7题的解答。

3. 设A , B 均为n 阶方阵，下列结论正确的是⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )(A) 若A ≠B ，则∣A ∣≠∣B ∣ (B) 若AB =O ，则A =O 或B =O (C) A 2-B 2=( A +B )( A -B ) (D) ∣AB ∣=∣BA ∣ 解 答案为(D).选项(A)错误，反例：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10011112, 但1011112=。

全国2011年1月自学考试线性代数试题课程代码：02198说明：本卷中，A T 表示矩阵A 转置，det(A )表示方阵A 的行列式，A -1表示方阵A 的逆矩阵，(α，β)表示向量α，β的内积，E 表示单位矩阵．一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设A 是4阶方阵，且det(A )=4，则det(4A )=( )A ．44B ．45C ．46D ．472．已知A 2+A +E =0，则矩阵A -1=( )A ．A +EB ．A -EC ．-A -ED ．-A +E 3．设矩阵A ，B ，C ，X 为同阶方阵，且A ，B 可逆，AXB =C ，则矩阵X =( )A ．A -1CB -1B ．CA -1B -1C ．B -1A -1CD ．CB -1A -14．设A 是s×n 矩阵(s≠n)，则以下关于矩阵A 的叙述正确的是( )A ．A T A 是s×s 对称矩阵B ．A T A =AA TC ．(A T A )T =AA TD ．AA T 是s×s 对称矩阵5．设α1，α2，α3，α4，α5是四维向量，则( )A ．αl ，α2，α3，α4，α5一定线性无关B ．αl ，α2，α3，α4，α5一定线性相关C ．α5一定可以由α1，α2，α3，α4线性表出D ．α1一定可以由α2，α3，α4，α5线性表出6．设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量X 均满足AX =0，则( )A ．A =0B ．A =EC ．秩(A )=nD ．0<秩(A )<n7．设矩阵A 与B 相似，则以下结论不正确．．．的是( ) A ．秩(A )=秩(B )B ．A 与B 等价C ．A 与B 有相同的特征值D ．A 与B 的特征向量一定相同8．设1λ，2λ，3λ为矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200540093的三个特征值，则1λ2λ3λ=( )A ．10B ．20C ．24D ．309．二次型f (x 1，x 2，x 3)=323121232221222x x x x x x x x x +++++的秩为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 10．设A ，B 是正定矩阵，则( )A ．AB 一定是正定矩阵B ．A +B 一定是正定矩阵C ．(AB )T 一定是正定矩阵D ．A -B 一定是负定矩阵二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。

云南财经大学20201010至20201111学年第二学期《线性代数》课程期中考试试卷答案一、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）1．行列式512312123122x x x D x x x=的展开式中含3x 的系数是－5；2．若行列式1023145x x 的代数余子式121A =−，则代数余子式21A =－4；3．设11,0,,0,22⎛⎞=⎜⎟⎝⎠α⋯为1n ×矩阵，矩阵T =−A E αα，2T =+B E αα，其中E 为n 阶单位矩阵，则AB =E ；4．设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠A ,111222333a b d a b d a b d ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠B ，且4=A ，1=B ，则A+B =20；5．设矩阵310121342⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠A ，110225341−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠B ，则−=AB BA 1461717391816−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠；6．设A 为n 阶非奇异矩阵，E 为n 阶单位矩阵，α为1n ×矩阵，b 是常数，记分块矩阵*||⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠T E O P A A α，⎛⎞=⎜⎟⎝⎠TAQ b αα，则PQ =1−⎛⎞⎜⎟⎜⎟−+⎝⎠()T A O A A b ααα；7．齐次线性方程组1231231232000ax x x x ax x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪+−=⎩只有零解，则a 应满足41≠−≠a a 且；8．如A 是n 阶方阵，满足22A A E O −+=，则1(2)A E −+=149()E A −；9．若向量(1,2,)T t =β可由向量组1(2,1,1)T =α，2(1,2,7)T =−α，3(1,1,4)T =−−α线性表出，则t =5；10．设向量组1(1,0,5,2)T =α，2(3,2,3,4)=−−T α，3(1,1,,3)T t =−α．若该向量组线性相关，则t =1；若该向量组线性无关，则t ≠1．二、单选题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）11．设ij D a =为六阶行列式，则下列选项中为D 中带负号的项是（①）；①615243342516a a a a a a ；②1223344655a a a a a ；③213243165564a a a a a a ；④213243546566a a a a a a ．12．设i j M ，i j A 分别是4阶行列式1012110311101254i jD a −==−中元素i j a 的余子式与代数余子式（,1,2,3,4i j =），则D =（③）；①31323334+++A A A A ；②31323334254+++−A A A A ；③1333435++A A A ；④1424344414243444(1)(1)(1)(1)++++−+−+−+−M M M M ．13．用j A 表示三阶行列式i ja 的第j列(3,2,1=j )，且T ijam =，则1322(,25,3)−=A A A A （④）；①30m ；②15m −；③6m ；④6m −．14．设A 是任一n 阶矩阵，则下列交换错误的是（③）；①∗∗=A A A A ；②m p p m =A A A A （,m p 为正整数）；③T T =A A A A ；④()()()()+−=−+A E A E A E A E ．15．设111213212223313233a a a a A a a a a a ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠，131211122322212233323132a a a a B a a a a a a a a ⎛⎞+⎜⎟=+⎜⎟⎜⎟⎜⎟+⎝⎠，1100110001P ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，2110010001P ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，3001010100P ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，则B =（②）；①12A P P ；②13A P P ；③31A P P ；④23A P P ．16．设A ，B 为n 阶方阵，则下列结论中正确的是（③）；①若A B O =，则A O =或B O =；②若A O ≠且B O ≠，则A B O ≠；③若A B O =，则0A =或0B =；④若A B O ≠，则0A ≠且0B ≠．17．设A 为n 阶可矩逆阵，A *是A 的伴随矩阵，k 为实数，则下列结论中不正确的是（①）．①()A A ∗∗=n k k (n 为正整数)；②2()A A A −∗∗=n (n 为正整数)；③()()A A ∗∗=T T ；④11()()A A ∗−−∗=．18．已知向量组1234,,,αααα线性无关，则下列命题中正确的是（④）；①向量组12+αα，23+αα，34+αα，41+αα线性无关；②向量组12−αα，23−αα，34−αα，41−αα线性无关；③向量组12+αα，23+αα，34−αα，41−αα线性无关；④向量组12+αα，23−αα，34−αα，41−αα线性无关．19．如向量组,,αβγ线性无关，向量组,,αβδ线性相关，则（③）；①向量α必可由向量组,,βγδ线性表示；②向量β必不可由向量组,,αγδ线性表示；③向量δ必可由向量组,,αβγ线性表示；④向量δ必不可由向量组,,αβγ线性表示．20．对于n 元非齐次线性方程组A X B =和对应齐次方程组A X O =，正确的命题是（②）．①如A X O =只有零解，则A X B =有唯一解；②如A X B =有两个不同的解，则A X O =有非零解；③A X B =有唯一解的充分必要条件是0A ≠；④如A X O =有非零解，则A X B =有无穷多组解．三、计算题（要写解答过程．本大题共2个小题，每小题6分，共12分）21．计算n 阶行列式012211000100000100n n n a a x a xD a x a x −−−−=−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．解：从第一行起，每行乘x加到下一行，得0122110010000010n n n a a x a x D a x a x−−−−=−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯010221100001000001000n n a a a x a xa x a x−−−+−=−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯0102210221011000010000000001000−−−−−+−++==+++−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯n n n n a a a xa a x a x a a x a x ax010221022101120100001000000000100n n n n n n a a a xa a x a x a a x a x a a x a x −−−−−−−+−++=+++−+++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1112010000100()(1)001001n n n n a a x a x −+−−−−=+++−−−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯111120()(1)(1)n n n n n a a x a x −+−−−=+++−−⋯12120()(1)n nn n a a x a x −−−=+++−⋯1121200121n n n n n n n a a x a x a x a x a x a −−−−−−−=+++=++++⋯⋯11n n i i i a x −−−==∑22．设1111121113A −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，求1()A ∗−．解：****A A A A A E ==**11A A A A E A A ⎛⎞⎛⎞⇔==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠*11()A A A −⇔=又1(),A E −111100121010113001⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⋮⋮⋮111100010110002101⎛⎞⎜⎟→−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⋮⋮⋮11110001011000112012⎛⎞⎜⎟→−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⋮⋮⋮1103201201011000112012−⎛⎞⎜⎟→−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⋮⋮⋮1110052112010110(,())00112012E A −−−−⎛⎞⎜⎟→−=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⋮⋮⋮从而有11()−−=AA 5211211012012−−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠于是有1||2A =，故*152********()1102201212012101A A A −−−−−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟==−=−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠四、计算题（要写解答过程．本大题共2个小题，每小题8分，共16分）23．已知向量组1(1,1,2,3)=T α，2(1,1,1,1)=−T α，3(1,3,3,5)T =α，4(4,2,5,6)=−T α，5(3,1,5,7)=−−−−T α．求：（1）该向量组的一个极大无关组；（2）并将其余向量表为该极大无关组的线性组合；（3）该向量组的秩．解：以51234,,,,T T T T Tααααα为行构造矩阵A ，再对A 进行行初等变换，化为梯矩阵，得11212313414551112311231111111113351335425642564315731573T TTTT T TTT TTT TT A ⎛⎞⎛⎞−⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=→−⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−−−−−−−−⎝⎠⎝⎠+αααααααααααααα1213141511123021202120636402123T T T T T T T T T ⎛⎞−⎜⎟−−−⎜⎟⎜⎟→−⎜⎟−−−⎜⎟−⎜⎟⎝⎠+ααααααααα121312141215121112302120000()000043()00003()T T TT T T TT T T T T T T T⎛⎞−⎜⎟−−−⎜⎟⎜⎟→−+−⎜⎟⎜⎟−−−⎜⎟⎝⎠++−ααααααααααααααα121213121412151211()211231()0112220000()000043()00003()T T TT T T T T T T T T T T T T T +−⎛⎞⎜⎟−−−⎜⎟⎜⎟→−+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−⎝⎠++−ααααααααααααααααα121213121412151211()2103251()0112220000()000043()0003()T T TT T T T T T T T T T T T T T +−⎛⎞⎜⎟−−−⎜⎟⎜⎟→−+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−⎝⎠++−ααααααααααααααααα（1）梯矩阵非零的前两行对应的两个向量12,TTαα即12,αα就是该向量组的一个极大无关组；（2）将其余向量表为该极大无关组的线性组合，后三行分别对应3123121312()22T T T T T T T O −+−=⇒=−⇒=−αααααααααα412412141243()33T T T T T T T O −−−=⇒=+⇒=+αααααααααα51255121123()22T T T T T T T O ++−=⇒=−−⇒=−−αααααααααα（3）该向量组的秩为2，即12345(,,,,)2r =ααααα解法2：以12345,,,,ααααα为列构造矩阵12345(,,,,)A =ααααα，再对矩阵A 施行初等变换,将其化为行简化阶梯形矩阵，得12345(,,,,)A =ααααα11143113212135531567−⎛⎞⎜⎟−−−⎜⎟=⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠11143022620113102262−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟→⎜⎟−−⎜⎟−−⎝⎠11143022620000000000−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠11143011310000000000−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠10212011310000000000−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠则（1）12,αα是该向量组的一个极大无关组；（2）312412512232⎧=−⎪⎪=+⎨⎪=−−⎪⎩ααααααααα；（3）该向量组的秩为2，即12345(,,,,)2r =ααααα24．设(1,2,3,4)=α，(1,1,1,1)=β均为14×矩阵，试求：（1）T A =αβ；（2）T B =βα；（3）n A （n 为正整数）．解：（1）TA =βα12(1,1,1,1)34⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠1111222233334444⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠（2）1211111112131434⎛⎞⎜⎟⎜⎟===×+×+×+×⎜⎟⎜⎟⎝⎠(,,,)()TB αβ11(10)10×==（3）由矩阵的幂及矩阵乘法的结合律，并利用（1）、（2）的结果，得()()()()n T n T T T A αβαβαβαβ==⋯()()()T TTTαβαβαβαβ=⋯111()1010TTTn n Tn αβαβαβαβ−−−===1111122221033334444n −⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠.五、计算题（要写解答过程．本大题共2个小题，每小题10分，共20分）25．设矩阵方程AB =A +2B ，且矩阵301110014A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，并计算矩阵B ．解：由题设，知22(2)AB A BAB B A A E B A=+⇔−=⇔−=而30110010121102010110014001012A E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−=−=−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦因10110110121100110111012012001A E−=−=−−=−−=−0≠于是，矩阵(2)A E −可逆故，矩阵方程(2)A E B A −=有唯一解1(2)B A E A−=−对分块矩阵(2,)A E A −作一系列行初等变换，将其左半部分化为单位矩阵E ，这时右半部分就是1(2)XA E A −=−，即(2,)A E A −101301110110012014⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮→101301011211012014⎡⎤⎢⎥−−−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮→101301011211001223⎡⎤⎢⎥−−−−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⋮⋮⋮→100522010432001223−−⎡⎤⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⋮⋮⋮→100522010432001223−−⎡⎤⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⋮⋮⋮1((2)),E A E A −=−求出矩阵方程(2)A E X A −=的解为1(2)XA E A −=−522432223−−⎡⎤⎢⎥=−−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦26．讨论,a b 为何值时，线性方程组123423423412340221(3)2321x x x x x x x x a x x bx x x a x +++=⎧⎪++=⎪⎨−+−−=⎪⎪+++=−⎩无解，有唯一解，有无穷多解?有解时求其所有解．解：（1）“解的判断”：对其增广矩阵111100122101323211a b aA⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥−−−⎢⎥−⎣⎦⋮⋮⋮⋮1111001221013201231a b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯→⎢⎥−−−⎢⎥−−−−⎣⎦⋮⋮⋮⋮1111001*********0010a b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯→⎢⎥−+⎢⎥−⎣⎦⋮⋮⋮⋮因此当1a =，且1b ≠−时，()2()3r r A A=≠=⇔该方程组无解；当1a ≠时，()()3r r A A==⇔该方程组有唯一解；当1a =，且1b =−时，()()23r r A A==<⇔该方程组有无穷多组解.（2）“回代”求解：对其有解的情形，利用高斯（Gauss）消元法，对其增广矩阵变换化为行简化梯矩阵，再导出同解方程组.讨论如下①当1a ≠时11110012210010100010a b a A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯→⎢⎥−+⎢⎥−⎣⎦⋮⋮⋮⋮11110012210010100010a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯→⎢⎥−+⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮⋮11100012010010100010a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯→⎢⎥−+⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮⋮11100012010010(1)(1)00010b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯→⎢⎥+−⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮⋮1100(1)(1)010012(1)(1)0010(1)(1)00010b a b a b a −+−⎡⎤⎢⎥−+−⎢⎥⎯⎯→⎢⎥+−⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮⋮1000(1)(1)1010012(1)(1)0010(1)(1)0010b a b a b a +−−⎡⎤⎢⎥−+−⎢⎥⎯⎯→⎢⎥+−⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮⋮即，该方程组的唯一解为1234(1)(1)112(1)(1)(1)(1)x b a x b a x b a x =+−−⎧⎪=−+−⎪⎨=+−⎪⎪=⎩②当1a =，且1b =−时11110012210010100010a b a A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯→⎢⎥−+⎢⎥−⎣⎦⋮⋮⋮⋮11110012210000000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮⋮10111012210000000000−−−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯→⎢⎥⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮⋮导出同解方程组1342341122x x x x x x =−++⎧⎪⎨=−−⎪⎩令3142,x c x c ==（12,c c 为任意数），求出原方程组的无穷多组解为11221231421122x c c x c c x c x c =−++⎧⎪=−−⎪⎨=⎪⎪=⎩（12,c c 为任意数）六、证明题（本大题共3个小题，每小题4分，共12分）27．设A 是n 阶可逆矩阵，且T A A =−，求证：11()()()()TE A E A E A E A E −−⎡⎤⎡⎤−+⋅−+=⎣⎦⎣⎦．证明：11[()()][()()]TE A E A E A E A −−−+−+11[()()][()]()T TE A E A E A E A −−=−++−11()()[()]()T T T E A E A E A E A −−=−++−11()()()()T T T T E A E A E A E A −−=−++−11()()()()E A E A E A E A −−=−++−1()[()()]()E A E A E A E A −=−++−1()[()()]()E A E A E A E A −=−−++11()()()()E A E A E A E A −−=−++−11[()()][()()]E A E A E A E A −−=−++−E E E==28．已知向量组123,,ααα线性无关，求证：向量组1223+αα，23−αα，123++ααα线性无关．证明：11223βαα=+，223βαα=−，3123βααα=++设11223x x x Oβββ++=1122233123(23)()()x x x O ααααααα⇔++−+++=1311232233(2)(3)()x x x x x x x O ααα⇔+++++−+=由于向量组123,,ααα线性无关，故只有当131232320300x x x x x x x ⎧+=⎪⎪++=⎨⎪−+=⎪⎩时，上式才能成立，齐次线性方程组的系数行列式33201211213113211(1)22131032011001+==×−=×−×=≠−由此可知，该齐次线性方程组仅有零解，从而向量组123,,βββ线性无关，即向量组1223αα+，23αα−，123ααα++线性无关.29．设A 为n 阶矩阵(n ≥2)，若r(A )=n －1，证明：r(A *)=1．证明：因为r(A )=n －1，所以A 中至少有一个n －1阶子式不为零，即A *中至少有一个元素不为零，故r(A *)≥1．又因r(A )=n －1，A 不是满秩矩阵，于是|A |=0．由*||=AA A E 知，*=AA O ，有*r()r()n +�A A ，把r(A )=n －1代入，得r(A *)≤1．综上所得r(A *)=1．。

全国2011年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题（课程代码：04184）说明：本卷中，A T表示方阵A的转置钜阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1. 设101350041A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则TAA=（）A. -49B. -7C. 7D. 492. 设A为3阶方阵，且4A=，则2A-=（）A. -32B. -8C. 8D. 323. 设A，B为n阶方阵，且A T=-A，B T=B，则下列命题正确的是（）A. （A+B）T=A+BB. （AB）T=-ABC. A2是对称矩阵D. B2+A是对称阵4. 设A，B，X，Y都是n阶方阵，则下面等式正确的是（）A. 若A2=0，则A=0B. （AB）2=A2B2C. 若AX=AY，则X=YD. 若A+X=B，则X=B-A5. 设矩阵A =11310214000500⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则秩（A ）=（ ）A. 1B. 2C. 3D. 46. 若方程组02020kx z x ky z kx y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩仅有零解，则k ≠（ ）A. -2B. -1C. 0D. 27. 实数向量空间V={（x 1，x 2，x 3）|x 1 +x 3=0}的维数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2D. 38. 若方程组12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩有无穷多解，则λ=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 49. 设A =100010002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则下列矩阵中与A 相似的是（ ）A. 100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ B. 110010002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C. 10001102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦D. 10102001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦10. 设实二次型2212323(,,)f x xx x x =-，则f （ ）A. 正定B. 不定C. 负定D. 半正定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

城院线性代数期中试卷汇集浙江大学姜豪汇编2014年6月目录第一部分：试卷真题13—14学年第二学期期中试卷 (2)13—14学年第一学期期中试卷 (4)12—13学年第二学期期中试卷 (6)12—13学年第一学期期中试卷 (9)11—12学年第二学期期中试卷 (11)第二部分：答案与评估13—14学年第二学期期中试卷答案 (13)13—14学年第二学期期中试卷难度与题量评估 (14)13—14学年第一学期期中试卷答案 (15)13—14学年第一学期期中试卷难度与题量评估 (15)12—13学年第二学期期中试卷答案 (16)12—13学年第二学期期中试卷难度与题量评估 (17)12—13学年第一学期期中试卷答案 (17)12—13学年第一学期期中试卷难度与题量评估 (19)11—12学年第二学期期中试卷答案 (19)11—12学年第二学期期中试卷难度与题量评估 (20)第三部分：试题详解13—14学年第二学期期中试卷详解 (21)13—14学年第一学期期中试卷详解 (28)12—13学年第二学期期中试卷详解 (34)12—13学年第一学期期中试卷详解 (41)11—12学年第二学期期中试卷详解 (48)参考文献[1] 苏德矿，裘哲勇，线性代数，高等教育出版社，2005。

[2] 姜豪，线性代数十三讲.ppt 网易免费邮箱，用户名：mathjh, 密码：math123456[3] 姜豪，线性代数习题集。

网易免费邮箱，用户名：mathjh, 密码：math123456[4] 姜豪，线性代数命题集锦。

网易免费邮箱，用户名：mathjh, 密码：math123456[5] 姜豪，[1]的名词索引。

网易免费邮箱，用户名：mathjh, 密码：math123456[6] 姜豪，[1]的勘误表。

网易免费邮箱，用户名：mathjh, 密码：math123456[7] 同济大学数学系，（工程数学）线性代数，第五版，高等教育出版社，2007。

上海师范大学天华学院标准试卷2011 ~ 2012学年 第一学期 考试日期 2011 年 11 月 日科目：线性代数（2）期中卷专业 本科 10 年级 班 姓名 学号题号 一 二 三 四 总分 得分我承诺，遵守《上海师范大学天华学院考场规则》，诚信考试。

签名：________________一、计算题（本大题共5小题，每小题8分，共40 分）1．计算行列式D=⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 2 0 03 1 2 00 3 1 20 0 3 1[解]:2. 设A,B 三阶方阵，I 为三阶单位矩阵，已知 AB=2A+B ，B=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0 10 1 01 0 1，求(A-I)-1。

[解]：3．设A, B 为4阶矩阵，且|A|=5, |B|=4，|B -1+A|=2，求 |A -1+B| 的值。

[解]：4. 设A=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 2 32 3 13 5 3，B=⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 15 3，C=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 32 03 1，且满足AXB=C ， (1) 问a, b, c 何值时，D=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4 a -7-3 -6 b c 1 -1为A 的逆矩阵；(2)求矩阵X. [解]：5. 设矩阵A=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 2 1 a 3 ab+6 3 3a 2 4 a+2 2a ，讨论a, b 的值，来确定矩阵A 的秩. [解]：二、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12 分）6. 证明n 阶行列式 D=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 2 … 2 a 2 2 … a 2 … … … …2 a … 2 2a 2 … 2 2 =(-1)n(n-1)2[a+2(n-1)](a-2)n-1.[解]：7. 设A 为3阶实对称矩阵，I 为3阶单位矩阵，且(I-A)2= I–2A ，证明：A=0 . [解]：三、简答题（本大题共8小题，每小题 4 分，共32分）写简单解答过程，将正确的答案写出。

8．计算行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪2011 20122013 2014的值。

西南民族大学经济学院期中考试试卷（2012—2013学年第1学期）科目：《高等数学》(III)—线性代数年级：经济学院2011级各专业题号一二三四五总分得分一、填空题（每小题3分，共15分）1.设A, B均为n阶矩阵，|A| = 2，|B|=－3，则|2A*B-1|= .2. 由m个n维向量组成的向量组，当m n时，向量组一定线性相关.3. 在秩为m的矩阵中，一定有子式.4.设矩阵A与B等价，A有一个k阶子式等于0, 则R(B) k.5.齐次线性方程组AX=0中A=(aij)m(n ,当时方程组AX=0只有零解.二．选择题（每小题3分，共15分）1. 设A是n阶方阵,且As=0,则(A) (E-A)-1=1/(E-A) (B) (E-A)-1=E-A-1(C) (E-A)-1=A+A2+...+As (D) (E-A)-1=E+A+...+As-12. 设有向量组α1=(1,-1,2,4), α2=(0,3,1,2), α3=(3,0,7,14),α4=(1,-2,2,0),α5=(2,1,5,10),则该向量组的极大线性无关组是( )(A) α1, α2, α3 (B)α1, α2,α4 (C) α1, α2, α5 （D）α1,α2,α4,α53. 如果向量组(I)与向量组(Ⅱ)等价,那么( )(A) (I)的秩<(Ⅱ)的秩(B) (I)的秩=(Ⅱ)的秩(C) (I)的秩>(Ⅱ)的秩(D) 以上都不对4.设A=,若r(A)=2, 则参数a的值为( )(A)0 (B) 0或-1 (C)-1 (D)-1或15.如果齐次线性方程组有非零解, 那么( )(A) s<n (B)s=n (C)s>n (D)三种情况都有可能三、简答题（要求简要地写出计算步骤或说明理由,本题共15分,每小题3分）1.设A是n(n>2)阶方阵，k为常数，且|A|=a，计算行列式|kAAT|2.设A 为二阶矩阵，且k的值等于多少？3.设向量(1,(2,(3线性无关,(4可由(1,(2,(3线性表示,则r((1,(2,(3(4)是多少？4. 设A,B,C为n阶方阵,且AB=CB. 问下列推导过程有无问题？若有,请指出是第几步。